Full text of "Jacob Steiner's gesammelte werke"

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JACOB STEINER'S

GESAMMELTE WERKE

■.'^

JACOB STEINERS

GESAMMELTE WERKE

HERAUSGEGEBEN AUF VERANLASSUNG DER KÖNIGLICH
PREUSSISCHEN AKADEMIE DER WISSENSCHAFTEN.

ZWEITER BAND.

MIT 23 FIGURENTAFELN.

HERAUSGEGEBEN

. VON

K. WEIERSTBASS.

BERLIN.

DRÜCK UND" VERLAG VON G. REIMER.

1882.

Vorrede.

Indem ich den zweiten (und letzten) Band det Werke
Steiner'^ dem mathematischen Publikum übergebe , habe ich
zunächst zu bemerken, dass die in mehreren, an mich gerich-
teten Zuschriften ausgesprochene und, wie ich höre, von Vielen
getheilte Erwartung, es werde dieser Band eine Reihe inter-
essanter, noch nicht veröffentlichter Mittheilungen aus dem
Sfeifier'schen Nachlasse bringen, auf einer falschen Vorstellung
von dem Inhalte dieses Nachlasses beruht. Nach der Auskunft,
die der Besitzer desselben, Herr Professor Geiser in Zürich,
mir zu geben die Güte hatte, besteht er hauptsächlich aus
den Vorarbeiten und den verschiedenen Redactionsentwürfen zu
einer Anzahl der bereits veröffentlichten Abhandlungen, und
es würde das in demselben enthaltene Material, wenn es nutz-
bar gemacht werden sollte, einer durchgreifenden Bearbeitung
in derselben Weise bedürfen, wie sie denjenigen Stücken, welche
den von den Herren Schröter und Geiser herausgegebenen
Vorlesungen Steiner'^ zum Grunde liegen, zutheil geworden
ist Eine Verwerthung des Nachlasses für die von mir im
Auftrage der Akademie besorgte neue Ausgabe der Werke
Steiner' Sj welche nur die von diesem selbst veröffentlichten oder
im Wesentlichen druckfertig hinterlassenen Arbeiten enthalten

sollte, war also ansgeschlosaen. (Vergl. die Vorrede zum ersten
Bande von Jaeobi'» gesammelten Werken.) Nor einige Znsätze,
die von Steiner mehreren Abhandlongen nach deren Herausgahe
handschriftlich beigefligt «nd von Herrn Geiser mir mitgetheilt
worden sind, konnten in die diesem Bande angehängten „An-
merkungen und Zusätze" aufgenommen werden. Ausserdem
habe ich mir erlaubt, eine schon früher nach einer mtlndlichen
Mittheilung Steiner'» von mir veröffentlichte Notiz über die
seitdem so bekannt gewordene „S/etBer'sche Fläche" wieder
abdrucken zu lassen, sowie bei dieser Gelegenheit eine nicht
uninteressante, auf eine andere Fläche vierten Grades sich
beziehende und von Steiner mir vorgelegte Aufgabe mitzn-
theilen.

Zwei der bedeutendsten Abhandlungen Stenier% in denen
er die Ergebnisse seiner langjährigen Untersuchungen „über
Maximum und Minimum bei den Figuren in der Ebene, auf
der Kugelfläche und im Raum überhaupt'*, niedergelegt hat,
waren bisher nur in französischen Uebersetzungen bekannt.
Steiner hatte nämlich diese Arbeiten der Pariser Akademie
vorgelegt, und zwar in deutscher Sprache, anf lAowille'B, des
Berichterstatters, Wunsch aber in dessen Journal die erste
Abhandlung in französischer Sprache erscheinen lassen, was

Vorrede. VII

bedeutende Vorzüge besitze. Ich habe es deshalb flu* geboten
erachtet, bei der neuen Ausgabe der in Rede stehenden Ab-
handlungen den ursprünglichen S/einer'schen Text wieder her-
zustellen, um so mehr, als das gedachte Manuscript so sorg-
fältig ausgearbeitet ist, dass es mit' Ausahme sehr weniger
Stellen ganz unverändert abgedruckt werden konnte.

Sämmtliche Al)handlungen dieses Bandes sind — in ähn-
licher Weise, wie es bei denen des Tersten Bandes geschehen
ist — vor dem Abdrucke theils von Herrn Professor Kiepert
(Bogen 1—20), theils von Herrn Dr. Schur (Bogen 21—42),
und dann bei der Correctur noch einmal von dem ersteren
sorgfältig revidirt worden. Indem ich beiden Herren für die
Hülfe, die sie mir geleistet, meinen aufrichtigsten Dank aus-
spreche, habe ich noch hinzuzufügen, dass von Herrn Kiepert
— ohne dessen eifrige Mitwirkling es mir überhaupt un-
möglich gewesen wäre, mit der übernommenen Aufgabe in ver-
hältnissm'ässig kurzer Zeit fertig zu werden — auch sämmt-
liche zu diesem Bande gehörigen Figuren neu gezeichnet
worden sind.

Berlin, 6. März 1882.

Weierstrass.

Inhaltsverzeichniss des zweiten Bandes.

f. Demonstration g^omctrique d'un thforemo rektif k Taltractioii d'uDe

couche ellipsoidique sur un point eiterieur. Ävec 1 figure (Tabl I) ; 1—

2. Ein neuer Satz über die Primzahlen 7— J

3. Äurgaben und Lehrsätze. Hieran Taf. I, Fig. 2 13— 1

4. Ein&cbe Constrnction der Tangente an die allgemeine Lemniskate.

Hieran Tat H, Fig. 1 19— i

5. Aufgaben nnd Lehrsätae. Hieran Taf. ü, Fig. 2 und S 25— J

C. Aufgaben und Lehrsätze. Hieran Taf. III, Fig. 1 und 2 33— 4

7. Aufgaben nnd Lehrsätze 41 — S

8. Maximum und Minimum des Bogena einer beliebigen Cnrve im Verhült-
niss zur zugehörigen Abscisso oder Ordinate. Hieran Taf. III nnd IV,

Fig. 3— G 51— G

Aufgaben und Lehrsätze. Ilierau Taf. V, Fig. 1— ä

InhaltsTerzeichniss des zweiten Bandes. IX

Seit«

17. Ueber Maximum und Minimum u. s. w. Zweite Abhandlung. Hierzu

Taf. XU— XIV, Fig. 1—17 241—308

18. Ueber einige stereometrische Sätze 309—320

19. Elementare Lösung einer Aufgabe über das ebene und sphärische
Dreieck. Hierzu Taf. XV, Fig. 1—5 321—326

20. Teoremi relativi alle coniche inscritte e circoscritte. A cio aggiunta la

tav. XIV, Fig. 1—3 327—337

21. Ueber eine Eigenschaft des Krümmungshalbmessers der Kegelschnitte 339—342

22. Lehrsätze und Aufgaben 343—348

23. Ueber eine Eigenschaft der Leitstrahlen der Kegelschnitte 349—354

24. Geometrische Lehrsätze und Aufgaben 355 — 360

25. Ueber Lehrsätze, von welchen die bekannten Sätze über parallele Gurren
besondere Fälle sind 361—367

26. Geometrische Lehrsätze 369—373

27. Sätze über Gurren zweiter und dritter Ordnung 375—380

28. Ueber das dem Kreise umschriebene Viereck. Hierzu Taf. XVÜ — XIX,

Fig. 1-4 381—388

29. Elementare Lösung einer geometrischen Aufgäbe, und über einige damit
in Verbindung stehende Eigenschaften der Kegelschnitte. Hierzu Taf.

XX, Fig. 1—4 , 389—420

30. Ueber das grösste Product der Theile oder Summanden jeder Zahl . 421—424

31. Lehrsätze 425—434

32. Gombinatorische Aufgabe 435 — 438

33. Ao^ben und Lehrsätze 439—443

34. Ueber einige neue Bestimmungsarten der Gurren zweiter Ordnung, nebst
daraus folgenden neuen Eigenschaften derselben Gurven. Hierzu Taf.

XXI und XXn, Fig. 1-3 '. 445-468

35. Allgemeine Betrachtungen über einander doppelt berührende Kegel-
schnitte 469—483

36. Aufgaben und Lehrsätze 485 — 492

37. Allgemeine Eigenschaften der algebraischen Gurven 493 — 509

38. Ueber solche algebraische Gurven, welche einen Mittelpunct haben, und
üb^ darauf bezügliche Eigenschaften allgemeiner Gurven, sowie über
geradlinige Transversalen der letzteren 511 — 506

39. Aufgaben und Sätze, bezüglich auf die vorstehende Abhandlung . . . 597 — 601

40. Eigenschaften der Gurven yierteu Grades rücksichtlich ihrer Doppeltan-
genten 603-612

41. Aufgaben und Lehrsätze 613—620

42. Ueber algebraische Gurven und Flächen 621—637

8teiB«r'a Werke. IL

X InbBitSTerzeicbnisB des zweiten BondM.

43. Ueber eine besondere Cnire dritter Clause (und rierten Grades) . . . 639—647

44. Uaber die FIfichen dritten Grades . . . ■. 649-659

45. Vermiscbte Sitze und Aufgaben £61—684

Nachlas».

46. Oeometriscbe Betrachtungen nnd Lebraätse 687 — 716

47. Conatniction der durcb neun gegebene Puncto gehenden Fläche zweiten

Grades 717—720

48. Zwei specielle Fliehen vierter Ordnung 721—724

49. Anmerkungen nnd Zus&tze. Hieran Tsf. XXIil, Fig. 1—5 725—743

Demonstration geometrique d'un theoreme re-
743 1 latif ä l'attraction d'une couche ellipsoidique

sur un point exterieur.

Crelle's Journal Band XII. S. 141—143.

Avec 1 figure (Table I).

Btainer'* Werk«. IL 1

Demonstration geometrique d^un theoreme re-
latif ä Tattraction d'une couche ellipsoidique

sur un point exterieur.

Le numero du 12. Oct. 1833 du Journal ^FlnstitiU^ contient l'extrait
d'un memoire sur Tattraction d'un ellipsoide homogene que M. Poisson
a lu ä TAcademie des sciences de Paris. On y trouve Fenonce d'un theo-
reme remarquable par sa simplicite et qui consiste en ce „qu'une
couche infiniment mince et comprise entre deux ellipsoides
concentriques, semblables et semblablement places exerce sur
un point exterieur une attraction, dirigee suivant Taxe du
cöne circonscrit ä la couche et ayant pour sommet le point
attire*'. C'est ce theoreme que nous allons demontrer par des conside-
rations geometriques fort simples.

Lemme.

„L'ellipse ABCD (Tab. I, fig. 1) ^tant touch^e par les cotes
PAy PB de l'angle APBy si Ton divise cet angle en deux par-
ties egales par la droite PQ qui coupe en Q la corde de con-
tact ABy polaire du point P, je dis que PQ formera des angles
egaux avec les droites PCy PD qui joignent le point P aux
deux extremites d'une corde quelconque passant par le point Q.*^

Demonstration. Si Ton mene PR perpendiculairement ä PQ, on
uait que Pß, PAy PQy PB seront quatre droites harmoniques. Par con-
sequent les quatre points Ry Ay Qy B de memo que les suivants P, ö,
Q, F sont harmoniques, et PR est la polaire du point Q; il suit de la
que Dy Qy C, E sont quatre points harmoniques et par consequent PDy
PQy PCy PE quatre droites harmoniques, et comme les droites coiyuguees
PE et PQ sont perpendiculaires entre elles, on en conclut qu'elles doivent

4 Snr l'sttraction d'uno couchc ollipaoidiquo.

partager en deuz parties egales l'angle forme par les droiter! conjuguees
PD, PC de Borte que

DPq = CPQ
e. q. f. d.-).

Theoreme.

„L'attractioD, exercee par une conche homogeoc infiniment
mince et comprise entro deux ellipsoidea concentriquos, sem-
blables ot semblablemeDt placcs sur un point exterieur P, est
dirigee suivant faxe da cöne qui a son centre aa potDt attire
et qui enveloppe la couche attiraute."

Demonstration. Concevona sur la surface exterieuro de la coache
nn element infiniment petit, et soit C un point de est elöment. Le plan
determine par ce point et par Taxe du cöne circonscrit k la surface ex-
terieore coupera cette surface en une ellipse ACBD qui sera touchee par
los deux aretes PA, PB du cöne comprises dans ce plan. II est Evident
en meme temps que la droite AB est l'intersection du plan en question
et de celui qui contient la courbe de contact du cöne et de la Burface
exterienre, et que Q est le point de rencontre de ce demier plan et de
Taxe dn cöne. Comme Taxe PQ divise en deux parties egales l'anglo
APB forme par les deux aretes, comprises dans un möme plan avec lui,
on conclura en vertu du lemme precedent que los angles CPQ, DPQ sont
4gaiix. Si l'on con^oit maintenant une droito mobile autour du point Q
et parcourant le contour de l'element de surface precedemment nonime,
cette droite determinera dans la couche ellipsotdique deux Clements de
volome situ^s de part et d'autre du point Q et dont nous allons conäi-
d^rer l'attraction d'abord sur le poiut intericur Q et ensuite sur le point
exterieur P. Quant k l'attraction exercee par cos elements sur le point
Q, on sait qu'ellcs sont egales et opposees, et c'est sur la destruction

Sur rattraction d'une couche oUipsoidique. 5

II suit d'un autro cote do rögalito des anglos CPQ et DPQ, prece-
dcnuncnt etablie, qu'on a

QCiQD = PC.PD

et par consequent, en comparant:

(O : (Z)) = (PC)' : (PDy,

Proportion qui prouvo quo les deux elements attirent ogaloment lo point
Py et partant que la resultanto de ces deux actions est dirigeo suivant
Taxe PQ, Co rcsultat otant applicable a tous les elements do la couche
qui se correspondeut deux ä deux, lo thcoremo enonco se trouve rigou-
reusement etabli.

La demonstration precedente fournit en outro lo coroUaire suivant:

„Un plan quolconque passant par lo point Q partage la
couche cllipsoidique en deux parties qui exorcont des attrac-
tions egales sur le point P.^

On peut egalemeut tirer des considerations precedentes plusiours
veritcs gcometriques, dont je me contcnterai d'cnonccr une seule:

„Si par rellipso, intcrsection do rellipsoido et d'un plan
quclconque passant par le point Q, Ton cou^oit un cone ayant
sou sommet au point P, Taxe do co cone coincidera avec la
droite PQ^

Berlin, au mois de Janvier 1834.

Ein neuer Satz über die Primzahlen.

Grolle' 8 Journal Band XIII. S. 356—360.

Ein neuer Satz über die Primzahlen.

1. Der Satz, welcher hier bewiesen werden soll, lautet, wie folgt:
„Hat man irgend eine Primzahl ^ und ^ — 1 beliebige andere
Zahlen, welche durch p nicht theilbar sind, sondern nach
irgend einer Ordnung die verschiedenen Reste 1, 2, 3, ...^— 1
geben, oder auch, was im Grunde auf dasselbe hinauskommt,
nach irgend einer Ordnung genommen, diese Reste selbst sind,
combinirt man von diesen Zahlen irgend eine Anzahl n zur
(j? — n)**^° Classe mit Wiederholung aber ohne Versetzung und
multiplicirt die Zahlen jeder Complexion in einander, so ist
die Summe aller dieser Producte immer durch ^ theilbar, die
Zahl n mag sein, von 2 bis p — 1 inclusive, welche man will.*'

Beweis. Wird jeder Theil der identischen Gleichung

mit a multiplicirt, nämlich der Theil links mit a, das erste Glied rechts
mit (a — aj)-i-«a und das zweite mit (a — a^)-\'a^, so erhält man nach
gehöriger Ordnung

a^ = (a — aj)(a? — a,)-f-(aj -j-a,) (o? — a,)4-a'.
Werden die Glieder der letzten Gleichung ähnlicher Weise beziehlich mit

a = (a — «,)-i-Ö3 = (•« — a^)'i'a^ = Qc — a^)-ha^
multiplicirt, so kommt

a^ = («— a,)(Ä—a,)(^— a,)+(a, +«,+«,) (^—a,)(^—aj)

Gleicherweise gelangt man zu der Gleichung
X* = (a — cti)(x — a^)(x — ö,)(^ — «4)

und durch Wiederholung desselben Verfahrens zu der allgemeinen Gleichung
d?p-i = (a — a,)(^ — a,) . . . (a — Op-i)

.+ («1 4-03 H l-«p-i) (•«?—«,) (x — aj . . . (x — ap-i)

(a'+öj «jH haj ap^a+ajH-öjÄaH

hop-a) («— «j) (•«?— «3) • • • (^— ap-3)

10 Ein nmer Satz über die PrimuUai.

oder in einEulieD Zeichen

(1) jf-^ = X^i-hA^X^,-i-A^X^+A,X^-i hA^,X,+A^t.

Das Gesetz, wonach die Glieder dieser Gleichung gebildet werden, fällt
in die Augen. NSmlich der Coefficient J, des zweiten Gliedes rechts
ist die Summe der Zahlen a,, a^, a,,...ap_,; der Coefficient A, des
dritten Gliedes bt die Sonune der Prodacte, die entstehen, ireim man
die p — 2 Zahlen a,, a^, a,, ap—t mit Wiederholung aber ohne Ver-
setzung zu zweien combtnirt and in einander multiplicirt; u. s. w.

Wird nun angenommeD, p sei irgend eine Primzahl, and die Zahlen
a,, dj, a,,...ap-i seien nicht durch p theilbar und lassen, durch p
dividirt, verschiedene Reste, also, nach ii^nd einer Ordnung genommen,
die Rest« 1, 2, 3, , ..p — 1; ond wird femer auch die willkSrlicfae Zahl x
als nicht durch p theilbar vorausgesetzt, so ist, wenn man das letzte
Glied rechts aof die linke Seite bringt, die Differenz

vermöge des Fermat'achen Satzes durch p theilbar. Giebt man nun dem
X Kr einen Augenblick einen solchen Werth, dass x — a, durch p theilbar
wird, so sind alle Glieder rechts, welche x — a, zum Factor haben,
durch p theilbar; daher mass auch das nunmehrige letzte Glied

A^tX^ = (ar-'+flr''«»+«r^"I-l l-ar')(^— oj

durch p theilbar sein; und zwar moss es noüiwendig der erste Factor
dieses Gliedes sein, da vermöge der Voraossetznng der andere, x — a, , es
nicht sein kann.

Bringt man nun ferner auch dieses letzte Glied A^-tX^ auf die linke
Seite der Gleichung, so ist der erste Theil derselben durch p theilbar;
und giebt man sodann dem x einen solchen besondem Werth, dass der
Factor w — o, durch p theilbar wird, so folgt ähnlicherweise wie vorhin,
dass nun auch das gegenwärtige letzte Glied rechts, A^-tX^ durch p
theilbar sein mnss, und zwar, da von den zwei Factoren x — a, , x — a.

Ein neuer Satz über die Primzahlen. 11

Prodacte zn addiren. Dies giebt

5*-f-5^4+5^3-h5^4'+5^4.3-h5^3'^-5.4»-h5.4^3^-5.4.3'^-5.3'^-4*

-+-4».3-h4'.3'+4.3»+3*

= 625+500+375+400-+- 300+225-4-320+240+ 1804-135+256

+192+144+108+81 = 4081 = 583.7,
ein Resultat, welches, wie man sieht, dem obigen Satze genügt.

2. Aus dem ersten Gliede rechts in der Gleichung (1), nämlich aus
dem Gliede

Zp_i = («— a,)(^— aj)(a:— a,)...(^— ap_i),
lassen sich, mit Rücksicht auf den vorstehenden Beweis, leicht zwei
andere bekannte Sätze ableiten. Wird nämlich dieses Glied entwickelt,
so hat man
Xp— 1 = a^^ — (aj+a,+aj+«-»+ap_i) a;P~^

+(«1 «3 + a, a, +• • • +ap_2ap_i)^c'^' — • • + ajtt, . . . Op— i ,
oder

-3^1 = aP-^—^,aii^^'h%aP-^—^aP-^-{ 3^p_2^+ap_i,

wo, wie man sieht, die Coefficienten Sli, Slj, 81,, ... SIp-i die einfachen
Combinationen ohne Wiederholung und ohne Versetzung der Zahlen
^if a„ ... Op-i zur ersten, zweiten, dritten, . . . (p — 1)*^ Classe vorstellen.
Hierdurch lässt sich die Gleichung (1), wie folgt, umändern:

(Sl, aP-^ — ^^ a^^-h^xf^ h2lp_2^)

^X^i-hA^Xp^z-h^z^p-A-^ l-Ap-iX^) = S!lp_i+^p_i.

Wird nun angenommen, a sei durch p theilbar, oder, was dasselbe
'^wirkt, es sei a gleich 0, so ist der erste Theil der gegenwärtigen Gleichung
durch jo theilbar, (weil jedes Glied in der ersten Klammer den Factors?
enthält, und die Coefficienten der Glieder in der zweiten Klammer zufolge
des obigen Beweises einzeln durch p theilbar sind); daher muss auch der
zweite Theil derselben, d. i.

S!lp_i+./4i>_i, oder aja,a,...ap_i+a^^,
durch p theilbar sein; und da nach dem Fermai^sclien Satze das eine
Glied a^\ durch p dividirt, den Best +1 giebt, so muss das andere

durch p dividirt, den Rest p — 1 oder — 1 geben, oder, in der einfachsten
form^ es muss

1.2.3.4...Q?— 1)+1
durch p theilbar sein, d.h. „wird dem Product aus allen Zahlen
1? 2, 3, . . . (p — 1), welche kleiner als eine gegebene Primzahl p
sind, 1 zugezählt, so ist die Summe allemal durch p theilbar^;
welches der bekannte Wikon^sche Satz ist.

Werden femer alle Glieder, welche in der Gleichung (2) auf der
linken Seite in der zweiten Klammer stehen, nämlich die Glieder

A^Xp-,2-^A^Xp^^-hA^Xp^-\ h-^p-a-Xj

«> {-S:

12 Ein neuer Satz über die PrimzahleD.

nach Potenzen von x entwickelt, so erhält man ein A^egat von der Form

wo die Grössen ß,, B^, ... ßp-j; C,, C,, . . .; i)j, D^, ... u. s. w. kein
X enthalten, sondern, vom Zeichen abgesehen, nur bestimmte Combinatiooen
der Zahlen a,, a,, . . . ap—a; a,, a„ ... «p— 3; ....
Werden diese Werthe in die Gleichung (2)

substituirt, und wird bemerkt, dass diese Gleichung für jeden Worth, wel-
chen man dem x beOegeu mag, stattfinden muss, so folgt, dass die Coefli-
cieDt«n gleich hoher PotenzeD von x einander gleich sein müssen, dass
also, absolut genommen,

a, = Ai —%, = Aß^-^A,\ gi, = ^,B,4-A^,+Ai ■■

sein mu9B. Da nun vermöge des obigen Beweises von den Grössen
' A^, Af, A^, ... Ap^i jede, einzeln genommen, durch p (heilbar ist, so
folgt ans den letzten Gleichungen, dass auch jede der Grössen

a„ 3i„ a„ a„ ... a^^

durch p theilbar sein musa. Das heisst:

„Hat man eine Primzahl p und p — 1 beliebige andere Zah-
len a,, a,, a,, ... Op— 1, welche nicht durch p theilbar sind und
auch nicht gleiche Reste geben, oder welche, in einfachster
Form, die Zahlen 1, 2, 3, 4, . , . p — 1 selbst sind, so ist sowohl
die Summe dieser Zahlen a,, als die Summe ihrer Prodacte,
wenn sie zu 2, oder 3, oder 4, . . , oder j>— 2 ohne Wiederholung
und ohne Versetzung combinirt werden, d.i. a„ a,, a,,
dorch V theilba

Aufgaben und Lehrsätze.

Orelle's Journal Blind XIII. S. 361—364.

lUcrzu Taf. I Fig. 2.

Aufgaben und Lehrsätze.

1. Die Summe aller Brüche von der Form

wo sowohl für x als für y jede ganze positive Zahl von 0 an gesetzt wer-
den muss, ist gleich 1, jedoph mit der Bedingung, dass jeder Bruch, wel-
cher mehrmals durch diese Form erhalten wird, wie z. B. ^, welcher
dreimal sich unter dieser Form darstellen lässt, nämlich als

1 1 1

2«_1 ' 4'— 1 ' 8'— 1 '

nur einmal gerechnet wird, was auch durch die Einschränkung erreicht
werden kann, dass 2-Hp keine höhere Potenz (d. i. zweite, dritte, vierte u. s. w.)
von irgend einer Zahl sein darf, woraus hervorgeht, dass x nicht 6, 7,
14, 23, 25, 30, 34, 47, 62, 79 u. s. w. sein darf. In Zeichen heisst
dies also:

1 = ^(2+^y^— 1 =^+^+i+T^+A-+ife+A:+TrV+iV+T?V

+-gV-HA-+-TiTr+Tii-+TiT-f--- in infin.

2. Die Summe aller negativen Potenzen, von der zweiten an, aller
ganzen positiven Zahlen, von 2 an, ist gleich 1, oder in Zeichen:

1 = 2(2-h^)-24-2(2-h^)-34-2;(24-^>-*+2(2-h^)-*-f-... in infin.,

wo unter jedes Summenzeichen für x alle ganzen positiven Zahlen

0, 1, 2, 3, 4, ... zu setzen sind.

Hieraus folgt insbesondere der bekannte Satz:

„Dass die negativen zweiten Potenzen aller ganzen posi-
tiven Zahlen eine convergirende Reihe bilden."

16 Aufgaben und Lehrsätze.

Femer folgt daraoB, dass, da man bekanntlicli die Wertbe der eis- —
zelnen Summen

2(2+ar)-», l(2+x)r*, 2(2+;r)-«, . . . 2(2+«)-»-
aogebeu Icann, man auch, wenn gleich nicht die Werthe der einzelnm^
Summen

2(2+«)-», 2(2+»)-«, ... 2(2+a)-*H-',
80 doch den Werth der Summe dieser Summen darstellen kann, inden^c:
zufolge des vorstehenden Satzes

2C2+»)-»+2(2+Ä:)r^+2(2+*)-^+-.

= l-[2C2+«)-»+2(2+^)-*+2(2+«)-*+-].

3. Durch Verbindui^ der beiden vorstehenden Sätze 1 und 2 ge- «
langt man zu dem folgenden Sat^e:

„Die Summe aller Brüche von der Fonü

ist gleich der Summe aller Brüche (oder negativen Potenzen) von der ^
Form

(2+z)-(!+»-),

wo für ^ jede ganze positive Zahl, von 0 an, gesetzt werden muss, für s=
aber nur diejenigen ganzen positiven Zahlen, für welche die Summe 2 l-s —
keine (höhere) Potenz von iigend einer Zahl wird (wie oben Lehrsatz 1)M
für z dagegen alle diejenigen ganzen positiven Zahlen, welche für x au» -
geschlossen sind, so dass also die Summe 2+2 allemal irgend eine höhere
Potenz sein musa. Unter diesen Bedingungen ist also

Aufgaben und Lehrsätze. 17

sei ^ Allgemeinen die folgenden zwei Bedingungen stattfinden :
(a) a»-*8in((?a) = 6*-isin(fc)

und*
(P) a*~*8in(a6) = c*~*sin(fc).

Dieser Satz umfasst insbesondere zwei bekannte Sätze *), die man erhält,
wenn man

1) X gleich 2 setzt, oder wenn die Summe der Quadrate a^+b^+c^
ein Minimum .sein soll. Für diesen Fall ist P der Schwer-
punct des Dreiecks ABC, und man hat als Bedingungen

asin(ca) = 6sin(fc)
und

asin(aÄ) = (?sin(fc);

2) wenn man a gleich 1 setzt, oder wenn die Summe der drei Ab-
stände a+ÄH-c ein Minimum, also P der Punct der kleinsten
Entfernung von den drei festen Puncten A, B, C sein soll.
Für diesen Fall reduciren sich die obigen Bedingungen auf

sin(aJ) = sin(ca) = sin(fc),
oder auch

(oJ) = (ca) = (bc).

■

5. Wenn man bei dem vorigen Satze (4) dem Exponenten a alle
möglichen Werthe giebt, oder wenn man a sich stetig verändern lässt:
welches ist alsdann der Ort des Punctes P, und welche eigenthümliche
Beziehung hat dieser Ort zu den drei festen Puncten A^ jB, C?

6. Für beliebige Puncto eines Kegelschnittes lässt sich der Krümmungs-
halbmesser auf folgende sehr einfache Weise construiren.

Es sei z. B. eine Ellipse ABC (Taf. I, Fig. 2) gegeben, man soll den
Erummungshalbmesser für irgend einen Punct C finden.

Man ziehe eine Axe AB der Ellipse (gleichviel welche), lege in dem
Puncte C die Tangente CD, die von der Axe in D begrenzt wird, und
errichte auf derselben in C die Normale CM. Mit der Tangente CD be-
schreibe man um C einen Kreis, welcher die Axq AB zum zweiten Male
in E schneidet, ziehe die Gerade CE, welche der Ellipse zum zweiten
Male in F begegnet, errichte auf der Sehne CF in ihrer Mitte G die
Senkrechte GMy so wird diese die Normale CM im Krümmungsmittel-
poncte M schneiden, so dass MC der verlangte Krümmungshalbmesser ist.

*) Andererseits ist er ein besonderer Fall eines mehrfach allgemeineren Satzes,
tekhen ich bei einer anderen Gelegenheit beweisen werde.

»t«ioer'i Werke. II. 2

Aufi^aben und Lcbniäue.

Bemerkung za dem Aufsätze No. 14 in Band XIII des O-elle'achen
Journals. Das hier gefundene Resaltat: „dasa die geordneten Verbindongen
mit Wiederholungen aus geordneten Verbindungen ohne WiederboluBgen
abgeleitet werden können," findet sich auch in der „AnalysW von Schweins,
vom Jahre 1820, und besonders klar und umfassend hat dieser nämliche
aasgezeichnete Combinatorikcr denselben Gegenstand in seiner neueren
Schrift „Grösaenl^re, »ifstematwch bearbeitet", Leipzig, bei Leop. Voss, 1833,
behandelt.

Einfeche Constmction der Tangente an die

allgemeine Lemniscate.

Crelle's Jouraal Band XIV. S. 80— 82.

Hierzu Taf. II Fig. 1.

c>«

ry*

'I .Itpl.

Einfache Construction der Tangente an die

allgemeine Lemniscate.

1. Da in neuerer Zeit die Lemniscate bei gewissen physikalischen
Untersuchungen mehrfach in Betracht gekommen ist, so halte ich es nicht
für unnütz, nachstehende einfache Construction ihrer Tangente in einem
beliebigen Puncte hier mitzutheilen.

Eine charakteristische Bestimmung der allgemeinen Lemniscate ist
belanotlich folgende:

„Wenn die Grundlinie AB (Taf. II, Fig. 1) eines Dreiecks der
Grösse und Lage nach und das Rechteck unter den beiden an-
deren Seiten AC, BC der Grösse nach gegeben ist, so ist der
Ort der Spitze C eine Lemniscate.** Oder umgekehrt:

^In der Hauptaxe einer Lemniscate giebt es allemal zwei
Grundpuncte A, B, welche die Eigenschaft haben, dass, wenn
man aus denselben nach irgend einem Puncte C des Umfanges
Strahlen zieht, das Rechteck unter je zwei solchen Leitstrahlen
ACy jBC einen constanten Inhalt hat."

Aus dieser Bestimmung folgt unmittelbar, dass die in Rede stehende
Curve einen Mittelpunct hat, der in der Mitte zwischen den zwei Grund-
puncten A, B liegt, und dass die Curve auf einen endlichen Raum be-
schränkt ist. Angenommen, es seien D, E die Endpuncte oder Scheitel
der Hauptaxe. Man setze 1) die Hauptaxe-

DE=2d, also d = MD = ME,

2) den Abstand der Grundpuncte von einander

AB = 2c, also c = MA = MB,

und 3) den constanten Inhalt des Rechtecks unter je zwei zusammen-
gehörigen Leitstrahlen AC) BC, oder a, b, gleich ä^, so ist

p = ab = (d-hcXd—c) = d'—c\

22 Oonstruction der Tangente an die Lemnisote.

und die drei verschiedenen Gestalten, welche die Corve im Ällgeqieinen^
haben kann, lassen sich durch folgende Bedingungen bestimmen:

a) wenn A'>c', dann ist die Curve in allen ihren Theilen zn —
sammenhängend und bat im Allgemeinen in den Scheiteli^M
ihrer zweiten Äxe eine Einsenkung;
ß) wenn &' = c*, dann schneidet, sich die Curve in ihrem Mitt«l —
pUDCt« M, so dass also dieser Panct ein Doppelpunct der Curv^
ist, und zwar ist er für jeden Zweig ein sogenannter Wendungs-
pOQCt; die beiden Tangenten in diesem Puncto sind auf ein-
ander senkrecht, und die Curve wird dorch ihn in zwei ge-
schlossene, congruente Theile getheilt, welche in Scheit«lwinkeIo . i
jener Tangenton liegen; 1

-[) wenn h*<ie*, so besteht die Curve ans zwei isolirten, coo-
gmenten Theilen, wovon jeder sich dem Äuge als eine ge-
schlossene Curve darstellt, und wovon der eine den Grand-
punct A, der andere den Grundpunct B umsctiliesst
Häufig wird die Curve nur unter der Form (ß) „Lemniscate" genannt*).
2. Mit Rücksicht auf die vorgenannte charakteristische Eigenschaft
der allgemeinen Lemniscate gelaugt man nun durch folgende Betrachtnng
zur Construction ihrer Tangente in einem beliebigen Puncto.

Zieht man nach den Endpuncten C, C, eines beliebigen Bogen» der
Curve die Leitstrahlen a und b, a, und &,, so ist nach dem Vorher-
gehenden (1)

und daraas folgt

a:a, = b,:b.
Zieht man femer die Secante CC, und hälftet in dem Dreieck CAC^
den Winkel an der Spitze A mittelst der Geraden AA^, so wie dessen
Nebenwinkel mittelst der tieraden AA^, hälftot mau ebenso in dem Drei-

Constructioü der Tuugento an die Lemniscate. 23

leiclit folgt, dass

CA, = C,B,
und

CA,.= C,B,.

Da die Geraden AA, and AA^^ weil sie Nebenwinkel hälften, zu

eii^a:Dder rechtwinklig sind, und aus dem gleichen Grunde die Geraden BB,

uud BB^ auf einander senkrecht stehen; und da femer, wenn man die

SftCBnte CC, so bewegt, dass ihre Durchschnitte C, C, mit der Curve ein-

sAder immer näher rücken, z. B. wenn man sie um C sich drehen lässt,

bis endlich C, mit C zusammenfallt, in welchem Falle die Secante in eine

Tangente übergeht, und die Geraden AA,^ BB, sich beziehlich mit den

festen Strahlen ACy BC vereinigen, so wird die Tangente in irgend einem

Pancte C der Curve durch folgendes einfache Verfahren gefunden.

„Man ziehe die beiden Leitstrahlen ^C^ BC nach dem ge-
gebenen Puncte C, errichte auf denselben in den Grundpuncten
A, B die Perpendikel AA^^ BB^ und ziehe zwischen diesen die-
jenige Gerade A^CB^^ welche durch jenen Punct C gehälftet
wird, so dass

CA, = CB,,

80 ist diese Gerade die verlangte Tangente.**

Berlin; im December 1834.

Aufgaben und Lehrsätze.

Crelle's Journal Band XIV. S. 88—92.

ffierzu Taf. II Fig. 2 und 3.

Aufeaben und Lehrsätze.

1. Lehrsatz. Bestimmt man in der Hauptaxe DE (Taf. II Fig. 2)
cmer gewöhnlichen Lemniscate*) denjenigen Punct F oder G, welcher zu
den Scheiteln dieser Axe 2), E und dem einen oder anderen Grundpuncte
^ oder B der vierte, dem letzteren zugeordnete, harmonische Punct ist,
^d fallt man aus diesem Puncte auf irgend einen reellen Durchmesser
der Curve, d. i. auf irgend eine Gerade HK^ welche durch den Mittel-
pwict M der Curve geht und dieselbe ausserdem in zwei Punct6n L, N
ßciiieidet, ein Perpendikel FE oder GKy so ist das Rechteck unter den
^l)8tanden des Fusspunctes dieses Perpendikels von den Endpuncten jenes
^^chmessers, also das Rechteck HL.HN oder KN.KL, für alle Durch-
messer von constantem Inhalt, und zwar ist dieser Inhalt gleich -dem
Qö^drat der halben Hauptaxe, d. i. gleich MD\ und somit gleich dem
R^cheninhalte der Curve (wenn die von ihr eingeschlossenen Räume beide
positiv genommen werden).

2. Fällt man aus einem willkürlichen Puncte p in der Ebene irgend
einet gegebenen Curve A Lothe auf die Tangenten der letzteren, so liegen
ihre Fusspuncte in irgend einer anderen bestimmten Curve By und es ist
£e Frage:

a) wie lässt sich der Flächeninhalt der Curve B, und
6) wie ihre Länge ausdrücken , wenn die Curve A und die Lage
des Punctesj? gegeben ist? und femer:

c) welche Lage muss der Punct p in Bezug auf die Curve A
haben, damit der Flächeninhalt, oder

d) damit die Länge der Curve B ein Minimum wird? und
endlich:

e) welches ist der Ort des Punctos p, wenn der Inhalt oder die
Länge von B gegeben ist?

♦) Man Tergleiche die Yorhergebende Abh^mdlung über die allgemeine Lemniscat«
(1, ß) S. 22,

28 Aufgaben und Lehrsätze. *

3. Angenommen es sei die gegebene Cnrve Ä (2) geschlossen ud
überall convex, und man lasse sie auf einer festen Geraden G rollen, b
sie sich ganz umgedreht hat, so wird jeder mit ihr fest verbunden gi
dachte Punctp (er liege in, innerhalb oder ausserhalb Ä), irgend eii
Curvo beschreiben, welche, wenn die L^e des beschreibenden Punctx
am Ende seiner Bewegung p^ heisst, durch 'pp^ bezeichnet werden ma;
Heissen femer die Puncte, in welchen die feste Gerade G von der roUei
den Curve A an^oglich und am Ende der Bewegung berührt wird, g uo
<7, , und zieht man die Geraden pg, p^g^, so entsteht ein gemischtlinig«
Viereck p3^, p, p, von dessen drei geradlinigen Seiton zwei, nämlich/
und j:>,^,, gleich und parallel sind, und die dritte gg^ dorn Umfange di
Curve A gleich ist (Die vierte Seite ist nämlich die genannte Curve pp^
Nun kann gefr^ werden :

a) wie läast sich der Inhalt des Vierecks pggiP,p, und

b) wie die Länge der Curve pp^ ausdrucken, wenn die rollend
Curve A nebst der Ls^e des beschreibenden Punctes p in B«
zug auf dieselbe gegeben ist? und femer:

c) welche Lage muss der Punct p (in Bezug auf A) haben, dam
der Inhalt des Vierecks, oder

(l) damit die Länge der Curve pp, ein Minimum wird? ue

endlich:
e) welches ist der Ort des Punctes p, wenn der Inhalt des Via
ecks pgg^PiP, oder die Länge der Curve pp, gegeben ist?
Dieselben Fragen sind zu stellen, wemi die Curve Ä (statt auf d-
Goraden 6) auf einem gegebenen festen Kreise oder auf irgend ein'
anderen gegebenen festen Curve roUt.

Wenn bei dieser und bei der vorigen Aufgabe (2) eine und diesell
Curve A und der nämliche Puuct p zugleich betrachtet werden, weicht
merkwürdige Verhältniss findet dann zwischen den Flächeninhalten d-

Aufgaben und Lehrsatze. 29

5. Wenn von zwei Kreis-Segmenten (von verschiedenen Kreisen)
ie Grandlinien (oder Sehnen) einzehi gegeben sind, und wenn entweder
x) die Summe ihrer Bogen, oder ß) die Summe ihrer Flächeninhalte ge-
geben ist, so soll das Verhältniss der Radien der beiden Kreise, oder das
Verhältniss der Bogen, oder das Verhältniss der Inhalte der Segmente
gefunden werden, welches stattfinden muss, damit im Falle (a) die Summe

der Inhalte der Segmente ein Maximum, oder im Falle (ß) die Summe

der Bogen ein Minimum wird.

6. Wenn die Grundflächen zweier dreiseitigen Pyramiden der Form
und Grosse nach gegeben sind, und wenn femer entweder a) die Summe
ihrer übrigen sechs Flächen, oder ß) die Summe ihrer Körperinhalte ge-
geben ist, so ist die Frage: wie müssen sich ihre Oberflächen, oder wie
ihre Körperinhalte zu einander verhalten, damit im ersten Falle (a) die
Summe ihrer Körperinhalte ein Maximum, oder im anderen Falle (ß)
<lie Summe ihrer Oberflächen (also auch ihrer 6 Seitenflächen) ein
Minimum sei?

Dieselben Fragen bei 4, 5, 6, . . . n-seitigen Pyramiden; desgleichen
W Kegeln, wenn z. B. die gegebenen Grundflächen Kreise sind.

7. Wenn die Grundflächen (oder Grundkreise) zweier Kugel-Seg-
mente einzeln gegeben sind, und wenn entweder a) die Summe ihrer
Oberflächen, oder ß) die Summe ihrer Körperinhalte gegeben ist, so ist
^e Frage: wie müssen sich die Radien der zugehörigen Kugeln, oder wie
ninssen sich die Oberflächen, oder die Körperinhalte der Segmente zu
einander verhalten, damit im Falle (a) die Summe der Körperinhalte ein
Maximum, oder im Falle (ß)* die Summe der Oberflächen ein Mini-
mum sei?

8. Sind zwei gegenüberstehende Kanten einer dreiseitigen Pyramide
der Grosse nach gegeben und liegen sie in zwei gegebenen festen Ge-
'^den -4, -4j , so ist bekanntlich der Körperinhalt der Pyramide constant,
1^ mag jene Kanten auf diesen festen Geraden annehmen, wo man
^- „Dagegen ist die Oberfläche der Pyramide ein Minimum, wenn
^*n die Kanten so annimmt, dass die Gerade, welche ihre Mitten ver-
bindet, auf beiden senkrecht steht."

9. Wenn im Räume irgend drei unbegrenzte feste Geraden, wovon
idne zwei in einer Ebene liegen, gegeben sind, so soll erstens unter
«len Dreiecken, deren Ecken beziehlich in den drei Geraden liegen, das-
jemge gefunden werden, a) dessen Umfang, oder b) dessen Flächeninhalt,
wier c) dessen umschriobeaer Kreis ein Minimum ist*); oder es soll

*) Das Yerlangte Dreieck mit dem kleinsten Umfange hat notbwendigerweise die
%eDSchaft, dass die Geraden, welche seine Winkel bälften, beziehlich auf den drei
gegebenen festen Geraden senkrecht stehen.

30 . Aufgaben und Lehnätze.

zweitens unter allen KugeJn, welche die drei Geraden berühren, die
kleinste gefunden werden.

10. Sind die Grundlinien dreier Dreiecke im Räume der Gtrösee and
Lage nach gegeben, und sollen ihre Spitzen in irgend einem Puncte ver-
einigt sein, so soll diejenige Lf^ dieses Punctes gefunden werden, für
welche die Summe der Flächeninhalte der drei Dreiecke ein Hioimum
ist. — Wenn femer die drei Grundlinien der Gröase nach gegeben sind,
und wenn eie respective in irgend drei der. Lage nach gegebenen unbe-
grenzten Geraden im Baume liegen sollen, so soll ihre Lage in diesen,
so wie die Lage ihrer gemeinschaflUchen Spitze gefunden werden, fSr
welche die Summe ihrer Flächeninhalte ein Minimam wird.

11. Wenn irgend eine Cnrve C von doppelter Erümmung gegeboa
ist, imd man zieht aus einem beliebigen Puncte P im Rwime nach tl^ea
Punct«n derselben gerade Linien, so erfällen diese irgend eine kegelförmige
krumme Flache F. Es soll deijenige Punct P gefunden werden, für wi-
chen die Fläche F ein Minimum wird.

Diese Aufgabe wird einfacher, wenn statt der Curve C ii^end ein
geradUniges schiefes Vieleck (Viereck, Fünfeck u. s. w.) im Räume g«-
geijeu ist.

12. Wenn die Seiten (oder ihre Verlängerui^a) eines . beliebigen
gleichseitigen n-Ecks in der Ebene beziehlich durch irgend n gegebene
Punct« gehen, so soll der Ort seiner Ecken, einzeln genommen, gefondeo
werden*). — Giebt es anter den verschiedenen n-Ecken im AllgemeiuMi
ein solches, welches die Eigenschaft hat, dasa, wenn man in den gegeboiMi
n Poncten auf seinen Seit«n Lotbe errichtet, diese einander in irgend einem
und demselben Puncte treffen?

Die nämlichen Fragen finden statt, wenn die Seiten des n-Ecka, an-
statt gleich ZQ sein, irgend ein gegebenes Verhältniss zu einander haben
sollen, z. B. sich verhalten sollen, wie irgend n gegebene Grössen.

Aufgaben und Lehrsätze. 31

Kreises geht, als der bewegliche Endpunct B des Bogens seine Peripherie
dorchläaft, oder zu dem festen Endponcte A zurückkehrt, dass sie daselbst
(in If) den festen Durchmesser AME ebenso oft berührt, und dass sie
ausserdem bei jedem späteren Umlaufe des Punctes B eine Schleife be-
schreibt, die sich immer mehr zusammenzieht', so dass jede Schleife die
darauf folgende einschliesst. Femer bemerkt man leicht die Eigenschaft,
dass jede Tangente BC der barycentrischen Cilrve durch den beweglichen
Endpunct B des jedesmaligen Bogens AB geht, welcher den Berührungs-
punct C der Tangente zum Schwerpunct hat.

Dieselbe Frage ist allgemein zu stellen, wo statt des Kreises irgend
eine Curve gegeben ist.

Auch kann die Frage umgekehrt werden, d. h. es kann zu einer ge-
geb^ien barycentrischen Curve die ihr zugehörige Curve gesucht werden.
Wenn z. B. die barycentrische Curve ein Kreis ist: welches ist dann die
zugehörige Curve? Oder wenn femer die Tangente BC zum Bogen AC
ein constantes Yerhältniss haben soll, etwa wie 2:3: welches ist alsdann
die gegebene Curve ADBE?

15. Es finden ähnliche Fragen statt, wie bei der vorigen Aufgabe (14),
wenn man den Schwerpunct des Segmentes (anstatt des Bogens) ADB be-
rücksichtigt; wobei nämlich ebenfalls der Punct A fest bleibt und der
andere B sich in der gegebenen Curve fortbewegt. — Ferner finden gleiche
Fragen in Rücksicht auf den Schwerpunct eines veränderlichen Sectors
AMB statt, wenn nämlich M irgend ein fester Pol (nicht nothwendig der
Mittelpunct der gegebenen Curve, welche beliebig ist), und wenn der eine
Schenkel MA des Sectors fest ist, dagegen der andere MB sich um den
Pol M dreht*). Uebrigens lässt sich die gegenwärtige Aufgabe auf die
vorige (14) zurückführen, oder sie fallt im Grunde ganz mit ihr zusammen.

Es darf wohl kaum erwähnt werden, dass ähnliche Fragen über kmmme
Flächen, so wie über Linien von doppelter Krümmung aufzustellen sind.

16. In der Elementargeometrie wird gelehrt, unter welchen Bedin-
gungen ein n-Eck in der Ebene bestimmt sei, welche und wie viele von
seinen Elementen, Seiten und Winkcli), gegeben sein müssen, damit die
übrigen dadurch bestimmt sind.

Es käme nun darauf an, zu untersuchen, unter welchen Bedingungen
ein schiefes n-Eck im Räume bestimmt sei, d. h., welche und wie viele
von seinen 3n Elementen oder Stücken (nämlich n Seiten, n Winkeln und
n Flächenwinkeln) gegeben sein müssen, damit alle fehlenden dadurch be-

*) Es ist leicht zu sehen, dass der bewegliche Schenkel MB des Sectors (oder im
ersten Falle die Sehne AB des Segments) von derjenigen Tangente, welche die bary-
centrische Gurre in dem Schwerpunct des jedesmaligen Sectors berührt, in einem con-
stanten Yerhältniss geschnitten wird, dass nämlich der dem festen Puncte M (oder ^1)
anliegende Abschnitt sich zum anderen verhält, wie 2:1.

32 Aufffaben und LehreäUe.

stimmt siod. — Wenn z. B. im Allgemeinen nur 6 Stücke fehlen dürfen
so würde folgen, daas ein schiefes n-Eck nur bis zam Sechsecke dnrcl
bloss zwei Arten von Elementen, z. B. bloss durch Seiten nnd Winkel
bestimmt ist, imd dass dagegen zur Bestimmung der folgenden schiefei
Vielecke, vom Siebenecke an, nothwendig dreierlei Elemente erforderlicl
sind. Durch nur zweierlei Elemente, etwa durch Seiten und Winkel, is
unter anderen i. B. das schiefe Viereck bestimmt, wenn die vier Seitei
und zwei an einer Seite liegende Winkel gegeben sind; das schiefe Fün£
eck, wenn alle 5 Seifen und 4 Winkel, und das schiefe Sechseck, wen:
alle Seiten und alle Winkel gegeben sind.

Das Wort „bestimmt" ist hier in der allgemeineren Bedeutung z
nehmen, dass es nämlich nicht unendlich viele, sondern nur ii^nd eine bc
stimmte Zahl von verschiedenen Vielecken mit den gegebenen Elemente
giebt. In den Fällen, wo mehr als ein Vieleck möglich ist, müsse
der Aufgabe, damit auf die Congruonz zweier, aus den nämlichen g-
gebenen Stücken gebildeten Vielecke zu schliessen sei, noch Nebenbedia
gungen hinzugefügt werden, ebenso wie bei einigen Fällen der Cougniea
ebener Vielecke.

Aufgaben und Lehrsätze.

Grelle' s Jouraal Band XV. S. 373—378.

Hierzu Taf. III Fig. 1 und 2.

St«lacr'« W«rlM. II.

Aufgaben und Lehrsätze.

1. Sind n beliebige Ebenen A, B, Cy D, . , , gegeben (z. B. die
Ebenen, in welchen die Seitenflächen irgend eines Polyeders liegen), und
l«gt man durch irgend einen festen Punct K eine willkürliche Ebene P,
nennt die Winkel, welche diese mit ihnen bildet, beziehlich a, ß, 7, 8, . . .
Qöd multiplicirt die Cosinus dieser Winkel beziehlich mit beliebigen ge-
gebenen Grössen a, i, c, rf, . . . , so wird die Summe dieser Producte
irgend einen bestimmten Werth S haben, so dass

acosa-f-6cosß-f-ccos7-hdc088-+— •• = S

ist Soll nun die Ebene P um den festen Punct K sich so bewegen, dass
(wenn auch die Winkel a, ß, 7, ... sich ändern) die Summe S constant
bleibt, so berührt sie stets irgend einen geraden Regel if (zweiten Grades),
dessen Axe Q fest ist, d. h. die unzähligen Kegel if, welche auf diese
Weise entstehen, wenn man die beschreibende Ebene in immer anderer
ursprünglicher Lage annimmt, wobei sich zugleich der Werth S ändert, haben
eine gemeinschaftliche Axe Q. Die Grenzen der Eegelschaar sind einer-
^its die Axe Q, wo der Erzeugungswinkel des Kegels gleich 0 ist, und
^ödererseits diejenige Ebene Ä, welche im Puncto K auf der Axe Q senk-
'^kt steht, und wo der Erzeugungswinkel gleich ^ir ist. In diesen Grenzen
^icht der Werth S sein Minimum und Maximum. (Die Ebene R ist
demnach einzig in ihrer Art, indem ihr allein ein bestimmter Werth S,
entspricht; andererseits entspricht allen Ebenen, welche durch die Axe Q
^^*ien, gemeinschaftlich ein eigenthümlicher Werth Sj, und diese zwei
"erthe sind also unter allen der kleinste und der grösste, oder die Grenzen
von s,)

Kimmt man statt K irgend einen anderen festen Punct K^ an, so sind
'^^licherweise die neuen Grenzen Q und R den vorigen parallel, d. i.

Q, IIQ und Ä. ||Ä.

2. Wenn in der Ebene irgend ein Netz von geradlinigen convexen
Vielecken gegeben ist^ dessen Grenze selbst ein convexes Vieleck ist, so

36 Aufgaben und Lehrsätze.

soll gezeigt werden, ob allemal ein analoge» Netz möglich sei, welches :
der Zahl, Gattung and Zusammenfugung der Vielecke mit jenem übereil
.stimmt, aber die Eigenschaft hat, dasa sich um jedes Vieleck inabesondei
ein Kreis beschreiben lässt.

3. Es seien AB (Taf. in Fig. 1) die grosse Axe, C, D die Brenn
puncte und M der Mlttelpunct einer Ellipse. Wird die Axe durch irgen
einen Punct X, der «wischen den Brennpuncten liegt, in zwei Äbschnitti
AX, BX gethoilt, und beschreibt man mit denselben beziehlich um dii
ßrennpuQcte C, D Kreise, so schneiden sich diese bekanntlich in zw»
Puncten a, b der Ellipse; und beschreibt man umgekehrt mit AX, El
beziehlich aus D, C Kreise, so schneiden sich auch diese m zwei Puncta
a, ß, die in der Ellipse liegen, und os sind sowohl a und o, als b und |
Endpuncte eines Durchmessers derselben; und zwar sind die Durchmesse
na, b^ einander gleich und bilden mit der Äxe AB gleiche Winkd
Olcicherwoiso entsprechen jedem anderen Puncte Y der Äxe, der zwischei
V und D liegt, in der Ellipse vier bestimmte Puncte a,, i,, a,, ßj, odo
zwei einander gleiche und gegen die A^te AB gleich geneigte Durch
mcsMOr a,a,, d,pj. Verlangt man nun zu .wissen, welche Lage zwei Punct
X, Y in der Axe haben müssen, damit die ihnen entsprechenden Dnrcb
mcHser einander gegenseitig zugeordnet sind, d. h. damit sowohl aa ont
II, a,, als &ß und &,ß, conjugirte Durchmesser der Ellipse sind, so win
man finden, dass ,sio nach einem bestimmten Gesetze von einaader ab
hängig sind, welches durch folgende Constructiou übersichtlich und klt
sich darstellt. Uober dem halben Abstände der Brennpuncte von ein
ander, z. ß. über MD, beschreibe man einen Halbkreis MED, nehme ii
demselben einen beliebigen Punct E, ziehe die Sehnen ME, DE und tr^
diese vom Mittclpuncte M aus in entgegengesetzter Richtung auf der Ali
ab, z. B.

ME=MX und DE=MY,

Aufgaben und Lehrsätze. 37

puncte Fy G der abgetragenen Strecken {EF=^ EG = MÄ) allemal in

demjemgen Durchmesser der Hyperbel, welcher dem Durchmesser ME zu-

g^rdnet ist. Oder: Bewegt sich ein gleichschenkliges Dreieck FEG,

dessen Schenkel FE^ GE der Grösse nach constant sind, so, das« seine

drei Seiten FE, FGy GE, oder deren Verlängerungen, stets beziehlich

durch drei feste Puncte C, M^ D einer Geraden gehen, von denen der

eine M, um welchen die Grundlinie FG sich dreht, in der Mitte zwischen

den 2wei anderen C, D liegt, so beschreibt seine Spitze E eine Hyperbel,

welche M zum Mittelpunct und (7, D zu Brennpuncten hat, deren halbe

Haaptaxe {MÄ) den constanten Schenkeln des Dreiecks gleich ist, und

von welcher endlich der Strahl ME stets der zu der Grundlinie MGF

conjogirte Durchmesser ist.

Wie lautet der analoge Satz für die Ellipse?

Aach bei den sphärischen Kegelschnitten findet ein analoger Satz
statt, der nur in Hinsicht der conjugirten Durchmesser {ME^ MGF) von
den Sitzen in der Ebene abweicht.

5. Zwei Seiten ac, bc eines beliebigen gegebenen Dreiecks acb be-
ziehlich durch zwei Puncte Xy y so zu theilen, dass

[ cuc: cy = (icibc

(wo dann immer auch

cx'.by = acibcy

öod also der untere Abschnitt der einen Seite sich zum oberen der an-
deren verhält, wie jene Seit« zu dieser), und dass zugleich die Gerade xy,
veJche die Theilungspuncte verbindet, ein Minimum ist. (Diese Aufgabe
^* geometrisch zu lösen.)

6. „Sind von zwei beliebigen geradlinigen ebenen Viel-

^^'©H, einem iV-Eck und einem iV,-Eck, die Grundlinien a, a,

^^^^t der Summe ihrer Umfange U-\-ü^ gegeben, so ist die

^''^QiHtte ihrer Flächeninhalte F-\-F^ dann am grössten, wenn

V jedes Vieleck einem Kreise eingeschrieben ist; wenn 2) die

"'^'^estimmten Seiten in jedem, für sich betrachtet, einander

glei^]^ sind, so dass also diese Seiten in jedem Vieleck von

^^'^^xn Kreise berührt werden können; und wenn endlich 3) diese

"^*4en, zum Theil eingeschriebenen Kreise einander gleich

8in<i^a PjjJ umgekehrt: „Sind die Grundlinien a, a, nebst der

^^^me der Inhalte F-^-F^ gegeben, so ist die Summe der Um-

'^'^ge U-\-U^ ein Minimum, wenn die Vielecke den nämlichen

"^^i genannten Bedingungen genügen."

Dieser allgemeine Satz findet natürlicherweise auch für den Fall statt,
^^ die beiden Vielecke von gleicher Gattung sind, d. h., wo die Seitenzahl
N gleich N, ist.

38 Aufgaben und Lehra&tie.

Wird insbesondere

N= iV, = 3
angenommeo , so entispricht der Satz derjenigen Aufgabe (4), welche u
im XIV. Bd. S. 89 von CrelWs Journal vorlegte"), von der aber bis jete
wie es scheint, noch keino befriedigende Lösung eingegangen ist.

Der vorstehende Satz hat unt«r anderen auch die zwei nachetehendt
Sätze zur Folge.

7. „Sind die geraden Grundlinien a, a, nebst der Summ
der Umfange ü-\-ü^ zweier beliobigen Figuren A, A, (deren B
grenzung nämlich, ausser Jenen Grundlinien, ganz beliebig, gerad-, krumc
oder gemischtlinig sein darf) gegeben, so ist die Summe ihr«
Flächeninhalte F+h\ dann am grössten, wenn beide Figure
Segmente gleicher Kreide sind." Und umgekehrt: „Sind die Grün«
linien a, n, nebst der Summe der Flächeninhalte gegeben, i
ist unter der nämlichen Bedingung die Summe der Umfang
beider Figuren ein Minimum. "

8. I. „Sind die Grundlinien «[, a„ a^, ... und die Sumn
der Umfange ü^+U^+ü^-\ — beliebig vieler ebenen geradUaig£
Vielecke A',, iV^, JVj, . .. gegeben, so ist die Summe ihrer Flächei

inhalte Fj-\-F^+F^-\ ein Maximum, wenn 1) jedes Vielet

einem Kreise eingeschrieben ist; wenn 2) die unbestimmte
Seiten eines jeden unter sich gleich sind, und somit (vermöge
von einem Kreise berührt werden; und wenn 3) alle diese zn
Theil eingeschriebenen Kreise einander gleich sind." Und nr
gekehrt: „Wenn die Grundlinien der Vielecke nebst der Sumn
ihrer Inhalte gegeben sind, so ist unter den nämlichen drei B
dingungen die Summe ihrer Umfange ein Miniraum,"

U. „Sind die geradlinigen Grundlinien a,, a,, a^, ... uc
die Summe der Umfange Ü,+U,-hU,-i — beliebiger Figuren A

. Aufjp^aben und Lehrsätze. 39

belohnt; und blieben sie auch in Rücksicht anderer Sätze vor der Hand
noch Eruchtlos, so bin ich doch der Meinung, dass es in den meisten
?yien gelingen werde, ein günstiges Resultat zu erhalten; damit wird
dum zugleich der Vortheil verbunden sein, dass das wahre Wesen der
Sitze mehr aufgeklärt, d. h. ihr Ursprung oder die nothwendige Bedin-
gung ihrer Existenz nachgewiesen wird, welches Alles bei der anderen
Methode weder gefordert, noch in derselben Einfachheit erlangt werden
kann. Freilich wird die letztere Methode jeden aufgestellten^ Satz sofort
; . «ich leicht beweisen, sobald man nämlich sieht, worauf es eigentlich
ankommt, welche Grössen in Rechnung zu bringen sind u. s. w. Aber
dieses ist unstreitig weniger wichtig als jenes, nämlich den Satz aus
seinen primitiven Gründen auf die einfachste Art herzuleiten und dadurch
Beinen natürlichen Zusammenhang mit anderen Sätzen, oder die Abhängig-
keit der Sätze von einander nachzuweisen. Zudem giebt es viele Sätze,
die ausschliesslich nur durch geometrische Betrachtungen und als Folgen
einer stufenweisen Entwickelung sich mit gehöriger Eleganz beweisen
lassen. So z. B. ergab es sich, dass die vorstehenden Sätze (6, 7 und 8)
^ Gnmde nur auf dem einfachen Elementarsatze beruhen: „Dass unter
^®fl Sehnen eines Kreises der Durchmesser die grösste sei**,
'lewohl sie beim ersten Anblick viel schwieriger zu sein scheinen, und
'^«onders, als Aufgaben gestellt, noch eher zu verwickelten Rechnungen
^ass geben könnten, aus denen die einfache Bedingung, welche die
^tze enthalten, schwer zu erkenii^n sein durfte. Jetzt mögen sie leichter
2a beweisen sein.

Da meine Untersuchungen über die oben genannten Gegenstände sich
itt sehr ausdehnten und mich theil weise auf Hindemisse führten, deren
Ceberwindung mir noch nicht gelungen ist, so habe ich mich entschlossen,
vorerst nur einen Abschnitt, welcher insbesondere das „Isoperimetrische"
(in der Ebene, auf der Kugelfläche und im Räume) enthalten wird, aus-
»aarbeiten und demnächst in einer kleinen Schrift bekannt zu machen.
K<) genannten Sätze sind dem Inhalte dieser Schrift entnommen, wo sie
*af die angedeutete Art bewiesen werden. Gleicherweise werden in der-
l selben durch ebenso elementare, als der Natur des Gegenstandes ange-
f niessene, geometrische Betrachtungen mehrere andere interessante Sätze
r ^wiesen werden, welche jeder anderen Betrachtungsweise, wie es wenig-
t stens nach den bisherigen Leistungen den Anschein hat, weniger leicht
^iiglich sein möchten. Dahin rechne ich, — ausser den obigen Sätzen
^ denen, welche den Aufgaben im XIV. Bande von Grelles Journal
(S. 88, Aufg. 2 a, c, e; 3 a, c, e; 6, 7)*) entsprechen — namentlich die
Sitze über regelmässige sphärische Figuren, indem bis jetzt, so viel mir

•) Cf. Band U. S. 27—29 dieser Ausgabe.

40 Aufgaben und Lehrsätze.

beksont, noch auf keine Weise die Frage erledigt ist, ob bei diesen Fi-
guren, wenn sie gleichen Umfang haben, diejenige, «eiche mehr Seiten
hat, auch grösseren Inhalt habe, wie solches bei den regolmüssigeii Figuren
in der Ebene der Fall ist; ja nicht oininal für das sphärische Dreieck und
Viereck ist diese Frage entschieden. In der genannten Schrift wird die
Frage aUgemein, und ich darf wohl sagen, auf die einfachste Art beant-
wortet, was ohne Zweifel auch jeder Unparteiische zugestehen wird.
Uobrigens sind die in Rede stehenden sphärischen Sätze, nebst den neuen
Beweisen der analogen Sätze in der Ebene, der Gegenstand einer am
7. Dec. V. J. in der Rönigl. Akademie der Wissenschaften zu Berlin ge-
haltenen Vorlesung.

Aufgaben und Lehrsätze.

Crelle's Journal Band XVI. S. 86 — 94.

Aufgaben und Lehrsätze.

Die nachstehenden Sätze stehen zum Theil, wie man bemerken wird,

den drei letzten, die in der vorhergehenden Abhandlung von mir ge-

en worden, in eigenthümlicher Beziehung. Was in der dortigen An-

rkung gesagt worden, gilt daher zugleich auch für einige der hier fol-

den Sätze.

1. Wenn ein Winkel und der Umfang eines ebenen oder sphärischen
2cks gegeben sind, so ist sein Inhalt ein Maximum, wenn a) alle übrigen
nkel einander gleich und wenn es ß) einem Kreise umschrieben ist.

2. Ist von zwei beliebigen Vielecken, einem w-Eck und einem n,-Eck,
i jedem ein Winkel a, a, , und ist die Summe ihrer Umfange ü-\-ü^
leben, so ist die Summe ihrer Flächeninhalte F-{-F^ dann ein Mini-
im Maximorum, wenn jedes Vieleck, für sich betrachtet, den Bedin-
igen (ot, ß) des vorigen Satzes*(l) genügt, und wenn die ihnen einge-
riebenen Kreise einander gleich sind. (Das heisst: Wird die gegebene
txjne U-{- Z7, auf alle möglichen Arten unter die Umfange Uy ü^ vertheilt,
ist für jeden Fall insbesondere die Summe der Flächeninhalte F-\-F^

grössten, wenn jedes Vieleck den Bedingungen des Satzes (1) genügt;
^ nun ist unter allen diesen grössten Summen diejenige die kleinste
^oimum Maximorum), welche stattfindet, wenn die den Vielecken ein-
^^hriebenen Kreise einander gleich sind.)

Dieser Satz gilt gleicherweise für drei, vier, fünf, . . . Vielecke.

3. Sind von einem ebenen oder sphärischen 7i-Eck die Summe von
^ 1 Seiten und die dazwischen liegenden n — 2 Winkel (einzeln) gegeben,
*2st sein Inhalt dann am grössten, wenn die übrigen zwei Winkel ein-
Lor gleich, und wenn jene n — 1 Seiten von einem Kreise berührt wer-

> dessen Mittelpunct in der n^° Seite liegt.

4. I. Wenn von einem ebenen oder sphärischen Vierecke zwei
^kel, eine Seite und die Summe der drei übrigen Seiten gegeben sind, so
^l dabei vier Fälle zu unterscheiden, nämlich 1) die gegebenen Winkel
?en an der gegebenen Seite, oder 2) keiner liegt an derselben, oder

sie stehen einander gegenüber, oder endlich 4) sie liegen beide an einer
-Ue, die der gegebenen anliegt. Es ist die Frage, unter welcher Bedin-

Aufgaben und Lehri^tze.

(TUDR der Inhalt dos Vierecks in jedem der vier Fälle, für sich botraclitet,
ein Maximum oder Minimum sei. Für den on<lcn Füll (1) findet die» z. B.
slatt, wenn die nicht gegebenen zwei Winkel einander gleich sind; und
zwar findet dabei ein Maximum oder Minimum »tatt, je nachdem die
Kumme der gegebenen zwei Winkel grösser oder kleiner als n (2 Rechte);
ist Hte gerade gleich 7t, so ist diu Aufgabe unbestimmt, d. h. alle Vierecke
haben gleichen Inhalt.

II. Die analoge Aufgabe, wenn oin Winkel, zwei Sciton und die
Summe der zwei übrigen Seiten gegeben sind.

5. Ilcissen die Seiten eines ebenen oder sphärischen Dreiecks a, b, c,
dioilmen gegenüberstehenden Winkel beziehlich a, ß, f, und beeeichoet
man den Inhalt dos Dreiecks durch A, den Umfaiig durch u, die Summe
der Seiten a, b durch s und die Summe der Winkel «, ß durch u, so fin-
alen für diese verschiedenen GrösHon, in Hinsicht auf Maximum und Mini-
mum, unter anderen folgende Sätze statt (von denen aber einige nur für
(las sphärische Dreieck gelten):

Gügulieii.

SUximii,]].

MiuLumiii.

BodiugiHig.

U, 0

A, r

« = «.

■2.

o = J = c.

A, 1

", t

a = S, od» . = p.

a = i=e.

., J

•

K =. «+p.

'1.

«. ?

r+. - a+b.

a = h lind Y = "+P.

B.
9.
10.

a = p und c-i-n = a-i-b.

A, c

0, «, «

a = b.

•^ T

; A, ,

. = P.

11.

A, .

1. «, «

« = «.

Aufgaben und Lehrsatze. 45

„Wenn ein Winkel (a) eines ebenen oder sphärischen Drei-
ecks und die Summe s zweier Seiten (a, i), wovon die eine dem
Winkel gegenüberliegt, gegeben sind, so ist sein Flächeninhalt
(ZV) dann am grössten, wenn der Winkel (7), welcher der dritten
Seite gegenübersteht, doppelt so gross ist, als der andere nicht
gegebene Winkel (ß)."

6. I. „Die unbegrenzten Schenkel eines gegebenen Win-
kels mit einer beliebigen krummen Linie so zu verbinden, dass
die dadurch entstehende Figur bei gegebenem Umfange den
grössten Inhalt, oder bei gegebenem Inhalte den kleinsten Um-
fang habe. Welche Form muss die genannte Linie haben, und
welche Lage gegen die Schenkel des Winkels?"

n. Die analoge sphärische Aufgabe.

IIL Die analoge Aufgabe im Räume, wenn z. B. (statt jenes Winkels)
ein gerader Kegel gegeben ist, von welchem ein Stück (dem Scheitel
anliegend) abgeschnitten werden soll, das bei gegebener Oberfläche den
grössten Körperinhalt hat.

7. Unter allen sphärischen Dreiecken, welche irgend einem gegebenen
sphärischen Dreiecke eingeschrieben sind, hat dasjenige den kleinsten Um-
fang, dessen Ecken in den Fusspuncten der (sphärischen) Perpendikel lie-
gen, welche aus den Spitzen des gegebenen Dreiecks auf die gegenüber-
stehenden Seiten herabgelassen werden. (Beim ebenen Dreieck findet be-
kanntlich ein gleichlautender Satz statt.)

8. Unter allen sphärischen Dreiecken, welche irgend einem gegebenen
sphärischen Dreiecke umschrieben sind, hat dasjenige den grössten Inhalt,
dessen Seiten- auf die Quadranten fallen, welche zwischen den Seiten des
gegebenen Dreiecks und den ihnen gegenüberliegenden Ecken sich ziehen
lassen.

9. Unter allen sphärischen Vierecken, welche einem gegebenen sphä-
rischen Vierecke um- oder eingeschrieben sind, die besondere Eigenschaft
desjenigen anzugeben, dessen Inhalt ein Maximum, oder dessen Umfang
ein Minimum ist.

10. Unter allen dreiseitigen Pyramiden, welche einer gegebenen drei-
seitigen Pyramide eingeschrieben sind, diejenige zu bestimmen, deren
Oberfläche ein Minimum ist. (Desgleichen bei anderen Polyedern.)

11. I. Unter allen Kreissectoren (verschiedener Kreise aber) von
gleichem Umfange, denjenigen zu finden, der so beschaffen ist, dass der
ihm eingeschriebene Kreis (der die beiden Radien und den Bogen berührt)
ein Maximum, oder der ihm umschriebene Kreis ein Minimum ist

11. Desgleichen die analoge sphärische Aufgabe.

12. Unter allen Kugelsectoren (d. i. ein gerader Kegel, dessen Grund-
fläche ein Theil der aus seinem Scheitel beschriebenen Kugelfläche ist)

46 An&nbpD Dnd Lehrsäti«.

von gleicher Oberfläche denjenigen anzogebeo. in welchen sich die grösste.
oder um welchen »ich die kleinste Kugel beschreiben läsat.

1^. I. Unter allen sphärischen Kreissectoren auf der nämlichen Kugei-
fläcbe und von gegebenem Umfange hat deijenige den grössten Flächen-
inhalt, dessen Centriwinkel (den die twei sphärischen Radien am Pol des

Kreises bilden) gleich — Rechte, ond zwar ist dieser grösste Inhalt dem

Quadrat der Sehne gleich, welche einem der beiden sphärischen Radien,
die den Sectw bilden, zugehört (d. i. diejenige Gerade, welche die Endpuncte
eines der genannten Radien innerhalb der Kugel mit einander verbindet).
n. Wenn der Umfang de^ Sectors gegeben ist, die Kugel aber nicht,
so soll diese so bestimmt werden, dass der Inhalt des Sectors ein Maxi-
mum Maximomm wird.

14. 1. Unter den verschiedenen Geraden, welche die Fläche eines
gegebenen Dreiecks in xwei gleiche Theile Iheilen, die kleinste oder
grösste anzugeben. Desgleichen, wenn sich die Theile verhalten wie n:m.

II. Desgleichen, wenn statt des Dreiecks ii^nd ein Vieleck, oder
irgend eine ebene geschlossene Curve gegeben bt

LIJ. Desgleichen bei den Figuren auf der Eugelftache.

15. I. Unter allen Ebenen, welche den Eörperraum einer gegebenen
dreiseitigen PjTamide in xwei gleiche Theile theilen (oder im VerhiUtnist
n:»i) diejenige anzugeben, bei welcher die Durchschnittsflgur den klein-
sten oder grössten Inhalt oder Umfang hat.

n. Desgleichen, wenn statt der genannten Pj7«mide irgend ein an-
derer Körper, von ebenen oder krummen Flächen begrenst, gegeben ist

16. I. Wird eine unbegrenzte prismatische (oder cylindrische) S&ul^
von beliebigen Ebenen, die nicht mit den Kanten derselben parallel sind.-^
geschnitten, so liegen die Schwerpuncte der Flächen der Durchschmtta-^ —
Gguren alle in einer bestimmten Gerades' ..J, welche den Kanten der Säoli^

Aufgaben and Lehrsätze. 47

Product aus der einen (oder anderen) Grundfläche B oder C in
das aas dem Schwerpuncte (c oder V) der anderen auf sie ge-
fällte Perpendikel." (Daher folgt auch, dass der Inhalt jeder Grund-
fläche oder jeder ebenen Durchschnitts-Figur um so kleiner ist, je mehr
der Neigungswinkel, den sie mit der barycentrischen Axe bildet, sich dem
Rechten nähert; dass also jener ein Minimum wird, wenn letzterer diese
Grenze erreicht.)

rV. „Sind von einem beliebigen Prisma (oder Cylinder) die
eine Grundfläche (£), die Lage der Seitenflächen, oder die Rich-
tung der Längen-Kanten und der Körperinhalt gegeben, so ist
die Grösse und Lage der anderen Grundfläche (C) zwar unbe-
stimmt, aber in allen ihren unzähligen verschiedenen Lagen
geht sie stets durch einen und denselben bestimmten Punct (c),
welcher zugleich ihr Schwerpunct ist und in der barycentrischen
Axe des. Prismas liegt.^

In den besseren Lehrbüchern der Stereometrie wird ein Satz bewiesen,
welcher der einfachste Fall des vorstehenden Satzes (EU) ist; nur wird er
unter einem anderen Gesichtspuncte aufgefasst, nämlich es wird gezeigt:
,das8 der Inhalt des schief abgeschnittenen dreiseitigen Pris-
mas gleich sei dem Producte aus der einen Grundfläche in ein
Drittheil der Summe der drei Perpendikel, welche aus den
Ecken der anderen Grundfläche auf jene herabgelassen werden.^
Dorch den obigen Satz wird der eigentliche Grund dieses Ausdrucks auf-
geklart, nämlich er ist durch die besondere Eigenschaft des Dreiecks be-
dingt, dass der Schwerpunct seiner Fläche mit dem Schwer-
punct seiner drei Eckpuncte zusammenfällt, denn diese Eigenschaft
hat Zur Folge, dass die Summe der vorgenannten drei Perpendikel gerade
dreimal so gross ist, als das aus dem Schwerpuncte der zweiten Grund-
lache auf die erste gefällte Perpendikel.

17. L Wenn der Körperwinkel an der Spitze einer beliebigen Pyra-
mide (oder eines Kegels) nebst dem Körperinhalte derselben gegeben ist,
so kann zwar ihre Grundfläche der Grösse und Lage nach sich unendlich-
bch verändern, aber sie ist dabei dem Gesetz unterworfen: „dass sie in
allen ihren verschiedenen Lagen eine bestimmte krumme Fläche
berührt, und dass der Berührungspunct zugleich ihr Schwer-
punct ist." Der Körperwinkel (oder Kegel) ist ein „Asymptoten-
Körper winkel'^ der krummen Fläche.

U. Es sollen die Gleichung und die Eigenschaften der genannten
krummen Fläche gefunden werden*).

^ Ist der gegebene Körperwinkel insbesondere dreikantig, und werden seine Kanten
n Coordinaten-Axen angenommen, so hat die Gleichung der in Frage stehenden Fläche

48 Aufgaben und Lehrsätze.

Ana der angegebenen Eigenschaft (I) folgt weiter:

m. „Dass unter allen Pyramidea (oder Kegeln) von glei-
chem Inhalt und gomeioBchaftlichem Eörperwinkel an der Spitze ,
diejenige die kleinste Grundfläche hat, bei welcher das Per-
pendikel aus der Spitze auf die Grundfläche den Schwerpnnct
der letzteren trifft."

IV. „Und dasti unter allen Pyramiden (oder Kegeln) T»xt
gleich grossen Grundflächen und gemeiDSchaftlichem Körper-
winkel an der Spitze diejenige den grössten Eörperinhalt hat^,
welche die nämliche Eigenschaft (III) besitzt."

18. I. Wenn ein beliebiger Körper der Form und Grösse nach ge-
geben ist: von welcher krummen Fläche werden dann die gesammten
Ebenen, die von demselben gleich grosse Segmente abschneiden, berührt?
und in welchem Puncte wird jede Ebene, als Grundfläche des Segments
betrachtet, von derselben berührt? (Ist z. B. die Oberfläche des gegebenen
Körpers vom zweiten Grade, so ist die gesachte Fläche ihr ähnlich, mit
ihr conceutrisch, und die Grundfläche des Segments wird in ihrem Schwer-
pUDcte berührt.)

II. Dieselben Fragen, wenn nicht das Segment, sondern die Gnrnd-
fläche constanten Inhalt haben soll.

19. Es giebt drei Polyeder, wovon jedes entweder fünf Seitenflächen
oder fünf Ecken hat, nämlich 1) die vierseitige Pyramide (hat fünf Ecken
und fünf Flächen), 2) die abgestumpfte dreiseitige Pyramide (oder das
Prisma) und 3) die sechsflächige Doppelpyramide (diese ist von sechs
Dreiecken begrenzt und hat fünf Ecken). Angenommen diese drei Körper
haben gleich grosse Oberflächen, und jeder sei so coustmirt, dass sein
Inhalt ein Maximum ist, so wird, weim man die Inhalte nach der Reihe
durch a, b, c bezeichnet,

a:b^b:c, oder b* = ac, wobei (;>-ft>a;
und umgekehrt: haben die Körper gleichen Inhalt, und ist jeder so be-
schaffen, dass seine Oberfläche ein Minimum ist, so hat man, wenn di&so
Obcrtlacheii dmch a. S. i bezeichnet wcrJi'ii.

Aufj^fabcn und Lehrsätze. 49

20. Welche Relationen finden nach Analogie des vorigen Satzes (19)
bei den verschiedenen Körpern statt, welche sechs Ecken oder sechs
Flächen haben? — Oder wenn die 7 verschiedenen sechsflächigen Körper
gleich grosse Oberflächen haben, und wenn jeder so beschaffen ist, dass
er den grössten Inhalt hat: in welcher Ordnung folgen dann diese Maxima
ihrer Grösse nach auf einander? welches ist z. B. das kleinste? Und
welches Verhältniss haben unter diesen Umständen die Inhalte der ein-
zelnen Seitenflächen jedes Körpers, für sich betrachtet, zu einander?

21. „Wenn die Netzform eines Polyeders (d. h. die Anzahl,
Gattung und Aufeinanderfolge seiner Seitenflächen) so wie seine Ober-
fläche (Summe aller Seitenflächen) gegeben ist: unter welchen Be-
dingungen ist dann sein Körperinhalt ein Maximum?^

22. „Wenn die Grundfläche einer vierseitigen Pyramide
der Form und Grösse nach, und wenn die Summe der Seiten-
flächen gegeben ist, so soll die Bedingung gefunden werden,
öater welcher der Inhalt der Pyramide ein Maximum wird."

Dieselbe Aufgabe in Rücksicht auf Pyramiden von beliebig vielen
Seitenflächen.

Die Lösung dieser Aufgabe ist meines Wissens nur für den besonderen
Fall bekannt, wo die Grundfläche der Pyramide einem Kreise umschrieben
ist. Für den gegenwärtigen allgemeinen Fall ist die Lösung weniger leicht
^d einfach.

23. Wenn die Grundfläche einer beliebigen Pyramide der Form und
ßj^sse nach nebst dena Körperinhalte derselben gegeben ist, so soll die
^dingung gefunden werden, unter welcher entweder 1) der Inhalt des
^örperwinkels an der Spitze (d. i. die Summe seiner Flächenwinkel), oder
2) die Summe der Kantenwinkel an der Spitze, oder 3) die Summe der
^Örperwinkel an der Grundfläche ein Maximum wird.

24. Wenn von einer beliebigen Pyramide der Körperwinkel an der
Spitze (der Form und Grösse nach) nebst dem Körperinhalte gegeben ist,
^ soll die Bedingung angegeben werden, unter welcher entweder 1) der
^ixifang der Grundfläche, oder 2) die Summe der Seitenflächen, oder
^J die ganze Oberfläche, oder 4) die Summe der Kanten, etc. ein Mini-
^Om wird.

25. Wenn die Grundfläche einer beliebigen Pyramide (oder eines
^^gels) der Form und Art nach (d. h. sie ist einer gegebenen Figur ähn-
"Ch) und wenn die Oberfläche derselben ffcffeben ist: unter welchen Be-
^*^iigimgen ist dann ihr Körperinhalt ein Maximum?

Wenn insbesondere die Grundfläche ein Kreis, oder ein dem Kreise
^geschriebenes Vieleck ist, so ist bekanntlich der Inhalt der Pyramide
^k Maximum, wenn die Summe der Seitenflächen dreimal so gross als die
Gmndfläche ist.

• ttlner'f Werke. II. 4

50 Aufgaben und Lchrsülzc.

26. Wenn die Grundfläche einer Pyramide der Form und Grosse
nach, und wenn die Summe der an der Spitze Hegenden Kanten gegeben
ist, so ist ihr Inhalt dann ein MaximntD, wenn jede durch die Spitze der
GnindHächc parallel gezogene Gerade mit jenen Kanten solche Winkel
o, ß, •):, . , . bildet, ffir welche stets die Gleichung

cosaH-cosfl+cosy+--- ^ 0
Stattfindet.

27. „Wenn die Grundfläche einer abgestumpften dreisei-
tigen Pyramide der Form und Grösse nach, und wenn die Summe
der vier übrigen Flächen gegeben ist: unter welcher Bedingung
ist dann ihr Inhalt ein Maximum?"

Dieselbe Aufgabe fiir andere Pyramiden, oder für den abgestumpften
Kegel, dessen gegebene Grundfläche ein Kreis ist.

28. „Besteht die Oberfläche eines Körpers aus zwei Thcilcn:
aus einer der Form und Grösse nach gegebenen ebenen Figur A
(als Grundfläche angesehen) und aus einer nur der Grösse nach
gegebenen Flüche B, so soll man die Form der letzteren für den
Fall finden, wo der Inhalt des Körpers ein Maximum wird."

Dieselbe Aufgabe für irgend einen besonderen Fall, z. B. wenn die
gegebene Grundfläche A ein Dreieck, Viereck, etc. oder ein regelmässiges
Vieleck, oder ein Kreissegment, oder eine Ellipse bt. (Ist A ein Kreis,
so ist B ein Segment der KugelÜäche.)

Oder dieselbe Aufgabe allgemeiner, wo A eine beliebige (nicht ebene)
gegebene Fläche, und wo ihre Grenze, die sie mit B gemein bat, irgend
ein (gegebenes) schiefes Vieleck, oder ii^cnd eine Curve von doppelter
Krümmung ist.

29. Wenn die Grundlinie eines Dreiecks, so wie ihre Lage gegen
eine in derselben Ebene liegende Gerade A, nebst der Summe der Schenkel

Maximum und Minimum des Bogens einer
beliebigen Curve im Yerhältniss zur zuge-
hörigen Abscisse oder Ordinate.

Crelle's Journal Band XVII. S.83— 91.

(Auszug aus einer am 23. Januar 1837 in der Akademie der Wissenschaften zu

Berlin gehaltenen Vorlesung.)

Hierzu Taf. IH und IV Fig. 3 — 6.

Maximum und Minimum des Bogens einer
beliebigen Curve im Verhältniss zur zuge-
hörigen Abscisse oder Ordinate.

1. Die nachstehenden Resultate gründen sich auf den folgenden

Fundamentalsatz.
„Wenn die Ordinate y in irgend einem Puncte C einer be-
j 'iebigen algebraischen oder transcendenten Curve jBGCff(Taf. III
^h' 3) auf der zugehörigen Tangente ECF nicht normal steht,
sondern auf der concaven Seite der Curve einerseits einen
stumpfen Winkel (jjt^) gleich a, und andererseits einen spitzen
'Kinkel (yf^) gleich ß mit derselben bildet, so schneidet die im
stumpfen Winkel zunächst folgende Ordinate y^ von der Curve
^lö kleineres Element CG gleich i^ ab als von der Tangente CE
gleich ^,, dagegen ist bei der im spitzen Winkel zunächst fol-
genden Ordinate y, das Curven-Element CH gleich 6, grösser
*'* das der Tangente CF gleich t^^ also ist

b,<:t, und ij,>^2."*)
Die Richtigkeit des einen Theiles dieses Satzes, nämlich dass der
^<^8^n C!ff im spitzen Winkel ß grösser ist als die Tangente CF, oder h^>t^^
"^gt klar vor Augen. Denn zieht man die Sehne CH, so ist sie, weil
*i gleich a ein stumpfer Winkel ist, die grösste Seite im Dreieck CEF,
also CII>CF, und da offenbar

Bogen Jj > Sehne Cfl,
'^ ist folglich um so mehr

Aj > CF oder b.^ > t^.

*) Man vergleiche unter anderen die kleine Schrift von Grelle „ Ueber die Anwendung
**' Ahnung mit veränderlichen Grössen auf Geometrie und Mechanik, Berlin, bei Maurer
^^16", wo ein Satz, der mit dem gegenwärtigen nahe übereinkommt, ausführlich erörtert
'in«! begründet wird.

54 Huimum und Uinimum von Curven-Bogea.

Wafl den andoreo Theil des Satzes betrifft, so ist zunächst zu he-
merken, dasa, wenn die Ciirvc in der Nähe des Punctes C nach G hin
keinen singulären Ponct hat, dann die Tai^nte von C h\s G ihre Ricb-
tang in gleichem Sinne und zwar stetig ändert, so dass der auiSuglich
stumpfe Winkel a, welchen die Tangente CE mit der Ordinate y bildet'
stetig abnimmt; da aber diese Abnahme nur allmälig geschieht, so mos»
es nothwendig immer nahe bei C solche Functe Q geben, wo die zuge-
hörige Tangente GL und Ordinate y^ nach derselben Seite einen Wüibl^
Y euischliessen, welcher kleiner als ce and grösser (oder nicht kleiner) ila
ß ist; dann aber ist in dem Dreiecke GKE Winkol

1, > p„

weil 1, gloicb f und Pj gleich ß, daher weiter Seite

EK>GK,
und da zufolge des Archi7ned\äc\iza Grundsatzes

GK'\-GK> 6„
so ist folglich um so mehr

CK^KE>b^,
das ist

(, > *i,
was im Satze behauptet wird.

2. Der vorstehende Satz verliert unter anderen namentlich in folge'*'
den drei Fällen seine Gültigkeit: 1) wenn y die Normale im Punct« ^
ist; 2) wenn C ein Wendungspunct, oder 3) ein Rückkehrpunct de^
Curvo ist, oder einem solchen Puncte unendlich nahe li^.

3. Durch Hülfe des obigen Satzes (1) ist die folgende Aufgabe leicb^
zu lösen:

„Die besondere Eigenschaft desjenigen Punctes C einer b^'

Maximum und Minimum von Curven-Bogen. 55

i?ogeDS hin, also otwa

CD = BC=s

2icht, dann der Endpunct D der Tangente gerade in die Ordinalen- Axe
fallt, so wird der Punct C im Allgemeinen der Aufgabe genügen.
?nn unter diesen Umständen hat man, vermöge der Parallelität der Ordi-
ten y, y,, y, und ihrer Axe Y

xiDC = x^: DEy

X i 8 • X. • o r. •

d ist nun z. B. der Winkel (yt^), das ist yCDy spitz und y^ nahe an y,
Bvo dann ^i<A, (1), so hat man

xis^Cx^: 8 — Aj,
oder

(1) ^:8<::^j:Sj,

venn nämlich der Bogen BG gleich s — b^ gleich Sj gesetzt wird.
Ebenso hat man

x:DC = x^: DF,

oder

X \ 8 -—— U/o I ö"" I" &a,

und daher, da f, > A^ (l)?

a;:8<:.r2: 5-+-A,,
oder

(If) ^ : 5 < 0^2 : «2,

wo «3 den Bogen ßfi bezeichnet.

Denmach ist in der That unter den vorausgesetzten Umständen die
Abscisse x des Punctes C im Verhältniss zum zugehörigen Bogen s (gleich BC)
kleiner als zunächst vor oder nach diesem Puncto, nämlich kleiner als
j-, : s, (I) und auch kleiner als x^ : s^ (II), folglich ist x:8 ein Minimum
(oder s:x ein Maximum). Das charakteristische Merkmal dieses Mini-
mums besteht darin, dass das Ende des Bogens s, in Rücksicht der beiden
Winkel (y^,), (y^,)^ welche die Ordinate auf der concaven Seite der Curve
mit der Tangente bildet, in demjenigen Winkel (yt^) liegt, welcher spitz
ist. Findet nämlich das Umgekehrte statt, d. h. ist der Winkel, in welchem
das Ende des Bogens s liegt, stumpf, wie etwa bei dem Puncto C,, wo
gleichfalls die Tangente C\D^ gleich dem Bogen BC^ gleich s, und der
Winkel (yt^) stumpf sein soll, so folgt auf dieselbe Weise, wie vorhin,
dass jetzt, wenn die Abscisse für einen Augenblick durch z bezeichnet
wird,

und

'iiM ^> ta -iüüeai TaHä -iiä Vec^iähaL» >!» At^öidie mm zo^ehorigm
R-Jttm, dkt üt r:4. eä M&xinsBi />ier EanKki^&n «:; cm Utoimom) ist

bau nnKf am ilmtüfwn UstäSäikies •& 'IiidöttSe y im Vnliiltiiisi
nun zagfhßngta Baten * «ä Umtntrrfi .>^ Huiaiim «ird. ist einlendt-
:e9d Tiai z«ar durch den T^'c:l^t«befiden Beveü «latifiA daizethan, wofem
nLin DämEch du Nuneo der C>>;rüna:en-Ax£n X. F TcnuediL

4. Äuä der Torstebak'ies Beoadtnnu ^) scUieA mao zonädiBt
fobende aDzemeiDe Sätze:

&. .Wird ire^nd *iii* Carre BO'.C.... anf beliebige Coordi-
naten-Ax«D X, T bei-:-z«n. osd b^irachi^t man ein«n rerioder-
lichen B42«n fCcIeicb« d«rs«ib<fa. d«r tod ir2«nd rinem festei
Panrte B aDfinet. ;•> Ul di^^er B-:-z«d im Verhältniäs ta der
Abdcis^e ^ (od«r Ordinate «^ *«ine< bevezlichea Endpaoctes C
oater anderen im Allzem^inen eis Maximcm oder Minimom,
wenn die Tangente in dem Utiteren Paocte C. nach der Seite
des Boeens hin nnd bi^ an die Axe I* {^i'der X) genommen,
gerade dem lagehÄFi^en Bozen zleich Hl: and zvar findet ein
Maximum oder Minimum »tatt. je nachdem der Wiokel, wel-
chen die Ordinate ,v (oder Ab1^ci<?e j-) in dem genannten End-
pancte mit der Tangente (nach derselben Seite hin) bildet,
beziehlich spitx oder »tnmpf ist.* Oder mit aoderai Worten und
anschaolieber:

b. .Wird die gegebene Carve von dem Pnncte B an, von
velchem der Bogen anfingt, abgewickelt, so entspricht jedem
Pancte D, i>,, i),. ... (oder J, d^. </., ...)- i" »elchem die Evol-
vente BDDj die Axe F (oder X} schneidet. anT der gegebenen
Curve ein solcher Panct C 0. t\, ... (oder c, <-,. r.. ,,,), dessen
Abscisse (oder Ordinale) im Yerhaltniss inm ingehörigenBogeik
ein Maximum oder Minimum ist. Ist die gegebene Corve ins—

Maximum und Minimum von Curven-Bogen. 57

Eigenschaften heben aber einander auf, so dass dem vereinigten
Puncte (CCj) keine von beiden zukommen kann, vielmehr be-
sitzt er die Eigenschaft, dass die zugehörige Ordinate y zu-
gleich die Normale ist. Wenn dagegen die gegebene Curve ßCCj
die Axe Y (oder X) berührt, so ist der Berührungspunct zu-
gleich einer der genannten Puncte C, C^, ... (oder c, Cj, . . .),
und zwar ein solcher, für welchen x:b ein Minimum wird, und
im Falle die gegebene Curve endlich und geschlossen ist (b),
fallen unendlich viele solche Puncte mit jenem Berührungs-
puncte zusammen.^

Sieht man die Curve BDD^... als gegeben an, so folgt durch Um-
kehrung:

d. „Wird eine beliebige Curve J5Z)2),... auf irgend ein Coor-
dinaten-System YX bezogen, so sind diejenigen Puncte in ihr
(Z), Dj, Dj, . . . oder d, d„ d^, . . .), deren zugehöriger Krümmungs-
halbmesser (DC, -DjCj, -DjC,, . . .) im Verhältniss zu der Ab-
äcisse X oder Ordinate y des Krümmungsmittelpunctes (C^ 6j,
C„ ... oder Cy Cj, c„ . . .) ein Maximum oder Minimum sind, un-
mittelbar gegeben, nämlich sie sind die Puncte, in welchen die
Curve beziehlich von der Ordinaten-Axe (F) oder Abscissen-
Axe (X) geschnitten wird."

5. Aus den vorstehenden Sätzen (4) lassen sich nun weiter unter
anderen nachstehende besondere Sätze folgern:

Wird angenommen, die Coordinaten-Axen Y^ X seien zu einander
rechtwinklig, und irgend eine endliche, geschlossene, überall convexe
Curve A^CA (Taf. IV Fig. 5) sei in Bezug auf die Axc Y symmetrisch
und werde von ihr in den Puncten A, B geschnitten, so dass also jede
Sehne 66, CjG^, . . ., welche der Axe X parallel ist, von der Axe Y ge-
häUtet wird, und dass die Tangenten in Ay B der Axe X parallel sind,
so wird, wenn man den Bogen s von A anfangen lässt, der Punct C in
dem Falle, wo die Tangente CD dem Bogen -46C gleich ist, der erste
sein, dessen Abscisse CE gleich x im Verhältniss zum zugehörigen Bogen
A(^C gleich «, ein Maximum wird (4). Dann ist aber auch zugleich ver-
möge der Symmetrie die Abscisse (iE im Verhältniss zum Bogen -dOß
ein Maximum, und folglich ist sofort die Sehne OE im Verhältniss zur
Summe beider Bogen

wo u den Umfang der Curve bezeichnet, ein Maximum. Gleicherweise
folgt, dass, wenn bei der Sehne (7^6, die Tangenten

Cj A+6, A = Bog. A^iCAC.+AOiAQ., = 2u-hC,A(i, = s,,

dann das Verhältniss C^ß, : s, ein Maximum ist. Ebenso wird das Ver-

58 Majcimnin und Hinimum von Curven-Bogen.

hältnisa 06 : %r-i oder C,% : s^,, ein Maximum, wenn die Sehne OS oder
0,@, so beschaffen ist, dass

COH-6ß = (2n— l)w4-CBg = si,_i,

oder

wo n irgend eine ganze positive Zahl (1, 2, 3, . . .) bezeichnet. Aehniiche
Resultate erhält man, wenn die Th^e des Bc^ns a von B, statt von A,
anfangen. Also:

a. Wenn eine geschlossene convexe Curvo A(§£CA in Bezng
auf irgend eine Axe T senkrecht symmetrisch ist, so ist jede
zur Axe scakrechte Sehne OS, C^% im Verhältniss zum zuge-
hörigen Bogen s ein Maximum, wenn dieser Bogen der Summe
der Tangenten in seinen Endpuncton, von da bis zu ihrem gegen-
seitigen Durchschnitte D, D, genommen (CD-h^D, C,Z), 4-6,2),),
gleich ist; und zwar ist dabei der Bogen jedesmal grösser als
der Umfang u der Curve, nämlich er besteht aus dem einfachen
Bogenstück (Cßß, C\A(E,), welches nach der Seite hin, wo die
Tangenten sich treffen, über der Sehne liegt, und ausserdem
aus n-mal dem Umfange u, wo n irgend eine ganze positive
Zahl (die mindestens gleich 1 ist) bezeichnet."

Fügt man zu den obigen Annahmen noch die hinzu, dass die Axe X
die Curve in A berühren soll, und denkt sich sofort den Punct C so be-
schaffen, dass Tangente Gl gleich Bogen AC, so ist die Ordinate y gleich
AE dieses Punctes im Verhältniss zum Bogen AC ein Maximum (4), und
weil vermöge der Symmetrie

A^ = AC und eb=6a,
HO ist zugleich auch AE-.A^ ein Maximum und folglich auch AE:AC-i-Ail
oder AE:CA^ ein Maximum, d. h. „sodann ist die Höhe AE gleich 5r

Maximum und Minimum von Curven-Bogen. 59

Yerhältniss ein Maximum, so wie, wemi allgemein

Cd'hQ.b = (2n— l)wH-C4e
ist. Also:

b. „Ist eine geschlossene convexe Curve ACIMA in Bezug
auf irgend eine Axe Y symmetrisch, und schneidet man durch
eine zur Axe senkrechte Sehne ÖE ein Segment ab, so ist die
Höhe AE gleich y desselben im Verhältniss zum Bogen s im
Allgemeinen ein Maximum, wenn die Tangente X im Scheitel
der Curve (oder in der Mitte A des Bogens) von den Tan-
genten Cdy 6b in den Endpuncten C, 6 des Bogens solche Stücke
abschneidet, dass jedes dem halben Bogen gleich ist. Dieser
Zustand kann unendlich oft eintreten, aber von dem einen Mal
bis zum nächstfolgenden nimmt der Bogen zu, enthält den Um-
fang u der Curve einmal mehr, so dass er im Allgemeinen aus
(n— l)tt und aus einem Stück CA^ besteht; auch sind die Maxima
der Reihe nach immer kleiner, so dass das erste, wo n gleich 1
und der Bogen « nur aus dem Stück (L46 besteht, das grösste ist."

6. Wenn die gegebene Curve ACB(§,A insbesondere ein Kreis ist,
so folgen, wenn man bemerkt, dass alle Kreise einander ähnlich sind, aus
den vorstehenden Sätzen (5) unmittelbar die folgenden:

a. „Unter allen Kreissegmenten (von verschiedenen Kreisen,
aber) von gleich langem Bogen, ist bei demjenigen die Sehne
(Oß) im Verhältniss zum Bogen (s) ein Maximum, bei welchem
die Summe der Tangenten in den Endpuncten des Bogens, von
da bis zu ihrem gegenseitigen Durchschnitt (D oder Z),) ge-
nommen, dem Bogen gleich ist; dieser Zustand tritt bei unend-
lich vielen Kreisen ein, aber jedesmal ist der Bogen s grösser
als der Umfang u des Kreises, nämlich er besteht aus nu und
aus dem kleineren Bogenstück (Cß6 oder C^Ai^J über der Sehne
(OK oder C,©,); auch werden die Maxima der Reihe nach, wenn
n gleich 1, 2, 3, 4, . . . ist, immer kleiner."

b. „Unter allen Kreissegmenten von gleich langem Bogen
hat dasjenige die grösste Höhe AE gleich y, bei welchem die
Tangenten (Gf, (5b) in den Endpuncten des Bogens von derje-
nigen in der Mitte -d desselben ein Stück fib (gleich Gi-|-ßb) be-
grenzen, welches dem Bogen gleich ist; dieser Zustand kann
bei unendlich vielen Kreisen eintreten, aber nur das erste
Mal ist der Bogen CA(^ kleiner als der zugehörige Kreis; bei
jedem späteren Male besteht er aus nu und aus dem grösseren
Bogenstück (C-46) über der Sehne, wo n nach einander die Werthe
1. 2, 3, 4, . . . hat; dabei werden die verschiedenen Maxima der
Reihe nach immer kleiner/

60 Uaxiraum und Miaimum von Curven-BogoD.

7. Man denke sich die Schaar von Kreisen (d. i. alle möglichen),
wolche die Axe X (Taf. IV Fig. 6) in demselben festen Puncto A berühren
und deren Mittclpuncto M, m, M^, m,, ... auf einerlei Seite von X in der
Axc Y liegen, nehme auf allen Kreisen, von A an und nach gleicher

Richtung, Bogen AD, AC, Ac, von derselben gegebenen Länge s, so

dass

AD = AC=Ac = -- = s,
BO werden die Endpunote D, C, c, .. . der Bogen in ii^nd einer be-
stimmten Gurve DCcAc^C,... liegen. Die Gerade AD ist nämlich in dem
Falle als Bogen anzusehen, wo der Kreis unendlich gross wird und mit
der Äse X zusammenfallt. Die Curve fängt also von D an, geht von da,
indem der erzeugende Kreis kleiner wird, aber sein Umfang m noch st«ta
grösser als s ist, über C, c nach A, wo sie die Axe X berührt, und wo
der Umfang u des zugehörigen Kreises gerade gleich s wird. Von A
kehrt die Curve zurück, bildet die Schleife Ac^C^c^A, für welche s zwischen
» und 2u liegt, berührt dann abermals die Axe X m A, wenn s gerade
gleich 2u ist, n. s. w., nämlich die Curve enthält unendlich viele Schleifen,
die sich immer enger zusammenziehen, so dass Jede die nachfolgende um-
schliesst, mid ebenso oft berührt sie die Axe X va. A, wo jedesmal t
gerade ein Vielfaches von u wird. Fragt man nun nach der Eigenschaft
derjenigen Puncto der in Betracht stehenden Curve, für welche die Ordinate
y oder die Abscisse x ein Maximum wird, so geben dfe obigen Sätze (6)
unmittelbar folgende Antwort:

a. „Die Abscisse x wird in allen denjenigen Puncton 2>, c,
c,, fj, ... ein Maximum, wo die Normale des zugehörigen Er-
zeugungskreises durch den festen Punct D geht, oder wo die
Tangente (z.B. crf) des Kreises (m) bis an die Axe K genommen,
dem constanten Kreisbogen s (oder AD) gleich ist."

Maximum und Minimum von Curvcn-Bogcn. 61

scheinbar andere Bedinguog bestimmt wird, und welche daselbst „bary-
ccntrische Curve" genannt worden. Beschreibt man nämlich mit dem
Radius AD gleich s aus A den Kreis DGE und lässt in diesem von dem
festen Puncte D an nach G, E hin einen Bogen stetig wachsen, so ist
der Ort seines Schwerpunctes die oben beschriebene Cun^e DCcAc^ C^ —
Denn angenommen, die Sehnen DE und AC irgend zweier Bogen DGE
und AFC gleich AD gleich s stehen auf einander rechtwinklig, so liegt
der Schwerpunct des Bogens DGE in AC\ und dann sind die Kreisseg-
mente DGED und AFCA einander ähnlich (weil DA nach der obigen
Construction den Bogen AFC in A berührt), so dass man hat

DGE: DE = AFCiAC,
oder

DGEiDE =^ AD:AC\

woraus folgt, dass C der Schwerpunct des Bogens DGE ist.

Nun hat die Gurve DCcA,,, nach Angabe des citirton Satzes die
Eigenschaft, dass für jeden Punct C derselben EC die zugehörige Tangente
ist; wobei dann femer EC gleich DC und Winkel a gleich a,, -f gleich -fj.
Baraus folgen die vorstehenden Sätze leicht. Denn in dem Falle, wo die
Ordinate y irgend eines Punctes "C ein Maximum werden soll, muss die
Tangente EC der Axe X parallel sein; alsdann aber ist ß gleich Oj, daher
auch p gleich a und daher weiter DA gleich DC (weil DE auf AC senk-
recht), folglich ist auch DC Tangente des Kreises AFC, weil DA es ist.
Ebenso muss, wenn die Abscisse x irgend eines Punctes c ein Maximum
werden soll, die zugehörige Tangente ca der Axe Y parallel sein; alsdann
'^t e gleich 8,, und da stets 5 gleich Oj, so ist also e gleich 8, daher
^ gleich mA, mithin m der Mittelpunct des entsprechenden Erzeugungs-
h^iscs und folglich, vermöge der Congruenz der Dreiecke med und mAD,
die Tangente de gleich DA. Dies Alles stimmt mit den obigen Sätzen
überein.

Aufgaben und Lehrsätze.

Crellc's Journal Band XVIII. S. 278 — 280 und 3Gt)-375.

Hierzu Taf. V Fipf. 1—5.

Aufgaben und Lehrsätze.

Ist C irgend eine ebene geschlossene und überall convexe Curve in
fester Lage, und roUt ein gegebener Kreis K in der nämlichen Ebene auf
der convexen Seite derselben, so beschreibt jeder mit dem Kreise fest ver-
bunden gedachte Punct P irgend eine Cur>^e V, welche, wenn K immer fort-
rollt, beliebig oft um C herumläuft, entweder nach einem oder nach mehreren
Umläufen in sich zurückkehrt, sich schliesst, oder nie in sich zurückkehrt
(oder nur nach unendlich vielen Umläufen), je nachdem nämlich die Um-
gänge von iT und C beziehlich commenslirabel oder incommensurabel
^i' Für den ersten Fall, welcher hier allein betrachtet werden soll, sei

Umfang K: Umfang C = k:cy

*o i und c beliebige ganze Zahlen, jedoch relative Primzahlen sind; als-
dann wird nach k Umläufen jede Curve V in sich zurückkehren. Nur die
^'om Mittelpuncte p des Kreises K beschriebene Curve v macht hierbei
eine Ausnahme, indem sie nämlich schon nach dem ersten Umlaufe in
s'ch zurückkehrt und dann diesen geschlossenen Theil von ihr A-mal
'^«derholt, bis sich äie anderen Curven V scMiessen. Der zwischen einer
"flehen geschlossenen Curve V und der Basis C liegende Flächenraum soll
'^Malls durch V bezeichnet und Inhalt der Curve V genannt werden.
')abei sind jedoch, wenn i>l und mithin mehrere (k) Umläufe statt-
finden, gewisse TheUe der Ebene mehrfach zu nehmen und zu jenem In-
'lalte zu rechnen; so ist namentlich der Inhalt der Curve v gleich dem
/'-mal genommenen Räume, welcher zwischen dem einfachen Bogen der-
selben, der beim ersten Umlaufe beschrieben wird, und der Basis C liegt.
Bezeichnet man femer den Radius des Kreises K durch r und den Ab-
stand des Punctes P vom Mittelpuncte p desselben durch a, so finden unter
änderen nachstehende Sätze und Gleichungen statt:

1. „Die von dem Mittelpuncte p des Kreises if beschriebene
.'urve V hat unter allen den kleinsten Inhalt und zwar ist

Steiner'« Werke. IL 5

derselbe

Aufgabe» und l^lir-iälü'-

: C2cH-^><-=,

d. h. C2c4-^)-mal so gross al« die Fläche des rolleadeu Kreises,'

2. „Puncte P, welche gleich weh vom Mittelpuncto /> dei
Kreises eutfernt sind, boscliroilieii Curvcn V von gleichem Id
halle, und auch umgekehrt; und zwar i^t

d. Ii. der Inhalt joder solchen Curve ist um die ('■-f-/)-fachf
Flache desjenigen Kreises, welcher mit dem rollenden concen-
trisch ist und durch den erzeugenden Punct P geht, grösser
als der Inhalt der vom Mittelpunote p beschriebenen Curve t'
Liegt itfsbesondere der Punct /' in der Kreislinie K, so Am
a gleich r, so ist

3. „Die von dem Mittelpuncto p beschriebene ('urve r ist
unter allen die kürzeste und /.war ist ihre Länge

d. h. (c-t-i(')-mal so gross als der Umfang dos rollenden Kreises.**)
Die vorstehenden drei Sütze verlieren nur in dem ganz speciollen
Falle ihre Gültigkeit, wo

k = c=i,
(I. h. wo der Kreis K und die Basis C gleichen Umfang haben, denn •"
I Falle sind sie nur tmter gewissen Bedingimgen wahr, wie z. o-
wenn die Curve C einen Mittelpunct hat. Dagegen fiiiden aber and«*-
.Sätze statt, wovon der folgende einer der einfachsten ist:

4. „Rollt oin Kreis K um irgend eine geschlossene coo-
vexe Curve '_' von gleichem Umfange, bis er in seine anfüiig-
liehe Lage zurückkehrt, so ist die Summe S, der' Inhalte

Aufgaben und Lehrsätze. 67

cken eines regelmässigen n-£cks sind), beschrieben werden,
dnstant, die Curve C mag sein, welche man will, nämlich die
amme ist allemal der 5n-fachen Kreisfläche K gleich, d. i.

Es kann noch bemerkt werden, dass im Allgemeinen analoge Sätze
tattfinden, wenn der Kreis K auf der inneren concaven Seite der Basis
7 rollt, und dass man zum Theil die entsprechenden Gleichmigen un-
[nittelbar erhält, wenn in den obigen — k statt -\-k gesetzt wird.

Wenn insbesondere die Basis C ein Kreis ist, so reduciren sich die
Satze zum Theil auf bekannte Sätze über die Epicycloiden und Hypo-
cycloiden.

Dagegen finden auch allgemeinere Sätze statt, wie z. B. die folgenden:

5. „Wenn Ä^ kein. Kreis, sondern irgend eine geschlossene

convexe Curve ist, die einen Mittelpunctp hat, und wenn bei

denselben übrigen Voraussetzungen, wie oben, k eine gerade

I Zahl ist, so ist gleichfalls sowohl der Inhalt als der Umfang

! der vom Mittelpuncte p beschriebenen Curve v ein Minimum,

^: und für den Inhalt der von irgend einem anderen Puncte P be-

\ schriebenen Curve F hat man, wie oben (2)

^obei a, wie früher, den Abstand des Punctes P vom Mittelpuncte p be-
wiclmet Hier kehrt die Curve v nicht mehr früher als die übrigen V,
\ ^80 ebenfalls erst nach k Umläufen in sich zurück.

\ 6. „Ist die rollende Curve K beschaffen, wie vorhin (5),
[ liat dagegen die Basis C auch einen Mittelpunct und sind die
\ Zahlen k und c beide ungerade (aber immerhin relative Prim-
i*hlen), so repräsentirt die von dem Mittelpuncte p erzeugte
Carve v ebenfalls, in Rücksicht des Inhaltes sowohl als des
ümfanges, ein Minimum, und für den Inhalt der von irgend
einem Puncte P beschriebenen Curve V hat man denselben
Ans druck, wie vorhin (5)." — Dieser Satz gilt auch für den beson-
deren FaU, wo

k = c=\,

7. Sind die Curven K, C beschaffen, wie beim letzten Satze (6),
so wird die vom Mittelpuncte p der rollenden Curve K beschriebene
Curve V grösseren oder kleineren Inhalt haben, je nachdem diejenigen
Puncte, in welchen K und C anfanglich einander berühren, gewählt werden.
Daher kann gefragt werden: „In welchen Puncten müssen iT und C
anfänglich einander berühren, damit der Inhalt (oder Umfang)
der Curve v (für sich betrachtet) ein Maximum oder Minimum
wird?" Offenbar wird damit zujjleich auch der Inhalt der irgend einem

£g Aufgaben nnd Lebrsätze.

aDdereD bestimmteD Punct« P entsprechenden Curve V besiehlich eis
Maximum oder Mini m um.

Ein einfache» Beispiel dieser Aufgabe wäre , weou K und C Ellip§M
von gleichem Umfange sind, oder noch beschränkter, wemi aie gleidi«
Ellipsen sind.

Ferner kann gelh^ werden: wenn K und C gleichen UmTang haben
und einander in beliebigen Puncteu berühren, und wenn sodann das eine
Mal K auf V und das andere Mal C auf K rollt, wie sich dann die von
ihren Mittelponctcn beschriebenen Curven in Rücksicht des Inhaltes oder
Umfanges zu einander verhalten? und ob namentlich, wenn der voo Atm
einen Alittelpuncte beschriebenen Curve ein Maximum oder Minimum u-
kommt, dann auch die andere eine gleiche Eigenschaft habe?

8. „8ind K und C gleiche Ellipsen und berühren sie ein-
ander, während K auf C rollt, stets in entsprechenden oder ho-
mologen Puncten, so ist.

V = 2«(a'-f-p')— "aß "i"l y = 2it(o'-+-ß'+«')— Ttaß,
wo a, ß die halben Axcn der Ellipse sind, und v, V and a die
ihnen oben zugeschriebene Bedeutung haben. Oder bezeichnet
man die von den Curven v, V allein eingeschlossenen ganzen
Räume durch v,, F,, so ist-

V, = 2jrCa'-|-ß') und T, = 271(8'+ ß' +«*)."

0. Wenn von zwei beliebigen (algebraischen oder transceodenten)
Curvon AB, SIS (Taf, V Fig. 1) in derselben Ebene die erste auf der
anderen, die als fest betrachtet wird, rollt, bis etwa der Punct B mit S
zusammentrifft, wo also die Bogen AB und SISB von irgend einer be-
stimmten, "gleichen Länge sind, aber keiner einen singulären Punct ent-
halten soll, so boschreibt jeder mit der rollenden Curve fest verbunden
gedachte Punct P irgend ein gemischtliniges Viereck 21PP,SÄ, welche«

Aufgaben und Lehrsätze. 69

derselben gerade um einen Sector des zugehörigen Kreises,
dessen Centriwinkel der Summe der zwei Winkel a, a gleich ist,
grös.ser als jenes kleinste Viereck. Oder wird der Abstand eines
beliebigen Punctes P von dein .Puncte p durch r bezeichnet, so
ist allgemein

F = /-h^r'(a4-a).«

Dieser Satz gestattet zahlreiche Folgerungen. Ist der eigenthumliche
Punct p gefunden, so können sofort z. B. auch unter allen Puncten, welche
in der rollenden Curve selbst liegen, diejenigen bestimmt werden, deren
entsprechende Vierecke ein (relatives) Maximum oder Minimum sind; deim
dieselben müssen offenbar in den Fusspuncten der aus p auf die Curve
gefällten Normalen liegen. Die vorhergehenden Sätze sind theilweise be-
sondere Fälle dieses Satzes; und ein sehr specieller Fall desselben führt
zur Quadratur der verschiedenen Cykloiden.

„Welche charakteristische ]Sigenschaft hat aber der merk-
würdige Punct p in Beziehung auf die gegebenen Curven AB,
3133? wie wird er durch diese bestimmt?"

10. „Ist AB (Taf. V Fig. 2) ein beliebiger Bogen irgend einer
ebenen Curve, der jedoch keinen singulären Punct enthält, und
bewegt sich die veränderliche Tangente AC oder AD längs des-
selben unter der Bedingung, dass sie stets dem Leitstrahle AP
gleich ist, welcher den jedesmaligen Berührungspunct mit ir-
gend einem festen-Pole P in der Ebene der Curve verbindet,
so beschreibt die Tangente ein gemischtlinigcs Viereck ^CCj5^
oder ADD^BAy dessen Inhalt i^ grösser oder kleiner ist, je nach-
dem der Pol P gewählt wird; jedoch haben jedesmal die beiden
Vierecke ACC^By ADD^B unter sich gleichen Inhalt. Es giebt
allemal einen bestimmten Pol p, welchem das kleinste Viereck
Ace^B gleich/ entspricht Auch findet die Gleichung statt

F = /-hir'a,

wo r den Abstand des Poles P von p und a den Winkel zwischen
den Normalen in den Endpunctcn Ay B des gegebenen Bogens
AB bezeichnet."

Der Satz findet auf gleiche Weise statt, wenn die Tangente {AC)
zu dem entsprechenden Leitstrahle {AP) ein gegebenes oder constantes
Verhältniss haben soll, und zwar bleibt der eigenthumliche Pol p der
Damliche.

Von dem vorstehenden Satze mögen folgende specielle Fälle hier er-
wähnt werden:

a) Es sei die gegebene Curve eine Ellipse; ihre halben Axen seien
«, p; der Bogen AB sei ihr ganzer Umfang, so dass B und A zusammen-

70 Aufgabea und Lebrsfitu,

fallen, a gleich 2it wird, und die von dem Endpanct« C oder c der Tan-
gonto beschriebene Curve CC\, oder w,, »ich sddiesst and in sich zorücfc-
kehrt; der von dieser Cnrve umschlossene ganze Raum heisso F, oder/
(or besteht aus dem obigen Viereck F und dem Inhalte der Ellipse); »
fälU der eigenthümliohe Punct p mit dem Mittelpuncto der Ellipse lu-
sammen, und ee ist

F, =/,+r*Jc = (a'-i-ß'-(-r")i:;
das heisst: „der Inhalt (/,) der dem Mittelpuncte p der Ellipse
entsprechenden Curve w, ist gleich der Summe der zwei Kreis-
flächen, welche die Äxen der Ellipse zu Durchmessern haben:'
und „der Inhalt Fj der einem beliebigen Puncte P entsprechen-
den Curve (CC,) ist so gross als drei Kreisflächen, welche be-
ziehlich die halben Äxen der Ellipse und den Abstand ihres
Mittelpunctes von jenem Puncte zu Radien haben."

Liegt der Pol P insbesondere in der Kreislinie, welche mit der Ellipse
concentrisch ist und durch die Brennpuncte derselben geht, so ist

F, = 25iV,
d. h. „der Inhalt der ihm entsprechenden Curve CC, ist gecade
doppelt so gross als die Kreisfläche, welche die grosse Axe der
Ellipse zum Durohmosser hat."

ß) Geht die Ellipse in einen Kreis über, so dass ß gleich a, so hat
/; = 2a'i:, und F, = 2(x'it+rV.

Liegt der Pol P in der Kreislinie selbst, ho ist
F, = 3«'-,

d. h. der Inhalt der ihm entsprechenden Curve ist dreimal so gross aU
die Kreisfliiche.

II. „Sind AB, 91© (Taf. V Fig. 3) gleich lange Bogen zweier

Aufgaben und Lehrsätze. 71

taug genommen wird, nämlich 91S) statt SIS. Es giebt allemal
einen bestimmten Pol p, welchem das kleinste Viereck 9lcCjS3
gleich / entspricht. Auch findet die Relation statt

F = /+ir'a,

wo a der Winkel zwischen den Normalen in den Endpuncten
des gegebenen Bogens SÜB und r gleich Pp ist.^

12. Fällt man aus einem beliebigen Puncto P in der Ebene irgend
einer geschlossenen convexen Curve C, die keinen singulären Punct ent-
halt (eines sogenannten Ovales), Perpendikel auf alle Tangenten derselben,
80 liegen die Fusspuncte in irgend einer neuen, in sich zurückkehrenden
Cnrve, die allemal irgend einen bestimmten endlichen Inhalt gleich F haben
wird, und welche „Fus«puncten-Curve" des Punctes P in Bezug auf
die gegebene Curve C heissen mag.

„Sind in einer Ebene n beliebige Curven C,, C,, ... C« von
der eben genannten Art in beliebiger Lage gegeben, so giebt
es allemal einen bestimmten Punct ^, der die Eigenschaft be-
sitzt, dass die Summe der Inhalte der ihm entsprechenden Fuss-

puncten-Curven, /,-h/,H h/« gleich «, ein Minimum ist. Für

irgend einen anderen Punct (wenn die Summe der Inhalte der

ihm entsprechenden Fusspuncten-Curven, d. i. i^j-f-F^H h-Fi,

durch S und sein Abstand von p durch r bezeichnet wird),
hat man

13. „Unter allen Fusspuncten-Curven, in Bezug auf eine
gegebene Hyperbel, hat diejenige ihres Mittelpunctes p den
kleinsten Inhalt gleich /." Diese Fusspuncten- Curve IKLM (TeS, V
Fig. 4) hat ungefähr gleiche Form wie die Lemniscate, in welche sie in
der That übergeht, wenn die Hjrperbel gleichseitig ist; der Punct/? ist ein
Dorchschnittspunct und zugleich ein zweifacher Wendungspunct derselben.
Es seien A, B die Brennpuncte und C, D die Scheitel der Hauptaxe der
Hyperbel. Ueber den Durchmessern Äp, pB und CD beschreibe man
Kreise, so entstehen zwei krummlinige Dreiecke pEF, pGH, oder x, ^,,
deren Summe gerade dem Inhalte / der Curve IKLM gleich ist, so dass

und auch, da die beiden Schleifen der Curve einander gleich sind,

x = IM=KL = \f.

Auch ist jeder Sector der Curve, aus ihrem Mittelpuncte p genommen,
einem bestimmten correspondirenden Abschnitte von einem der beiden
Dreiecke x^ x^ gleich.

Der Inhalt F der Fusspuncten-Curve eines beliebigen Punctes P (Taf. V
Fig. 5), in Bezug auf die Hyperbel, kann (wenn er im gehörigen Sinne

72 Auf^ben uQi) Lehnütze.

genommen wird) unter anderem, wie folgt, dargestellt werden. Ee seieo
RV, SU die Asymptoten der Hyperbel. Ueber Pp als Durchmesser sei
der Kreis NPO und mit /^ um p der Kreis QPT beschrieben; femer
' sei QT die Tangente dos ersten Kreises im Puncte p, so entstehen dit
zwei Paar Räume tf und 2, y, und z„ deren Grenzen sichtbar sind (näm-
lich sie sind gemischtlinige Dreiecke und Vierecke). Nun ist entweder

(!) i^=/+2y+2= - 2C^-t-y-H4

oder

(11) F= 2:r+2«/,+23„

je nachdem nämlich P in einem äusseren oder inneren (wirklichen)
Asymptoten-Winkol liegt, d, h. je nachdem bcziehlich die Hyperbel ia
den Winkeln Rp ü und Sp V, oder RpS und Up V li^ Es sind besondne
Fülle möglich, wo die Form der Räume y, z, ^,, z, etwas modi£cirt wird.
„Soll der Inhalt F der Fusspuncten-Curve coDstant sein,
so ist der Ort des Punctea P eine Ellipse, deren Äxen auf die
Axen derHyperbel fallen, so dass beide concentrisch sind, and
zwar fällt die grosse Axe der Ellipse auf die zweite Axe der
Hyperbel. Alle Orts-Ellipsen, welche auf diese Weise statt-
finden, wenn der Inhalt F der FusspuDcten-Curve grösser oder
kleiner angenommen wird, sind einander ähnlich; also ist das
Verhältniss ihrer halben Axen a,, &, constant, und zwar ist

a, : t, = 2a6'+/: 2aa'— / = o(a'+6')+a6 : a(o'+i')— oft,
wo a, b die halben Axen der Hyperbel (beide reell genommen)
sind, und wo 1 der -Winkel ist, welchen die zweite Axe (6) der

Hyperbel mit einer Asymptote bildet, oder a gleich arcftangssTj"
Ist die Hyperbel gleichseitig, so hat man

a-.h, = Tc+2:it— 2.

Auffifaben und Lehrsätze. 73

zeichnet man denselben durch t\ den Abstand des Brennpunctes B der
Psyrabel vom Scheitel A derselben durch a und die Entferaung des Punctes
P von B 4arch 2^?, so ist

F = ir(2ozp^)7r,

wo das untere Zeichen (-+-) zu nehmen ist, wenn P innerhalb der Parabel,
und zwar jenseits B liegt. Liegt P diesseits By und namentlich ausser-
halb der Parabel, so schneidet sich die Fusspuncten-Curve in P selbst
und hildet eine Schleife, deren Fläche gleich S in dem Räume F mit
inbegriffen, jedoch als negativ genommen ist; d. h. in diesem Falle ist F
die Differenz zwischen dem Räume T, der von der Asymptote und den
beiden Annen der Curve, welche von P aus nach entgegengesetzten Rich-
tungen neben jener ins Unendliche fortlaufen, eingeschlossen wird, und der
genannten Schleife S; so dass also

F= T—S = a!(2a—a:)r..

Die Räume S und T lassen sich aber auch einzeln angel;)en; näm-
lich es ist

S = (a;-ha)ya(2x—a)—a!(2a—a)2ai,

T = (jr-ha)yä(2a?— a)-+-.<2a— .r)C7r— 2a),

und mithin ist der ganze, von der Curve und Asymptote begrenzte Raum Ä,
wenn beide Theile absolut genommen werden,

R = 2C^H-a)ya(2Ä?— a)-H<2a— Ä)(Tr— 4a),

wo a gleich arc(tang=y ll.

Wenn insbesondere x gleich a, also P in der Leitlinie der Parabel
liegt, so ist a gleich Jir und die vier Formeln reduciren sich auf folgende:

F= Tca»; R = 4a';

S = 2a'—ii:a'; T = 2a'-f-i^^a^

Wenn femer x gleich 2a (also PB oder 2x dem Parameter der Parabel
gleich ist), so ist a gleich ^ir und die Formeln sind

Wird der Punct P in der Ebene der Parabel beliebig angenommen,
so hat die ihm zugehörige Fusspuncten-Curve immer eine zur Axe der»
Parabel senkrechte Asymptote, deren Abstand von P constant ist.

„W^elche Ausdrücke erhält man in diesem Falle für die
Flächenräume Fy S, T? und welches ist der Ort des Punctes P,
wenn einer dieser Räume constant sein soll?^

15. „Wenn eine gegebene Ellipse E auf irgend einer ge-
schlossenen convexen Curve C von gleichem Umfange, die kei-

74 Anfgaben und LehrsÖUe.

De D siognlären Punct, aber einen Mittelpunct hat, rollt, bis sie
wieder in ihre ursprüngliche Lage znrfickkebrt, so beschreibt
ihr Brennpunct B irgend eine in sich zurückkehreiide Curve
[B], deren Länge constant ist, d.h. die Basis C mag unter den
vorausgesetzten Bedingungen sein, welche man will, und in
welchen Puncten die Curven E und C einander anfänglich be-
rühren mögen — die Curve [B] hat immer dieselbe bestimmte
Länge; nämlich sie ist allemal dem Umfange des Kreises gleich,
welcher die grosse Axe gleich 2a der Ellipse zum Radius hat;
also ist stets

[B] = 4a:t."

Einfache Beweise der isoperimetrischen

Hauptsätze.

Grelle' 8 Journal Band XVIIL S. 281 — 296.

(Auszug aus einer am 1. December 1836 in der Akademie der Wissenschaften zu

Berlin gehaltenen Vorlesung.)

Hierzu Taf. VI Fig. 1—5.

Einlache Beweise der isoperimetrischen

Hauptsätze.

Die Relationen zwischen dem Umfange und Inhalte der Figuren in
Ebene, auf der Kugelfläche und im Räume geben zu einer Menge von
gen über Maximum und Minimum Anlass, deren leichte und klare
ntwortung sich fast durchweg auf die Eigenschaften des Kreises, des
iden Kegels oder Cylindors und der Kugel stützt. Lhtdlier hat dieses
etz (namentlich für die Figuren in der Ebene und im Räume) zuerst
innt und in seinem Werke y^De relatione mutua capacitatis et termi-
um figurarum etc. Varsaviaey 1782" ziemlich deutlich ausgesprochen.
5s, was vor ihm auf elementarem Wege hierin geleistet worden ist, hat
mit grosser Umsicht zusammengefasst und mit Scharfsinn verbessert
erweitert. Leider scheint sein Work öfter citirt, als die darin herr-
ende Methode richtig verstanden oder gehörig gewürdigt und befolgt
den zu sein; denn alle seine Nachfolger sind mehr oder minder von
vereinfachen natürlichen Betrachtungsweise abgewichen, — abgesehen
on, dass sie sich auch auf eine viel geringere Zahl von Aufgaben und
2en beschränkten, — wodurch aber auch in gleichem Maasse die schöne
fachheit der Beweise, der innige Zusammenhang der Sätze zusammt
ler inneren Begründung verschwand. Die rein geometrische Betrachtung
indess weit davon entfernt, die ihr, als einer unbequemen und unzu-
glichen, vielfaltig wiederfahrene Missachtung zu verdienen; vielmehr
cht gerade sie es möglich, die Eigenschaften, auf die es hierbei haupt-
hlich ankommt^ auf eine höchst einfache und Zugleich elegante Weise
zustellen, und zeigt überdies jeder anderen Methode den Weg, auf
chem sie sich ohne grosse Schwierigkeit des Gegenstandes bemächtigen
ine.

Das eigentliche Wesen des hier zu befolgenden Ganges besteht darin,
IS nach den primitiven Ursachen und Umständen geforscht wird, welche
' Maximum oder* Minimum bewirken. Es zeigt sich hierbei , dass aus

7S Einfache Bsweifie lier iMopcfiinctrischen HaiipUstie.

woniffen einfachen FundatnentalRätzcn leicht t;ewiRHe Hauptsätze folgen, au»
denen sodanu alle übrigen gleichü«m wie blosse Zusätze sich ^tofonweise
entwickeln lassen. Auf diese Weise giebt sich ein eigenthümlicher Zu-
sammenhang zwischen allen denjenigen Figuren kund, welchen die Eig^-
schaft eines Maximums oder Minimums zukommt; es tritt nämlich klar
hervor, dass dioflclbcn nur verschiedene Thoilo derjenigen Figuren siad,
auf welche sich die Ilauptäütze beziehen, und dass die nämlichen Gründe,
auf denen die letzteren beruhen, auch in jenen zusammengesetzteren, ao-
.scheinend schwierigeren Sätzen fortwirken.

Bei den von mir angestellten Versuchen, die genannten Gegenstände
rein synthetisch zu behandeln, stellte es sich heraus, dass die drei Gat-
tungen von Figuren, ebene, sphärische und körperliche, nicht gleichförmige
Beweise gestatten, vielmehr die sphärischen ein ganz anderes Vorfahren
erheischen, als die körperlichen, während die ebenen beide Bewei8art«D
zulassen. Hier wird, als eine kleine Probe, nur diejenige gegeben, welche
für die Figuren in der Ebene und im Kaumc auf analoge Weise stattfindei

Von den ebenen Figuren.

§1. Fundamontatsatz. „Unter allen Dreiecken über glei<
chen Grundlinien* und von gleicher Hohe (oder gleichem Id*
halte) hat das gleichschenklige die kleinste Schenkelsumme;
und auch umgekehrt." Oder mit anderen Worten:

„Jedes ungleichschenkligo Dreieck .^66' (Taf. VI Fig. 1) Uast
sich in ein anderes (gleichschenkliges) n^c von gleichem In-
halte und gleicher Grundlinie (AB gleich ab) verwandeln, wel-
ches kleinere Schenkelsumme hat und in Bezug auf eine be-
stimmte Axc X, die durch die Spitze c und die Mitte m der

Einfache Beweise der isoperimetrischen Hauptsätze. 79

haben, and welches in Bezug auf eine Axe Xy die durch die
Mitten (ntyK) der parallelen Seiten geht und auf diesen senk-
recht steht, symmetrisch ist."

Wie leicht zu sehen, folgt dieser Satz unmittelbar aus dem vorher-
gehenden (§1). Denn ist DE<cABy so sind die Paralleltrapeze ADEB,
ad^ immer als Theile zweier Dreiecke ACBy acb anzusehen, von welchen
sie mittelst der Geraden De abgeschnitten sind; und da vermöge der
Parallelität der drei Geraden Aay De und Cc die Seiten der Parallel-
trapeze, nämlich AD und BEy ad und bey von den zugehörigen Seiten
der Dreiecke AC und ßC, ac und bc proportionale Theile sind, so muss
folglich, wenn ac-\-bc<iAC-\-BCy auch ad-\-be<iAD-\-BE sein. —
Wenn insbesondere die gegebenen Grundlinien einander gleich sind, also
AB gleich DEy dann ist ADEB ein Parallelogramm, culeb ein Rechteck,
und der Satz bleibt offenbar auch für diesen Fall gültig.

§ 3.. Mittelst der beiden vorstehenden Sätze kann nun jedes beliebige
convexe Vieleck F in ein anderes Vieleck F, von gleichem Inhalte ver-
wandelt werden, welches kleineren Umfang hat und in Bezug auf irgend
eine Axe X symmetrisch ist. Dies mag durch folgende Beispiele an-
schaulich gemacht werden.

I. Es sei ein Dreieck ABC (Taf. VI Fig. 2) gegeben. Aus den
Ecken desselben falle man auf die beliebig angenommene Axe X Perpen-
dikel Aüy Bey Ccy tHigc das Stück BD des einen Perpendikels Be, wel-
ches innerhalb des Dreiecks liegt, symmetrisch auf die Axe Xy so dass

eb = ed und bd = BDy

so hat man das symmetrische Viereck abcdy welches mit dem gegebenen
Dreieck gleichen Inhalt aber kleineren Umfang hat. Denn vermöge der
Construction und zufolge § 1 ist

A BAD = A bady

aber im Allgemeinen ab-\-ad<iAB-\-AD; ebenso

A BCD = A bcdy

und cb-\'cd<i CB-\-CD; mithin ist der Inhalt des Dreiecks ABC gleich
dem Inhalt von abcdy aber ab-i-bc-hcd+da <i AB-\-BC-\-CA,

IL Durch eine neue Axe F, welche zu der vorigen X senkrecht ist,
wird das erhaltene Viereck abcd auf gleiche Weise in ein anderes Viereck
a^ verwandelt, welches bei gleichem Inhalte wiederum kleineren Umfang
hat als jenes, und welches in Rücksicht beider Axen symmetrisch, mithin
gleichseitig oder eine Raute ist und den gegenseitigen Durchschnitt der
Axen, nämlich [i, zum Mittelpuncte hat. Also wird roittelKt zweier nach
einander folgenden und zu einander senkrechten Axen X, F jedes beliebige
Dreieck ABC in eine Raute aß^S von gleichem Inhalte aber kleinerem
Umfange verwandelt. Es kann aber auch mittelst der ersten Axe X allein

80 Einfftche Beweise der isoperimetriscbea Hsnptsitie.

das Dreieck ABC in eine Raute verwandelt werden; denn wenn z, B. dar
Inhalt desselben durch das Perpendikel Be gehaUtet wird, bo duB

A BAD = A BCD,
so ist abcd eioe Raute.

III. Es sei femer das gegebene Vieleck Fetwa ein SwiaeblL ABCDEF
(Taf. VI Fig. 3), so wird dasselbe durch ein gleiches Verfahren mitteM
der Axe X in ein symmetrisches Zehneck ai/,ce^dec,fb^ verwandelt, wel-
ches vermöge der correspondirendeu Dreiecke und Paralleltrapeze, sofolgt
§ 1 und § 2, gleichen Inhalt aber kleineren Umfang hat als jenes. —
Es ist klar, dass durch eine neue, zu X senkrechte Axe F das eben «■
haltene Zehneck Im Allgemeinen in ein 16-Eck verwandelt wird, welchei
bei gleichem Inhalte abermals kleineren Umfang bat, und welches ö
Rücksicht beider Äsen X, Y symmetrisch bt, also deren Dmchschnitt
zum Mittelpunctc hat.

IV, Gleicherweise wird jedes gegebene Vieleck V von irgend einw
Anzahl n Seiten mittelst einer ersten Axe X, in ein symmetrisches Viol-
i'ck F, von gleichem Inhalte aber kleinerem Umfange verwandelt, welchef,
im Allgemeinen und höclistens, 2n — 2 Seiton bat; femer mittelst eiiM
zweiten beliebigen Axe X^ in ein symmetrisches Vieleck F, von höchsteiv
2(2« — 2) — 2 Seiten; und fährt man so fort, so gelangt man mittelst der
^len willkürlichen Axe X^ zu einem symmetrischen Vieleck V^ von liöcb-
ritens 2'(n — 2}+2 Seiten, welches bei gleichem Inhalte kleineren Umbag
hat als jedes der vorhergehenden. — Wenn insbesondere die zweite An
X, zu der ersten X, senkrecht ist, so hat das Vieleck F, einen MitUi-
punct M und zwei zu einander rechtwinklige Symmetral-Axen (X, und JJ,
aber höchstens nur 2(2n — 4) Seiten, und alsdann hat auch jedes Tolgeaili
Vieleck F,, V^, ... V^ einen Mittclpunct M und zwei zu einander seiA-
rcchtc Symmetral-Axen, man mag die späteren Axen X,, X^, ... i
annehmen, wie mau will, was leicht zu sehen ist.

Einfache Beweise der isoperimetrischen Hauptsätze. 81

ittelst einer zweiten, zu Xj senkrechten Axe X^ zu einer Curve F, von
)ermals kleinerem umfange, aber demselben Inhalte, welche zwei zu
inander senkrechte Symmetral-Axen Xj, X^ und daher einen Mittelpunct
tf hat. Durch fernere beliebig gewählte Axen Xj , X^ , ... entstehen
leue Curven F„ F^, ..., welche bei gleichem Inhalte nach der Reihe
immer kleineren Umfang haben, und wovon jede einen Mittelpimct imd
irgend zwei zu einander rechtwinklige Symmetral-Axen hat; auch nähern
sich dadurch die Durchmesser der Curve offenbar immer mehr der Gleich-
heit, d. h. der Unterschied zwischen dem kleinsten und grössten Durch-
messer wird immer kleiner, indem durch die Verwandlung, wie auch die
neue Axe gewählt werden mag (nur nicht dem grössten oder kleinsten
Durchmesser parallel), der grösste Durchmesser verkleinert und der kleinste
Tergrossert wird, wie leicht zu sehen. Durch zweckmässige Wahl der
neuen Axen können jedoch die Durchmesser rascher der Gleichheit näher
gebracht werden*).

Demnach kann jede geschlossene convexe Figur Vy mag sie von gera-
den oder krummen, oder geraden und krummen Linien begrenzt sein, mit
Beibehaltung ihres Inhaltes, so lange verwandelt und dadurch ihr Umfang
verkleinert werden, als dieselbe nach irgend einer Richtung keine Symmetral-
Axe hat Hätte aber die Figur nach jeder beliebigen Richtung eine
Symmetral-Axe, oder würde dieser Zustand nach einigen Verwandlungen
herbeigefahrt, so bliebe sofort bei allen folgenden Verwandlungen der Um-
^ sowohl als der Inhalt constant, oder vielmehr, es fände keine eigentliche
Verwandlung mehr statt, sondern die neue Figur (FJ würde stets mit
dw alten (F) congment sein. Eine solche Figur aber, die nach allen
Kichtmigen Symmetral-Axen hat, muss nothwendig einen Mittelpunct M
haben, in welchem sich alle Axen schneiden; denn derselbe wird nach
^^ Obigen schon durch irgend zwei zu einander senkrechte Axen bedingt,
'^^er müssen alle Axen oder Durchmesser der Figur einander gleich sein,
^fln siod z. B. Z„ X, (Taf. VI Fig. 4) zwei beliebige Axen derselben
^^ X diejenige dritte, welche mit jenen gleiche Winkel bildet, (also a
^^eich P), so muss dem Endpuncte A der Axe X^ in Bezug auf die Axe
^ ^in solcher Punct C entsprechen, welcher sowohl im Umfange der
'^8Ur F, als in der Axe X, Hegt, folglich muss C der Endpunct der Axe

*) So z. B. kann auf diese Weise eine gegebene EUipse V mittelst einer einzigen
^^e 2C in einen Kreis Fj Terwandelt werden, dessen Durchmesser alle einander gleich sind,
^^ welcher unzählige Paare zu einander rechtwinklige Symmetral-Axen hat. Nämlich

iuid a, 6 die halben Axen der Ellipse, so construire man die Gerade r gleich Yäb,
^^H^ dieselbe als Halbmesser in die Ellipse ein und nehme sofort X zu diesem Halb-
nieaser senkrecht an, so wird die neue Figur Vi ein Kreis sein. Da r nach zwei ver-
miedenen Richtungen sich als Halbmesser in die Ellipse eintragen lässt, so kann auch
^^ Axe X in zwei verschiedenen Richtungen der Forderung genügen.

8ttln«r'» Werke. IL 6

83 KiDfai'tie Beweise der isoperimetrischen Hauptsätze.

Xj sein; daher sind ferner die halben Axcn AfA, MC und mithin aucJ
dio ganzen AB, CD einander gleich. DemzufolRC giebt es nur eine
zige solche Figur, welche nach jeder Richtung eine Symmetral-Axe hat,
und dieselbe ist der Kreis.

§ 5. Aus der vorstehenden Betrachtung schliefst man unter and«a
den folgenden

Hauptsatz.

„Unter allen Figuren von gleichem Inhalte hat der Kteii
den kleinsten Umfang;" und umgekehrt: „unter allen Figuren tob
gleichem Umfange hat der Kreis den grössten Inhalt."

Denn man denke sich diejenige Figur V, welche bei irgend einem 1»-
stimmten Inhalte den möglichst kleinsten Umfang habe, so muss dicseUit
nach allen Richtungen symmetrisch sein. Detm wäre sie es nach irgml
einer Richtung nicht, so Hesse sie sich mittelst einer nach dieser Richtung,
gezogenen Axe X in eine andere Figur y\ verwandeln, welche denselben
Inhalt, aber kleineren Umfang hätte; dann aber würde eine dritte Figur V,
welche der zweiten V, ähnlich und mit der ersten V gleichen Umfang
hätte, offenbar grösseren Inhalt haben als die zweite, also K'^F^ aiA
also auch V^V, was der Annahme widerspräche; daher muss F nach
allen Richtungen symmetrisch und folglich der Kreis sein.

Der umgekehrte Satz folgt nach bekannter Art indirect aas dem
ersten.

§ 6. Aus dem vorstehenden Hauptsatze lassen sich, wie schon Ein-
gangs erwähnt worden, eine sehr grosse Reihe von Aufgaben und Sätxai
über Maximum und Minimum, welche bei ebenen Figuren unter mannig-
faltigen Bedingungen stattfmden, meist fast unmittelbar beantworten und
als blosse Zusätze herleiten, was ich bei einer anderen Gelegenheit aus-
führlich nachweisen werde. Uebrigons kann der Hauptsatz unter anderen
noch auf zwei Arten einfach bewiesen werden, wovon die eine Art, ausser

Einfache Beweise der isoperimetrischen Hauptsätze. 83

I. Wenn o:ic commensurabel, etwa gleich l:m, wo m irgend eine
ganze Zahl ist (wäre a : ?c gleich n : m^ und n ebenfalls eine ganze Zahl
Z> 1, 80 würden, in Bezug auf alle Axen, X und Y nicht unmittelbar auf
einander folgen, sondern es lägen n — 1 andere Axen zwischen ihnen), so
liat die Figur V im Ganzen m Symmetral-Axen, die sich in demselben
Puncto M schneiden, und deren Abschnitte nach der Reihe um den Punct
M herum genommen, abwechselnd einander gleich sind. Der Umfang der
Figur besteht aus 2m gleichen Theilen, nämlich zwischen den nach glei-
eher Seite hin liegenden Endpuncten je zweier unmittelbar auf einander
folgenden Axen liegt ein solcher Umfangstheil; diese Theile bleiben un-
bestimmt, d. h. einer derselben kann willkürlich angenommen werden,
kann eine beliebige Linie oder Curve sein, und dann sind alle anderen
durch ihn bestimmt. Im übrigen sind dabei noch zwei Fälle zu unter-
scheiden, ob m gerade oder ungerade ist.

1) Wenn m gerade, so ist M Mittelpunct der Figur V, und die m
Axen sind abwechselnd einander gleich.

2) Ist m ungerade, so sind alle Axen einander gleich, die Abschnitte
aber, in welche sie durch den gemeinschaftlichen Durchschnittspunct M
getheilt werden, sind nach ihrer Aufeinanderfolge abwechselnd einander
gleich.

IL Wenn a : t: incommensurabel, so hat die Figur V unendlich viele
Synimetral-Axen, so dass nothwendig nach jeder beliebigen Richtung eine
solche stattfindet, woraus man* schliesst, dass in diesem Falle die Figur
nur der Kreis sein kann.

Von den Körpern.

§8^ Fundamentalsatz. Wenn von einer dreiseitigen Pyra-
mide die eine Kante, die daran liegenden zwei Seitenflächen,
so wie deren Flächenwinkel der Grösse nach gegeben sind, so
ist die Summe der beiden übrigen Seitenflächen dann ein Mi-
nimum, wenn dieselben zu jeder der ersteren, für sich be-
trachtet, unter gleichen Winkeln geneigt, und mithin einander
gleich (congruent) sind. Oder mit anderen Worten:

^Eine beliebige dreiseitige Pyramide ABCD (Taf. VI Fig. 5)
lässt sich in eine andere adc£2 mit einer gleichen Kante (od gleich
AJB)j gleich grossen daran liegenden Seitenflächen und gleichem
anliegenden Flächenwinkel verwand^oln, in welcher die Summe
der beiden übrigen Seitenflächen kleiner ist als in jener, und
welche eine Symmetral-Ebene hat, die nämlich die genannte
Kante €tb hälftet, auf ihr senkrecht steht und durch die zwei
übrigen Ecken der Pyramide geht."

84 fiinfacbe Buneise iter laapei'l metrischen tlauptsülze.

Beweist. Man bezeichne die unbegrenzte Gerade, in welcher dk^
gegebene Kante AB liegt, durch P und deuko sich durch die Ecken Q
D die unbegrenzten Geraden Q, Ü paraliol mit P, so können die Kaute
AB und die Ecken C, D beziehlich in diesen Geraden P, Q, R ange-
nommen werden, wo man will, die Pyramide wird immer alle gegeben^
Elemente enthalten und stets denselben Inhalt haben.

In P sei ah gleich AB und vi sei die Mitte von ab, also ma gleicfe
mi. Die Ebene X, welche in m auf P senkrecht steht, treffo die zwei
anderen Geraden Q und R, zu welchen sie gleichfalls senkrecht ist, in t
und d, so wird die Pyramide abcd alle gegebenen Elemente enthalten nnii
nach der Behauptung des Satzes die Eigenschaft haben, dass die Summe
der zwei Seitenflächen acd-\-btd ein Minimum ist. Aus der Coustruction
folgt (da nämlich die Dreiecke acd, bcd einander gleich sind, und ihre
Ebenen mit der Ebene X gleiche Winkel bilden), dass die in den Puncten
a, b auf den Flächen acd, bcd errichteten Perpendikel am, lue einander in
einem Puncte j: treffen müssen, dor in der Ebene X liegt, nnd dass

aJ! = ij: = r
ist. Betrachtet man die ^ier Pyramiden, welche- den PunctvE zur gemein-
schaftlichen Spitze imd die vier Seitenflächen dor Pyramide abcd beziehL'di
zu Grundflächen haben, so kann die letztere, wie man sieht, durch jene,
wie folgt, ausgedrückt werden:

abcd ^ aacd-{-xhcd — xabc — xabd.

Hält man die Kante ab fest, lässt dagegen die Ecken c, d in den
zugehörigen festen Geraden Q, R beliebig rücken, bezeichnet sie in d«
neuen Lage durch o,, d^, so bat die neue PyTamide abc,d, alle gegebenea
Elemente, und es musa gezeigt werdeu, dass die Flächeusumme
ac^d +bc,d, > acd+bcd.

Einfache Beweise der isoperimetrischen Hauptsätze. 85

machen, bezeiclme man die Höhen der Pyramiden aac^d^, abcß^y da die-
selben kleiner als r sind, dorcli r — w, r — r, so hat man nach der letzten
Gleichung

(r — u)ac^d^-{-(r — v)bc^d^ = r.acd+r.bcd,
daraus

r(ac,dj4-Ä<?,d^ — acd — bcd) = u.ac^d^-^-v.bc^d^
und folglich

o^jrfj+ÄCjdj > acd-\-bcd,
was die Wahrheit des obigen Satzes bestätigt.

§ 9. Ist die Grundfläche einer vierseitigen Pyramide DAEFB
(Tat VI Fig. 5) ein Paralleltrapez AEFB, dessen parallele Seiten
AB^ EF der Grösse nach gegeben sind, und sollen diese Seiten
und die Spitze D der Pyramide beziehlich in drei festen
parallelen Geraden Py S und R liegen, so bleibt der Inhalt der
Pyramide constant, man mag die Elemente ABy EF, D in den
festen Geraden P, S, R annehmen, wo man will; hingegen ist
die Summe der beiden Seitenflächen, ADE-hBDFy welche die
nicht gegebenen Seiten (AEy BF^ . der Grundfläche zu Grund-
linien haben, dann ein Minimum, wenn die Pyramide dae/b eine
Symmetral-Ebene X hat, d. h. wenn die Ebene, welche durch
die Spitze d der Pyramide und durch die Mitten m^ m^ der
gegebenen parallelen Kanten ab, ef geht, auf diesen Kanten
senkrecht steht.

Dieser Satz folgt, wie der blosse Anblick der Figur zeigt, leicht aus
dem vorhergehenden Satze. Denn die gegenwärtige vierseitige Pyramide
DAEFB kann im Allgemeinen als ein bestimmter constanter Theil von
der vorigen dreiseitigen Pyramide DABO angesehen werden, wobei dann
die Summe der beiden Seitenflächen ADE-^-BDFy deren Minimum
hier bestinmit werden soll, ebenfalls zu der Summe der Seitenflächen,
ADC-hBDC, welche dort betrachtet worden, ein bestimmtes constantes
Yerhaltniss hat, so dass also beide Summen zugleich, und zwar unter der
nämlichen Bedingung, ihr Minimum erreichen.

§ 10. Sind die parallelen Kanten AB, EF, GH eines schief-,
abgeschnittenen dreiseitigen Prismas AEGHFB (Taf. VI Fig. 5)
der Grosse nach gegeben, und sollen dieselben beziehlich in
drei festen Geraden P, S, T liegen, so. bleibt der Inhalt des
Prismas constant, man mag die Kanten in den festen Geraden
annehmen, wo man will, hingegen ist die Summe der beiden
Grundflächen, AGE-{-BHFy dann ein Minimum, wenn das Prisma,
wie etwa aeghfhy eine Symmetral-Ebene X hat, d. h. wenn die
Ebene, welche durch die Mitton w, w,, w, der gegebenen
parallelen Kanten a6, ef, gh geht, auf diesen senkrecht steht,

S0 Eiafacbe Benei^t^ der isoperimetrischon Hauptsätze.

Auch dieser Satz folgt, wie leicht zu Bohen, ähnlicherweise wie der
vorige fast unmittelbar aus dem obigen FundamontalKatzo (§ 8). — Wenn
infibesondere von den drei gegebcaon Kanten ii^end zwei, oder alle drei
einander gleich sind, so folgt aus anderen Gründen leicht, dass auch (ü
diesen Fall dor Satz unter den nämlichen Bedingungen stattfindet. GW-
ches gilt von dem vorhergehenden Satze (§ 9), wenn die beiden gegebenen
Kauten einander gleich sind.

Aumerkung. Es kann noch bemerkt worden, dasa auch für du
n-seitigo schief abgeschmttene Prisma, wenn dessen parallele Kanten ge-
geben sind und in festen Geraden liegen .sollen, der Satz auf analoge Vfem
stattfindet, nämlich: ättaa die Summe der beiden Grundflächen dann m
Winirpum ist, wenn die Ebene, welche durch die Mitten jener Eantea
geht, auf denselben senkrecht steht und mithin eine Symmotral-Ebene det
Prismas ist. Denn auch hier bleibt der Inhalt des Prismas constant, wenn
die gegebenen Kanten in den festen Geraden verrückt werden; jedoch irt
durch die Lage je dreier Kanton die Lage aller übrigen bestimmt. Mu
echliesst daraus weiter, dass der Satz auch für einen beliebigen Gylinder
gültig sei, wenn nämlich in irgend drei Geraden, welche in der Cylind»
fläche liegen (etwa P, S, T), droi Kanton (AB, EF, GH) des Cylindm
gegeben sind.

§ 11. Mittelst der vorstehenden drei Hülfssätze (§ 8 — lOJ lässt sich
jeder beliebige gegebene convexe Körper K unter Beibehaltung seines In-
haltes in einen anderen Körper Ä^ verwandeln, welcher kleinere Oberfläche
hat, und weicher in Bezug auf irgend eine Ebene X sjTnmetrinch ist.
Verwandlung geschieht auf ganz analoge Weise, wie oben boi den ebenen
Figuren (§ 3), nur kann sie nicht eben.so bequem durch Zeichnung veran-
schaulicht werden. Dalier begnüg» ich mich, das Verfahren durch folgeodo
Beschreibung anzudeuten.

Es sei z. B. irgend ein conveses Polyeder K gegeben. Aus den Ecken

Einfache Beweise der isoperimetrischen Hauptsätze. 87

elches mit dem gegebenen K gleichen Inhalt, aber offenbar kleinere
berfläclie hat als dieses, indem nämlich seine Oberfläche die Summe
ner veränderlichen Seitenflächen gerade für den besonderen Fall reprä-
»ntirt, wo von den letzteren zufolge der obigen Sätze die Summe je
xreier zusammengehörigen ihr Minimum erreicht. Das neue Polyeder K^
Eit demnach eine Symmetral-Ebene X und nothwendigerweise im Allge-
leinen mehr Ecken und mehr Seitenflächen als das gegebene Polyeder K
ie Vermehrung der Ecken und Seitenflächen hängt nämlich, wie man
emerken wird, von denjenigen Perpendikeln ab, welche durch das Innere
es Polyeders K gehen, die also ausser einer Ecke auch noch irgend eine
eitenfläche desselben treffen; durch jedes solche Perpendikel nimmt die
lahl der Ecken um eine Einheit zu, und zwar auch in dem Falle, wo
as Perpendikel eine Kante trifft, oder in einer Seitenfläche liegt; geht
»ber das Perpendikel insbesondere durch zwei Ecken, oder geht es nicht
Lurch das Innere des Polyeders K^ sondern nur durch eine Ecke desselben,
K> bewirkt es keine Vermehrung der Ecken. Die Zahl der Seitenflächen
rermehrt sich rascher, nämlich durch jedes Perpendikel, welches eine
Seitenfläche des Polyeders K trifft, kann sie um zwei oder mehr Einheiten
sunehmen.

Auf gleiche Weise kann nun femer das Polyeder E^ mittelst einer
neuen beliebigen Ebene y in ein anderes Polyeder K^ verwandelt werden,
welches bei gleichem Inhalte abermals kleinere Oberfläche, dagegen mehr
Ecken und mehr Seitenflächen hat, und . welches in Bezug auf die Ebene Y
symmetaisch ist Ebenso lässt sich dieses neue Polyeder K^ wiederum
verwandeln, wobei der Inhalt constant bleibt, dagegen die Oberfläche sich
verkleinert, die Zahl der Ecken und Seitenflächen aber sich vermehrt, und
wo das neu entstandene Polyeder K^ gleichfalls eine Symmetral-Ebene
hat; u. s. w.

Wird insbesondere die zweite Hülfs-Ebene Y zu der ersten X senk-
recht angenommen, und wird die Durchschnittslinie beider Ebenen durch z
bezeichnet, so ist das (dritte) Polyeder £, in Bezug auf beide Ebenen
X, Y zugleich symmetrisch, so dass z eine Symmetral-Axe desselben ist,
d. h. dass jede zu z senkrechte Gerade ab, welche der Oberfläche des
Polyeders in irgend einem Puncto a begegnet, dieselbe noch in einem an-
deren Puncte b trifft, und die Strecke ab durch die Axe z gehälftet wird.
Durch eine dritte Ebene Z, welche zu den beiden vorigen, oder zu der
Axe Zy senkrecht ist, erhält man ein neues Polyeder iQ, welches in Bezug
auf jede der drei Ebenen X, Y, Z synmietrisch ist, deren Durchschnitts-
linien z, y, X zu Symmetral-Axen, so wie deren gemeinschaftlichen Durch-
schnittspunct M zum Mittelpunct hat. Wird nun das Polyeder K^ mittelst
beliebiger Ebenen weiter verwandelt, so hat es sofort stets einen Mittel-
punct My 80 wie irgend drei zu einander senkrechte Symmetral-Ebenen,

fiQ Einfache Beweise der isoperi metrischen Uauptsätie.

die sich in demselben schneiden, nnd drei Symmetral-Axen, welche die
Durchschnittslinien dieser Ebenen sind.

Da durch wiederholtes Verwandeln das Polyeder so viele Seiteaflächoi
und Ecken erhalten kann, als man will, die Oberfläche aber stets schwindet,
BO müssen nothwendig die einzelneu Seitenflächen zuletzt sehr klein we^
den, so dass die Oberfläche sich irgend einer krummen Fläche nähert luid
endlich einer solchen sehr nahe, oder wie man sagt, unendlich nahe kommL
Wird in gleichem Sinne eine beliebige convexe krumme Oberfläcfae als ans
unendlich kleinen ebenen Theilchon bestehend angesehen, so läast sich der
Körper, der von derselben umschlossen wird, offenbar auf die nämlidu
Weise in einen anderen, symmetrischen Körper von kleinerer OberflächB
verwandeln.

Mi^ demnach die Oberfläche eines gegebenen convexeu Körpers i
beschaffen sein, wie man will, aus ebenen Flächen, oder aus einer einzigen
krummen, oder aus ebenen und krummen Flächen bestehen, so lässt sck
derselbe nach obiger Art so lange verwandeln und dadurch, unter Beib»-
haltuug des Inhaltes, seine Oberfläche verkleinern, als er nicht nach alleo
Richtungen Symmetral-Ebenen hat. Wenn aber der Körper nach einigen
Verwandlungen diesen Zustand erreicht, wo er nach jeder beliebigen Bick-
tung eine Symmetral-Ebene hat*), oder wenn er sich schon Anfangs in
diesem Zustande befindet, so hört die Verwandlung auf, nämlich so bleiU
die Oberfläche sowohl als der Inhalt, mithin der Körper selbst constint
Ein solcher Körper aber, welcher nach allen Richtungen Symmetral-Ebeneo
(und somit auch Symmetral-Axen) hat, boüitzt nothwendigerweise einoi
Mittelpunct, und es müssen alle seine Durchmesser einander gleich sein»
woraus folgt, dass es nur einen einzigen solchou Körper geben kuin, und
dass dieser die Kugäl ist

Einfache Beweise der isoperimetrischen Hauptsätze. 89

§ 12. Aus der vorstehenden Betrachtung schliesst man zunächst folgenden

Hauptsatz.

„Unter allen Korpern von gleichem Inhalte hat die Kugel
die kleinste Oberfläche;^ und umgekehrt: „unter allen Körpern
von gleicher Oberfläche hat die Kugel den grössten Inhalt.^

Der Beweis dieses Satzes ist deutlich in dem Vorhergehenden ent-
halten, bedarf also keiner Wiederholung, die indessen auf analoge Weise
geschehen konnte, wie bei dem obigen Hauptsätze (§ 5).

§ 13. Aehnlicherweise, wie soeben auf Körper im Allgemeinen (§ 12),
kann auch auf solche Körper insbesondere geschlossen werden, welche
zwischen bestimmten gegebenen Grenzen sich befinden, oder sonstigen Be-
dingungen unterworfen sind, wie z. B. auf prismatische oder pyramidalische
Korper von gleicher Höhe und gleichem Inhalte oder gleicher Summe der
Seitenflächen. Für diese genannten Körper tritt in Hinsicht der obigen
Verwandlung (§ 11) die Beschränkung ein, dass die Hülfs-Ebenen X^Y,...
simmtlich zu der Grundfläche des Körpers senkrecht sein müssen; ausser-
dem aber können sie beliebige Richtung habqn. Bei den prismatischen
Körpern kann jedoch eine einzige besondere Hülfs-Ebene mit den beiden
Grundflächen parallel sein, und zwar ist es diejenige, die von den beiden
letzteren gleich weit entfernt ist. Für die beiden Arten von Körpern er-
geben sich aus der obigen Betrachtung, wie man leicht bemerken wird,
folgende zwei Sätze:

I. „Unter allen prismatischen Körpern von gleicher Höhe
und gleichem Inhalte hat der gerade Cylinder die kleinste
Seitenfläche.^ Und umgekehrt: „Unter allen prismatischen Kör-
pern von gleicher Höhe und gleicher Seitenfläche hat der ge-
rade Cylinder den grössten Inhalt.^

n. „Der gerade Kegel besitzt die doppolte Eigenschaft,
dass er unter allen pyramidalischen Körpern von gleicher Höhe,

halben Axen O], cj gemein hat, trage in diese Ellipse wiederum die Gerade r als Halb-
messer ein, nehme die Hülfs-Ebene darauf senkreöht an und verwandle mittelst derselben
£,, so wird der neue Körper K^ eine Kugel sein, die der obigen Forderung genügt. —
Die Richtigkeit dieser Angaben ist leicht zu bestätigen.

Wenn demnach ein gegebenes Ellipsoid Ki insbesondere so beschaffen ist, dass
das Quadrat der mittleren Axe gleich dem Rechteck der beiden übrigen Axen, oder
6J gleich fliC], so kann dasselbe mittelst einer einzigen, gehörig gewählten Ebene Y
in eine Kugel verwandelt werden.

um den Spielraum der verschiedenen Richtungen, nach welchen die Gerade r sich
als Halbmesser in das beliebige Ellipsoid K eintragen lässt, anzuschauen, denke man
sich die mit dem letzteren concentrische Kugelfläche, welche r zum Radius hat; die
beiden Oberflachen werden einander in einer Curve von doppelter Krümmung schneiden,
durch welche zugleich eine mit jenen concentrische Kegelfläche zweiten Grades geht —
und diese ist, wie man sieht, der Ort des Halbmessers r.

90 Ein&cbe BeweiM der iwperimetriBcbeii Hxuptaltxe.

bei gleichem Inhalte die kleinste Seitenfläche, and bei gleicher
Soitenfläche den grössten Inhalt hat"

§ 14. In Rücksicht auf die obige Betrachtang (§ 11) ist hier ähn-
licherweise, wie in § 7, die folgende Frage zu stellea:

„Welche Gestalt kann ein Körper K m ö glich er veise haben,
wenn er zwei oder drei beliebige gegebene Symmetral-Ebeoen
hat, und wenn die Durchschnittslinie jeder dieser Ebenen mit
der Oberfläche des Körpers von jeder beliebigen Geraden in
nicht mehr als zwei Po ncten. getroffen wird?"

I. Bat der Körper K zwei Symmetral-Ebeneu 2^ }^ die einmi ge-
gebenen Winkel a einschliessen, und ist erstens a:n pommensurabel,
etwa gleich 1 : m, so finden im Ganzen m Symmetral-EbeDen statt, die
sich in einer und derselben Geraden z schneiden ; die Burchschnitte-Figorai
in diesen m Ebenen, so wie die Theile, in welche dieselben durch die
Gerade z getheilt werden, sind auf entsprechende Weise einander gleich,
wie bei der obigen Figur V (§ 7, 1) die m Äxeu und deren Abschnitte.
Die Oberfläche des Körpers besteht aus 2m Theilen, wovon jeder durch
zwei unmittelbar auf einander folgende Symmetral-Ebenen begrenzt wird:
sie sind abwechselnd einander gleich, so dass sie in zwei Abtheilnngen
zerfallen, deren jede m Theile umfasst, welche unter sich gleich sind;
ausserdem sind die zu der einen Abtheilung gehörigen Theile denen der an-
deren symmotrisch gleich. Im übrigen bleiben diese Theile unbestimmt,
sie können beliebige Flächen zwischen jenen ang^benen Grenzen sein.
Ist zweitens a-.v incommensurabel, so hat der Körper K unendlich
viele Symmetral-Ebenen, die sich in einer einzigen Geraden z schneiden;
alle Durchschnitts-Figuren dieser Ebenen mit der Oberfläche des. Körpers
sind einander gleich und jode wird durch die Gerade z in zwei gleicbe
Theile gethoilt, so dass also die Oberfläche offenbar durch Umdrehoi^
irgend einer Curvo um die Axe z erzeugt wird; diese Curve aber bleibt

Einfache Beweise der isoperimetrischen Hauptsätze. 91

weise genommeD mit dazu gehören, nach dem Vorigen (1, 1) bestimmt
-werden, im Allgemeinen irgend zwei Paare sich befinden (wo nämlich die
zwei Ebenen jedes Paares verschiedenen Systemen angehören), die sich
unter Winkeln schneiden, welche mit tz incommensurabel sind, so dass
also wiederum der Körper eine Kugel sein muss. Nur wenige einzelne
Fälle scheinen hierbei eine Ausnahme zu machen, wie namentlich die
zwei, wo von den gegeb^ien drei Winkeln a, ß, 7, 1) irgend zwei Rechte
sind, und 2) wo jeder derselben gleich ^tt, oder, was bei näherer Ansicht
auf dasselbe hinauskommt, wo der eine gleich ^tz und jeder der beiden
übrigen gleich -{-ic. Also:

Wenn der Körper K drei beliebige Symmetral-Ebenen hat,
die einander in drei Geraden schneiden, so ist er im Allge-
meinen eine Kugel.

)ber den Punct der kleinsten Entfernung.

Monatsbericht der Akademie der Wissenschaften zu Berlin

a. d. J. 1837, S. 144.

Heber den Punct der kleinsten Entfernung.

(Bericht über einen am 13. November 1837 in der Akademie der Wissenschaften

zn Berlin gehaltenen Vortrag.)

Durch leichte geometrische Betrachtungen wird* die charakteristische
Eigenschaft desjenigen Punctes gefunden und bewiesen, für den die Summe
seiner Abstände von beliebig gegebenen Functen ein Minimum ist, d. h.
deiner ist als die Summe der Entfernungen jedes anderen, ihm nahe liegen-
den Punctes, und welcher demgemäss „Punct kleinster Entfernung von
jenen Functen" heisst. Die Betrachtung gründet sich auf bekannte poly-
gonometrische und polyedrometrische Sätze und umfasst alle Fälle, die
S^gebenen Puncte mögen liegen, wo man will, in derselben Ebene oder
(beliebig im Räume. Ebenso wird als besonderer Fall unter allen Puncten,
ue in irgend einer gegebenen Linie oder Fläche liegen, derjenige bestimmt,
welcher in Bezug auf die gegebenen Puncte di& kleinste Summe der Ent-
*niungen hat, oder ein relativer Punct kleinster Entfernung ist.
uch wird ähnlicherweise die Eigenschaft desjenigen Punctes gefimden,
^^ Welchen, wenn man seine Abstände von den gegebenen Puncten mit
^S^benen Coefficienten multiplicirt, die Summe der Producte ein Minimum
'^) was übrigens der allgemeine Fall ist, indem er den vorigen zugleich
^asst Femer wird noch durch ein anderes elementares Verfahren der-
inige Punct bestimmt, für welchen, wenn man die n*^ Potenzen seiner
abstände von den gegebenen Puncten mit gegebenen Coefficienten multi-
Jücirt, die Summe der Producte ein Minimum ist, welcher Fall wiederum
^^ beiden vorigen umfasst und von dem Verfasser bereits bei einer an-
ier^n Gelegenheit angedeutet worden ist (CreUe's Journal Bd. XIII. S. 362)*).

*) Bd. n. S. 16 dieser Ausgabe.

V^on dem Kminmungs - Schwerpuncte

ebener Curven.

Crelle's Journal Band XXI. S. 33— 63 und 101 — 133.

/^«istug aus einer am 5. April 1838 in der Akademie der Wissenschaften

zu Berlin gehaltenen Vorlesung.)

Hierzu Taf. VII und Vm Fig. 1 — 11.

H\«V»^ r'i Werke. 11.

Von dem Krümmungs - Schwerpuncte

ebener Curven.

Bei Untersuchungen über Maximum und Minimum in Rücksicht geo-
metrischer Gegenstände wurde ich auf nachstehende Aufgaben geführt:

a) „Wenn aus einem beliebigen Puncto P in der Ebene
einer gegebenen und stetig convexen Curve 33 auf alle Tan-
genten der letzteren Perpendikel gefällt werden, so liegen die
Fusspuncte in irgend einer Curve V; denjenigen Punct S zu
Hnden, dessen Fusspuncten-Curve v den kleinsten Inhalt hat."

b) „Wenn die gegebene Curve 38 in ihrer Ebene auf einer

besten Geraden G so lange rollt, bis sie sich ganz umgedreht

^3t, 80 beschreibt jeder mit ihr verbundene Punct P irgend eine

^urve W; denjenigen Punct S anzugeben, welcher die Curve w

^*öm kleinsten Inhalte beschreibt." Und

c) „Die analoge Fragie, wenn die Curve 35 auf einer festen
^Urve U so lange rollt, bis ihr ganzer Umfang die letztere be-
ehrt hat.**

Es zeigte sich, dass den beiden ersteren Aufgaben ein und derselbe

bestimmte Punct S genügt, und dass überhaupt das Gesetz stattfindet:

^Äss für irgend einen Punct P die Curve W allemal gerade

doppelt so grossen Inhalt hat als die Curve F." Jener ausge-

xeiclmete Punct S aber, welcher die Curven (v und w) vom kleinsten In-

\ia\te erzeugt, hat in Bezug auf die gegebene Cuive 3S die merkwürdige

^gcnschaft: „dass er ihr Schwerpunct ist, wenn die Gewichte

ihrer einzelnen Puncte (die sie in unendlich kleine gleiche

Elemente theilen) sich verhalten, wie die respectiven Krüm-

^üögen, oder wie die umgekehrten Werthe der zugehörigen

Krfinaniungsradien." Deshalb ist der Punct S „Krümmungs-Schwer-

PDöct" der Curve 38 genannt worden. Von ihm und von dem Inhalte

^ ihm entsprechenden Curve v oder w hängt der Inhalt der jedem an-

100 Vom Kröminunns-Scbwerpiiutlc cboner Curven.

deren Puncte P entsprechendeii Curvo V oder VT ab, uod zwar nach dem
Oofietü: „dass Puncten, welche gleich weit von S entfernt siad.
Curven von gleichem Inhalte entsprechen: und dass die In-
lialls-Zunahme dem Quadrate jener Entfernung proportional ist'

Bei der dritten Aufgabe (c) ist zwar derjenige Punct 6, welcher die
(^urve w vom kleinsten Inhalte beschreibt, im Allgemeinen von dem vorigeo
(Ä) verschieden, indessen hängt or doch wesentlich von diesem ah, nod
seine Eigenschaft ist der des letzteren ganz analog.

Ist die gegebene Curve 9* nicht geschlossen, oder wird nur ein b^
liebiger Bogen AB derselben berücksichtigt, so dass nur auf die Tangenten
dieses Bogens PorpendikoJ gelallt worden, oder nur dieser Bogen auf der
Basis rollt, so ^ebt es gleichwohl einen boatimmten Punct R, welchem
die kleinste Figur p oder ip entspricht, und derselbe hängt wesentlich von
dem dem Bogen AB entsprechenden Puncte S oder S ab (aussenlem
noch von der Sehne AB und bestimmten Winkeln). Auch ist dann ebenso
der Inhalt der jedem anderen l'uncte P enteprechenden Figur V oder W
von dem Abstände des Punctcs i' von R abhängig, nämlich die Inhalts-
Zunahme V-^v oder W—io ist allemal gleich dem Quadrate diesem Ab-
stuides, multiplicirt in einen constanten Coefßcienten. Dadurch wird dif
Quadratur aller solchen Curven V oder W auf die von « oder «* zurück-
geführt. Wiewohl man sich vielfach mit dergleichen Curven beschäftig
hat, so findet doch meines Wissens dieses einfache Gesetz sich nirgends
aufgestellt. Trotzdem ist der Beweis de.sselben, so wie der zuvor angc-
deutoten Sätze, keineswegs .schwierig, sondern es kam vielmehr nur auf
das Auffinden der Sätze selbst an *). Jetzt werden sie sich auf ver-
schiedene Arten leicht beweisen lassen. Hier geschieht es auf geome-
trischem Wege, durch bloss elementare Betrachtungen, und zwar ohne
Voraussetzung der erforderlichen, anderweitig bekannten Uülfssätze. Näm-
lich die Betrachtung ninunt der Hauptsache nach folgenden Gang.

Vom Krümmungs-Schwerpuncte ebener Cunren. 101

llich klein werden lässt. Wird nun weiter das Vieleck 3S auf einer
ben Geraden rollend fortbewegt und dabei die von den mit ihm verbun-*
len PuDcten beschriebenen Figuren W berücksichtigt, so zeigt sich, dass
'.h hierbei die Hauptresultate sich gleicherweise auf die Eigenschaft des
iwerpunctes gründen, und dass dieselben bestehen bleiben, wenn das
lende Vieleck in eine Curve 38 übergeht. Endlich lässt man das Viel-
L SS auf einem festen Vielecke U rollen, wobei sich wiederum analoge
siiltate ergeben, die auch fortbestehen, wenn die Vielecke in Curven SS
d U übergehen*). In diesem letzten Falle gelangt man zu den allge-
dosten Resultaten (§ 34); sie umfassen gewissermassen alle vorhergehen-
Q und gestatten ausserdem noch zahlreiche andere specielle Folgerungen
35); auch folgt daraus unmittelbar die Quadratur vieler Curven, wie
B. der verschiedenen Arten Cykloiden, des Raumes zwischen parallelen
iTven, u. s. w.

Beiläufig bemerke ich noch, daJs der gegenwärtigen Untersuchung
le andere zur Seite steht, welche sich mit den folgenden Aufgaben und
m, was unmittelbar damit zusammenhängt, beschäftigt, nämlich:

a) In der Ebene einer gegebenen Curve 38 denjenigen Punct M zu
stimmen, dessen Fusspuncten-Curve v in Rücksicht auf jene unter allen
ß kürzeste ist?

ß) Wenn in der Ebene eine gegebene Curve 38 auf einer festen
sraden G rollt, denjenigen mit ihr verbundenen Punct M anzugeben,
sicher die kürzeste Curve w beschreibt? Und

1f) Dasselbe, wenn die Curve 38 auf einer festen Curve U rollt?

Auch hier findet sich: „dass ein und derselbe Punct M den
siden ersteren Aufgaben zugleich genügt"; oder noch mehr, es
idet sich, das allgemeine Gesetz: „dass die irgend einem Puncto F
itsprechende Fusspuncten-Curve V (n) gerade ebenso lang ist,
8 die von ihm beim Rollen (ß) beschriebene Curve W,^ Dies
hrt zur Vergleichung der Länge vieler, anscheinend sehr verschiedener
irvonpaäre und gewährt dadurch einige interessante Sätze.

Für alle drei Aufgaben lässt sich die charakteristische Eigenschaft
5S Punctes M auf geometrischem Wege angeben.

Durch diese Untersuchung gelangt man auch unmittelbar zur Rectifi-
tion einer bestimmten Reihe von Curven.

*) Zu diesem Gange der Betrachtung gaben die beiden speciellen Sätze von
itrrti^ Sturm und Lhuilier den ersten Anlass, welche in Bd. I. S. 51 des Cre/Ze^schen
umals (cf. Bd. I. S. 15 dieser Ausgabe) sich angeführt finden, und welche zunächst
n daselbst (so wie Bd. II. S. 265 desselben Journals, cf. Bd. I. S. 141 dieser Ausgabe)
wiesenen allgemeinen Satz zur Folge hatten, als dessen weitere Entwickelung die vor-
trende Abhandlung zum Theil anzusehen ist.

102 Vom KrnmmuDgs-Schwerpuiicte ebener Curven.

Vom Poncte der mittleren Entferimng.

■§1-
Fundamcntalsatz. „Zieht man aus drei beliebigen Pui:
A, M, B (Taf. VU Fig. 1) einer Geraden AB drei parallele Stra

AC = ö, MN= m, BD = b
in beliebiger Richtung nach einer anderen Geradon X, so
wenn man ^Af gleich 6, und ßA/ gleich a, setzt,
(1) aa,+hb^ = (a,-\-b,)m."'

Denn zieht man die Gerade BC, welche MN in E schneidet, t
wegen der parallelen Strahlen

ME:a = a^:a,-\-b, und NE : b = b, : a,-hb„
woran», da

ME'^EN=MN = in
ixt, jene Gleichung (1) folgt.

Hierbei ist noch 2U bemerken:

a) Der Satz findet statt, mögen die Puncl« A, M, B auf de[>
oder auf verschiedenen Seiten der Geraden X liegen. Nur sind im
teren Falle Strahlen, die auf vemchiedonon Seiten von X liegen, ah
gegengosetzt, die einen al» positiv, die anderen als negativ zu betra(
Dieser Gegensatz kann entweder in der Gleichung (1) durch die Ze
+ und — angezeigt, oder unmittelbar in der Figur berücksichtigt w(
Hier soll fortan dieses Letztere geschehen, und also auch im Fall<
F^. 2 auf Taf. VII statt der Gleichung

66, — aa, = (a,-t-6,)»»,

Vom Krümmungs-Schwerpuncte ebener Curven. , 103

*^ folgt aus jener Gleichung (1)

(4) aa-hßÄ = (a4-ß)w.

Werden daher die Puncte A* und B als fest, und die Grössen a und
ß als ihnen zugeordnet gegebene positive Coefficienten betrachtet, so er-
geben sich aus der Gleichung (4) nachfolgende Sätze:

a) Sind in einer Ebene zwei feste Puncte A und B nebst zuge-
hörigen Coefficienten a und ß gegeben, und sind a und b die Abstände
i^T beiden Puncte von einer beliebigen Geraden 'X, so ist die Summe
«<»^H-ßÄ stets gleich dem Producte (a-i-p)m aus der Summe a-i-ß der
Coefficienten in den Abstand m eines dritten bestimmten Punctcs M von
jener Geraden X. Dieser dritte Punct M liegt in der Geradon, die A und
ß verbindet, und theilt sie in Abschnitte, die sich umgekehrt verhalten
^e die ihren Endpuncten zugeordneten Coefficienten (3).

b) Soll die Summe aa+ß& einer Constanten K gleich sein, so dass

(5) aa4-ß* = (a+ß)m = Ä;

80 ist auch das Perpendikel m constant, so dass der Ort seines Fuss-
poDctes N eine Kreislinie ist, welche M zum Centrum und die Gerade X
in allen ihren Lagen zur Tangente hat.

c) Ist insbesondere K gleich 0, also

(6) aa+ß6 = 0,

so gebt die Gerade Xy weil m gleich 0 wird, in allen ihren Lagen durch
den Punct M.

§3.

^Sind in einer Ebene irgend n beliebige Puncte ^, jB, C, D, ...
nebst zugehörigen (positiven) Coefficienten a, ß, 7, 8, . . . ge-
geben, 80 giebt es immer einen anderen bestimmten Punct S
von der Beschaffenheit, dass, wenn aus jenen Puncten sowohl
als aus ihm Perpendikel a, by c, d, ... s auf jede beliebige Ge-
rade X gefällt werden, dann jedesmal folgende Gleichung be-
steht:

(7) aa-hßÄ-h-ycr-t-SdH = (a4-ß+T+8-i— ••)«."

Der Beweis dieses Satzes ergiebt sich leicht durch wiederholte An-
wendung des obigen Satzes (§ 2, a), nämlich, wie folgt:

Es seien zunächst nur drei Puncte Ay By C gegeben. In der Geraden
AB construire man den Punct My für welchen

AMiBM = ^:a

ist, so kann in Rücksicht jeder Geraden X stets gesetzt werden

aa-f-ßi = (a4-ß)wi.

104 Von Krämmimgs-6uliwerpuQcte ebener Curreu. •

Nun suche loan in der Geradon MC den Funct N, für welchen

MN:CN = 7 :(«+?),
so ist in Rücksicht jeder Oeradon X

und mithin

was unserem Satze gemäss ist, indem der Punct N und das aus ihm ■
die Gerade X gefällte Perpendikel n beziehlich die Stelle von S und i i
vertreten.

Wäre nun noch ein vierter Punct D g^eben, so suche maa in der 1
Geraden NJ) den Punct P, für welchen

NPxDP = t:{^+^+i).
Bann hat man für jede Gerade X '

((X-)-ß+T)»4:-M = Ca-+-ß+Y-l-S)p
und folglich

was wiederum dem Satze gemäss ist, indem P und p die Stelle von <S
und s einnehmen.

Es ist klar, dass man ähnlicherweise zur Bestätigung des Satzea ge-
langt, wenn 5, 6, . . . n Puncte gegeben sind, und dass durch dieses Ver-
fahren nicht nur die Existenz des eigcnthümlichcn Punctes S erwiesen,
sondern derselbe auch zugleich gefouden wird.

Vermöge der eben bewiesenen Eigenschaft heisst der Punct S „PoDct
der mittleren Entfernung" in Rücksicht auf die gegebenen Puncta

, B, C, . . . und deren Coefficientcu g, ß, 7, . . . . Er ist, wie man sieht.

Vom Krümmungs-Schwerpuncte ebener Curven. 105

^^ Uuthin s gleich s^ sein. Daher müsste die Gerade SS^ mit jeder be-
i^^mgen Geraden X parallel sein, was offenbar unmöglich ist. Also:
ufiiii gegebenes System von Puncton A, B, C, — und zugehö-
rigen Coefficienten a, ß, 7, . . . hat nur einen einzigen Punct der*
mittleren Entfernung, oder nur einen einzigen Schwerpunct S."
Daher gelangt man durch die obige Construction (§ 3), man mag nun
f die gegebenen Puncto in dieser oder jener beliebigen Reihenfolge combi-
iziren, stets zu demselben Puncto S. Hieraus ergiebt sich unmittelbar eine
£eihe von Sätzen über . die geradlinigen Vielecke (welche durch die jedes-
maligen gegebenen Pimcte bestimmt werden). Diese Sätze sollen an einem
anderen Orte ausfuhrlich entwickelt werden.

§5.

Soll die Summe der Producte aus den Perpendikeln in die respectiven
Coefficienten einen gegebenen oder constanten Werth K haben, soll also

(8) aa+ßi+'vc-f-Sd-t-- = (a-f-ß+'y-f-.8...> = K

sein, so ist der Ort der Geraden X eine Kreislinie; die S zum Mittelpuncte
hat. Der Radius s dieses Kreises ändert sich zugleich mit der Summe K^
und wird im directen Yerhältniss mit ihr kleiner und grösser.
Ist insbesondere K gleich 0, also

(9) ' aa-+-ßi-hT^+--- = (a-hß+'y...)s = 0,

so ist auch « gleich 0, d. h. die Gerade X geht stets durch den Schwer-
punct S; und umgekehrt, geht die Gerade X durch S^ so ist jene Summe
K stets gleich 0.

Aus diesem besonderen Falle ergeben sich weiter nachstehende Fol-
gerungen.

§6.

Zieht man aus dem Puncto S Strahlen a,, 6„ Cj, ... nach den
Puncten Ay By C, .^. . und bezeichnet die Winkel, welche diese Strahlen
mit einer durch S gehenden Geraden Xy nach einerlei Richtung genommen,
bilden, mit a, 6, c, . . . , so hat man

(10) a = a, sina, b = 6, sinb, c = {?,sinc, . . . ;

und werden diese Werthe der Perpendikel a, b, c, , , . in die vorige Glei-
chung (9) gesetzt, so erhält man folgende neue Gleichung

(11) aa,sina4-ßi,sinb-|-Y{?,sincH ^ 0,

welche, in Worten ausgedrückt, heisst:

„Der Schwerpunct S eines Systems von Puncten A, B, Q , ,,
mit den zugehörigen Coefficienten a, ß, 7, ... hat die Eigenschaft,

106 Vom KrämiDUDK^~'^'^l'iirerpuDcte ebener Cuiren.

(lass, weno mac die aus ihm iinüh jenen Puncten gezogenen
■Strahlen a,, b,, c„ ... mit den SinuK der Winkel a, 6, c, ..., die
sie mit irgend einer durch S gebenden Geraden X bilden, und
'mit den zugehörigen Ooefficienten a, ß, 7, ... multiplicirt, die
Summe aller dieitcr Producte beständig gleich 0 ist."

Der Satz gilt auch, wenn statt der Sinus der Winkel a, tl, c, ... die
Cosinus derselben genommen worden; was aus der Betrachtung zweier
unter sich senkrechton Geraden X klar hervorgeht. Man hat also auch

(12) aa,cOBa+pi|Cosb-)-YC,coscH = 0.

' Diettcr Satz hat bekanntlich auch eine statische Bedeutung. Weim in den
RicbtuDgeu von a,, /',, c,, . . . Kraft« auf den Funct S wirken, die des
Froductcn aa„ ^^, -fc,, ... pro[)ortional sind, so herrscht Gleichgewicht.

§'. ■

Zieht man femer aus irgend einem Puncte P der durch S gehenden
Geraden X Strahlen a, ^, c, . . . nach den Puncton A, B, C, . . . (die oben
durch a,b,c,... bezeichneten Perpendikel kommen hier nicht in Betracht),
so hat man, wenn PS gleich s gesetzt wird,

10' = nj+s' — 2a,sco8a,
b' = ö|+8' — 2Ä[Scosb,
c' = cj+s' — 2c,«cosc,

(13)

woraus durch Multiplication mit den respectiven CoefBcientcn a, ß, f, ...
und nachherige Addition entsteht

... faa'-+-ß*'+-rc'+-- =aaJ-Hß6J -+-■!:<'! H l-(a-Hß+T-l-">'

l — 2sCaa,cosa4-p6, C08b-l-^[c,cosc^ ),

und mithin zufolge der Gleichung (12)

Vom Krümmnnjj^-Sohwerpiincte ebeper Curven. J.07

ein anderer P, so ist die ihm entsprechende Summe 2I(aa*) um
das (a+ß4-')f...)-fache Quadrat seines Abstandes s vom Schwer-
puncte S grösser als jenes Minimum ^(aa').^

6) „Soll die genannte Summe der Producte l(aa*) constant, '
etwa gleich ^1 sein, so dass

so ist der Ort des Punctes P eine Kreislinie, welche allemal S
zum Mittelpuncte und s zum Radius hat.^ Und umgekehrt: „Punc-
ten, welche gleichweit vom Schwerpuncte S abstehen, ent-
sprechen gleiche Summen." Und ferner: „die Summe ü und der
Radius s ändern sich gleichzeitig und nehmen zugleich zu
oder ab."

Ifiemach hat der Punct S die dritte wesentliche Eigenschaft: dass er
der Pui^ct kleinster Quadrate der Entfernungen ist in Rücksicht der
gegebenen Puncto und Coefficienten *).

*) Ans der obigen Qleicbiing (16) — welcbe auf gleiche Weise stattfindet, die ge-
gebenen Puncte A, B^ C, ... mögen in einer Ebene oder im Räume beliebig liegen —
folgen leicht noch einige andere Relationen; wie z.B. die nachstehenden:

Lässt malt den wiUkärlicheu Punct P mit einem der gegebenen n Puncte A^ B^
C, — , z. B. mit A zusammenfallen, so ist

a ^ 0, 6 a» AB^ c = ACy d c= AD^ • • • i 5 = aj =3 AS^

und die obige Gleichung (16) wird für diesen Fall

(I) ß(^fi)> + r(^C')» + 8(i4Z>)2 + ... = 2(aa;) + o;2(a)..

Für jeden der gegebenen n Puncte findet eine analoge Gleichung statt. Wird jede dieser
Gleichungen mit dem dem jedesmaligen Puncte A, B, C, , . . zugehörigen Coefficienten
a, ß, 7, . . . multiplicirty und werden sodann alle Gleichungen addirt, so kommt

(II) ^[<iH^m = 2(a)2(aa«),

d. h. „wird das Quadrat jeder der \n(n — 1) Geraden, welche die gegebenen n Puncte
paarweise Yerbinden,'in die dem jedesmaligen Punctepaare zugehörigen Coefficienten
multiplicirt, so ist die Summe aller dieser Producte 2[aß(i46)^] gleich einem Producte,
dessen einer Factor die Summe der Coefficienten 2(a) und der andere die Summe der
Producte 2(aa}) aus den Quadraten der Abstände der gegebenen Puncte von ihrem
Schwerpuncte ^ in die respecti^en Coefficienten ist."

Wird die Gleichung (II) mit der obigen (16) verbunden und die Grösse S(aaJ)
fortgeschafft, so erhält man

(III) «2(a) = Vi (a) 1 (aa«) — 1 [aß (A ß)'^.

Diese Gleichung, durch 2 (a) dividirt, giebt den Abstand s des willkürlichen Punctes
P von dem Schwerpuncte S; ein Ausdruck, welchen Lagrange zuerst aufgestellt und auf
eigenthümliehe (doch nicht einfache) Art bewiesen hat {M^canique analytique, 1. 1, premiere
partie, sect. III, no. 20). Denkt man sich nach den Richtungen der Strahlen a, 6, c, . . .
Kräfte oa, ß6, yc, . . . wirkend, so giebt, wie leicht zu sehen, die vorstehende Gleichung (III)
die Grösse der Resultante «£(«), und zwar hat sie die Richtung des Strahles «, so dass sie
also jedesmal durch den Schwerpunct <S geht Demnach wird sowohl jener Abstand s

Vom KrnDipiuD(;s-Schwrrpuai.-te ebener Curren.

Zu der vorstchondeii Reihe vod Sätzoa kann man auch durch ein
aiidero elementare Entwickcluii^r gelangen, welche sich auf einen eben»
cinTachen Fundamenlalsalz gründet als die vorige (§ 1). Die Sätze geben
dann in umgekehrter Ordnung au« einander hervor, m dass man zoetsl
auf die eben ausgosprochcnen Resultate (§ 7) geführt wird und sofort am
dicuen die ihnen im Obigen vorangehenden Sätze ableiten kann. Für
Freunde einfacher geometrischer Betrachtungen möchte eine kune An-
deutung dieser anderen Entwickolungsart nicht unintercssaat sein; deshalb
Folgendes:

§9.
Fundamentalsatz. „Zieht man aus der Spitze P eines be-
liebigen Dreiecks APB (Taf. VII Fig. 3) nach irgend einem Puncte
M der Grundlinie AB die Gerade I'Al gleich m, bezeichnet die

als diese ReBultanto i2(<i) ^fundcn, sobald die Abstände der » Pnnde A, B, C, ...
von einander und von dem Puncte P, nebst den itgebörigen Coefficienteo o, p, f, ...
jicgeben sind.

Fnr jedon der n Puncte Ä, B,C, ... findet eine Gleichoi^ «on der* Form (1) itktt
Werden diese n Gleichungen addirl, so crhäh man

(IV) £[(<. + p)(Jß)'] = n2(<«.»)+2(«.)2(a»);

d. h. „wird das Quadrat des Abstandes je iwcier der g^ebeneo h Panel« J, B, C,...
mit der Summe der don beiden Puncten zugobürigoD Coefficienten multiplicirt, m> iA
die Summe der Producle S[(a + fl)(jlfl)'j gleich der n-fachen Summe der Producte uh
den Quadraten der Abstände («i, ij, c,, ...) der gegebenen Puncte lOn ihrem Schwtf-
punctc S in die lugohörigcn Coefficientcn n'S.{aaX), mehr dem Producte aus dar Sbbim
der CocfÜcicntrn in die Summe der letztgenannten Quadrate X(a)2(a}}.''
Aus (II) und (IV) die Grösse £(aa{) eliminirt, giebt

(V) 2(a;)aC«))' = 2{=.)2[(a + p)(^B)*]-«2[=>P(.iB)'I,

Vom Krümmungs-Schwcrpuncte ebener Curven. 109

Abschnitte AMund BM der Grundlinie beziehlich durch b^ und
a, und die Schenkel AP und BP durch a und 6, so ist immer

(17) a,a'-h6,i' = (a,+6,)wi»+(a,-h6Ja,6,.

Denn zufolge einer trigonometrischen Gnindgleichung hat man, wenn
9 den Winkel AMP bezeichnet

(18) co89 = 2i^— = 2^—,

woraus leicht jene Gleichung (17) folgt. Der Beweis kann übrigens auch
geometrisch durch den sogenannten verallgemeinerten pythagoräischen Lehr-
satz ebenso einfach geführt werden.

§10.
Setzt man

(19) «j : 6, = a : ß,

wo a und ß beliebige gleichartige Grössen oder Zahlen sind, so lässt sich
dadurch die obige Gleichung (17) in folgende verwandeln:

(20) oa'-hß*' = (a-f-ß)77j'-h(a+ß)a,6,,

woraus man unter anderen nachstehende Sätze schliesst:

d) „Sind in einer Ebene zwei feste Puncte A und B nebst
zugehörigen Coefficienten a, ß gegeben, und werden die Qua-
drate ihrer Abstände a, b von einem beliebigen Puncte P mit
den respectiven Coefficienten multiplicirt, so ist die Summe
der Producte aa*-hßÄ' stets um die Constante (a-|-ß)ai6, grösser
als das Product (a+ß)?»*, dessen einer Factor die Summe a-hß
der Coefficienten und der andere das Quadrat des Abstandes??^
des Punctes P von einem dritten, festen Puncte M ist. Dieser
dritte bestimmte Punct fliegt auf der Geraden, welche A und
B verbindet und theilt sie in Abschnitte, die sich umgekehrt
verhalten wie die ihren Endpuncten zugehörigen Coefficien-
ten« (19).

6) Sind die Puncte A und B nebst den Coefficienten a und ß
gegeben, und äoII die Summe aa'-f-ßi* constant, etwa gleich K
sein, 80 ist auch m constant und mithin der Ort des Punctes P
eine Kreislinie, deren Mittelpunct ^ist. Umgekehrt entsprechen
Puncten P, die gleich weit von M abstehen, gleiche Summen
aa'+ß£*. Auch nehmen diese Summe und der Radius m des
Kreises gleichzeitig zu und ab, so dass also

c) Die Summe aa*-hß6' ein Minimum, gleich a6J-hßaJ wird,
wenn m gleich 0 ist, d. h. wenn der Punct P auf den festen
Punct M fällt.

110 VojQ KrüiDmuiii^-Schwerpuncte ebener Cnrven.

a) „Ist in einer Ebeno irgend eine Anzahl beliebiger Fancte

A, B, C, ... nebst zugehörigen Goefficienten et, ß, 7, gegeben,

so giebt es einen anderen bestimmten Punct S von der Be-
sphaffenheit, dass, wenn mao aus jedem beliebigen Puucte P
Strahlen a, b, c, . . . s nach atlea Pancten zieht, immer

(21) aa'+ßi'+7c'+..- = C«+p-t-T+-")*'-l-^

ist, wo K eine coDstauto, aber von den gegebenen Elemente!
abhängige Grösse bezeichnet"

Der Beweis dieses Satzes ist dem des enteprechenden Satzes in § 3
analog. Er beruht Dämlich bloss auf wiederholter Anwendung des vorigen
Satzes (§ 10). Denn, seien zunächst nur drei Puucte A, B, C gegeboi,
so hat man in Rücksicht der Puncto A und B

aa'+pi' = (a-l-p)m'+Ca+ß)«,Ä,=(a-Hß)m*+(a+p)^Äf.BJ/,
und ferner in Rücksicht der Puucte M und C, denen die CoefBcientn
a+ß und T zugehdren,

C=t+ß)m'-f-fc' = (a-f-p+^)„'-H(a+ß-H7)AßV.CAr;
woraus durch Verbindung beider Gleichungen folgt:
aa'+ßi'+ic' = (a+ß+T)n'+(a+ß-f-r)jlßV.CAr-f-(a+ß)^Af.ßJf,
was dem Satze gemäss ist, da die zwei letzten Glieder rechts constant
sind. Der Punct N nämlich liegt auf der Geraden MC und theilt sie in
Abschnitte ü/.^ und C'^, die sich verhalten wie 7 zu a+ß, gerade ebenso
wie in §3; n ist der Strahl, der N mit dem beliebigen Puncto P ver-
bindet.

Gleicherweise gelangt man zum Beweise des Satzes lur vier, fünf, . . . ■
Puncte.

Aus dem vorstehenden Satze ergeben sich femer folgende Sätze:

Vom Krümmungs-Schworpuncte ebener Curven. 111

WO ttj, 6,, c,, ... die Strahlen sind, welche S mit den gegebenen
Puncten A^ B^ Cy , . , verbinden (§6), und wodurch die Con-
stante K auf eine zweite Art bestimmt wird.^

§12.

Wie man sieht, sind wir auf diesem zweiten Wege zu denselben
Sätzen gelangt, welche sich in § 7 finden. Die diesen letzteren voran-
gehenden Sätze kann man nun, wie schon in § 8 erwähnt worden, umge-
kehrt aus den vorstehenden leicht erhalten.

Femer lassen sich aus der gegenwärtigen Betrachtung unmittelbar
eine grosse Reihe von Sätzen über die geradlinigen Vielecke und den
Kreis entwickeln, welche von den früher erwähnten (§ 4) verschieden sind,
ihnen jedoch zum Theil, als in gewissem Sinne entsprechend, an die Seite
gesetzt werden können. Diese Sätze sind wegen ihrer Einfachheit und
ihres innigen Zusammenhanges unter sich besonders geeignet, beim Unter-
richte das Interesse der Schüler zu erwecken und dieselben zur' Selbst-
thätigkeit anzuregen; wovon mich frühere Erfahrungen überzeugt haben.
Ich werde dieselben an geeignetem Orte abhandeln; hier liegen sie ausser
unserem eigentlichen Zwecke. Aber auch ein grosser Theil der in dieser
Abhandlung enthaltenen Sätze lassen sich ohne Schwierigkeit dem Schul-
pensum einverleiben, und zwar um so leichter, wenn sie mit den hier
übergegangenen Sätzen, so wie mit denjenigen, Ivelche bei den nachfolgen-
den Betrachtungen, als von unserem nächsten Zwecke abliegend, unberück-
sichtigt bleiben müssen, im Zusammenhange vorgetragen werden.

§13.

In Bezug auf die obigen Sätze (§ 11 oder 7) kann noch Folgendes
bemerkt werden:

Sind die Summen der Producte aa'-f-ß6'+ifc''H — für zwei gegebene
Puncte P und P^ bekannt, sind sie z. B. 1 und ^^, so hat man vermöge
Gl. (22) in §11

oder

(24) .'-»: = -^:^T::r> * .

WO 8 und 8^ die Strahlen sind, welche die gegebenen Puncte P und P,
mit dem Schwerpuncte S verbinden. Diese Strahlen s und s^ werden
durch die Gleichung (24) nicht bestimmt. Sieht man sie aber als ver-
änderlich an, als Strahlen, welche die Puncte P und P, mit irgend einem
Puncte S, verbinden, so ist, da der Ausdruck rechts in Gl. (24) constant oder
gegeben ist, der Ort des Punctes S^ eine leicht zu construirende Gerade,

112 Vom KrDm[Duugs-Schveq>UDCtc ebeuer Gurren.

welche auf der GenideD PP, senkrecht ateht und durch den SchwerpUMt

S geht. Könnt man daher noch von einem dritten gegebenen Foncte P,

(welcher jedoch nicht in der Geraden PP, liegen darf) die ihm eotsprecheBdi

Summe 1,,' so ist der Schwerpunct S bestimmt und leicht zu finden.

Nämlich er muss dana in noch zwei Geraden liegen, welche mittelst dtt

Gleichungen

. . 2—2, . , , 2,-2,

s' — s; = -,■■ — ' und <; — »! = — T — =*

' a+pH-TfH— ■ ' ' a-)-p+-[-t— .

gefunden werden. Der gemeinsame Durchschnitt dieser beiden GeradM
mit der ersten (24) ist der verlangt« SchworpUnct S.

Femer ms^ noch erwähnt werden, dass, wenn statt der Coetfieientn
a, p, 7, . , ., welche einem gegebenen Systeme von Pnncten Ä, B, C, ...
angehören, andere genommen werden, ce,, ^,, f,, . . ., die sich unter eiB-
ander so verhalten wie jene ersten, der Schwerpunct 8 des Systems 1«
beide Fälle derselbe ist. Denn al»dann lassen sich die nenen CoefBcientoi
'^i ßii Tk - ' - immer durch .m, Aiß, ir[, ... ausdrücken, wo m irgend «ne
bestimmte Zahlengrö»se beKoichnet.

Von den Fnaspuncten-Vielecken nnd Fnsspancten-CnrveD.

A, Von den Fnaspancten-Vielecken.
§14.
Erklärung. Fällt man auf alle Seiten eines gegebenen Vielecks S
aus einem in seiner Ebene liegenden Puncto P Perpendikel und verbinde
deren Fusspuncte der Reihe nach paarweise durch Gerade, so entsteht ein
neues Vieleck V, welches dem gegebenen eingeschrieben und mit dem-
selben von gleicher Gattung ist Dieses neue Vieleck F* soll fortan „Fnss-

(25)

Vom Krümmungs-Schwerpuncte ebener Curven. 113

ändert, ' deren Mittelpunct aber stets ein und derselbe feste
Panct S ist. Dieser Punct S ist nämlich der Schwerpunct der
Ecken des gegebenen Vielecks 3S, insofern jeder derselben der
Sinus des doppelten Nebenwinkels von dem an ihr liegenden
Winkel des gegebenen Vielecks IB als Coefficient zugeordnet
wird.* .

Es sei etwa ABCD (Taf. VII Fig. 4) das gegebene Vieleck 58, und
aus einem beliebigen Puncto P seien auf die Seiten desselben die Per-
pendikel PA,, PB,, PC,, PD, gefällt, so ist A,B,C,D, das dem Puncte
P entsprechende veränderliche Fusspuncten- Vieleck V, Bezeichnen wir
ferner durch o, ä, c, d die veränderlichen Strahlen PAy PB, PC, PD,
welche von dem Puncte P nach den Ecken des gegebenen Vielecks 33
gehen, und durch -4, JS, C, D die Nebenwinkel der diesen Ecken anliegen-
den Winkel DAB, ABCyBCD, CDA, so hat man vermöge der constanten
(und theils rechten) Winkel der Vierecke AD, PA,, BA,PB„ . . . zwischen
dem Inhalte dieser Vierecke und dem der entsprechenden Dreiecke D,PA,\
A^PB,, ... folgende Gleichungen:

{2D,PA,—AD,PA, = ia'sin2A,
2A,PB^'-BA,PB, = i6'sin2Ä,
2B,PC, — CB,PC, = ic'sm2C,
2C,PD, — DC,PD, = id'sin2Z).

Nun machen aber die in diesen Gleichungen enthaltenen Dreiecke
zusammen das Vieleck A,B,C,D,, und die vorkommenden Vierecke zu-
sammen das Vieleck ABCD aus; also folgt durch Addition derselben:

(26) 2A,B,C,D,'-ABCD, = Ka'sin2^+6»sin2JS+c'sin2C+d'sin22)).

Es ist klar, dass man allemal eine ähnliche Gleichung erhält, so viele
Seiten auch immer das gegebene Vieleck 93 haben mag. Daher ist all-
gemein, wenn S den Inhalt des gegebenen und V den Inhalt des Fuss-
puncten-Vielecks bezeichnet,

(27) 4(2 F— ») = a'sin2^-h6'8in2ß-hc'sin2C+... = 2(a'sin2^).

Durch diese Gleichung wird die Richtigkeit des Satzes vollständig
dargethan. Denn soll der Punct P so gewählt sein, dass der Inhalt V
seines Fusspuncten- Vielecks eine gegebene constante Grösse sei, so ist auch
die Differenz (2F— SS) constant; und dann stimmt die Gleichung (27)
ganz mit der früheren (Gl. (22) in § 11, oder Gl. (16) in § 7) überein,
indem die bekannten Grössen sin 2^^ sin2ß, ... die Stelle der früheren
Coeffidenten o, ß, . . . vertreten. Deshalb muss auch im gegenwärtigen
Falle der Ort des Punctes P eine Kreislinie sein, welche den im Satze
beschriebenen Schwerpunct S zum Mittelpuncto hat.

8t«iB«r't Werke. IL S

beschri»- 1
eliebig»» y

114 Vom KrümmuDiFS-Schverpuncte ebener Cnrrea.

§16.
Um deD aufgestellten Satz ausführlicher zu erörteni, werde die leUe
Gleichung (27) nach dem Muster der Gleichung (16) in § 7 umgewuM;
dadurch erhält man

!4(2r— S3) = a;ain2^-Hi;sin2ß+c;sin2C+-"
+ 8'(3in2^+ain2ß4-sin2C+---)
= 2(«;sin2^)+8'I(sin2^),
wo nämlich a,, b„ c,. ... und s die Strahlen sind, welche den
bencn Schwerpunct 8 mit den Ecken Ä, B,C, . . . und mit dem beliebig»**
Puncte P verbinden.

Bezeichnet man also mit v den Inhalt desjenigen Fusspuncten-TitB —
eck«, welches dem Schwerpuncte S selbst entspricht, so ist für diesi^V
Fall s gIeich-0, und mithin

(29) 4(2v— 3i) = 2(a;8in2^).

Zieht man diese Gleichung von der vorhergehenden (28) ab, so erhält m^K

(30) i{V—v) = is'2(sin2^).

Ilieraas sieht man: „dass die InhaltH-Zunahmo des Fusspuncten
Vielecks V mit dem Quadrate des Abstände» s des zugehörige^*
Punctes P vom Schwerpuncte S in gleichem Verhältnisse wich»
oder -schwindet." Femer folgt daraus:

„Dass im Allgemeinen unter allen Fusspuncten-VieleckiC
dasjenige v, welches dem Schwerpuncte S entspricht, entwedeV
i'in MinimiiTii oder ein Maximum des Inhalts liat, je uac
licziehlich die constante Grösse I!(sin2.d) positiv oder

Ob aber diese Grösse 2(sin2^) positiv oder negativ sei, hiuigt von j
folgenden Umständen ab. Nämlich: 1) sind die Winkel ,^, ß, C, . . . aH« |

Vom Krümmungs-Schwerpuncte ebener Curven. 115

§17.

Für spätere Untersuchungen ist es zweckmässig, die Bedeutung des
Ausdrackes

: (31) is'l(sin2A) = :^8'sin2^+is*sin2ß+is'sin2C4— •,

^ welcher die vierfache Differenz zwischen den Inhalten der Fusspuncten-

j Vielecke eines beliebigen Punctes P und des Punctes S repräsentirt (30),

Daher anzugeben. Wir beschränken uns hierbei auf den bestimmten Fall,

n. / ^0 das gegebene Vieleck 38 convex ist, und wo überdies die Nebenwinkel

/ ^, ß, Cy , . , seiner sämmtlichen Winkel spitz, also 2 (sin 2^) positiv ist.

I ii diesem Falle ist bekanntlich die Summe der Nebenwinkel A, B, C, .,.

j gleich 2ic, und daher

■ (32) 2A-i'2B+2C+2D-h'' = 4Tr.

Wird, bemerkt, dass ^5*sin2^ der Flächen-Inhalt eines gleichschenkligen

Dreiecks ist, dessen Schenkel gleich s sind, und dessen Winkel an der

Spitze gleich 2-4 ist, so folgt, dass die Grösse ^s' 2 (sin 2-^) in Gl. (31)

al^ die Inhaltssumme von n gleichschenkligen Dreiecken anzusehen ist,

deren Schenkel alle, gleich s, und deren Winkel an der Spitze beziehlich

2-A, 2J5, 2C, . . . sind. Man denke sich ein Vieleck U von der Beschaffen-

bcit, dass es einem Kreise vom Radius s eingeschrieben ist, in demselben

zwei Umläufe macht*), und dass die über seinen Seiten 81, S, 6, . . .

st^tenden Centriwinkel jenen Winkeln 2-4, 2B, 2C, ... beziehlich gleich

(und zusammen gleich 4ir) sind, so ist der Inhalt dieses Vielecks offenbar

^^ Summe der genannten Dreiecke; denn jenes wird durch die nach seinen

^ken gehenden Radien in der That in diese zerlegt. Also ist

(33) • i«'2(sin2^) = ü,

und daher (30)

4(V—v) = U,

oder

(34) V=v+^.ü.

Somit hat man für den gegenwärtigen Fall folgenden Satz:

„Ist in Rücksicht eines gegebenen Vielecks fÜ der Inhalt
des dem Schwerpuncte S entsprechenden Fusspuncten-Vielecks
V bekannt, so kann der Inhalt jedes Fusspuncten-Vielecks F,
welches einem beliebigen, von S um die Entfernung s 'abstehen-
den Puncte P entspricht, dadurch gefunden werden, dass man
zu jenem Inhaltet? den vierten Theil des Inhalts eines anderen

*) Leser, welche mit solchen Vieleckeii nicht vertraut sind, können sich einen Be-
griff davon machen, wenn sie z. B. in einem beliebigen Fünfecke im Kreise die fünf
Diagonalen in einem Zuge ziehen; denn diese sind sofort die Seiten eines Fünfecks von
zwei Umläufen.

1I6 Vnrn Krömmunffii-Schwerpuni'te clioner Curveil.

bestimmten Vielecks U addirt. Dieses andere Vieleck [7 i»t
einen] Kreise vom Radius .s eiDgeschriobon, macht in demselbeB
Y.viol Umläufe, und über seinen Seiten stehen Centriw-ink«).
die den doppelten Nebenwinke'In der Winkel des gegeben«
Vielecks « gleich sind.«

§ It^-
Anmerkung. Auch hier müssen zahlreiche specielle Sätze ühff-
gangen werden, welche isicb unmittelbar aus dem Vorstehenden ableiba
Hessen. Nur rollende im Eingänge erwHhnte Sätze von Querret, Sturm.
und Uiuilier über dan beliebige Dreieck und da-s regel massige Vielwli
(n-Eck) mögen hier Platz finden.

1. Bei einem beliebigen Dreieck 33 {ABC) kann leicht direct nsch-
gewiesen werden, dass der Mittclpunct des ihm umschriebenen Kreiä»«
zugleich der Sehwerpunct S der Ecken ist, wenn diesen die Sinns der
doppelten Nebenwinkel als CoefGcienten zugeordnet sind. Dasselbe kuB
aber auch aus dem obigen Satze (§ 17) geschlossen werden. Denn filll
der Punct P mit einer der Ecken des Dreiecks zusammen, so wml dff
Inhalt des Fusspuncten- Dreiecks jedesmal gleich 0; daher liegen die ilrei
Ecken in einem Ortekreise, dessen Mittelpunct der genannte Schwerpunct S
sein muss. Femer scliliesst man hieraus den bekannten Satz: „dass, veno
aus irgend einem Puncto des dem Dreiecke umschriebenen Kreises Per-
pendikel auf die drei Seiten des Dreiecks geliillt werden, dann die Fusi-
puncte dieser Perpendikel allemal in einer Goraden liegen. -Es muas näm-
lich wieder der Inhalt des Fusspuncteu-Dreiecks gleich 0 sein.

2. Der citirte Satz über jedes regelmässige Vieleck 3j folgt gleich-
falls sehr leicht. Nämlich einmal daraus, dass alle Winkel des VielecU
und also auch alle CoefHcienten siu2^, siu2£, sinSC, ... unter sich gleich
sind, mithin der Mittelpunct des Violecks zugleich der ihm zugehörige

Vom Krümmungs-Schwcrpuncto ebener Curven. 117

ncte Sy so hat man folgende Gleichungen (§ 17 und § 13):

(35) \V-V, = i(8=-«J)2(8in2^),

Mcht man Ä, s^, s^' als veränderlich an, dagegen f^ F,, K, und 2(sin2^)
ils constant oder die Puncto P, P,, I\ als fest, so werden durch diese
Gleichungen drei Gerade Xj, X,, X bestimmt, welche auf den Seiten des
Dreiecks PP,P, senkrecht stehen und sich im Schwerpunctc S gegenseitig
schneiden (§ 13). Durch je zwei derselben wird also im Allgemeinen der
Schwcrpunct S gefunden.

B. Von den Fusspuncten-Curven.

§20.

Das der vorigen Betrachtung zu Grunde liegende Vieleck 33 kann man
n der Vorstellung sich so verändern lassen, dass es immer mehr sich
fgend einer Curve nähert und endlich in diese übergeht. Lässt man näm-
ich die Seitenzahl des Vielecks immer mehr zunehmen, jede einzelne
rite aber zugleich schwinden, so nähert sich das Vieleck, wenn die Seiten-
ihJ sehr gross und jede Seite sehr klein geworden' ist, offenbar irgend
ler Curve; und wird die Seitenzahl unendlich gross und jede Seite un-
dJich klein (wie man zu sagen pflegt), so kann schlechthin das Vieleck

eine Curve angesehen werden. Ebenso kann man umgekehrt jede gc-
)ene Curve Iß als ein Vieleck von unendlich vielen Seiten betrachten,

alle unendlich klein sind. Dabei ist klar, dass die verlängerten Seiten
1 Vielecks in die Tangenten der Curve übergehen, und dass die oben
rachteten Nebenwinkel Ay B, C, . . , bei der Curve unendlich klein
rden, indem sie nämlich hier die äusseren Winkel sind, unter welchen
1 die zunächst auf einander folgenden Tangenten der Curve gegenseitig
neiden, oder, wenn man sich kurz fassen will, als die Winkel ange-
en werden können, welche die einzelnen Tangenten in ihren Berührungs-
icten mit der Curve selbst bilden. Ferner ist klar, dass beim Ueber-
lg des Vielecks 58 in eine Curve, auch das irgend einem Puncto P zu-
örige Fusspuncten-Vicleck V in eine Curve irbergeht, welche daher
Icherweise: „Fusspuncten-Curve des Punctes P in Bezug auf
' gegebene Curve SS*' heissen soll. Sie ist nämlich der Ort der Fuss-
icte aller aus dem Puncte P auf die Tangenten der Curve 33 gefällten
pendikel. Dass diese Fusspuncte in der That eine continuirliche Curve
len, erhellt auch unmittelbar aus der Anschauung. Denn wenn ein
fiter Winkel sich so bewegt, dass, während der eine Schenkel als Tan-
te an der Curve 35 fortschreitet, der andere beständig durch den festen

JJ8 V<im Rrummungs-Schwerpuncle eigner ('urvuli,

Punct P geht, so beschreibt sein Scheit«! eine Cnrve, nämlich die ge-
nannte Fusspuncten-Curve V.

Da auf diese AVeise die Vielecke 33 und F in die Curven 93 und F
i'ibcrgchen, so mnxsen notfawendig die oben über jene aufgestellten 8älie
auch für diese ihre Gültigkeit behalten. Daher kann z. B, unmittelbar ge-
schlassen werden: a) dass es für jede geschlossene und convexc Curve $
einen Punct S geben muss, dessen Fusspuncten-Curve v in Bezug auf jene
luiter allen den kleinsten Inhalt hat, und dass allen um einen gleichen
Abstand s von S entfernten Puncten P Fusspuucten-Curvcn V von glei-
chem Inhalt entsprechen, und auch umgekehrt: fi) dass unter den 5^
nannten Grossen ^. v, s, fetc.) auch die obigen Gleichungen (§ 16 und § 17)
bestehen; c) dass femer, wenn die gegebene Curve 33 einen Mittelpunct
besitzt, derselbe auch zugleich jener eigenthümliche Punct S sein mii£s
(§ 18, 2) u. s. w.

Aus diesen angedeuteten Sätzen Hessen sich nun z. B. iu Bezug ao(
don Kreis und die Ellipse unmittelbar eine R«ihe von Sätzen ableiten.
Denn da man in Bezug auf den Kreis die Fusspnncton- Cnrve
Mittelpunctos S, und bei der Ellipse die Fusspuncten-Curve V ihr»» Brenn-
punctes P, so wie dessen Abstand s vom Mittelpunct S kennt,
für beide leicht der Inhalt der Fn.sspunct«n-Curvß jedes beliebigen Punct«
P gefunden werden. Auf diese Sätze werden wir spater zurückkommen.
Zunächst aber \»i die Eigenschaft des Punctes S bei allgemeinen Ourv«
bestimmter anzugeben und dessen Beziehung zu der Curve selbst
zu erforschen,

§21.

Da die Bestimmung des Punctes S beim Vielecke 33 von den Sinns
der doppelten Nebenwinkel 2^, 2ß, 2f, ... abhangt, diese Winkel aber
bei der Curve 33 unendlich klein, ihre Sinus mithin unbrauchbar werden,
so kommt es darauf an, zu erforschen, welche andere bestimmte Grössen

Vom Krümmun^s-Schwerpuucte ebener Curven. 119

und bezeichne durch h die halbe Seite des Vielecks, so dass ,

so hat man z. B. vermöge des Vierecks AA^RB^^ in welchem RA^ gleich
RB^ gleich ol^ und die Winkel bei -4, und jB, rechte sind, folgende Glei-
chung:

(36) sin(2^) = 4i?L(?^=4A(4-^u).

Ebenso ist

und daher ist z. B.

sin(2^) _ T /^ < h\ \ / T? ^^Y. \

^"^^^ sin(26') ~ a V a* aW'V f f /

Es kommt nun darauf an, den Werth dieses Verhältnisses (37) für
den Fall zu bestimmen, wo das Vieleck SS in eine Curve übergegangen
ist. Da, um zu diesem Falle zu gelangen, die halbe Seite h immer kleiner
und zuletzt unendlich • klein werden muss, so nähern sich aj und a, Yj
und 7 immer mehr der Gleichheit, bis zuletzt schlechterdings «j gleich a
und Yj gleich ^ zu setzen ist. Dann wird aber zugleich

aj : a' = 1, y? ^ t' = 1
und, weil h gegen a und ^ unendlich klein ist,

*>=0 und -^> = 0.

Demnach hat man als Grenzwerth des Verhältnisses (37), oder fik die
Curve aS:

(38) sin(2^) : sin(2(7) = ^:a = —: — '

OL 7

In diesem Falle aber sind die Strahlen a, ß, y, ... die Krümmungs-
radien der Curve 35 in den Puncten A^ B, C\ . . . , was aus der Con-
struction erhellt. Denn es ist z. B. R der Mittelpunct und a der Radius
eine^ Kreises, der durch drei auf einander folgende Ecken Z, Ay B des
Vielecks 5B geht, und welcher beim XJebergang des Vielecks in die Curve
zum Krümmungskreise dieser letzteren im Puncto A wird. Somit sind
wir zu folgendem Resultate gelangt (38):

„Die Sinus der doppelten Winkel 2A, 22?, 26', ..., welche
die Tangenterf einer Curve SS in ihren BerührungSpunctcn mit
der Curve selbst bilden (oder unter welchen sich die auf ein-

}2Q \'om KriimniQncs-.Schwerpiintle ebener Curven-

ander folgendpii Tangenten sehn ei den), verhalten sieb umge-
kehrt wie die Kriimmungsradien a, ß, y oder direct wie die

Krümmungeii der Curvo in deu hetreffeodon BerühroDg«-
puncto n."

Dieses Resultat kann auch &ub folgender Betrachtung abgeleitet
den. Da der durch A bezeichnete Winkel (Nebenwinkel von ZAB) dmi
Winkel AiRB, gleich und dieser durch den Strahl RA gleich a gehälfifl
ist, so hat man

sinA

2sina

lind ebenso

sinß =

Daher ist z

siojI

.inf

und fiir den l-'a!!, wo das Vieleck in eine Curve übergeht, also a, gleich«
und 7, gleich y wird, erhält man

(ity) sin^l:sinC" = t:a= A;A.

Hiermit sind wir m dem zweiten Resultate gelangt: „dass auch fi\t
Sinuw der einfachen Winkel, welche die Tangenten in ihrfii
Beriihrungspuncten mit der Curve 3? bilden, sich verhalten
wie die diesen Puncten zugehörigen Krümmungen der Curve."
Dieses Resultat steht mit dem vorigen (38) nicht im Widerspruche
vielmehr wird das eine durch da* andere bestätigt. Denn weil

sin(2^): sinC2C') ^ sin^cos-i : sinCoosC,
für sehr kleine oder imendlich kleine AVinkel A und C aher schlechlliiit

Vom Krümmungs-Schwerpuncte ebener Curven. 121

§22.

Durch das obige Resultat sind wir nunmehr in den Stand gesetzt, bei
er Curve 3S den Punct S vermittelst gewisser anschaulichen und end-
len Grössen zu bestimmen. Nämlich es können zur Bestimmung von S
ii der unendlich kleinen Coefficienten sin 2^, sin2ß, sin2C, ... die
aen proportionalen umgekehrten Werthe

i. _1 JL

a' P ' T ' ' " '
er rcspectiven Krümmungshalbmesser a, ß, y, . . . der Curve SS genommen
erden. Hiemach steht der bestimmte Punct S in folgender Bezie-
mg zu der Curve 33. „Er ist ihr Schwerpunct, wenn sie in
endlich kleine gleiche Elemente gotheilt und in den Thei-
figspuncten mit Gewichten belastet gedacht wird, welche sich
igekehrt verhalten wie die zugehörigen Krümmungshalb-
-sser, oder direct wie die zugehörigen Krümmungen." Aus
Sem Grunde soll der Punct S künftig „Krümmungs-Schworpunct"
f Curve 33 genannt werden.

Es wird hiermit wiederum augenscheinlich (§20), dass, wenn die
irve 35 einen Mittelpunct hat, dann ihr Krümmungs-Schwerpunct S mit
esem zusammenfallen muss.

§ 23.
Dass die früher über das Vieleck 33 aufgestellten Gleichungen und
tze auch für den Grenzfall, wo dasselbe in eine Curve 33 übergeht, noch
Itig sein müssen, ist einleuchtend und früher schon erwähnt worden
20). Daher hat man auch für die Curve, in den nämlichen Zeichen
1 Im nämlichen Sinne verstanden, unmittelbar, den Gleichungen (27),
I) und (34) entsprechend, folgende Gleichungen

42) 4(2 F— 33) = 2(a^sin2^),

43) 4(2 r— 33) = I(a]Hm2A)+8'I(sm2A%

44) 4(V—v) == i8'I(sm2A) = ü.

?se Gleichungen, in Worten ausgesprochen, enthalten zunächst folgende
ze:

a) „Soll in Rücksicht einer gegebenen geschlossenen und
erall convexen Curve 33 der Inhalt der irgend einem ver-
ierlichen Puncto P entsprechenden Fusspuncten-Curve V con-
,nt bleiben, so ist der Ort des Punctcs P eine bestimmte
eislinie, deren Radius s mit jenem Inhalte F zugleich grösser
?r kleiner wird, deren Mittelpunct aber immer ein und der-
be feste Punct, nämlich der Krümmungs-Schwerpunct S der
[ebenen Curve 33 ist." Und umgekehrt: „Beschreibt man aus

122 Vom KniiDiniLDcs-Schwerpiiucte ebener Onrveii.

dem Krömmungs-Schwerpuncto S der gegebenen Curve 2J irgend
einen Kreis, so entsprechen allen auf dieser Ereislioie liegen-
den PuQCtcn /* Fusspuncten-Curvon T von gleichem lahslte."

b) „Unter allen Fusspuncten-Curven V einer gegebenen ge-
schlossenen und überall convcxen Curve Üß hat diejenige den
kleinsten' Inhalt v, welche dorn Krümmungs-Schwerpuncte 8
der Curve 93 entspricht." .

Um die Inhalts-Zunahme genauer angeben zu kömien, welche die
einem Puncte P entsprechende Fusspunctcn-Corve V erfahrt, wenn er sich
vom Kriimmungs-Schwerpunctc S entfernt, muss die Grösse ^s'2(sin2jl)
oder das Vieleck ü näher bestimmt werden. Da dieses Vieleck ü nich
dem Früheren (§ 17) einem Kreise eingeschrieben ist, der s zum Radios
hat, da es in demselben zwei Umläufe macht, und da die Ceotriwinkel
2A, 2B, 2C, . . . , welche seinen Seiten 9{, SB, @, . . . gegenüberstehen, in
dem gegenwärtigen Falle (für die Curve SS) alle unendlich klein sind, so
folgt, das» in diesem Falle auch die Seiten 91, S8, @, ... alle unendlich
klein sind, und dass daher der Urafang des Vielecks mit demjenigen des
Kreisen zusammenfällt, aber diesen zweimal umfasst. Somit besteht auch
der Inhalt des Vielecks ü aus der zweifachen Kreisfläche, oder es ißt

(45) U=is'^(fiin2A) = 2i:s' und 2(sin2^) = 4it;
daher hat mau statt der Gleichungen (43) und (44). folgende:

(46) 4(2r— aS) = i:(a:8in2^)+4jrsS

(47) V = ^.^-i««^

Aus dieser letzten Gleichung (47) schliesst man folgende Sätze:

c) „In Rücksicht der gegebenen gescblosseneo und con-
vexen Curve 33 ist der Inhalt V der Fusspuncten-Curve eines
beliebigen Punctes P immer so gross wie der Inhalt v der dem
Krümmungs-Schwerpuncte S entsprechenden Fusspuncten^Carve,

Vom Krummungs-Schwerpuncte ebener Curven. 123

bcnen Punctc P, P,, Pg, die nicht in einer Geraden liegen, so
ist dadurch der Krfimmungs-Schwerpunct S der gegebenen
Curve SS, sowie der Inhalt v seiner Fiisspuncton-Curve be-
stimmt und leicht zu finden.^

Denn zu diesem Behufe hat man nach § 19 und nach Gl. (47) fol-
gende drei Gleichungen:

(48) {V-V, = i^(s'-slX

wodurch drei Gerade X,, X,, X bestimmt werden, deren gemeinschaft-
licher Durchschnitt der gesuchte Krümmungs-Schwerpunct S ist.

§24.

Besondere Fälle.

Ist insbesondere die gegebene Curve ein Kreis oder eine Ellipse, so
lässt sich in Folge der vorstehenden Sätze leicht der Inhalt V der Fuss-
puncten-Curve jedes beliebigen Punctes P angeben. Nämlich, wig folgt:

A. Wenn die gegebene Curve 95 ein Kreis ist.

Es ist klar und bereits oben erwähnt worden (§ 22), dass der Krüm-
mungs-Schwerpunct S des Kreises mit seinem Mittelpuncte zusammenfallt.
Daher fallt auch die Fusspuncten-Curve des Punctes S mit dem Kreise
selbst zusammen, und ihr Inhalt ist gleich der Kreisfläche. Wird also
der Radius des gegebenen Kreises fß mit r bezeichnet, so hat man

(49) t? = Tzr^
und weiter nach Gl. (47)

(50) V = Trr'-f-^TTS^

d.h. „der Inhalt der Fusspuncten-Curve F irgend eines Punctes
P in Bezug auf den gegebenen Kreis 35 ist gleich der Summe
dieser Kreisfläche und der halben Kreisfläche ^irs', welche den
Abstand « des Punctes P vom Mittelpuncte S des gegebenen
Kreises zum Radius hat."

Ueber die Form und sonstigen Eigenschaften dieser Fusspuncten-Curve
V mag Folgendes angegeben werden, was leicht wahrzunehmen ist.

Die Curve V berührt den Kreis SS in den beiden Endpimcten des
durch P gehenden Durchmessers, welchen sie zur Symmetralaxe hat, liegt
sonst ganz ausserhalb 35, ist auf einen endlichen Raum beschränkt und
kehrt in sich zurück. Sie ist vom vierten Grade, und P ist ein singulärer
Punct derselben, nämlich a) ein reeller oder ß) ein imaginärer Doppelpunct,
je nachdem beziehlich P ausserhalb oder innerhalb des Kreises 33 liegt,

124 Vom KrüminuDgs-Scbwerpuncte ebener Curven.

oder endlich y) sin Riickkchrpunct, wenn P auf der Kroisllnie S selbst
liegt. Im Falle a) schneidet sich die Carve in P, and die beiden Tu-
genteii, die von P aus an den Kreis S gelegt werdea können, sind dit
Normalen der Curvo V im Puncto P, so dass sie den Winkel bestimmo^
unter welchem die Curve sich in P schneidet Ist s' gleich 2f*, so ist
dieHcr Winkel ein rechter. Die Curve bildet femer zwei Blätter oder
Schleifen, von denen die eine die andere Dcbst dem Ereise iß umschliesst
Der Inhalt der Curve besteht aus demjenigen beider Schleifen, so dais
also der von der kleineren Schleife eingeschlossene Raum hierbei zweimal
in Betracht kommt. Ist s' gleich 2r', so ist der Inhalt der Com
gleich 2itr'.

In Rücksicht aller drei Fälle sind die verschiedenen Curven V, wie
sich später zeigen wird (§ 36), identisch mit den verschiedenen Epi-
cyklotden, welche entstehen, wenn ein Kreis vom Radius ^r auf einon
ihm gleichen Kreise rollt. So ist namentlich im Falle •{), wo P in dw
Kreislinie liegt, d. h. wo s gleich r ist, die Curve V die sogenannte Car-
dioi'de, und ihr Inhalt ist

(51) , r=^jr/-' = 6iiCir)'

d. h. „anderth^lbmal so gross als die gegebene Kreisfläche f&*
oder sechsmal so gross als die Kreisfläche, deren Radius gleich \r ist,
was mit dem bekannten Ausdrucke für die Cardioido übereinstimmt Vw
den beiden mondformigen Räumen, welche in diesem Falle zwischen des
Umfangen 35 und V liegen, ist jeder gleich i^Tcr', d. i. ein Viertheil der
Kreisfläche 3^. Ebenso kommen im Falle ß) zwischen ?& nnd V nra
mondförmige Räume vor, von denen jeder gleich I^jts* ist.

B. Wenn die gegebene Curve S eine Ellipse ist
Auch bei der Ellipse fällt offenbar der Krümmungs-Schwerpunct S

Vom Krämmungs-Schwerpuncte ebener Cunren. 125

Nun kann femer der Inhalt jeder anderen Fusspuncten-Curve für die
Ellipse gefunden werden. Nämlich für die Fusspuncten-Curve v des Mittel-

punctes Sy der um s^ gleich y«' — 6* vom Brennpuncte P, absteht, hat
man nach § 23, Gl. (47)

(53) v=V,-i7:s]=^i:(a'-hb') = 7:g\

das heisst:

„Der Inhalt der dem Mittelpuncte S der Ellipse 35 ent-
sprechenden Fusspuncten-Curve v ist halb so gross als die
Summe der beiden Kreisflächen, welche die Axen (2a, 2b) der
Ellipse zu Durchmessern haben; oder er ist gleich derjenigen
Kreisfläche, welche einen der beiden gleichen conjugirten
Durchmesser ^2g) der Ellipse zum Durchmesser hat."

Die Curve v berührt die Ellipse 35 in den vier Scheiteln der Axen;
ausserdem liegt sie ganz ausserhalb derselben, so dass zwischen beiden
Curven vier mondförmige Räume entstehen, welche noth wendig einander
gleich sind. Der Inhalt eines jeden sei. gleich m, so hat man, da der
Inhalt der Ellipse gleich izab ist,

(54) 4m = iir(a'-l-i')— irai = ^^(a—by
und

m = i^(ö^^)'»

d.h. „die Summe der vier MöndQhen ist gleich der halben Kreis-
fläche, welche die Differenz beider Axen der Ellipse zum Durch-
messer hat, und jedes einzelne derselben ist dem achten Theile
dieser Kreisfläche gleich."

Für den Inhalt V der Fusspuncten-Curve jedes beliebigen Punctes P
in Bezug auf die Ellipse ergiebt sich nun aus den 61. (47) und (53) der
folgende Ausdruck:

(55) V = ^T.(a'-i-b'+8'),

d. h. '»der Inhalt V der Fusspuncten-Curve eines beliebigeo
Punctes P in Bezug auf eine gegebene Ellipse ?& ist gleich der
halben Summe dreier Kreisflächen, welche die halben Axen
der. Ellipse und den Abstand s des Puncteß P vom Mittelpuncte
S der Ellipse zu Radien haben."

Diese allgemeine Fusspuncten-Curve V der Ellipse 33 hat analoge
Form und Eigenschaften mit der Fusspuncten-Curve des Kreises (A), so
weit nämlich die Verschiedenheit der Ellipse und des Kreises eine solche
Analogie gestatten. Z. B. die Curve V ist auf einen endlichen Raum be-
schrankt, in sich zurückkehrend und liegt ausserhalb der Ellipse. Sie be-
rührt jedoch diese im Allgemeinen und höchstens in vier Puncten. Liegt
der Punct P ausserhalb der Ellipse 35, so ist er ein reeller Doppel- oder

ISO

s-ScIiwprpuncte ebeuer L

Durch Hchnittspunct der Corve V; die aus ihm an die Ellipse
Tangenteu siud zugleich in ihm die Norraalen der Cun'e V und bestimmen
daher den Winkel, unter walchem sie sich schneidet. Der Inhalt der Cune
V besteht hierbei aus der Summe der Rnume oder Dlatter, welche die
beiden von ihr gebUdeten Schleifen umschliessen. Soll insbesondere dit
Curve im Puncte P sich unter einem rechten Winke! schneiden, so ist
der Ort' des Punctes /* derjenige Kreis, welcher zugleich der Ort des
Scheitels eines rechten Winkels ist, dessen Schenkel die Ellipse berühren;
also ein mit der Ellipse concontrischer Kreis, dessen Radius s gleich
yöM-fi* ist. Daher ist in diesem Falle der Inhalt der Cnrve V constut
nämlich nach Gl. (fjö)

(56) r=i:s= = i:;Ca'4-Ä'),

d.h. „er ist gleich der Summe beider Kreisflächen, welche die
Axen der Ellipse zu Durchmessern haben, oder gleich der Fläche
des zugehörigen Ortskreisos.* Liegt femer der Punct P iunerhalli
der Ellipse 33, so ist von der Ourve F nur noch eine Schleife vorhanden,
welche die Ellipse Sß uraschliesst, so dass zwischen beiden Curven, je
nach der Anzahl ihrer Berfihrungspuncte, vier, drei oder zwei mondionuige
Räume entstehen, deren Summe M jedesmal genau bestimmt ist. Nämlich

(f)7) M = ^-(a-f>y+^r.s\

worin auch das besondere obige Beispiel (54) als der Fall iubcgrill'en ist,
wo s gleich 0 wird.

Die sämratlichen Curven V, welche hier als Fusapuncton-Curven der
Ellipse erscheinen, können auch auf ühnliche Art wie die Epicyklolda
erzeugt werden, indem man eine Ellipse auf einer ihr gleichen rollen lasstf
was sich unten zeigen wird (§ 36),

Anmerkung. Beiläufig mag noch Folgendes bemerkt werden. ^Vird

Vom KrümmungTS-Schwerpuncte ebener Curven. 127

§25.

Ausgedehntere Sätze.

Die über das Fusspuncten- Vieleck V und über die Fusspuucten-Curve
^ aufgestellten Sätze führen, wenn sie auf mehrere gegebene Figuren zu-
leich angewandt werden, zu zusammengesetzteren Sätzen.

Es seien z. B. in einer Ebene irgend eine Anzahl n beliebiger und
eliebig liegender Curven 35,, SSj, SJ,, ... 9?« gegeben (alle jedoch ge-
chlossen und überall convex § 23); ihre Krtimmungs-Schwerpuncte seien
>,, S^, S,, ... Sn und der Puhct mittlerer Entfernung dieser n Puncte
weisse S. Femer mögen Vj, r^, t?„ ... t?„ die Inhalte der Fusspuncten-
'urven dieses Punctes S, so wie F,, Fj, ... F„ die Inhalte der Fuss-
»uncten-Curven eines beliebigen, von S um s abstehenden Punctes P in
tezug auf die gegebenen Curven 35,, SSj, ... 93« bezeichnen. Dann folgt
Lus dem Bisherigen (§ 7 und § 23 Gl. (47)) nachstehende Gleichuüg:

(59) V,-hV^-^V^-i \-Vn = v,-hr,H hVn-hn(^7rO,

►der
(eO) I(V,) = 2(t?,)-|-ni7^s^

l. h. a) „Sind in einer Ebenen beliebige und beliebig liegende,
geschlossene und überall convexe Curven 35,, SSj, 35,, . . . 3Sn ge-
geben, so ist der Ort aller Puncte P, für welche die Summe der
i Fusspuncten-Curven F,, F,, ... F« constant sein soll, jedes-
nal ein Kreis, dessen Radius s mit jener Summe' zugleich
nächst oder schwindet, dessen Mittelpunct aber immer ein und
ierselbe feste Puncto nämlich der Schwei^unct S der (mit glei-
chen Coefficienten behafteten) Krümmungs - Schwerpuncte S,,
S,, Sn der gegebenen Curven 35,, 352, •••35« ist." Und femer:

fi) „Die diesem Schwerpuncte S entsprechende Summe 5;(t?j)
ier Fusspuncten-Curven ist unter allen die kleinste und wird
ron der irgend einem anderen Puncte P zugehörigen Summe
£(F,) n-mal um die halbe Kreisfläche übertroffen, welche den
abstand s des Punctes P von S zum Radius hat."

In ähnlicher Weise hat man, wenn statt der Curven n beliebige
•onvexe Vielecke 35,, 35^, ... 35« gegeben sind,

(61) Vi+K-{ hVn = V,-\-V,-] \-Vn-\-U,-i-U,-i \-Un,

SO die Vielecke Z7j, ZJ,, ... Un nach der Art, wie ob6n (§ 17) das Viel-
eck Uy aUe demselben Kreise vom Radius s eingeschrieben sind, so dass

(62) Cr^4-Ü,-+--+C/« = i«P(sin2J,)-h2(sin2^J-i-^+2(sin2^)].

Ebenso finden analoge Formeln statt, wenn die gegebenen Figuren
5,, 95,. ... 35« theils Vielecke, theils Curven sind.

Vom Krätnm'ungs-Sfhwerpunrte ebener Corren.

Von Figuren, die durch rollende Bewegung erzengt werd^.

A. Wenn eine gegebene Figur B auf einer festeu Geraden G rollt

§ 26.
Rollt ein beliebiges convexes Vieleck S, z. B. das FünTeoic ABCDS
(Taf. VII Fig. 6) auf einer festen Geraden G, bis es sich ganz umgedreht
hat, — wobei seine Seiten alle nach und neben einander auf die Gerad«
G 7,\x liegen kommen, und das Vieleck zuletzt wieder auf derselben Seita
lüteht wie anfangs, so dass also die Strecke AA^ seinem Umfange gleich
ist, — so beschreibt Jeder mit dem Vielecke feist verbunden gedachte
Punct P eine Liaie PP,I\P^PJ\, die aus so vielen Kreisbogen zu-
sammengesetzt ist, als das Vieleck Seiten hat. Und zwar haben diese
Kreisbogen PP,, P,P„ P,P^, P,P„ P,P, die Puncte A, ß„ C,, D„ E„
in welchen die Ecken A, B, C, D, E des Vielecks 33 auf die Gerade ff
treffen, zu Mittelpuncten, die Strahlen a, b, c, d, e, welche den Punct P
mit den Ecken A, B, C, D, E des Vielecks verbinden, zu Radien, und
zu Centriwinkeln die Nebenwinkel A, B, C, D, E der an diesen Eek«i
gelegenen Winkel des Vielecks. Die Linie PP^PJP^P^P^ und die drei
Geraden AP, AA, und A^P^ begrenzen eine Figur APP,P,P,P,P,J,:
welche als aus folgenden T heilen zusammengesetzt betrachtet werden
kann: 1) Aus einer Reihe von Dreiecken AP,B,, B^P,t\, ... E,P^A,.
welche beziehlich den Dreiecken APB, BPC, ... EPA gleicli sind, in
die das gegebene Vieleck* 3j durch die Strahlen a, b, ... e zerfallt wird,
so dass die Inhaltssumme jener Dreiecke dem Inhalte dieses Vielecb
gleich ist; und 2) aus einer gleichen Anzahl von Kreissectoren , der«
Mittelpuncte , Radien und Centriwinke] bereits nüher angegeben worden
sind. Diese Figur APP,Pj...P^A^ soll forlau „von dem Puncte/*

Vom Kriimmuiigs-Schwerpuncte ebener Curvon. 129

Bemerkt man, dass nach § 17, Gl. (32)

(65) 2(^) = ^+J5+C+-.. = 27r,
so folgt aus 61. (64)

(66) W = 5ß-^^2(aJ^)-h1^s^

und daher für den Inhalt w der von dem Puncte S beschriebenen Figur,
für welchen s gleich 0 ist,

(67) w = fß+il(a]A),
woraus in Verbindung mit (66) endlich folgt:

(68) W = w+7:8\

Aus allen diesen Formeln zusammen ergeben sich folgende Sätze:

a) „Rollt ein beliebiges convexes Vieleck 35 in einer Ebene
auf einer festen Geraden 6, bis es sich ganz umgedreht hat, so
giebt es einen eigenthümlichen Punct S, der unter allen mit
dem Vieleck fest verbundenen Puncten P die dem Inhalte nach
deinste Figur«? beschreibt. Dieser ausgezeichnete Punct S ist
ler Schwerpunct der Ecken des gegebenen Vielecks 3S, wenn
lenselben die respectiven Nebenwinkel des Vielecks als Coeffi-
;ienten zugeordnet werden."

Ä) „Jeder andere Punct P beschreibt eine Figur, deren In-
lalt W gerade um diejenige Kreisfläche, welche den Abstand s
ies Punctes P von S zum Radius hat, grösser ist als der Inhalt
ener kleinsten Figur w;^ so dass also:

c) „Alle Puncte P, welche in einer Kreislinie liegen, die
S zum Mittelpuncte hat, Figuren W von gleichem Inhalte be-
schreiben"; und auch umgekehrt: „Alle Puncte P, welche Figuren W
von gleichem Inhalte beschreiben, liegen in einem Kreise,
dessen Mittelpunct der Schwerpunct S ist."

Dass bei einem regelmässigen Vieleck 35 der hier in Rede stehende
Schwerpunct S mit dem Mittelpuncte des Vielecks zusammenfallen muss,
ist einleuchtend. Auch in anderen besonderen Fällen lässt sich dieser
Schwerpunct S leicht angeben, oder geometrisch construiren, wie z. B.
namentlich in dem Falle, wo die Nebenwinkel des Vielecks 35 imter ein-
ander commensurabel sind. Beim Dreieck, Viereck etc. ergeben sich in
dieser Hinsicht einige interessante specielle Sätze.

§27.

Der Inhalt der Figur W kann unter Beibehaltung seiner Bestandtheile
auch in anderer Form oder durch eine andere Figur SB dargestellt werden,
wobei es nicht nöthig ist, das Vieleck 35 auf der Geraden G rollen zu

.St«iD«r'i Werke. II. 9

130

■.■>-Si;hwer|mnctc eliener Cursen.

lassen. Nämlich die in der Figur W vorkommondcu Kreissectoren (Taf. Vll
Fig. fi) Icöniien unmittelbar an das Vieleck ?ß angeschlossen und zwar in
aoinen NBbenwinkeln A, ß, C, . . . beschrieben werden, wie z. B. iu Fig. i

auf Taf. Vn, wo die Krci-sbogen W.„ ©33,, 6(5 aus den Etken

A, B, C, . . . mit den Radien a, b, c, ... beschrieben sind. Auf diese
Weise hat offenbar die Figur 3ia,SS,66,©£D,ee, gleich SB gleichen In-
halt mit jener Figur W, welche der Punct P beim Rollen des Violecks 8
auf der Geraden G (Taf. VII Fig. 6) beschreibt. Da die Kroissectorcn
sich auf zwei verschiedene Arten so an das Vieleck SS antragen \a»sea,
dasH sie alle nach einer Richtung um dasselbe herumliegen (je nachtlein
man die Nebenwinkel des Vielecks durch Verlängerung der Seiten Dach
der einen oder der anderen Richtung hin entstehen läsat), so giebt es »dI
diese Weise zwei verschiedene Figuren 93 und 9B,, die aber nothwenilig
gleichen Inhalt haben.

Hiernach ist klar, daas die oben (§ 26) für die Figuren W und »
ontwickolton Formeln und SatKC auf gleiche Weise auch für dio Figuren
SS und Q} stattfinden müssen, wo nümlich u dem Schwerpuncte f^ enl-
spricht und mit tn gleichen Inhalt hat. Daher hat man

(69) SB-a5 = 3S,— 35 =i2(«;^)+ra';

(70) XO—ai= m,—Si =ma',A),

(71) 2B-B)=2B,— W, =ifs?,
und daraus folgende Satze:

n) „Zieht man aus den Ecken A, B, C, . . . eines beliebigen
convexen Vielecks fß nach irgend einem in seiner Ebene liegco-
den Puucte P Strahlen a, b, c, ... und beschreibt mit diesen
als Radien in den respectivcn Nebenwinkeln A, B, (', ... des
Vieleck;* 93 Kreissectoren, so ist die Inhaltssumme (SB— S)
dieser Kreissectoren dann ein Minimum (w — 35), wenn äei

Vom Krüminungs-Schwerpuncte ebener Curven. 131

§28.

Lasst man das bisher betrachtete Vieleck SS in eine Curve 38 über-
hen, wie oben in § 20, so müssen die aufgestellten Gleichungen und
.tze (§ 26 und § 27) auch für diesen Grenzfall noch stattfinden. Die
Tigen zugleich betrachteten Figuren W und SB erhalten aber dadurch
enfalls andere Formen, so wie der beschriebene Schwerpunct S eine cha-
kteristische Eigenschaft. Nämlich es treten folgende Aenderungen ein:

1) Rollt die geschlossene und convexe Curve 35 auf der Geraden G
af. Vll Fig. 6), so ist die von jedem (mit der Curve 3S fest verbundenen)
incte P beschriebene Linie PP,...P«, die früher aus Kreisbogen zu-
mmengesetzt war, nun irgend eine bestimmte Curve PP« (oder besteht
LS unendlich vielen unendlich kleinen Kreisbogen). Die von dem Puncto
beschriebene Figur W ist das von der Curve PPn und den drei Geraden
P, PnA^ und AA^ eingeschlossene Viereck APPnA^^ wo, wie früher,
e beiden ersten Geraden AP und A^P^ gleich und parallel sind, und
e dritte AA^ dem Umfange der roUenden Curve 35 gleich ist.

2) Nach der in § 27 beschriebenen und in Fig. 7 auf Taf. VII dar-
^stellten Construction der Figur SB folgt leicht, dass für den gegenwärtigen
all ihr Umfang in irgend eine bestimmte Curve SB übergeht. Denn da
ir diesen Fall die Nebenwinkel und die Seiten des Vielecks 38 alle un-
adlich klein werden, und die letzteren in die Tangenten der Curve 35
hergehen, so werden also auch die Kreisbogen SlSl,, 3335i, 66i, ... so-
rohl als die Strecken Slj35, 35,6, 6,5), ... alle unendlich klein; daher
aussen je drei auf einander folgende Puncto, wie z. B. 31, 31, und 35
inendlich nahe bei einander liegen, so dass also die genannte Curve SB
chlechthin als Ort der Puncto 31, 35, ,6, ... angesehen werden kann.
)as heisst, wird auf jeder Tangente A% der gegebenen Curve 35 der
hrem Berähnmgspuncte A entsprechende Strahl AP gleich a abgetragen,
irird also A^ gleich a genommen, so ist der Ort des Endpunctes 31 der Tan-
gente irgend eine bestimmte Curve 3B, welche die früher betrachtete Figur
B reprasentirt Der Strahl a kann aber von dem Berührungspuncte A
lus -nach zwei entgegengesetzten Richtungen hin auf der Tangente A^ ab-
getragen werden. Daher entstehen durch das angegebene Verfahren zwei
Figuren SB und SS,, welche zwar im Allgemeinen der Form nach von
anander verschieden, aber stets von gleichem Inhalte sind, so dass immer

SB = SB,.

3) Da der eigenthümliche Punct S beim Vieleck 35 durch dessen
Nebenwinkel -4, ß, C, . . . bestimmt wird (§ 26), diese Winkel aber bei
ler Curve 35, — wo sie unendlich klein sind — sich verhalten, wie
iie respectiven Krümmungen dieser Curve, oder wie die umgekehrten
tVerthe der respectiven Krümmungshalbmesser (§21), so folgt: „dass im

132 Vom Krümmunga-SchwerpuncI« ebener Curren.

gegenwärtigen Falle der eigenthnmliche Punct S der nämlUki
ist, welcher oben (§ 22) Erümmungs-Scliwerpanct der Cnri«!
geDannt wurde."

Weni^leich hier die Winkel A, B, C, ... einzeln alle ime
klein werden, so bleibt doch offenbar ihre Summe die nämliche, wie
(§ 26, Gl (65)), also I(^) gleich 2n; mid auch der Ausdnick \t*l{JS^
behält seinen früheren Werth gleich tcs*. Demnach finden für die
beschriebenen Figuren $, SS, W ganz dieselben Gleichungen statt, n'
oben (§ 26 und § 27), nämlich

(72) W^ B = 8J+i2(aM),

(73) B^= SB = 8J -Hi2(a; J)+«',

(74) w= tD = aJ-HiS(aM),

(75) W= SB = «!-f-its* = to-(-TO*,

(76) aB = aB, und » = »„

(77) (B— a3) = (^,— 93) = (to-a?)+w' = (tti-»)+m'.
Die Vergleichung dieser Formeln mit denjenigen in § 23 — imiAa

für alle dieselbe Curve 8! zu Grunde gel^ und bemei^t wird, dassft
unendlich kleine Winkel

3in2^ =s 2siD^ = 2A,
also

l(a'a\a2A^ = 2I(aM)
ist. — fuhrt zu folgendem interessanten Resultate:

(78) W=m = 2r und » = «■=- 2p.
Aas allen diesen Formeln ergeben sich folgende Sätze:

a) „Rollt eine beliebige geschlossene und überall cooTetl
Curve 9J in ihrer Ebene auf einer festen Geraden G, bis sie sick
ganz umgedreht hat. so beschreibt jeder mit ihr fest verband«

Vom Krümmuugs-Schwerpuncte ebener Curven. 133

nach allen Puncten A, B, C, . . . der Curve gezogen, und wird
aus jedem Puncte der zugehörige Strahl auf die anliegende
Tangente der Curve (nach einerlei Richtung) abgetragen, so
bilden die Endpuncte 91, 93, @, ... der Tangenten eine ge-
schlossene Curve 9S. Unter allen Curven SS, die auf solche
Weise entstehen können, hat diejenige den kleinsten Inhalt ko,
welche dem Erümmungs-Schwerpuncte S der gegebenen Curve
entspricht. Für jeden anderen Punct P hat die entstehende
Curve einen Inhalt 3B, der jenes Minimum ti) um diejenige Kreis-
fläche IT«' übertrifft, weche den Abstand s des Punctes P vom
Schwerpuncte S zum Radius hat. Also entsprechen Puncten P,
die in einem um S (als Mittelpunct) gezogenen Kreise liegen,
Curven SB von gleichem Inhalte;" und auch umgekehrt. Femer:
^Je nachdem die Strahlen a, by c, .,. in der einen oder der an-
deren Richtung auf die Tangenten der Curve SS abgetragen wer-
den, entstehen für den nämlichen Punct P(iS) zwei verschiedene
Curven SB und SB, (tö und tij,), welche aber gleichen Inhalt ha-
ben (76)." Und weiter: „Die Räume (SB— 35), (SB,— SS), welche die
Curven 93 und SB, S3 und SB, zwischen sich abschliessen, sind
für jeden Punct P einander*gleich und bleiben für alle Puncte
P, die in gleicher Entfernung s vom Krümmungs-Schwerpuncte
'S liegen, constant. Diese Räume haben den kleinsten Inhalt
(© — 35, tt), — SJ), wenn sie dem Puncte S entsprechen; für jeden
anderen Punct P sind sie um die Kreisfläche ir$^, welche den
Abstand P£» gleich 8 zum Radius hat, grösser als jenes Minimum
(©— ») (77)".

c) „Betrachtet man dieselbe Curve'^SS und denselben Punct
P in Rücksicht auf die beiden vorigen Sätze a) und 6), so hat
die vom Puncte P nach dem Satze a) beschriebene Figur W mit
der ihm im Sinne des Satzes b) entsprechenden Figur SB oder SB,
stets gleichen Inhalt, so dass immer

TF=SB = 2B,."
und femer:

d) „Jede von den beiden Figuren W oder SB hat gerade
doppelt so grossen Inhalt als die demselben Puncte P in Bezug
auf dieselbe gegebene Curve 35 entsprechende Fusspuncten-
Curve F(78)." Oder ausführlicher:

a) „Rollt die gegebene Curve SJ auf einer festen Geraden 6,
so beschreibt jeder mit ihr fest verbunden gedachte Punct P
eine Figur W, deren Inhalt gerade doppelt so gross ist als der-
jenige der Fusspunctcn-Curve Vy die dem nämlichen Puncte P
in Bezug auf die nämliche gegebene Curve 35 entspricht"; und;

1S4

Vom Krn

ij]|!S-Öcliwer|niiii;tu ebeuer Cui

ß) „llowögt »ich ein veräudorliüheü gleichächcnkliges Uni-
eck I'A?i unter dur Bedingung, dass aeino Spitze A ilte (i-
gubone Curvo 3} durchläuft, und daäti der eine Schenkel iX,
diese Curvo $ stets in jener Spitze A tangirt, während dii
Schenkel A^ gcgenüborliogondo Ecku iu einem und dotnsolb»
Puncto P foHt bleibt, so boschreiltcn die dritte Ecke 3 iu
Dreiecks und der Fusspunct A, des aus der festen Ecke Fiat
den Sclienkcl A% gefällten Perpendikels zwei Curvon 3B UDii
von denen die erste SS jcde^iinal doppelt so grossen luliallliil
als die aweito V."

Bosondoro Fälle.
Die vorfltehouden allgetneineu Resultate, — bei welchen die geget*
Curve Sß, mit Ausnahme der Bedingung, dass sie geschlossen uuil übeid
convex ist, eine ganz beliebige, ihre Gleichung z. B. algebraisch oder
condont sein kann, und bei welchen ebenso die Gleichungen der oraeiigt«
Curven V, W, äß und SB, nicht in Betracht kommen, die, wie leicbio
ermessen, sowohl von der Gleichung der gegebenen Curve 3J, als mui
unter sich sehr verschieden sein können, — umfassen unter anderen fulgsni'
sehr specielle Sätze:

o. Wenn die gegebene Curre 2! ein Kreis ist.
Rollt der Kreis 3J, dessen Radius gleich r, auf der festen Geraden G,
so beschreibt joder mit ihm verbundene Punct P eine gewohnUche Cf-
kloide W, — eine gemeine, gestreckte oder vorkürzte, je nachdem beriet
lieh P auf der Kreislinie, innerhalb oder ausserhalb derselben liegt,
und zufolge § 28, Gl. f78) und § 24, Gl. (M) ist

Vom Krämmungs-Schwerpuncte ebener Gurven. 135

Wenn ferner s gleich 0, also wenn P mit dem Mittelpuncte S des
ses 93 zusammenfallt, so ist

II) w = 27rr%

auch daraus erhellt, dass in diesem Falle w ein Rechteck ist, dessen
Bn beziehlich dem Radius r und dem Umfange 2iir des Erzougungs-
ses 93 gleich sind.
Diesen drei Fällen entsprechend hat man (§ 28)

!2) ' SB == 2irr'+7ts«,

3) SB^= 3irr',

^) • tt) = 2Tcr\

. „den nämlichen Inhalt, wie die dem Puncte P entsprechende

iloide Wy hat diejenige Curve SB, welche der Ort des End-

ictes 91 aller Tangenten A^ des Erzeugungskreises 93 ist,

in auf jeder derselben der aus ihrem Berührungspuncte Ä

h dem festen Pole P gehende Strahl PA gleich a abgetragen

d.«

Die Curve ko ist hier ein mit dem gegebenen Ejreise 93 concentrischer

s, dessen Radius gleich r}/2 wird, was leicht zu sehen ist.

Auch der Inhalt der Ringe, die zwischen der Curve SB und dem

se 93 liegen, lässt sich hier genau angeben, nämlich er ist

5) SB— 95 = 7rr»+ir8'; SB'— 93 = 27rr'; to— 93 = irr'.

iweiten Falle SB* — 93, findet kein eigentlicher Ring statt, sondern ein
Uormiger Raum (Mond), dessen Spitzen jedoch im Puncto P an ein-
r stossen.

Anmerkung. Bei der verkürzten Cykloide entsteht, wenn z. B. der
t P in dem durch den anfanglichen Berührungspunct A gehenden
hmesser des Kreises 93 und oberhalb dieses letzteren und der Basis Q
wie in Fig. 8 auf Taf. VIII, eine Schleife QQ^, indem die Cykloide
taicte Q sich selbst schneidet Alsdann besteht ihr Inhalt, d. i. Wy
ien zwei Räumen

APQP,A,A+QRQ,TQy

aus den diel Stacken

APRA-hA, TP.A.'^RQ, TR,

In allen analogen Fällen, die Curve 93 mag sein, welche man will,
BF Inhalt dior Figur W auf gleiche Weise zu bestimmen.
Zieht man die Oerade PPj, welche die Cykloide in den Puncten P
Pj berfihrty sa entsteht der Arbelos PQP^P, dessen Inhalt mit dem
chleife QRQg TQ immer einen leicht angeblichen Unterschied macht.
ich dieser Unterschied ist stets demjenigen zwischen dem Rechtecke

|g^ Vom Krömmuiiira-SchwuqiuncU ebFU«;r Cnrvou.

AI'I',A^A uiiil der Figur W gleich. Oder wird

BP ^ X, also * := T-\-x
gUHOlZt, 80 ist

A. h. „der Untorschicd zwischen dem luhalt des Arbelos PQ?^
uDd dem der Schleife QQ, \Ai auch gleich dem Untcrüchirde
zwiäcben der Fläche dos rolleudon Kroiscä und der Fläche des-
Jcuigen RreitiOB, dosseD RadiuM j; gleich s — t* ist."
Ist also X gleich r, d. h. a gleich 2r, m t»t auch
PQP^ = QRQ, TQ,
oder: der Äiiieios Imt gerade gloicheu Inhalt mit der 8chleili

[i. Wenn die gegebene Curvo B eine EIli|iSL' ist.
Aus § 2S, fil. (78) und § 24, Gl. (55) folgt
(S6) W = ,r(«^ + 6' + 8');

d. h. „rollt oiue Ellipse 3i in ihrer Ebene auf der festen (ieiaden
G, liis sie sich ganz umgedreht hat, su beschreibt joder mit ihr
fest verbundene l'unct P eine Figur W, deren Inhalt gleich IM
der Humme dreier Kreisflächen, welche beziehlich die halben
Axen a und b der Ellipse und den Abstand s des Pußctes /* tod
ihrem Miltolpuncto S zu Radien haben."

Liegt insbesondere der beschreibende Punct P' in der mit der ElIipH
couceiitrischen und durch ihre Brcunpuncte gehenden Kreislinie, ist alst
s* gleich «' — A', so i.st

(87) W = 2tc«';

d. h. „der Tuhalt der von dem Puncto P' beschriebenen Fignt
W ist gerade doppelt so gross als die Kreisfläche, welch

Vom Krümmimgg-Schwerpuuutti ebener Curven. 137

der Ellipse $ liegenden Räume oder Ringe hat man

(SB — SS = it(a'+Ä>— «6-1-8'),
(89) JSB*— aS = ait(2a— i),

6. Wenn eine Figur S auf einer anderen festen Figur U rollt.

§30.

Wenn in einer Ebene ein beliebiges convexes Vieleck 35, z. B. ABCD
(Taf. VIII Fig. 9) auf der Aussenseite eines anderen festen convexen Viel-
ecks U gleich S)j 213362)21, (welches auch bloss eine aus Geraden zu-
sammengesetzte gebrochene Linie sein kann), mit welchem es nach der
Reihe gleiche Seiten hat, so lange rollt (wobei je ein Paar gleiche Seiten
auf einander zu liegen kommen), bis es wieder mit der nämlichen Seite
(X>^), wie anfangs, auf der Basis U aufliegt, z. B. bis es in die Lage von
A^B^C\D^ (gleich AßCjD) gelangt, so beschreibt jeder mit dem rollenden
Vielecke 2J fest verbundene Punct P irgend eine Figur

W = PP,P,P,P,2l.3)6a32lP,
welche (wie oben in § 26) aus so vielen Dreiecken und aus so vielen
Kxcissectoren zusammengesetzt ist, als das rollende Vieleck 33 Ecken hat.
Die Dreiecke sind beziehlich denen gleich, in welche das Vieleck SS durch
die aus seinen Ecken Ay By C, D nach dem Puncto P gezogenen Strahlen
a, by Cy d zerlegt wird; also ist ihre Summe gleich dem Inhalte dieses
Vielecks 33. Die Ereissectoren haben beziehlich die nämlichen Strahlen
a, by Cy d zu Radien, die Ecken 21, 33, 6, 3) des Vielecks U zu Mittel-
puncten, und zu Centriwinkeln die Summen der entsprechenden Neben-
winkel beider Vielecke SS und U. Werden also, wie früher, die Neben-
winkel des Vielecks 2J durch ^, ß, C, . . . , diejenigen des Vielecks U
durch 9, 33, @9 . . . bezeichnet, so ist zufolge des Gesagten

W = aj+ia'(^+2l)+i6X^+S3)+M<^-+-6)-h...

Aus der Uebereinstimmung dieser Gleichung mit jener obigen in
§ 26, Gl. (63) erkennt man sogleich, dass auch füi- die gegenwärtige Be-
trachtung analoge Gesetze stattlinden, wie dort. Nämlich: wird der
Schwerpunct der Ecken Ay By C) . . . des Vielecks 25, wenn denselben
die CoefBcienten (^-f-2l), (ß-f-33), (C-f-6), ... zugeordnet sind, durch @,
und werden seine Abstände von den Ecken Ay By C, ... des Vielecks 3S
und von dem Puncto P beziehlich durch a,, 6,, c,, ... und ö bezeichnet,
80 lässt sich die vorstehende Gleichung (90) in folgende verwandeln (§ 7
und §26):

(91) W = 3J4-i2[aK-4+2l)]+i§^v(^-+-2l),

(90) fr

138 Vom Krümm (mgs-tjchwurpuucte ebener Gurren.

uder, Ja uach § 20, Gl. (65)

^(A) = 2ir
Ut, so hat maj], wenn

a-t-SH-6+ -• = q
gesetzt wird,

(92) W = S}+^v|-„.(^_^a)j_,_^3.(2it+fl),

wobei () iD der Figur 9 dorn Winkel 3RSl3l gleich ist, unter welchem die
auf die erste und die letzte Seite (S),S( und S)9[,) von U emchteten Pei-
pendikcl 3R0 und 91Q sich schneiden.

Für die von dorn Schwerpuncto ® beschriebene Figur to hat dub
ilemnach

(93) w = Sß+\S[a](A^^)l
und daher folgt weiter

(94) W = w-|-i8'(2it-)-q).
Diese Gloichong enthält folgenden Salz:

„Wenn in einer Ebene ein beliebiges convexes- Vieleck 9
auf der Anssenseite eines beliebigen festen convexen Tieleeki
U, mit dem es rospective gleiche Seiten hat, so lange rollt, lii>
es wieder mit der anfänglichen Seite auf demselben anfliegt,
so beschreibt jeder mit ihm fest verbundene PunctP flineFigv
W, deren Inhalt ein Minimum gleich w wird, wenn der be-
schreibende Punct P mit dem Schwerpuncte €i der Ecken dei
Vielecks 3i zusammenfällt, insofern denselben die Summen det
entsprechenden Nebenwinkel beider Vielecke IB and It als Coet-
ficienten zugehören. Alle F.uncte P, welche gleicbweit von die-
sem Schwerpuncto @ abstehen, beschreiben Figuren W tob
gleichem Inhalte", und auch umgekehrt; „nnd xwar ist für jeden

Vom Krüuamuiigs-Schwerpuucte ebener Curven. 139

ht Nimmt man alsdami in der Geraden SS^ denjenigen Punct @, der
so theilt, dass

[95) S@:S.@ = q:2ir,

ist derselbe offenbar der verlangte Schwerpunct S, — Sind insbesondere
Nebenwinkel eines jeden Vielecks unter sich gleich, so^fallen die drei
ncte Sy S^ mid ® zusammen. Dasselbe kann aber auch unter anderen
liügangen eintreffen.
Femer kann der Inhalt der Figur W unter anderer Form, nämlich
ch zwei Figuren 2B und 2 dargestellt werden. Denn wird der obige
jdruck für PT, wie folgt, zerlegt (90):

96) W= 3J-t-i2(a^^)4-i2(a»Sl) = SB+S,

einzeln gesetzt

)7) SB+i2(aM) = 2B; i2(a'a) = 2,

cann man sich unter SB die nämliche Figur denken, welche bereits
1 (§ 27) construirt worden; % aber soll diejenige Figur sein, welche
;h die gesammten Kreissectoren gebildet wird, die in den Nebenwinkeln
i8, 6, . . . des Vielecks U mit den Strahlen a, 6, c, . . . als Radien

zwar unter der Bedingung beschrieben werden, dass alle Sectoren nach
Jrlei Richtung hin liegen, was wie bei SB auf zwei verschiedene Arten
:hehen kann.

Ueber den Inhalt der Figur SB sind die wesentlichsten Relationen am
innten Orte aufgestellt; nämlich er wird ein Minimum gleich to, wenn
dem Schwerpuncte S entspricht; ausserdem ist für jeden anderen

3t P

«) SB = to-t-TTs',

r den Abstand des Punctes P von S bezeichnet.
Wird die Figur % für sich betrachtet, so folgt in ähnlicher Weise, dass
nhalt dann ein Minimum gleich t wird, wenn sie dem oben genannten
irerpuncte Sj entspricht, und dass für jeden anderen Punct P

9) a = t+iqsj

wo 8, gleich PS, und q gleich 314-33 -i-64---- (§30).
Demnach hat man nach 61. (96)

OO) W= SB+S = to-f-irs'+t+iqsj.

Formel (99) enthält folgenden Satz:

„Der Inhalt der Figur 3; ist dann ein Minimum gleich t,
n sie dem Schwerpuncte S, entspricht; beliebigen Puncten
welche gleichweit vom Schwerpuncte S^ abstehen, ent-
chen Figuren S von gleichem Inhalte", und auch umgekehrt;
l zwar ist der jedesmalige Inhalt gerade um denjenigen
ssector grösser als jenes Minimum t, welcher den Abstand

s, der Puncte P von S, zum Kudius und den coDtitanten Winkel
q zum Contriwinkel hat"

§.32.

Bleiben alle VoiaussaetKungi-ii ülicr die Vielecke S und U die mm-
iiclicn, wie oben (§ 30), nur dass 3J, statt auf der Anssenseit« , jetzt anf
der inDoroii, concaveu Seite von U rollen xoll; so sind dabei im AUge-
mcinou drei Fälle zu unterscheiden, nämlich entweder sind:

a) Die Nebenwinkel A, B, C, . . . dos Vielecks S alle grösser ali
die ihnen entsprechenden Nebenwinkel 31, 33, 6, von U; oder:

jl) die ersteren alle kleiner als die letzteren, oder endlich

■j) diß Nebenwinkel A, B, C, ... von 35 theils kleiner, theila grösser
(oder theils, wenn man will, auch gleich) als die Nebenwinkel St, 99, @,
von U.

Im ersten Fall — der am leichtesten darzust^llon ist und am mcisUn
mit dem früheren übereinstimmt, daher hier auch allein berücksichtig
werden soll — beschreibt joder mit dem Vieleck Sß feat verbundene Punct P
irgend eine Figur W, welche auf analoge Weise, wie oben, aus Dreiecken.
«leren Summe gleich ^ ist, und uns Kreisscctoren besteht, deren Radien
n, b, c, ..., deren Oentriwinkel dagegen Ä — 91, ß — S, 6' — G, ... smii;
so dass also hier

Cioi) w= sB-(-ii:[«'(.d-a)] = sB+ii-c«'-0~ ii:C'»"a) ^ 2s-i

(102) »'=aj-Hii:[a;oi-a)]+iöX2Tc-q),

(103) w = sB+i:; [«x^-a)],

(104) W= w-(-^ä>(2n— q),

Vom KrümiDun^-Schwerpuncte oboner Curven. 141

(Taf. VIII Fig. 10), so weit jene auf ihr rollt, stetig convex sein soll, so
bleiben die obigen Gleichungen offenbar auch noch für den gegenwärtigen
Fall gültig, 80 dass man also auch für diese Curven unmittelbar hat (§ 30
und § 31)

(107) W = »-t-i2[a'(^+a)] = SB+S,

(108) W = aj-|-|2;[aJ(^+Sl)]4-H'(27:4-q),

(109) w = 3J+|2[aJ(^+2l)],

(110) W= t(7+i8'(2ir+q),

SB = to-t-its',

(112) W = to+irs'-ht-i-iqsj.

Der Weg jedes mit der Curve 9J verbundenen Punctes P — der
früher aus einer Reihe Kreisbogen bestand — wird hier irgend eine Curve
PP,, so dass die von P beschriebene Figur W von zwei gleichen Geraden
PSI, Pjä, und zwei Curven PP^^ 3121, begrenzt wird, wovon die letztere
als Basis allen Figuren W gemein und gleich dem Umfange der Curve ^ ist.

Der eigenthümlicho Punct ©, welchem die Figur w vom kleinsten
Inhalte entspricht, behält seine frühere Eigenschaft; nämlich er ist der
Schwerpunct der Curve 95, wenn ihren einzelnen Puncton Coefficienten
zugeordnet sind, die sich verhalten wie die Summen der unendlich kleinen
Winkel, welche die Curven 33 und U in den correspondirenden Puncten
mit der Tangente bilden, oder wie die Summen der correspondirenden
Krümmungen beider Curven (vergl. § 28 und § 30). Oder nach § 31 kann
der Punct @, wie folgt, gefunden werden. Nämlich von den zwei Puncten
S und iS,, welche dort zu Hülfe genommen worden, ist hier der erste S
der Krümmungs - Schwerpunct der Curve 8J (§22); der andere S, ist
Schwerpunct derselben, wenn ihren einzelnen Puncten Coefficienten gegeben
werden, die sich umgekehrt verhalten wie die Krümmungsradien der Basis
U in den correspondirenden Puncten. Der Punct @ ist alsdann der Schwer-
punct der Puncto S und S, , insofern diesen beziehlich die Coefficienten
2r und q zugeordnet werden, so dass also @, wie früher, durch die
Gleichung

S@:Sj@ = q:27r

gefunden wird, wo jetzt q der Winkel ist, unter welchem die Normalen
8[£X 81, Q der Basis U in den Endpuncten des von SS überrollten Bogeus
sich schneiden (§ 30).

Die Figur SB ist die nämliche, welche bereits in § 28 näher be-
schrieben worden. Die Figur 2; entsteht zufolge § 31 dadurch, dass der
veränderliche Strahl PA gleich a (d. h. jede Gerade aus dem festen Pole
P nach irgend einem Puncto A der Curve 33) auf der Tangente 21^ im

142 Vom Krümmuuifü-SchwerpuDcte ebener Currcn.

correspondironden PuDcte 91 der Basis U nach constaoter BichtUDi
tr^eD, also Sl$ gleich a genommen wird ; wo dann dieses b^renzl
der Tangente die Fläche der Figur % gleich $$,91,91$ beschreibt,
somit von zwei Geraden 9$, 3,$, und zwei Curven 8[3[„ $$, b
wird, von welchen die letztere der Ort des Endpunctes der Tange
Durch Xa und t sind die kleinsten Inhalte der Figuren SB und % bezi
die stattfinden, wenn diese boziohlich den Schwerpuncten S und
sprechen. Endlich sind s und «, die Entfernungen des Pnnctes
den Schwerpuncten H und S,.

Die obigen Gleichungen enthalten hiernach unter anderen
den Satz:

„Wenn in einer Ebene eine geschlossene, stetig co
Curvo 3} auf einer beliebigen festen, convesen Curve U
bis sie wieder mit dem anfänglichen Puncte (..4) auf diese
liegt, so beschreibt joder mit ihr verbundene Ponct P i
eine Figur W, deren Inhalt dann ein Minimum gleich w
wenn der beschreibende Punct der oben genannte Schwei
@ der Curve SS ist Puncte P, welche von diesem Schwerp
® gleich weit abstehen, beschreiben Figuren W von gle
Inhalte", und auch umgekehrt; „und zwar übertrifft dieser .
Jenes Minimum vi jedesmal gerade um den Kreissector, w
den Abstand § des Pnnctes P von @ zum Radios und dei
stauten Winkel 2ji+q zum Centriwinkel hat (110)."

Ueber die Figur % wird im Folgenden ein allgemeiner Satz
stellt werden.

Anmerkung. Rollt die Curve 33 auf der concaven Seite der £
und findet dabei der besondere Umstand statt, dass in je zwei entsp
den Puncten beider Curven die erste SJ grössere Krümmung hat
andere U, so erhält man analoge Gleichungen, wie vorhin, nämlic

Vom Erömmtings-Schwerpuncte ebener Curven. 143

U aufliege^ weglässt und vielmehr annimmt, sie rolle um einen be-
en Bogen, etwa um den Bogen ACB gleich »633 (Taf. VIII Fig. 11),
jedoch immer noch die Bedingung festhält, „dass von den beiden
i, dem rollenden AB und dem überrollten festen 3133, keiner einen
ären Punct habe." Unter diesen Umstanden gelangt man in der
zu umfassenderen Resultaten und es sind dieselben durch das näm-
einfache und anschauliche Verfahren zu beweisen, wie die bis-

>enn ebenso, wie vorhin, folgt auch für' den gegenwärtigen Fall, dass
n irgend einem mit der rollenden Curve AB (oder 85) verbundenen
! P beschriebene Figur W gleich PP, 33621P ihrem Inhalte nach
ist der Summe zweier anderen Figuren 398 gleich PA^^^BP und
ch Sl^^j33^, welche auf die früher angegebene Weise entstehen
und § 33). Die Figur SB besteht aber selbst aus zwei anderen
Q F und T, von welchen die erste F gleich Sector PACBP, und
dere T gleich A^^^BCAy so dass also

;) W = F-f-T+a:.

iT die Figuren T und S, jede für sich betrachtet, hat man zunächst,
ruberen gemäss, nachstehende Formeln:

:) T = i2(aM) = \l{a\A)+\qs\

0 % =:i2(a»a) = i2(a:2l)4-iq8;,

;) t = i2(a:^) und t = i2(a;3l),

) T = t-\-\qs^ und S = t+iqs*,

t und t die kleinsten Werthe von T und % bezeichnen, welche

iden, wenn der Pol P beziehlich mit dem Schwerpuncte S oder S,

nenfällt, d. h. mit dem Krümmungs-Schwerpuncte S des Bogens ABy

Dit dem Schwerpuncte S, desselben Bogens, wofern die Gewichte

einzelnen Puncto sich verhalten wie die Krümmungen des Bogens

den correspondirenden Puncten. Der Strahl a, repräsentirt die Ab-

sowohl des Punctes S als des Punctes S, von den verschiedenen

D des Bogens AB; $ und s^ sind die Entfernungen des Punctes P

und S, ; und endlich sind q und q die Winkel zwischen den Nor-

JQ und BQ, StQ und 33^ in den Endpuncten der Bogen AB, 3133.

der Geraden SS^ gleich d nehme man den Punct @ so, dass

so @ der Schwerpunct von S und S, ist, wenn diesen die Coeffi-

q und q zugehören (oder der Schwerpunct des Bogens AB in

;ht der Krümmungs- Summen beider Bogen AB und 3133 in ihren

chenden Puncten). Wird ferner PS gleich ö gesetzt, so hat man

144 Viiui Krüiiiiminirs-Sthworpuucle «Ijener V

für die Summe beider Figuren T und J

(118) r-f-S = (-t-tH-i^s'-^itts^ = f+t+i^^<''+K?+q)ä'

(119) r,+s, = i-Ht+i

(120) T+S — T,+J,+K?+q)8",
wo T, und S, die Stelle von T und S in dem Falle vortreten, w
in den genannten Schwerpunct © ßllt, ein Fall, in welchem, wii
sieht, die Summe T+S ein Minimum wird (120).

Nun kann femer der Sector F immer ala Differenz (oder als Summf)
von zwei anderen Figuren angesehen werden, nämlich des Segmentes

ACBDA = G
und des Dreiecks

APB = i%
dessen gegebene Grundlinie AB gleich b und die veränderliche HüHp H
gleich y ist, so dass al^o

F= G-\ln,.

Hierdurch und vermöge der Gl. (120) geht die Formel (113) in fol-
gende über:

(121) W = G+T,-hI,+i(?+q)ä'-iSy,
wo recht« alle GröKsen, ausser S und y, constant sind. Diese zwei Ver-
änderlichen lassen sich aber durch eine einzige ersetzen. Aus S auf ^
Sehne AB lalle man das Perpendikel ©Z> gleich j>, nehme in der Ver-
längerung desselben, hinter @, den Pimct R so, dass

so ist, weiui PR gleich r gesetzt wird (durch Hülfe des Perpendikels 'ii"

Vom Krummungs-Schwerpuncte ebener Curven. 145

H^ ein Minimum gleich w wird, wenn r gleich 0, d. h. wenn P in Ä
y^jt;. Also ist

^ 126) TT = t^-|-^(gf4-q)r^

Die wesentlichsten Sätze aus dieser Betrachtung sind folgende:

a. „Wenn in einer Ebene ein beliebiger, stetig convexer

(^^^iTvenbogen AB auf der convexen Seite irgend eines anderen

g^^tig convexen, festen Curvenbogens 3133 rollt, so beschreibt

•^ 3^er mit der rollenden Curve fest verbundene Punct P irgend

^t%^ Figur Wy deren Inhalt dann ein Minimum gleich xo wird,

^^Bn jener Punct der oben construirte besondere Punct R ist.

po^ncte P, welche gleich weit von diesem eigenthümlichen

pviiicte R entfernt sind, also in irgend einer um R beschrie-

\)etien Kreislinie liegen, erzeugen gleich grosse Figuren W,"

und auch umgekehrt; „und zwar ist ihr Inhalt gerade um den Sec-

tor des genannten Kreises, dessen Centriwinkel gleich g'-f-cj, also

constant ist, grösser als jener kleinste Inhalt w (126)."

b, 1) „Bewegt sich eine veränderliche Tangente ^5ß an
einem stetig convexen Curvenbogen AGB unter der Bedingung,
dass sie in jedem Augenblicke dem Strahle FA gleich ist, wel-
cher ihren Berührungspunct {A) mit irgend einem festen Pole P
in der Ebene der Curve verbindet, so beschreibt sie irgend eine
Figur T, deren Inhalt dann ein Minimum gleich t wird, wenn
jener Pol der Krümmungs-Schwerpunct £1 des gegebenen Bogens
AGB ist Polen P, welche in irgend einer um & beschriebenen
Kreislinie liegen, entsprechen Figuren T von gleichem Inhalte,
der jedesmal gerade um einen Sector jenes Kreises, welcher
den Constanten Winkel q zum Centriwinkel hat, grösser ist als
jener kleinste t (117)." Und

2) „Ist ausser dem Bogen ^45 noch irgend ein- anderer stetig
convexer Bogen 31633 von gleicher Länge gegeben, und bewegt
sich an demselben die Tangente 91$ unter der Bedingung, dass
sie stets dem Strahle AP gleich ist, welcher den ihrem Berüh-
rungspuncte correspondirenden Punct in der Curve AB mit dem
festen Pole P verbindet, so beschreibt sie irgend eine Figur 2,
deren Inhalt ein Minimum gleicht wird, wenn der Pol der oben
bestimmte ßchwerpunct Sj des Bogens AB ist; liegt der Pol P
in irgend einer um Sj beschriebenen Kreislinie, so nimmt der
Inhalt von % gerade um einen Sector dieses Kreises, dessen
Centriwinkel dem constanten Winkel q gleich ist, zu (117)."

Steiners Werke. II. 10

146 VuiD Kiüinmunire-Schwerpuneli' üben«' Cur»en.

3) „Werden für einen und den»elben Pol P die beiäen Fi-
gurea T aud % zugleich betrachtet, so ist ihre Summe T+l
dann ein Minimum gleich Tj+S,, wenn der Pol der Schwerpimd
© ist (d. h. der Schwerpunct des Hogens AB in Rücksicht der Kiü»-
mung»- Summen beider Bogen AB und 3U8 iu den correapoDdireDiitI
Puncten, oder der Schwerpunct der Puncte 5 und S, in Rücksicht (äa
CoefÜcienteu q und q). Liegt aber der Pol P in' einer Krei*liuif.
deren Mittelpunct @ ist, so nimmt die Summe T-\-% um eicei
Sector dieses Kreises za, dessen Centriwinkel immer gleick
q-i-q ist 020)."

Anmerkung 1. Üie Tangente A'^ oder 31$ kann vom Beröhnioj»-
puncto aus nach zwei entgegengesetzten Richtungen genommen wetdn
wodurch zugleich zwei verschiedene Figuren T und T, , oder S uni Si
ent.stehen, aber jedesmal haben beide unter sich gleichen Inhalt, so dn
immer T gleich T„ oder Z gleich S, (vergl, § 28).

2. Der letzte Satz (d, 3) findet ähnlich erweise statt, wenn m«»
dem Bogen 2[ffl6 noch mehrere andere Bogen 91, S,, SljSS,, - - . unt<?r li«^
selben Bedingungen gegeben sind, denen dann ebenfalls Schwerpum*
iSj, Ä',, ..., so wie Winkel q,, q,, ... und Figuren %, S,, ... ra
sprechen. Nämlich ebenso wird alsdann die Summe T+S+S,-hI,+'
ein Minimum gleich m, wenn der Pol P in den Schwerpunct © der PuncH
S, &',, S,, S„ ... lallt, wofern diesen die Coefficienton q, q, q„ q
zugeordnet sind ; und ausserdem hat man für einen beliebigen Pol P.
/*S gleich r gesetzt wird, die Relation

(127) r+i4-s,+i,+- = m+K?+(i'+-q,+q>-t--K

Die Richtigkeit dieser Angaben folgt leicht aus § 7.

3. Süll in Ansehung des obigen Satzes u) unter alle» Punct«ii P,
die bi der rollenden Curve 3J (wovon ACB nur ein begrenztes Stück ist)
seibat liegen, derjenige gefunden werden, welcher die kleinste oder

Vom Krämmunj^s-Schwerpuncte ebener Cunren. 147

lässt*). Dahin gehört unter anderem, dass die Winkel q und q bestimmte

Werthe haben (wie z. B. wenn q gleich 2it und die Curve 33 geschlossen,

also die Sehne AB gleich 0 ist, wodurch man zu den Resultaten in § 33

gelangt), dass die eine oder die andere gegebene Curve 93 oder U in eine

Gerade übergeht, dass femer die eine oder die andere, oder dass beide

zugleich in bestimmte einfache Curven übergehen, etwa in Kreise^ u. s.' w.

Von solchen speciellen Sätzen mögen hier noch folgende Platz finden:

I. Wenn die Basis SIS3 eine Gerade wird und

1) ACB ein beliebiger Curvenbogen bleibt.

In diesem Falle wird q gleich 0, Z gleich 0 und S^ verschwindet

oJer kommt nicht in Betracht, so dass @ mit S zusammenfallt. Daher

urfrd der ausgezeichnete Pünct /{gefunden, wenn man aus dem Krümmungs-

Scb^^*P^^^^ ^ d®8 rollenden Bogens AB auf die Sehne AB das Perpen-

(IjV^I SD ^Ut uiid äuf dessen Verlängerung über S hinaus den Punct R

g^ nimmt, dass (122)

C28) ^ = i-

Die obige Formel (126) reducirt sich hier auf folgende:
C129) W = w-^^qr^

Das heisst:

^Rollt ein stetig convexer Curvenbogen AB auf einer festen
Geraden J13J, so beschreibt jeder mit ihm verbundene Punct P
irgend eine Figur (F/ die am kleinsten wird, nämlich gleich w^
wenn jener Punct der vorgenannte Punct R ist. Puncto P,
welche in irgend einer um R beschriebenen Kreislinie liegen,
erzeugen Figuren Wy deren Inhalt gerade um einen dem Centri-
winkel q entsprechenden Sector des. Kreises grösser als jenet
kleinste Inhalt w ist.^

Anmerkung. Da auch hier, ebenso wie in § 21, die Figur W
allemal gerade doppelt so gross ist, als die dem nämlichen Puncto P ent-
sprechende Fusspuncten-Figur V in Bezug auf den gegebenen Bogen AB^
was sich gleicherweise zeigen lässt, so ist die Figur V demselben Gesetze
unterworfen, wie die Figur W, d. h. „ihr Inhalt wird ein Minimum,
gleich V, wenn sie dem ausgezeichneten Puncto R entspricht;
für einen beliebigen anderen Punct P ist, wenn PR gleich r ge-
setzt wird,

C130) V = v^\qr\

^ Da man sieb in älterer und in neuerer Zeit so vielfach mit Betrachtung der
durch Rollen erzeugten Curven (Roulettes) beschäftigt hat, so dürfte es wohl auf-
fallend !|cheinen, dass das obige einfache und allgemeine Gesetz, dem die Quadratur je
eines Systems solcher Curven unterworfen ist, so lange verborgen bleiben konnte.

10*

148 Vom Krümmnocs-Schwerpuncte ebener Curron-

aUo die Inhalts-Zunahrae ist gerade die Hälfte des Kr'
tors, der t zum Radius und q zum Ccntriwinkcl hat."
2) Weun AB inabesondore ein Kreisbogen ist.
Daun wird Q der Mittelpunct des Kreises, also q der CenbiwinH
über dem Bogen AB, und dann fällt der Kriimmungs-Scbwerpiuirl j
offenbar mit dem gewöhnlichen Schwerpuncte des Bogens AB zusamnm
so dass sein Abstand vom Rlittelpnnct, wie bekannt

(131) QS = A.

Diese Gerade QiS steht auf der Sehne AB gleich b senkrecht: Jilür
liegt auch der ausgezeichnete Punct R in ihr, und seine Entfernung
Mittelpuncte Q ist nach den Gl. (128) und (131)

(132) Qfi=(3S-hSÄ = -|-.

also: „gleich der dreifachen Sehne, dividirt durch den diijipflW
Centriwinkel." Man erkennt daraus, dass R sowohl innerhalb al'^j*
aeits des Kreises liegen kann, je nachdem nämlich 3A<:2f/ff oder %'>\'
wenn a der Radius des Kreises ist. Ist

^h=1qa = '2ACB,
also der Bogen gerade anderthalbmal so gross als die Sehne, so fiili B
in den Bogen AB selbst und zwar in dessen Mitte.
Da % gleich 0 (1), so ist nach Gl. (113):
W = F+T,
und wenn P im Mittelpuncte Q des Kreises liegt, i

F = i,a%
und Dach Gl. (114)

T = l,o'.

Vom Krümmungs-Schwerpuncte ebener Curven. 149

Die Figuren W und w sind hier bestimmte Stücke von gewölmlichen
Cykloiden (gestreckte oder verkürzte), nämlich solche Stücke, welche von
einem Cykloidenbogen PP, , den beiden Normalen in seinen Endpuncten
PSl und P,33, und der zwischen den letzteren liegenden (geradlinigen)
Strecke 8133 der Basis begrenzt werden. Die Formeln (133) und (134)
geben die Quadratur dieser Stücke mittelst der gegebenen Elemente.

In dem oben genannten besonderen Falle, wo Sb gleich 2qa ist und
R in die Mitte des Bogens AB lallt, besteht die kleinste Figur w aus
zwei einander gleichen Sectoren der sogenannten gemeinen Gykloide, und
alsdann ist

W = ^q(a'+r').

Insbesondere kann auch w gleich 0 werden, nämlich in dem Falle, wo

ja : 6 = 3 : 1/8, GL (133)

d. h. wo der Bogen ACB sich zur Sehne AB verhält, wie 3 zu ys.
Alsdann ist W gleich i^', und R liegt jenseits des Kreises.

IL Wenn ACB in eine Gerade übergeht und

1) die Basis SIS3 eine beliebige Curve bleibt.

In diesem Falle ist offenbar

T = 0, G = 0 und q = 0,

und deshalb verschwindet der Punct S; daher vereinigt sich der Punct @
mit S^ , dieser aber liegt in der Geraden AB selbst, nämlich er ist ihr
Schwerpunct, wenn sie so schwer gedacht wird, dass die Gewichte ihrer
einzelnen Puncto sich verhalten, wie die Krümmungen der Basis 91S3 in
den correspondirenden Puncten. Daher wird femer der ausgezeichnete
Punct R erhalten, wenn man in dem Puncto S^ auf der Geraden AB
gleich b ein Perpendikel errichtet (nach der Basis 2133 hin) und in dem-
selben R so nimmt, dass (122)

(135) S.Ä = ^- = ß.

Hiemach reduciren* sich die obigen Formeln (125) und (126) — da
auch p gleich 0, weil S^ in AB liegt — auf folgende:

(136) ^^ = t-i6^ = t-iqp^

(137) W= w-i-iqr' = t-^b'-hW' = t+iq(^*-ß').

Also: „Wälzt sich eine Gerade AB (von dem einen Endpuncte A bis
zum anderen B) auf irgend einer festen, stetig convexen Curve
3133, so beschreibt unter allen mit ihr fest verbundenen Puncten
(d. h. die ihre Lage gegen die Gerade ABy während diese sich bewegt,
nicht ändern) der besonders bestimmte Punct R die kleinste Fi-

160 Vom KrüiDmuBcs-SchwBfpunclP obetter Curven,

gur w; die von irgend oinom anderen Puncte P b&schrieb(
Figur W ist jedesmal um den Kreissector, dessen Radiu;
gleich PR und dessen Ccntriwinkel £( (gleich dem Winkel zwischa
den Normalen in den Endpuncten der Basis 3lffl) grösser als jene.

Für den besonderen Fall, wo r gleich ß ist. und somit der Pojict P
in der mit dem Radius ß gleich RS, um den Punct R beschriobcg«
Kreislinie liegt, hat man nach Gl. (137)

(138) W, =U
und in der That iällt die von dem in dieser Kreislinie liegenden Pinäf
S, beschriebene Figur mit der Figur t zusammen.

Unter allen Puncten, welche in der Geraden AB selbst licgeo
schreibt S, die kleinste Figur t; jeder aber beschreibt eine Evolvenl« dv
Curve SISS (oder vielmehr zwei Bogen derselben, nur der EndpUDCt
oder B beschreibt bloss einen Bogen), so dass also in diesem Falle dit
Figin- W irgend ein bestimmtes Stück der Evolveute ist (im AUgemeiün
zwei Sectoren derselben); zudem lallt W mit der durch S bezeichneM
Figur zusammen (§ 34), und in der That geben die Formeln (117) üdJ
(137) Für beide den nämlichen Inhalt, indem /', ß und s, die Seilen «inn
rocht winkligen Dreiecks sind, so dass

isl.

2) Wenn die Basis 31S insbesondere ein Kreisbogen itl,
dann liegt S, nothwendig in der Mitte der Goraden AB. Der Radiu« ilc
Basis sei gleich a; so ist der überrollte Bogen

HS = qa = 6,
und folglich nach Gl. (135): '

(139) ß = ia.

Vom Krümmungs-Schwerpuncte ebener Cur?en. 151

und nach den GL (136) und (137)

(141) . = i^6.= i^qa. = ^qp«,

(142) W= -5^6»+iqr' = -fciqa'+i(,r'= -5!zlqp.+^,..

Die von dem Puncte' R beschriebene kleinste Figur w kann, wie man
sieht (141), negativ oder positiv werden; auch wird insbesondere w gleich 0,
wenn der Winkel q gleich Yi, oder b gleich aj/S; alsdann ist die von
irgend einem Puncto P beschriebene Figur

(143) W=ir'ys,

d. h. gleich dem doppelten Inhalte des gleichseitigen Dreiecks
über dem Abstände des Punctes P von Ä."

Liegt der Punct P in der rollenden Geraden AB selbst und wird
PS^ gleich 8, gesetzt, so ist

and daher hat man nach 61. (142)

(144) W= ^<^b'-^-i<^s\ = ^q'«»+iq,J = iq'ß'+iq«:,

WO jetzt W ein bestimmtes Stück irgend einer Evolvente des Grundkreises
ist, welches von einem Bogen PP^ derselben, den flormalen Pä und P,33
in dessen Endpuncten und dem correspondirenden Bogen 9(93 der Basis
begrenzt wird.

Es ist klar, dass auch in anderen Fällen der Schwerpunct S^ in die
Mitte der Geraden ^£' fallen kann, wie z. B. wenn die Basis 9UB in Bezug
auf eine Axe senkrecht symmetrisch ist, also etwa der Bogen eines Kegel-
schnittes, in dessen Mitte der Scheitel einer Axe desselben liegt. Von
solchen Beispielen mag hier noch das folgende in Betracht kommen, wo
nämlich

3) die Basis 9UB ein ganzer Bogen der gemeinen Cy-
kloide ist.

In diesem Falle wird

q = ir, also ß = ^,

wodurch die Lage des Punctes R (in Rücksicht der rollenden Geraden AB)
vollkommen bekannt ist, indem S, in der Mitte von AB liegt. Der Radius
des Kreises, durch welchen die Cy kloide 3U8. erzeugt worden, sei a, so
ist bekanntlich

Sa = m = AB = b = 2n^.

Aus einer anderen allgemein bekannten Eigenschaft der Cykloide folgt
leicht, dass der Inhalt der von S^ beschriebenen Figur

(145) t = 4ira^ = ^iri' = iir'ß».

153 ^'f*'" Krämmune^-Schwerpunrle ebener Cunea.

Daraus folKt weiter nach den Gl. (136) und (137)

(146)

(147)

-- ."+ 4w= = K"'-2)4'+l»^-

it man

(148)

Hl.

Wonn

ACB e

Für die von dem Endpuncte A oder ß beschriebene Figur (die Ewd-
vente der Cyltloide "SS), fiir welche

r» = ß'+(i6)'=-^*',

•An Kreisbogen und
1) die Basis aSS cito beliebige Curve ist.
Hier lallt S in den gewöhnlichen Schwerpunct des Bogens AB; dx
übrigen wosontlichon Puncto S„ © und R werden nicht näher bestimmt;
allein ohne dieselben genauer zu kenneu, kann doch der Inhalt der dem
Mittelpuncte Q des Kreises AB entsprechenden Figuren W und % gefundeo
werden. Denn da für diesen Fall in den obigen Formeln (114) und (115)
der Strahl a constant, nämlich gleich dem Radios des Kreises AB iat,
so wird

T=iV(«M)_i.'I(^)=45a',
und

(149)

S = iqo';

feraer ist der Scctor

F=iqa;

so dass (113)

(150)

W = i(25+q).

Vom Krümmungs-Schwerpuncte ebener Curven. 153

rollten Bogen AB und den Winkel zwischen den Normalen in
den Endpuncten der Basis 2133 zusammengenommen, zum Centri-
winkel hat (150)." — Die vom Mittelpuncte Q des Kreises beschriebene
Curve QQ^ und die Basis 2UB heissen „parallele Curven". Die Figur
W ist ein Stück des Ringes zwischen denselben, begrenzt durch die ge-
meinschaftlichen Normalen QSl und Q,S3. Die Länge der Curve QQ^ ist
gleich (q-\-(Oay was aus einer anderen geometrischen Betrachtung leicht
folgt. (Vergl. Abh. von Grelle in Gergonruf's Annales de Mathematiques, t. XII.)

2) Wenn die Basis SÜB auch ein Kreisbogen ist,
dann fallt auch 5, in den gewöhnlichen Schwerpunct des Bogens AB, so
dass folglich die drei Puncto S, S, und © in demselben vereinigt sind.
Nun liegt der eigenthümliche Punct R in dem durch @ gehenden Durch-
messer des Kreises AB, und sein Abstand vom Mittelpuncte P des letz-
teren ist nach den Gl. (131) und (122)

(151)

0R=^ , ^ _3g+2q j&
? 2(5r+q) 2q+2q q

_ 2aH-3a b _ 3H-2n j& ^ ,
"" 2a-|-2a "7"" 2(l-i-n)' q ~ ^''

wo a der Radius der Basis 2133 und das Verhältniss der Radien a : a
gleich n gesetzt ist (es ist dann auch q : q gleich n).

Da hierdurch der Abstand r, des Mittelpunctes Q von dem Puncto R
ß^egeben ist, und da man auch jden Inhalt der von ihm beschriebenen Figur
W kennt (150), so wird dadurch der Inhalt der von R beschriebenen
kleinsten Figur w gefunden, nämlich nach den Gl. (126) und (150) ist

I«' = i(23+q)a'- i(?-hq)r: = i(2q+(\)a^-i^^--{^J
(152) I =i3a'4-K?+q)(a'-rD = i^?a'-i^^||'i'

Nun wird weiter der Inhalt der von einem beliebigen Puncto P be-
schriebenen Figur W gefunden, sobald man dessen Abstand r von R
kennt, nämlich es ist nach Gl. (126)

W = ^(25-Hq)a'-i(^+q)r;-+-K?+q>'
= i?«'+iÖ4-q)(«'-'-:4-'-0

a+2a ^ , . (2a+3ay ,,^. a+a ,

(153)

= ig[(2+«)a'-h(H-«),-»]_i-|±^^6=

= i?[(2+n)a=+(l-H«)'-=-i-^"^|^-(^)], etc.

154

a KrämmuDgS'Scfawerpuncte ebener Curren.

Dio Figur W ist hier eio bestimmtes Stück ii^end einer Epicykloide,
dessen Quadratur darch dio vorstehende allgemelue Formel gelben wird.
Der Winkel q (so wie q) kann beliebig grosa sein,'d. h. er'kann beliebigt
Vielfache von 2ic enthalten, wo dann zugleich auch der Bogen AB ebenso
oft den ganzen Kroisumfang umfasst. Ist q gerade ein Vielfaches Ton
2n, so ist allemal die Sehne b gleich 0, und daher auch QR oder r,
gleich 0, d. h. dann fällt der au^zeichaete Ponct R in den Mittelpunct
Q des rollenden Kreises, und aus den Formeln (162) und (153) ver-
schwinden die mit h (oder r,) behafteten Glieder. Um dieeee Verschwin-
den in den Formeln selbst anzudeaten, darf nur %a%\a.\q statt h gesetit
werden. — Es sei ^ gleich m2ii, wo m eine ganze Zahl ist, so hat man

«1 ^ ni(2+»)ico'; W = m(2+»)tta'-HM»(l-(-n)itr*,
and wenn zugleich q gleich m2n, wo tn ebenfalls eine ganze Zahl, jedoch
m und m relative Primzahlen sind, so ist

■w = (2n»+m)«o',

(154)
und

(155) W = (2w»-H-m)ittt'+(m-+-m)itr»,

wobei nämlich die von dem Puncte P beschriebene Corvo (Epicykloide)
sich schliesst (oder in sich zurfickkohrt), .und der Kreis % oder AB gerade
m-mal um die Basis U oder W& herumrollt.

In Hinsicht der kleinsten Figur w, wofern der Winkel q beUebig ist,
wie in Gl. (152), kann noch bemerkt wcrdbu, dass ihr Inhalt positiv oder
negativ sein kann, und dass dazwischen w gleich 0 wird, wenn
«+2 ,
n+l"'
oder

(2n+3)- "'

(156)

(166')

(!)■

Vom Krummongs-Schwerpuncte ebener Cunren. 155

IV. Wenn jede der beiden Curvon SS, U gdschlossen ist,
und die rollende 93 einen Mittolpunct hat; wenn ferner
ihre umfange sich verhalten, wie zwei ganze Zahlen
v:Uy die keinen gemeinschaftlichen Theiler haben,
jedoch V gerade ist; und wenn endlich SB so lange
rollt, bis sie wieder genau in ihre anfängliche Lage
gelangt, d. h. bis wieder die nämlichen Puncto A und
8 beider Gurven sich treffen, was erst nach v Um-
läufen der 93 um U eintritt, und wo dann jeder mit
93 verbundene Punct P in seine ursprüngliche Lage
kommt, also die von ihm beschriebene Gurve W in
sich zurückkehrt, so fällt der eigenthümliche Punct
R allemal mit dem Mitelpuncte der rollenden Gurve
93 zusammen.
Nämlich unter diesen Bedingungen vereinigen sich die vier Puncto
Sy S^^ Q und R alle mit dem Mittelpuncte der Gurve 93. Denn dass
zunächst S in denselben fällt, ergiebt sich daraus, dass der in Betracht
kommende Bogen AB bei 93 gerade aus dem u- fachen Umfange dieser
Curve besteht, folglich der Krümmungs-Schwerpunct S des ganzen Bogens
mit dem des einfachen Umfanges der Gurve 93 zusanmienfallt und mithin
der Mittelpunct der letzteren ist (§ 22). Zugleich folgt hieraus, dass der
Winkel

q = w2ic,

und da der Endpunct B des Bogens mit dem Anfangspuncte A zusammen-
fäUt, dass die Sehne b gleich 0 ist. Ebenso ist der Winkel

q = ü2it,

weil der überrollte Bogen 8UB aus dem o- fachen Umringe der Basis U
besteht

Um zu zeigen, dass auch der Schwerpunct /S, des Bogens AB, welcher
von der Ejrümmung der Basis SUB abhängt, in denselben Mittelpunct fällt,
denke man die Gurven 93 und U von den Anfangspuncten A und 9( aus
beziehlich in v und u gleiche Theile getheilt, so sind diese Theile alle
von gleicher Länge. Die Theile von S? mögen nach der Reihe, von A
anfangend, durch 93,, 9S„ 35,, ... 93» bezeichnet werden. Sie stehen ein-
ander paarweise gegenüber und sind congruent — weil 93 einen Mittel-
punct hat und v gleich 2n eine gerade Zahl ist — so dass also •

5B, = 5B^i, SJ, = 9S,H.2, ... SB, = »2.,
und dass femer irgend ein Punct X, in 93, und der homologe Punct X^-^i
in 93iiH-i aUemal die Endpuncte eines Durchmessers der Gurve $ sind,
also ihr Mittelpunct in der Mitte der Geraden X^Xn+i liegt. Hoisson die
Theile der Basis U, von 81 aus nach entsprechender Richtung genommen,

156 Vom Krüramunes-Sfhwerpimcte ebener Ciirven,

Up U,, Uj, ... U.. Joder dieser Theilc wird je einmal von jedem der
r Umfangsthoilc der ^ — während diese v Umläure um U macht —
überrollt, wovon man sich durch blosses Abzählen leicht üborzeagt. Id
irgend einem Thcilo von U, etwa in U^, fixiro man einen beliebigeo
Punct 3£, so kommt derselbe mit solchen v Punctcn Jf,, X^, X,, ... Xu
der rollenden Curve 93 in Berührung, welche auf ihre v Umf&ugstheile $„
35,, ... SSj« so verthcilt worden, dass sie die Endpunct« von n Dunh-
messem der 3! sind. Daher haben die Gewichte, welche je einem System
von solchen v l'uncten X, , X, , ... X^, vermöge der Krümmung der
Basis U im Puncte £ zukommen, allemal den MittelpuDct der Gmre $
7,um Schwerpunct; und folglich muss auch der gemeinschaftliche Schwer-
punct aller Systeme, d. i. S,, in diesen Mittclpunct fallen.

Wenn aber S lind S, Kusammenfallcn, so vereinigt sich auch @ mit
ihnen; und da ferner die Sehne b gleich 0 ist, so liegt auch R im näm-
lichen Puncte, .so dass also die vier Puncto <S, £,, @ und R alle mit
dem Mittclpuncte der rollenden Curve 5B zusammenfallen.

Werden die oben angezeigten Werthc für die Winkel q und q in die
Formel (126) eingesetzt, so hat man für den gegenwärtigen Fall

(159) W = w-i-(v+u)T:r\

das heisst:

„Wird in einer beliebigen Kreislinie, welche mit der rol-
lenden Curve ^ denselben Mittelpunct R hat, irgend ein Punct
P angenommen, so ist die von ihm beschriebene Figur W alle-
mal gerade um die (t!+u)-fache Kreisfläche grösser als die vom
Mittelpuncte R beschriebene Figur w."

In Rücksicht der obigen Bedingungen (IV) kann m&n verschiedene
Modificationen eintreten lassen, wobei dann analoge Resultate stattfinden,
wie z. B.

1) „Wenn 33 insbesondere ein Kreis, dagegen die Zahl

Vom Krümmungs-Schweqjuncte ebener Curven. 157

und

(161) W = (2v+u)r.a^-h(v-i-u)T:r\

und für den speciellen Fall, wo P in der Kreislinie SJ selbst liegt,

(162) W = (3v+2u)T:a\

In Hinsicht dieser Formeln, sowie in Bezug auf GL (159), ist zu
bemerken: „dass die nähere Form der Basis U, wofern nur ihr
Umfang den geforderten Bedingungen genügt, auf den Inhalt
der Figuren W und w keinen Einfluss hat." Ebenso verhält es sich
bei einigen früheren Formeln.

2) „Wenn 35 beschaffen ist wie anfangs (TV), dagegen
U auch einen Mittelpunct hat, und wenn die Zahlen
V und u beide ungerade — aber immerhin relative
Primzahlen — sind, so findet der Satz sammt der
Formel (159) gleicherweise statt."
Denn wenn U einen Mittelpunct hat, so hat sie in den Endpuncten
3£, D jedes Durchmessers gleiche Krümmung; zwei solche Puncto aber
treffen mit zwei Reihen Puncten auf 95 zusammen, etwa mit X,, X^, ... X^,
und y,, Fj, ... Yr? welche paarweise die Endpuncte von Durchmessern
der 33 sind, nämlich so gepaart, dass je ein Punct X mit irgend einem
Puncte Y zusammengehört (weil v und u ungerade sind); daher muss der
Schwerpunct dieser zwei Reihen Puncte, wenn sie — vermöge der Krüm-
mungen in J und ^ — gleiche Gewichte haben, in den Mittelpunct der
Curve 9} fallen; woraus folgt, dass auch der Schwerpunct S, in denselben
Mittelpunct fallt.

Dieser Satz findet auch statt, wenn insbesondere

v = u = l,

§36.

Zum Schlüsse füge ich noch folgende Bemerkungen hinzu :
1) Wenn insbesondere die beiden Curven 23 und U einander gleich
sind (congruent), und wenn sie einander — während SS auf U rollt —
stets in homologen Puncten berühren, so ist die von irgend einem mit 93
verbundenen Puncte P beschriebene Curve W allemal der dem homologen
Puncte ^ in Bezug auf die Basis U entsprechenden Fusspuncten-Curve V
ähnlich, und zwar haben dieselben den festen Punct ^ zum (äusseren)
Aehnlichkeitspunct und ihre entsprechenden Dimensionen verhalten sich,
wie 2:1. Denn die gemeinschaftliche Tangente der Curven 93 und U in
ihrem Berührungspuncte (A^) geht offenbar in jedem Augenblicke durch
die Mitte der Geraden ^P und steht auf ihr senkrecht, woraus das Be-
hauptete folgt.

158 Vom Erämmungs-Scbwerpuncte ebener Curreit.

Zugleich folgt LierauH, dass die Curve Tf'^selbst ala Fusspnnctea-Ciim
angesehei) werden kann, nämlich Aes Punctes $ in Bezug aof eine Curve
It,, welche der Curve U ähnlich, mit ihr $ zum Aehalichkeitspanct imd
zudem doppelt ao grosse Dimensionen als diese hat. So z. B. sind sbo die
sämmtlicKen Fusspuncten-Curvcn in Bezug auf einen gegebenen Kreis
nicht» anderes, als die verschiedenen EpieykloiJen, welche entstehen, weno
der rollende Kreis der Basis gleich, und wenn ihr Durchmesser dem Kadiu
jenes Kreises gleich ist. (iieiche Folgerungen ergeben sich für die übrigen
Kegelschnitte; woraus verschiedene Sätze hervat^hen, deren nähere An-
gabe hier übergangen wird*).

Ueberhaupt linden also hier für die Figuren W die nämlichen Gesetze
statt, wie oben für die Fasspuncten-Figuren V (Anm. § 35, 1, 1 und § 21):
denn immer fällt der Punct S, — und somit auch @ — mit dem Krüm-
nrangs-Schwerpunct« S zusammen, und der nämliche Punct R, welchem
die kleinste Fusspunct«Q-FigUF v entspricht, beschreibt auch die kleinste
Figur w.

2) Ist AB Bogen eines Kreises SS, dessen Radius gleich a, und XS
eine beliebige, stetig convexe Curve, auf deren convezen Seite AB rollt;
sind femer P,, P„ P,, ... P, irgend ein System von n Puncten in der
Ebene des Kreises, die dessen Jldittelpunct Q zum Schwerpuncte haben
und von ihm beziehlich um r,, r,, r„ ... r, abstehen, wird

r]-i-r\-i-r\-\ \-rl = a*

gesetzt, und ebenso die Summe der von den n Puncten beschriebenen
Figuren W„ W,, . . . W„ durch S, so wie die Summe der « excentrischen
Kreis-sectoren P,AB, P^AB, ... P^AB durch @ bezeichnet, so hat man

C163) S = S+i„(j+q)«'+i(3+q)^

Liegen die nPuncteP,, P^, ... in einer mit S coucentrischen Kreislinie,
deren Radius gleich r, so ist

Vom Krüminun^-Schwerpuncte ebener Curven. 159

•

gehen über in

(165) S = nuTza^-{-n(u-\-c)T^a^-{'(u+v)T:s'\
und

(166) S = n(2u+v)T.a''-hn(u-hv)T,r\
Haben 95 und U gleichen Umfang, so dass

1? = w= 1,
so ist beziehlich .

(167) S = 3m:a'-h2TZ8\

LLDCI

(168) S = 3/l7ca'4-2w7^r^

und wenn r gleich a, also die n Puncte in der Kreislinie 35 selbst liegen,
so ist . *

• (169) S = bmza\

Hat die Basis U einen Mittelpunct, so haben die Figuren W^,, W^^ ... W^n
in jedem der zwei letzteren Fälle (168) und (169), unter sich gleichen
Inhalt, so dass also für jede einzeln, beziehlich

(170) W = 37ua'^-27^r^
und

(171) W = 5ita'.

Wie man sieht, sind auch die vorstehenden Formeln von der speciellen
Natur der Basis U (ihrer Gleichung etc.) unabhängig (s. § 35, IV, 1).

Mehrere von den in dieser Abhandlung vorgetragenen Sätzen habe
ich bereits früher in Orelh's Journal Bd. XVIll. (cf. Bd. II. S. 63—74
dieser Ausgabe) zu beweisen vorgelegt.

lieber einige allgemeine Eigenschaften der
Curven von doppelter Krünunung.

Monatsbericht der Akademie der Wissenschaften zu Berlin, 1839, S. 76—80.

*'''^*'-» Werke. II. 11

Ueber einige allgemeine Eigenschaften der
Curven von doppelter Krümmung.

(liericht über eine am 25. April 1839 in der Akademie der Wissenschaften

zu Berlin gelesene Abhandlung.)

Zuerst wird die charakteristische Eigenschaft der kürzesten Linie auf

rgend einer krummen Fläche auf elementare Weise bewiesen; sodann

»endet sich die Betrachtung zu dem berühmten Gaussischeu Satze über

las Dreieck, welches auf einer solchen Fläche durch drei jener Linien

gebildet wird. Den Beweis dieses Satzes hat Jacobi (im O^/fe'schen

Journal Bd. XVI) bereits bedeutend vereinfacht und ihn auf ein anderes

Theorem zurückgeführt, was der geometrischen Betrachtung anheimlallt.

"er wird eine noch weitere Vereinfachung gegeben, wodurch die Beweis-

""unde aus einer fast unmittelbaren geometrischen Anschauung hervorgehen.

^rner ergeben sich bei dieser Untersuchung zugleich einige Eigenschaften

'I" Curven von doppelter Krümmung. Es sei nämlich C irgend eine

^'che Curve. Die Normalebenen längs derselben berühren bekanntlich

^e abwickelbare krumme Fläche Fy die vom Verfasser „Evolutfläche"

^r Curve C genannt wird; auch berühren jene Ebenen zugleich die

^iiotcnlinie (arete de rebroussement) K der Fläche F, sowie die Durch-

^^itte der unmittelbar auf einander folgenden Ebenen die Tangenten

'^r Curve Ky oder das System von Geraden sind, welche die Fläche F

'^^hält. Die Knotenlinie K ist der Ort der Mittelpuncte aller Schmie-

•^^gskugeln der Curve C; letztere hat eine unendliche Menge von Evo-

l^^^j sie liegen sämmtlich auf der Fläche jF, sind kürzeste Linien auf

J^^^f, jede ist Knotenlinie einer abwickelbaren Fläche und von diesen

^'^en schneiden sich je zwei längs der Curve Q überall unter demselben

'***^'^mten Winkel. Die Krümmungsmittelpuncte der Curve C liegen in

^^^ bestimmten Curve M auf der Fläche F; sie ist eine kürzeste Linie

die letztere. Rollt eine Ebene J5, ohne zu gleiten, als Tangential-

11 *

164 Ueber einige allgemeine Ei^eiifichaftea der Curven vbn dnppvltc^r Krümmung.

ebeae auf der Fläche F (also eine der vorgenanuten NormalebeDeD), w
wird sie stets im nämJicheii PuDcte P von der Curve C geschnitten, od«
SD beschreibt ein beatimmter Punct P derselben die Cnrve C. Anf die«
WeiüB beschreibt jeder Punct der rollenden Ebene E irgend eine Curve C
von doppelter Krümmung, und diese Schaar von Curven haben die näm-
liche Evolutfläche P gemein; dagegen sind die Curven ihrer Rriimmui^
mittelpuncte (^), so wie ihre Evoluten verschieden. Wird utogekehrt
die Ebene E als fest angenommen, mid lässt mifn die Evolutfläche f
darauf rollen, wodurch diese auf der Ebene abgewickelt wird, so gebt
wiederum die Curve C stets durch den nämlichen Punct P der Ebene, i»
dass man sagen kann, sie reducire sich auf diesen l'unct. Dagegen wird
die Knotenlinie K in eine andere Curve Ä, umgebogen, die ihr an Länge
gleich und in den correspondirenden Puncten mit ihr gleiche Krümmungs-
halbmesser hat. Die verschiedenen Evoluten der Curve C wickeln äch
auf der festen Ebene in gerade Linien ab, welche sämmtlich durch dm
Punct P gehen. Die Curve der Krümmungij mittel puncto M drückt sici
mit unveränderter Länge in einer anderen bestimmten C!urvo M, auf der
festen Ebene ab, und zwar ist diese Curve der Ort der Fusspunete der
aus dem Puncte P auf die Tangenten der Curve Ä", gefällten Perpendikel
Diese Perpendikel selbst sind den ihnen correspondirenden Krümmungs-
radien der Curve C gleich, sowie die Strahlen, die den Punct P mit
den Beriihrungspuncten der Tangenten verbinden, den Radien der eal-
sprechenden Schmieguugskugelu gleich sind. Femer ist der Flächeuram-
zwischen der Curve K^ und der Fusspuncten-Curve AI, gleich dem ent
sprechenden Theilo der Evolutfläche F zwischen ihrer Knotenlinie K
der Curve der Krümmungsmittel puncte M; u. s, w. Die Relationen zwidchei
den verschiedenen Grössen: dem Krümmungshalbmesser der Curve C,
Radius der Schmiegungskugel, dem Winkel, den beide mit einander bilden,
den Bogenelementen der Curven C und A', welche Jacobi im XIV. Band*

Ceber einige allgemeine Eigenschaften der Curven von doppelter Krümmung. 165

ist, auf welcher C liegt. Ein anderer besonderer Fall ist derjenige, wo
Oberhaupt der Radius der Schmiegungskugel der Curve C constant ist.
Die beiden Curven C und K haben dann eine bestimmte Reciprocität, jede
ist der Ort der Mittelpuncte der Schmiegungskugeln der anderen, sowie
zugleich der Ort der KrüminungsmittelpunGte, so dass also auch der
Krümmungshalbmesser für beide constant und zwar dem Radius der
Schmiegungskugel gleich ist. Wird in diesem Falle die Evolutflächo F
der einen oder anderen Curve auf einer Ebene E abgewickelt, so wird K^
ein Kreis, dessen Mittelpunct P und dessen Radius jenem constanten
Radius gleich ist. Wenn insbesondere die eine Curve eine Schraubenlinie,
cylindrische Spirale, so ist die andere von gleicher Art;* die Cylinder, in
denen sie liegen, haben dieselbe Axe; die Summe der Steigungswinkel
beider Spiralen ist gleich einem Rechten; wenn also der eine Winkel
gleich 45®, so ist der andere ihm gleich, und es liegen dann die Spiralen im
nämlichen Cylinder, sind symmetrisch gleich, d. h. die eine rechts die
andere links um den Cylinder gewunden. Hierauf, gründet sich die ein-
fache und strenge Lösung eines in der Technik (bei der Tuchscheer-
maschine) vorkommenden Problems.

Noch bemerkt der Verfasser beiläufig, dass er bei gelegentlichen *
Untersuchungen über die Curve vom kürzesten Perimeter zu einem neuen
und sehr allgemeinen Satze gelangt ist, nämlich: „Wbnn auf irgend einer
krummen Oberfläche ein von beliebigen Curveubogen begrenztes Vieleck
gegeben ist, und wenn in dasselbe eine andere Figur von gegebenem Um-
fange so beschrieben werden soll, dass ihre Grenzlinie an jede Seite jenes
Vielecks anstosst, aber über keine hinausreicht, jedoch Strecken mit den-
selben gemein haben darf, und dass ihr Inhalt ein Maximum sei, so be-
steht ihre charakteristische Eigenschaft darin, dass 1) sämmtliche Theile
ihres Umfanges, die nicht auf die Seiten jenes Vielecks fallen, mit der
Curve vom kürzesten Perimeter von gleicher Beschaffenheit sind, so dass,
wenn man längs eines solchen Theiles an die gegebene Fläche die be-
rührende abwickelbare Fläche legt, und diese sodann abwickelt, jener
Theil in einen Kjreisbogen übergeht; dass ferner 2) alle diese Kreisbogen
gleiche Radien haben; und dass endlich 3) jede der genannten Vielecks-
seiten, für sich betrachtet, von den beiden an sie anstossenden Theilen
unter gleichen Winkeln geschnitten, oder insbesondere von beiden berührt
wird.*'

U^eber ein einfaches Princip zum Quadriren

verschiedener Curven.

Ifonatsbericht der Akademie der Wissenschaften tu. Berlin, 1840, S. 46, 47.

eber ein einfaches Princip zum Quadriren
' verschiedener Curvea

Jiericht über eine am 17. Februar 1840 in der Akademie der Wissenschaften

zu Berlin p^elesene Abhandlung.)

Durch elementare Betrachtung gelangt man leicht zur Quadratur vieler
'en, ohne die Gleichung der letzteren zu kennen, sondern wenn nur
sse geometrische Bedingungen gegeben sind, durch welche dieselben
inrnit oder erzeugt werden. Das Princip dieser Quadratur beruht auf
inden Sätzen:

1) „Bewegen sich in der Ebene ein veränderlicher Strahl a um seinen
■n Endpunct und eine veränderliche Tangente 6 längs einer festen,
g convexen Curve mit gleicher Winkelgeschwindigkeit und unter der
ngimg, dass in jedem Augenblicke

nd die von a und h beschriebenen Flächenräume jedesmal von glei-
Grösse."

2) „Bewegen sich drei veränderliche Strahlen a, i, c? in einer Ebene
ihre festen Endpuncte mit gleicher Winkelgeschwindigkeit und unter
Bedingung, dass stets

^t der Inhalt der von dem Strahle c beschriebenen Figur (Sector)

K der Summe der von a und b beschriebenen Flächenräume. **

-Aus diesen Sätzen folgt leicht ein zusammengesetzterer Satz, nämlich:

■^egen sich beliebig viele veränderliche Strahlen Oj, «g, a,, ... um

festen Endpuncte und beliebig viele veränderliche Tangenten ft,, Jj,

- . längs festen stetig convexen Curven, alle mit gleicher Winkel-

hwindigkeit, und findet in jedem Augenblicke zwischen den Quadraten

Strahlen und Tangenten irgend eine constante Relation statt, wobei

^ch die Quadrate nur durch Addition und Subtraction mit einander

170 (Jeber ein einfaches Princip zvim Quadriren vereditedener Gurren.

vorbunden seio dürfen, m findet die Dämliche Relation auch för die too
den Strahlen und Tangenten beschriebenen Flächonränme statt"

Sind die einzelnen Quadrate der Strahlen und Tangenten mit gege-
benen Coefficienten multiplicirt, so muss man auch die respectiven Flichen-
räume mit den letzteren multipliciren.

Es zeigt sich, dass unendlich viele Curven durch geometrische Be-
dingungen bestimmt und durch die angeführten Sätze unmittelbar qnadnrt
werden können, ohne dass man nÖthig hat, vorerst ihre Gleichung anba-
suchen. Insbesondere gehören dahin, als einfachste Beispiele, die ver-
schiedenen Fnsspunct-Curven in Bezug auf die Kegelschnitte, welche bei
der Ellipse und Hyperbel vom vierten, bei der Parabel aber nar vom
dritten Grade sind. Femer die sogenannten Tractorien oder Zaglinien;
u. s. w. Auch viele in des Verfassers Abhandlung*) vom 5. April 1838
enthaltene Sätze lassen sich aus dem gegenwärtigen Principe herleiten.

*) lieber den Krümmungs^Schwerpunct ebener Curven. Cf. Bd. li, S. 97^109 dies«
Ausgabe-

Ueber parallele Flächen.

Monatsbericht der Akademie der Wissenschaften zu Berlin, 1840, S. 114 — 118.

üeber parallele Flächen.

«rieht über eine am 14. Mai 1840 in der Akademie der Wissenschaften zu Berlin

gelesene Abhandlung.)

Unter parallelen« ebenen Curven versteht man bekanntlich solche, die
rall gleichweit von einander abstehen, oder die gemeinschaftliche Nor-
en haben, oder die Evolventen einer und derselben Curve sind.
W^ scheint zuerst solche Curven angedeutet zu haben; Kästner und
^rasse haben sich später mit ihrer Betrachtung beschäftigt. In neuerer

hat Grelle zwei wesentliche Sätze über dieselben aufgestellt und be-
en (Annales de Mathem.). Zu diesen zwei Sätzen kann man auch
elementarem Wege gelangen. Rollt ein constanter Kreis, dessen Radius
h A, auf einer gegebenen Curve Ay so beschreibt sein Mittelpunct eine
^ parallele Curve B. Wird nun anfänglich die Curve A als Vieleck
Oommen, so ergeben sich die genannten zwei Eigenschaften unmittel-
Nämlich es zeigt sich, dass B gleich ^itA<p, wo <p der Winkel
i^len den gemeinschaftlichen Normalen in den Endpuncten der Bogen
5 (oder die Totalkrummung des Bogens A) ist; und dass der von
ön Bogen und jenen Normalen eingeschlossene Flächenraum gleich
44-J5) ist. Der letzte Satz wurde bereits in der Abhandlung vom
pril 1838*) auf diese Art bewiesen.

Bei Curven von doppelter Krümmung kann der Parallelismus durch
stauten Abstand im engeren oder weitwen Sinne bestimmt werden:
eder durch gerade oder bestimmte krumme Linien. Durch die ge-
xic Curve A (von doppelter Krümmung) denke man irgend eine krumme
fcc F und auf dieser alle kürzesten Linien, die zu A rechtwinklig sind,
«ide von denselben (auf einerlei Seite von A) gleich lange Stücke
-h h ab, so liegen die Endpuncte in einer Curve B, die auf den näm-
in kürzesten Linien rechtwinklig ist, und welche der CurvQ A parallel
st (Gauss Disqu, gen. cir. supf, curv,), Ist nun die Fläche F gerad-
l (d.h. durch Bewegung einer Geraden erzeugt), und* ist A zu den

*) a. Bd. U. S. 97—159 dieser Ausgabe.

174 Ueber parallele FlScben.

Geraden rechtwinklig, so sind diese das vorgenannte System von küneetoi
Linien, auf denen man die coDStante Strecke h abzutragen hat, um die
mit A parallele Curve B zu erhalten. Und ist femer die Fläche F ins-
besondere eine abwickelbare, so ist ihre Knot«nlinie eine gemeinsame
Evolute der parallelen Curven A und D, und in diesem Falle allein haben
letztere die Eigenschaft, dass auch ihre Tangenten in entsprecliendeD
Puncten parallel sind. Für beliebige parallele Curven A und B auf einer
abwickelbaren Flache F findet der obige zweite Satz auf analoge Weise
statt, was sogleich folgt, wenn die Fläche auf einer Ebene abgewickelt
wird. — Parallele sphürische Curven A, B haben die besondere Eig«i-
Hchaft, das» xie zugleich in einer abwickelbaren Fläche F liegen and n
ihrem System von Geraden normal sind, so dasw also sowohl ihr sphi-
rischer Abstand A, als aucli ihr geradliniger Abstand g, constant ist: Jenw
(A) ist ein Itogen des Haupthreisos (kürzeste Linie auf der Kugel) und dieser
((/) die zugehörige Sehne. Die Differenz der Curven'bogen A und B lässt
sich hier auf zwei verschiedene Arten angeben, den beiden Flächen ge-
mäss, in denen sie liegen. Noch leichter sind die Räume zu finden,
welche die Bogen A und li mit ihren Grenznormalen auf beiden Flächen
begrenzen; dieselben sind von einander abhängig, nämlich os verhält sich
der sphärische Raum zum Räume auf der geradlinigen Fläche F, wie
<f zu sinA.

Zur Bestimmung paralleler, krummer Flächen kann derselbe BegrilT
dienen, wie bei Curven. Zwei Flächen A und B soUen parallel heisaeo,
wenn sie gemeinschaftliche Normalen haben, oder wenn sie übcr^I gleich
weit von einander abstehen, et«. Dann folgt umgekehrt: werden von den
Normalen der Flache A auf einerlei Seite derselben gleiche Stöcke,
gleich h, abgeschnitten, so liegen die Endpunctc in einer mit A paralleloi
Fläche B; oder: rollt eine constantc Engel, deren Radius gleich A, inf
der gegebenen Fläche A, so beschreibt ihr Mittelpunct M eine mit A

üeber parallele Flächen. 175

Cylioderfläche angehört, die 7 zur Axe und h zum Radius hat, und der
zwischen 7 und 7, befindliche Körperraum ist ein Ausschnitt c des Cylin-
ders. Heisst der an der Kante 7 liegende Nebenflächenwinkel 9, so ist

7, = yA<p und c = \^h\.
Wird die Summe aUer solchen Flächenstücke 7, durch K und die Summe
aller Cylinderausschnitte c durch C bezeichnet, so ist

K=hl{^^) und C=\hK=\h^l(:it]^),

y) So lange die Kugel die nämliche Ecke s der polyedrischen Fläche
A berührt, beschreibt ihr Mittelpunct ein sphärisches Vieleck e, in der
Fläche ß, das ebenso viele Seiten hat, als die Ecke e Kanten, welche
Seiten die an diesen Kanten liegenden Nebenflächenwinkel messen. Der
zwischen der Ecke e und dem Vielecke e^ liegende Raum ist eine soge-
nannte Kugelpyramide p, deren Inhalt gleich ^As,. Die Summe aller
.sphärischen Vielecke e, heisse E und die Summe der Pyramiden p sei P,

so ist

E =lz, und P = |Ä2e, = \hE,

Hiemach hat, man für die Fläche D und für den zwischen beiden
Flächen A und B, liegenden Körperraum 7 folgende Ausdrücke:

(1) B = ^-hA2(79)-+-2e, = A-\-K+E,

(2) I=hA-^\h^l{^tf)^\hlt^=hA-^^hK-^\hE;

oder, wird irgend eine bestimmte Länge des willkürlichen Abstandes A
zur Einheit angenommen, gleich 1 gesetzt, und werden für diesen Fall
die Grössen K und E durch k und e bezeichnet, wo dann für jeden an-
deren Fall K gleich hk und E gleich h^e ist, so hat man:

(3) B = A+hk-^h\

(4) /= hA-\-\h^k+\h^e = ^h{A-\-B—\h^e),

Die Gonstante k ist eine Längen -Grösse, nämlich

k = 2(t<p),
d. h. gleich der Summe der Produkte aus den Kanten des Polyeders A
in die anliegenden Nebenflächenwinkel, diese in Zahlen ausgedrückt; wo-
gegen e gleich Ile, eine Zahl ist, nämlich die Summe der Zahlcnwerthe
der den Ecken e des Polyeders A entsprechenden Polar-Körperwinkel.
Da die Grössen k und e bloss von den Krümmungen der Fläche A ab-
hängen, so mögen sie die Krümmungs-Summen derselben heissen, und
zwar yjc die Summe der Kanten-Krümmung" und „0 die Summe
der Ecken-Krümmung".

Die obigen Formeln bleiben offenbar bestehen, wenn die polyedrische
Fläche A in eine krumme Fläche übergeht. In diesem Falle gelangt man
aber zu neuen Ausdrücken für die Grössen B und /, so wie für k und e.

In irgend einem Puncto der gegebenen Fläche A seien die Hauptkrüm-
raungsradien r und r, ; das Flächenelement sei a. Im correspondirenden

176 Ueber parallele Fläeben.

l'unct« der mit A paralleleD Fläche li heissc das Flächenelement £, m ut

(5, . = „(, + -*)(l+i) = „+*(|,.i)+,.-^.

Für die Summe .aller Elemente b, oder für die Fläche B, hat man
demnach

und tiir den Korperraum /:

(7) / = *.H-ii'i(i + ^)+i*'2 ^-
Aus den Formeln (3) und (6) folgt:

(8) ' = -(7+^)
und

(9) ' = ^-^,

woraus erkannt wird, welche Bedeutung die Grössen 21 1 1 und

2 ~ - bei der krammen Fläche A haben. Sie sind znsammen die „Total-
krümmung" der Fläche A. Gauss giebt diesen Namen dem Ausdrucke
i: allein, welcher aber nur die Summe der Eckenkriimmung e repräsentirt

Die Grösse r lässt sich im Allgemeinen bestimmen, die Grösse k nickt.
In einigen besonderen Fällen kann jedoch k auf e zurQckgeftihrt werden,
wie z. B., weiui fiir alle Puncte der Fläche A diu Summe der EiümmuDg»-
rudien c+r, gleich n constaut ist, denn alsdann ist
t:e = s:h..

Ist in.ibesondere A eine kleinste Fläche, so sind bekanntlich in jedem
l'utirte dersollH'u die Krümmungsradien einander gleich und entgegengesetit

lieber Maximum und Minimum bei den
Figuren in der Ebene, auf der Kugel-
fläche und im Räume überhaupt.

Erste Abhandlung.

Hienu Taf. IX— XI Fig. 1 — 19.

SteiBcr't Werke. II. 12

Diese und dio folgende Abhandlung', welche von Sitiner der Pariser Akademie vor-
' gele;^ waren (Compi. rend. XU. 1S4I, p. 4Td), erscheinen hier zum «isteomaie ii&ch dem
üeutsciien Original-Manuscripto gedruckt. lu französischer Uebersetzung ist die erste
im Liouvillt'schcD Journal (t. VI. p. 105— ITU) und im CrelWachea Journal (Bd. XXIV.
B. 93—16:!}, die zweite blos» in letzlerem (Bd. XXIV. S. 189—250) veröffentlidit worden.

Ueber Maximum und Minimum bei den
Figuren in der Ebene, auf der Kugel-
fläche und im Räume überhaupt

Erste Abhandlnng.

Die Erforschung der Eigenschaften, durch welche bei geometrischen
Figuren ein Maximum oder ein Minimum bedingt wird, bietet unge-
wöhnliche Schwierigkeiten dar, mit deren üeberwindung man sich bis
dahin noch nicht genug beschäftigt zu haben scheint, oder wenigstens
nicht mit genügendem Erfolg. Von den zwei Methoden, welche man bei
der Behandlungsweise des Gegenstandes zu unterscheiden pflegt, hat man
die eine, die synthetische, sehr vernachlässigt und sie überhaupt als
eine unzulängliche hintansetzen zu müssen geglaubt, während man in
der anderen, der analytischen, alle Vorzüge zu besitzen wähnte. Allein
die allgemeinen Vorschriften, welche die Analysis zu diesem Zwecke giebt,
fuhren in vielen Fällen nicht leicht zum Ziele; ja oft scheinen sie gar
nicht geeignet, das eigentliche Wesen oder die wahre Ursache des Maxi-
males und Minimums anzugeben, sowie sie in anderen Fällen nur irgend
eine, von der primitiven Ursache mehr oder weniger weit entfernte, jedoch
von ihr abhängige Eigenschaft anzeigen, nicht aber diese Ursache selbst.
Es schien daher zweckmässig, einen anderen Weg der Betrachtung einzu-
schlagen, oder vielmehr zu jener verlassenen Methode zurückzukehren, und
zwar vor Allem nach den Grundursachen zu forschen, durch welche das
Maximum und Minimum auf diesem Felde bedingt wird. Wenn sich nun
auch für alle zu betrachtenden Gegenstände nicht ein einziges gemein-
sames Grundprincip aufstellen lässt, so giebt es doch verschiedene Funda-
mental-Eigenschaften, aus deren jeder ein System von innig zusammen-
hängenden Sätzen folgt. Dabei gelangt man zu vielen Sätzen, deren Be-
weis ausser diesem Zusammenhange oft grosse Schwierigkeiten darbieten
möchte, wie z. B. die Sätze 62 und 65 in der nachfolgenden Abhandlung.

12*

ISO Heber Haximum und Hioinmin.

Die Fundamental-Eigenschafiten sind gleichsam der Eeim, aus welchem
die Sätze nebst ihrem Zusammenhange als nothwendige Folgen bervor-
gehen; diese Abhängigkeit aber dürfte wohl al»i wichtiger angesehen wer-
den, oder gröeseres Interease gewähren, als die einzelnen Sätze selbst

Die umfassendsten Arbeiten über elementare Behandlung des Haximumi
und Minimums in der Geometfie verdankt die Wissenschaft Lhuäier*).
Er bediente sich bei seinen Forschungen der synthetischen Methode und
behauptete, da.sH dieselbe hierfür die geeignetste sei. Alles, was seine
Vorgänger auf diesem Wege geleistet, von flen ersten Anfängen der Grie-
chen bis auf die Fortsetzungen durch R. Simson und Andere, hat er mit ;
Umsicht zusammengefasst, mit Scharfsinn verbessert und beträchtlich er-
weitert. Leider haben seine Nachfolger diesen natürlichen Gang verlassen;
wohl haben sie sein Werk öfter citirt und einzelne Beispiele daraoB ent-
lehnt — aber nicht die darin herrschende Methode befolgt Anstatt jene
natürliche Betrachtungsweise zu vervollkommnen, nahm man lieber zn
künstlichen Mitteln, zur Rechnung Zuflucht; ja selbst, wo man geometrisch
verfuhr, verschmähte man, die von ihm gegebenen einfachen Beweise mit
den Sätzen zugleich aufzunehmen (wie z. B. Legendfe, M, Hirtdt und Andere).
Dadurch verschwand aber auch immer mehr di« schöne Einfachheit and
Eleganz der Beweise, sowie der organische Zusammenhang der Satze,
und die wünschenswerthe Fortent Wickelung der ganzen Doctrin gerietfa
unvermerkt in's Stocken. Verleitet durch den fast mühelosen Mechauismos,
womit die Rechnung eine gewisse Klasse von Aufgaben löst, wollten Einige
alle.s diesem bequemen Hälfsmittel überlassen, so dass sie sc^ar glaubten,
von der synthetischen Methode abrathen zu müssen. Allein hierin hat
man sich gewiss ebenso sehr geirrt als Lhuilier, wenn er behauptet, dass
viele Sätze durch Differentialrechnung gar nicht zu beweisen seien. Bei
diesen Untersuchungen sind allcndings die Schwierigkeiten sehr gross und

lieber Maximum und Minimum. IgX

ankommt, auf welche Weise der Satz oder die Aufgabe angefasst wird;
demi oft stosst man von der einen Seite her auf unüberwindliche Hinder-
nisse, während von einer anderen Seite durch die trivialsten Mittel das
Ziel erreicht wird (wie in der nachfolgenden Abhandlung z. B. der Satz 26
Ober sphärische Polygone). So wie für einzelne Sätze, verhält es sich in
dieser Hinsicht auch mit ganzen Systemen von Sätzen. Für mehrere Be-
trachtungen glaube ich nun wohl so ziemlich die vortheilhafteste Seite
aufgefunden zu haben, indem ich nämlich solche Fundamentalsätze auffand,
aas denen sich eine grosse Reihe von Sätzen mit Leichtigkeit und Eleganz
entwickeln lässt; allein inmitten einer solchen Reihe bieten sich wieder
Fragen dar, deren Beantwortung ganz andere, neue Hülfsmittel erheischt.
Besonders gross sind aber die Schwierigkeiten bei den Untersuchungen im
Räume (in der Stereometrie); dabei haben die beiden Methoden, in Rück-
sicht des Vorzugs, sich gegenseitig nicht viel vorzuwerfen ; denn hier haben
beide # bis jetzt noch so wenig geleistet, dass mau sich kaum eines eigeqt-
lichen Anfangs zu erfreuen hat.

Wenn nun auch die synthetische Methode meines Erachtens zur Er-
forschung und Begründung jener Fundämentalsätze, sowie zu deren näch-
sten Entwickelung am geeignetsten ist, so dürfte dagegen bei den sich
später . einstellenden Fragen die Hülfe der Analysis nicht am unrechten
Orte sein, um in passenden Fällen den Gegenstand weiter zu verfolgen.
Der letzteren muss durch die Forschungen der. ersteren vorerst die richtige
Grundlage gegeben werden, auf der sie sodann, ihre Kraft entfaltend, mit
Erfolg weiter bauen kann; wie dies überhaupt in der Geometrie meist
geschah, ohne dass man es immer eingestand.

Von meinen Versuchen über diesen Gegenstand habe ich bereits mehrere
Proben bekannt gemacht *). Die gegenwärtige Abhandlung beschäftigt sich
insbesondere mit den Relationen zwischen dem Umfange und Inhalte der
Figuren in der Ebene und auf der Eugelfläche; und zwar enthält sie mir
die erste von den fünf Entwickelungsarten, nach welchen ich .diesen Theil
behandelt habe. Diese fünf Beweisarten gelten sämmtlich für die ebenen
Figuren; sie unterscheiden sich zwar nur durch den Gang der Betrachtung,
welche zum Hauptsatze führt; aber doch bieten sich auf jedem dieser
Wege manche Sätze von selbst dar, welche auf den übrigen nur mit Mühe
zu beweisen sein dürften. Ausser der Beweisart der gegenwärtigen Ab-
handlung ist auch die zweite auf die sphärischen Figuren gleichmässig
anwendbar;, wogegen die Figuren im Räume sich nur nach den drei
übrigen Methoden einigermassen analog behandeln lassen.

•

^ Im Journal für Matkem. von Grelle^ und in den Schriften der Königl, Akademie
der Wissenschaßen zu Berlin, Auch finden sich in den Berichten derselben Akademie
einige noch nicht gedruckte Abbandlungen dem lühalte nach angezeigt. (Cf. Bd. II. S. 28,
S. 75 tind S. 165 dieser Ausgabe.) «

182 L'eber Daiimuia und Hmiiniun.

Dil' enite Bcwoi.sart, welche in dieser Abhandlui^ allein zur Anwes-
(lung kommt, besteht darin, dasH aus zwei einfachen FuixIaineDtakättea
zuDRchst ein gewisser Haaptsatz gefolgert wird, aus welchem sodann ^
übrigen Sätze sich entwickeln lassen. Denn es zeigt sich dabei, dm
zwischen den Figuren, denen ein Maximum oder ein Win im um Enkomint,
selbst ein eigenthümlicher Zusammenhang stattfindet, nämlich dass sie
gewissermassen nur Thcilc von derjenigen Figur sind, auf welche sich da
Hauptsatz bezieht, und dass die Griinde, auf denen dieser beruht, aodi
alle jene zusammengesetzten anscheinend schwierigeren Sätze bedingen.

Erster Äbschoitt

Von den ebenen und sphärischen Fignren^

Erste Beweisart.
§1. Fundamentalsätze für die ebenen Figuren. '

1. Hülfssatz. Die Spitzen aller gleichschenkligen Dreiecke über
derselbon Grundlinie liegen in der Geraden, welche die Gmndlinie ia .
ihrer Mitt« rechtwinklig durchschneidet. Von je zwei solchen Dreieckw
hat dasjenige grösseren Inhalt, welches grösseren Umfang hat, und anck
umgekehrt.

2. HCIfasatz. Die Inhalte l>cliebiger Dreiecke über derselben Grond-
linie vorhalten sich wie ihre Höhen. Haben die Dreiecke gleichen Inhalt,
und liegen sie auf einerlei Seite, so liegen ihre Spitzen in' einer mit 6at
Gnindliiiie parallelen Geraden-

Ueber Maximum uud Minimum. 1>^3

und nach der Forderung des Satzes sei

AC-i-BC = AD-hßD,

Da die Flächen der Dreiecke immer ein Stück A Eli gemein haben*), so
ist der Satz bewiesen, wenn gezeigt wird, dass Dreieck

AEC > BEB.

Da Winkel

a = ß,

so ist p > Tfj ^^^ daher AE > BE. Man nehme

EF = EB.
Wird ED von E aus auf EC abgetragen, sei etwa

EG = ED,

so muss der Endpuhct G nothwendig zwischen E und C fallen. Denn
fiele er in C, so wäre

ED = ECy

und mithin die Dreiecke BED und FEC congruent, daher

FC = BD;
femer wäre

BC = FD,

und folglich müsste, da nach der Voraussetzung

AC+BC = AD+BD,

BD'\-AF oder FC-\-AF gleich AC sein, d. i. die Summe zweier Seiten
des Dreiecks AFC gleich der dritten, was unmöglich ist. Noch weniger
kann aber der Punct G jenseits C, etwa in H fallen, weil sonst aus glei-
chen Gründen

AF+FH+HC = AC

sein mfisste, d. h. die gebrochene Liijie AFIIC gleich der Geraden AC,
Demnach kann der Endpunct G nur zwischen E und C fallen. Dann
aber ist Dreieck

FEG = BED,

daher Dreieck AEC > BED, und folglich auch das gleichschenklige Drei-
eck ACB grosser als das ungleichschenklige ADB.

II. Sind ACB und ADB (Taf. IX Fig. 2) zwei beliebige Dreiecke
von gleichem Umfanger (also das erste nicht nothwendig gleichschenklig,
wie vorhin), und wird angenommen, von ihren vier Winkeln an der. Grund-
linie sei Tf der kleinste, also Y<ßi so kann ebenso, wie vorhin (I), gezeigt
werden, dass Dreieck ADB <: ACB, d.h. dass das Dreieck mit dem
kleinsten Winkel an der Grundlinie kleineren Inhalt hat als das andere.

*) Denn es kann niemals die Spitze des einen Dreiecks innerhalb des anderen
liefen lEMkUdet^ Buch I. Satz 21).

1^ IJeber Hsiiinimi und Hiuimum.

I>ass f<L'niLT ebenfalls Dreieck ADB<cACB, wena
soi entweder 5 der jrrösstc Winkel, oder es sei BD der kleinste oder AD
der grössto Seheakel, kann, wie folgt, geschlossen werden. NSmlicli m-
nächst folgt, das^ diese drei Bedingungen mit der vorigen Annahmie, i<.%
zugleich stattfinden. Denn um zu zeigen, daxii 8 der grössto Winkel, d. h.
dass ö >■ a sei. wenn y < ß ^^^■< ^^^ ^^^ lur da» Dreieck ADB so um-
wenden, dasü OS in die Lage von AD^B kommt, wodurch die Winkel i,i
die Lage von f,, S, erhalten, so dass also

Tf, = Y und 8, = 5
i.-it: denn dabei mu-ss nothwendig die Spitze P, jenseits der Seite AC
fallen, weil ? > T und y gleich Yi "st . ««d dann ist offenbar S, >■ o oder
$:>a. Um weiter darzutlmn, dass BD der kleinste und AD d«
grösste Schenkel sei, behaupte ich. es könne AD weder gleich noch
kleiner als AC, also nur AD>-Ai und daher BO-BD sein. Denn «ift

AD = A€,
so würde auch !

ßC = BD.
und folglich Dreieck A< B .■..naruenl ADB sein. Wäre aber AD<:Ai\
so wäre /J/>> B(\ und in Hinsicht der Dreiecke ACD und BCZ> mäs#te
Winkel AiD-~LAD(., und zugleich Winkel ltCD>BDC soini was od-
uiüglich ist. Folglich ist ,

AD>^Al und BD < Bf.
Nun folgt in gleicher Weise für die Dreiecke A(JB und AD^B, da»
BD, •> BC und AD, -c AC, oder dass aLso

AD> /.'(■ und BD<AC
Itenuinch ist in der That /?/) der kleinste und AD der grösste anter
allen vier Schenkeln. Nunmehr eryiebl sich leicht durch indirecle SchlösM,

Ueber Maximum und Hinimum. 185

schenkligcs Dreieck G,, mit £7 von gleichem Umfange, so ist G^>ü (ß)
nnd mithin, da ü gleich G ist, auch G^ > G, daher weiter:

• Umfang G\ > Umfang G (1),

und folglich auch

Umfang ü > Umfang ö.

5. Unter allen Dreiecken von gleichem Umfange hat das
gleichseitige den grössten Inhalt. Und umgekehrt: Unter allen
Dreiecken von gleichem Inhalte hat das gleichse'itige den klein-
sten Umfang.

Beweis I. Dasjenige Dreieck, welches bei gegebenein Umfange den .
möglichst grössten Inhalt haben soll, muss über jeder Seite, als Grund-
linie angesehen, gleichschenklig sein (3), daher müssen je zwei Seiten,
und folglich alle drei Seiten einander gleich sein.

Wenn auch gegen die Richtigkeit und Strenge dieses Beweises nichts
einzuwenden ist, so hat er doch in der Beziehung etwas unbefriedigendes,
dass, wenn ein gleichseitiges und ein beliebiges ungleichseitiges Dreieck
von gleichem Umfange gegeben sind, durch denselben nicht direct gezeigt
werden kann, dass ersteres in der That grösseren Inhalt hat als das andere.
Um diesem Mangel abzuheKen, gab Lhuilier einen anderen Beweis, ge-
gründet auf wiederholte Verwandlung des gegebenen ungleichseitigen Drei-
ecks in gleichschenklige von gleichem Umfange, wodurch man sich durch
einen unendlichen Process immer mehr dem gleichseitigen nähert*). Allein
auch dieser Beweis gewährt noch nicht die gewünschte Befriedigung. Durch
den hier folgenden Beweis suchte ich der Forderung zu genügen.

Beweis II. Es sei ein beliebiges ungleichseitiges Dreieck U gegeben;
über der grössten Seite, als Grundlinie, construire man ein gleichschenk-
liges G von gleichem Umfange,, so ist G>U (%). Das Dreieck G sei

*) Z. B. es sei irgend ein ungleichseitiges Dreieck IJ p^egeben ; man denke sich
über seiner Grundlinie ein gleichschenkliges Dreieck G von gleichem Umfange, so ist
G > U, Der Unterschied zwischen der Grundlinie und einem Schenkel des Dreiecks G
sei gleich u; über einem dieser Schenkel, als Grundlinie angesehen, denke man sich
ein neues gleichschenkliges Dreieck G^ von demselben Umfange, so ist Gi > G, und
es wird der Unterschied zwischen der Grundlinie und einem Schenkel des Dreiecks Gx
gleich |u sein. Fährt man so fort, so erhält man eine Reihe gleichschenkliger Drei-
ecke G*, Giy 6ra, G,, ... von gleichem Umfange, wovon jedes folgende grösser ist als
das vorhergehende, und wobei der Unterschied zwischen der Grundlinie und einem
Schenkel immer kleiner wird, und zwar bilden diese Unterschiede die abnehmende geo-
metrische Reihe

111 1

«> "2 "' T"' "8 "' ' * * 2* "*

Demnach nähern sich die Dreiecke G, Gi, G,, ... immer mehr dem gleichseitigen,
welches als Grenze oder als letztes Glied Ihrer Reihe anzusehen, und dessen Inhalt
somit ein Maximum ist.

jyg Ueber Haximum imd HiniiDuin.

ACB (Taf. IX Fig. 3), ho ist also die Grundlinie AB grösser und jedtr
der beiden Schenkel AC, BC ist kleiner als ein Drittel dos ümfiujg«.
Das Stück BD der Grundlinie sei ein Drittel des Umfaogfs;- auf der
Verlängerung den anliegenden Schenkels BC nehme man. den Panct E w,
dass das Dreieck DEB mit ACB gleichen Umfuig hat, dass also

DE-hEC = DÄ~k-AC
ist (weil BC und BD zu beiden Umlangen gehören) '). Da BC kleinct
als ein Drittel dos Umfanges, so ist BD>BC, daher Winkel x>if,
mithin Winkel ADC> ECD, folglich Dreieck ECDy> ADC (_%U),wi
daher endlich Dreieck

DEB > ACB oder DEB>G.
Es sei Dreieck DFB gleichseitig, also mit DEB (sowie mit G imd U)
von gleichem Umfange (weil DB ein Drittel dieses Umfanges ist), ••
ist Dreieck DFB :> DEB (3), also auch DFB:> G, und fo^ch um so
mehr

DFB:>Ü.
Hiermit ist der Satz ebenso a^eniallig'als streng bewiesen.

Der umgekehrte Satz ist leicht indirect zd beweisen, wi^ der vor^
(4), oder er kann auch aus diesem gefolgert werden.

Zweiter FundAmeDtftls&tE. 1

6. nSiod zwei Seiten eines Dreiecks gegeben, so hat e>
dann den grössten Inhalt, wenn dieselben einen rechten Winkel
einschliessen."

Beweis. Sieht man die eine gegebene Seit« als Grmkdlioie in, m
der Inhalt des Dreiecks um so grösser, je grösser die Höhe wird; dim
ist aber offenbar am grössten, wenn sie der anderen gegebenen Seite g\^A
also wenn letztere auf der Grundlinie rechtwinklig steht.
Um den Beweis anschaulicher und luit dem Beweise des onten ßd-

Ueber Maximum und Minimum. 187

fc'/^, welche gleichen Inhalt haben; dieser Inhalt wird um so grösser,
weiter jene Gerade sich von der Grundlinie entfernt; sie ist aber offen-
r am weitesten entfernt, wenn sie den Kreis in C berührt, wo ihr also
r ein Dreieck ACD entspricht; folglich hat dieses Dreieck unter allen
n grössten Inhalt und auch die Eigenschaft, dass die gegebenen Seiten
B^ A.C einen rechten Winkel einschliessen.

7. Ist die Summe zweier Seiten eines Dreiecks gegeben,
hat es dann den grössten Inhalt, wenn dieselben einander
eich und zu einander rechtwinklig sind.

Beweis. Wie auch die gegebene Summe unter die zwei Seiten ver-
leilt werden mag, so hat jedesmal das Dreieck den grössten Inhalt, wenn
; zwischen denselben rechtwinklig ist (6). Daher ist nur noch zu zeigen,
ass unter allen diesen rechtwinkligen Dreiecken das gleichschenklige das
rösste ist Ueber der Hypotenuse eines der ungleichschenkligen Dreiecke
enke man sich ein gleichschenkliges Dreieck von gleicher Schenkelsumme,
d ist dieses grösser als jenes, hingegen aber ist es kleiner als das genannte
echtwinklig-gleichschenklige Dreieck, mit dem es gleiche Schenkel hat.

Es folgen hier auch die Zusätze: „Dass .das Product aus den zwei
abschnitten einer gegebenen Geraden am grössten ist, wenn die Abschnitte
inander gleich sind^, oder: „Dass unter allen Parallelogrammen mit den
lämlichen Seiten das Rechteck das grösste, und dass unter allen Recht-
cken von gleichem Umfange das Quadrat das grösste ist.^

§ 2. Fundamentalsätze für die sphärischen Figuren.

8. Hülfssatz. Die Scheitel aller gleichschenkligen sphärischen
Dreiecke über derselben Grundlinie liegen in dem Hauptkreise (grösster
Kreis), welcher die Grundlinie in ihrer Mitte rechtwinklig durchschneidet.
V^on je zweien dieser Dreiecke hat dasjenige den grösseren Inhalt, welches
^sseren Umfang hat, und auch umgekehrt.

9. Hülfssatz. Der Inhalt beliebiger sphärischer Dreiecke über
dersdben Grandlinie ist kleiner oder grösser, je nachdem der Kreis,
welcher durch die Spitze des (jedesmaligen) Dreiecks und durch die
ßcgenpuncte *) der Endpuncte seiner Grundlinie geht, sich weniger oder
mehr von der Grundlinie abneigt (d. h. je nachdem der Winkel zwischen
iem Kreise und der Grundlinie kleiner oder grösser ist), so dass also
lie Spitzen aller Dreiecke, welche je einen gleichen Inhalt haben, in dem
lämlichen Kreise liegen, und auch umgekehrt**); und dass dann jedes

^ Von den Endpunkten eines Kugel-Durchmessers heisst joder „derGegenpuncf
les anderen.

^ Diesen Satz habe ich zuerst in einer Abhandlung, betitelt: „Verwandlung
nd Tbeilnng sphärischer Figuren durch Construction'' im Cre^e^schou

138 Deber Maximum und HinimniD.

andere Dreieck kleinoreii oder gröi48eren Inhalt hat ala jene, je nachdem
rwine Spitze zwischen dem Krci»o und. der Griiudlinie oder jenseits d«
Kreises liegt

10. Hülfssatz. Wenn zwei Kreise auf der KugelflÜclie einander be-
rühren, 60 liegt der Berührungspunct mit ihren Poten in einem Haopt-
krcisc; so dass also der llauptkreis , welcher durch irgend zwei der ^
nannten drei Pancte bestimmt wird, allemal auch durch den drittoi gtdU.

Erster FundttmentaUati.

11. I. „Unter allen sphärischen Dreiecken über derselbeo
Grundlinie und von gloichom Umfange hat das gleichschenklige
den grÖssten Inhalt."

11. „Von je zweien der genannten Dreiecke hat dasjenife
den kleineren Inhalt, welche» an der Grundlinie den kleinstea
oder grössten Winkel, oder welches den kleinsten oder grössteo
Schenkel hat; und auch umgekehrt."

./ourn. fiir Mathen. Band I). S. 45, M»n 1827 (Cf. Bd. I. S. 10t dieser Ausgabe) bekunt
(icmachl. Er diente dieser AbhandJiniK zur Ciniadla^ und sollte eine nähere Ceber
einstimmiin); der sphäriiicheD und ehe nun Ueometrio in Betracht der genanaten Ope-
rationen bawirkoTi. War auch ein Theil dos Salzes zuerst von LtxtU und qtUer tm
Letjeadre beniesen, so wurde er doch erst durch die wesentliche Ergimung; ,Dii*
der Kreis, nelchor die Spitzen aller Dreieclio von gleichem Inhalt«
enthiill, durch die (iegcnpuucte der Endpuncte der Grundlinie gebf
zur Anwendung recht bei]uem {remacht. Für Leser, denen die citirte Abhandlong nirU
zu Uebote steht, mae der Beweis des obigen Salzes hier kurz angedeutet werden. Die
«rfnrdtrlichen Figuren la.sBen sich gemäss der Beschreibung leicht zeichnen.

1. Im gleichschenkligen sphärischen Dreiecke sind die Winkel an der OrnndHate
einander gleic-b.

2. In jedem sphärischen Vierecke ABCD, das einem Kreise eingeschrieb«) iit,
sind die Summen der gegcnöber stehenden Winkel gleich gross, also

Ueber Maximum und Minimum. 189

Der Beweis dieses Satzes ist dem Beweise des obigen analogen Satzes

(3) ganz ähnlich; nur ist zu bemerken, dass hier die den Dreiecken BED
und FEG (Tat IX Fig. 1) entsprechenden sphärischen Dreiecke nicht con-
gruent, wohl aber symmetrisch gleich sind, wodurch die Schlussfolge nicht
gestört wird; (zudem kann man bekanntlich zwei, solche Dreiecke immer
in congruente Stücke zerschneiden). Diese Bemerkung gilt zugleich für
alle folgenden Fälle, wo eine ähnliche Verschiedenheit eintritt.

12. Von allen sphärischen Dreiecken über derselben Grund-
linie und von gleichem Inhalte hat das gleichschenklige den
kleinsten Umfang.

' Der Beweis dieses Satzes ist dem des obigen entsprechenden Satzes

(4) ähnlich.

13. Unter allen sphärischen Dreiecken von gleichem Um-
fange, hat das gleichseitige den grössten Inhalt; und unter allen
sphärischen Dreiecken von gleichem Inhalte hat das gleich-
seitige den kleinsten Umfang.

Die Beweise des obigen Satzes (5) finden in ähnlicher Weise für den
gegenwärtigen Satz statt.

(a + 7) — B bleibt constant, denn sie ist stets der unverS^derlichen Differenz D — («i + Ti)
gleich. Also: Ist die Grundlinie AC eine^ sphärischen Dreiecks ABC der
Grösse und Lage nach, und ist die Differenz zwischen der Summe der
Winkel an der Grundlinie (a + T) ^^^ ^^^ Winkel an der Spitze {B) ge-
geben, so ist der Ort der Spitze B ein bestimmter Kreis Py welcher alle-
mal durch die Endpuncte A^ C der Grundlinie geht.

4. Es seien femer A^ Ci die Gegenpuncte der festen Puncto A, C; sie liegen in
den über B hinaus verlängerten Schenkeln AB, CB, so dass man zwei Scheitel-Drei-
ecke ABC und AiBCi hat, die sich gleichzeitig ändern; ihre Winkel an der gemein-
schaftliehen Spitze B «ind gleich als Scheitelwinkel, und von den Winkeln a und 7,
Ai und Ci an den festen Grundlinien iiC, AyCi sind die in dem einen Dreieck bezieh-
lich den Nebenwinkeln Yon denen in dem anderen Dreieck gleich, so dass

a + ili = iz und y + ^i = ^•

Da nach (3) a-|-y — B constant ist, nämlich gleich D — «i — Ti gleich K, so ist folglich

A.+ B+C^ = 2tz—K, '

d. h. wenn im ersten Dreieck ABC die Differenz ot + y — B constant ist, so ist im an-
deren AtBCi die Summe der drei Winkel, also auch sein Inhalt constant, und auch
umgekehrt. Da nun aber unter dieser Bedingung der Ort der Spitze B ein Kreis P
ist, der allemal durch die festen Puncto A, C geht, so ist dadurch die Wahrheit des
obigen Satzes dargethan.

Wenn insbesondere die feste Grundlinie AC Durchmesser des Kreises P wird, so
ist K gleich 0 (also D gleich ai-)-Yi un<l ^ gleich a-|-Y), und auch umgekehrt. In

diesem Falle ist dann

Ai + B+Ci = 271,

und folglich der Inhalt des Dreiecks A^BC^ gleich dem vierten Theile der Kugelfläclie.

Ein anderer, noch einfacherer Beweis des obigen Satzes ergiebt sich durch stereo-

metrische Betrachtungen.

190 Deber Huirnnm und Hinimam.

Zweiter Fundamentalsati.
14. „Sind zwei Seiten eine« sphäriachea Dreiecka gegeben,
so bat es danD don grössten Inbalt, wenii der von deoselben
eingeschtossene Wiakel so gross ist als die Samme der beiden
übrigen Winkel, oder wenn der nmschriebene Kreis die dritte
Seite zum Durchmesser hat."

Beweis. Die eine gegebene Seite AC (Taf. IX Fig. 5) sei die Grnnd-
linie und fest, so ist der Ort der Spitze des Dreiecks eine Ereislioie DBE,
welche A zum Pol und die andere gegebene Seite AB zum (sphäriacheD)
Radius hat. Seien A,, C, die G^npuncte der festen Puncte A, C. Jeder
Kreis durch A, und C, , wie z. B. der Kreis A,DEC^, ist Ort der
Spitzen eines Systems Dreiecke von gleichem Inhalte ober der Grundlinie
AC (9); schneidet er den festen Kreis A iu zwei Pnncten Z> nnd E, ho
äind diese die Spitzen zweier Dreiecke ADC und AEC mit den gegebenen
Seiten und von gleichem Inhalte, woraus also beiläu% folgt: „Dass
unter den gesammten Dreiecken, welche mit den gegebenen
zwei Seiten möglich sind, immer zwei und zwei gleichen Inhalt
haben." Der Inhalt wird um so grösser, je mehr der Ortskreis A^DEC,
sich von der Grundlinie AC abneigt (9); wofern aber dieser Kreis dem
festen Kreise A begegnen soll, so entfernt er sich am meisten von der
Grundlinie, wenn er denselben nur noch in einem Punct« B berührt; folg-
lich hat das Dreieck ABC unter allen, die mit den gegebenen Seiten
möglich sind, den grössten Inhalt. Der Pol F des berührenden Kreises
AjBC, liegt in der VerlSngerung des Schenkels AB (10). Da
FA, = FB=FC„
) ist im Dreieck A.BC. Winkel

Ueber Maxinram und Minimum. 191

i folglich ist G der Pol und BC der Durchmesser des dem Dreieck
3C umschriebenen Kreises, was die weitere ^i^gabe des Satzes bestätigt.

15. Ist die Summe zweier Seiten eines sphärischen Drei-
ks gegeben, so hat es dann d^n grössten Inhalt, wenn die-
Iben einander gleich sind und einen Winkel einschliessen,
r so gros^ ist als die Summe der beiden übrigen.

Der Beweis dieses Satzes ist dem des entsprechenden ebenen Satzes
I ganz analog. Auch hier finden analoge Zusätze über sphärische Vier-
te statt.

3. Ausgedehntere Siätze über ebene und sphärische Figuren.

Aligemeine Vorbemerkung.

16. Gleichwie im Vorhergehenden die Sätze über das ebene und
^liarische Dreieck gewissermassen gleichlautend ausgesprochen und ihre
■weise übereinstimmend geführt werden kannten, ebenso kann es auch
t den Sätzen und Beweisen über andere Figuren geschehen. Der Kürze
fen sollen aber im Folgenden die Sätze für beide Figuren-Arten, ebene
! sphärische, immer vereinigt ausgesprochen, oder doch, wenn auch
^^ die für die ebenen Figuren passenden Benennungen gebraucht wer-
9 vereinigt ausgesprochen gedacht werden. Ich habe mich bemüht, die
^eise so zu führen, dass sie für die sphärischen Figuren meist gleich-
oig und möglichst gleichlautend abgefasst werden, können. Bei den-
gen Beweisen, wo ein wesentlicher Unterschied stattfindet, ist derselbe
;edeutet, zuweilen auch näher erörtert. Um den ^ Grund (Ursprung)
ser UntesBchiede im Allgemeinen anzuzeigen, mag schon hier auf einige
andere Eigenschaften der sphärischen Figuren, sowie auf eine eigen-
ünüiche Beziehung derselben unter sich aufmerksam gemacht werden.

1. Der Umfang eines convexen , sphärischen Vielecks ist im Allge-
einen kleiner als der Hauptkreis, welchen er zur Grenze hat. Ebenso
^^ der Inhalt (oder die Summe der Winkel) nicht jede beliebige Grösse
oeQ (wenn die Kugel gegeben ist); sondern er hat die halbe Kugelfläche
^^enze. Oder, wofern man nach Belieben den einen oder anderen der
^ Xheile, in welche die Kugelfläche durch die Grenzlinie des Vielecks
^^den wird, als Inhalt des letzteren ansehen wollte, so hätte der In-
^^e gan^e Kugelfläche zur Grenze. In diesem Falle aber, wo der
^^e Theil ak Inhalt angenommen würde, wäre das Vieleck nicht
^x, sondern concav zu nennen. Gewöhnlich pflegt man den klei-
^ Theil als Inhalt zu betrachten. Indessen sind beide Theile von
^^er so abhängig, dass mit dem einen auch zugleich der andere ge-
'^ ist, und dass, wenn z. B. der eine unter irgend welchen Bedingungen
^^aximum wird, dann gleichzeitig der andere ein Minimum sein muss,

192 üeber Haiimum und Hininiuiii.

lind auch umgekehrt. — Was hier von Vielecken gesagt worden, gilt uck
von coDvoxen geschlossenen Cui-vcn.

II. Die Eigenschaft der Polarfiguren aof der Eugeliläche bewirkt ei»
bestimmte Dualität und R«ciprocität der sphärischen Sätze, so nämlkL
dass Jedem Satze über ein n-Eck, welcher unter gewissen Vorsossetzunga
in Detrcft der Seiten und Winkel, des Umfanges und Inkaltes a. 8.t.
stattfindet, allemal ein bestimmter anderer Satz, ebenfalls über das n-Ed,
entgegensteht, welcher durch jenen bedingt und dadurch aas ihm abgt-
leitet wird, dass man in Hinsicht der gegebenen Voraussetzungen sovcil
als in Rücksicht der daraus geschlossenen Eigenschaften, überall, Seite mü
Winkel, Umfang mit Inhalt, sowie z. B. Maximum mit Minimum, u. s. r.
vertauscht *). Von diesem Ableitungsgesetz der Satze von einandör m-
den wir jedoch im Folgenden keinen Gebrauch machen, weil' es ßr die
Figuren in der Ebene nicht auf gleiche Weise vorhanden ist. Um die *
folgende Eigenschaft, die aus demselben entspringt, mag hier noch mg»'
doutot werden.

Bei je zwei sphärischen rociproken Polar£guren findet zwischen dei^
Umfange einer jeden und dem Inhalte der anderen eine bestimmte god—
stante Relation statt, wodurch jede der beiden Grössen sogleich gefiindei^
wird, woim die andere bekannt ist. Wird nämlich einerseits der viert»-^
Theil dea Uauptkreii^cs (Quadrant) und andererseits der achte Theil d«""
Enigelfläche (Octant) zur Einheit angenommen, und werden der Umbog "i
der eijien und der Inhalt der anderen F^;ur beziehlich in solchen Ein- ~
heiten ausgedrückt, durch (die Zahlen) u und / bezeichnet, so ist aliemiLJ

«+/ = 4,
d. h. „je zwei sphärische gegenseitige Polarfiguren liaben dis^
Eigenschaft, dass der Umfang (u) einer jeden mit dem Inhilti^
(/) der anderen gerade vier beträgt."

Aus diesem Gesetz ei^eben sich z. B. nachstehende Folgerungen:

lieber Maximum und Minimum. X93

^Wenn eine sphärische Curye entweder rectificirbar oder
adrirbar ist, alsdann muss ihre.Polarcurve beziehlich qua-
irbar oder rectificirbar sein; und wenn jenes nicht statt-
idet, dann ist auch dieses unmöglich. **

Und femer:

,,Wean man die eine Curve rectificirt oder quadrirt hat,
ann kennt man zugleich beziehlich den Inhalt oder den Um-
ang der anderen." U. s. w.

Hauptsatz.

17. „Unter allen ebenen (oder sphärischen) Figuren von
''eichem Umfange hat der Kreis den grössten Inhalt." Und um-
elehrt: „Unter allen Figuren von gleichem Inhalte hat der
reis den kleinsten Umfang."

Beweis. Dass bei gegebenem Umfange unendlich viele Figuren von
■schiedener Form, sowie von ungleichem Inhalte möglich sind, ist von
l>st klar. Ebenso ist es einleuchtend, dass der Inhalt (wohl beliebig
tu, aber) nicht beliebig gross sein kann, indem sich allemal, nach
ssgabe des gegiebenen Umfanges, leicht eine Fläche angeben lässt, die

an Grosse übertrifft. Eine solche Fläche ist z. B. der Kreis, dessen
•t-elpunct auf der Umgrenzung liegt, und dessen Radius der Hälfte des
^öfcenea Umfanges gleich ist. Wenn aber bei demselben gegebenen
^r^nge die Figuren ungleichen Inhalt haben können, dieser jedoch nicht
i^^big gross sein kann,* so muss es nothwendig entweder eine Figur
^^n, die unter allen den grössten Inhalt hat, oder es müssen mehrere,
Schieden geformte Figuren stattfinden, die diese Eigenschaft gemein
^^D, d. h. welche unter sich gleichen, aber grösseren Inhalt haben als
^^ der übrigen. Dabei ist klar: „Dass jede Figur, deren Inhalt
^ter Beibehaltung des* Umfanges sich vergrössern lässt, nicht
^ jenen grössten Figuren gehört." Daraus folgt zunächst, dass
^e von jenen Figuren, die den möglich grössten Inhalt haben sollen,
oth wendig convex sein muss, und dass sie nicht geradlinig sein kann,
der wenigstens keine zwei auf einander folgende gerade Seiten haben kann;
enn in beiden Fällen liesse sie sich vergrössern, wie leicht zu sehen ist.

Es sei EFGR (Taf. IX Fig. 6) eine von den genannten Figuren mit
jm grössten Inhalte. Zu jedem beliebigen Puncte A in der Grenzlinie
ebt es einen bestimmten zugehörigen Punct By der mit ihm zusammen
n Umfang hälftet, so dass in Hinsicht der Länge Linie

AEB'B =t= AUGB

:. Angenommen A und B liaben diese Eigenschaft, so muss die Gerade
B nothwendig auch die Fläche der Figur in zwei gleich grosse Stücke

Steiner'« Werke. II. 13

194 Ueber UaKimum UDd HiDimum..

thcilen; denn wäre daa eine, etwa AHGBA, grösser al» das andere
AEFBA, so könnte letzteres jenem gleich gemacht werden, da beide die
Grundlinie AB gemein und somit gleichen Umfang haben; dadurch würde
aber der Inhalt der ganzen Figur bei gleichem Umfange vergrössert, wu
gegen die Voraussetzung wäre; folglich müssen beide Stücke gleich grou
sein. Wären sie nun femer in Form verschieden, so kann man immerhin
das eine, z.B. AEFBA, sich so ändern lassen, dass es dem soderen
AHGBA symmetrisch gleich wird, so nämlich, dass die gemeiDschaftliche
Orundlinio AB die Symmetral-Axe ist; denn alsdann wäre die ans beiden
Stücken bestehende neue Figur an Umfang und Inhalt der vorigen gleich,
und gehörte daher mit zu den grössten Figuren. Nehmen wir also auf
einen Augenblick an, es sei AEFBA das umgewandelte, zu AHGBA
symmetrische Stück selbst, so folgt, dass das aus ii^nd einem Punete D
der einen Umfangs-Hälfte AHGB auf die Axc AB gefällte Perpendikel
DJ, verlängert, die andere Hälfte AEFB in einem von der Aze gleich
weit abstehenden Puncte C trifft, so dass immer

DJ = JC
\»i: und weiter folgt, dais die Dreiecke ADB und ACB sytmnetrisdi
gleich oder congment sind. Wären nun in diesen Dreiecken die homo-
logen Winkel bei D und C nicht rechte, so Hessen* sich ihre Inhalte.
unter Beibehaltung der Schenkel DA und DB, CA und CB, gleichzeitig
vergrossem (6), während die über den Schenkeln liegenden Segment« der
Figur, nämlich AHD, DGB, BfV, CEA, constant blieben, nnd nur die
gemeinschaftliche Grundlinie AB sich änderte;" aber dadurch würde dann
auch der Inhalt der ganzen Figur vergrössert (nämlich ein Theil von ihr,
das Viereck ADBC), ohne dass ihr Umfang seine Grösse änderte, was
der Voraussetzung widerspräche; demnach müssen die genannt«n Winkel
bei D und C rechte sein. Und daher muss femer — da die Puncte A

Ueber Maximum und Minimum. 195

Anmerkung. I. Was den obigen umgekehrten Satz betrifft, so
folgt sein Beweis indirect, gestützt auf den ersten Satz. — Aehnlich ver-
hält es sich mit den meisten später folgenden umgekehrten Sätzen, wes-
halb ihre Beweise fortan mit. Stillschweigen übergangen werden sollen.

IL In Hinsicht der sphärischen Figuren mag nochmals erinnert wer-
den (16), dass, wenn in einem Beweise auf einen Fundamentalsatz über
das ebene Dreieck oder auf andere Sätze verwiesen wird, dann für jene
Figuren gewöhnlich der entsprechende Satz über das sphärische Dreieck
u. 8. w. zu berücksichtigen ist. Wenn also z. B. im vorstehenden Beweise
geschlossen wird: „dass in den Dreiecken ADB und ACB die Winkel D
und C rechte sein müssen^, so schliesst man bei den sphärischen Figuren
(14): „dass jeder dieser Winkel der Summe der beiden Winkel an der
Grundlinie gleich sein müsse. ^

18. Der vorstehende Satz (17) bewährt sich in der That dadurch
als „Hauptsatz^, dass in ihm, gleichsam wie in -einem Ganzen, die
wesentlichsten Gründe concentrirt sind, welche die meisten Fragen über
Maximum und Minimum in Hinsicht des Inhalts, Umfangs, u. s. w. bei ebenen
und .sphärischen Figuren entscheiden. Und zwar geschieht die Beantwor-
tung dieser Fragen möglichst einfach und unmittelbar, indem nämlich die
darüber entscheidenden Sätze durch stufenweise Ableitung aus jenem Haupt-
satze folgen, von welchem sie deshalb nur als Theile, oder vielmehr nur
als Sätze über einzelne Theile derjenigen Figur, welche der Gegenstand
dieses -Satzes ist, erscheinen. Denn gleichwie der ganze Kreis die doppelte
Eigenschaft besitzt: „dass er unter allen Figuren von gleichem Umfange
oder gleichem Inhalt beziehlich den grössten Inhalt oder den kleinsten
Umfang hat^, ebenso verhält es sich auch mit den einzelnen Theilcn oder
Stücken von ihm, woraus denn jene Sätze hervorgehen. Dadurch stehen
diese Sätze mit dem Hauptsatze in einem solchen Zusammenhange, dass
sie wie Zusätze aus ihm folgen, oder dass doch ihre Beweise sehr einfach
und meist indirect zu führen sind. Gleichwohl möchten sich viele der-
selben weniger leicht und einfach behandeln lassen, wenn man sie ausser
diesem natürlichen Zusammenhange, einzeln und auf anderem Wege be-
weisen wollte; es ist dies auch vielleicht der Grund, warum dieselben,
meines Wissens, bisher noch nicht aufgestellt und J)ewiescn worden sind.

Um aber die abzuleitenden Sätze leichter aussprechen und sicherer
behandeln zu können, wäre es zweckmässig, für die verschiedenen Theile
oder Stücke, in welche die Kreisfläche sammt dem sie umgebenden übrigen
Räume der Ebene durch Sehnen, Secanten und Tangenten zerschnitten
werden, Wstimmte Benennungen festzusetzen, sowie einige darauf bezüg-
liche Hülfssätze voranzustellen. Allein da die vollständige Erörterung
dieser Gegenstände hier zu viel Raum einnehmen würde, so soll nur Einiges
davon kurz angedeutet werden.

13*

196 Heber Haiimum and Minimum.

Sowie man oäiclich gewisseu Stücken der Kreisfläche die lfm:
nSegmeut" und „Scctor" gegeben hat, ebenso müsste auch jedem o-
deren Fliichonstück, welches z. B.

«) von mehreren Sehnen und den dazwischen liegenden Bopi;

oder
/>) von mehreren umschriebenen AVinkeln und den dazvUdM

liegenden Bogen; oder
r) von Sehnen und umschriebenen Winkeln nebst den dazwischn
befindlichen Bogen ; u. a. vt.
begrenzt wird, ein eigontbflmlicher Namen beigelegt werden. Ich lilft
dazu beziehlich folgende:

a) „Kreisstück zwischen n Sehnen";
0) „Kreisstück zwischen m umschriebenen Winkeln*;
f) „Kreisstücb zwischen «Sehnen und m umschriebent*
Winkeln"; u. s. w.
Sodann müsste femer untersucht werden: unter welchen Bedingungen jede*
dieser Kreisstücke bestimmt sei ; wenn gewisse Elemente desselben gegel»«'
sind, welchen Spielraum und welche Grenzen dann die übrigen haben; o-s. ^
Diese Untersuchung kann auf geometrischem Wege dadurch gescheh^^
dass man den Kreis (oder andere Elemente) sich stetig ändern lässt, nolr*
man dann durch unmittelbare Anschauung sich von der Möglichkeit f**
wisser Zustände und Eigenschaften überzeugt, welche die oben geniimt^
Hülfssätzc enthalten. Im Folgenden werden wir also diese Hülfssatze ohc^
Weiteres voraussetzen, sowie mau schon einen Theil derselben gewöhnBctf
anzunehmen pHegt, als z. B. „dass, wenn die Seiten eines Vielecks ja
geben sind, dann ein Kreis möglich sei, in welchen es eingeschrieben
wenien kann".

Zur Erläuterung des Gesagten m^e hier das einfachste KreiBstnda
das Segment, auf die angezeigte Weise betrachtet «erden.

Ueber Maximum und Minimum. 197

Bogen. Die Zu- oder Abnahme dos grösseren Bogens ß ist grösser
Ab- oder Zunahme des kleineren a, und ebenso verhält es sich
n zugehörigen Segmenten. — Erreicht der Kreis sein Minimum,
sein Durchmesser, so ist

ai = aß;

agegen der Kreis unendlich gross, so geht der Bogen a in seine
in die Sehne a über, sowie das Segment aa seinen Grenzwerth 0
;, wogegen ß und aß unendlich gross werden. Also: während der
$ich so viel wie möglich ändert, durchlaufen die Bogen a und ß
len alle möglichen Grössen von a bis oo, und die Inhalte der
ite oa und aß alle Grössen von 0 bis oo. Man schliesst ferner:
Wenn von den vier Grössen: 1. der Kreis Ky 2. die Sehne a,
Bogen a oder ß, 4. der Inhalt des Segments aa oder aß, irgend
geben sind, alsdann sind die jedesmaligen beiden übrigen einfach
bsolut) bestimmt; ausgenommen ist der Fall, wo der Bogen und
alt gegeben sind, wobei im Allgemeinen zwei* verschiedene Seg-
nöglich sind, das eine spitz-, das andere stumpfwinklig, was sich
zeigen wird (33). Die gegebenen Grössen dürfen jedoch in Rück-
jr angezeigten Grenzen (3) einander nicht widersprechen.

Folgerungen aus dem Hauptsatze.

Besteht die Grenze einer Figur aus einer beliebig lan-
3raden G und einer nach Form willkürlichen Linie L,
(t entweder die Länge der Linie L oder der Inhalt ge-

so ist beziehlich der Inhalt am grössten oder die Linie
kleinsten, wenn die Figur ein Halbkreis ist.
weis. Jede im Satze inbegriifene Figur kann als die eine Hälfte
mmetrischen Figur angesehen werden, welche die Gerade G zur
:ral-Axe hat, und deren Umfang, aus 2L bestehend, gegeben ist.

der Inhalt der Hälfte mit dem der ganzen Figur gleichzeitig ein
m werden muss, so folgt also aus No. 17 die Richtigkeit des

er gegenwärtige Satz kann auch für sich bewiesen und dann umgekehrt der
i (17) aus ihm gefolgert werden, und zwar lässt sich der Beweis sehr kurz
wenn man weniger streng und allgemein als bei diesem verfahren will, näm-
n man voraussetzt, dass es eine grosste Figur geben müsse ; denn alsdann folgt
ass dieselbe nur der Halbkreis sein kann, weil jede andere Figur sich ver-
lässt, wie AEFBA (Taf.lX Fig. 6) (wo AB die beliebige Gerade G und AEFB
►ene Linie L vorstellt), wenn nicht für jeden Punct (J in der Linie AEFB
ie\ ACB ein rechter ist.

198 Ueber Maxioiura und Hinimuin.

losbesondere folgt aus dorn vorstehenden Satze: „Dass nnter iIIn
Kreissegmenten von gleich langem Bogen oder von gieieku
Inhalte der Halbkreis beziehlich den grössten Inhalt oder dt
kürzesten Bogen hat."

20. Von allen Figuren, die von einer gegebenen Gendeii
Und einer willkürlich geformten Linie L begrenzt werden, \A
das Kreissegment bei gleicher Länge der Linie L den grösita
Inhalt und bei gleichem Inhalte die kürzeste Linie L.

Beweis. Die Linie L habe irgend welche Form und begrenuri
der Geraden a eine Figur aL. Immer ist über a ein Kreissegnint «
möglich, dessen Bogen a gleich L (18), und zwar mt^n « nndLirf
gleicher Seite von a liegen. Man denke sich den ganzen Kreis und hm
den anderen Bogen ß, so ist der von o+ß begrenzte Ereis grösser ilt&
von L+p begrenzte Figur (17), also

«a+aß > aL+a%
folglich

fflo >- aL.

Anmerkung. Aus dem vorstehenden Satze entnimmt man dicw-
gemeine Regel, welche zum Bohufc späterer Sätze wohl zn beachteniA
nämlich:

Dass bei joder Figur, deren Inhalt unter irgend welek«
Bedingungen ein Maximum sein soll, joder Thoil des Umfangei,!
welcher zwischen irgend zwei festen Fancten beliebige Fotl'
haben kann, allemal ein Kreisbogen sein mase.

21. Von allen Figuren, deren Grenzlinie aus swei gegt-
benen Geraden a, b und aus einer oder zwei willkärlichen Liniti
/, /, bestehen soll, hat das Kreisetück zwischen den Oer«dei,
als Sehnen genommen (18), bei gleicher Summe der LiDien/+^
gleich L

Ueber Ifaximum und Minimum. 199

22. Ist statt der einzelnen Geraden a, b wie im vorigen

Satze (21), deren Summe s gleich a-hb gegeben, so wird unter

denselben übrigen Bedingungen der Inhalt des Erelsstücks ein

Maximum Maximorum, oder die Summe L der Linien l, l^ ein

Minimum Minimorum, wenn die Geraden einander gleich sind,

wenn also

a = b = ^s.

Beweis. Man nehme a und b beliebig ungleich an und denke das
Kreisstück zwischen ihnen, aber, so, dass sie einen Endpunct C gemein
haben (wobei also etwa l^ gleich 0 und l gleich L ist); verbinde ihre
anderen Endpuncte Ay B durch die Sehne ABy wodurch die Figur in ein
Segment AlB und in ein Dreieck ACB getheilt wird, so wird dieses
Dreieck übej seiner Grundlinie AB vergrössert, wenn man die Schenkel
a, b gleich macht; aber dadurch wird auch die ganze Figur grösser, und
vergrössert sich noch mehr, wenn sie in ein Ereisstück zwischen den
gleichen Schenkeln, als Sehnen, übergeht, was die Wahrheit des Satzes
bestätigt.

23. Unter allen Figuren, deren Grenzlinie aus n gegebenen
Geraden a, 6, c,. . . . und aus 1, oder 2, oder 3, . . . oder n belie-
bigen Linien ly /,, ^3, . . . U besteht, hat das Ereisstück zwischen
jenen Geraden, als Sehnen (18), bei gleicher Summe L der Li-
nien ly /j, ... den grössten Inhalt und. bei gleichem Inhalte die
kleinste iSumme L jener Linien.

Der Beweis ist dem des Satzes (21) ähnlich.

24. Ist in Hinsicht des vorigen Satzes (23) statt der n ein-
zelnen Geraden a, i, ^r, . . . deren Summe gleich s gegeben, so
wird bei gleichem Umfange der Inhalt des Ereisstücks ein
Maximum Maximorum, oder bei gleichem Inhalte die Summe L
der Linien l, /|, . . . ein Minimum Minimorum, wenn die Geraden
einander gleich sind. — Aehnlich verhält es sich, wenn bloss die
Summe einzelner Geraden gegeben ist, oder wenn in verschiedenen Ab-
theilungen die Summen von einzelnen Geraden gegeben sind, wo dann
die Geraden jeder Abtheilung unter sich gleich sein müssen.

Der Beweis ist ähnlich wie beim obigen Satze (22).

25. Wenn bei den Sätzen 23 und 24 insbesondere die Bogen /, l^^
/.^, ... alle Null sind, so hat man folgende bekannte Sätze:

I. Sind die Seiten a, 6, c, . . . eines Vielecks gegeben, so
hat es den grössten Inhalt, wenn es ein Ereisstück zwischen
den Sehnen a, i, Cy \ . . ist, d. h. wenn es einem Ereise einge-
schrieben ist.

II. Ist der Umfang eines n-Ecks gegeben, so ist sein Inhalt
am grössten, wenn es gleichseitig und einem Ereise einge-

300

Ueber JlIl^

scliriehen, d. h. wenn es regelmäsBig ist. Und umgekehrt: Unter
allen n-Ecken von gleichem lahalto hat das regelmässige den
kleinsten Umfang.

26. Betrachtet man Vielecke von imgleicher Seitenzahl aber v(id
gleichem Umfange oder gleichem Inhalt« und fragt, welches bezicMici
den grössten Inhalt oder den kleinsten Umfang habe, so hat maji cä niu
mit den regelmässigen za thun (25}; für diese aber findet folgendes 6«-
setz statt:

Bei regelmässigen Vielecken von gleichem Umfange bilden
die Inhalte eine steigende Reihe, welche mit dem Dreieckt
ginnt und mit dem Kreise schliesst; und bei gleichem Inhalte
bilden die Umfange vom Droicck bis zum Kreise eine abnel
mende Reihe.

Beweis. Haben zwei regelmässige Vielecke von gleichem Umfangt
angloiche Seitenzahl, wie z. B. ein Fünfeck ABCDE und ein Viereck
nbcd^ so kann man immer das letztere als ein Fünfeck ansehen, dessm
eine Seite Null ist; oder — wenn in der einen Seite ad ein Pnncl
angenommen wird — als ein Fünfeck alxde, dessen Winkof bei e ^oich
TT ist; also ist das regelmässige Viereck aM ein ungleichseitiges Ffinf-
eck und hat folglich kleineren Inhalt als jenes regelmäjisige Fünfeck
ABCDE.

Bemerkung. I. Aehnliche Steigerungen oder Gesetze finden sich
beim obigen Satze (24), sowie bei vielen später folgenden Sätzen, wenn
man nämlich die Summe aller geradlinigen Seiten a, b, c, . . . als ge-
geben annimmt und die Zahl derselben sich ändern lä^st; es genügt,
bloss darauf aufmerksam gemacht zu haben.

IL So auITallend vielleicht der vorstehende Beweis ist, ebenso aof-
fallend ist es, da.ss er nicht schon früher gofimden worden. Die mir be-
kannten Beweise des Satzes für die ebenen Figuren sind mehr od«

lieber Maximum und Minimum. 201

i, /,, ... den grössten Inhalt, und bei gleichem Inhalte die
inste Summe L jener Linien.

11- Ist die Summe der n Geraden a, by Cy . . , gegeben, so
det der Satz in ähnlicher Weise statt, wenn dieselben ein-
ler gleich sind.

ni. Sind in beiden Fällen I und II die Linien /, Z„ /,, ...
e gleich Null, so geht die Figur in ein (n-l-l)-Eck über, das
em Kreise eingeschrieben ist, welcher die willkürliche Seite
zum Durchmesser hat.

Der Beweis stützt sich auf vorhergehende Sätze und ist dem des
zes (19) ähnlich.

28. Von allen Figuren, deren Grenzlinie aus den beliebig langen
lenkeln AB, AC eines rechten Winkels A und aus einer beliebigen
ie L besteht, hat der Kreis(^uadrant bei gleicher Länge der Linie L
i grössten Inhalt, und bei gleichem Inhalte die kürzeste Linie L. —

die Linie L zusammengesetzt aus gegebenen Geraden a, b, Cy . . . und
1 beliebigen Linien /, /,, Z„ . . ., so findet der Satz in ähnlicher Weise
tt, wenn die Figur ein Kreisstück ist zwischen den Sehnen a, 6, . . .
I den Radien ABy AC. Ebenso, wenn die Summe und Anzahl der
•aden a, i, c, . . . gegeben ist.

In allen diesen Fällen kann die Figur als die eine Hälfte einer an-
cn Figur angesehen werden, welche AB oder AC zur Symmetral-Axe
, und dann folgen die Sätze unmittelbar aus den früheren (19 und 27).

29. I. Wenn femer die Linie L von einem gegebenen Puncto B
einen Schenkels AB ausgehen soll, so findet das genannte Maximum

r Minimum statt (28), wenn die Figur die eine Hälfte eines Kreisstückes
welches den anderen Schenkel AC zur Symmetral-Axe hat, so dass

> der Mittelpunct des Kreises in diesem Schenkel liegt, und L zu ihm

itwinklig ist.
II. Wäre statt des rechten Winkels ein spitzer BDC und im Schenkel

^ der Punct B gegeben, so hat man dieselben Sätze, nur dass die Figur
ein constantes Dreieck BAD vermehrt ist, welches durch das Perpen-

el BA aus B auf den Schenkel DC von dem Winkel abgeschnitten

d. Auch hier liegt der Mittelpunct des Kreises in dem Schenkel DC.

30. Von allen Figuren, welche von den willkürlioh langen
lenkeln AB, AC eines'gegebenen Winkels BAC und von einer
iebigen Linie L, deren Länge aber gegeben ist, begrenzt
rden, hat der Kreissector den grössten Inhalt. .

Beweis. Ueber dem einen Schenkel AC denke man sich die Figur
pelt und symmetrisch, auf der einen Seite ABLC und auf der anderen
\L^Cy so muss, wofern der Inhalt ein Maximum sein soll, die Linie
C/v, ß, und also auch ihre Hälfte L ein Kreisbogen sein, dessen Mittel-

punci im Schenkel AC liegt; ai>or aus gleichea Gründen diusk dieser
Mittelpunct (von L) auch im Schenkel AB liegen; er liegt folglich in
ihrem Durchschnitte, in A.

Ein anderer Beweis folgt aus (29, I).

31. T. Wenn die Linie L (30) aus gegebenen Geraden o. b,
c, . . . und aus beliebigen Linien l, /,,..- bestehen noU, so findet
der Satz in analoger Weise statt, nämlich die grösste Figur ist
ein Sectnr-Kreisstück zwischen den Sehnen a, b, r, . . . und den
Radien AB, AC. Und:

II. LäsBt man die Bogen 2, /, , .. . achwinden, bia jeder gleicli
Null wird, so hat man eincD Satz über das Vieleck, wenn ein
Winkel BAC desselben und alle nicht daran liegenden Seiten
n, b, . . . gegeben sind').

Diese Sätze, sammt ilem vorigen (30). gehen in verschiedene fräbe»
Sätze über, wenn man dem Winkel A die Wcrtho in, x, 2w giebt.

32. Unter allen Kreissectoren von gleichem Umfang hat
derjenige den grössten Inhalt, dessen Bogen dem Durchmesser
gleich ist.

Beweis. Jeder Sect«r ist gleich der Hülfto eines rochtwinklt^en
Dreiecks, dessen Katheten beziehlich dem Bogen und dem I>urchmoäs?t
gleich sind; dioses Dreieck aber wird ein Maximum, wonn es gleich-
schenklig ist (7).

Bemerkung. Für den sphärischen Krcissector findet der Satz nicht
ganz gleichmassig statt, nämlich der Bogen ist ntbht dem sphärischen,
sondern dem wirklichen geradlinigen Durchmesser des Kreises gleich.
Auch der Beweis scheint nicht auf analoge Art geometrisch gefuhii wor-
den zu können; dagegen ergiebt er sich leicht durch Rechnung.

Beide Sätze stimmen ausserdem folgendennassen überein:

I. Der Centnwinkel des grössten Sectors bleibt constant, mag lier

Ueber Maximum und Minimum. 203

1er Sector zu einem Hauptkreise, und sein Inhalt ist gleich 2r'\ oder gleich
^ — , wo 0 die Oberfläche der ganzen Kugel mit dem Radius r ist.

33. Von je zwei spitzwinkligen (18) Kreissegmenten mit
gleich langem Bogen hat dasjenige grösseren Inhalt, welches
den grösseren Winkel oder die kleinere Sehne hat; und von je
zwei stumpfwinkligen Segme»ten mit gleich langem Bogen hat
dasjenige grösseren Inhalt, dessen Winkel kleiner oder dessen
Sehne grösser ist.

Beweis. Es seien ALB und Ä^L^B^ zwei spitzwinklige Segmente
(Taf. X Fig. 8), Bogen L gleich L, und Sehne AB<,A,B,\ femer sei
C das Centrum von L; man verlängere die Radion CA^ CB und trage
zwischen ihnen die Sehne A^B^ ein, parallel zu ^ß (also jenseits dieser),
und über ihr das Segment A^L^B^^ nach aussen liegend, so ist der Sector
CALBC:>CA^L^B^C {^), daher auch, wenn man von beiden das Drei-
eck ACB wegnimmt, Segment ALB> AA^Lß^BA^ und folglich um so

mehr

Segment ALB > Segment A^L^B^.

Aehnlich wird der andere Theil des Satzes bewiesen.

Bemerkung. I. Zwischen den spitzwinkligen und stumpfwinkligen
Segmenten mit gleich langem Bogen steht das rechtwinklige oder der
Halbkreis in der Mitte und hat den grössten Inhalt (19), jene aber wer-
den um so kleiner, je mehr sie von ihm abweichen, und da ihre Grösse
stetig abnimmt^ so mfissen immer zwei und zwei gleichen Inhalt haben,
nämlich je ein spitzwinkliges mit einem stumpfwinkligen, so dass also,
wenn der Inhalt und der Bogen gegeben, immer zwei, aber nur zwei ver-
schiedene Segmente möglich sind; nur muss der Inhalt kleiner sein, als
der Halbkreis mit dem gegebenen Bogen. Hierdurch wird die obige Be-
hauptung (18, 4) bestätigt.

n. Für andere Figuren (Kreisstücke) über zwei ungleichen Grund-
linien (Sehnen) AB und A^B^^ deren übrige Umfangstheile L und L,
aus den nämlichen gegebenen Geraden a^ b, Cy , . . und aus anderen be-
liebigen Stücken /, /,, Z,, ... von gleicher Summe bestehen, so dass L
gleich Lj, finden analoge Sätze statt, deren Beweis aus (31) folgt.

34. Von allen Figuren, deren Grenzlinie aus den Schenkeln
eines gegebenen Winkels Aj wovon der eine AB in B begrenzt
und gegeben, der andere .4C aber willkürlich ist, und aus einer
von B nach dem Schenkel AC gezogenen, aber nicht darüber
hinaustretenden beliebigen Linie L besteht, hat das convexe
Kreisstuck zwischen der Sccantc AB und der Tangente AC bei
gleichem Umfange (oder bei gleicher Summe L-^AC) den
Rrössten Inhalt: und auch umojekehrt.

204 Heber Maxiiinira uud Uiniinutn.

Beweis. Es sei DLC (Taf. X Fig. 9) ein KroisbogoD, der den
Schenkel ÄC in C berühre, wobei L-\-AC die gegebene LSngo habe, m
dasa ABLÜA das genannte Kroisstück ist, so ist zu zeigen, dass aus B
keine andere Linie L^ nach irgend einem Puncte E oder F des Schenkek
AC möglich sei, welche, ohne über diesen Schenkel hinanszatreteo, eint
Figur von gleichem Umfange und gleichem oder von grösserem Inhalte gäbe.

Man denke sich die Linie L^ nach E gezogen (Taf. X Fig. 9), tt
haben das Segment BLC und die Figur BL^EC dieselbe Grundlime B6'
und gleichen Uinfai^, daher ist (20) BLC>BLßC, uud folglich
ABLCA > ABL.EA.

Nnn denke man sich dio Linie L^ nach F gezc^n, so mnsB sie, um
einen möglichst grossen Raum zu begrenzen, immerhin ein EroisbogeD sein
(20, Anmerk.) und auch sich zum Theil über den Bogen L erheben, ihn
also, ausser in B, noch einmal schneiden, aber offenbar mtiss sie aucb
die Verlängerung von L, den Itogen CD schneiden, somit mnssten zwei
Kreise drei Puncte gemein haben, was unmöglich ist — Sollt« die»
Schlussfolgo nicht ganz befriedigend erscheinen, so kann man, wie folgt,
an sohaul icher verfahren.

Welche Form die von B nach F gehende Linie L, haben mag, sie
muss nothwendig immer den Krcisbi^u CD (Verlängerung von L) a
irgend einem Puncte G schneiden (weil sie weder zwischen dem Kreise
und dem Schenkel AC durchgehen kann, noch über den letzteren hinaos-
trcten darf), so dass ein gemischtliniges Dreieck FGC entsteht, in welchem

FG-\-CG > CF,
oder

(a) CF~CG < FG.

Da die Figuren ABLCA und ABL,FA gleichen Umfang haben sollen.

Ueber Maximum und Minimum. 205

dürfe auch nicht über die Verlängerung des Schenkels AB hin-
austreten^, weil alsdann der Satz nur so lange möglich wäre, bis der
Punct D in -B fiele, und der Kreis L den Schenkel AB in B berührte;
denn über diese Grenze hinaus müsste der Satz sich ändern, nämlich er
müsste in einen später folgenden Satz (37) übergehen. Wird hingegen
der Umfang kleiner, oder der Winkel A grösser, so rückt der Berührungs-
pnnct C dem Scheitel A näher, bis er ihn endlich erreicht, wobei die
Figur ein Ejreissegment über der Sehne AB wird, welches in gewissem
Sinne als Grenze des Satzes zu betrachten ist, indem der Schenkel AC
gleich 0 wird; denn wird alsdann der Umfang noch kleiner oder der
Winkel A noch grosser, so bleibt die Figur ein Kreissegment über der
Sehne AB, aber der Bogen L berührt nicht mehr den Schenkel AC,
sondern schneidet ihn in A.

35- Wenn in Rücksicht dos vorigen Satzes (34) anstatt
der Summe L-{-AC die Differenz L — AC oder AC — L gegeben
wird, so ist der Inhalt der Figur ein Minimum (statt Maxi-
mum), wenn sie ein concavesf Kreisstück (Taf. X Fig. 10) zwi-
schen der Secante AB und der Tangente AC ist.

Denn zieht man aus B nach einem hinreichend entfernten Puncto* ^^
des Schenkels AC die Gerade BA^^ so ist, wenn L — AC oder AC — L
gegeben wird, auch zugleich L+A^C gegeben, indem man AA^ kennt.
Nun ist offenbar der Raum ABLC ein Minimum, wenn A^BLC ein
Maximum wird, dieses aber tritt ein, wenn die im Satze ausgesprochene
Bedingung erfüllt wird (34).

36. Wenn in Rücksicht der beiden letzten Sätze (34 und 35)
die Linie L aus gegebenen Geraden a, by c, , , , und aus belie-
bigen Stücken /^ Zp /„.. . bestehen soll, so ist in gleicher Weise
die Figur beziehlich ein Maximum oder ein Minimum, wenn
sie ein convexes oder ein concaves Kreisstück zwischen der
Secante AB, der Tangente ^0 und den Sehnen a, 6, c, . . . ist.

Die Erörterung des Spielraums und der Grenzen dieser zwei Sätze
gehört in den Bereich der in (18) angezeigten Untersuchungen. Hier mag
nur bemerkt werden, dass, wenn der Winkel A, der Schenkel AB und
die Geraden a, b, c, ,., gegeben sind, dann im Allgemeinen für zwei be-
stimmte Werthe des Umfanges das genannte Kreisstück in ein Vieleck
übergeht (also alle Bogen l, l^^ Z,, ... Null werden), und dass in dem
Intervall zwischen beiden Vielecken der Satz unmöglich wird.

37. Soll die Grenze einer Figur aus den beliebig langen
Schenkeln AB, AC eines gegebenen Winkels A und aus einer
dieselben verbindenden aber nicht darüber hinaustretenden,
beliebigen Linie L bestehen, und ist der Umfang der Figur
gegeben, so ist sie ein Maximum, wenn sie ein convexes Kreis-

206 l'eber Maximum und Minimum.

stück ABLCÄ (Taf. X FiR. 11) im umschriebenen Winkel A igt
(d. h. wenn L ein die Schenkel berührender Ereisbogen ist).

Und wenn Htatt des Umfange» die Differenz zwischen der
Linie L, (statt L) und der Summe der Schenkel AB-\~AC ge-
geben, »0 i»t die Figur ein Minimum, wenn sie ein concavei
Kreisstück (ABL^CA) im umschriebenen Winkel ist.

Beweis. Nimmt man in der Linie L irgend einen Punct Z> an and
zieht die Gerade AD, so müssen, wofem die Figur ein Maximum sein
soll, die Thcile BB und BC Kreisb<^n sein, welche die Schenkel AB
und AC berühren (34); da aber der Punct D ein beliebiger ist, so muss
die ganze Linie L ein Kreisbogen sein, welcher beide Schenkel berührt

Bemerkung. I. Wird der Winkel

A ^= - oder .(4 > it,
so geht das convexe Kroissttick in den ganzen Kreis über and der
Satz verliert seine eigentliche Bedeutung. Das concave Kreisstück ver-
schwindet.

n. Werden die Schenkel des Winkels A mittelst einer Geraden EF
oder GJf begrenzt, und wird dieselbe nebst den anliegenden Winkeln E, F
oder G, H als gegeben angesehen, so gelten die Satze in gleicher Weise
für die Figuren EBLCF und EBLfiF, oder GBL,CH und GBLCH,
nämlich die erste ist bei gegebenem Umfange ein Maximum, und die
andere bei gegebener Differenz (EB+FC)~L,, oder (GB-\-HC)—L
ein Minimum. Und diese Sätze bleiben bestehen, wenn insbesondere
(^A gleich 0 und) die Schenkel EG und FH parallel werden.

38. Wenn die Linie L oder L, (37) aus gegebenen Geraden
a,b,Cy... und aus beliebigen Bogen /, /,, /,, ... bestehen soll,
80 ist in gleicherweise die Fignr ein Maximum oder Minimum,
wenn sie ein convexes oder ein concaves Kreisstück zwischen

üeber Maximum und Minimum. 207

in. Ist die Linie L aus gegebenen Geraden a, i,-c, ...'und
aus beliebigen Bogen Z, /,, /,, ... zusammengesetzt, so finden
beide Sätze in ähnlicher Weise statt..

Beweis. Wird die jedesmalige Figur über dem Schenkel AB sym- ,
metrisch verdoppelt, so folgen die Sätze aus den vorhergehenden (37 und 38).

40. I. Soll eine Figur durch die willkürlich langen Schenkel
AC und AF, BD und BE zweier gegebenen Winkel A^ B (deren
Lage unbestimmt ist) und dnrch eine oder zwei beHebige Linien
/, /,, welche jene SVihenkel gegenseitig verbinden, begrenzt wer-
den, und soll dieselbe innerhalb beider Winkelräume liegen,
während ihr Umfang gegeben ist, so ist sie ein Maximum, wenn
sie ein convexes Kreisstück AGDBEl^FA (Taf. X Fig. 12a) zwi-
schen den umschriebenen Winkeln -4, B ist.

Oder wenn die Differenz zwischen der Summe der Schenkel
des kleineren Winkels ^ und der Sumn^e aller übrigen Umfangs-
theile, also wenn

(AC-\'AF)—(BD-hBE-hl+l^)
gegeben, so ist die Figur ein Minimum, wenn sie ein concaves
Kreisstück ACIDBEI^FA (Taf. X Fig. 126) zwischen den umschrie-
benen Winkeln A. B ist.

Beweis. Das convexe Kreisstück

AaDBEl^F=K
(Taf. X Fig. 12a) besteht (wenn mittelst der Bogen a, ß der Kreis ergänzt
wird) aus dem ganzen Kreise aZßZ, gleich K^ und aus den zwei Stücken
Aa^ ßß (concave Kreisstücke in den umschriebenen Winkeln A^ B). Nun
denke man sich irgend eine im Satze inbegrüTene Figur F und schneide
von ihr (in den Winkeln A, B) die nämlichen zwei Stücke :4a, ßß ab,
so bleibt als Rest eine Figur F, , welche, wie leicht zu sehen, entweder
gleichen oder kleineren. Umfang hat als jener Kreis iT, , so dass in
allen FäDen K, > F„ imd^folgUch auch K> F ist.

Ein anderer Beweis ergiebt sich durch folgende Schlussfolge: Zuerst
lässt sich zeigen, dass die grösste Figur nicht durch die Schenkel der
Winkel A^ B allein begrenzt werden kann (also kein Viereck sein kann),
sondern dass Linien l^ l^ vorhanden sein müssen; sodann folgt, dass diese
Linien Kreisbogen sein müssen (20), welche die Schenkel berühren (34
oder 37), und dass sie einem und demselben Kreise angehören (38).
Denn nimmt man in ?, /, zwei beliebige Puncte ^, a^ an und zieht die
Gerade xx^ gleich a, so theilt diese die Figur in zwei Theile, wovon jeder
ein Maximum, wenn er ein Kreisstück zwischen dem Winkel A oder B
und der Sehne a ist (38).

II. Die Form der grössten Figur ist nicht absolut bestimmt, viel-
mehr können die Bogen /, /, ihre Grösse beliebig ändern, wenn nur ihre

208 Ueb«r Hanimno] und Hinimtun.

Sum'mo constant und der Kreis derselbe bleibt; nämlich välireDd x.R
der Winkel A fest bleibt, kann der andere Wiokel B sich um den Enii
bewegen, und zwar von dem Zustande, wo sein Schenkel BE mit AF n
einer Geraden liegt, bis dahin, wo der andere Schenkel BD auf AC (oder
dessen Verlängerung) fällt. Inzwischen kommt er in die La^, wo dir
Gerade AB durch die Scheitel der Winkel diese, sowie die ganze Rgor,
halltet und durch den Mittelpunct des Kreises geht.

Id dem Grenzzustandc, wo die Schenkel BE und AF in einw Gt»
den liegen (Taf. X Fig. 12c), kann der Satz auch, wie folgt, ausgesprocbi
werden:

Soll die Grenze einer Figur aus drei auf einander folgei-
den, unbestimmt langen Geraden CA, AB, BD und aas einer di<
erste und dritte (Gerade) vorbindenden, aber nicht darfiher hii-
austretenden, beliebigen Linie L bestehen, und sind die ifi-
schen den Geraden liegenden zwei Winkel A, B nebst dem Um-
fange der Figur gegeben, so ist diese ein Maximum, wenn dit
Linie L ein Bogen des die drei Geraden berührenden Kreises ist

Für das concave Kreisstück (I) findet ein analoger Zustand statL

ill. In dem angezeigten besonderen Falle (11), wo die Di^onale iB ■
durch den Mittolpunct des Kreises geht und die Figur in zwei sj'mmetnsebe ■
Hälften theilt, hat man den folgeodcD Zusatz: ■

Besteht die Grenze einer Figur aus drei auf einander fol- I
genden Geraden CA, AB, BD und aus einer die erste and dritte I
Gerade verbindendcD, aber nicht darüber hinaustretenden Lini« I
/, und sind die zwei Winkel ^^,^S, zwischen den Seiten, sowit 1
die Summe der Linie t und der beiden äusseren Seiten CA, BD ]
gegeben, so ist die Figur ein Maximum, wenn l Bogen einea
Kreises ist, der die äusseren Seiten berührt, und dessen Mitt«!*

üeber Maximum und Minimum. • 209

müsste Dreieck AA^B^> ABB^ sein, weil x>y ist (3,11); es sind
^T die Dreiecke gleich gross, folglich muss nothwendig

AA^-hA,B, < AB-hBB,,
id mithin auch

Umfang A.CLDB^ < Umfang ACLDB

m. Wenn aber die erstere Figur bei gleichem Inhalte kleineren Umfang
\&t als die andere, so kann sie offenbar bei gleichem Umfange grösseren
Qhalt haben als diese, und zwar wird sie um so mehr grösser sein, wenn
e, wie die andere, ein BLreisstück ist.

Bei diesem Beweise ist hauptsächlich auf die sphärischen Figuren
Jcksicht genommen; denn für die ebenen Figuren allein könnte man
afacher verfahren, oder directer schliessen, z. B. wie folgt:

Die Gerade Aj^B^ sei so gezogen, dass Winkel

AA^-k-A^B, = AB+BB,,

0 ist, weil x>y, Dreieck

AA,B, > ABB, (3, II),

üd folglich bei gleichem Umfange die Figur

A.CLDB, > ACLDB, u. s. w.

Femer kann auch die Figur, welche Gegenstand des vorigen Zusatzes
0, III) ist, zu einem anderen Beweise benutzt werden.
42. I. Soll die Grenze einer Figur bestehen:

1) *aus den unbestimmt langen Schenkeln von m gegebenen
'inkeln Aj B, C, ..., deren Summe grösser als (m — 2)7c,

2) au« beliebigen Linien Z, Z^ 2„ ..., welche die Schenkel
^rschiedener Winkel verbinden, und deren Anzahl von 1 bis t/»
3liebig sein kann;

soll ferner die Figur über keinen der m Winkelräume
inaustreten, und ist ihr ganzer Umfang gegeben, so ist ihr
ihalt ein Maximum, wenn sie ein convexes Kreisstäck zwi-
;hen den umschriebenen Winkeln -4, 5, C, . . . ist.

Ist A der kleinste unter den gegebenen Winkeln, und zwar
\ beschaffen, dass sein Nebenwinkel grösser als die Summe
3r Nebenwinkel aller übrigen ist, und ist die Differenz zwi-
;hen der Summe der Schenkel «des Winkels A und der Summe
ler übrigen Umfangstheile gegeben, so ist die Figur ein Mi-
imum, wenn sie ein concaves Ereisstück zwischen den um-
'hriebenen Winkeln -4, JB, C, . . . ist.

äteincr's Werke. IL 14

210 l'ober MaxiiDum uuil Mmimiun.

Dieses concave KreLsstück hat gleicbe Form wie das in (40) t*-
trachtete. Bei den folgendeo Sätzen werden wir dasselbe übergehen.

n. Wenn statt der einzPlnen Winkel Ä, B, C, ... Ami
Summe S gegeben ist, so wird die Figur eia Maximum Miii-
morum. wenn die Winkel einander gleich sind, und die Fi^nt
in gleicher Weise ein Ercisstück zwischen ihnen ist.

Der Beweis dieser Sätze ist ähnlich wie beim obigen Satze ^).

43. I. Sind die Winkel und der Umfang eines m-Ecks J^
geben*), so ist sein Inhalt ein Masimuni, wenn es einem Kr«is(
umschrieben ist"). •

U. Ist bloss der Umfang gegeben, so ist das m-Eck ein
Maximum, wenn «s gleichwinklig und einem Kreise umsohrie-
ben, also wenn es regelmässig ist fvet^l. 25, U).

Diese Satze folgen als Grenzfülle aus den vorigen (42). wofcm mu
bei* diesen die Summe der gegebenen Winkel kleiner werden lissl. N»
sie zuletzt gleich (m^2)7t wird, in welchem Falle dann das KreisstÜ
in ein »i-Eck übergeht, indem die Bogen /, /,, /,, ... (deren Snraw

gleich A-i-B-^C-i (m — 2)-^) alle Null werden. — Uebrigeos in»

man die gegenwärtigen Sätze auch unmittelbar beweisen, auf gleiche M
wie den Satz (40).

44. I. Soll eine Figur begrenzt werden:

1) durch die unbestimmt laugen Schenkel von »»gogelieno
Winkeln A, B, C, ..., deren Summe grösser als (m — 1)5[,

2) durch eine Gerade ff von willkürlicher Länge, und

3) durch beliebige Linien l, l^, /,, .,,;

soll ferner die Figur sich innerhalb jedes WinkelranW
befinden, und ist, ausser der Grundlinie ff, der übrige Tbw
des ümfanges gegeben, so ist ihr Inhalt ein Maximum, «ei"
sie ein Kreisstück zwischen den umschriebenen Winkeln J, ^

üeber Maximum und Minimum. 211

Lässt man die Summe der Winkel schwinden, bis sie gleich (m — 1)t.
so hat man folgenden Zusatz:

Q. Ist die Summe der beiden Winkel an der Grundlinie g
s Vielecks gleich ir, sind alle übrigen Winkel einzeln und
[ie Summe aller Seiten, ausser der Grundlinie gegeben, so
las Vieleck ein Maximum, wenn jene Seiten alle den Kreis
hren, welcher die willkürliche Grundlinie^ zum Durch-
ier hat; die an der Grundlinie liegenden Winkel müssen
t rechte sein.

tVenn statt der einzelnen Winkel A, By C, ... die Summe von
n, dreien, . . . gegeben ist, mögen sie im Umfange auf einander
1 oder ]}icht, so wird der Inhalt am grössten, wenn dieselben ein-
gleich sind. . •
)iese Sätze folgen aus den vorhergehenden (42), wenn die Figur
der Grundlinie g sjrmmetrisch verdoppelt wird.
t5. I. Wird in No. 44 die Gerade^ weggelassen und da-
1 angenommen, es sei die Summe der m Winkel grösser
n — f)ic, der Winkel ^<:iic, von seinen Schenkeln ^^i, -4^,
.er erste AA^ willkürlich, und also nur der übrige Theil
Jmfanges gegeben, so ist die Figur ein Maximum, wenn sie
Creisstück zwischen den umschriebenen Winkeln B, C, ...,
Tangente AA^ und der normalen Secante AA^ ist.
iVird die Summe der Winkel gleich (m — f)ir, so heisst der Satz:
I. Sind die Winkel eines Vielecks gegeben, ist jedoch
den beiden Winkeln an der Grundlinie AA^ der eine A<:^t:
der andere ^j gleich {^ir, ist ferner die Summe aller Seiten
er der Grundlinie gegeben, sa ist das Vieleck ein Maximum,
I die Seiten einen Kreis berühren, dessen Mittelpunct in
jrundlinie AA^ liegt.

H. Wenn statt der einzelnen Winkel A^ B, C, Dy . . . deren
me gegeben ist, so wird in beiden Fällen (I und 11) die
r ein Maximum Maximorum, wenn Winkel

B = C=D = '"==2A
und die Figur den genannten übrigen Bedingungen genügt;
sind die zwischen den Winkeln By Cy Dy .,, liegenden
$n einander gleich und zwar ist jede doppelt so gross als
n A^^ zur Grundlinie rechtwinklige Seite.
3iese Sätze folgen in gleicher Weise aus No. 42, wie die vorigen in
4.

16. I. Besteht die Grenze einer Figur

l) aus den Schenkeln von m gegebenen Winkeln Ay B, Cy
., deren Summe grösser als {m — 2)ir,

14*

212 Ueber Uasintum und Hinimnin.

2) au^ beliebigen Linien l, l,, l^, ; -

sind die "Winkel A, B beide spitz, nod fallen tod ih»i
Schenkeln AA^, AA, and Sß„ ßß, zwei, etwa. AA^ and BB^, ii
eine Gerade AB; ist ferner der Umfang, aaseer der Groodlinie
-^ßf gcgßl>cn, so ist der Inhalt der Figur ein Maximam, weu
sie ein Kreisstück zwischen den umschriebenen WinkelD C,
D, ..., den Tangenten AA^, BB^ und der normalen Secante
AB ist.

n. Sind die Winkel eines Vielecke gegeben, sind jedoch
die beiden Winkel ^, £ an der Grundlinie AB spitz, oder höch-
stens rechte, and ist die Summe aller Seiten, ausser der Grund-
linie, gegeben, so ist das Vieleck ein Maximam, wenn die«
Seiten alle einen Kreis berühren, dessen Mittelpaoct in dar
Grundlinie AB liegt. Und ferner:

III. Sind die Winkel beliebig, so ist das Vieleck ein Maxi-
mam, wenn Winkel

C=D = — = 2A = 2B
ist; auch sind alle Seiten, ausser der Grandlinie, einander
gleich; oder:

IV. Ist nur der Winkel A gegeben, jedoch nicht grösser
als ^ic, 60 ist das Vieleck am grösston, wenn

C=D=..- = 2B; '

zugleich sind alle Seiten, die nicht am Winkel A liegen, ein-
ander gleich. Für das Viereck und Dreieck m^ dieser Satx (IV) nod
besonders wiederholt werden:

1) Wenn von einem Viereck ABCD der eine Winkel A, der <ii^
int, and die Summe der drei Seifen BC, CD, DA gegeben sind, so sr~t
sein Inhalt aip grössten, wenn Winkel

= D = -2B,

Ueber Maximum und Minimum. 213

r wenn A gleich ^tt, gib ist

l zudem

BC = 2CA,

» eine bekannte Eigenschaft ist.

47. I. Wird eine Figur begrenzt:

1) durch die Schenkel von m gegebenen Winkeln Ay By C, ...,
rcn Summe >(m — l)7r ist,

2) durch beliebige Linien ly /,, /,, ...^

sind die Schenkel AA^^ AA^ des Winkels A von willkür-
her Länge, ist dagegen der übrige Theil des Umfanges ge-
ben, so ist die Figur ein Maximum*, wenn sie ein Ereisstück
:ischcn den umschriebenen Winkeln By Cy ... und dem Centri-
nkel A ist

Die Schenkel AA^^ AA^ sind somit Radien des Kreises; wird einer
rselben nicht von einem Bogen (/), sondern von einem Schenkel eines
Lnkels begrenzt, so steht er darauf rechtwinklig.

IL Ist die Summe zweier Winkel -4,, A^ eines Vielecks,
wischen welchen nur ein anderer Winkel A. liegt, gleich it,
ind die übrigen Winkel Ay By Cy ... einzeln und ist die Summe
Her nicht am Winkel A liegenden Seiten gegeben, so ist das
^eiepk ein Maximum, wenn die willkürlichen Seiten AA, und
-^i, Radien eines Kreises sind, welcher alle übrigen Seiten
•^uhrt; so dass also die W^inkel -4,, A^ einander gleich und
^hte sind. Oder:

ÜL Ist von den übrigen Winkeln nur der Winkelt einzeln

^i^bcn, so ist unter denselben Bedingungen das Vieleck ein

Ximum, wenn die Winkel By Cy . , , X einander gleich sind;

dann zugleich auch die zwischen diesen Winkeln liegenden
^ten einander gleich, sowie die zwei am ersten und letzten
^iikel liegenden Seiten BA^ und XA^ unter sich gleich und
Mb so gross wie jene sind.

Nämlich in diesem Falle ist das Vieleck beschaffen, wie ein Sector
bös regelmässigen Vielecks, und es wird in der That ein solcher, wenn
er Winkel ^ zu ir commensurabel ist.

Bei diesen Sätzen kann der Winkel A jede beliebige Grösse haben.
t insbesondere A gleich ir, oder A gleich 2ir, so gehen die Sätze über
(44) oder in (42).

48. I. Bleibt alles wie vorhin (47), nur dass der eine
;henkel AA^ des Winkels A gegeben ist, und also bloss der
idcre AA^ willkürlich ist, so ist die Figur ein Maximum, wenn

214

Ueber Huimum und Hinimum.

sie ein convexos Kreisstück zwischen den umschriebenen Win-
keln B, C, ..., der Secante AA^ und der normalen Secante AA^ ist.

Bei einer beetimmteu Grösse des gegebenen Umfangstheiles geht die
Figur in ein Vieleck über, welches sich als Greuzfall des Satzes darstellt

IL Ist Winkel ^<:in, und ist AA^ einzeln (wie vorhin)
und die Summe aller übrigen ümfangstheile (also AA^ inbe-
griffen) gegeben, so ist die Figur ein Maximum, wenn sie ein
convoxea Kreisstück zwischen den umschriebenen Winkeln B,
C, ..., der Tangente AA, und der Secante AA, ist.

Auch hier stellt sich der Grenzfall des Satzes in einem Vieleck dar.

49. I. Soll die Grenzlinie einer Figur bestehen:

1) aus n gegebenen Geraden a, b, c, ...,

2) aus den unbestimmt langen Schenkeln von m gege-
benen Winkeln A, B, C, ..., deren Summe grösser als

3) aus beliebigen Linien /, /,, l„ ..., deren Anzahl von 1
bis n+m beliebig ist;

soll ferner die Figur über keinen der m Winkelräume hinaas-
treten, und ist ihr ganzer Umfang gegeben, so ist ihr Inhalt
ein Maximum, wcun sie ein convexes Kreisstück zwischen den
ft Sehnen a, b, c, . .. und den m umschriebenen Winkeln A, B,
Cy .. . ist.

II. Wenn statt einzelner Seiten oder Winkel deren Summe
gegeben ist, so wird der Inhalt der Figur gesteigert, wenn die
zu je einer Abthoilung gehörigen Elemente, deren Summe ge-
geben, unter sich gleich sind, lund die Figur den nämlichen ge-
nannten Bedingungen genügt; so dass also bei gleicher Summe
der n Geraden, gleicher Summe der m Winkel und gleichem
Umfange die Figur ein Maximum Maximorum wird, wenn so-
ohldioGe:

Ueber Maximum und Minimum. 215

vexes Ereisstück zwischen den Sehnen a, 6, c^ ..., den um-
schriebenen Winkeln Ay By C, . . . und dem Durchmesser g ist.

Beim GrenzfaUe dieses Satzes geht das Ereisstück in ein Vieleck
über; er tritt ein, wenn man den Umfang bis zu einer bestimmten Grösse
abnehmen lässt.

n. Bleibt die Grenzlinie wie in (49, 1), soll dagegen der
Winkel A^^n^ uad von dessen Schenkeln AA^^ AA^ der eine
AA^ von dem gegebenen Umfange ausgeschlossen, und soll die
Summe aller Winkel grösser als (m — ^)Tr sein, so ist für das
Maximum die Figur ein Ereisstück zwischen den Sehnen ay 6,
Cy ..., den umschriebenen Winkeln By C, ..., der Tangente ^-4^
und der normalen Secante AA^.

Wäre der Schenkel AA^ einzeln gegeben, so müsste er Secante des
Ereisstückes sein. — Oder:

III. Ist der Winkel A von beliebiger gegebener Grösse,
sind seine Schenkel beide von dem gegebenen Umfangstheile
ausgeschlossen, also willkürlich lang^ und ist die Summe aller
m Winkel grösser als (m — l)7r, so muss für den Fall des Maxi-
mums A Centriwinkel und seine Schenkel AA^y AA^ müssen
Radien des Ereisstückes sein.

Der letzte Satz (KI) umfasst viele frühere Sätze, welche aus ihm
folgen, wenn der Winkel A gleich it oder gleich 2it wird; oder wenn
man die n Sehnen a, 6, c, . . . , oder die m Winkel Ay By Cy . . . weg-
lässt. Bei seinem Grenzfalle, welcher eintritt, wenn der gegebene Um-
fangstheil bis zu einer bestimmten Grösse schwindet, geht das Ereisstück
in ein Vieleck über.

Anmerkung.

51. Bei den meisten vorhergehenden Sätzen, wo ein Ereisstück in
seinem GrenzfaUe in ein Vieleck übergeht, ist der jedesmalige Satz für
dieses Vieleck noch gültig, aber er ist zugleich für dieses Vieleck selbst
nur ein bestimmter besonderer Fall, wofern man dasselbe für sich be-
trachtet und den Elementen, welche zuvor (beim Ereisstück) veränderlich
waren, andere Werthe beilegt, als ihnen im Grenzfalle gerade zukommen.
Denn werden diese Werthe überschritten, und soll dabei die Figur ein
jj^Ieichnamiges Vieleck bleiben (also keine Bogen /, l^, ... erhalten oder
kein Ereisstück werden dürfen), so ist dasselbe, für den Fall des Maxi-
raums, ganz anderen Bedingungen, unterworfen, welche selbst noch ver-
schieden sind, je nachdem der gegebene Werth grösser oder kleiner
als jener Grenzwerth ist.

Auf diese angedeuteten Eigenschaften des Vielecks wird man geführt,
wenn dasselbe in Rücksicht auf Maximum und Minimum etwas allgemeiner

216 üeber M&ximum und Uinimum.

unA vollständiger uUtörsucht werden soll, als es bisher geschehen ist; nim-
lich wenn man in allen Fällen, wo von dem Vielecke weniger Elemente
gegeben sind, als zn dessen Bestimmung erforderlich, nach dem Maxi-
mum oder Minimum der übrigen Elemente fragt. Die Zahl dieser Fälle
ist, wie leicht zu ermessen, ansehnlich gross, selbst wenn jene Elemente
nur auf Seiten, Winkel, Summe von mehreren Seiten oder Winkeln, und
Inhalt beschränkt werden. Indessen scheint sich die ganze Untersuchung
bloss auf das Viereck zu gründen (ebenso wie die Lehre von der Con-
gruenz der Vielecke), so dass es also zunächst nur darauf ankäme, alle
Fälle des Vierecks zu * beantworten. Diese Falle aber belaufen sich viel-
leicht auf 25 bis 30, wovon durch die gegenwütigen Hnlfamittel sich,
wie es scheint, kaum die Hälfte unmittelbar beantworten lässt. Ällcia
dio übngon hängon wahrachoinlich so von einander ab', dass nur wenige
unter ihnen eines selbständigen Beweises bedürfen, um alle anderen daraus
zu folgern.

Sätze, noiche sich auf mehrere Figuren zagleich beziehen, sowie auf
Figuren, welche durch feste Grenzen beschränkt oder durch tonte Ele-
mente bedingt sind.

52. I. Wird jede von zwei Figuren aa, b^ durch eine gerade
Grundlinio a, b und durch eine beliebige Linie a, ß begrenzt:
sind die Grundlinien a, b einzeln, und ist die Summe der Linien
ft, ß, etwa a+ß gleich a, gegeben, so ist dio Summe der Inhalte
na+ip gleich S ein Maximum, wenn die Figuren Segmente glei-
cher Kreise sind, und wenn ausdrücklich das Segment ntwjr der
kleineren Grundlinie b spitzwinklig ist.

Beweis. Angenommen qs sei ein Kreis .^ßC (Taf. XI Fig. 13) mög-
lich, in welchem die Grundlinien a und b, als Sehnen AC tmd BC ein-

lieber Maximum und Minimum. 217

Der kleinste Kreis A/, in welchen die gegebenen Grundlinien a, b
sich als Seimen eintragen lassen, hat die grössere Sehne a zum Durch-
messer. • Man nehme für einen Augenblick an, ABC sei dieser Kreis M,
so sind drei Zustände möglich, nämlich entweder ist *

(1) a+ß = (J,
oder

(2) . «+ß > a,
oder

(3) a+ß < of.

Im ersten Falle (1) genügt der Kreis M der obigen Forderung.

Im zweiten Falle (2) lasse man den Kreis M wachsen und dabei die
Sehnen a, b sich von einander entfernen, so dass der Mittelpunct des
Kreises zwischen beide, nämlich in den Raum aöy, zu liegen kommt, und
dass die Segmente oa, 6ß beide spitzwinklig sind, so müssen beide Bogen
a, p und somit auch ihre Summe a-hß stetig schwinden, also wird sich
diese Summe der gegebenen Grösse a nähern, bis sie endlich bei einem
bestimmten Kreise M^ ihr gleich und folglich wiederum die Forderung
erfüllt wird.

Im dritten Falle (3) lasse man den Kreis M ebenfalls wachsen, aber
die Sehne a sich der Sehne b nähern, so dass der Mittelpunct des Kreises
in das Segment aa zu liegen kommt (welches also stumpfwinklig wird,
während 6ß immer spitzwinklig bleibt), so wird zwar nur der Bogen a
wachsen, dagegen ß schwinden; allein da offenbar die Zunahme von a
grösser ist als die Abnahme von ß, so muss die Summe a+ß wachsen;
und da femer a beliebig gross werden, dagegen ß nur bis zu der Grenze b
schwinden kann, so muss auch die Summe a-f-ß jede* Grösse erreichen
und folglich immerhin einmal bei einem bestimmten Kreise M^ der ge-
gebenen Grösse a gleich werden, wie gross diese auch sein mag, wo dann
wiederum der Forderung Genüge geschieht.

Demnach ist es unter allen Umständen möglich, der obigen Forderung
zu genügen (wofern nur a > a-f-ft), jedoch jedesmal nur auf eine einzige
Art. Dabei ist in allen Fällen das Segment iß über der kleineren Sehne
spitzwinklig, wogegen das andere aa spitz-, recht- oder stumpfwinklig
sein kann.

II. Der vorstehende Satz (I) bezeichnet nur das absolute oder das
Ilauptmaximum, welches der Summe beider Figuren zukommt, wenn sich
diese so viel wie möglich ändern, nämlich so viel es die gegebenen Ele-
mente gestatten. Will man den Gegenstand umfassender behandeln, so
kann man, wie folgt, zu Werke gehen:

Wie auch die gegebene Summe a unter die ümfangstheile a, ß beider
Figuren aa^ 6ß vertheilt werden mag, so ist allemal jede von diesen, und

218 Ueb«r Huimum und Hinimum.

somit auch ihre Summe S, ein Maximum, wenn sie Kreissegmente sind.
Daher mag festgesetzt werden, die Figuren aa, 6ß sollen in der That nur
Kreissegmente sein. LSsst man ntm ihre Bogen a, ß sich stetig andern,
jedoch unter der Bedingung, daas stets

B+p = a
ist, so wird auch die Summe ihrer Inhalte
aa+^ = S
sich stetig ändern, und es kann gefragt werden: unter welchen Be-
dingungen und wie oft diese letztere Snmme ein Maximum oder
ein Minimum werde?

Die nähere Erörterung dieser Frage liefert folgendes Resultat:

Sind von zwei Kreissegmenten aa, £ß die Sehnen a, b und
die Summe der Bogen a+ß gleich u gegeben, so ist die Summe
ihrer Inhalte aa-\-l>^ gleich S im Allgemeinen ein Haximnm
oder ein Minimum, wenn die Segmente gleiche Radien haben;
und ferner: wenn keines der beiden Segmente grösser als der
ganze Kreis sein soll, so ist jener Zustand, dass sie gleiche
Radien haben, im Allgemeinen und höchstens nur dreimal mög-
lich; dürfen dagegen die Segmente ohne Einschränkang auch
grösser als der Kreis sein, so kann der genannte Zustand häu-
figer eintreten, und zwar um so öfter, je grösser die Bogen-
summe a im Verhältniss zu den Sehnen a, h ist.

In dem beschrankteren Falle, wo von den Bogen a, ß keiner grosser
als die ganze Kreislinie sein soll, lässt sich die Existenz derjenigen Kreise,
bei welchen ein Maximum oder ein Minimnm stattfindet, wie folgt, nach-
weisen.

Werden die gegebenen Geraden a, b in irgend einem Kreise als
Sehnen eingetrt^en, nnd werden die kleineren Bogen über denselben

Ueber Maximum und Minimum. 219

Man denke sich denjenigen Kreis A^, bei welchem die Sunime des
ileinercn Bogens a über der grösseren Sehne a und des grosseren Bogens
)j über der kleineren Sehne 6, also die Summe a-j-ß,, ein Minimum
jleich Gj wird, so sind drei Zustände möglich, nämlich entweder ist

(1) », > ff,

)der

(2) ö, = cj,
)der

(3) . cj, < a.

Im Falle (1) ist oißFenbar kein Kreis möglich, welcher der obigen
Forderung genügt.

Im Falle (2) wird die Forderung durch den Kreis N selbst erfüllt,
iber durch keinen anderen.

Im Falle (3) wird die Forderung im Allgemeinen durch zwei ver-
schiedene Kreise befriedigt, wovon man sich durch Berücksichtigung fol-
gender näheren Umstände überzeugt:

Es ist leicht zu sehen, dass die Summe der beiden grösseren Bogen
Zj+ßj bei demjenigen Kreise M am kleinsten wird, welcher die grössere
äehne a zum Durchtnesser hat; dabei ist a^ nicht mehr eigentlich der
^össere Bogen, sondern es ist

a, = a;
BS sei diese kleinste Summe gleich o,, so sind, in Verbindung mit (3),
Folgende drei Zustände möglich, nämlich es ist entweder

(a) a^ <Z a und zugleich a, < a,
)der

(b) öl <: CT und zugleich a^ = a,
)der

Bei jedem dieser drei Zustände kann man nun, von den zu Grunde
gelegten Kreisen N und M ausgehend, zu zwei solchen Kreisen gelangen,
«reiche der obigen Forderung genügen, und zwar, wie folgt:

A. Bei (a) lasse man erstens den Kreis N wachsen, so muss auch
lie Bogensumme a+ßj zunehmen (weil sie anfanglich ein Minimum gleich
j, ist und ß, rascher wächst, als a schwindet), und da ß, beliebig gross
iirerdcn, wogegen a nur bis auf a schwinden kann, so muss man zu
jinem Kreise N^ gelangen, welcher die Forderung befriedigt, d. h. bei
welchem

a-hß, = (J
ivird. — Zweitens lasse man den Kreis M wachsen, so wächst auch die

220 Ueber Maximum und HütmaiD.

Sammo a,+^,, und man muBs zu einem Ereiäe M:, gelangen, bei welchem

«,+p,- = « '

wird, und wolcher also ebenfalls die Forderung erfnllt.

li. Bei (li) genügt erstens der Kreis M selbst — ZweitcoB laaw
man den Kreis N wachsen, so wächst auch a-t-ß, und man wird, wie
vorhin, zu einem Kreise JV, gelangep, bei welchem

a-Hß, = a
ist

C. Bei (c) lasse man erstens den Kreis N wachsen, so gelangt
man, wie zuvor, zu einem Kreise N,, welcher genügt, bei welchem also

a+ß, = a
wird. — Zweitens lasse man den Kreis N schwinden, so muss a+ß,
wachsen, und man muss, bevor der Kreis in den kleinsten Erois M über-
geht, zu einem Kreise N, gelangen, bei welchem

.+?, =.»

wird.

Nun lüsst sich fcmor durch Hülfe des Satzes (I) geometrisch er-
weisen, dass diese verschiedenen Kreise, welche der obigen Forderung
genügen, folgende Eigenschaft haben:

a) Bei allen durch N^ bezeichneten Kreisen ist die Summe der
Segmente atx+iß, ein relatives Maximum.

ß) Beim Kreise AI^, sowie beim Kreise M (in dem -Falle ff), ist die
Summe der Segmente aaj-|-6ß, , und beim Kreise N, ist die Summe der
Segmente aa-|-iß, ein Minimum.

f) Beim Kreise N aber in dem obigen besonderen Falle (2) ist die
Summe der Segmente oa-t-öß, weder ein Maximum noch ein Minimam,
denn dieser Fall ist nur als Grenze dos Falles (C) anzusehen, weil nam-

Ueber Maximum und Minimum. 221

auch ist von diesen Segmenten dasjenige das kleinere, welches die kleinere
Sehne hat, also

in. Die über die. zwei Kreissegmente aa, Äß aufgestellten Resultate

erleiden verschiedene Modificationen, jenachdem die gegebenen Sehnen

a, h besondere relative Grösse haben, wie z. B. in den folgenden zwei

Fällen:

i) Wenn

« = 6,

so fallt der Kreis iV mit M und der Kreis iV, mit M^ zusammen, der
Kreis iV, wird unmöglich, und bei den übrigen treten folgende nähere
Bestimmungen ein:
a) Ist

a > '7:a oder a = ira,

d. h. ist die gegebene Bogerisumme a nicht kleiner als die Kreislinie Af,
welche a zum Durchmesser hat, so bestehen beim Hauptmaximum (I) die
Bogen Oj und ß (gleich a) zusammen aus der ganzen Kreislmie M^^ oder
es ergänzen sich die Segmente oa, und 5ß zur ganzen Kreisfläche M^,
Beim Kreise M^ (11, ß), wo die Summe ao^+fißj ein Minimum wird, sind
dagegen die Segmente einander gleich,

aoj = 6ß, und Cj = ß,,

beide stumpfwinklig und somit zusammen grösser als der Kreis M^,
ß) Ist

a < IT«,

so findet nur das Hauptmaximum beim Kreise M^ statt für die Summe
der Segmente aa+2»ß, welche einander gleich und spitzwinklig sind, also

oa = 6ß.

In beiden Fällen bleiben übrigens die Grenzminima (II) bestehen.
2) Wenn

6 = 0

wird, so wird auch

ß = 0 und iß = 0;

dagegen ist ß, die ganze Kreislinie, sowie 6ß, die ganze Kreisfläche. Daher
besteht in diesem Falle das Hauptmaximum (beim Kreise Af,) nur aus
einem Segmente oa oder <m^. Der Kreis iV, bei welchem die Summe

a+ß,. = 2a-ha,

ein Minimum gleich a, wird (II), hat hier die besondere Eigenschaft:
Dass die Summe der Tangenten AD-\-BD in den Endpuncten
der Sehne a gleich AB bis zu ihrem gegenseitigen Durch-
schnitte D genommen, gerade gleich a+ß» ist, d. h. gerade

222 ITeber Hazimum and Hlnimum.

gleich der Samme des kleineren SogeDS a über der Sehne und
der ganzen Kreislinie ß,.

Das Minimum a, der Summe a,+ßi , welches bei dem Kreise M,
der a zum Durchmesser hat, stattfindet, ist hier .

a) Wenn

«, ■< u und zugleich o, >• o (U, c),
so finden die zwei Kreise N^ nnd N^ statt, wo beim ersten die Summe
aa+ipi (d. i, die Summe dos S^mentes aa und des ganzen Kreises JV,)
ein relatives .Maximum, und beim anderen die Summe tia+^, ein Mini-
mum wird, und zwar ist

a; > jv und a; < iv (n, c).

ß) Wenn s, <: a, so tritt au die Stolle des Kreises N^ der Kreis A/„
bei welchem die Summe oa^+^i ein Minimum wird.

Mit Bücksicht auf die zuvor angegebene Eigenschaft des Kreises A
lassen sich -die zwei Sätze (a) und (ß) umgekehrt, wie folgt, aussprechen:
Wenn man in einem beliebigen Kreise ß, eine Sehne AB gleich
a und in deren Endpuncton die Tangenten ÄD, BD zieht, so
ist die Summe des Kreises und des kleineren (spitzwinkligen)
Segmentes, also die Summe dß, + aa, ein Maximum oder ein
Minimum^ jenachdem die Snmme der Tangenten kleiner oder
grösser als die Summe der ganzen Kreislinie und des kleineren
Bogens ist, also jenachdem

AD+BD $ ß,-Ha
ist; nämlich insofern dabei der Bogen a. und der Kreis ß, sich
gegenseitig ändern (ungleiche Radien erfaalttin) dürfen, aber
unter der Bedingung, dass die Summe ß,+a .gleich o, sowie die
Sehne a constant bleiben sollen.

lieber Maximum und Minimum. 223

Ebenso ist die Differenz zwischen den Inhalten des Kreises und eines
eingeschriebenen convexen Vielecks grösser als ein Sector, dessen Bogen
der doppelten Differenz zwischen den Umfangen jener Figuren gleich iöt,
wofern der Mittelpunct C des Kreises nicht ausserhalb des Vielecks liegt.
Gleicherweise ist die Differenz zweier spitzwinkligen Segmente ba — 6ß
über derselben Sehne b grösser als ein Sector 0{ des kleinereu Kreises
(von dem ß ein Bogen ist), wenn

T = 2(a-ß).

2) Hat man über derselben Sehne a und auf der nämlichen Seite
drei Kreissegmente oa, aß, a^, zwischen deren Bogen die Gleichung

2ß = a-hT
stattfindet, so verhalten sich die zwischen diesen Bogen liegenden Mond-
chen aß, ß-y ihrer Grösse nach, wie folgt:

1. Wenn ß < ^, so ist aß > ßy;
* und

2. wenn ß > ir, so ist aß < ßy.

53. Wenn in Rücksicht des obigen Satzes (52, I) statt der
einzelnen Grundlinien a und b deren Summe a+i gleich. 8 ge-
geben ist, so wird die Summe der beiden Kreissegmente aa+6ß
gleich S unter den nämlichen angegebenen Bedingungen um so
kleiner, je kleiner die Diffferenz zwischen a und b ist, so dass
also die Summe S ein Minimum Maximorum wird, wenn

ist; und dass dagegen S am allergrössten, oder ein Grenzmaxi-
mum wird, wenn z. B.

a =^ s und d = 0

ist, wo dann 6ß gleich 0 und mithin oa allein diesen grössten
Werth repräsentirt.

Beweis. Man nehme a und b beliebig ungleich an, es sei z. B.
a>b; die Kreissegmente, deren Summe oa+Jß für diesen Fall das
Hauptmaximum darstellt, seien in solcher Lage, dass sie einem und dem-
selben Kreise aßy angehören (Taf. XI Fig. 14), und dass ihre Sehnen AC
und BC (d. i. a und b) einen Endpunct C gemein haben. Nun sei femer

a,+6, = «4-6 = 8,
aber

«j — ij < a — b,

so ist zunächst Dreieck ÄC^Bz> ACB (3). üeber a,, b\ denke man sich
die Kreissegmente a^a,, 6jßp deren Summe für diesen Fall das Maximum
darstellt, so dass also auch die Bogen

ai-f-ßi = a-f-ß = o (52),

224 Ueber Uaximum nnd MiDimum.

SO schliessen die drei Bogen «,, ß,, f eine Figur ein, welche bei gleichem
Umfange kleiner als der Kreis aß^ ist, voraus man schiiesst, dass die
Summe der Segmente

a,«,-+-6,ß, < aa+iß
ist, da jene Figur aus den Segmenten a,a,, A,ß,, q- und dem Dreieck
^C[ß besteht.

54. Sind die geraden Grundlinien a, b, c, d, beliebig

vieler Figuren oa, &ß, cf, cß, ... einzeln, und ist die Summ«
ihrer übrigen TJmfangsthcile a, ß, •(, S, ..., also ist

a+ß+7+3+--- = a
gegeben, so kann die Summe ihrer Inhalte nur dann «in Maxi-
mum sein, wenn diese Figuren alle Segmente gleicher Kreise
sind; und für das Hauptmaximum ist zudem noch erforderlich, '
dass nur allein das Segment über der grössten Grundlinie
stumpfwinklig sein darf.

Dieser Satz ist eine Folge des obigen (52, 1).

Es kann gefragt werden, ob nicht mehrere Fälle möglich seien, wo
die Figuren den Forderungen des Satzes genügen, nämlich daas sie Seg-
mente gleicher Kreise sind, und dass entweder keines oder nur dasjenige
über der grössten Sehne stumpfwinklig ist? und ob dann in jedem FaUe
die Summe ihrer Inhalte ein Maximum sei?

In dem Kreise M, welcher die grösste Grundlinie, die a sein mag,
zum Durchmesser hat (und welcher überhaupt der kleinste Kreis ist, der
in Betracht kommen kami), trage man alle übrigen Grundlinien b,c,dy..,
als Sehnen -ein, bezeichne die kleineren Bogen über denselben durch ß, 7,
S, ..., sowie die Bogen über a durch 1 und o,, wo nachher, wenn der
Kreis wächst, o, der grössere Bogen sein soll, so sind drei veuchiedene

lieber Maximum uud Minimum. 225

[5-I-7-+-OH — nur bis zu der Grenze 6-h^-hd+"- schwinden kann;
folglich kann auch jene Summe jede gegebene -Grösse a erreichen. Aber
zugleich ist klar, dass der Forderung in diesem Falle nur einmal genügt
werden kann.

II. Im zweiten Zustande genügt zunächst der Kreis M selbst. Femer

gelangt man, wenn a, aniunglich . weniger schnell zunimmt, als die Summe

ß-hY+öH abnimmt, in gleicher Weise, wie vorhin (I), zu einem Kreise

M^^ bei welchem

«jM-ß+Y+Sn = a

wird.

III. Beim dritten Zustande gelangt man zunächst, wenn der Kreis
Af wächst, zu einem Kreise ^, bei welchem

ot-hß+Y-l-^H — = a

wird, indem die Bogen a, ß, y, ... alle schwinden. . Wenn nun femer

anfänglich a^ weniger zunimmt, als ß-j-y-höH zusammen abnehmen^

so dass also die Summe a,+ß-hlf+8H schwindet, so muss es' einen

bestimmten Kreis M,n geben, bei welchem diese Summe ein Minimum

gleich CT, wird, und nach welchem dieselbe zu wachsen beginnt und dann

zu jeder beliebigen Grösse anwachsen kann, indem a, keine Grenze hat.

Wofern nun c^<i<5, so muss es zwischen Äl und M^ einen Kreis M^

geben, bei welchem

Oj-hß-hY+Bn = a

wird, und femer muss man nach A/^, wenn der Kreis weiter wächst, zu
einem Kreise A/, gelangen, bei welchem wiederum

Oi+ß+Y+S+'v = a
wird.

DieSv> verschiedenen Kreise, welche der obigen Forderung genügen,
haben nun weiter folgende Eij[enschaften:

a) Bei allen durch M^ bezeichneten Kreisen ist die Summe der

Segmente aa,+6ß+CY-}-^ßH , sowie beim Kreise M^ die Summe der

Segmente aa-hÄß+r^-h*" ein Maximum.

A) Beim Kreise M^ (III) dagegen ist die Summe der Segmente
flr/Xj+Jß-hCYH ein Minimum.

Wenn in (III) insbesondere

ist, so vereinigen sich die Kreise M^ und M^ beide mit Af^, und es kann
diesem sodann weder ein Maximum noch Minimum entsprechen.

In Hinsicht der beiden Maxima, welche in (III) bei den Kreisen M^
und At^ zugleich eintreten, bleibt zu erforschen, welches von beiden das
grossere, also das Hauptmaximum sei.

Bemerkung. Durch den obigen Satz wird unter anderen die folgende
Aufgabe beantwortet:

8t*iner's Werke. II. 15

226 Ueber Kuximum und Minimum.

„EinoD biegHamen Fadon von gegebener Länge <J um ein
gegebenes convexes Polygon so zu spannen, dass er darch alle
Ecken desselben geht und den möglichst gröbsten R&um ein-
Kchlicsst". Oder sphärisch kann man die Aufgabe so stellen: „Wenn
in der Grenze eines Landes (Staate») mehrere feste Puncte,
und wenn der ganze Umfang desselben. gegeben ist, die Grenz-
linie 80 zu ziehen, dasg der Flächenraum ein Maximum
wird".

55. Wenn beim vorigen Satze (54) 'die Figuren als Kreis-
segmente vorausgesetzt werden, und zwar ohne Einschränkung,
so das» jedes Segment nach Belieben kleiner oder grösser al»
der ganze Kreis sein darf, so ist ihre Summe unter den übrigen
gegebenen Bedingungen im Allgemeinen jedesmal ein Maximum
oder ein Minimum, wenn sie gleiche Radion haben.

Dass unter diesen Voraussetituiigen die Zahl der Fälle, in welchen .
dem Satze gentigt wird, sehr gro.ss sein kann, ist leicht zu ermessen; ja
selbst wenn die Segmente, welche grösser als der Kreis sind, au^^c-
schlosscn werden, sind doch noch zahlreiche Fälle möglich, wofern nur
übor jodor Sohne das kleinere oder grössere Segment genommen wcrdcD
darf. Um dabei zu entscheiden, ob gewisse Fälle möglich seien oder nicht, '
kann man sich ebensolcher Hulfskreise bedienen, wie vorhin (54, III) des
Kreises M^, d. h. solcher Kroiso, bei welchen, wenn man die gegebenen
Seimen a, b, c, d, . . . einschreibt, die Summe der darüber stehenden Bogen
ein Minimum ist, wofern in Röcksicht jeder Sehne bestimmt ist, ob der
kloinore oder grössere Bogen genommen werden soll. Diese Kreise wären
also der Oegonstand einer vorläufigen Aufgabe. Es kann nach ihrer cha-
rakteristischen Eigenschaft gefr^t werden. In einem sehr speciellen Falle
spricht sich diese Eigenschaft, wie folgt, aus:

„Sind nämlich die gegebenen Sehneu einander gleich

Ueber Maximum und Minimum. 227

Zonächst mag bemerkt werden, dass ebenso, wie der Satz (52) zwei
Kreisstücke der einfachsten Art zum Gegenstande hat, über irgend zwei
complicirtere ICreisstücke ein Satz aufgestellt werden kann. Ohne auf
diese zahlreichen Sätze einzeln einzugehen, sollen dieselben, wie folgt,
summarisch ausgesprochen werden:

I. Wenn von jeder der beiden Figuren Fund F, angegeben
ist, aus welchen Elementen ihre Grenzlinie besteht, und welche
von diesen Elementen gegeben sind, ebenso wie bei den früheren
Sätzen von No. 21 bis No. 50, und wenn ferner die Summe ihrer
Umfange gegeben ist, so 'kann die Summe ihrer Inhalte nur
(lann ein Maximum sein, wenn die Figuren Kreisstücke glei-
cher Kreise sind; oder sollen die Figuren Kreisstücke sein, so
ist die Summe ihrer Inhalte im Allgemeinen jedesmal ein Maxi-
mum oder ein Minimum, wenn sie gleiche Radien haben.

Diese Behauptung wird durch Hülfe des Satzes (52, 1) leicht bestätigt.
Denn soll die Summe der Figuren F-hF^^ ein Maximum werden, so müssen
dieselben zunächst Kreisstücke sein und somit Kreisbogen L, L, enthalten;
sodann muss, wenn man im Bereich dieser Bogen von den Figuren be-
liebige spitzwinklige Segmente aa, iß abschneidet und für einen Augen-
blick die Sehnen a, 6, sowie die Summe

a-hß = a
als gegeben betrachtet, die Summe der Segmente aa-f-iß ein Maximum
sein; daher müssen die Bogen a, ß und folglich auch Ly L, gleiche Iladien
haben.

IL Sollen die Figuren^ und F^ insbesondere Kreisstücke
zwischen bloss umschriebenen (gegebenen) Winkeln sein (also
ihre Grenzlinien keine gegebenen Sehnen enthalten), und ist die
Summe ihrer Umfange gegeben, so ist die Summe ihrer Inhalte
ein Minimum, wenn dieselben gleiche Radien haben.

Auch finden hierbei zwei.Grenzmaxima statt, wenn nämlich die eine
oder andere Figur gleich 0 wird. Es kann gefragt werden, welches von
beiden das grössere sei? Sind F und F^ Kreisstücke in nur einem um-
schriebenen Winkel, etwa F in A und F^ in /i, so haben sie in jenen
örenzfällen gleichen Umfang, und dann ist F>F^^ wenn Winkel A>B ist.

In Betracht der ebenen Figuren ist der Satz II noch in einer anderen
Beziehung nur ein besonderem Fall, nänjich von dem folgenden Satze:

III. Sind zwei beliebige ebene Figuren F, F, der Form
nach gegeben (d. h. sollen sie zwei gegebenen Figuren /, /, ähn-
lich sein), und ist die Summe ihrer Umfange ü-{-U^ gegeben,
so ist die Summe ihrer Inhalte ein Minimum, wenn sich die
Inhalte wie die Umfange verhalten, also wenn

FiF, = Ü:U,,

15*

228 lieber Maximum un<) Minimum.

Vennögo dett Satzes (54) sintl dio vonttehondcn Sätze I und 11 in
gleicher Weise auf irgend eine Anzah) beliebiger KroiaatiicVe auszudehnen.

Weiter folgt aus den beiden Sätzen (52) uod (54) unmittelbar nach-
stehende neue Reihe von Sätzen über Figuren, welche theila dnrch feMte
Elemente bedingt, theil» durch feste Grenzen foeschr^kt sind.

57. I. Soll die Grenzlinie einer Figur durch die Endpuncte
einer goRobcnen Geraden Aß gleich « (Taf. XI Fig. 15) gehen,
und ist ihr Umfang gleich U gegeben, ist dieser jedoch kleiner
als die Kreialinio über dorn Durchmesser a, also

U <: Tta, '
so ist der'lnhalt der Figur ein Maximum, wenn sie aas zwei
gleichen Kreissegmenteb aa, uß über der Sohne AB bcüteht
Cf>2, I).

Ist

U> -na oder U = na,
so hat die Bedingung, dasa die Grenzlinie durch A und B gehen soll,
keinen Einflus.s mehr, die Figur ist dann immer ein Krois.

II. Behält dor Umfang ü constantc Länge, während die
Gorade a sich ändert, wächst oder schwindet, so mnss der In-
halt bcziehlich schwinden oder wachsen (33).

Hat a abgenommen, bis U gleich ira wird, so bleibt von da an der
Inhalt constant, nämlich die Figur ist dann stets ein Kreis.

58. I. Besteht die Grenülinie einer Figur aus einer willkürlich langen
Goraden G und aus einer boliclrigen LinJÄ L von gegebener I>ängc; soll
ilie Linie L durch einen Punct A gehen, dessen Abstand von der Geraden
G gleich p gegeben istf und ist

Ueber Maxioium und Miuiimim. 229

Wäre statt der Geraden G ein fester Winkel GH gegeben, und läge
die feste Gerade AB innerhalb desselben, so miisstcn a und ß beziehlicli
auf ilcssen Schenkeln G und // normal stehen und gleiche Radien haben.

III. Soll die Grenzlinie einer Figur aus einer winkürli«h langen
festen Gei*aden G und aus einer nach Länge gegebenen Linie L bestehen,
und soll die Linie L durch eine Reihe gegebener Puncto Ay B, (y\ ...
gehen, welche alle auf einerlei Seite von G liegen, so kann der Inhalt
der Figur nur dann ein Maxiraum sein, wenn alle Theile der Linie L
zwischen den auf einander folgenden festen Puncten, sowie die beiden
äusscrsten Theile, welche den ersten und letzten Punct mit der Geraden
G verbinden. Bogen gleicher Kreise sind (54), und wenn die beiden letz-
teren zu der Goraden G normal sind (I).

Analog ist der Satz, wenn statt der Geraden G ein fester Winkel GS
gegeben ist. ü. s. w.

59. Sind eine Gerade G und ein Punct A in fester Lage
gegeben (Taf. XI Fig. 16), ist Aß gleich a das Perpendikel aus A
auf G; ist ferner die Länge der Grenzlinie L einer Figur ge-
geben, und soll dieselbe durch A gehen und bis an G reichen,
und ist

L <C 'ira,

so ist der Inhalt der Figur ein' Maximum, wenn L aus zwei
gleichen Kreisbogen a und ß besteht, welche AB zur gemein-
schaftlichen Sehne haben, und . welche somit die Gerade G
unter gleichen Winkeln schneiden. Wenn aber

L > Tta oder L =.ira,

so ist die Figur immer ein Kreis ACD, welcher die Gerade G
berührt.

60. Sind zwei feste parallele Gerade G, II (Taf. XI Fig. 17)
gegeben, ist ihr Abstand .von einander gleich a; ist ferner die
Länge der Grenzlinie L einer Figur gegeben, welche an beide
Geraden anstossen soll, aber übel* keine hinaustreten, jedoch
nach Belieben entweder liur einen Punct oder eine Strecke mit
jeder gemein haben darf, so ist der Inhalt der Figur ein Maxi-
mum, wenn die Grenzlinie, je nach Massgabe ihrer Länge, fol-
gende verschiedene Formen hat, nämlich wenn sie

1) im Falle L gleich Tta, ein Kreis yy ist, welcher G und
II berührt, also a zum Durchmesser hat;

2) im Falle Z><:7ra, aus zwei gleichen Kreisbogen a und
ß besteht, welche das Perpendikel AB gleich a zur
gemeinschaftlichen Sehne haben und sowohl G als H
unter gleichen Winkeln schneiden; und

230 Uebor Hikxiuum und Uinimuui.

ä) ini Falle L:>va, aas zwei Halbkreisen a, uiid ß,, wo-
von jeder G und H bcrShrt und somit a zum Dnrch-
inessor hat, und aus zwei gleichon Strecken CD uai
. EF besteht
61. I. Besteht die Grenzlinie einer Figur aus einer gege-
benen festen Geraden AB gleich 26 [Taf. XI Fig. 18) und an»
einer beliebigen Linie L von gegebener Läng?, welche ao eine
im Abstaudc gleich a mit AB parallele Gerade G anstossen,
aber nicht darüber hinaustreten soll, jedoch nach Belieben nur
einen l'unct oder eiDC Strecke mit ihr gemein habcd darf, and
soll der Inhalt der Figur ein Maximum sein, so mnss die Linie
Ij, je nach Massgabe ihrer Länge, folgende vorschiedeoe Ge-
stalten annehmen:

1) bei ihrem kleinaton Werthe gleich 2c, der ein Gronz-
werth ist, besteht L aus zwei gleichen Geraden AC aud BC,
und die Figur ist ein gleichschenkliges Dreieck ACB;

2) bei einer bestimmten Länge gleich '( wird L ein Kreis-
bogen ACB, welcher die Gerade G in C berührt, und die Figur
ist ein Kreissegment AfCfB;

3) bei einer anderen bestimmten Länge gleich 2&+na be-
steht L aus zwei gleichen Halbkreisen 5, e, welche die Gorade
G in D und E berühren, und deren Durchmesser AD, liE auf
derselben senkrecht und gleich a sind, und aus der Strecke DE
gleich 2i; die Figur besteht aus dem Rechteck ADEB und aus
den IlalbkreiseQ AW und BzE.

Zwischen diesen besonderen Füllen nun und über den letz-
ten hinaus nimmt die Linie L folgende Formen an:

4) Wenn

Ucber Maximum und Minimum. 231

parallel sind, und aus der Strecke Ä^B^^ deren Länge constant
i^lcich 26, deren Lage aber veränderlich ist

Es ist klar, dass im letzten Falle (6) der grössere Bogen sowohl am
Puncte ^ als an i? liegen kann.

In allen Fällen lässt sich der Inhalt der Figur durch die gegebenen
Grössen a, b und'Zy leicht ausdrücken, z. B. im Falle (6) ist er gleich

^ , (L— 26)'

II.' Wenn die Gerade G beliebige feste Lage hat (nur nicht
zwischen den Endpuncten der Geraden AB durchgeht), wenn sie
z. B. von B weiter entfernt ist als von Ay wie in Fig. 19 auf
Taf. XI, so nimmt die Linie L, wofern der Inhalt der Figur ein
Maximum sein soll, nach einander folgende verschiedene For-
men an: Im Grenzfalle, wo sie am kleinsten ist, besteht sie aus
zwei Geraden AC und BCy welche die Gerade G unter gleichen
Winkeln schneiden, und deren Summe überhaupt ein Minimum
ist in Kucksicht der Abstände irgend eines Punctes in G von
den Puncten A und B; wird nun

L > AC+BC,

so besteht sie zunächst aus zwei Kreisbogen a und ß von
einerlei Radius r, welche die Gerade G in dem nämlichen
Puuct(i 1) (zwischen C und E) und Unter einerlei Winkel <p
schneiden; der Punct D bewegt sich von C nach i?, und der
Radius r und der Winkel <p schwinden; erlangt L eine i>e-
stimmte Län^e gleich s, so besteht sie aus einem einzigen
Kreisbogen AzE&By welcher G in E berührt, wabei <p gleich 0
wird und es fortan bleibt; von da an, wenn die Linie L fort-
wächst, besteht sie aus zwei Kreisbogen a, und ^^ von einerlei
Radius r, welche die Gerade G in A^ und ß, berühren, und aus
der Strecke ^,ß, ; die Puncto A^ und B^ entfernen sich von E
beziehlich nach C und F hin, der Radius r schwindet noch
immer, und von den Bogen a, und ßj ist jeder kleiner als der
Halbkreis; endlich tritt^ der Zustand ein, wo der Bogen ß^ ein
Halbkreis wird, welcher das Perpendikel BF von B auf G zum
iJurchmesser hat, und in welchem Falle der Radius r ein Mini-
muiTi wird, 7^^ in F fällt und A^ die grösste Entfernung von E
»rreicht, nach C hin oder darüber hinaus; von da an, wenn L
rt'(»itor wächst, wird ß, immer mehr grösser und a^ immer mehr
deiner als der Halbkreis, der Punct ^1, bewegt sich rückwärts
ijuh Ey Fy ... hin, er folgt dem Puncto B^ nach, der Radius r
lud die vStrecke ^l,ß, wachsen immer fort.

llelwr Uuimua) nud Hiaimum.

62. äoll die (ireiizUnio einer Figur F ta jede Seite «ine«
g^ogobcneii 1'ulygoa» /' auätosseu;« kann sie jedoch nach Be-
liehen nur einen l'unct oder eine willkürliche Strecke mit der
jedesmaligen Seite gemein haben, und ist der ganze Umfang
der Figur F gegeben, ao kann ihr Inhalt nur dann ein Maxi-
mum sein, wenn alle ihre Umfangstheile, welche die auf ein-
ander folgenden Seiten des Polygons P verbinden, Bogen glei-
cher Kreise sind, und wenn jode Seite von den beiden an sie
itnstossenden Bogen unter demselben Winket geschnitten wird,
der gleich 0 ist, wenn die Soiie eine Strecke mit der Grenz-
linie von F gemein bat, oder wenn insbesondere beide Bogen
denselben Mittelpnnct haben (61,11).

Die Betrachtung der Grenzen der Figur F fuhrt zu einigen inter-
essanten Resultaten, welche im Nachfolgendeo zum Thoil näher erörtert
werden sollen.

63. I. Lässt man den Umfang der eingeschriebeneD Figur H »ich
ändern, kleiner oder grösser werden, während das Polygon P unverändert
bleibt, so lassen sich die Grenzen, wol6he jenem Umfange zukommen,
sowie die Form, welche die Figur F dabei annimmt, im AUgomoinen
nicht leicht angeben, zumal wenn das gegebene Polygon P im weiteren j
Sinne gonommon wird. Ja selbst wenn P ein convexes Polygon ist nud j
die Figur F ausdrücklich auf dessen iimeren Raum boschränkt sein soll, .
lassen sich die genannten Grenzte nicht immer leicht erkennen,, indem j
diese Bedingung in gewissen . Fällen der Natur der Sache widerstreitet .
Wohl kann man sagen, dass unter dieser Voraussetzung der Umfang von j
/^'cine bestimmte obere Grenze habe, nämlich den Umfang des Polygons -
P selbst. Dagegen kann die imtere Grenze, wo der Umfang von F am -
kleinsten ist, in Ansehung der Form von F sehr verschieden aosfallen,
je nach Beschaffenheit dos Polygons P. Indessen giobt es verschiedene

^stliuiiilo I^'üHl-, wo die Figur F bei dioKor Grenze in ein (güradüdi^f^J
khes dem Polygon P ein fleuch rieben und luii^
Dabei sind die Seiten
iflchcr

Ueber Maximum und Hinimmn. 233

Seiten von F^ gleiche Winkel bildet — ob dann auch allemal umgekehrt
dasselbe als Grenze der Figur F anzusehen sei, muss noch näher unter-
sucht Werden. Ueberhaupt entsteht hier die Frage, ob einem gegebenen
Polygon P im Allgemeinen immer ein Polygon F^ mit der genannten
Eigenschaft sich einschreiben lasse, oder welche besondere Eigenschaft P
haben müsse, damit dies möglich sei; und wemi es möglich ist, ob dann
F, auch in der That als Grenze der Figur F zu betrachten sei.

Pass in gewissen FäUen das Polygon F^ mit der geforderten Eigen-
schaft möglich ist, davon überzeugt man sich leicht. Derm wird umge-
kehrt dasselbe für einen Augenblick als gegeben angenommen, so ist das
zugehörige Polygon P bestimmt und leicht zu construiren; nämlich die
Geraden, welche die äusseren Winkel des Polygons F^ hälften, sind die
Seiten des Polygons P.

Die aufgestellten Fragen werden durch folgende Andeutungen beant-
wortet:

II. Angenommen das Polygon F^ sei dem Polygon P* auf die be-
sprochene Weise eingeschrieben. Ueisscn die Winkel von P nach der
Reihe u4,, ^,, A^^ ... A„i^ und die Winkel von F, gleicherweise «,, a^,,
a,, ... «„,, wo die Ecke a^ in der Seite A^lA^^ a^ in A.^A^^ u. s. w.
liegen soll. Dann hat man

2J, = a„, -Ha,,

2A,^ = a^ +«jj,

(^) {2A, = a, +«,,

2A,n — a,„_i-h-a,;, .

Au.s diesen Gleichungen schliesst man Folgendes:

1) Ist die Seitenzahl der Polygone ungerade, ist

m = 2wH-l,

so sind die Winkel des einzuschreibenden Polygons F^ durch
die Winkel des gegebenen Polygons P bestimmt und unmittel-
bar durch dieselben auszudrücken; nämlich jeder Winkel von
F^ ist gleich der Differenz zwischen der Summe der Winkel
von P mit ungeradem Index und der Summe der Winkel von
P mit geradem Index, wofern die Zählung der letzteren so
geschieht, daö's von den beiden Winkeln, welche jenem zu-
nächst liegen, der eine der erste und der anderedcr letzte
ist. So ist z. B.

(B) am = (i4,+^,H [^A2n+0—(A^-\-A,-] h^l2n).

2) Ist dagegen die Seitenzahl gerade, ist

m = 2w,

'£Si Uuber Uuiimuia imd Miniuiuiii.

■so »itid die Wiubel des Polygons F, Dicht in gleicher Weise
bestimmt. Aber dafür eiud die Wiokel des Polygons /* eioei
IiuHtimintcn Bedingung untorworfeu, so dass also dasselbe
kein beliebiges Polygon sein kann, nämlich es ist die Ssmue
Hciner geraden Winkel gleich der Summe der angeraden, also

Im Falle (1) iut das Polygon F,' im Allgemeinen immer möglich,
lihnc dass das Polygon P besonderen Bedingungen onterworfeD wird, ood
»war ist jenes absolut (oder eiurach) bestimmt. Dasselbe wird jedoch als
ICepräsentant und Grenzfall der Figur F (nach der obigen engeren Fonlo-
rung 1) im Allgemeinen untauglich, sobald einige von seinen Winkeln
negativ werden, was, wie aus dem vorstehenden Ausdrucke (B) zu sehen
ist, leicht eintreten kann.

Im Falle (2) alwr, wenn die Winke! von P der anfgestellton Bedin-
gung (6') genügen, ist F^ nicht in gleicher Weise absolut bestimmt, viel-
tuehr sind dann zugleich unendlich viele Polygone/, möglich, W<^chc alle
dem Polygon P unter den obigen Bedingungen eingeschrieben sind, nnd
deren Umfai^ also ein Minimum ist, d. h. sie haben aUe unter sich glei-
chen aber kleineren Umfang als jedes andere dem /' eingeschriebene
Polygon. Unter dieser Menge von Polygonen /, befindet sich nun auch
das Polygon F^, welches die Grenze der Figur F ist, und zwar kann
dasselbe oifciibar nur dasjenige sein, dessen Inhalt unter allen ein Maxi-
mum ist.

Wie in beiden Fällen das Polygon F„ oder wie im letzten Falle be-
liebige Polygone /, gefunden werden, ersieht man am klarsten aus der
folgenden Betrachtung, durch welche die Eigenschail dieser Polygone von
einer neuen Seite beleuchtet wird.

III. A. Sei oiu beliebiges Polygon /' mit ui^rader Seitenzahl gleich

Uebor Maximum und Miuiuium. 23Ö

2) Bleibt der Winkel a constant, während der Ausgangs-
)uuct a SQin^ Lage (in der Seite A^A^) beliebig ändert, so
)]elbt auch die Strecke ac constant, und so bleibt auch in
[ewissem Sinne der Weg des Lichtstrahles constant, in dem
)innc nämlich, dass wenn der Lichtstrahl allenthalben bloss
efJoctirt wird, dann alle Theile des Weges positiv, wenn er
ber in einzelnen Puncten gebrochen wird, alsdann die Weg-
licilo vor und nach der jedesmaligen Brechung mit entgegen-
csetzten Vorzeichen (-f- und — ) genommen werden, wenn
Iso, mit einem Worte, nach jeder Brechung der Weg sein
eichen ändert.

3) Für jeden gegebenen Winkel a giebt es im Allgemeinen

iiic bestimmte Lage des Ausgangspunctes a, bei welcher der

uiict h mit ihm zusammentrifft; und für jede Lage des

unctes a giebt es einen bestimmten Ausfalls-Winkel a, bei

clchem gleichfalls b auf a fällt.

4) Es giebt allemal einen, aber nur einen bestimmten
Viukel a, bei welchem erstens beständig die Strecke

ac = 0

st, d. h. bei welchem stets der Endpunct c auf den Anfangs-
tuncta fällt, es mag dieser längs der Seite ^,Aj angenommen
werden, wo man will; so dass also der Wog des Lichtstrahlas
llemal ein Polygon /^ von

2m = 4w+2

weiten ist, welches dem Polygon P so eingeschrieben ist,
lass es in demselben zwei Umläufe macht, also in jeder Seite
losselben zwei Ecken hat, wie z.B. in der ersten Seite A^A,^
lie Ecken a und b. In diesem Falle ist zweitens Winkel

ß = «,
I. h. der Lichtstrahl kehrt schon nach dem ersten Umlaufe
inter demselben Winkel auf die. erste Seite zurück, unter
v^elchem er sie verlassen hat, so dass daher die Seiten jedx3S
*olyj<ons/j, paarweise parallel sind. Drittens ist der Umfang
les Polygons/^, constant, wofern er als Weg des Lichtstrahles
II j^Ieichem Sinne genommen wird, wie im zweiten Falle.
Viertens sind die Ecken a und 6 allemal gleich weit von einem
Osten Puncto w in der Seite A^A.^ entfernt, so dass immer

am = vib

st, und dasselbe gilt von jeder anderen Seite; wird a in m
^genommen, so fällt auch b dahin, d. h. so kehrt der Licht-
trahl schon nach dem ersten Umlaufe in seine Bahn zurück,

236

Ueber M&iimum und Mioiinuni.

er beschreibt ein Polygon F, von 2n+l Seiten, welches er
beim /.weiten Umlaufe nur wiederholt, so daSM alüo dasselbe,
um als Polygon/, ungesohon zu werden, doppelt genommeD
werden mu»». Endlich iai diesem besondere Polygon fünftcDg
gerade A&a oben (11) bcxproeheno Polygon ^: dasselbe ist luch
unter allen Polygonen/, dasjenige, dosson Inhalt ein M*ii-
mum ist (wofern es nämlich, wie soeben bemerkt wordeo,
doppolt genommen wird).

B. Das gegebene Polygon I' habe eine gerade Zahl gleich 2n v«d
Seiten. Ein Lichtstrahl bewege sich'auf gleiche Weise in demselben, wie
vorhin, er gehe vou irgend einem PuucUs a der ersten Seite A^Ä^ aus,
bilde mit ihr uinon beliebigen Winkel a, treffe sie nach dem ersten Um-
laufe in einem Pnncte b mid miter einem Winkel ß, u. «. w., so findeu
hier folgende Gesetze statt:

1) Es ist allemal
o— ß = (^,+yl,H ^A^_t)—{A,-irA^-i h^j,) = w.

3) Ii^t nun dicKO Differenz u zu n commonsurabe), so wird
der Lichtstrahl nach einer bestimmton Zahl von Umläufeu
unter demselben Winkel auf die erste- Seite fallen, unter
welchem- er anfänglich von ihr ausgegangen ist; er treffe sie
im Puucte t und unter dem Winkel x, so ist also

[Ueibt a constaut, während a seine Lage ändert, so bleibt
auch die Strecke ai sowohl, als der Weg des Lichtstrahles
constant; u. s. w.
3) Es »ei

« = 0,

lieber Maximum und Minimum. 237

stantem Umfange ist. Viertens befindet sich unter diesen
Polygonen /* das oben (11) genannte Polygon F, , welches die
Grenze der Figur F darstellt, und zwar ist es dasjenige,
flessen InhaJt ein Maximum ist; andererseits hat dasselbe
die charakteristische Eigenschaft: „dass die Srnnme seiner geraden
Seiten gleich ist der Summe der um/eraden^y wodurch dasselbe voll-
kommen bestimmt ist.

(1 Rs ist zu bemerken, dass der erste Satz (^), bei welchem das
gegebene Polygon P eine ungerade Zahl von Seiten hat, als besonderer
Fall des zweiten (ß, 3), wo die Seitenzahl gerade ist, angesehen werden
kann ; denn da bei (A) zwei Umläufe stattfinden, so ist dies ebenso viel,
als wenn das Polygon P die doppelte Zahl von Seiten, also 2m oder
4n-\-2 Seiten hätte und nur ein Umlauf stattfände, wobei auch in der
That der Bedingung in (/i, 3), dass u gleich 0 sei, genügt wird. Dem-
j^cmäss gilt denn auch die folgende Construction sowohl für die Polygone
/*, als /,.

Zum Behufe dieser Construction mag zuvorderst bemerkt werden:

1) dass die entsprechenden Seiten der verschiedenen Polygone /,
unter sich parallel sind (vermöge des constanten Winkels a);

2) dass femer, sobald die Richtung ii^end einer bestimmten Seite
ji(ofunden ist, dann die Richtungen aller übrigen Seiten als gegeben, und
somit auch alle Polygone^ als gegeben oder als gefunden zu betrachten sind;

3) und dass endlich z. B. die erste Seite a^a^ irgend, ei^es der Poly-
Jone /,, deren Endpuncte a, und a^ in den zwei ersten Seiten A^A^ und
^.jA^ des Polygons I* liegen, durch einen beliebigen gegebenen Punct p^
:ehen kann. In der That wird diese Seite, wie folgt, gefunden:.

„Aus dem gegebenen Puncte p, fälle man. auf die zweite Seite A,^A^
on P das Perpendikel pjj,, nehme in dessen Verlängerung den Punct />.^
o, daAa

.iLS /), nUle man auf die dritte Seite A^A^^ das Perpendikel p^q.^ und
leiune in dessen Verlängerung den Punct p^ so, dass

jbcnso construire man durch das Perpendikel aus p, auf die Seite A^A^
len Punct p^ , u. s. w. , bis man endlich durch das P.erpendikel aus dem
?uncte pm auf die erste Seite A^A^ zu einem Puncto pm+\ gelangt, wel-
cher in der verlangten Seite a^a^ (oder in ihrer Verlängerung) liegt, so
lass also dieselbe in der durch die beiden Puncte p, und Pm-\-\ l>o-
dinunten Geraden liegen muss". t

Nach den früheren Andeutungen ist es nunmehr auch leicht, für
jeide Fälle das besondere Polygon F^ zu finden, sobald man durch das

itbt'u beschricbeue Verfahren bereits irgend ein Polygon- /, oder /, con-
stnitrt hat.

Hat P eine ungerade 'Zahl von leiten, so ergiebt sich für die Polj-
lioue /i noch eine andere Construction aus der obigen Eigenschaft (11, 1),
wonach nämlich der Winkel a oder die Itichtiing der Seite a,a, aus den
Winkeln des gegebenen Polygons P unmittelbar gefunden wird.

64. Folgende einfache Deispielc von den betrachteten Figuren und
Sfilxen (62 und 63) verdienen noch besonders erwähnt zu werden:

I. Wenn das gegebene Polygon P in (63, III, B, 3) insbesondere ein
Viereck ABCD ist, so muss dassolbc einem Kreise eingeschrieben sein,
weil Winkel \

A-hC ^ B+D.
Die ihm eingeschriebenen Vierecke /, vom kleinsten Umfange sind durch
ein neucH, etwafi einfacheres V^urfahreii /.u flnden als das vorige, und zwar
winl zunächst <las besondere Viereck F,, dessen Inhalt ein Maximum ist,
unil welches die OrenÄC der Figur F darstellt, durch folgende Conslruction
gefunden :

„Man ziehe in dem Vierecke AIICD die Diagonalen AC und ßi>,
Iiillc aus ihrem Durchschnitte E die Pcritendikel Ea, Eb, Kc und Ed auf
die Seiten dos Vierecks, so sind die Fusspuncte a, b, c und d die Ecken
des genannten Vierecks F,"

Dieses Viereck F, oder ahal hat auch die Eigenschaft, dass es
einem Kreise umschrieben ist, welcher £ zum Mittelpunct hat

Die übrigen Vierecke/, oder «,i|P,'/, werden nunmehr erhalten, wenn
man eine Ecke a, beliebig amiimmt und sodann die Seiten a,&,, £,r,, .. .
den entsprecbeuden Seiten «A, iw, . . . des Vierecks ahcd parallel zieht.

II. Wenn im obigen Satze (62) das gegebene Polygon P insbesondere
ein Dreieck Afi(' ist, und wenn die einzuschreibende Figur F ausdrücklich
auf doHse» innerc^n Raum beschränkt sein soll, so kommen der Grenzlinie

Uebcr Maximum uud Minimum. 239

so ist die untere Grenze von F (oder vom Dreieck «ßy), näm-
lich F^ (63), dasjenige geradlinige Dreieck abc, dessen Ecken
in den Fusspuncten a, i, c der Perpendikel liegen, welche aus
den Ecken des Dreiecks ABC auf die Gegenseiten gefällt wer-
den. Das Dreieck ahc bat demnach unter allen dem gegebenen
Dreieck ABC eingeschriebenen Dreiecken den kleinsten Um-
fang; die Geradelt, welche seine Winkel hälften, sind zu-
gleich die genannten Perpendikel,, die sich in einem Puncto D
treffen; seine äusseren Winkel aber werden durch die Seiten
des Dreiecks ABC gehälftet.

Bemerkung. Die hier angegebenen Eigenschaften und Sätze vom
ebenen Dreieck ABC finden in ganz analoger Weise für das sphärische
Dreieck statt. In wie weit der vorige Satz (1) über das Viereck ABCDy
oder überhaupt die ol)igen Sätze (63) über die Polygone P, /, und /^ auf
der Kugelfläche in analoger Weise stattfinden, oder was an deren Stelle
tritt, ist noch zu untersuchen. Dass das Polygon F^^ als Grenze der
Figur Fy auf gleiche Weise existirt, ist einleuchtend, ebenso, dass zugleich
sein Umfang ein Minimum ist Auch wird, wenn man das Polygon F^
als gegeben annimmt, dann das Polygon P durch die nämliche Con-
struction erhalten, wie oben (63, I).

65. Gleichwie bei dem obigen Satze (62) die zu beschreibende
Figur F durch feste Gerade, durch die Seiten eines geradlinigen Polygons
J\ beschränkt wähl, ebenso können zu gleichem Zwecke beliebige feiste
Curven, oder ein Curven-Polygon /^, angewendet werden. Der Satz scheint
dann allgemeiner — aber im Grunde beruht er doch nur auf dem vorigen
Satze, weshalb denn auch die Haupteigenschaften der Figur F dieselben
bleiben, wie dort, nämlich: Der Inhalt der Figur F kann nur dann
ein Maximum sein, wenn 1) alle Theile ihres Umfanges,
welche die auf einander folgenden festen Curven oder Seiten
von P^ verbinden. Bogen gleicher Kreise sind, und 2) wenn
je zwei von diesen Kreisbogen, welche* an dieselbe Curve
(oder Söite von) P, anstossen, diese entweder im nämlichen
Puncto .und unter gleichen Winkeln treffen, oder sie in ver-
scbiedepen Puncten berühren. Dieser Satz gilt übrigens nicht nur
in der Ebene und auf der Kugelfläche, sondern er findet in analoger Weise
auf jeder beliebigen krummen Fläche statt, wjis ich bereits schon bei einer
anderen Gelegenheit ausgesprochen habe *). Nämlich man hat folgenden *
allgemeinen Satz:

•) S. „Bericht über die zur Bokanntmacliunfj fifeeipnoten Verhaiidlunfifon der Köni^l.
Akademie der Wisseuscbaften zu Berliu", April 1839. Cf. Bd. 11. S. 165 dieser Aus-
gabe.

240 (Jeher Uaximum und Hinimiim.

„Wenn auf' irgend einer krummon Fläche S irgend eine
Anzahl boliobiffor Curven, oder ein Curven-Polygon P, ge-
geben ist, und wenn in dasHclbe eine Figur F van gegtibonem
Umfange ao eingeschrieben werden soll, dass ihre Grenzlinie
an jede Seite des Polygons /*, anstösst, so kann ihr Inhalt
nur dann ein Maximum sein, wenn sie die charakteristische
Eigenscliaft hat,

1) dasH die Tboile ihrer Grenzlinie, welche die auf ein-
antlcr folgenden Gurten oder Seiten von /*, vorbinden, so be-
schaffen sind, dasH, wenn man längs oinoa solchen Thetles an
die Fläche S eine berührende abwickelbare Fläche legt und
diese sodann abwickelt, jener Thcil dabei in einen Kreis-
bogen übergeht;

2) dass alle diese Kreisbogen gleiche Radien haben;

S) und dass endlich jede Curve oder jede Seite von I\
von den beiden an sie anstosscnden Thcilen entweder im
nämlichen Puncto getroffen und unter gleichen Winkeln ge-
schnitten, oder in vcrschiodenon I'uncten berührt wird."

66. Auch bei diesem allgemeinen Satze (65) kann die Figur !> in
ihrem flrenzfalle in ein Polygon F^ übergehen (63), dessen Seiten näm-
lich kürzeste Linien auf der gegebenen Fläche S sind, welche bei der
vorgenannten Abwickelung in Gerade übergehen. Zugleich hat diese»
Polygon F\ auch die Eigenschaft, dass sein Umfang im Allgemeinen ein
Minimum oder Maximum ist* in Beziehung auf alle Polygone, welche dem
Polygon /* in gleicher Weise mit kürzesten Linien eingeschrieben sind.
Im Allgemeinen scheint auch das Umgekehrte behauptet werden zu können,
nämlich: dass, wenn dem Polygon P, ein Polygon F, mit kürzesten Linien
eingcschrioboil ist, dessen Umfang ein Minimum oder Maximum wird, dass
dann dasselbe zugleich auch ein Grenzfall der Figur F sei. Der folgende

lieber Maximum und Minimum. 241

Winkel mit ungeradem Index gleich sein. In diesem Falle, wo

m = 2n
muss femer das Polygon F^ die Eigenschaft haben, dass die Summe seiner
Seiten mit geradem Index gleich ist der Summe der Seiten mit ungeradem
Index (63, III, ß, 3). Wenn daher dem Curven-Polygon 1\ von 2n Seiten
ein Polygon /j so eingeschrieben wird, dass sein umfang ein Minimum
oder ein Maximum ist, so folgt daraus noch nicht, dass dasselbe auch
zugleich ein Grenzfall der Figur F sei; sondern dies ist nur dann möglich,
wenn auch zugleich die Summe seiner Seiten mit geradem Index gleich ist
der Summe seiner Seiten mit ungeradem Index. Dies ist die vorerwähnte
Ausnahme; sie findet nicht statt, wenn m ungerade, also wenn

m = 2n-hl
ist. In diesem Falle hat man unter anderen den folgenden speciellen Satz:

Sollen die Ecken eines Dreiecks abc (oder F^) beziehlich
in drei festen Curven Ay 2?, C (oder I\) liegen, so ist sein
Umfang nur dann ein Minimum oder Maximum, wenn die Nor-
malen der Curven in den Ecken des Dreiecks dessen Winkel
hulften lind somit alle drei sich in einem Puncto troffen; oder
wenn die Normale in jeder Ecke mit den Tangenten in den
beiden anderen Ecken in einem und demselben Puncto zu-
sam'mentrifft (64, n).

Dieser Satz findet auf der Kugelfläche in analoger Weise statt.

67. Bei der letzten Betrachtung kann man in der Ebene noch in
anderer Hinsicht zu speciellen Fällen übergehen, wie z. B. wenn statt^^ler
m festen Curven P, eine einzige ("urve P, gegeben ist, in welche eine
Figur F oder ein geradliniges Polygon /, unter ähnlichen Bedingungen *
eingeschrieben werden soll. Die Eigenschaft des Polygons /, bleibt die-
selbe wie vorhin, nämlich:

Unter allen einer gcgeb'enen Curve P, eingeschriebenen,

geradlini^n, m-scitigen Polygonen kann nur bei demjenigen

/\ der Umfang ein Minimum oder ein Maximum sein, welches

die Eigenschaft hat, dass seine Winkel durch die Normalen

der Curve gehälftet werden.

Es kann hierbei die Aufgabe gestellt werden: Für den besonderen
Fall, wo die gegebene Curve P^ eine Ellipse ist, das genannte
Polygon /, vom grössten Umfange näher zu bestimmen oder
zu finden.

68. Von dem eben betrachteten Polygon /, vom kleinsten (oder
j^rössten) Perimeter nehme ich Anlass schliesslich noch von dem gerad-
linigen Polygon p zu sprechen, welches einem Curven-Polygon oder einer
(•urve P, in ähnlicher Weise eingeschrieben ist, und dessen Inhalt ein
Maximum oder ein Minimum sein soll. Man hat den folgenden Sjitz:

Steioer's Werke. II. 16

242 Ueber Haximlun und Hiuimom-

Wenn ein nt-seitiges, geradliniges Polygon p einem gege-
benen m-seitigen Cnrven-Polygon (oder einer einzigen Curvc)
P, äingeschriebon ist, so kann sein Inhalt nur dann ein
Maximum oder ein Minimum sein, wenn die Tangente in
jeder Ecke (dos Polygons p an die respective Curve) mit der
Diagonale, welche die zn beiden Seiten zunächst folgenden
Ecken verbindet, parallel ist

Auf der Kngelfläche hat man einen gewissermassen analeren Satz.

Ist insbesondere P, eine Ellipse, so sind bekanntlich zugleich unend-
lich viele Polygone p möglich, welche der genanoten Bedingmig genügen;
sie haben alle unter sich gleichen Inhalt, der ein Maximum ist.

Bemerkung. Wie im Torstehenden die Polygone /, und p dem
Curven-Folygon P, emgeschrieben sind, ebenso können sie demselben um-
schrieben und dabei in gleicher Weise nach der charakteristischen Eigen-
schaft gefragt werden, welche sie haben müssen, damit entweder ihr Um-
fang oder ihr Inhalt ein Maximum oder ein Minimum sei.

Ueber Maximum und Minimum bei den
Figuren in -der Ebene, aul' der Kugel-
fläche und im Räume überhaupt

Zweite Abhandlung.

Hierzu Taf. XH— XIV Fig. 1 — 17.

16*

lieber Maximum und Minimum bei den
Figuren in der Ebene, auf* der Kugel-
flache und im Räume überhaupt

Zweite Abhandlnng.

Von den ebenen und sphärischen Figuren (Fortsetzung).

Wiewohl die io der ersten Abhandlung für die ebenen und sphä-
rischen Figuren befolgte Beweisart m Rücksicht aitf Eleganz und Allge-
meinheit nichts zu wünschen lässt, und obschon sie in dieser Beziehung
alle folgenden Beweisarten weit übertreffen möchte, so halte ich es doch
in der Hinsicht für dienlich, die letzteren hier kürz anzudeuten, weil es
bei einem Gegenstande wie der gegenwärtige, welcher noch so sehr der
Ausbildung bedarf, immer wünschenswerth ist, verschiedene Wege zu
kennen, auf denen irgend welche Sätze sich besonders leicht oder klär
darstellen lassen, um ein analoges Verfahren in anderen Fällen, wo es
mit Vortheil geschehen kann, in Anwendung zu bringen. Die vielen
Beweisarten sind Folgen der verschiedenen Versuche, welche ich zu An-
fang meiner Untersuchungen in der Absicht unternommen habe, den Gegen-
stand möglichst zweckmässig mid vollständig* zu behandeln.

Wie bereits im Eingange der ersteh Abhandlung bemerkt worden, ist
von den nachfolgenden vier Beweisarten nur eine für die sphärischen
Figuren gültig.

246 Ue)>cr Haximum und Hiiiimum.

Zweite B«wetssrt

Für die ebcaeu uad »phüriHchcn Figaren.

Erster Fundamootslsatz.

1. „Utitcr allen ])roieGkeii über dorHelben Grundlinie nnd
vüii gleicher ScheDkclHummo hat das gloichscheaklige deo
grösstcii luhalt"

Ich bcguügo mich, auf don Boweiu dioäOä Satzes in der ersten Ab-
handlung (3) zu vorwoiHon.

Zwoiter Funilamentalaatz.

2. „Von allen Dreiecken mit domseihon Winkel an der
S)iitzo und von gleicher Sohoukclsumme hat dasjenige den
grÖHHten Inhalt und zugleich die kloiuätc Grundlinie, welches
gIcichHchcnklig iät."

Uewüis. Von den zwei Dreiecken ^Cß und DCE (TtJ.Xll Fig. 1),
die den Winkel C au der Spitze gemein haben, sei das erste gleich-
schenklig, also

CA = CB,
und dem Satze gomilss .sei

AC-i-BC = DV+KC;
sü ist zunächst

AD = HE
und Winkel

Man ziehe die (ierade DF -so, dass sie gleich DA, so ist auch

Ueber Maximum und Minimum. 247

im rechtwinkligen Dreieck DGB ist aber DH> GH, also ^D£>^AB,
und folglich

DE > AB.

Bemerkung. Wie man sieht, gilt dieser Beweis für die sphärischen
Dreiecke im Allgemeinen auf übereinstimmende Weise (s. Abh. I, 16),
uur^ bedarf dej Satz einer näheren Bestimmung; nämlich es kommt
darauf an, ob die gegebene Schenkelsumme 1) kleiner, 2) gleich, oder
3) grösser als der halbe Hauptkreis sei; denn im ersten Falle ist das
gleichschenklige Dreieck ein Maximum, wogegen es im dritten ein Mini-
mum und im zweiten keines von beiden ist, weil hier alle im Satze in-
begriilenen Dreiecke gleichen Inhalt haben. In allen diesen Fällen hat
aber immer das gleichschenklige Dreieck die kleinste Grundlinie.

3. Zusätze. I. Von je zwei der im vorigen Satze inbo-
griffenen Dreiecke hat dasjenige kleineren Inhalt und zu-
gleich die grössere Grundlinie, dessen Schenkel die grössere
Differenz haben; und auch umgekehrt.

Denn da nach dem vorigen Beweise (2) die Differenz zwischen dem
ü;Ieichschenkligen Dreieck ACB (Taf. XII Fig. 1) und irgend einem un-
gloichschenkligen DCE aus einem gleichschenkligen Dreieck ADF be-
steht, dessen Schenkel

AD = FD = BE= i(CE— CD),

d. h. gleich der halben Differenz zwischen den Schenkeln des Dreiecks
D(JE ist, so ist klar, dass dieses Dreieck DCE um so kleiner wird, je
mehr die Differenz seiner Schenkel zunimmt. -— Dass dabei zugleich auch
die Grundlinie DE wächst, ersieht man aus dem rechtwinkligen Dreieck
DGHy dessen eine Kathete GB constant bleibt, während die andere GD
mit AD gleichzeitig zunimmt, so dass folglich auch die Hypotenuse DB
und somit die Grundlinie DE wachsen muss.

H. Der Ort der Mitten (//) der Grundlinien {DE) aller
im Satze (2) inbegriffenen Dreiecke (Z)6!£) ist eine bestimmte
Pierade, nämlich die Grundlinie AB des gleichschenkligen
Dreiecks ACB selbst*).

*) Man denke sich ein zweites ungleichschenkliges Dreieck DiCEu so ist

und der Satz kann, wie ^Igt, ausgesprochen werden:

Sind in zwei festen Geraden CA und CB zwei beliebige Puncte D
und E gegeben, und nimiit man in denselben andere Punctepaaro Di und
El in gleichem Abstände von den ersteren an, so dass

DDi = EEi,

so ist der Ort der Mitte ITi der Geraden A-^i eine bestimmte Gerade AB,
welche die gegebenen festen Geraden unter gleichen Winkeln schneidet.

24tj Uebor Maiimimi imd UiDiuiuin.

III. Unter allen Droleckon mit domscibon Winkel C so
der Spitzu und vun gleicbem Inhalto hat das gleicbsclieaklig«
die kloIuKto Grundlinie und dio kleinste Schcnkolsumme, aUo
auch den kleinsten Umfang*).

Denn sei Dreieck ACH (Taf. XU Fig. 2) gleichschenklig; man denke
»ich irgend ein ungleichschonkligos D^CE, von gleichem Inhalte, so vA
immer ein ihm ähnliches Dreieck DCE möglich, welches mit AGB gleiche
Schenkelsummc hat; dann aber ist Dreieck DC'E<cACB (2), also auch
Dreieck

DCE <C D,CE„
und da nun DE> .^ß und

CD-hCE = CA+CB,

Oder, woferu. mau glcichzoitiR iwci Puncl« E, uud £', auf en tgtigeoge-
HoUtun Seitcu vnu £ und in f;loicbem Abatundo anDimmt, so haben die
UittuD H, und //' dor QoraUou D,E, und D,E' beiiohlich xwei heslimmte
Gerade ^ß und A,B, zum Ort, welche einandar untor rechten Winkeln
Kchnuitleu, und von denen jede dio beidou featon Geraden unter gleichen
Winkeln schneidet.

Es kann fumor bemerkt werden: Unss alle Perpendikel, welche in den
Mitten //, auf doti Geraden D,E, errichtet werden, sich in einem he-
stimmton l'unctc p, und elionso die Perpendikel, welche auf den Geraden
D,E' in ihren Uitten //' errichtvt werden, sieb in einem beHtimmten
PuDCtc p, treffen. Nämlich dio Geraden D,E, uud D,E' berühren in
alleu ihren Lagen ruspective zwei bustiuimtu Parabeln /'und P,, welche
die foslon Geraden CA, CB zu geiueins,;baftlichou Taugenten, die l'uncte
p und p, lu Itronupuncten und die Gcradoo All und A,ü, zn Tanf^enten
in ihreu Scheiteln haben, und deren Axen diu Ton den festen Geraden
i;cbildeten Winkol hülften, sich somit im Puncto C unter rechten Win-
keln schneiden.

*) Es liisst sich leicht zeigen, do^ die Grundlinie je xweier in diesem Satz« iabe-

(jeber Maxiinuiu und Miuiiiium. 249

SO ist folglich Gnmdlinio

D,E, > AD,

und die Schcnkolsumme

CD.^CE, > CA-\-CB.

IV. 1) Unter allen Dreiecken mit demselben Winkel C
an der Spitze und von gleichem Umfange hat das gleich-
schenklige den grössten Inhalt, die grösste Schenkelsumme
und somit die kleinste Grundlinie.

Denn angenonmien das gleichschenklige Dreieck ACD (Taf. XII Fig. 1)
habe den gegebenen Umfang, und irgend ein Dreieck DCE habe mit. ihm
gleiche Schenkelsumme, so hat letztere^ eine grössere Grundlinie und
somit auch grösseren Umfang, aber dennoch kleineren Inhalt (2); um so
mehr muss es also kleiner werden, wenn man seine Grundlinie DE sich
selbst parallel bewegt, bis es mit ACB gleichen Umfang erhält; auch
wird dabei zugleich seine Schenkelsumme kleiner.

2) Unter allen Dreiecken mit demselben Winkel C an der
Spitze und mit dem nämlichen gegebenen Unterschiede zwi-
schen der Schenkelsumme und der Grundlinie hat das gleich-
schenklige zugleich den kleinsten Inhalt und die kleinste
Grundlinie.

Dieser Satz folgt am leichtesten aus dem Satze No. 3, II in der
ersten Abhandlung*). Ich habe ihn hier deshalb aufgenommen, weil er
mit dem ersten (1) in eigenthümlichem Zusammenhange steht, was aus
dem späteren Satze (VIII) sowie aus der folgenden Angabe erhellt:

Bei jedem der beiden vorstehenden Sätze berühren die
Grundlinien aller inbegriffeuen Dreiecke einen bestimmten
Kreisbogen, welcher auch von den Schenkeln des gegebenen
Winkels C in seinen Endpuncten berührt wird.

Ist der gegebene Winkel für beide Sätze ein und derselbe,
und ist der gegebene Umfang beim ersten Satz (1) gleich der
gegebenen Differenz beim zweiten (2), so gehören die beiden
Kreisbogen einem und demselben Kreise an; u. s. w.

V. Unter allen Dreiecken mit demselben Winkel 6' an der
Spitze und iflit gleichen Grundlinien hat das gleichschenklige
sowohl den grössten Inhalt als die grösste Schenkelsumme.

Denn haben wieder die Dreiecke ACB und DCE (Taf. XII Fig. 1)
gleiche Schenkelsumme, und bewegt man die Grundlinie DE sich selbst
parallel nach C hin, bis sie gleich AB wird, so schwindet sowohl der
Inhalt als die Schenkelsumme, des Dreiecks DCE, und folglich müssen
dieselben beziehlich kleiner sein als der Inhalt und die Schenkelsumme
des gleichschenkligen Dreiecks ACB.

*) Cf. Band U. S. 182 dieser Ausgabe.

250 Veber Maiimuiu uud Miniutum.

Werden — in Kiickijicht der vorhergehenden Sätze — die Schenkel
des gegebenen Winkels 0 durch eine beliebige Gerade JK oder LM be-
grenzt, wie etwa in Fig. 3 auf TaT. XII, and wird diese Gerade nebst
den anliegenden Winkeln J und 'K oder L und M als gegeben ange-
nommen, so ergeben sich ferner unter anderen folgende Zusätze: -

VI. Wenn von einem Viereck JKBA oder LMBA (Taf. Xll
Fig. 3) die Grundlinie JK oder LM, die beiden anliegenden
Winkel y und £' oder L und M nebst der Summe der anliegen-
den Seiten JA-hKIi oder LA-\-MIi gegeben,- so ist die vierte
Seite AB ein Minimum und der Inhalt im Allgemeinen ein
Maximum oder ein Minimum, wenn die beiden nicht gege-
benen Winkel A nnd B einander gleich sind. Nämlich der
Inhalt ist ein Maximum oder Minimum, je nach dem die Summe
der gegebenen Winkel bezichlich grösser oder kleiner als ic
ist; ist aber diese Summe gerade gleich ic, so findet keines
von beiden statt, sondern der Inhalt ist dann constant. Dies
folgt aus No. 2.

VII. Wenn von einem Viereck ^A'ß^l oder Z-A/ß.a die Grund-
linie JA'odor LA/, die anliegenden Winkel, sowie der Inhalt ge-
geben sind, so ist die der Grundlinie gegenüberliegende Seite
AB ein Minimum und die Summe der beiden übrigen Seiten
ist ein Minimum oder Maximum, wenn die beiden nicht gege-
bene ii Winkel gleich sind. Nämlich dio Summe der zwei
Suiten ist ein Minimum oder Maximum, jenachdem die Summe
der zwei gegebenen Winkel grösser oder kleiner. als ir ist; ist
sie gleich ic, so ist jene Summe constant. Dies folgt aus dem
SatzIIl.

VIII. 1) Ist von einem Viereck JKBA dio Grundlinie JK
nebst den anliegenden Winkeln, sowie die Summa der drei

Ueber Maximum und Minimum. 251

SO treffen sich die Seiten AL und BAI, verlängert, jenseits L und M in
einem Puncte C,, und man kann dann von diesem Satze zu dem obigen
(IV, 2) übergehen.

IX.« Wenn von einem Viereck JKBA oder LMBA die Grund-
linie JK oder LA/, die beiden daran liegenden Winkel nebst
der ihr gegenüberstehenden Seite AB gegeben sind, so ist
die Summe der zwei übrigen Seiten, sowie der Inhalt ein
Maximum oder ein Minimum (jenachdem die Summe der bei-
den gegebenen Winkel beziehlich grösser oder kleiner als ir
ist), wenn die zwei übrigen Winkel einander gleich sind (V).
Ist insbesondere die Summe der gegebenen Winkel gleich ir, so findet
der Satz nicht statt.

Bemerkung. Diese verschiedenen Zusätze lassen sich auch leicht
auf l)eliebige Vielecke und auf (/urven ausdehnen; man gelanj^t dadurch
zu Sätzen, die, für sich betrachtet, viel schwieriger scheinen als die vor-
stehenden, aus denen sie zu folgern sind. Es ist hier nicht der Ort,
weiter darauf einzugehen.

4. I. Wenn von einem Viereck ein Winkel und die beiden
ihm gegenüberliegenden Seiten a und b gegeben sind, so ist
sein Inhalt ein Maximum, wenn der Scheitel des gegebenen
Winkels von den drei übrigen Ecken gleich weit absteht

Beweis. Unter der Voraussetzung, dass es ein Viereck mit dem
grössten Inhalt giebt, lässt sich der Satz, wie folgt, beweisen:

Angenommen, das Viereck CABD (Taf. Xll Fig. 4) habe den grössten

Inhalt; AB und BD seien die gegebenen Seiten a und 6, und C sei der

j^cgebene Winkel, so folgt zunächst, dass die beiden nicht gegebenen

Seiten CA und CD einander gleich sein müssen. Denn zieht man die

Diagonale AD und betrachtet sie für einen Augenblick als gegeben, so

muss sie in dem gegebenen festen Winkel C das grösste Dreieck ACD

begrenzen, weil sonst, wenn dasselbe sich vergrössem Hesse, auch das

Viereck CABD grösser würde (da das* Dreieck ABD constant bleibt),

was der Annahme widerspräche; folglich muss

CA = CD
sein (2).

Wäre nun ferner die Diagonale 67? nicht den Seiten CA und CD

gleich, so müsste sie grösser oder kleiner sein, also es müsste z. B. etwa

CA = CE<:CB oder CA = CF>CB

sein. Allein wäre

CA = CE=CD,
so würde, wenn man aus der Mitte B^ von BE durch die Mitten H und
G der Seiten AB und BD die Creradcn B^HJ und B^GK zöge, Dreieck

JCB^ > ACB

252 lieber H^uiinuni und Uinimuiii.

nud Dreieuk

KGB, > DGB
sein (2), folglich auch Viereck GJB^K> CABD; und wenn man femei
(da nach No. 2 JB^-^AB und KB, < DB), aus ß, die Getadfi

B,A, = BA = a .
und

B,D, = BD = b
zöge, HO wäre um so mehr Viereck

CA,B,D, > CABD,
was gegen die ÄDuahmo ixt. Demnach kann nicht

VA = CE<CB
^iii. EbouüO tiiüxt »ich zeigen, liasn auch nicht

CM = CF>- OB
»ein kaun. Folglich uiuhh

CA = CB=CD

II. Ist der gcgobone Winkel C insho«ondore gleich it, und somit
ACD oiiio Ciürade, ho geht das Vierock in ein Dreieck ABD über, mid
mau hat den folgenden Satz:

Unter allen Dreiecken mit-donsel)jcn zwei gogebenen Sei-
len <i gleich AB und b gleich BD hat dasjenige den grössten
Inhalt, in welchem die drei Ecken von der Mitte C der drittcu
Seite AD gleich weit abstehen; oder in welchem der Winkel
ß zwischen den gegebenen Seiton so gross ist wie die Summe
der beiden übrigen Winkel A und D.

Dieser tjatz enthalt die Fundamentalsätze C und 14 der ersten Ab-
handlung.

lieber Maximum und Minimum. 253

•

Winkels von allen übrigen Ecken gleich weit absteht. Dieser
grösste Inhalt bleibt derselbe, gleichviel in welcher Or.dnung
die gegebenen Seiten auf einander folgen.

Beweis. Zunächst folgt in gleicher Weise wie oben beim Viereck
(4), dass die den gegebenen Winkel C einschliessenden Seiten CA und
CT gleich sein müssen. Nun ziehe man nach irgend einer Ecke P des
Vielecks die Diagonalen AP und TP, betrachte sie für einen Augenblick
als gegeben und halte die darüber stehenden Segmente des Vielecks un-
veränderlich fest, so muss das Viereck CAPT, von welchem der Winkel
C und die Seiten AP und TP gegeben sind, ein Maximum und folglich

CA = CP= CT
sein (4). Da P eine beliebige Ecke ist, so schliesst man, dass die Ecke C
von allen übrigen Ecken gleich weit absteht.

IL Wenn insbesondere der gegebene Winkel C gleich tu, und somit
ACT eine Gerade ist, so heisst der Satz:

Sind die Seiten a, byc, ... eines Vielecks, ausgenommen
<lie Grundlinie AT, gegeben, so ist sein Inhalt ein Maximum,
wenn alle Ecken von der Mitte C der Grundlinie gleich weit
absteheu, oder wenn es einem Kreise eingeschrieben ist, wel-
cher die Grundlinie zum Durchmesser hat.

7. Ist in Rücksicht der vorigen Sätze (6) statt der einzelnen Seiten
(ly by Cy ... dorou Summe

gegeben, so ist der Inhalt des Vielecks ein Maximum Maximorum, wenn
ausser den genannten Bedingungen noch die erfüllt wird, dass alle diese
Seiten einander gleich sind (5).

Man hat daher beziehlich folgende Sätze:

I. Ist von einem Vieleck ein Winkel 6 nebst der Summe «
und der Anzahl m aller nicht daran liegenden Seiten a, h, r, ...
gegeben, so ist sein Inhalt ein Maximum, wenn alle diese
Seiten einander gleich sind, und wenn der Scheitel des ge-
gebenen Winkels von allen übrigen Ecken gleich weit absteht.

II. Sind von einem Vieleck die Summe 8 und die Anzahl
m aller Seiten ausser der Grundlinie AT, welche willkürlich
ist, gegeben, so ist sein Inhalt ein Maximum, wenn jene Seiten
alle gleich sind, und wenn alle Ecken von der Mitte C der
Grundlinie gleiöh weit abstehen.

8. Wenn ferner nur die Summe s der Seiten gegeben, die Anzahl m
dagegen willkürlich ist, so folgt in gleicher W^eise wie beim Satze No. 26
der ersten Abhandlung, dass der grösste Inhalt des Vielecks immer zu-
nimmt, wenn man die Seitenzahl vi vermehrt, so dass er also ein Maxi-
mum Maximorum wird, wenn die Seitenzahl vi unendlich gross gedacht

254 Ueber Maximum und Uiuimum.

wird, d. h. wenn dio SuumiQ s in eiDcn Kreisbogen übergeht Somit hat
man folgende Sätze:

I.. Wenn von einem Vieleck ein Winkel C nebst der
Summe a aller nicht daran liegenden Seiten gegeben ist, »o
wird der grösste Inhalt desselben immer grosser, je mehr
Seiten es hat, so daas er ein Maximum Maximorum wird,
wenn die Seitenzahl m unendlich gross gedacht wird, oder
wenn das Vieleck in einen Kreissector übergeht (7, 1).

II. Ist von einem Vieleck die Summe aller Seiten aoBser
der Grundlinie gegeben, so wird der grösste Inhalt desselben
(7,11) immer grösser, je mehr Seiten es hat, so dass er eio
Maximum Maximornm wird, wenn man die Seitenzahl unend-
lich gross annimmt, d. h. wenn das Vieleck in einen Halbkreis
übergeht, welcher dio willkürliche Grundlinie zum Durch-
messer hat.

in. Tat der Umfang s eines Violecks gegeben, so nimmt
der grösste Inhalt desselben immer mehr zu, je grösser die
Seitenzahl m ist, so dass er ein Maximum Maximorum* wird,
wenn man die Seitenzahl unendlich gross annimmt, d.h. wenn
das Vieleck in einen Kreis übergeht.

Allgemeine Anmerkung.
9. Das Bisherige genügt, um zu zeigen, wie der Gegenstand nach
der gegenwärtigen Beweisart sich behandeln lässt. Von hier an kann man
in den Gang der ersten Beweisart einlenken, indem man vorerst die All-
gemeinheit des letzten Satzes (8, III) nachweist und ihn sodann, wie dort,
zum Hauptsätze macht. Mittelst der vorstehenden Sätze lässt sich leicht
zeigen: „dass der Kreis anter allen möglichen Figuren von

lieber Maximum und Minimum. 255

Dritte Beweisart.

Für die ebenen Figuren.

Die Eigenthümlichkeit dieser Beweisart besteht darin, dass alles aus
einem einzigen einfachen Hülfssatze abgeleitet wird. Ich beschränke mich
jedoch dabei bloss auf einige Sätze, nämlich auf die Ableitung der beiden
Fundamentalsätze in der ersten Abhandlung (No. 3 und No. G), sowie auf
die Darstellung einiger Sätze, welche, wie man weiter unten sehen wird,
bei stereometrischen Figuren in analoger Weise stattfinden.

Fundamen talsatz.

10. Unter allen Perpendikeln, welche aus einem gege-
benen Puncto A auf alle durch einen anderen gegebenen
Punct B gehenden Geraden gefällt worden, ist dasjenige ein
Maximum, welches in die Gerade AB selbst fällt. Oder:

Unter allen Sehnen eines Kreises, welche von demselben
Puncto A ausgehen, ist der Durchmesser AB ein Maximum.

Denn im rechtwinkligen Dreieck ist die Hypotenuse grösser als jede
Kathete — und daraus folgt der Satz.

Bemerkung. Zunächst folgt aus diesem Satze der zweite Funda-
mcntalsatz in der ersten Abhandlung (6). Denn ist AB die eine ge-
gebene Seite des Dreiecks und BC die andere, deren Lage beliebig sein
»soll, 80 wird der Inhalt mit dem Perpendikel aus A auf BC zugleich ein
Maximum.

11. Unter allen Dreiecken über derselben Grundlinie und
Ton gleichem Inhalte hat das gleichschenklige die kleinste
Schenkelsumme oder den kleinsten Umfang.

Beweis. Seien ACB und ADB (Taf. XII Fig. 5) zwei Dreiecke
über derselben Grundlinie AB und von gleichem Inhalte; sei das erste
gleichschenklig, also

AC = BC oder a = b.

Auf diesen gleichen Schenkeln errichte man in ihren Endpuncten A und B
die Perpendikel AM und BM^ so entsteht ein zweites gleichschenkliges
Dreieck AMB, indem

AM= BM= r

ist Für die Inhaltssumme beider gleichschenkligen Dreiecke oder für den
Inhalt des Vierecks MACB hat man

MACB — ir(a-f-i).

Fällt man aus M auf die Schenkel

AD = a, und BD = b.

256 Vehat Maximum und Vinimum.

des uDgleicKächonkligen Dreiecks ADB Porpcndikel, so ist jedes kleiner
als r (10); man bezoichno dieselben beziehlich durch r — ;c und r — y, so
hat man für die Inhaltssumme der Dreiecke AMB nnd ADB oder lür
den Inhalt dos Vierecks MADB

MADB = \(f-ä)a,+l,(r-y)b, = irK+'J-l«--*»»,-
Die Vierecke MACB und MADB haben aber gleichen Inhalt, daher ii<t

und folglich

a-\-b <i a,-HÄ,,
d. h. die Schenkelsumme des gleichschenkligen Dreiecks ist kleiner al^
die ii^end eines anderen. — (Bekanntlich gicbt es einen viel einfacheren
Beweis.)

12. Unter allen Dreiecken über derselben Grundlinie und
von gleicher Schcnk'clsummc hat das gleichschenklige den
grössten Inhalt.

Beweis. Denn haben die, Dreiecke ACB und ADB (Taf. XII Fig. 6),
wovon das erste gleichschenklig sein soll, gleiche Schenkelsurame, ist also

a-\-b = a^-i-b,,
so folgt aus dem vorigen Beweise, dass

<«+4) > r(a,+J,)-;.a,-yJ„
oder Viereck MACB > MADB und folglich auch Dreieck
ACB > ADB.
Dieser Satz liesse sich auch indircet aus dem vorigen ableiten.
Er ist, wie man sieht, der erste Fundamcntalsatz in der ersten Ab-
handlung (3).

lieber Maximum und Minimum. 257

Schenkel zusammen der gegebenen Summe 2s gleich sind, also

2a-\-2b = 2$ oder a+6 = s;

seien femer die Dreiecke so beschaffen, dass die in den Endpuncten der
Grundlinien auf den Schenkeln errichteten Perpendikel AMy BM und DNy
ENy jedes Paar bis zu ihrem gegenseitigen Durchschnitte M und N ge-
nommen, bei dem einen Dreieck so gross sind wie bei dem anderen,
also dass

^ AM=BM=DN=EN=r.

Alsdann hat man für die Inhaltssumme der beiden Vierecke MACB und
NDFE (11)

MACB+NDFE = r(a+ J) = rs.

Nun denke man sich über den gegebenen Grundlinien irgend zwei andere

gleichschenklige Dreiecke ^C,ß und DF^Ey deren Schenkel beziohlich

gleich a, und b^ sein mögen und der Bedingung der Aufgabe genügen,

so dass

a,-hÄ, = ö+Ä = s,

wobei also entweder

oder

a^ > a und 6, <: J,

a, < Ä und 6j > 6,

80 sind die Perpendikel aus M und N auf die Schenkel der neuen Drei-
ecke kleiner als r; man setze dieselben beziehlich gleich r — a und gleich
r — y, so hat man für die Inhaltssumme der Vierecke MAC^B und NDF^E

MAC^B'\-NDF^E=(r—x)a^'\-(r—y)b^ =r8—aa^—yb^.

Wie man sieht, ist diese Summe kleiner als die vorige. Werden von
jedem Paar Vierecke die beiden Dreiecke ^jWB und DNE fortgenommen,
80 folgt für die Summen der übrig bleibenden Dreiecke, dass

ACB+DFE > AC,B+DF,Ey

d. h. dass die Inhaltssumme der Dreiecke AGB und DFE grösser ist

als diejenige irgend zweier anderen Dreiecke, welche denselben gegebenen

öedingongen der Aufgabe genügen.

14. Die Lösung der vorstehenden Aufgabe (13) liefert uns einen
Satz, der sich auf nachfolgende drei Arten aussprechen lässt:

I. Sind die Grundlinien zweier Dreiecke nebst der Summe
ihrer vier Schenkel gegeben, so ist die Summe ihrer Inhalte
clann ein Maximum, wenn beide Dreiecke gleichschenklig sind, .
Und wenn die in den Endpuncten der Grundlinien auf den
Schenkeln errichteten Perpendikel, bis zu ihrem gegenseitigen
Durchschnitte genommen, bei dem einen Dreieck so gross

8ind als bei dem anderen.

Steiner't Werk«. II. 17

258 Uebar HaiiDram und HinimuiD.

Wenn mau in don beiden Dreiecken AGB aad.DFE, welcbe dem
$atze genügen, aus den Mitton der Schenliel auf denselben Perpendikd
errichtet, so sind diese, bis zu ihrem g^enseitigen Durchechnitte ge-
nommeu, in dem einen Dreieck so ^bs als in dem audereu, nämlich m
sind gerade die Hälfte der oben durch r bezeichneten Perpendikel (13)
Daher kann der Satz auch so ausgesprochen werden:

II. Die Inhaltssumme der in Betracht stehenden Drei-
ecke ist ein Maximum, wenn die aus den Mittelpnncten der
den Dreiecken umschriebenen Kreise auf die Schenkelge-
fällten Perpendikel in beiden Dreiecken gleich sind, oder
wenn die Kreise, welche die Schenkelpaare in ihren Mitten
berühren, einander gleich sind.

Zieht man die Geraden MC und NF (Taf. Xtll Fig. 7), so ist
Winkel

und da

so ist

^ o, p, = p

... DE

und smB, = ->,— ,

AB ; DE = sino, : sinß, = aina : sinß,
das heisst:

in. Die beiden Dreiecke, deren Inhaltssummje ein Maxi-
mum ist, haben die Eigenschaft, dass ihre Grundlinien sich
verhalten wie die Sinus der daran Hegenden Winkel a und ß.

Diese Eigenschaft (III) thoilt Lhuüier in seinem Werke (Z>e relatime
mutua capackatis et terminorum ßgurarum etc.) mit, bemerkend, dass er
sie durch Differentialrechnung gefunden habe; er schien an der Möglich-
keit eines elementar -geometrischen Beweises zu zweifeln. Durch seine

(Jeher Maximum und Minimum. 259

Beweis. Dass bei jedem der beiden Vielecke alle nicht gegebenen
Seiten einander gleich sein müssen, folgt aus No. 12; dass aber jedes
einem Kreise eingeschrieben sein muss, kann hier, als aus den beiden
vorhergehenden Beweisarten bekannt vorausgesetzt werden (da wir die
Entwickelung der gegenwärtigen oben (13) abgebrochen haben).

Werden von den beiden Vielecken durch Diagonalen, welche die
Endpuncte irgend zweier auf einander folgenden, nicht gegebenen Seiten
verbinden, zwei Dreiecke abgeschnitten, und werden diese Diagonalen, als
Grundlinien der Dreiecke, sowie die Summe der vier Schenkel als ge-
geben angesehen, so muss die Inhaltssumme der Dreiecke ein Maximum
sein; und demzufolge müssen die in den Mitton der Schenkel auf diesen
errichteten Perpendikel, bis zu ihrem Durchschnitte genommen, einander
gleich sein; diese Durchschnitte sind aber offenbar die Mittelpuncte der
den Vielecken umschriebenen Kreise, und somit zwei feste Puncto —
woraus die Richtigkeit des Satzes folgt.

Der Satz kann fer&er auch, analog dem obigen Satze No. 14, III,
wie folgt, abgefasst werden:

n. Die Inhaltssumme der beiden Vielecke kann nur
dann ein Maximum sein, wenn jedes einem Kreise einge-
schrieben ist, und in jedem alle nicht gegebenen Seiten gleich
sind, und wenn ferner zwischen den gegebenen Grundlinien
ABy DE und den daran liegenden Winkeln a, ß die folgende
Proportion (Gleichung) stattfindet

. m — 1 . n — 1 ^
AB:DE=- ^-^ : ^=?- ,

cos TT a cos s ß

m — 2 n — 2 ^

wo m und n die Seitenzahlen der Vielecke bezeichnen.

16. Bemerkung. Es ist klar, dass der vorstehende Satz (15) in
ähnlicher Weise für beliebig viele Vielecke stattfindet, wenn respectivc
ihre Seitenzahlen, ihre Grundlinien und die Summe aller ihrer übrigen
Seiten zusammengenommen gegeben sind; denn die Summe ihrer Inhalte
kann nur dann ein Maximum sein, wenn die Perpendikel, welche aus den
Mittelpuncton der 4^n Vielecken umschriebenen Kreise auf die nicht ge-
gebenen Seiten gefallt werden können, in allen gleich sind. Wird bei
einem der Vielecke die Seitenzahl unendlich gross vorausgesetzt, so geht
dasselbe in ein Kreissegment über, dessen Radius alsdann den Perpen-
dikeln in den übrigen Vielecken gleich sein muss. Dadurch gelangt man
also auch zu den Sätzen über Kreissegmente, welche in der ersten Ab-
handlung bewiesen worden sind (No. 52 und No. 54); und zwar stellen
sieh diesfelben hier nur als besondere Fälle dar. Dagegen scheinen sich

17*

2()0 üeber Maximain und Hininium.

die jj^cgcnwärti^cu allgcmeinorcD Sätze nach kcinor der übrij^n Beweia-
arteii leicht l>owei.<>eii zu lassen.

Vierte Beireifurt.

Für «lic ebenen Figuren.

17. Hülfssätze. I. Unter allen Linien zwischen zwei ge-
ttobenon Puncten ist die Gerade ein Minimum (die kürzeste).

I[. Die Summe je zweier Seiten eines Dreiecks ist grösser
al.s die dritte Seite.

Fandnmentiilsatz.
IS. [. Bio Gerade CD aus der Spitze C eines Dreiecks
ACn nach der Mitte D der Grundlinie AB hälftet die Fläche
des Dreiecks und ist kleiner als die halbe Summe der Schen-
kel, also

2CD < AC-\-BC.
Der letzte Theil dieses Satzes folgt aus No. 17, II. Denn man v«-
liingere CD über D hinaus, nehme darauf den Punct C, so, dass

DC,=CD
und ziehe die Gerade AC^, so ist

AC, = BC,
und im Dreieck CAC^ ist

CA+AC, > CC„
also ist auch

CA + CB > 2CD.
II. Die Gerade dD, welche die Mitten d und D der paral-
lelen Seiten ab und AB eines Paralleltrapezes AabB ver-
bindet, hälftet die Fläche desselben und ist kleiner als die

Ueber Maximum und Minimum. 261

diesen Linien Gerade xy den Grundlinien parallel, so ist der
Ort ihrer Mitten z irgend eine bestimmte Linie Cy welche die
Fläche der Figur hälftet, und welche im Allgemeinen kleiner
ist als die halbe Summe der Linien a und 6. Nur in dem
besonderen Falle, wo die Transversale xy constant ist, wird
c der halben Summe von a und b gleich, und zwar ist dann

c = a = J.

Denn denkt man sich die Transversalen xy in sehr kleinen Abständen
auf einander folgend, so können die zwischen ihnen enthaltenen Theile
tlor Linien a und b als geradlinig, und somit das zwischen je zwei auf
einander folgenden Transversalen befindliche Flächeneloment als Parallel-
trapez angesehen werden; für jedes dieser Trapeze findet aber der Satz
statt (18, II), daher auch für ihre Su^ime, d. i. für die ganze Figur.

ßemerkung« Der vorstehende Satz bleibt bestehen, wenn insbe-
sondere die eine Grundlinie CD gleich 0 wird, wie in Fig. 8ä auf Taf. XIII;
ebenso wenn beide Grundlinien AD und CD Null werden, wie in Fig. &?
Ulf Taf. XIII.

20. Soll zwischen den unbegrenzten Schenkeln eines ge-
ebenen Winkels eine Linie von gegebener Länge gleich L,
her willkürlicher Form, so gezogen werden, dass der be-
rciizte Kaum ein Maximum sei, so kann sie nur ein Kreis-
ogen sein, dessen Mittelpunct im Scheitel des Winkels liegt.

Beweis. Sei ACfi (Taf. XIII Fig. 9) der gegebene Winkel. Nehmen
kir an, die Linie ADB habe die gegebene Länge gleich L und sei so
leschaffen, dass sie den möglich grössten Raum begrQUÄt, so folgt zu-
lächst, dass sie, sowie die ganze Figur CADBCy durch die den Winkel
J liälftende Gerade CD in zwei congruente Hälften getheilt wird, so dass
\D und BD oder a und b congruent und namentlich

CA = CB

st. Denn wäre dies nicht der Fall, so gäbe es immer eine zweite Figur
[A^DB^C die jener CADBC durchaus gleich wäre, nämlich die mit ihr
'zusammenfiele, wenn man sie um die Gerade CD herumbewegte, so das^
ilso die Linie

A^DB^ = ADB
und einzeln

sowie auch die Räume ADB^ und A^DB congruent wären. Ferner gäbe
c^s sodann eine Linie DE oder c, welche, als Ort der Mitten aller zwischen
den Linien a und \ mit der Grundlinie AB^ parallel gezogenen Geraden,
ilen Raum ADB hälftete, so dass

2c < a+6, oder 2c < a-\-b

262 Ueber Uaximum und Hinimuin.

wäre (19); und cljeii»u wiirdo der Raum A^DB durch eine gleiche Linie
/>/' gleich c gehiilftet, mo dass al.so die Figur CEDFC mit CADBC glei-
uhcu Inhalt hätte, oliHchon die Linie EDF kleiner als ADB, nämlicli
2t<;«H-A, wäre. Dieses widerspricht aber der obigen Annahme, das*
die Linie ÄDIi den möglich grösston Kaum bügrenjit (indem eine Linie,
diu grüsser ist als EDF, offenbar auch einen grösseren Kaum begrenzen
kann als diese). FolgUdi müssen die Thoilo a und b der Linie ADB 'S
congnicnt und

CA = CB
Hein, oder die ganze Figur CADBC muss durch die Gerade CD in zweif «i
uungruento llälftep CADC und CBDC getheilt werden.

Nun folgt für diese llülften CADC und CBDC in gleicher Weise,^ ^=3,
(lass Hie durch die Geraden CG und CH, welche ihre Wiukel ACD undK=».d
BCD hiilftou und die Linien a und b in den L'unGten.G und U (fefie«=K «d
(diese Puncto und Jene Geraden sind in der Figur nicht gezeichnet), Idck Jn
congmente Thoilo getheilt worden, welche alle eiuandcr gleich imd somiS'.äJt
Viertel der ganzen Figur sind, so dass also

CA = CD = CB
sein muss. Diosolben Schlüsse sind weiter auf diese vier Viertel an- m-K.ü-
w(;mlbar, wodurch folgt, dass

CA = CG = CD = CB = CB;
u. s. w. Dies berechtigt zu dem Schluss, dass alle Puncte der Linie ADE^~ *^
gleich weit vou dorn Scheitel C entfernt sein müssen, van die Bi-hinptun j »"*>g
des Satzes ist.

21. Mit dem letzten Satze (%)) lönncn wir die gegenwärtige Beweis-** J«-
art beendigen. Er ist in der Art umfassend, dass alles Weitere aus ihnr^^*-^
folgt. Nümlieh zunfichst folgen aus Ihm die Sätze über den Ualbkroii^ ' "''
•und über den ganzen Kreis, wenn der gegebene Winkel C boziehliclrC ^*''
gleich 7t und 2n angenommen wird. Sodann folgen die Sätze über da^s-^^^
Kreissegment, über Krelsstucke, Vielecke, u. s. w. ingleicher Weise wii^-* ''^
in der ei-steii Abhandlung *).

Ueber Maximum und ifinimum. 263

Oder man kann auch statt des Satzes (20), oder, vor demselben, den
Satz vom Kreise aufstellen und z. B., wie folgt, beweisen.

Unter allen ebenen Figuren hat der Kreis bei gleichem
Umfange den grösston Inhalt und bei gleichem Inhalte den
kleinsten Umfang.

1. Beweis. Man denke eine Figur, die bei gegebenem Umfange den
möglichst grössten Inhalt haben soll. Jede Gerade AB gleich a, welche
ihren Umfang in zwei gleich lange Theile a und ß theilt, muss auch ihre
Pläche hälften, so dass aa und aß von gleichem Inhalte sind; denn wäre
Jtwa

aß < oa,

o könnte man über der festen Sehne a statt der Linie ß eine der a
y in metrisch gleiche Linie a, nehmen, und dann wäre die Figur aa, bei
;l<?ichem Umfange grösser als aß, was der Voraussetzung widerspräche;
ülglich muss

(fß = oa

ein. Wäre nun ferner ß verschieden von a,, so gäbe es zwischen ß und
:, eine dritte. Linie y, welche kleiner als i(ß-f-a,), und somit kleiner
lIs ß, aber wo dennoch

a-jf = aß = aa^

väre (19), was offenbar wiederum der Annahme widerspräche. Folglich
LÖimcn ß und a, nicht von einander verschieden sein, d. h. es muss ß
yniraetrisch gleich a, und somit a eine Axe der Figur sein. Da die
Dichtung dieser Axe beliebig ist, so folgt leicht, dass die Figur ein Kreis
ein muss.

2. Beweis. Von der, wie vorhin, bei gegebenem Umfange möglichst
;r4)8s vorausgesetzten Figur schneide man mittelst einer beliebigen Sehne a
in Segment aa ab, denke sich dasselbe zugleich in einer zweiten Lage
II die es gelangt, wenn es um die in der Mitte auf der Sehne senkrechte
iorade herumbewegt wird. In dieser zweiten Lage des Segmentes heisse
ein Bogen a, . Fiele a, nicht mit a zusammen, so wäre zwischen beiden
ine dritte Linie ß von der Beschaffenheit möglich, dass, während

2ß <: a+a, oder ß <: a,

»abei ist die Gerade />/>, parallel AB, und wenn F ihre Mitt^j ist, so ist die Gerade
JF seukrecht auf AB. In Ansehung des Dreiecks DADf ist nun ,

2AF < AD+ADi (18,1);
ind da

2AC:=AD + BD = AD + ADi,
.0 ist

AC > AF;

laher muss C oberhalb F liegen, und folglich «las Dreieck 'AGB grössere llöhe und
omit auch grosseren Inhalt haben, als das Dreieck ADB oder AD^B,

Ueber Haximum und Hinimum.

deiiuotih das Segment

(19),

. was oiTcubar der Voraussetzung widerstritte. Folglich muss a, ganz ut
a falloii, und es mass a eine in Rücksicht der gonanDteü Senkrechten
»ymino tri sehe [Jnie sein. Daraus folgt weiter, dass die Figur ein Krei«
sein musiä. — Oder werden durch zwei gluicho Seimen a und 6 au be-
liebigen Stellen zwei Segmentfl aa und iß abgoschnitton , so folgt «u
gleichen Gründet) (wenn man die Segmente auf einander legt), dass die
Bogen a und ß gleich sein müssen; was wiederum die Natur des Kreises
anzeigt.

Fünfte Beweisart

Für die ebenen Figuren.

Diese ßewoiKart beruht auf dem Priiicip der Symmetrie. Das Maxi-
mum und Minimum wird dadurclt auf intercs.saute Weise von einer neuen
Seite, nach seiner oigeuthümlichen Erscheinung in der äusseren Form der
Figur beleuchtet

Pundamentalsati.
22. I. Jedes ungleichschenklige Dreieck ACB (Taf. XIII
Fig. lU) lasst sich in ein anderes (gleichschenkliges) ticO von
gleichem Inhalte und gleicher Grundlinie

a& = AB

verwandeln, welches kleinere Schonkelsumme hat und in Be-

zuff auf eine bestimmte Axe X, die durch die Spitze c und

lieber Maximum uml Miuimum. 265

Wenn im zweiten Theile (II) die gegebenen Seiten insbesondere ein-
ander gleich sind,

AB = DE,

so ist ÄDEB ein Parallelogramm und cuhb ein Rechteck; der Satz bleibt
offenbar auch für diesen Fall gültig.

23. Infolge des vorstehenden Satzes kann nun jedes gegebene con-
vexe Polygon P in ein anderes Polygon P, von gleichem Inhalte ver-
wandelt werden, welches kleineren Umfang hat und in Bezug auf irgend
eine Axe X symmetrisch ist. Dies mag durch folgende Beispiele an-
»scliaulich gemacht werden.

1) Es sei das gegebene Polygon zimächst ein Dreieck ABC (Taf. XIII
Fig. 11). Aus den Ecken desselben lalle man auf eine beliebige Axe X
Perpendikel Aa, Bö, Cc, trage das Stück BD des einen, welches inner-
halb des Dreiecks liegt, symmetrisch auf die Axe X, d. h. so, dass

bd = BD und be = ed,

i>o hat das symmetrische Viereck abcd mit dem Dreieck ABC gleichen

Inhalt, aber kleineren Umfang. Denn vermöge der Construction haben

i^owohl die Dreiecke BAD und bad, als BCD und Ud gleichen Inhalt,

aber es ist

ab-\-ad < AB-\-AD
und

€b-\-cd < CB+CD (22, 1),

woraus die Behauptung folgt.

Mittelst einer neuen Axe F,- welche zur vorigen X senkrecht ist,
kann weiter das Viereck abcd auf gleiche Weise in ein anderes Viereck
aß-^S von gleichem Inhalte, aber von noch kleinerem. Umfange verwandelt
werden, welches in Rücksicht beider Axen symmetrisch, daher gleichseitig
(also eine Raute) ist und den Durchschnitt p. der Axen zum Mittelpuncte hat.

Demnach kann jedes gegebene Dreieck ABC mittelst zweier zu ein-
ander rechtwinkligen Axen X und Y in eine Raute aß^S von gleichem
Inhalte aber kleinerem Umfange verwandelt werden. Dies kann aber auch
mittelst einer einzigen Axe X geschehen; denn wenn die Fläche des Drei-
ecks ABC durch das Perpendikel BDe gehälftet wird (wenn D die Mitte
der Seite AC ist), so ist abcd eine Raute.

2) Es sei femer das gegebene Polygon P etwa ein Fünfeck ABCDE
(Taf. XIV Fig. 12), so wird es durch ein gleiches Verfahren mittelst einer
Axe X in ein Achteck abe^cdc^eb^ verwandelt, welches vermöge der cor-
respondirenden Dreiecke und Paralleltrapeze nach No. 22 gleichen Inhalt
aber kleineren Umfang hat. — Durch eine zu X senkrechte neue Axe Y
wird dieses Achteck in ein Zwölfeck von gleichem Inhalte verwandelt,
welches abermals kleineren Umfang und zudem den Durchschnitt der
beiden Axen zum Mittelpuncte hat.

2G6 Ueber Maziraum und' UiuiiDum. 1

3) Auf glüiche Weiso wird jede« gegebuno, convexo Polygoo P von
M Seiten mittelst oiuur eratcu Axo X, iii ein symmetrisches Polygon P,
von gloiohetn Inhalte aber kleinerom Umfange vorwandelt, welches im All-
■(cmeiQeu und höchstens 2m — 2 Seiten hat; feraor mittelst einer zwcit«n
licliei>igon Axe X, in ein symmetrischos Polygon P, von höGhst«ns 2(2w»-2)-^ —
leiten; und tährt man so fort, so gelangt man mittelst der nf™ Äxe X,^^m,
zu cinom symmetrischen Polygon /'«'von höchstens 2'(m — 2)+2 Seiton,.^ ,

wolchos bei gleichem Inhalte kleineren Umfang hat als jedes vorher

gehende.

Wßnn oino Axo zu der ihr vorhergehenden senkrecht angenommenst-^
wird, z. n. fronn X^ und X, sonkrocht ist, so hat das Polygon P, etnen^Kzzi
Mittclpunct C (der Durchschnitt der beiden Axon), abor höchstens duiz^^
2(2/« — 4) Selten; und alsdann hat auch jedes folgendo Polygon /*,, P„ ...P^^
einen Mittclpunct C und zwei zu oinand^sr senkrechte Symmetral-Axen_,^
man mag dlo späteren Axen X„ X^, ... X, annehmen, wie man will,

24. Diese Beispiele zeigen, wie jedes gegebene convoxe Polygon p-^
sich in ein anderes Polygon i*, von gleichem Inhalte aber kleinerem Um-
fange und grösserer Sottonzahl verwandeln liÜMt Wird die Verwandlung
oft wiederholt, so kann die Seitenzahl sehr gross und jede Seite einzeln
sehr klein werden, so dass zuletzt, wenn man die Vorwandlungen bis im*
Unendliche fortgesetzt denkt, die Zahl der Seiten unendlich gross und jede
Seite unendlich klein wird, wodurch das' Polygon P, sich irgend einer
Turve nähert, oder vieliiiohr schlechthin in eine solche übci^eht.

Da in gleichem Sinne umgekehrt jede gogubeue geschlossene convexo
Curvc /' als Polygon mit unendlich vielen uiiendiiuh kleinen Seiten anzu-
sehen ist, so kann dicselbo auch durch da.s nämliche Vorfahren mittelst
einer iieliebigen Axe X^ in eine andere Curve P, von gleichem Inhalte
aber kleinerem Umfange verwandelt werden, welche in KScksicht der Axe
X, symmetrisuh ist. Ebenso gelaugt man mitt«lst einer zu X, senk-

lieber Maximum und Minimum. ' 267

Demnach kanu jede geschlossene, convexe Figur P, mag sie von
geraden oder krummen Linien (oder von beiden Arten zugleich) begrenzt
sein, unter Beibehaltung ihres Inhaltes, so 'lange verwandelt und dadurch
ihr Umfang verkleinert werden, wie sie nach irgend einer Richtung keine
8ymmetral-Axe hat. Hätte aber die Figur nach jeder beliebigen Richtung
eine Symmetral-Axe, oder würde sie nach einigen Verwandlungen in diesen
Zustand gebracht, so bliebe alsdann bei allen folgenden Verwandlungen
ihr Umfang sowohl als der Inhalt constant, oder vielmehr, es lande dann
keine Verwandlung mehr statt, sondern die neue Figur würde stets der
alten gleich sein.

Eine solche Figur aber, welche nach allen Richtungen Symmetral-
Axen hat, muss nothwcndig einen Mittelpunct C haben, in welchem sich
iUle Axen schneiden (denn derselbe wird nach dem Obigen schon durch
irgend zwei zu einander senkrechte Axen bedingt). Ferner müssen alle
Axen einander gleich sein. Denn seien X, Y (Taf. XIV Fig. 13) irgend
zwei Axen der Figur und sei Z diejenige Axe, welche mit ihnen gleiche
Winkel bildet, also

a = ß,

so muss dem Endpuncte A der Axe X in Rücksicht der Axe Z ein sol-
cher Punct D entsprechen, welcher sowohl im Umfange der Figur P, als
in der Axe Y liegt; folglich muss D Endpunct der Axe Y sein, und folg-
lich müssen die halben Axen CA und CD (und ebeaso die ganzen AB
und DE) einander gleich sein. Demzufolge kann es nur eine einzige
solche Figur geben, welche nach jeder Richtung eine Symmetral-Axe hat,
und diese Figur ist der Kreis.

25. Aus der vorstehenden Betrachtung schliesst man zunächst den
folgenden

üauptsatz.

Unter allen Figuren von gleichem Inhalte hat der Kreis
den kleinsten Umfang; und umgekehrt: unter allen Figuren von
gleichem Umfange hat der Kreis den grössten Inhalt.

Deim man denke sich eine Figur P, welche bei gegebenem Inhalte
den möglichst kleinsten Umfang habe, so muss dieselbe nach allen Rich-
tungen symmetrisch und folglich ein Kreis sein. Denn wäre sie nach
irgend einer Richtulig nicht symmetrisch, so liesvse sie sich mittelst einer

struire man die Gerade

. r = ]/ab,

trajje sie als Ualbmesser in die Ellipse ein und nehme X darauf senkrecht an, dann
wird die neue Figur Py ein Kreis sein. Da r nach zwei verschiedenen Richtunpfen sich
als Halb^nessor in die KUipso eintragen lässt, so kann die Axe X auch in zwei ver-
schiedenen Richtungen der Forderung genügen.

Uiber MmimuDi und MinimuDi.

ilicMcr Richtung cnbiprecIicDden Äxe X iii eine andere Figur P, von glei-
chem Inhalte aber kleinerem Umfango verwandeln, wau der Voraussetzung
widcrspräche.

2G. In Kücksiclit der obigen Betrachtung (24) kann hier beiläufig
noch folgende Frage aufgeworfen werden:

Welche Form kann oino Figur möglicherweise haben, weno
sie zwei .Symmetral-Axen X und Y hat, die sich unter einem
beliebigen, gegebenen Winkel a schneiden, und von denen
jede dem Umfange der Figur in nur «wci Puncten begegnet?

Die Erörtomng dieser Frage llefort folgen<les Resultat: Die Figur hat,
ausser den beiden gegebenen, im Allgemeinen noch molir Axen, und zwar
entweder eine bestimmte endliche Anzahl oder unendlich viele, jenach-
dem beziehlicli a:it commonsurabel oder incommensurabol ist.

I. Wenn a-.it commcnRuralwl i.st, etwa gleich l:m, wo m eine ganze
Zahl ist, so hat die Figur im Ganzen m Symnictral-Axen , die einander
in demselben Puncto C schneiden, und deren Abschnitte, nach der Reihe
um den Punct C herum genommen, abwechselnd einander gleich sind*).
Der Umfang der Figur besteht aus 2m gleichen Theilen, nümlich zwischen
den nach gleicher Seite hin liegenden EndpuncUtn Je zweier unmittelbar
auf einander folgenden Axen liegt ein solcher Umfangstheil. Diese Theile
bleiben unbestimmt, d. h. einer derselben kann willkürlich angenommen
_ wenicn, kann eine beliebige gerade Linie oder Curvo sein, und dann sind
alle anderen durch ihn bestimmt, ihm gleich.

Uebrigens sind dabei noch zwei Fälle zu unterscheiden, ob die Zahl
iH gerade oder ungerade ist.

1) Ist m gerade, so ist V Mittelpunct der Figur und die m Axen
sind abwechselnd einander gleich.

2) Ist m ungerade, so sind alle Axen einander gleich, ihre Ab-
schnitte aber, in welche sie durch <len Punct C getheilt worden, sind

lieber Maximum und Miuimum. 209

Umfanges, und es ist

CP=CP,;

dem Puncto P, entspricht weiter in Rücksicht der Axe Y ein Punct Pj,

und es ist

CP, = CP, ;

ebenso entspricht dem Puncte P, vermöge der Axe X weiter ein Punct
P,, diesem wieder vermöge der Axe Y ein Punct Pj, u. s. w. bis ins Un-
endliche, Diese Reihe von Puncten erschöpfen den Umfang der Figur und
sind alle gleich weit vom Durchschnitte C der Axen entfernt, was beweist,
dass die Figur ein Kreis und C dessen Mittelpunct ist

Ton den Fignren im Banme.

Von den prismatischen Körpern.

27. Der Inhalt eines beliebigen Prismas ist gleich dem
Product aus der Grundfläche in die Höhe.

Die Seitenfläche eines senkrechten Prismas ist gleich
einem Rechteck, dessen Höhe und Grundlinie beziehlich der
Höhe des Prismas und dem Umfange der Grundfläche gleich
sind.

28. Unter allen Prismen über der nämlichen Grundfläche
und von gleicher Höhe hat das senkrechte die kleinste Seiten-
fläche oder die kleinste Oberfläche; und umgekehrt: unter allen
Prismen über derselben Grundfläche und von gleich grosser
Seitenfläche hat das senkrechte die grösste Höhe oder den
grössten Inhalt.

Ist die Grundfläche ein Polygon, so ist der Beweis dieses Satzes ein-
leuchtend, und ist sie eine Curve, mithin der Körper ein Cylinder, so folgt
der Beweis dadurch, dass man die Grundfläche als Grenze von ein- oder
umschriebenen Polygonen ansieht.

29. I. Unter allen w-seitigen Prismen hat das senkrechte
regelmässige die Eigenschaft, dass es

1) bei gleich grosser Grundfläche und gleicher Höhe die
kleinste Seitenfläche;

2) bei gleicher Seitenfläche und gleicher Höhe die grösste
Grundfläche und den grössten Inhalt;

3) bei gleich grosser Grundfläche und gleich grosser
Seitenfläche die grösste Höhe oder den grössten Inhalt; und
endlich

4) bei gleicher Seitenfläche und gleichem Inhalte die •
kleinste Grundfläche und die grösste Höhe besitzt.

270

Dober Haximuin und Hinimum.

U. Von zwei rcgelmääsigeD, senkrechten Prismen hat das-
jenige, welches grössere Seitenzahl besitzt,

1) bei gleich grosser Grundfläche und gleicher Höhe eine
kleinere Seitenfläche;

2) bei gleicher' Seitenfläche nnd gleicher Höhe eine
grösHere Grundfläche and grösseren Inhalt;

3) bei gleich grosser Grandfläche nnd gleich grosser
Seitenfläche eine grössere Höhe oder einen grösseren Inhalt;
und endlich

4) bei gleicher Seitenfläche and gleichem Inhalte eine
kleinere Grundfläche aber grössere Höhe.

lU. Unter allen prismatischen Körpern hat der senk-
rechte gerade Cylindor die Eigenschaft, dass er

1) bei gleich grosser Grundfläche and gleicher Höhe die
kleinste Seitenfläche;

2) bei gleicher Seitonfläche und gleicher Höhe die grösste
Grandfläche und den grösston Inhalt;

* 3) bei gleich grosser Grundfläche und gleich grosser
Seitenfläche die grösste Höhe oder den grösston Inhalt; and
endlich

4) bei gleicher Seitenfläche und gleichem Inhalte die
kleinste Grundfläche und die grÖsste Höhe besitzt.

Beweis. Zofoige des Satzes No. 28 hat man es in allen Fällen nnr-
mit senkrechten Prismen zu thun. Unter dieser Voraussetzung lassen sich
die einzelnen Fälle, wie folgt, beweisen;

I. 1) Da die Seitenfläche gleich einem Rechteck, dessen Höhe nnd
Grandlinio beziehlich dor Hohe des Prismas and dem Umfange seiner
Grundfläche gleich sind (27), und da diese Höhe gegeben ist, so wird
folglich die Seitenfläche mit dem Umfange der Grundfläche gleichseitig
ein Minimum; dies tritt aber ein, wenn die. Grundfläche regelmässig ist

2) Da die Höhe und die Seiteufläche g^ben sind, so ist dadnrch
auch der Umfang der GroodfläGhe bekannt, welche also aro grössten wird.

lieber Maximum und Minimum. 271

einen Augenblick den Inhalt der Grundfläche gegeben, so ist ihr Umfang
am kleinsten, und daher der Quotient am grössten, wenn die Grundfläche
regelmässig ist; für jedes regelmässige Polygon aber ist der genannte
Quotient dem Radius des eingeschriebenen Kreises gleich, und wird somit
mit dem Inhalte des Polygons gleichzeitig kleiner oder grösser; folglich
kann nur bei einer einzigen bestimmten, regelmässigen Grundfläche B der
Quotient jenem gegebenen Quotienten q gleich werden. Da nun jede andere
Grundfläche, mag sie regelmässig sein oder nicht, welche kleiner als B ist,
auch einen kleineren Quotienten als diese hat und somit unzulässig ist
(weil der Quotient gleich q sein muss), so ist folglich B unter allen mög-
lichen Grundflächen die kleinste.

Man kann auch, wie folgt, schliessen: Zuvörderst bemerke man, dass
der Inhalt eines senkrechten, regelmässigen Prismas gleich
ist dem halben Product aus der Seitenfläche in den Radius
des der Grundfläche eingeschriebenen Kreises. Nun sei P irgend
ein Prisma mit dem gegebenen Inhalte und der gegebenen Seitenfläche,
imd femer sei P^ ein senkrechtes, regelmässiges Prisma mit respective
gleich grosser Seitenfläche und Grundfläche; so ist zufolge des Falles 3)

Soll nun P, bei gleicher Seitenfläche kleiner werden, bis

P = P

so muss der Radius seiner Grundfläche, und somit diese Grundfläche selbst
al)nehmen, woraus wiederum die Wahrheit des Theorems folgt.

IL Hier folgt der Beweis für alle vier Fälle aus den vorigen (I),
wofern man dabei den Satz No. 26 in der ersten Abhandlung berücksichtigt.

in. Diese Fälle sind eine unmittelbare Folge der vorigen (II).

Bemerkung. Wie die vorstehenden Sätze gewissermassen auf die
früher betrachteten Eigenschaften ebener Figuren sich gründen, ebenso
lassen sich viele andere Sät^e über Prismen aus entsprechenden Sätzen
über ebene Figuren ableiten; so z. B. kann fast die ganze Reihe von
Sätzen, welche in der ersten Abhandlung über ebene Figuren enthalten
sind, unmittelbar auf senkrechte Prismen von gegebener Höhe, welche die
genannten Figuren zu Grundflächen haben, übertragen werden; u. s. w.
Indessen sind diese Sätze keine eigenthümlich stereometrischen, weshalb
ich mich mit ihrer blossen Andeutung begnüge.

30. Unter allen vierseitigen Prismen hat der Cubus die
Eigenschaft, dass er bei gleicher Oberfläche den grössten
Inhalt, und bei gleichem Inhalte die kleinste Oberfläche hat.

Denn man denke sich ein vierseitiges Prisma, welches bei gegebener
Oberfläche den möglich grössten Inhalt haben soll, so muss dasselbe,
wenn man für einen Augenblick seine Seitenfläche und die eine Grund-

272

lieber Maximum und Hin.

fläche einstels als gegeben ansieht, senkrecht und regelmässig, also ein
Parallele pipedon mit quadratischer Grundfläche sein; und da Dun die
beiden übrigen Paare paralleler Seitenflächen auch als Grundflächen an-
gesehen werden können, so müssen sie ebenfalls Quadrate, imd fo^lich
der Körper ein Cubus sein.

Bemerkung. In Rücksicht auf spätere Betrachtui^n sind hierbei
folgende charaktctistischo Eigenschaften hervorzuheben:

I. Beim grössten vierseitigen Prisma mit gegebener Ober-
ririchc ist die Seitenfläche doppelt so gross als die Summe
Grundflächen , oder die Seitenfläche beträgt zvei
und jede Grundfläche ein Sechstel von der Ober-

boidcr

Drittel

fläche.

Dieses Prisma ist einer Kugel umschrieben, welche
jede seiner sechs Grenzflächen in ihrem Schwerpuncte berührt.

31. Wenn in der Folge gesagt wird:

1) Ein Polygon oder ein Polyeder sei der Gattung nach
gegeben, so soll dies heisson, es sei beim ersten bloss die Zahl der
Seiten, oder beim anderen die Zahl der Seitenflächen nebst ihrer Gattung
und Aufeinanderfolge (also auch die Zahl der Ecken nebst ihrer Gattung
u. s. w.) gegeben.

2) Ein Polygon oder ein Polyeder sei der Form nach ge-
geben, »0 soll dies heissen, es sei irgend einem gegebenen' Polygon oder
Polyeder ähnlich.

32. 1. Unter allen n-seitigen Prismen hat dasjenige senk-
rechte und regelmässige, dessen Grundfläche ein Sechstel
der Oberfläche ist, bei gleicher Oberfläche den grössten In-
halt, und bei gleichem Inhatte die kleinste Oberfläche. Auch
ist dieses besondere Prisma einer Kugel umschrieben, welche
Jede oiuzelne Fläche desselben in ihrem Schwcrpuncte be-
rührt.

II. Giebt man der Seitenzahl n nach der Reihe alle Warthe:,
3. 4, 5. 0. .-.. so haben die entsprochenden Prismen bei glc

Uebor Maximum und Minimum. 273

Man denke sich in Rücksicht des ersten Falles (I) zwei senkrechte,
regelmässige Prismen, ein n-seitiges Pn und ein vierseitiges Pj, beide in
solcher gegenseitigen Beziehung, dass sie dieselbe Höhe haben, und dass
ihre Grundflächen gleichen Kreisen (oder einem und demselben Kreise)
umschrieben sind. Dann verhalten sich die Inhalte der Prismen sowohl
als die Oberflächen und die Grundflächen wie die Umlange der letzteren.
Daher ist mit der Oberfläche von P« auch zugledch die Oberfläche von P^
gegeben, und wenn sodann, bei gleichzeitiger Aenderung beider Prismen,
der Inhalt von P. ein Maximum wird, so muss auch zugleich der Inhalt
von Pn ein Maximum werden, und dabei muss P« die im Satze ange-
zeigte Eigenschaft haben, weil P^ die analoge Eigenschaft (30) besitzt.

Der Beweis für die übrigen Fälle (11 und III) ergiebt sich nunmehr leicht.

33. Wenn die Grundfläche eines dreiseitigen Prismas der
Form nach (31), und wenn die Summe der beiden Grundflächen
und einer der drei Seitenflächen gegeben ist, so ist der In-
halt ein Maximum, wenn das Prisma senkrecht (oder wenn
nur die Grundflächen zu der genannton einen Seitenfläche
senkrecht), und wenn jode Grundfläche ein Sechstel von der
gegebenen Summe ist.

Beweis. Unter Voraussetzung senkrechter Prismen P, sei AGB
(Taf. XIV Fig. 14) die der Form nach gegebene, aber der Grösse nach
veränderliche Grundfläche; über der Basis AB stehe diejenige Seiten-
fläche, welche mit den beiden Grundflächen zusammen die gegebene
Summe S ausmacht; und endlich sei die Spitze C des Dreiecks zugleich
der Mittolpunct eines Quadrates DEFG, wovon die eine Seite DG mit
der Basis AB in derselben Geraden liegt, und welches die Grundfläche
eines senkrechten Prismas P^ sein äoll, das mit P, gleiche Höhe hat und
sich mit diesem gleichzeitig ändert. Dann verhalten sich die Prismen P,
und P^ sowohl, als ihre Grundflächen, wie die Basis AB zum Umfange
des Quadrates DEFG; und ebenso verhält sich auch der von P, ge-
gebene Oberflächentheil S zur ganzen Oberfläche von P^; so dass also
mit S auch zugleich die Oberfläche von P^ gegeben ist, und dass weiter
mit P^ auch gleichzeitig P, ein Maximum wird, woraus sofort die im
Satze genannte Eigenschaft folgt.

Der obige Satz lässt sich auch umkehren, nämlich: wenn statt der
Summe S der Inhalt des Prismas gegeben ist, so ist unter denselben Be-
dingungen die Summe S ein Minimum. — In gleicher Weise lassen sich
die meisten nachfolgenden Sätze umkehren.

34. Ist die Grundfläche eines w-seitigen Prismas der
Form nach, und ist die ganze Ober.flächo desselben gegeben,
so ist der Inhalt ein Maximum, wenn es senkrecht, und wenn
die Grundfläche ein Sechstel der Oberfläche ist.

Steiner's Werke. II. 18

274

Ueber Uaiimum und Uimmma.

Dor Beweis dieaea Satzes ergiebt sich mittelst des vorigen (33).
Nämlich man denke sich ausser einem senkrechten Prisma P«, dessen
Oruiidllücho H^ die gegebene Form liat, noch oin senkrechtes, dreiseitiges
l'risma I\ voo gleicher Höhe und gleich grosser Grundfläche; aoaserdcm j
sei die Gnindllncho ACB von P, so beschafTen, dass ihre Grundlinie AB ^

dem UmfaDge der Gnindltäche ß^ gleich ist, und zudem setze man fest, ^ ^

dass dieselbe ihre Form obenfalls nicht ändern soll. Dann haben die i^zjp
Prismen gleichen Inhalt, und die Summe S der beiden Grundflächen and .^Ü

der über AH stehenden Seit«nfläche des Prismas P, ist gleich der ge :.

gebencn Oberfläche von P,, woraus also nach No. 33 die Wahrheit ie^^^
Satzes folgt.

35. I. Ist die Oberfläche eines n-seitigen Prismas mii~ t
Ausnahme der einen Grundfläche gegeben, so ist der Inh&l'^ t
ein Maximum, wenn es senkrecht und regelmässig, nnd wem^^m
die Grundfläche halb so gross ist als die Seitenfläche.

Setzt man successivo

n = 3, 4, 5, 6, ...,
so haben die grösaten Prismen nach der Reihe immbr grössere^^m
Inhalt, so dass also der gerade Cylindor das Maximum Maxi
morum darstellt.

IL Ist der nämliche Theil der Oberfläche gegeben, nn^^^
ist zudem die Grundfläche der Form nach' gegeben, so ist de ->'
Inhalt des Prismas oin Maximum, wenn es senkrecht, dq^^- ^
wenn die Grundfläche halb so gross ist wie die Seitonflächt^^^

Beide Fälle folgen unmittelbar atis vorhergehenden Sätzen, wenn mnf *"
das Prisma als die eine Hälfte eines anderen Prismas ansieht, welche^^s*
von der Ebene der ausgeschlossenen (nicht gegebenen) Grundfläche go^^*"
hälftet wird, so dass also die andere Hälfte unterhalb dieser Fläche IiegV~2^

36, I. Ist die Oberfläche eines n-soitigen Prismas, aus ^^^'

Deber Maximum und Minimum. 275

die aasgenommene Seitenfläche gehälftot wird, und wenn die
Grundfläche ein Drittel von dem gegebenen Flächentheil ist.

n. Und wenn zudem die Grundfläche der Form nach ge-
geben ist, 80 wird das Prisma ein Maximum, wenn es senk-
recht, und wenn gleichfalls die Grundfläche ein Drittel des
jüjegebcnen Flächentheils ist.

In ähnlicher Weise kann man noch mehr Sätze aufstellen, wie z. B.
den folgenden Satz:

III. Ist die Grundfläche eines Prismas der Form nach,
und ist die Summe derselben und einer einzelnen Seiten-
fläche gegeben, so ist das Prisma ein Maximum, wenn die ge-
nannte Seitenfläche auf der Grundfläche senkrecht steht und
doppelt so gross ist wie diese.

Die übrigen Seitenflächen brauchen in diesem Falle nicht auf der Grund-
fläche senkrecht zu stehen, oder das Prisma braucht nicht senkrecht zu sein.

38. Man denke sich eine beliebige, dreiseitige, unbegrenzte, prisma-
tische Säule.

1) Wird dieselbe von beliebigen Ebenen, die den Kanten nicht
parallel sind, geschnitten, so sind die Schnitte Dreiecke -4, ß, C, ...,
deren Schwerpuncte a, 6, c, . . . alle in einer bestimmten Geraden Q
liegen, welche den Kanten der Säule parallel ist.

2) Fixirt man irgend zwei Ebenen, welche von der Säule einen
prismatischen Körper abschneiden und dessen Grundflächen A und B
bilden, so ist bekanntlich der Inhalt dieses Körpers gleich dem Producte
aus der einen oder anderen Grundfläche (A oder B) in das aus dem
Schwerpuncte (6 oder a) der anderen auf sie gefällte Perpendikel*). Da-
her folgt weiter:

3) Hflt man die eine Grundfläche, etwa A, in ihrer Lage fest und
lässt die andere B sich beliebig um den festen Punct b bew(%en, wobei
dieser stets Schwerpunct des veränderlichen Dreiecks B bleibt, so bleibt
der Inhalt des Körpers constant (weil die Grundfläche A und das aus b
auf sie gefällte Perpendikel sich nicht ändern); und umgekehrt, ist der
Inhalt des Körpers gegeben, so muss die Grundfläche B bei allen ihren
möglichen, verschiedenen Lagen, s4ets durch denselben festen Punct b
gehen, der immer ihr Schwerpunct ist. Die Grundfläche B und das aus
a auf sie gefällte Perpendikel müssen ihre Grösse gleichzeitig ändern,
aber im umgekehrten Sinne; nun wird das Perpendikel ein Maximum,
wenn es mit der festen Geraden ab zusammenfallt; daher muss die Grund-

*) Nämlich man sagt gewöhnlich, der Inhalt sei gleich dem Producte aus der einen
Grundfläche in ein Drittel der Summe der aus den Ecken der anderen Grundfläche auf
jene gefällten Perpendikel; die Summe dieser Perpendikel ist aber gerade dreimal so
gross wie das Perpendikel aus dem genannten Schwerpuncte.

18*

276

Ueber Haximum und Minimum.

Hiicho B in diesem Falle (wo sie uämlicli zu der Geradeo Q and somit
auch zu den Kanten der Säule senkrecht ist) ein Minimuin werden.

3Q. Von den über dio drciseitigo' Säule an|;;cgebenen Eigenschaften
(38) gelangt man atufcnwoisc leicht zu analogen Eigenschaften bei der
4, 5, 6, . . . n-seitigen Säule, mit Eioschluas des Cylindcrs; nämlich man ^
gelangt zu folgenden Sätzen:

1) Wird irgend eine unbegrenzte, prismatische Säule (m)t:::St
Einschluss des Cylinders) von beliebigen JEbenen, dio ji Im li^ i
den Kanten derselben nicht parallel sind, geschnitten, so ist^fr^t
der Ort der Schwerpancte o, 6, c, ... aller Durchschnitts — .
figuren A, B, C, ... eine bestimmte, den Kanten der Sanlr-M i.
parallele Gorade Q.

2) Irgend zwei der genannten Ebenen schneiden von de- r.
Säule einen prismatischen Körper ab und bilden dessen Grund _-
flächen, wie etwa ^ und B; der Inhalt dieses Körpers is -t
allemal gleich dem Froducte aas der einen oder andere:^ n
Grundfläche {A oder B) in das aus dem Schwerpancte (b oder (^iHi)
der anderen auf sie gefällten Perpendikel.

Begegnen sich die Grundflächen A und B innerhalb daa^r
Säule, so besteht der Körper aus zwei Theilen, wovon da^^r
eine als negativ anzusehen ist; und fallen dabei die Schwe^^K-
puncte a und b der Grundflächen zusammen, so sind dies-^s^e
Thcile gleich gross und somit der Inhalt des Körpers gleich C^iOi
weil nämlich die genannten Perpendikel Null werden.

3) Hält man die eine Grandfläche A fest, während di..^Bie

andere B sich um ihren Schwerpunct b beliebig bewegt (du ^^

dabei immer ihr Schwerpunct bleibt (I)), so bleibt der InhaLff^ '^
dos Körpers constant; und umgekehrt: ist die feste Grivdfläoh -*=**
Ä (oder bloss ihr Schwerpunct a) nebst dem Inhalte des Kör^ ''
pers gegeben, so ist zwar die Lage und Grösse der andere ^^'
Grundfläche B unbestimmt, aber bei allen ihren verschie^^ -^
denen Lagen geht sie stets durch einen bestimmten Panct ^ '

Uober Maximum und Minimum. 277

Miuimum sei? Die Beantwortung dieser Frage ergiebt sich leicht aus
folgender Betrachtung:

Die Schwerpuncte der Umföuge aller senkrechten Schnitte liegen in
einer den Kanten (sowie der Geraden Q) parallelen Geraden ^*). Sind
a und p die Puncto, in welchen dieselbe von den beliebigen Grundflächen
A und B geschnitten wird, und bezeichnet P den Umfang des senk-
rechten Schnittes, so ist die Seitenfläche gleich aß.P. Drehen sich die
Grundflächen A und B beliebig um die festen Puncte a und ß, so bleibt
die Seitenfläche constant'; sie besteht aus zwei Theilen, wovon der eine
als negativ anzusehen ist, wenn A und B sich innerhalb der Säule kreuzen;
und sie wird gleich 0, wenn a und ß zusa^mmenfallen; dabei kann in allen
diesen Fällen das Volumen des Körpers beliebig gross oder klein worden,
indem der Abstand der Puncte a und 6, in welchen A und B die Gerade
Q schneiden, jede Grösse haben kann.

Sind umgekehrt die Puncte a und b fest, und somit das Volumen
constant, so ist klar, dass dann die Seitenfläche jede beliebige Grösse
haben kann, jenachdem die Länge von aß beschaffen ist.

Fallen insbesondere die Geraden Q und q auf einander, und gehen
die Grundflächen A und B durch zwei feste Puncte a und b (oder a und ß)
derselben, so bleibt das Volumen sowohl als die Seitenfläche constant, die
ii rundflächen mögen ihre Lage ändern, wie man will. Dieser Zustand,
ilass . Q und q zusammenfallen , findet unter anderen in folgenden zwei
Falien statt:

1. wenn die Säule regelmässig, d. h. wenn der zu ihren Kanten (oder
zu Q) rechtwinklige Schnitt ein regelmässiges Vieleck ist;

2. wenn Q eine Central- Axe der Säule ist, d. h. wenn jeder Schnitt
ein solches Polygon ist, welches einen Mittelpunct (und somit eine gerade
Zahl von Seiten) hat. Zu diesem zweiten Falle bietet der elliptische
Cylinder ein Beispiel.

Werden insbesondere die schneidenden Ebenen oder Grundflächen A

und B parallel angenommen, so folgen weiter leicht nachstehende Sätze:

4) Ist die prismatische Säule nebst dem Abstände der

parallelen schneidenden Ebenen (oder Grundflächen) A und B

■ — , •

*) Nämlich bei je einem System paralleler Schnitte liegen die Schwerpuncte der

Umfange in einer den Kanten der Säule parallelen Geradon, die sich aber mit der Rich-
tung des Schnittes zugleich ändert, so dass also für beliebige, nicht parallele Schnitte,
jenes nicht der Fall sein kann. Daher ist denn auch der von M, Hirsch in seinem
Werke: ,,Sammlung geom, Aufgaben'-'' Theil II. S. 216, § 163 No. 4 aufgestellte Satz im
Allgemeinen falsch, und ebenso sind mehrere in demselben Werke darauf basirto Sätze,
flie Fläche der Körper betreffend, unrichtig, wie z. B. die Sätze § 163 No. 5, 6; § 164;
§ 191 und § 102. Der Satz § 175 ist zufällig richtig, trotzdem er aus demselben falschen
Principe geschlossen wird. Die Sätze § 176 und § 177 sind unverständlich abgefasst,
es bleibt deshalb unentschieden, ob sie falsch oder richtig sind.

278

Ueber Uuiiinuni unii i

von ciDandor gegeben, so i:4t der Inhalt des abgoschnitteuea
Körpers ein Minimum, wenn die Ebenen zu den Kanten des
äüule »enkrecht sind.

5) Ist die Säule einer Kugol umschrieben, und sollen di«
parallelen Grundflächon A und B ebonfallg die Kugel be-
rühren, so ist der Körper unter derselben Bedingung ein Wim
nimum.

6) Unter allen einer Kugel umschriebenen, n-seitigc ^
Prismen hat das senkrechte, rogelmässigo den kleinsten Ietz
halt, sowie die kleinste Oberfläche, kleinste Seitenfläche uu^
kleinste Grundfläche. Und weiter:

7) Setzt man

B = 3, 4, 5, 6, . . . ,
so haben die entsprechenden Prismen nach der Reihe imm
kleineren Inhalt, sowie kleinere Oberfläche, Seitenfläche u^b
Grundfläche; so dass also anter allen der gegebenen Kug -
umschriebenen Prismen dem senkrechten geraden Cylind _
ein Minimum Minimorum des Inhalts sowohl, als der Ob^^
fläche, Seitenfläche'und Grundfläche zukommt.

Von den pyramidalischon Körpern.

40. I. Ist die Grundfläche einer Pyramide einem Krei
umschrieben und gegeben, und ist forner die Uöhe (oder c
Inhalt) der Pyramide gegeben, so ist dieSamme ihrer Seiti
flächen danu ein Minimum, wenn die Pyramide einem gcr^^E ^*'
den Kegel amschrieben ist.

Ist umgekehrt statt der Höhe (oder dem Inhalte) die Summe c^ ""^^
Seitenflächen gegeben, so ist unter der nämlichen Bedingung die HS:^^-'* _
(oder der Inhalt) ein Maximum. Dergleichen Umkehrungen werden ^^ *"
in der Folge meist mit Stillschweigen übergehen.

Beweis, Sei B die gegi>hene finjuHflSche und C der ihr ein«-*-**^

Ueber Maximum uud Minimum. 279

Hetzte Köq)er kann auch als aus einer Reihe dreiseitiger Pyramiden be-
stehend angesehen werden, welche die Seitenflächen a, ß, 7, . . . von P
zu Grundflächen haben, deren Spitzen sämmtUch im Scheitel von p (oder f)
liegen, und deren Höhen alle gleich r (nämlich die genannten perpendi|LU-
lären Kanten) sind. Daher hat man .

Nun sei P^ irgend eine dritte Pyramide über der Grundfläche By
mit P auf gleicher Seite und von gleicher Höhe, und somit auch von
gleichem Inhalte, so bilden P^ und p zusammen einen Körper, der ebenso
aus dreiseitigen Pyramiden besteht, welche die Seitenflächen «u P,j Tu •••
von P, zu Grundflächen haben, und deren Spitzen im Scheitel von p ver-
einigt sind; aber ihre Höhen sind im Allgeneinen alle kleiner als r, nur
in besonderen Fällen kann eine oder zwei derselben höchstens gleich r
sein; bezeichnen wir dieselben durch r — Zy r — y, r — a?, ..., so hat man

und daher, da P^ gleich P,

r(a-hß-l-T+--0 = K^i+ßi -Ht, +•••)— (^i+2/ßi-H^,+"0»
woraus folgt, dass

a-hp-f-TH < «i+ßi+Ti-H---,

d. h. dass P die kleinste Summe der Seitenflächen hat.

n. Da der Kegel K immer als Grenze der Pyramide P anzusehen
ist, wofern man bei dieser die Zahl der Seitenflächen unendlich gross und
ihre Grundlinien (d. i. die Seiten von B) unendlich klein werden lässt, so
gilt der vorstehende Satz in gleicherweise auch für den Kegel, nämlich:

Unter allen Kegeln über demselben Kreise C als Grund-
fläche und von gleicher Höhe (oder Inhalt) hat der gerade die
kleinste Mantelfläche.

41. I. Sind die Grundflächen jB und P, zweier Pyramiden
respective Kreisen umschrieben und gegeben, und ist ferner
die Summe ihrer Volumina gegeben, so ist die Summe ihrer
Seitenflächen, zusammengenommen, nur dann ein Minimum,
wenn

1) die Pyramiden geraden Kegeln K und K^ umschrieben
sind, und wenn

2) die diesen Kegeln entsprechenden Polar-Kegel I und f,
(40) gleiche Kanten (r gleich r,) haben.

Der Beweis dieses Satzes ergiebt sich leicht, wenn man den vorigen
Satz (40) berücksichtigt; er ist dem für den entsprechenden Fall bei ebenen
Figuren analog (13).

280 Llebor UuiLiaiuui und Miuimuut.

Der Satz findet' auch für Kegel Htatt, im Falle niunlich die
(irundfliichoD Rreiso Miiid. Auch lÖsst er sich uiunitt«lbar auf beliebig
viele pyramidal iijchc Körpt^ ausdehnen, so dasa mau don folgenden Satz hat:
. Ü. Sind dio Gruudflächon beliebig vieler Pyramiden ge-
geben, ist jedoch jede entweder oiacm Kreise umsciiriebeu
oder selbst ein Kreis, und ist ferner die Summe der Seiten-
flächen aller Pyramiden gegeben, so kann dio Sommo ihrer
Inhalte nur dann ein Maximum sein, wenn

1) alle Pyramiden geraden Kegeln umschrieben, oder
thciLs selbst gerade Kegel sind, und wenn

2) dio diesen Kegeln entsprechenden Polar-Kegcl alle
gleiche Kanten haben.

Ein besonderer Fall dos ersten Satzes (1) mag noch erwähnt werden,
<lerjenige nämlich, wo dio beiden Pyramiden über der nämlichoo Grundfläche
aber auf cntgegongosctztcn Seiton derselben stehen, so dass sie zusammeD
eine sogeuanute Doppel pyrami de bilden. Für diesen Fall heis«t der Satz:

lil. Ist die Grundfläche oiner üoppolpyramide einem
Kreise umschrieben und gegeben, und ist forner ihro Ober-
fläche gegeben, so ist ihr Inhalt ein Maximum, wenn sie
einem geraden , symmetrischen Doppelkegel amsch rieben
and daher selbst symmetrisch ist, so dass die beiden ein-
fachen Pyramiden, aus denon sie besteht, symmetrisch gleich
sind.

42. I. Sind von zwei rechtwinkligen Dreiecken von jedem
eine Kathete und ist die Summe der beiden übrigen Katheten
gegeben, so ist dio Summe der Hypotenusen ein Minimum,
wenn die Dreiecke ähnlich sind.

Denn sind AB und DU oder a und c (Taf. XIV Fig. 15) dio einzeln
. K;ülii'li'ii. und ist l!K

Ueber Maximum und Minimum. 281

dem nur die Summe w,i,-f-n,d, "ist constant, Dämlich gleich //<(6-f-^/),
wo m und b-\-d gegebene Gerade sind. Endlich folgt für 2, und y,, dass
7/*,Cj+w,y, mit der Summe z-^-y gleichzeitig ein Minimum wird, indem

ist. •

Da vermöge der Gleichungen (a) und (p)

00 a^i b^ \ z^ j= c^ '. d^i y^ ^ a i b \ z ^:= c : d : y,

so können a,, A,, 2, und c,, (/,, y^ als die Seiten zweier rechtwinkligen,
ähnlichen Dreiecke angesehen werden, welche zugleich den vorigen Drei-
ecken, die tty by 2 und c, rf, y zu Seiten haben, ähnlich sind. Man hat
daher den folgenden allgemeineren Satz:

Sind von zwei rechtwinkligenÜreiocken von jedem eine
Kathete a, und Cj, und ist die Summe der Rechtecke der bei-
den anderen Katheten b^ und d^ in gegebene Gerade m^ und n,
(also w^6,-|-nj(/,) gegeben, so ist die Summe der Rechtecke der
Hypotenusen z^ und y^ in die nämlichen Geraden m, und n,
ein Minimum, wenn die Dreiecke ähnlich sind.

Es ist leicht zu sehen^ dass der Satz noch etwas allgemeiner existirt,
wenn nämlich die Dreiecke statt der rechten Winkel Öj und J?, beliebige
gegebene Winkel haben; die Bedingung ist dann nur: dass die den ge-
gebenen Seiten a, und c, gegenüberliegenden Winkel a, und Yj gleich
sein müssen.

III. Der Satz ist auch unmittelbar auf mehr Dreiecke auszudehnen^
nämlich:

Sind von beliebig, vielen rechtwinkligen Dreiecken von
jedem eine Kathete a, c, Cy ..., und ist die Summe der Recht-
ecke der übrigen Katheten by dy fy , . . in gegebene Gerade w,
Uy Oy ..., also die Summe

ß = rnh-\-iid-\-of-:\ ,

gegeben, so ist die Summe der Rechtecke der 'Hypotenusen
^y Vj ^y " ' lö die nämlichen Geraden, also die Summe

[X = viz-\-ny-\-ox-\ ,

ein Minimum, wenn die Dreiecke ähnlich sind.

Wenn insbesondere die gegebenen Katheten gleich sind,

wenn

a = (; = g= ... ^

so sind auch die Dreiecke gleich, daher auch

b = d=f= '"
und

z =yz=ia;= ...'^

und sodann hat das Minimum |x immer denselben constanten

282

Uiibcr Haximnui uad Hinimimi.

Wcrth, mag die Zahl doj Ureiecko kleioor oder grösser ange «•
nuuimou worden, wuferu nur a, «owio ß und

a = wj+n+öH —
unverändert bleiben.
Denn durch

ß = 6a
ist alsdann f>, and durch, a uncj b ist weiter i: bestimmt, so dass

constant sein muss.

43. Wenn zwoi Pyramiden von gloichor Höhe gleiu^ cli
f^rosHo Grundflächen vod gleichem Umfange haben, und wei^c dd
nur die eine einem geraden Kegel umschrieben ist, so h -aat
sie kleinere Seitenfläche als die andere; oder sind bci^ de
Pyramiden geraden Kegeln umschrieben, so haben sie glei» ch
grosse Seitenflächen, und die Kegel sind gleich.

Und ferner:

Pyramiden, welche demselben geraden Kegel umschrieb -^en
»ind, und deren Grundflächen entweder gleichen Inhalt od— ^Ber
gleichen Umfang haben, haben gleiche grosse Seite nftächei^HnL

Bezeichnet man die Höhe eiuer der genannten Pyramiden durch a,

ihre Grundfläche durch ß, die Seiten derselben durch m, n, o, ..., ^ die
aus dem Fusspuncte der Höhe a auf diese Seiten gefällten Pcrpendi^" tel
durch li, d, /, •■., und den Umfang derselben, nämlich m4-»-l-o-l— — "i
durch 0, die Höhen der einzelnen Seitenflächen durch z, y, x, ..., i»-3nd
endlich die ganze Soitonflächo durch [x, so folgt dieser Satz, wie. Atsi^^'^hl
/.ü sehen, unmittelbar aus dem besondcm Falle des vorigen Satzes (42, I^Vi).

Den gegenwärtigen Satz nebst dem vorigen Hülfssatze verdankt tczman
IJiuilier. Hier sind sie nur etwas anders vorgetragen.

44. Unter allen n-seitigen Pyramiden von gleicher H» h*

Ueber Maximum und Minimum. 283

Mittelpunctou der den Grundflächen eingeschriebenen Kreiüc falle man
Perpendikel p und p^ auf die Seitenflächen, so ist offenbar

und da nun

P = iW> ^i = iPil^i
und nach Voraussetzung P gleich P,, so muss

sein.

46. Unter regelmässigen Pyramiden von gleicher Höhe
und gleich grossen Grundflächen hat immer diejenige die klei-
nere Seitenfläche, deren Grundfläche mehr Seiten hat, so
dass also der gerade Eegel unter allen die kleinste Seiten-
fläche besitzt (45). Oder:^ Unter allen pyramidalischen Kör-
pern von gleicher Höhe hat der gerade Kegel die Eigenschaft,
dass bei gleichem Volumen seine Seitenfläche ein Minimum
Minimorum, und bei gleicher Seitenfläche sein Inhalt (oder
seine Grundfläche) ein Maximum Maximorum ist. U. s. w.

47. I. Unter allen Tetraedern hat das regelmässige die
Eigenschaft, dass es bei gleicher, Oberfläche den grössten In-
halt und bei gleichem Inhalte die kleinste Oberfläche besitzt.

Denn in Rücksicht jeder der vier Flächen, wenn man sie als Grund-
fläche ansieht, muss der Körper eine regelmässige Pyramide sein (44);
daher müssen alle vier Flächen regelmässig, und somit muss auch der
Körper regelmässig sein.

Oder der Beweis folgt auch schon aus dem obigen ersten Satze über
Pyramiden (40). Denn wird irgend eine der vier Flächen als Grundfläche
angesehen, so muss der Körper (als Pyramide) einem geraden Kegel um-
!>chrieben sein, und die drei übrigen Flächen müssen mit der Grundfläche
gleiche Winkel bilden; daraus folgt, dass alle sechs Flächen winkel des
iörpers gleich, daher die vier Körperwinkcl regelmässig und gleich, und
iomit auch die vier Flächen regelmässig und gleich sein müssen.

II. Zum Behufe späterer Sätze sind noch folgende Eigenschaften des
regelmässigen Tetraeders zu merken:

Wird eine der vier Flächen zur Grundfläche angenommen, so kann
man sagen:

1) Die Grundfläche ist ein Viertel von der Oberfläche, oder ein
Drittel von der Seitenfläche.

2) Die Höhe / einer Seitenfläche, oder die Kante des der Pyramide
emgeschriebenen geraden Kegels ist dreimal so gross wie der Radius r
des der Grundfläche eingeschriebenen Kreises; also ist

l = ir.

2Hi Ueber Haximum und Uinimuin.

3) Der. Durchmesser d des genanntea Kreitios verhält sich zur Höbe
A lier Pyramide, wie 1 zu y2, d.i. wie Jie Seite eines Quadrates nir
Ui^onale; donu mau hat

also

rf : A = 1 : j/2.

4) Die eingeschriebene Kugel borührt jede Fläche in ihrem Seh*«-
puuctG, und ihr Mittelpunkt fällt mit dem Schwerpuncte der Pyiatnide
zusammen. Daher ist dio Höho der Pyramide doppelt so gross wie der '
Durclimesser 5, oder viermal su groKs wie der Radius' p der Kugel; also

A = 25 = 4p,
und dahür weiter

5 : ./ = 1 : |/2,
folglich wird •

oder

u, s. w.

48, Da bei beliebigen Pyramiden, welche demselben geraden'K^I
uraHchricbcn sind, die Inhalte sowohl, als die Oberflächen, Seiteniläclieii
und Grundflächen sich verhalten, wie die Umfange der GniudflÜchen, m
folgen aus den angegebenen Eigenschaften des Tetraeders (47) leicht die
nachst«hoDden Sätze:

I. Ist die Oberfläche einer n-soitigen Pyramide dem In-
halte nach und ihre Grundfläche der Form nach gegeben, nnd
kann die letztere einem Kreise umschrieben werden, so isl
der Inhalt der Pyramide ein Maximum, wenn dieselbe einem
' geraden Kegel umschrieben, and wenn die Grundfläche ein
Vicrtpl vnn der ObcrfUcho int: n. s. w.

Uebor Maximum und Minimum. 285

fläche ist, die doppolte Eigenschaft, dass bei gegebener Ober-
flache sein Inhalt ein Maximum Maximorum, und bei gege-
benem Inhalte seine Oberfläche ein Minimum Minimorum ist.
Bei diesem besonderen Kegel finden auch alle oben (47, II) ange-
gebenen Verhältnisse zwischen den Grössen Z, r, dy h, p und 8 statt, sowie
die Eigenschaft, dass sein Schwerpunct mit dem Mittelpuncte der ihm
eingeschriebenen Kugel zusammenfallt, und dass diese Kugel seine Kanten
in einem Puncto berührt, dessen Abstand vom Scheitel zwei Drittel der
ganzen Kante beträgt, d. h. sie berührt die Elemente seiner Mantelfläche
in ihren Schwerpuncten.

rV. Unter allen n-seitigen Pyramiden von gleicher Ober-
flache (oder von gleichem Inhalte), welche Kugeln um-
.«ichrieben sind, ist diejenige der grössten Kugel umschriebcu,
deren Inhalt ein Maximum (oder deren Oberfläche ein Mini-
mum) ist; also diejenige, welche regelmässig ist, und deren
Grundfläche ein Viertel von der ganzen Oberfläche» beträgt.
Setzt man

• n = 3, 4, 5, 6, . . . ,

während die gegebene Oberfläche (oder der gegebene Inhalt)
constant bleibt, so sind die entsprechenden grössten Kugeln
nach der Reihe immer grösser, so dass also die dem Kegel
entsprechende Kugel ein Maximum Maximorum ist.

Sei P der Inhalt einer Pyramide, S ihre Oberfläche und p der Radius
der eingeschriebenen Kugel, so hat man

P = ips,

und daraus ist zu sehen, dass, wenn S gegeben ist, dann mit P auch zu-
gleich p ein Maximum wird, und wenn P gegeben ist, dann mit dem
Minimum von S das Maximum von p zusammentrifft.

V. Unter allen n-seitigen Pyramiden, welche derselben ge-
gebenen-Kugel umsxshric'ben sind, hat diejenige regelmässige,
deren Grundfläche ein Viertel von der Oberfläche ist, sowohl
den kleinsten Inhalt als die kleinste Oberfläche (IV).

Setzt man

71 ■ jD, ^, «^, • * • ?

SO haben bei derselben gegebenen Kugel die entsprechenden
kleinsten Pyramiden nach der Reihe immer kleineren Inhalt
land immer kleinere Oberfläche, so dass also unter allen
ciiner gegebenen Kugel umschriebenen Pyramiden und Kegeln
derjenige gerade Kegel, dessen Höhe dem doppelten Kugel-
X)urchmes8er gleich ist, sowohl an Inhalt als an Oberfläche
«in Minimum Minimorum repräsentirt.

2K6 Uebor Maxiiuuta und Minimum.

■
Dann alle (licae kleiD^teu Pyramiden (und dor Kegel) haben gleiche Höbe,
h = 28,
und ihre Grundlliichen Hmd gloichcu Kreiden um»chriebon,

u. M. w.

49. (»t dio Grundfläche einer dreiseitigen Pyramide der
Korm naeh, und ist die Kumme derselben und eitler Seiteo-
fl liehe gc fachen, und sind forner die zvei übrigen Seiten-
fliichen /.u der Grundfläche senkrecht, so ist die Pyramide
ein Maximum, wenn die Grundfläche ein Viertel von der ge-
gebenen Sumni,c ist.

Dieser Satz fulgt in ähnlicher Weise aus No. 47, wie der Satz No. 33
aus No. 31.

50. Ist die Grundfläche p einer (n-seitigcn) Pyramide der
Perm nach, und ist die Summe derselben und einer Seiten-
fläche a gegeben, so int dio Pyramide ein Maximum, wenn die
Grundfläche ein Drittel von der gegebenen Summe iat, alrto

a = 2ß,
und wenn jene Seitenfläche auf ihr senkrecht steht
Dieser Satz folgt aus No. 37, III.

51. Um die Eigenschaft derjenigen n-seitigcn Pyramide zu finden,
welche bei gegebener ScitcnHäche den grössteii Inhalt, oder bei gegebenem
Inhalte die kleinste Seitenlliicho hat, kann man, wie oben in No. 47, von
der dreiseitigen ausgehen und sodann die gefundene Eigenschaft von dieser
auf alle anderen Pyramiden übertragen.

Wir hemorkcn zuvörderst, dass zufolge No. 44 eine n-seitige PjTa-
mide bei gegei)encr ScitenHächo nur dann den grössten Inhalt haben kann,
wenn sie regelmässig iat. Daher können wir uns boi dieser Untersuchung

lieber Maximum Und Minimum. 287

Oberfläche des Parallelepipedons und der Inhalt der ersteren ist ein Sechstel
^vom Inhalte des letzteren. Nun wird das Parallelepipedon bei gegebener
Oberfläche ein Maximum, wenn es ein Cubus ist (30), woraus die Richtig-
keit des vorstehenden Satzes geschlossen wird.

11. Von der in Betracht stehenden Pyramide, deren Grundfläche ein
[regelmässiges Dreieck ist, und deren Seitenflächen gleiche, rechtwinklig-
gleichschenklige Dreiecke sind, hat man zum Behufe späterer Sätze noch
folgende Eigenschaften zu merken:

1) Die Höhe / jeder Seitenfläche, oder die Kante des der Pyramide
eingeschriebenen geraden Kegels, vorhält sich zum Badius r des der Grund-
flache eingeschriebenen Kreises, wie ^3 : 1, d. i. wie die Höhe eines gleich-
sseitigen Dreiecks zur halben Seite. Ebenso verhält sich also auch die
iSutaime der drei Seitenflächen zur Grundfläche.

2) Die Höhe h der Pyramide verhält sich zum genannten Radius r,

^%jvie y2: 1, und zur Höhe l der Seitenflächen wie y2:y3.

3) Die aus dem Mittelpuncte des genannten Kreises auf die Seitcn-
-f^ächen gefällten Perpendikel sind gleich, ihre Länge sei gleich p, und ihre
fussponcte sind die Schwcrpuncto dieser Flächen, oder die drei Soiten-
Clächcn werden in ihren Schwerpuncten von einer Kugel berührt, welche
<fien Schwerpunct der Grundfläche zum Mittelpuncte hat. Zwischen dem
Xladius p der Kugel und den Grössen Z, r, h finden folgende Verhältnisse statt:

p:Z = V2:3;

p:r = 1/2:1/3;

p : A = 1 : V3,
<:*der

8 : A = 2 : V3,

^. h. der Durchmesser 8 der Kugel verhiilt sich zur Höhe h der Pyramide,
^^Aq die Seite eines gleichseitigen Dreiecks zu der Höhe desselben.

53. Für andere Pyramiden folgen nun leicht nachstehende Sätze:
I. Ist die Grundfläche einer Pyramide der Form nach ge-
fgeben, jedoch der Art, dass sie einem Kreise umschrieben
A¥erden kann, und ist ferner die Seitenfläche gegeben, so ist
^ie Pyramide ein Maximum, wenn sie einem geraden Kegel
Ximschrieben ist, und wenn sich die Grundfläche zur Seiten-
fläche verhält wie 1 : V3 , oder der Radius r des der Grund-
fläche eingeschriebenen Kreises zur Höhe A der Pyramide wie

1 : l/2 ; u. s. w.

n. Ist die Grundfläche einer dreiseitigen Pyramide der
Torrn nach und eine der drei Seitenflächen der Grösse nach
gegeben, und sollen die beiden übrigen Seitenflächen auf
der Grundfläche senkrecht stehen, so ist die Pyramide ein

288 Ueber Maximum UDd Hiuimuni.

Maximum, wenn sich die GruDdfläche znr gegebeneD Seiten-
fificho vorhält wie 1 : VS.

III, Ist die Seitenfläche einer n-seitigeD Pyramide ge-
gebcD, so ist ihr Volumen .ein Maximum^ wenn sie regel-
mässig ist, und wenn sich die Grundfläche zur Seitenfläche
wie 1 : ys verhält, oder

T:h= 1 : ]/2 ;
oder wenn aüe Seitenflächen in ihren Schwerpuncten von
einer Kugel berührt werden, deren Mittelpunct in der Grund- *
fläche liegt (ihr Schwerpunct ist).

IV. Setzt man

« = 3, 4, 5, . . . ,
so haben die entsprechenden grössten Pyramiden nach der
Reihe immer grösseren Inhalt; so dass also unter allen Pyra-
miden (und Kegeln) von gleicher Seitenfläche derjenige gerade
Kegel ein Maximum Maximorum ist, dessen Höhe h sich zum
Radius r der Grundfläche wie ]/2U verhält, oder dessen Grund-
fläche sich zur Mantelfläche wie 1:1/3 verhält Auch hat
dieser Eegel die Eigenschaft, dass die Elemente der Mantel-
fläche in ihren Schwerpuncten (oder die Kanten in Puncten,
deren Abstand, vom Scheitel zwei Drittel der ganzen Kante
beträgt) von einer Kugel berührt werden, welche mit der
Grundfläche concoutrisch ist; u. s. w.

54. Ans diesen Säteen (53), verbunden mit dem Satze No. 41, III,
folgen weiter nachstehende Satze:

I. I^t die Oberfläche einer n-seitigen Doppelpyramide,
.sowie ferner die im Innern liegende Grundfläche der Form
nach gegeben, und kann die letztere einem Kreise umschrieben
werden, wo ist die l'yramido nin Maximum, wenn die boidei

Üeber Maximum und Minimum. 289

III. Ist die Oberfläche einer n-seitigen Doppelpyramidc
^gcben, so ist ihr Inhalt ein Maximum; wenn sie einer Kugel
nschrieben ist, welche jede Fläche in ihrem Schwerpuncte
»rührt; oder wenn sie regelmässig und symmetrisch ist, und
rc Axe h sich zum Durchmesser 6 der eingeschriebenen

ugel wie ySil verhält; u. s. w.

IV. Setzt man bei gleicher Oberfläche

#» ^^^ O, TT, O, • • • ,

' haben die entsprechenden grössten Doppclpyramiden nach
^r Reihe immer grosseren Inhalt, so dass also der Doppel-
igel das Maximum Maximorum repräsentirt.

Bemerkung. Die Doppelpyramiden sind ein besonderer Fall von
r Körpergattung, welche durch eine gerade Zahl 2n von Dreiecken be-
enzt werden, und welche zwei einander gegenüberstehende w- kantige
*ken und dazwischen n vierkantige Ecken haben. Die Kanten, welche
ose letzteren mittleren Ecken verbinden, bilden im allgemeineren Falle
n 8 c h i e f e s , bei der Doppelpyramide dagegen ein ebenes n- Eck.
ie vorstehenden Sätze HI und IV gelten aber in Bezug auf diesen all-
?meineren Körper, nämlich wenn seine Oberfläche gegeben ist, so ist
m Inhalt ein Maximum, wenn er die Form der beschriebenen Doppel-
.Tamide annimmt. Dass er diese Form annehmen muss, folgt leicht aus
Der späteren Betraclitung, die sich auf das Princip der Symmetrie gründet
f. No. 66 und d. folg.).

Insbesondere geht hieraus hervor:

Dass das regelmässige Octaeder unter allen Körpern sei-
»r Gattung bei gleicher Oberfläche den grössten Inhalt und
j i gleichem Inhalte die kleinste Oberfläche hat.

55. Man denke sich einen beliebigen (n-kantigen) convexen Körper-
nkcl (eine unbegrenzte, pyramidalische Säule); sein Scheitel heisse S, Jede
ene, welche allen Kanten begegnet, schneidet von demselben eine Pyra-
do ab und bildet ihre Grundfläche ß. Wird die Ebene sich selbst parallel
wegt, so wächst oder schwindet die Grundfläche sowohl, als der Inhalt
• Pyramide, je nachdem sich die Ebene beziehlich vom Scheitel S ent-
nt oder demselben .näher rückt; dabei ändern sich beide Grössen stetig,
1 zwar jede von 0 bis cx5. Der ganze Spielraum, welchen die Gründ-
ete ß ihrer Richtung nach haben kann, lässt sich klar übersehen, wenn
.n eine andere Ebene a betrachtet, die durch den Scheitel S, aber nicht
roh das Innere des Körperwinkels geht. Denn die Gesammtheit aller
a^en, welche a unter dieser Bedingung einnehmen kann, bestimmt alle
i glichen Richtungen von ß, indem ß immer mit a parallel genommen
rdcn darf. Nach jeder dieser verschiedenen Richtungen kann nun, wie

Äiteiners Werke. II. 19

Ueb«r Haiimum und MiDimnm.

schon bemerkt, die Grundfläche ß sowohl, ala die abgeschnitten« Pyramide,
jede beliebige gegebene Gtösse haben.

Was hier von einem bcliebigea Körperwinkel gesagt worden, gilt ii^rm
gleicher Weise, wenn derselbe in einen K^l übergeht Dasselbe ist ancH::^
. für die folgenden Sätze der Fall.

56. Unter allen von demselben Körperwinkel S abgc .3.
schnittenen Pyramiden, deren Grundflächen ß durch einec^ q
innerhalb desselben liegenden gegebenen Pnnct P gehen, '- ^[

diejenige ein Minimum, deren Grundfläche den Punct P zun j

Schwerpuncte hat.

Beweis. Um der Vorstellung zu Hülfe za kommen, denke man sic^^
unter RST (Taf. XIV Fig. 16) den gegebenen Körperwinkel S; unter A^£
diejenige Grundfläche ß, welche den' gegebenen Punct P zum Schworpun ^c(
hat; und unter AA^BB, eine prismatische Säule über der Grundfläctae
AB (oder ß), deren Kanten der Geraden SP parallel sind, oder wenigstecKS'
eine solche Lage haben, dass S innerhalb der Säulo li<^. Sei CD irgecm d
eine andere Grundfläche, deren Ebene mit der prismatischen Säule A.5c
Durchschnittsfignr EF bildet; so sind die zwischen den beiden Scfanitt^Bo
AB und EF befindlichen keilförmigen Abschnitte APE und BPF A«r
prismatischen Sänle gleich gross (39, 2); daher müssen die zwischen A.^
Grundflächen AB und CD liegenden Abschnitte APC und BPD cS.es
Körperwinkßls S ungleich sein, und zwar ist, da augenfällig

APC > APE,
(If^ogen

BPD < BPF

und folglich auch Pyramide

CSD > ASB,

üober Maximum und Minimiitn. 291

5p, > Sß, auch

daher ist ß, weiter von S entfernt als a (55), und daher hat um so mehr
die Pyramide Sß grössere Höhe als die Pyramide Sa, und folglich muss

ß < a
sein.

58. Unter allen von demselben gegebenen Körperwinkel S
abgeschnittenen Pyramiden mit gleich grossen Grundflächen
ist diejenige ein Maximum, welche die nämliche Eigenschaft
besitzt wie vorhin (57).

59. Unter allen von demselben Eörperwinkel abgeschnit-
tenen Pyramiden von gleicher Höhe ist diejenige ein Mini-
mum, welche die nämliche Eigenschaft besitzt.

60. Ist der Körperwinkel an der Spitze einer n-seitigen
Pyramide einem geraden Kegel umschrieben und gegeben, und
ist entweder:

1) der Inhalt der Pyramide oder 'die Seitenfläche ge-
geben, so ist beziehlich die Seitenfläche ein Minimum oder
der Inhalt ein Maximum, wenn die Axe des genannten Kegels
den Schwerpunct der Grundfläche trifft; oder ist

2) der Inhalt oder die ganze Oberfläche der Pyramide
gegeben, so ist beziehlich die Oberfläche ein Minimum oder
der Inhalt ein Ma^^imum, wenn die eingeschriebene Kugel die
Gru ndfläche in ihrem Schwerpuncte berührt.

Für die dreiseitige Pyramide finden diese beiden Sätze immer statt,
da der Körperwinkel an der Spitze immer einem geraden Kegel um-
sclurieben ist.

61. Ist innerhalb des gegebenen Körperwinkels S eine
stetig convexe, krumme Fläche F gegeben, deren concave
Seite nach dem Scheitel jS gekehrt ist, und soll die Grund-
flsLche ß der abzuschneidenden Pyramide die Fläche F be-
rüliren, so ist die Pyramide ein Minimum, wenn der Barüh-
raTi.gspunct zugleich der Schwerpunct der Grundfläche ist.

Ist F insbesondere ein Stück einer Kugelfläche, deren Mittelpunct im
Sclieitcl S liegt, so fallt der Satz mit dem Satze in No. 59 zusammen.

Der Beweis dieser Sätze (58, 59, 60 und 61) folgt nach den vorher-
gehenden Beweisen leicht.

62. Die Grundflächen aller von demselben Körperwinkel
S abgeschnittenen Pyramiden von gleichem Inhalte berühren
eine bestimmte krumme Fläche Fy und zwar wird jede Grund-
fläche in ihrem Schwerpuncte berührt. Der Körperwinkel ist
für die Fläche asymptotisch. — Insbesondere kann bemerkt werden :

19*

292

Ueber Haximum und Minimum.

S nur dreikantig,
i-Axeu angCDommen,

ad werde sz
so ist dL

Systeme von Kege "

1) Ist der Körperwinte
aeino Kanten zu Coordinate
Gleichung der Fläche F

ayz = A,
woraus man sieht, daas die Fläche dn
schnitten enthält; u. s. w.

2) Ist S ein Kegel zweiten Grades, so ist die Fläche
ein zweitheiligos Hyperboloid (hyperboloide ä deux nappes).

3) Schneidet man von einer Flache zweiten Grades (mi ^M
telst Ebenen) constante Segmente ab, so werden die Gr'un^ci^H
fluchen ß der Segmente in ihren Schwerpuncten von einer a -^ — ■
deren Fläche zweiten Grades berührt, welche der ersten äh s:z^k
lieh, mit ihr ähnlich liegend und concentrisch ist*).

63. Zwischen den drei Arten von Körpern: Prismen, Pyramiden u.x:m. *
Doppel Pyramiden, wenn dieselben so constniirt gedacht worden, äans »«£ e
die Eigenschaft des Maximums und Minimums besitzen, lassen sich un't:-<=?r
anderen folgende nicht uninteressante Vergleichungen anstellen.

Wir bomerlien zuvor:

Bezeichnet man den Inhalt eines regelmässigen Polygons durch &, d'S.e
Seitenzahl durch n und den Radius des eingeschriebenen Kreises durch -^r

b ^ r'ntang — ^^ r'r.
Für n gleich oo oder für den Kreis hat man

(Teber Maximum und Minimum. • 293

id daher weiter, da v gleich ^ps ist,

öyom ^

IL Eine Pyramide sei so beschalTen, dass ihr bei gegebener Ober-
iche ein Maximum des Inhalts, und bei gegebenem Inhalte ein Minimum
T Oberfläche zukommt (48, II). Sei v^ das Volumen, «, die ganze Ober-
iche, Ä, die Urundfläche, n ihre Seitenzahl und r^ der Radius dos ein-
schriebenen Kreises ; sei ferner \ die Höhe der Pyramide und p^ der
idius der eingeschriebenen Kugel, so hat man (47, II und 48, II)

(1) P, =iA.; K = ^r]', 8, = 4i, = 4r> = 8p>;
id da r, gleich ^p,s, ist, so ist weiter

(2) V. = U\m = - ^^L~ ; -Q^^ = 6l/2^.

III. Eine Doppelpyramide sei so beschaffen, wie es der Satz No. 54, III
rlangt. Seien v^, s^, J^, w, r,, A, und p, beziehlich die analogen Grössen,
c vorhin (II), so hat man (52 und 54)

(1) 2rl = 3pl; «, = 2i,|/3^= 21/3 r'w = pj 3^1/3 ;

d da v^ gleich ^p^s.^ wird, so ist femer

-) .,=p^;^l/3=-J^_-; S^^^Q^ == ^iV^;;;yE.

3y3m]/3 "^^

IV. In allen drei Fällen (I, II, III) zeigt die Formel (2), wiö bei
n rospoctiven Körpern die Oberfläche, der Inhalt und der Radius der
igeschriebcnen Kugel einander gegenseitig bestimmen, wie aus jeder
}scr Grössen die beiden anderen zu berechnen sind. Die Ausdrücke

^s)', (j/8l)^ (j/sj' bezeichnen Würfel, deren Grundflächen den Obor-

ichon s, s, , Sj der Körper gleich sind; die Zahlen 3l/(5w, 6]/2w,

V)5//ij/3 drücken das Verhältniss dieser Würfel zu den rospectiven Kör-
ern aus.

Werden die Zahlen 7i und ?/^ (gleich wtang- J für alle drei Fälle

eich angenommen, so resultiren aus den genannten Formeln folgende
/ationen :

V, ' V V » y " v », / '

(o^/y _ (}/o' ( (v^,)! y.

\ V J V, \ V, )

294 >''-l>« U»X)"mm iidJ Hinimu.n.

SullcQ ilic Küriicr gluiclieii liiliült haljcfl, wuil aUn
gesetzt, sü l'ulgt:

s, :. - .■:.;

, odor >-■ =. .,.;;

(,J.r

lind i'bt-iiso iMt

, = Yi-.h

uLd .,., = i'4:i/ä,
= 64:30:27;

P,:P = P':p;, "il" P' = Pip;;

p, : p = P : V*! und p : p, = J/ä : ^4,
p; : p° : p; = 27 : 48 : 64.

»,:« » ii":«; und p, : p — p':p;i
«; : »' : <■; = p; : p' : p; = 27 : 48 : 64.
Und wird ünjlich

P = Pi = P.
iiii^unüinnKni, so Inil in:in

C| ; o ^ o' .vi und s, : s ^ *' ; sj :
o; : .' : »; = .; : j" : .; = 64 : 30 : 27.
Oefter in Betracht kommonde Körper, (lir welche dicso RoUtüit»«
Reiten, sind z. I).

1) das Hexaeder, die viereeitigo Pyramide und das Octiieder;

2) der Cylinder, der Kegel und der Doppelkegel.

lieber Maximum und Minimum. . 295

dass das dreiseitige Prisma, wenn es der Bedingung (32, I) ge-
rösscr ist als irgend eine schief abgeschnittene dreiseitige Pyramide
icher Oberfläche;

dass der Cubus l)ei gleicher Oberfläche grösser ist als jeder andere
hs Vierecken begrenzte Körper.

Wenn, ein convexes Polyeder der Gattung nach bo-
t, und wenn seine Oberfläche gegeben ist, unter wol-
cdiugung ist dann sein Inhalt ein Maximum?
i den obigen Beispielen, das Prisma, die Pyramide und die Doppel-
le betreffend (32; 48, II; 54, III), welche von dieser Aufgabe um-
crdcn, habe ich absichtlich die Eigenschaft hervorgehoben:
ass das jedesmalige grösste Polyeder einer Kugel um-
bcn sei, welche jede Fläche desselben in ihrem Schwer-
3 berührt". •

wäre zu untersuchen, ob diese Eigenschaft allgemein für
convcxe Polyeder stattfindet, oder welcher Klasse von
lern dieselbe nur zukommt.

SS das regelmässige Dodekaeder und Ikosaeder, jedes unter allen
1, die mit ihm von gleicher Gattung sind, bei gleicher Oberfläche
ximum des Inhalts rcpräsentirt, ist nicht zu bezweifeln; — und
That besitzen dieselben ebenfalls die genannte Eigenschaft,
rner deuten auch die Sätze No. 57, 58, 59 und 60 gewissormassen
selbe Eigenschaft hin, wofern man sich nämlich das Polyeder in
ieu zerlegt denkt, deren Scheitel im ^littelpuncte der Kugel ver-
und deren Grundflächen die einzelnen Flächen des Polyeders sind.
Einfache Beispiele, welche der vorstehenden Aufgabe (II) unter-
t sind, und mit denen man beginnen kann, sind folgende:

AVenn der Körper mit einem nach beiden Seiten zugespitzten

von gleicher Gattung ist; d. h. wenn er zwei sich gegenüber*
e w- kantige Ecken hat, wovon jede von n Dreiecken eingeschlossen
imd wenn zwischen diesen Dreiecken n Vierecke liegen. Oder
iner: wenn zwischen den genannten Dreiecken zwei oder mehr
m (Zonen), jede von n Vierecken, liegen.

AVenn der Körper zwei sich gegenüberstehende w-seitige Grund-
und dazwischen zwei (oder mehr) Schichten von n Vierecken hat.

Wemi der Körper mit einer abgestumpften n-seitigen Pyramide
ichcr Gattung ist (31), und wenn s^ine Oberfläche, n^it Ausnahme
3n Grundfläche, gegeben ist. — Wenn insbesondere die Grundfläche
idrat, oder ein Kreis sein soll. — Oder: wenn der Körper statt
iren Grundfläche eine pyramidalische Zuspitzung hat, so dass der
0 Flächentheil aus n Dreiecken (an der Spitze) und aus n Vier-
lestcht. U. s. w.

296 Uuber Uaximum und Hioimuni.

4) Wenn der Körper eine n-seitigo Pyramide, imd wenn seine Obet-
lläche, mit Äuänahmo einer Seitenfläche, gegeben ist. — Dass die Seit«o-
flächen, ausser der ausgeschlossenen, an der SpiUe gleiche Winkel haben
mfiason, kann leicht gezeigt worden. — Man betrachte zunächst die Tier-
seitige Pyramide. (Sie muss, wenn die obige Eigenächafi (II) allgemeia
stattfindet, die eine Uälfte einer t<ocha»eitigen Pyramide sein, welcher
diese Eigenschaft zukommt.)

IV. 1) Wenn die Grundfläche einer Pyramide der Form und Grösse
nach (aber ohne die Bedingung, dass sie einem Kreise mnschrieben sei),
und wenn die ganze Oberfläche gegeben ist, unter welcher Bedingung lA
dann der Inhalt ein Maximum?

2) Dieselbe Frage, wonn die Grundfläche bloss der Form nach (31)
und nebstdem die Oberfläche gegeben ist

3) Desgleichen, *wenn die Grundfläche der Form nach, tm<l wenn die
Seitenfläche gegeben ist.

Dem ersten Falle (1) wird genügt, wonn die Pyramide so beschaffen
ist, dass jede durch die Spitze mit der Grundfläche parallel gezogene
Gerade D ihrer Richtung nach mit den Seiten a, b, c, . . . der Grund-
fläche solche Winkel a, ß, y, - • ■ bildet, für welche stets die Gleichui^

asinacosaj-t-Asinßcosßi-Hcsin-icosYjH == 0

stattfindet; wobei o,, ß,, f^ ... die Winkel sind, welche die respoctiven
8eitcnf1ächon mit der Grundfläche bilden.

V. 1) Ist im Räume ein geradliniges, schiefes Polygon P gegeben,
und wird dasselbe als Grenze der Seitenfläche eines Kürperwinkels ange-
schen, so soll die L^;e des Scheitels S dieses Körperwinkcis für den Fall
bestimmt werden, wo die Seitenfläche ein Minimum winl.

2) Dieselbe Forderung, wenn «tatt des Polygons /' eine beliebige
Ourvo von doppelter Krümmung gegeben ist.

Ueb«r Maximum und Minitnum. 297

Bekamitlich bietet die Erforschung der kleinsten Fläche zwischen
gegebenen Grenzen solche Schwierigkeiten dar, dass alle bisherigen Be-
• mühungen noch nicht zum gewünschten Ziele geführt haben. Dies ver-
anlasste mich zur Betrachtung der vorstehenden Aufgabe, in der Hoffnung,
auf diesem Wege zu neuen Elementen für die genannte Fläche zu ge-
langen; dadurch nämlich, dass, wenn man z. B. vier einander nahe liegende
Puncto in der Fläche annimmt und sie als die Ecken eines schiefen Vier-
ecks betrachtet, alsdann der in (1) geforderte Punct S als ein fünfter Punct
der Fläche anzusehen ist. Allein die vorstehende Formel scheint zu com-
plicirt, um der Absicht leicht zu genügen.

VI. Wenn die Grundfläche einer Pyramide der Form und Grösse
uach, und wenn die Höhe derselben gegeben ist, unter welcher Bedingung
ist dann der Körperwinkel an der Spitze ein Maximum? — (Ist die Be-
dingung vielleicht dieselbe, wie in No. 57, 58 und 59?)

Von Körpern im Allgemeinen und insbesondere van der Kugel.

Das hier zu betrachtende Hauptproblem:

„Welcher unter allen Körpern von gleicher Oberfläche
hat den grössten Inhalt, oder welcher hat bei gleichem. In-
halte die kleinste Oberfläche?"

kann auf geometrischem Wege unter anderen auf nachfolgende zwei Arten
gelöst werden.

Erste Methode. .

Fund am out aisatz.

65. I. Jede dreiseitige Pyramide <tÄ6v/ (Taf. XIV Fig. 17) wird
durch die Ebene, welche durch irgend eine Kante cd und
durch die Mitte 7/i der ihr gegenüberstehenden Kante ab geht,
iu zwei gleich grosse Thcile zerschnitten, und es istdieDurch-
.«.chüitts-Figur edm allemal kleiner als die halbe Summe der
beiden Seitenflächen acd und bcd^ welche nicht durchschnitten
werden,

II. Eine vierseitige Pyramide a/y/<?rf (Taf. XIV Fig. 17), deren
f/ru iidflächc ein ParaHöltra'pez ofy'tf ist, wird durchdie Ebene,

n eiche durch die Spitze d und durch die Mitten m und n der

>^rüllelen Seiten ab und ef der Grundfläche geht, gehälftet,

fiel es ist der Durchschnitt dmn allemal kleiner als die halbe

i^A -öQmc der zwei Seitenflächen aed und b/d^ welche nicht durch-

t^ l^ nittcn werden.

III. Jedes schief abgeschnittene, dreiseitige Prisma aegbfh
r. XIV Fig. 17) wird von der durch die Mitten w, n und o der

298 Ueber Uaximum nod Uiniionm.

Längenkanton ah, ef und gh gehenden Ebene gehälftet, and
ea ist der Durchschnitt mno im Ällgomoi-nen kleiner als die
halbe Summe der Gruuilflächen aeg und bfk.

Sind insbesondere die GrundflächßD parallel, so ist mno gerade die
Hälfte von ihrer Summo.

Beweis. Fall 1. Man projicire die Dreiecke acd und bd auf die
Ebene des Dreiecks med; seien a, und 6, die Projectionen ihrer Scheitel
a und h, so liegen «,, m und £, in einer Geraden, und es ist

wi«, = Wi6, ,
woraus folgt, dass Dreieck

■med ■=■ \{a^c<l-\-h^cd).
Da nun <Kd:>a^cd und bcd:>b,al, so ist folglich Dreieck

med <i ^(fl«i-+-ft«/),
was dem Satze gemäss ist.

Fall 11. Da ef parallel ab, so sind die Dreiecke aed, mnd und bfd
beziehlich aliquote Theile von den Dreiecken acd, med and bcd, and
daher folgt der gegenwärtige Fall aus dorn vorigen.

Fall 111. Da ffk parallol e/ und ab, so folgt dieser Fall in gleicher
Weise aus dem vorigen.

(N. B. Der Satz lässt sich viertens auch auf das n-seitige Prisma
ausdehnen, wie unten in No. 68, IV.)

66, Wird ein Körper von einer beliebigen krummen Fläche
begrenzt, und giobt es irgend eine Richtung, nach welcher
jede Gerade die Oberfläche in nicht mehr als zwei Punctcu
trifft, so liegen die Mitten aller nach dieser Richtuug ge-
zogenen Geraden in irgend einer krummen Fläche y, welche
den Körper hälftet und kleiner ist als die halbe Oberfläche*).

') Ana diesem Satze zieht man beiläufig eine Polgomng in Bezug auf die kleinst«

Ueber Maximum und Minimum. 299

Denn denkt man sich die Geraden nahe an einander liegend, so sind
die zwischen je dpi sich zunächst liegejiden enthaltenen Elemente des
Körpers als dreiseitige Prismen anzusehen, auf welche der vorige Satz
(65, III) anwendbar ist; daraus folgt sofort der gegenwärtige Satz.

67. Unter allen Körpern von gleicher Oberfläche hat die
Kugel den grössten Inhalt; und unter allen Körpern von glei-
chem Inhalte hat dieselbe die kleinste Oberfläche.

Beweis. Man denke sich einen Körper, welcher bei gegebener Ober-
fläche den möglich grössten Inhalt haben soll, so ist unstreitig nach jeder
beliebigen Richtung eine solche Ebene möglich, welche seine Oberfläche
hälftet.

Es sei A eine solche Ebene, und a und ß seien die zwei Hälften der

Oberfläche. Würde der Körper durch die Ebene A nicht auch gehälftet,

wäre etwa

aA > p^, .

so könnte er nicht den grössten Inhalt haben; denn immer könnte man ß
s)inmetrisch gleich a annehmen, wo dann

ß^ = olA

wäre, und somit der Körper vergrössert würde. Also muss

aA = ^A

sein. Wäre nun femer ß nicht symmetrisch gleich a, so denke man sich
auf gleicher Seite mit ß die der a symmetrisch . gleiche Fläche a, , so ist

a^A = aA = ^A,
und der Körper

aa, = aß.

In den zwischen ß und a^ liegenden Räumen ziehe man parallele Gerade,

die von diesen Flächen begrenzt werden, so liegen ihre Mitten in einer

dritten Fläche y? welche mit ß und a, über derselben Grundfläche steht,

und es ist

Y-4 = ß-4 = a,-4 oder 7a = ßa,

wogegen

2y < ß+a, oder y •< ß,

da ß gleich a, ist (66); also würde eine Fläche y, welche kleiner als ß,
mit a einen gleichen Raum begrenzen wie diese, was gegen die Annahme
ist; folglich muss ß symmetrisch gleich a sein; und folglich ist der vor-
ausgesetzte ^rösste Körper so beschaifen, dass jede Ebene Ay welche seine
Oberfläche hälftet, diese (sowie den Körper) in zwei symmetrisch gleiche
Hälften theilt.

Nun seien A und B irgend zwei Ebenen, welche die Oberfläche des
Körpers hälften, und die unter sich einen beliebigen, zu tu incommen-
surablen Winkel 9 bilden, so folgt leicht, dass durch ihre Durchschnitts-

300 l'eber Maximum und UtDimum.

liiiic (E unendlich viele anilere Ebenen G, D, . . , geheu, welche dieselbe
RigcnKchaft haben, so datis doipzufolgo jede auf a soi^rochte Ebene ^,,
wofcm sie dem Körper begegnet, ihn in einem Kreise schneidet (26).
Da die ßorade a jede beliebige Richtung haben kann, so wird der Körper
von jeder Ebene iD einem Kreise geschnitten, woraus folgt, dass er eine
Kugol sein muss.

Bemerkung. Der vorstehende Satz kann auch durch einen anderen
Gang gefolgert werden. Nämlich man kann zuerst den Körper betrachten,
welcher von zwei unbestimmt groH»en ebenen Flächen Ä und B, dio sich .
unter irgend einem gegebenen Winkel 9 schneiden, und von einer der
Form nach willkürlichen, aber der Grösse nach gegebenen Fläche a be-
grenzt werden soll. Durch ein gewisscrmasson analoges Verfahren, wio
in der vierten Beweisart für ebene Figuren (20), findet man, dass der
KörpQr ein Maximum wird, wenn er ein keilförmiger Kugelsecter ist, d, h.
wenn A und Ö zwei halbe grosste Kreise einer Kugel sind, und wenn
1 das zwischen denselben liogondo sphärische Zweieck ist. Setzt man
.iodann den Winkel f gleich n, so gelangt man zur Halbkugel; u. ». w.

Zweite Metifode.
FuudaoieQtalsatz.
458. I. Ist eine Kante ab einer dreiseitigen Pyramide ültcd
(Taf. XiV Fig. 17) f,'egebcn, soll dieselbe und die zwei nicht
daran liegenden Ecken c und <:{ beziehlich in drei festen, paral-
lelen Geradon P, Q und R liegen, so bleiben dio der Kante
anliegenden Flachen abil, abc und die l'yramidc an Inhalt cod-
stant, mau mag jene Elemente (</, c und aA) in den festen Gera-
den annehmen, wo man will: dagegen wird die Summe der
lieidcn übrigen Flächen <fcd und bnl ein Minimum, wenn dio
durch die zwei Ecken und durch die Mitte m der Kante gehende

lieber Maximum und Minimum. 301

die Mitten m und n der gegebenen Seiten gehende Ebene dmn
gleich X auf den festen Geraden senkrecht steht, also wenn
die Pyramide in Bezug auf diese Ebene X symmetrisch ist.

in. Sind die Län^enkanten oä, ef^gh eines schräg oder
parallel abgeschnittenen dreiseitigen Prismas aeghfh (Taf. XIV
Fig. 17) gegeben, und sollen dieselben in drei festen, parallelen
Geraden P, S, T liegen, so bleibt das Po'isma (sowie die drei
Seitenflächen) constant, man mag jene Kanten in den festen
Geraden annehmen, wo man will; hingegen wird die Summe
der beiden Grundflächen cLeg und bßi ein Minimum, wenn die
durcji die Mitten w, w, o der drei Kanten gehende Ebene mno
gleich X auf diesen Kanten senkrecht steht, also wenn das
Prisma in Bezug auf diese Ebene X symmetrisch ist.

IV. Gleiches gilt von jedem vielseitigen Prisma, mitEin-
.schluss des Cylinders, nämlich: Sind die Kanten P, S, T, üj ...
einer beliebigen prismatischen Säule fest, und sind irgend
drei Längenkanten eines von ihr abzuschneidenden prisma-
tischen Körpers gegeben, etwa die in P, S und T liegenden
Längenkanten ahy ef und gh, so bleibt der Inhalt des Körpers,
sowie alle übrigen Längenkanten desselben, constant, wo auch
die drei Kanten auf den festen Geraden P, S und T ange-
nommen werden mögen; hingegen wird die Summe der beiden
Grundflächen aed,,. und bfh.,, ein Minimum, wenn die durch
die Mitten m, n^ o^ . , , der Längenkanten gehende Ebene X auf
diesen Kanten senkrecht steht, und somit der Körper in Be-
zug auf diese Ebenen symmetrisch ist.

Beweis. Fall I. Sei die Pyramide so construirt, wie es der Satz
erheischt, dass nämlich die Ebene dem oder X zu den festen Geraden
P, Qj R senkrecht ist, so müssen die aus den Ecken a und b auf den
Flächen 'acd und bcd errichteten Perpendikel ax und bx sich in Irgend
einem, in der Ebene X gedachten. Puncto x treffen, und es muss

ax^=bx = r •

sein. Durch die vier Pyramiden, deren Spitzen im Puncto x liegen, und
(leren Grundüächen die Flächen der Pyramide abcd sind, kann diese
letztere, wie folgt, ausgedrückt werden:

aljcd = xacd-\-xbcd — xabc — xahd, *)

Hält man nun die Kante ab fest .und lilsst die Ecken c und d in den
festen Geraden Q und R beliebig rücken, bezeichnet sie in irgend einer

*) Wären z. H. die einander {bleichen Winkel ar.d und hcd stumpf, so hätte man
-^xtihc statt — Tnfn- zii setzen, u. s. w.

302 Tober Maximum und Uinimum.

neuen Lage durch c, und d^ , so hat man für die Pyramide abCid, den
analogen Ausdruck

abc,d^ = X(K,dj--i-je-bc,d^ — xabc, — xabd,.
Da von diesen fünf Pyramiden die erste, vierte and fünft« den correepoo-
direnden vorigen an Inhalt gleich sind, so muss sein
xacd-\-iä)cd = xac,di-\-a!bCjd^.
Diese zwei Paar Pyramidon haben gerade diejenigen Flächen zu Grund-
flächen (acr^und bcd, ac^d, und ^,<^,), deren Summen zu vergleichen sind.
Die beiden ersten Pyramiden haben gleiche Hohe, nämlich

jede der beiden übrigen hat offenbar kleinere Höhe (weil ihre Grundflächen
(Mirf, und fc|(f, nicht auch zu den festen Geraden xa und «i senkrecht
sein können), man bezeichne sie durch r — a und r — ß, so ist vermöge
der letzten Gleichong

r.acd+r.bcd = (f— a).ac,d,+(r— ß).ic,rf,,
und daraux

r(^ac,d,-i-bc,d, — acd — bctl) ^= a.aCjd,-\-^.l>c^d„
und folglich

aC|rfjTt-Äc,rf, > acd-\-bcd,
was der Behauptung des Satzes gemäss ist.

Die Fälle H, lU und IV folgen leicht aus dem ersten, wie der blosse
Anblick der Figur zeigt, ebenso wie oben in No. fö.

69. Mittelst des vorstehenden Fundamentalsatses läsBt sich jeder ge-
gebene, convexe Körper unter Beibehaltung seines Inhaltes in einen ui-
dcren von kleinerer Oberfläche vorwandeln, welcher in Bezog auf irgend
eine Ebene X symmetrisch ist Die Verwandlung geschieht auf analoge

üeber Maximum und Minimum. ' 303

wofern sie nicht insbesondere durch zwei Ecken geht, wird die Zahl der
Ecken um eine und die Zahl der Flächen wenigstens um zwei Einheiten
vermehrt, (üebrigens sind die Flächen von K^ nicht bloss Dreiecke, wie
nach der Construction scheinen möchte : denn zwei oder mehr an einander
liegende Dreiecke können in die nämliche Ebene fallen und sich zu einem
vier- oder mehrseitigen Polygon vereinigen.)

Auf gleiche Weise kann nun weiter das Polyeder K^ mittelst einer
neuen beliebigen Ebene F in ein anderes K^ verwandelt werden, welches
wiederum kleinere Oberfläche und dabei mehr Ecken und mehr Flächen
hat, und welches in Bezug auf die Ebene Y symmetrisch ist. Ebenso
lässt sich das Polyeder K^ wiederum in ein neues K^ von demselben In-
halte verwandeln, welches abermals kleinere Oberfläche, dagegen mehr
Ecken und mehr Flächen hat, und welches gleichfalls in Bezug auf irgend
eine Ebene Z symmetrisch ist; u. s. w.

Wird insbesondere die zweite Ebene Y zu der ersten X senkrecht •
angenommen, so ist das dritte Polyeder K^ in Bezug auf beide Ebenen
zugleich symmetrisch, so dass es ihren Durchschnitt z zur Symmetral-
Axe hat, d. h. dass jede zu z senkrechte Gerade 06, welche der Ober-
fläche von K^ in irgend einem Puncto a begegnet, dieselbe in einem gleich
weit von z abstehenden zweiten Puncto b trifft, und somit ab durch die
Axe z gehälftet wird. ^Ist femer die dritte Ebene Z zu beiden vorigen
X und Y, oder zu der Axe z senkrecht, so ist das vierte Polyeder K^ in
Bezug auf alle drei Ebenen zugleich synmietrisch und hat ihre drei Durch-
schnitte z, y, X zu Symmetral-Axen, sowie ihren gemeinschaftlichen Durch-
schnittspunct C zum Mittelpunct. Wird alsdann das Polyeder K^ mittelst
beliebiger Ebenen weiter verwandelt, so hat auch jedes folgende Polyeder
K^j i^ , ... einen Mittelpunct.

Da durch wiederholtes Verwandeln das Polyeder so viele Flächen und
Ecken erhalten kann, als man will, die Oberfläche aber stets schwindet,
so können die einzelnen Flächen zuletzt alle sehr klein werden, so dass
die Oberfläche sich irgend einer krummen Fläche nähert, und zuletzt einer
solchen unendlich nahe kommt. Wird in gleichem Sinne umgekehrt eine
beliebige convexe krumme Oberfläche als aus unendlich kleinen ebenen
Theilchen bestehend angesehen, so lässt sich der von ihr umschlossene
Körper K offenbar auf die nämliche Weise in einen anderen symmetrischen
Körper E^ von gleichem Inhalte aber kleinerer Oberfläche verwandeln; u. s. w.

Mag demnach die Oberfläche eines gegebenen convexen Körpers K

\)e8chaffen sein, wie man will, aus ebenen Flächen, oder aus einer einzigen

kruimnen, oder aus ebenen und krummen Flächen bestehen, so kann man

iiin so lange verwandeln und dadurch bei gleichem Inhalte die Oberfläche

verkleinern, als er nicht nach jeder Richtung eine Symmetral-Ebene hat.

Wenn aber der Körper in diesen Zustand gelangt, wo er nach jeder Rieh-

304 ' Ueher Maximum und Minimam.

tuDg eine Symmetral-Ebene hat*), so hört die Verwaodlung auf, oder so
bleibt der Körper der Form und Grösse nach constant. Ein solcher Körper
aber, welcher nach allen Richtungen Symmetral-Ebenen hat, besitzt auch
nach jeder Richtung eine Symmetrai-Äxe , sowie einen Mittelpunct C, in
welchem alle Äxeu sammt jenen Ebenen sich schneiden; woraus weiter
foli;^, dass alle seine Durchmesser gleich sein müssen, oder dass er von
jeder ihm begegnenden Ebene in einem Kreise geschnitten wird; demnach
kann es nur einen einzigen solchen Körper geben, nämlich nur die Kugel.

70. Aus der vorstehenden Betrachtung (69) schliesst maa zunächst
den Tolgenden Hauptsatz:

Unter allen Körpern von gleichem Inhalte hat die Kugel
die kleinste Oberfläche; und unter allen Körpern von gleicher
Oberfläche hat dieselbe deu grössten Inhalt.

Der Beweis dieses Satzes ist deutlich in dem Vorstehenden enthalten
und betlarf keiner Wiederholung.

71, Femer kann inabcsondore auch auf solche Körper geschlossen
werden, welche beschränkenden Bedingungen unterworfen sind, die etwa
zwischen gegobonen Grenzen liegen sollen, a. s. w. ; wie z. B. auf prisma-
tische oder pyrami dal i sehe Körper von gegebener Höhe und gegebenem
Inhalte oder gegebener Soitenftäche. Für diese Beispiele tritt in Hinsicht
der obigen Verwandlung (69) die Beschränkung ein, dass die Hülfsebenen

Xf Y, Z, »zu der Grundfläche des Körpers senkrecht sein müssen.

Man gelangt hierdurch aufs Neue zu den bereits &üher aufgestellten
Sätzen No. 29, HI und No. 44.

Durch die genannte Betrachtung wird endlich auch leicht bestätigt, was
oben (54, Bemerkung) von dem Körper gesagt worden, zu dessen Gattung
die Doppelpyramide gehört. Denn zieht man in einem solchen Körper K
die Hanptdif^onale, d. h. die Gerade zwischen den zwei n-kantigen Ecken,

nach einander folgende

Ueber Maximum nnd Minimum. 305

und nimmt die Hülfsebene X zu derselben senkrecht an, so wird der neue
Körper K^ eine symmetrische Doppelpyramide von der nämlichen Gattung.

72. In analoger Weise, wie in No. 26, kann hier folgende Frage auf-
geworfen werden:

Welche Gestalt kann ein Körper möglicherweise haben,
wenn er 1) zwei, oder wenn er 2) drei gegebene Symmetral-
Ebenen hat?

I. Hat der Körper zwei Symmetral-Ebenen X und Yy die sich unter
einem gegebenen Winkel a schneiden, und ist erstens a:ic commensurabel,
etwa gleich Iitw, so hat er im Ganzen m Symmetral-Ebenen, die sich in
einer und derselben Geraden z schneiden; die Durchschnitts-Figuren dieser
7n Ebenen mit der Oberfläche des Körpers, sowie die Theile, in welche
sie durch die Gerade z getheilt werden, sind auf entsprechende Art ein-
ander gleich, wie oben bei der ebenen Figur die m Axen und ihre Ab-
schnitte (26). Die Oberfläche besteht aus 2m gleichen oder symmetrisch
gleichen Theilen; im Uebrigen bleiben diese Theile unbestimmt. — Ist
zweitens anz incommensurabel , so finden unendlich viele Symmetral-
Ebenen statt, die sich in einer Geraden z schneiden; ihre Durchschnitts-
Figuren mit der Oberfläche sind gleich und jede wird durch die Gerade z
in zwei symmetrische Hälften getheilt, so dass also die Oberfläche offenbar
durch Umdrehung irgend einer Curve um die Axe z erzeugt wird.

IL Hat der Körper drei Symmetral-Ebenen X, Y, Z, die sich in
drei Geraden z, y, x und unter den Winkeln a, ß, ^ schneiden, so muss,
sobald von diesen Winkeln zwei, etwa a und ß, zu ir incommensurabel
sind, der Körper in Rücksicht zweier Axen z und y durch Umdrehung
entstanden und daher eine Kugel — oder ein System von concentrischen
Kugeln — sein. Ist von den drei Winkeln nur einer zu ir inconunensu-
rabel oder gar keiner, so werden doch selbst in dem letzten Falle unter
den drei Systemen von Symmetral-Ebenen (2), (y) und (^), welche zufolge
des vorigen Falles (I) durch die Geraden z^ y und x gehen, sich im All-
gemeinen irgend zwei Paare befinden (wo nämlich die beiden Ebenen jedes
Paares verschiedenen Systemen angehören), die sich unter solchen Winkeln
Hchneideo, welche zu tt incommensurabel sind, so dass dann der Körper
^^iederum eine Kugel sein muss. Es sind nur wenige beschränkte Fälle mög-
lich, die hierbei eine Ausnahme machen*). Daher kann man behaupten:

*) Nämlich im Wesentlichen nur folgende vier:

1) Wenn a = ß = 47: und y beliebig;

2) Wenn a = ^ ir und ß =s y as ^7:;

3) Wenn o = ^ir, ß = iii und 7 = Jir;

4) Wenn 0 = ^7:, ß = iir und 7 = i «.

Eine weitere Discussion dieser Fälle, die zu einigen interessanten Eigenschaften
liahrt, behalte ich mir für einen anderen Ort vor.

Steiners Werke. II. 20

306 lieber Maximum und Hinimiim.

Wenn ein Körper drei Symmetral-Ebonen hat, welche
einander in drei Geraden schneiden, so ist er im Allgemeiaen
eine Kugel, oder ein System von concentrischen Kugeln.

Folgerungen aus ilem Hanptaatze No. TO.

73. Aus diesem Satze kann mao zum Theil in gleicher Weise eine
Reihe von Folgerungen zieheo, wie in der ersten Abhandlung aus dem
Hauptsatze No. 17, nur sind dieselben in Rücksicht der Körper im All-
gemeinea nicht nach Verhäitniss umfassend und bedeutsam, wie dort in
Bezug auf die ebenen und sphärischen Figuren. ])aher mag es genügen,
nur einige dieser Folgerungen hier kurz anzudeuten.

1. Unter allen Körperu aa, welche von einer beliebig
grossen, ebenen Grundfläche a und von einer der Form nach
willkürlichen, aber, der Grösse nach gegebenen Flache a be-
grenzt werden, ist die Halbkugel ein Maximum.

Also insbesondere: Unter allen Rugelsegmenten mit gleich grosser
krummer Fläche a hat die Halbkugel den grössten Inhalt.

U. Unter allen Körpern, deren Oberfläche aus einem ge-
gebenen Kreise a und einer nach Grü.'ise gegebenen, beliebigen
Fläche a besteht, ist das Kugelsegment ein Maximum.

HI. Unter allen Körpern, die von zwei gegebenen Kreis-
flächen a, b und einer nach Grösse gegebenen Fläche st be-
grenzt werden, ist das Kugelstück zwischen den beiden Kreis-
flächen ein Maximum*).

Desgleichen, wenn beliebig viele Kreisflächen a, b, c, . . . gegeben
sind ; u. s. w.

rV. Unter allen Körpern, welche von einem gegebenen
Körperwinkel S mittelst einer nach Grösse gegebenen Flache
a abgeschnitten werden, ist derjenige ein Maximum, bei wel-

Ueber Maximum und Minimum. 307

einer beliebigen, ganz innerhalb des Kegels liegenden Grund-
fläche a abgeschnitten werden, ist derjenige ein Maximum,
welcher ein convexes Kugelstück im umschriebenen Kegel S
ist (d. h. bei welchem a Segment einer dem Kegel S einge-
schriebenen Kugelfläche ist). — In gleicher AVeise repräsen-
tirt das concave Kugelstück im umschriebenen Kegel das
Minimum, wenn (statt der Oberfläche) die Differenz S — a
zwischen der Mantelfläche S des Kegels und der Fläche a ge-
geben ist.

Soll ein Körper von den Mantelflächen zweier gegebenen
geraden Kegel S, S^ und von einer beliebigen Fläche a be-
grenzt werden, soll er innerhalb beider Kegel liegen, und ist
seine Oberfläche gegeben, so ist er ein Maximum, wenn er
ein convexes Kugelstück zwischen den umschriebenen Kegeln
S, S, ist. U. 8. w.

VII. Sind die Grundflächen a, b zweier Körper gegebene
Kreise, und ist die Summe der übrigen Theile a, ß ihrer Ober-
flächen gegeben, so ist die Summe ihrer Inhalte dann ein
Maximum, wenn sie Segmente gleicher Kugeln sind, und wenn
ausdrücklich das Segment über der kleineren Grundfläche
spitzwinklig ist.

Sind die Grundflächen a, 6, c, . . . von beliebig vielen Kör-
pern aoL^ 6p, qf, . . . gegebene Kreise, und ist die Summe der
übrigen Theile a, ß, y, . . . ihrer Oberflächen gegeben, so kann
die Summe ihrer Inhalte nur dann ein Maximum sein, wenn
die Körper Segmente gleicher Kugeln sind; und für das Haupt-
maximum ist zudem noch erforderlich, dass nur allein das
Segment über der grössten Grundfläche stumpfwinklig sein
d arf.

Oder: Sind die Grundflächen a, 6, r, . . . von beliebig vielen
Kugelsegmenten nebst der Summe ihrer krummen Flächen
•^7 ß? Ti • • • gegeben, so ist die Summe ihrer Inhalte im Allge-
meinen so oft ein Maximum oder ein Minimum, als die Seg-
mente gleichen Kugeln angehören. U. s. w.

Allgemeine Bemerkung.

74. Ueber die Körper im Allgemeinen sind noch viele Fragen zu
erledigen, die mehr oder weniger Schwierigkeiten darzubieten scheinen.
Hier mögen nur folgende Beispiele namhaft gemacht werden:

I. Wenn in Rücksicht des vorstehenden Satzes 73, VI statt
des geraden Kegels S ein beliebiger Kegel (oder nur ein Kegel
zweiten Grades) oder ein beliebiger Körperwinkel gegeben

20*

308 lieber Haximnm und Uinimum.

ist, welche Eigenschaft muss dann die Flüche a (für den Fall
des Maximums) haben?

II. Soll ein Körper zwischen zwei parallelen Ebenen lie-
gen, und ist seine Oberfläche nebst dem Abstände der Ebenen
von einander gegeben, so ist die Frage za stellen, unter wel-
chen Bedingungen sein Inhalt ein Maximum sei.

Den Sätzen in No. 69 nnd No. 71 zufolge muss der Körper durch
Umdrehung um eine zu den gegebenen Ebenen senkrechte Axe z ent-
stehen, so dass seine Oberllächo im Allgemeinen zwei in diesen Ebenen
liegende Kreise enthält; femer muss der Körper in Rücksicht der Ebene Z,
welche mit den gegebenen Ebenen parallel ist, und von ihnen gleich weit
absteht, symmetrisch sein, und daher müssen jene Kreise gleich sein ; end-
lich werden die gegebenen Ebenen den übrigen Theil der Oberfläche in
diesen Kreislinien berühren. ,

Ist die gegebene Oberfläche kleiner als diejenige Kugelfläche, welche
die gegebenen Ebenen berührt, aber soll dieselbe an diese beiden Ebenen
anatossen (irgend ein Stück oder bloss einen Punct mit jeder gemein
haben), so ist der Körper immer eine Kugel, verbunden mit einem oder
mit zwei unendlich dünnen Cylindem, die zwischen der Kugel und einer
der Ebenen liegen.

m. Besteht die Oberfläche eines Körpers aus zweiTheilen
a und ß, welche in einem festen, geradlinigen, schiefen Poly-
gon P an einander stossen; ist ß eine feste, polyedrische (oder
irgend eine krumme) Fläche und a die nach Grösse gegebene
Seitenfläche eines Körperwinkels S, so ist die Frage, unter
welcher Bedingung der Körper ein Maximum wird.

Oder, wenn anstatt der SeitenfUche a der Inhalt des Kör-
pers gegeben ist, so soll die Lage des Scheitels £1 bestimmt
werden, für welche <i ein Minimum wird. (Ist es unter der obigen

Ueber einige stereometrische Sätze.

Crelle's Journal Band XXI IL S. 275 — 284.

(Auszug aus einer am 14. Februar 1842 in der Akademie der Wissemtchaften zu

Berlin fs^ehaltenen Vorlesung.)

lieber einige stereometrische Sätze.

Die nachstehenden Sätze haben die Berechnung solcher Körper zum
Gegenstande, welche von zwei parallelen Grundflächen und von Seiten-
flächen, die Dreiecke, Paralleltrapeze, windschiefe oder überhaupt gerad-
linige, krumme Flächen sind, begrenzt werden. Hierbei ging mein Be-
streben vornehmlich dahin, für die Berechnung möglichst bequeme Formeln
zu finden und dieselben elementar und einfach zu beweisen.

§1.

Fundamen talsatz.

^Ist die Grundfläche einer vierseitigen Pyramide ABCDE
ein Paralleltrapez ABCD, ist nämlich AD parallel mit BC, und
wird die Pyramide durch eine Ebene EFG, welche durch ihre
Spitze E und durch die Mitten F, G der nicht parallelen Seiten
ABy CD der Grundflächen geht, geschnitten, so sind die aus den
Ecken A, i?, C\ D auf diese Ebene gefällten Perpendikel gleich,
und der Inhalt der Pyramide ist gleich vier Drittel von dem
Producte aus dem Durchschnitts - Dreieck EFG in eines der
Perpendikel." Und

„Wenn eine der beiden parallelen Seiten der Grundfläche
verschwindet, z. B. wenn BC gleich 0 wird, und somit die Pyra-
mide in eine dreiseitige übergeht, so bleibt auch für diese der
Satz bestehen."

Dieser Satz ist elementar und sehr leicht zu beweisen.

§2.
Man denke sich nun ein solches Polyeder iT, welches von zwei
parallelen Vielecken A, B als Grundflächen, und von Seitenflächen «, «p

312 Ueber einii^e iitereoiaetnsche Sätze.

n„ ... begrenzt wird, welche Paralleltrapeze, oder auch zum Theil Drei-
ecke sind. Die Höhe des Körpers sei H gleich 2k. Die Darchschnitt».
Figur, in welcher der Körper von der Ebene, die den Gnmdflächeo parallel
und in der Mitte zwischen denselben liegt, geschnitten wird, heiase C.
In dieser Ebene, z. B. innerhalb des Vielecks C, nehme man einen be-
liebigen Punct P an und betrachte ihn als gemeinschaftliche Spitze von
Pyramiden, welche die verschiedenen Flächen des Körpers K zu Grund-
flächen haben, und welche also zusammen diesen Körper ausmachen. Die
Pyramiden über den Seitenflächen s, a^, s„ . . . sind alle von der Art, «ie
die im obigen Fundamen talsatze ; Jede wird von der genannten Ebene in
einem Dreieck geschnitten, das dem obigen Dreiecke EFG entspricht, Dod
alle diese Dreiecke bilden zusammen das Vieleck C, so dass also di*
Summe der Pyramiden infolge des Fundamentalsatzes gleich ^hC ist. Die
Inhalte der Pyramiden über den Grundflächen A und B sind ^hA, ^kB.
Demnach hat man für den Inhalt des Körpers K folgenden Ausdruck:

(J) K= iÄ(^+ß-f-4C-) = iH(A+B-{-4C).

Das heisst:

„Der Inhalt des Körpers K ist ein Sechstel von einen
Prisma von gleicher Höhe H und über einer Grundfläche, welc^
so gross ist, als die beiden Grundflächen A, B und die vie^
fache mittlere Darchschnltts-Figur C zusammengenommen."

In jeder Seitenfläche s liegen drei entsprechende und parallele Sei^
«, b, c der drei Vieleckp A, B, C, und es ist immer

diese Gleichung findet auch in dem Falle statt, wo die Seitenfläche ■•

Ueber einige stereometrische Sätze. 31S

nämlichen Seite a der festen Grundfläche A parallel, mit welcher sie
zuvor parallel war; und werden sodann die nämlichen Ecken von A und By
wie anfänglich, durch Gerade (oder Kanten) verbunden, so entsteht ein
Körper iT, , dessen Seitenflächen op, oPj, op,, ... einander durchkreuzen, so
dass an die Stelle der früheren Paralleltrapeze, jetzt sogenannte über-
schlagene Paralleltrapeze treten, und dass der Körper aus verschiedenen
Theilen besteht, welche theils positiv, theils negativ zu nehmen sind *).
Heisst für diesen Fall die mittlere Durchschnitts-Figur C^ und ihre zu a
und b gehörige Seite Cj, so ist jetzt

2c ^ =^ a — 6,

wo also c, sowohl negativ als positiv sein kann; ebenso der Inhalt der
Figur Cj. Ausserdem hat man in analoger Weise, wie oben,

(3) K, = ^E(A-hB+iC\),

(4) 2((^) = (A)-(B),

d. h. „Auch dieser Körper i^ ist ein Sechstel von einem Prisma
von gleicher Höhe und über einer Grundfläche, welche so gross
ist, als seine beiden Grundflächen und der vierfache mittlere
Durchschnitt; und der Umfang dieses Durchschnittes ist der
halben Differenz zwischen den Umfangen beider Grundflächen
gleic'h."

§5. .

Da die Seiten (wie a, b, c, <?,) der Vielecke Ay jB, C, C, respective
parallel sind, so haben diese beziehlich gleiche Winkel (einzelne Seiten
der Grundflächen Ay B sind Null, wofern unter den Seitenflächen der
Körper K, K^ sich Dreiecke befinden); und da femer zwischen den ent-
sprechenden Seiten die Gleichungen ^

2c = a-f-i und 2c, = a — b

stattfinden, so folgt aus einer bekannten Formel — nach welcher der In-
halt eines n-Ecks durch n — 1 Seiten und die von denselben gebildeten
Winkel ausgedrückt wird — für die Inhalte der vier Vielecke nachstehende
Gleichung

(5) A-^B = 2C4-2C,,

d. h. „die Summe der Grundflächen ist doppelt so gross, als die
Summe der mittleren Durchschnitts-Figuren beider Körper".

*) Sind z. B. beide Grandflächen -4, B Vierecke, so besteht der Körper im Allge-
meinen aus drei Theilen, nämlich aus zwei schief abgeschnittenen, dreiseitigen Pyra-
miden, die über den Grundflächen A^ B liegen und sie zu Seitenflächen haben, und
aus einer dazwischen liegenden, durch die vier Seitenflächen a, Oi, a-^, Oj gebildeten
dreiseitigen Pyramide; dann sind jene beiden als positiv und diese letztere als negativ
anzusehen.

314 Ueber einige gtereometriachB Sätze.

Dadurch verwandeln sieh die obigen Ausdrücke (1) und (3) für die
Inhalte der beiden Körper K, K, in folgende:

(6) K = ir(C+iC,),

Das heisst:

„Jeder der beiden Körper ist gleich einem Prisma von
gleicher Höhe und über einer Grundfläche, welche so gross
ist, wie seine mittlere Durchschnitts-Figur und ein Drittel
der mittleren Durchschnitts-Figur des anderen Körpers. "

Die Formel (6) stimmt mit derjenigen überein, welche Herr Koppe
in Bd. XVni. S. 275 von Crelle's Journal aufgestellt und mittelst d«
Integral-Rechnung bewiesen hat*).

Lii^st man die GrundRächen Ä und B durch Vermehrung ihrer Seiten-
zahl in Curven übergehen, so gehen auch die mittleren Durchschnitte C,
C, in Curven und die Seitenflächen der Körper gehen in i^estimmte ab-
wickelbare krumme Flächen S, S, über; nämlich jede dieser Flächen ist
die Enveioppe einer Ebene, die auf beiden Curven A, B zugleich rollt.
Da die bis dahin aufgestellten Formeln (1) bis (?) für diesen Grenzfall
offenbar in gleicher Weise gültig sind, so hat man folgende Sätze:

1) „Wenn ein Körper K oder AT, von parallelen Grund-
flächen A und B, welche beliebige Curven sind, und von einer
krummen abwi<j£elbaren Seitenfläche iS oder S, begrenzt wird,
so ist der Umfang seines mittleren Durchschnittes C oder C,
gerade halb so gross wie die Summe oder die Differenz der
Umfange der beiden Orundflächcn (Gl. (2) oder (4))."

Ueber einige stereoinetribche Sätze. 315

Producte aus der Höhe in die Summe seines mittleren Durch-
schnittes und eines Drittels des mittleren Durchschnittes des
anderen Körpers (Gl. (6) oder (7))."

Gehen die Körper K und K^ insbesondere in abgestumpfte Pyramiden
oder in abgestumpfte Kegel über, so werden die vier Figuren Äj By C, C,
einander ähnlich, so dass sich verhält

(8) Y^iYBiYC:]fC, = a:bic:c, = a:b-.-^^:^^^^

wo a, 6, Cy c, entsprechende Seiten oder irgend welche homologe Dimen-
sionen der Vielecke oder Curven Ay B, C, C, sind. Dadurch modificiren
sich die Ausdrücke (1) und (3), oder (6) und (7) für die Inhalte der
Körper, wie folgt:

(9) K = |Ä4(n-^ -H(^y) = ^HAil+n+n") = ^HA^,

(10) /f. = iÄ^(l-^+(^y) = i^^(l-«+nO = iÄ^^,

wo b : a gleich n gesetzt ist. Oder da nach den Gl. (2) und (4)

2|/C= YÄ+yS und 2YC, = j/^C— >/5,

und daher

(11) 4C = A-hB-^2yÄB und 4C, = ^-f-ß— 2|/ZB,
so gehen sie auch in folgende bekannte Ausdrücke über:

(12) K = iH{A+B-\-YÄBy, K, = ^H(A-\-B—]/ÄB).

§8.

Reduciren sich die Grundflächen auf zwei nicht parallele gerade Linien
A und By so dass ihre Inhalte gleich 0 sind, so wird der Körper K
(oder K^) eine dreiseitige Pyramide; A und B sind gegenüberliegende
Kanten und H ist ihr senkrechter Abstand von einander; der mittlere
Durchschnitt C wird ein Parallelogramm, dessen Seiten den Kanten A, B
parallel und beziehlich halb so gross wie diese sind, so dass also

C = iA.iBsin^,

wo <p der Winkel ist, welchen A und B ihrer Richtung nach bilden.
Demnach hat man in diesem Falle für den Inhalt des Körpers nach Gl. (1)

(13) K= iE. 4C=iHC= iHABsin^,

d. h. „der Inhalt jeder dreiseitigen Pyramide ist zwei Drittel
des Productes aus dem Abstände H zweier gegenüberstehen-
den Kanten Ay B in den mit diesen Kanten parallelen mitt-

Utber einigt! stereometrische Sitze.

Durchschnitt C; oder gleich einem Sechstel des Prc
!s aas den genaunten zwei Kaaten in ihreD Abstaod vo
ider und in den Sinu« ihres Winkels."

§9-
8iud A und B, D und E, i''und G gegenüberstehende Kanten einer
dreiseitigen Pyramide, so wird diese von jeder den Kanten A und B
parallelen Ebene in einem Parallelogramm defg geschnitten, dessen Seiten
beziehlich mit A, B parallel, und dessen Ecken d, e, f, g in den Kanten .^f\
D, E, F, G liegen. Bewegt sich die schneidende Ebene von A bis £, .^. 3,
so beschreibt jede der beiden Diagonalen de, fg des Parallelogramms,,. .9=1,
V.. B. de, ein sogenanntes windschiefes Viereck ADBE, d. i. ein StücLa^'^k
eines hyperbolischen Paraboloi'ds ; und da die Diagonale beständig dacrj- ^'
Parallelogramm hälftet, so wird folglich auch die Pyramide von denwTr.Mi
windschiefen Vierecke in zwei gleich grosse Theile k gleich it, getheilt .^^~ Jt.
Ein solcher Theil wird von drei Flächen begrenzt, nämlich von dem wind- Mz^-
schiefen Viereck ADBE und von zwei (ebenen) Dreiecken, die zwei Seiten- *~^-
tiächen der Pyramide sind. Sein mittlerer Durchschnitt ist ein Dreieck 7Tff"~l
nämlich die eine Hälfte des Parallelogramms C, welches der mittler^^^i"'
Durchschnitt der Pyramide ist; demnach hat man für seinen Inhalt nact^C^^^
Gl. (13)

(14) k = i,.iHC = iHt,

d. h. »der Inhalt jedes der genannten Theile ist zwei Dritte ^^
von dem Productc aus der Höhe H in den mittleren Durch- -^^
schnitt y".

in gleicher Weise ei^eben sich folgende Satze:

Wird ein dreiseitiges Prisma von einer Ebene geschnitten, welch» -ä^
einer Seitenfläche desselben parallel ist, so ist der Schnitt ein Parallelo*:!» *

üeber einigfe stereoraetrische Sätze. 317

Viereck beschreibt, durch welches das Prisma gehälftet wird, und wo
wiederum jede Hälfte

ist. — U. s. w.

§10.
Man denke sich einen Körper Ä, welcher zwei beliebige parallele
Vielecke^, B zu Grundflächen hat, und dessen Seitenflächen 8, 8,, s^, •••
windschiefe Vierecke, oder theils solche Vierecke und theils Parallel-
trapeze und Dreiecke sind. Der mittlere Durchschnitt ist, wie früher
(§ 2), ein geradliniges Vieleck 6. Ueber jede Seitenfläche s, die ein
schiefes Viereck ist, setze man einen solchen Körper i, der die eine Hälfte
einer dreiseitigen Pyramide ist, und zwar von derjenigen Pyramide, welche
die in den Grundflächen Ay B liegenden Seiten a, b des windschiefen
Vierecks s zu gegenüberstehenden Kanten hat, also einen solchen Körper k,
wie er zu Anfang des vorigen Paragraphen beschrieben worden. Alle
diese Körper k mögen auf der äusseren Seite aufgesetzt werden. Dadurch
entsteht ein Körper Ä', dessen Seitenflächen alle eben, nämlich Dreiecke
und Paralleltrapeze, sind, und welcher mit dem vorigen Ä die Grund-
flächen Ay B gemein hat. Sein mittlerer Durchschnitt C besteht aus
dem mittleren Durchschnitte 6 des Körpers Ä und aus einer Summe von
Dreiecken 7, welche einzeln die mittleren Durchschnitte der aufgesetzten
Körper k sind (§ 9), so dass also

C = 6-h2(-r), oder 2(7) = C— 6.

Ebenso besteht der Körper K aus dem Körper Ä und aus der Summe
der Körper k. Daher hat man nach den Gl. (1) und (14)

(^ = K^l(k) = iH(A-\-B-\-^C)-iHl(:d

(15) { = iH(iA-hB-\-4C)-iH(C—(S)

d. h. „auch bei dem Körper^, dessen Seitenflächen zum Theil
oder alle windschiefe Vierecke sind, wird der Inhalt in glei-
cher Weise gefunden, nämlich er ist ein Sechstel des Pro-
ductes aus der Höhe in die Summe der Grundflächen und des
vierfachen mittleren Durchschnittes.*'

Dieser Satz gilt in gleicher Weise für denjenigen Körper Ä,, welcher
entsteht, wenn die Grundfläche B in ihrer Ebene um 180° herumgedreht
wird, und bei welchem also die Seitenflächen einander durchkreuzen, wie
oben §4 beim Polyeder Ä",. Auch finden hier in analoger Weise, wie
oben (Gl. (5), (6) und (7)), die folgenden Gleichungen statt:

(16) ^-+-ß = 26+26,;

(17) ^ = F(6+i6J und ^^ = JI(|64-6J.

318 lieber ciaige atereometrische Sätze-

§11-

LiUist man die Grundflächen A und B, die als Vielecke vorau^esetit
worden, in Curven übergehen, so wird die Seitenfläche des Körpers St
irgend eine geradlinige, krumme Fläche @, d. h. eine durch Bewegung
einer Geraden erzeugte Fläche (surface r^gl^e)\ und dann geht auch der
mittlere Durchschnitt 6 in eine Curve über; die obige Formel (15) bleibt
aber oR'cnbar auch für diesen Fall noch gültig. Demnach folgt der Satz:

„Sind die Grundflächen A, B eines cylinderförmigen Kör-
pers Jt parallel und von beliebigen Curven umschlossen, und
ist die Seitenfläche @ desselben irgend eine geradlinige,
krumme Fläche, so ist sein Inhalt ein Sechstel des Productes
aus der Höhe in die Summe der beiden Grundflächen und deg
vierfachen mittleren Durchschnittes."

Der Satz bleibt in gleicher Weise bestehen, wenn die UmiUage der
Grundflächen nur zum Theil in Curven übergehen und die übrigeo Theile
gerade Linien bleiben, wobei dann in entsprechender Weise die Seiten-
fläche @ aus verschiedenartigen Theilcn bestehen kann, aus allgemeinen
geradlinigen, krummen Flächen und -aus ebenen flächen. Dadurch lässt
sich also der Satz auf beliebige geradlinige, krumme Flächen anwenden,
d. h. ihre Cubatur lässt sich mittelst desselben bewerkstelligen.

Einen einfachen besonderen Fall des vorstehenden Satzes gewährt
das einfache Hyperboloid (kyperholo^de & une nappe). Wird dasselbe
z. B. von zwei parallelen Ebenen in Ellipsen A, B geschnitten, so wird
der Inhalt des von den Grundtluchcn A, B und dem zwischen ihnen
liegenden Theile @ des Hyperboloids begrenzten Körpers Ä auf die an-
gegebene Weise gefunden. Nämlich es ivX dann auch der mittlere Durch-
schnitt 6 eine Ellipse, und wenn man dio halben Axen der EUipsen A.
n. (< iliir-'i) " iinil 1. I' m\\ p, -• \x\\^ •.• Iioncii^hnel. -o !i;i( niiiTt

üeber einige stereometrische Sätze. 319

Nämlich der mittlere Durchschnitt 6 ist hier eine Ellipse, deren Halb-
axen a mid ß — wenn a^ — A' gleich b^ gesetzt wird — beziehlich
bcoi^^ and itang^<p sind, so dass also ihr Inhalt gleich

constant ist. Wenn insbesondere 9 gleich 90^ wird, so ist der mittlere
Durchschnitt ein Kreis.

§12.

Viele von den im Vorstehenden betrachteten Körpern behandelt unter
anderen auch AI. Hirsch in seiner „Sammlung geometri^her Aufgaben'^
(Th. II. § 101—106; § 155—157; § 180—190).* Er findet die Formeln
für den Inhalt durch Hülfe der Trigonometrie und Projection. Die gegen-
wärtige Darstellung ist unstreitig einfacher, zusammenhängender und um-
fassender; auch sind die Formeln zum Theil bequemer. Vergleicht man
seine Formeln mit den hier gegebenen, so ergeben sich z. B. folgende
Relationen.

Für den in § 2 betrachteten Körper K findet Hirsch (S. 204, § 156)
— wenn die Seiten der Grundflächen A und B durch a, a,, a^, ... und
^, /v,, ijj«. • • • bezeichnet werden — die Formel

(20) K = iH(iA-hB)-hiHl[ab,sm(aaJl

Z[öÄ,sin(flra,)] :^ ab^sm(aa^)-{-ab,^sm(aa^)-] ha^n— 2sin(aa»_2)

-hflr,62sin(a,ajH ha,i«-28in(a,an_2)

-f- a„_3 6„_2 sin (a„_s a,.2)-
Diese Formel mit der obigen (1) verglichen, giebt

(21) 2[a6,sin(aa,)] = 4C—A—B;

oder, da nach 61. (5)

A-\-B = 2C-h2C,,

80 folgt

(22) 1 K sin (aa, )] = 2C—2C,,

und in der That sind die beiderseitigen Ausdrücke dieser Gleichung iden-
tisch, wenn man das, was oben (§5) von den Vielecken C und C, an-
gegeben worden, berücksichtigt.

Für den in § 10 beschriebenen Körper Ä giebt Hirsch (S. 252, § 189)
die Formel

fÄ=^//(^+i?)-3iyÄ[a6sin(aÄ)4-J^sin(fc)+crfsin(crf)H-«-'-f-fasin(^a)]
^*^^) \ =iH(A+B)-^Hl[absm(ab)l

wo Uy by Cy . . . t die Projectionen der Seitenkanten des Körpers auf die

320

[Jeber einige sUreometrische Sätze.

Grundfläche A sind. Durch Vergleichung dieser Formel mit der 61. (15)
folgt

(24) 2[ai«inCa6)] = 4(^-1-0—26),
uud vermöge der Gl. (16)

(25) i:[a6.sin(a&)] = 86,.

Oder, da beide Formeln bestehen bleiben, wenn die vrindschiefen
Seitenflächen in Faralleltrapeze, und damit der Körper Jt iu das Polyeder K
übergeht, so hat man auch für diesen Fall

(26) 2taA8in(a6)] = 86',.

Elementare Lösung einer Aufgabe über das
ebene und das sphärische Dreieck. .

Crelle's Journal Band XXVIIL S. 375— 379.

Hierzu Taf . XV Fig. 1 — 5.

Steiner's Werke. 11.

Elementare Lösung einer Aufgabe über das
ebene und das sphärische Dreieck.

Eine elementare Aufgabe über das geradlinige Dreieck, die mir im
Jahre 1840 von Herrn Prof. Lehmus mit dem Wunsche zukam: „leine
rein geometrische Lösung derselben zu finden" und die ich später
gelegentlich Anderen als XJebungsbeispiel^ mittheilte, ist in neußster Zeit
in verschiedenen Druckschriften öffentlich zur Sprache gebracht und gelöst
worden. Irrthümlicherweise wurde aber die Aufgabe theils mir zuge-
schrieben, theils nicht so elementar gelöst, wie der Urheber derselben und
ich es verlangten; auch wurde der Gegenstand mit solchen Bemerbmgen
begleitet, welche meine einfache Absicht, die ich bei gesprächsweiser Mit-
theilung der Aufgabe hatte, weit übertreffen. Dies veranlasst mich — um
Missverständnisse zu verhindern — meine eigene Lösung der Aufgabe, welche
ich damals gefunden und Herrn Lehmus sogleich mitgetheilt habe, hier
nachträglich zu veröffentlichen, zumal da ein grosser Kenner der Geometrie,
Herr Sturmj der von seinen Zuhörern und Anderen verschiedene Lösungen
besass, die meinigo für die elementarste hielt. Bei dieser Gelegenheit
werde ich zugleich auf die Gründe aufmerksam machen, warum die Auf-
gabe für die Rechnung umständlicher ausfallt, als man auf den ersten
Blick vermuthet; ausserdem werde ich auch die Aufgabe etwas allgemeiner
fassen, und zuletzt noch die analoge sphärische Aufgabe behandeln.

Aufgabe L

„Wenn in einem geradlinigen Dreieck die Abschnitte der zwei
Geraden, welche dessen Winkel an der Grundlinie hälften, zwi-
schen den Ecken des Dreiecks und den Gegenseiten gleich lang
sind, so ist die Frage, ob dann das Dreieck gleichschenklig sei."
. Wenn also z. B. in dem Dreiecke AGB. (Taf. XV Fig. 1) Winkel
a = ot,, Winkel ß = p, und die Gerade AD= BE oder a = b^ so ist die
Frage, ob AC=BC oder, was auf dasselbe hinausläuft, ob a = p sei.

Wollte man annehmen, die Winkel a und ß könnten ungleich sein, etwa
a > ß (also auch a^> ß,), so zeigt sich die Unmöglichkeit leicht, wie folgt.

Vermögö der Dreiecke ABB und BEAy die nach Voraussetzung
zwei Paar gleiche Seiten und dazwischen die ungleichen Winkel a und ß

21*

324 Aur^.ibc über das ebeneuml das sphärische Dreieck. .

haben, folgt, dass BD >-^AE oiiet' d>- e äiidWinkeX ADB:> BßA (weil*
&,-l-a+ß > ß,+ß-(-a). Diese Dreiecke denke man sich für einen Augen-
blick (zur bequemeren Uebersicht) in sulchc I<^e gebracht (Taf. XV Fig. 2),
wo sie auf entgegengesetzten Seiten über derselben (inindlinie c^^AB
stehen, und wo die Seiten den durch die.'ielben Buchstaben bezeichneten
in Fig. 1 auf Taf. XV. .gleich .sind. Da nach der Annahme a^b (d. i,
AD^BE Taf XV Fig. 1), so i.st, wenn man die (Jerade DE zieht,
Winkel n = m, und daher, da Winkel D>-E (d.i. Winkel ADB^BEA
Taf. XV Flg. 1), auch Winkel x':>yt, daraus folgt, dass e>-d sein muss,
was dem Vorigen, ii>e, widerspricht. Demnach können a und ß nicht
ungleich, und folglich muss das vorgelegt« Dreieck ACB gleichschenklig sein.
Dieses ist meine oben erwähnte erst« T^sung der Aufgabe. Die
.Schwierigkeit, welche die Aufgabe bei anderer Behandlung darbietet, mag
ihren Grund darin haben, dass^ie eine Voraussetzung nicht so absolut
bostimfnt ist. wie man auf den ersten Blick leicht glauben möchte. Denn
wenn gesagt wird: „die Winkel an der Grundlinie werden ge-
hälftct," so ist dies sowohl auf die inneren als auf die äusseren
^yinkel an der Orundlinic anzuwenden; was dann im Wesentlichen drei
verschiedene Falle giebt, indem nämlich, wenn man die bis an die Gegen-
seiten verlängerten Strahleu, welche die inneren Winkel hülften, durch a
und f>, und diejenigen, welche die Susseren Winkel hälften, durch a, und
/', bezeichnet, entweder

Aufgabe über das ebeue und das sphärische Dreieck. 325

zugleich umfasst, so begreift maD, wie diese, wenu sie nicht geschickt an-
gegriffen jwird, auf höhere Gleichungen führen muss.

Für den genannten Fall (a), mit der Bedingung, dass beide Strahlen
«j, 6, die Gegenseiten jenseits der Spitze C treffen, ist der Beweis dem
obigen fast gleich.

Nämlich wollte man annehmen, es sei ail>ß, (Taf. XV Fig. 3), so
wäre p-+-p>(j'-f-a, und daher AE^ BD (als Seiten der Dreiecke AEB
und BDA) und y>x (als Winket der Dreiecke BCE und ACD, deren Winkel'
bei C gleich sind, und wo a > ß). Bringt man das Dreieck AEB in die
Lage von BE^Ay wobei also BE^ = AE^ ?i = ?> i/i =2/? *o = *i = ^n ®^^-
und zieht die Gerade DE^^ so ist n = m und y^ z> x^ also w-hy, > n-i-x, •
folglich BD>BE,, oder BD>AE; was dem Vorigen, AE>-BD,
widerspricht; daraus schliesst man, dass a^=ßJ und somit das Dreieck
AGB gleichschenklig sein muss*).

Wenn dagegen beide Strahlen a,, b^ den Gegenseiten unterhalb, der
Grundlinie begegnen, wie in Fig. 4 auf Taf. XV, so scheint der Beweis
nicht auf analoge 'Weise stattzufinden. Ich habe dafür den folgenden,
minder einfachen aufgestellt.

Sollten a und ß ungleich sein können, etwa a >> ß, so wäre BF :> AF
und dajier FD> FE, Man nehme FG = FA und FH=FE, so ist
GB = HD (weil nach ^ der Voraussetzung AD = BE oder a^=ii,).
Ferner" sind die Dreiecke HFG und EFA congruent, daher «2 = 0,= a,
. mithin «,;> ßj, und folglich muss die Gerade Gif der Seite CB jenseit D,
etwa in K begegnen, und zwar unter einem Winkel y, welcher, wie leicht
zu sehen, gleich 2s ist. Nun ist vermöge des Dreiecks DAC Winkel
a, =C-\-Dy daher a>Z> (da a = aj), und mithin BD>BA. Nimmt
man BL = BA, so sind die Dreiecke BAJSr und BLG congruent, also ist
£, = e. Aber als äusserer Winkel des Dreiecks GLK ist Sj > 7^ also auch
£>Y; was dem Vorigen, ^ = 25, widerspricht. Folglich könpen a und ß
nicht ungleich sein, d. h. das Dreieck AGB muss gleichschenklig sein**).

Die obige Aufgabe (I) kann übrigens auch etwas allgemeine^ gestellt
und doch ebenso leicht gelöst worden, nämlich, wie folgt.

Aufgab e II.

„Wenn die Winkel an der Grundlinie eines Dreiecks in glei-
chem Verhältniss getheilt werden, so dass a:a, = ß:ß,, und

*) Man könntp übrigens auch, wie folgt , schliessen. Wäre oi > ßi , so wäre auch
wie oben, y> x und p> q, und daher AC> BC; dagegen müsßte, da die Dreiecke
ACD und BCEy vermöge ihrer gleichen Winkel bei '^ und ihrer gleichen Seiten
Ap = BEy gleichen Kreisen eingeschrirjben -sind, und da ^ > a; ist, auch BC > AC
sein, was sich widerspricht. Daher muss ai = ßi und demzufolge AC=^ BC sein. —
Da dieser Beweis sich auf den Kreis stützt, so ist er nicht «0 elementar, wie der obige.

**) Auf fast ähnliche Art lässt sich auch der obige Fall (1) beweisen.

326 Aufgabe aber das ebene und das sph&riscbe Dreieck.

wenn die bis an die Gegenäeiton verlängerten Theilungslinien
AD uDd BE gleich lang sind, so ist die Frage, ob dann da»
Dreieck gleichschenklig sei."

Für die Fälle von Fig. 1 und Fig.-S auf Taf. XV lässt sich in ätm-
lictier Weise, wie oben, zeigen, dass das Dreieck auch unter den g^en-
wärtigen Bedingungen gleichschenklig sein muss.

In Rücksicht des sphärischen Dreiecks lassen sich die beiden ent-
sprechenden Aufgaben zum Theil auf fast gleiche Art elementar behandeln.

Aufgabe UI.

„Wenn die beiden Hauptkreisbogen, welche die Winkel an
der Grundlinie in einefn sphärischen Dreieck hälften, von den
Winkeln bis an die Gegenseiten genommen, gleich lang sind,
so ist die Frage, ob dann das Dreieck gleichschenklig sei."

Es sei im Dreieck AGB (Taf. XV Fig. 5) Winkel B = a,, p = ß,
und der Hauptkreisbt^n AD = BE. Sollten et und ß unglei<^ sein
können, etwa a>p, so wäre BF-> AF, und daher FB>FE. Man
nehme FH==FA und FG = FE, so sind die Dreiecke AFE und HFG
symmetrisch gleich, also Winkel x^=x und «, = 0,. Da das Dreieck
BFD offenbar grösseren Inhalt hat als das Dreieck HFG, so moss auch
seine Winkelsumme grösser sein als die des letzteren; den Winkel bei F
haben sie gemein, und von den tibrigea ist a, >• ß, (well o, = a, >> ß,),
daher muss Winkel y >■ x, , und somit auch y :> x seiD. Da femer die
Dreiecke BAD nnd ABE zwei Paar gleiche Seiten und dazwischen die
ungleichen Winkel a>-ß haben, so ist Seite d>e (d.i. BD:>AE).
Man denke sich nun das Dreieck ABE in der Lage von BAE„ wo näm-
lich Winkel a;, = ir, i^a-l-a,, Seite e,=e (BE, = AE), etc. ist, so
wird man — falls der' Winkel i)ß£^ =7+ß+ß, <:it, d.h. falle- die
Summe der Winkel an der Grundlinie AB im gegebenen Dreieck ACB
' als zwei Rechte ist — durch Hülfe des Hauptkreisbogens DE^

Teoremi relativ! alle coniche inscritte

e circoscritte.

Giornale arcadico di Roma t. XCIX. p. 147—161:
Crelle's Journal Band XXX. S. 97-106.

A cio a^^iiinta la tav. XVI fig. 1 — 3.

Teoremi relativ! alle coniche inscritte

e circoscritte.

I. .

Un punto arbitrario I^ (Tav. XVI Fig. 1), preso nel piano di un dato
triangolo ABC^ si puö sempre riguardaro come il centro di una sczione
conica che tocca i lati de! triangolo. La natura di qucsta sczione conica
e messa in evidcnza dal criterio che segue. S'immagini un secondo
triangolo jVB'C\ i cui vertici siano nel mezzo de' lati del primo trian-
golo ABC. I lati del nuovo triangolo -4'jß' 6", prolungati alFinfinito, divi-
dono tutto lo spazio del piano in sette parti: cioc, uello spazio finito del
triangolo medesimo A'B^C; nei tre 8pazi degli • angoli opposti ai suoi
angoli intern! ; e ünalmcnte nei tre spazi esterni adiacent! ai suoi lati.
La sezione conica sara ellisse, se il suö centro P si trova nell' uno de'
primi quattro spazi; e sarä iperbola, se P si trova noU'uno de'tre spazi
rimancnti. Quando il punto P e in uno de'tre lati dello stesso triangolo
ÄB^C'j 0 nel loro prolungamento, la sezione conica passa al limite dove
si restringe in una retta, e puo esser considerata, quäl piü aggrada, ellisse,
od iperbola.. Allontanandosi il punto P all'infinito , la sezione conica di-
venta una par^bola. . •

Allorche la sezione conica e un'ellisse, la sua area E puö sempre
determinarsi facilmente per la data situazione del suo centro P, Infatti,
chiamate a', ß', 7', le perpendicolari abbassate da P su! lati del secondo
triangolo A*B*C'y ed essende r il raggio del cerchio circoscritte al primo
triangolo ABCy si ha sempre

E^ =.47t-''ra'ßY.
Pel caso deir iperbola, si ha la stessa cquazione purche la quantita E
signilichi Tarea deU'ellisse che ha gl! stessi assi principali dell'iperbola.

II punto P 0 sempre nello stesso tempo 11 centro di un'altra sezione
,conica circoscritta al medesimo dato triangolo ABCy ed ha qui luogo la

330

Teoremi rel. atl» conicb« e

corrispondeDza notabilc, che questa conica e dello stesno geoere che
rrnscritta; e quando ne'ca»i limtti l'iDscritta si riduce ad una retta, la
circoscritta viene a risolversi in un sistema di due parallele.

Anche per l'area dell'cllj^.se circoscritta si ha uaa formula interessante.
Infatti, chiamat« a, ß, i le tre perpendicolari abbassate da P sui lati del
triangolo ABC, ed cssendo F l'area deli'ellisse, sarä sempre

F»

Pel caso deiriperbola vale l'osservazione precedente.

Dalle proposizioni (I) e (II) ai ricava il scguente corollario. Designate
per Ji', F' le aree di dnc nuove ellissi le quali abbiano il medesimo
centro P, e siano inscritte e circoscritte al secondo triangolo A'B'C, si
ha sempre

£" = iE'F.
Dai teoremi precedenti .si dcducono inoltre i seguenti.

III.
Consideriamo le due conicho inscritta e circoscritta al triangolo ABC,
cd aventi comunc il centro ncl punto arbitrario P. Per il bei teorcma
del sig. Potwelet, vi sono innumerevoli altri triangoti a ciascimo .de'quali
le medesime coniche sodo l'una inscritta e Taltra circoscritta, Pe'vertici
dcl triangolo ABC si conducano tre rette parallele ai lati opposti: no
risulterä, simile al triangolo ABC, un nuovo triangolo, i cui lati saranno
dimezzati da'vertici dcl triangolo ABC. Ripet«ndo la medesima costruzione
KOpra ogni triangolo a cui Ic due coniche sono l'una inscritta e l'altra
circoscritta, si ottcrrä una scrie di nuovi triangoli, rispetto ai quali
.tussiaterä la notabile proprieta, che 1» coniche Icro inscritte dal medesimo
centro P, avranno tutte l'area medesima.

Teoremi rel. alle coniche ec. 331

suo centro P. Anche questo problema puo risolversi per mezzo del
triangolo ausiliare A'B^C, ma in un modo un poco piü complicato.

II luogo geometrico de'centri di tutte le coniche di area eguale ed
inscritte al medesimo dato triangolo ABC, e una curva del terzo grado,
i cui asintoti sono i lati del secondo triangolo A'B'C deflnito di sopra,
ed i loro punti di contatto posti nelFinfinito sono nello stesso tempo punti
d'inflessione *). Pel caso della ellisse, questa curva puö avere forme diffe-
renti; vale a dire, oltre i tre rami infiniti negli spazi esterni (i quali,
mediante.il passaggio per l'infinito, formano un tratto. cohtinuo) la curva
nello spazio intemo contiene un'ovale isolata, o un punto isolato (il centro
di gravitä comune ai due triangoli ABC, A'B'C), o nulla piü di reale,

secondoche la data area dell'ellisse sia inferiore, eguale o superiore all'area

4
del triangolo ABC moltiplicata per — 7="^-

VI.

n luogo geometrico de'centri di tutte le sezioni coniche «di area data
e circoscritte al medesimo dato triangolo ABC, e una curva di sesto
grado, la quäle ha punti doppi ne'mezzi -4', B'y C* de'lati del triangolo,
e ha un doppio contatto coi lati stessi ne' loro punti aU'infinito **). Pel
caso della ellisse, questo contatto risulta immaginario; e se Tarea resta
inferiore ad una certa quantitä, i punti doppi riescono tutti punti isolati,
e la curva rimane tutta dentro al triangolo A^B'C; se poi l'area deirellisse
e appunto eguale a questa quantitä (la quäle e l'area del triangolo ABC
moltiplicata per ir), i tre punti A', B\ C diventano punti di regresso.
Se l'area data e superiore alla detta quantitä, la curva de'centri non resta
soltanto neU'intemo del triangolo AB*C\ ma da' punti A\ /?', C" esce

*) Se avyiene che una curva abbia un tale asintoto, ehe il punto di contatto situato
nelPinfinito sia pure punto dUnflessione, allora i due rami della curva cui si avvicina
Fasintoto nelle sue direzioni oppOste, si trovano dalla medesima parte delFasintoto.
Quando 11 contatto neirinfinito e un contatto volgare, i due rami sono situati rispetto
all^asintoto in pafti diverse. Cotesti due rami possono sempre riguardarsi come for-
manti un continuo passando per Tinfinito; come si vedo nclla proiezione polare,
allorche si muta il polo, o punto divista, in modo che la proiezione dol contatto

cada ad una distanza infinita.

**) üna curva si dice avere un doppio contatto con una retta ne'punti posti
air infinito, quando questa retta e asintota nello stesso tempo di quattro rami della
curva nelle direzioni opposte e dalPuna o dalP altra parte della retta. Nella proiezione
polare* questi quattro rami si cangiano in due rami che si toccano mutuamente, e Tasin-
toto diventa la loro tangente commune.

332 Teoremi rel. alle conicbe ec.

I'iiuri' !^;li spazi eütemi ove forma tre cappi. Le tre figure 1, 2, 3 della
tuvola XVI aonessa moätrano la forma doUa uurva, la prima nel ca^o'
doli" iporbola, la sccoiida e la t«rza nc'casi della cIIimmc quaiido la curva
rcsta tutta deutro al triaiigulu A'B'C, c quando csce agli spazi eüterni.
Si vcde diu ucl caso dclla clliäsc, la curva forma äomprc un solo tratto,
0 che unche ncl caso dell'ipcrbola i (<ei rarai iiiÜDiti dclla curva debbono
csserc riguardati comc furmanti un tratto couttQUO, mtdiautc il passaggio
pur .l'iuliiiUo. lufatti uclla ligura dcliuoata, äiaiio abcdef, ed a'b'r/iPe'f,
puuti della curva posti all' iDfiuito: i punti a e a', b e b', cc, debbuuo
oiüsero riiiuardati cume coiucideuti. Cif> posto, si poträ camminare uopra
Uli raoio dclla .curva dal puDto a al punto b' coiiicidcnlc cou b; dal
puiito />, Kopra uQ altro ramu, al punto c* coincidento con c, cc. ; e si
tuniern tuliue dal ptmto / al puDto a' coincideutfi col puuto di parteuza a.

VII.

Dato un (|URitrilatcro coiupleto •), formato da'tre lati del triangolo
AlH' I' da Uli» (juarta retta Q, si sa che i punti mcdii a, 6, c dcllc suo
Irv diagoimli itiacciouu sopra uu» modcsima retta R; c cho uua-conica
HD» puö tuffUR.« i quattro lati dol quadrilatcro, seiiza averc il centru su
quoKta rt'tta K; nc avcr il ci-utn> su questa retta R e toccare tro de'quattro
Inti. s^niza tiMvait- anche il quarto. Inoltrc si vede, dalla i-spezioDo dclla
li)!um, che i lati Ift", <.''A\ A'B' del triaugulo ausUiaro A'B'C, i cui
vi-rtict soiio i uioiii de'lati del triangolo ABC, passaao per i punti a, b, c
dclla retta R; o che, pel priucipio di simmetria, anclio tutti i lati
detrinn^oir »usiliari, iiiscritti analogameute nc'trc altri triangoli formati
da ii^iii \n <lc'(|ualtro lati dol quadrilatcro, hamio lo loru iiitcrsozioni
oolla n>tta R iic'iiii'tleKiiui puuti a, b, c.

Vm ]H)«ito, dosigiiamo per L, AI, N g)i angoli formati da R co'tro
Uli leC, CA', -l'/f, üvvero co'forö paralleli BC, CA, AB: le tre per-

Teoremi rel. alle coniche ec. 333

ciascuno de^quattro triangoli formati dai lati del quadrilatero; dunque il

valore della quantita

rsenL sen Aheu N,

non sarä alteratp, se, invcce dcj triangölo ABC\ prendiamo uno de'tre
rimanenti triangoli. Da cio la proposizione seguente:

„Dato un quadrilatero completo, la retta R passante per i mezzi delle
tre diagonal!, declini cogli angoli a, a,, a.^, a,, da'lati A, ^,, A^, A^,
del quadrilatero, e siano 7*, r,, r,, r^ i raggi de'cirqoli circoscritti ai quattro
triangoli (A^A^AJ, (A.^A^A)^ (A^AA^), (AA^A.^ formati da' lati del
quadrilatero: si avrä

T T T r

sena sena, sena^ sena.

VIII.

Supponiamo adesso che una retta R qualunque attraversi i lati ß'6",
(fA\ A'B' del triaqgolö ^ausiliare A'B'C* ne'punti a, b, c, e chiamiamo
ellittici ed iperbolici gli spazi del piano in cui, secondo il n" I cadono
i centri delFellissi e* dell'iperbole inscritte al dato triangölo ABC. La
retta R non essendo parallela ad alcuno de'lati del triangölo AB^C\ le
sue parti opposte, prolungate aU'infinito, si troveranno sempre l'una in
uno spazio iperbolico e Taltra in uno spazio ellittico. II centro P si
rauova sulla retta JR, sempre nella medesima .direzione, a partire dalla
parte remota alFinfinito nello spazio iperbolico, ove corrisponde ad «na
iperbola infinita, ossia ad una .parabola. L'area deiriperbola^ intesa come
sopra e detto (n** I), diminuisce continuamente, sino a che il centro P
viene ad incontraro la prima volta un lato del triangölo A'B^C, ciö che
avverrä in uno de'tre punti a, 6, c: sia nelpunto a, Da qui il centro P
entra e corre in uno spazio ellittico, sino all'incontro di un secondo lato:
questo incoi\tro sia nel punto b. Poi il centro P rientra e si avanza in
uno spazio iperbolico*, sino all'incontro del terzo lato nel punto e. Final-
mente il centro P esce in uno spazio ellittico, e l'area deirellisse va
continuamente crescendo da zero sino aU'infinito, dov'ella torna a cangiarsi
nella medesima parabola che in principio. Meiftre il centro P cammina
da a in b, la sezione conica e un'ellisse, la cui aroa in que'due punti
svanisce: bisogna dunque che l'area abbia un massimo corrispondente alla
situazione del suo centro P in un puuto- e fra, a e b, Mentre il centro P
si muove da b in c, la sezione conica e un'iperbola la cui area svanisce
in que'due punti: bisogna dunque che ad una situazione del centro P in
un punto h fra b e c corrisponda un'area iperbolica massima. Questi duc
massimi saranno gli unici che esistono, e la posiziono de' punti e, h si
deform ina nel modo seguente. II loro mezzo m e il centro di gravi ta

334 Teorerai rel. alle conicbe ac.

de'tre puoti a, b, c, e la loro distanza da questo pnDto ^

n = mh = y-

ma'-i-mb^-i-mc*

II teorema prccedeute fomisce la soluzione del Tamoso probJema di tro¥are
la Rezione conica inscritta ad un dato quadrilatero la quäle goda di un'area
maä.sima, problcma di cui ai aono occupati i püi illustri matematici , ud
EuUro, un Gauss ed altri. Basta clie la retta R sia quella del n" pre-
cedente VII, cioe la retta paitsante per i mezzi a, b, c delle tre di^ooali
del dato quadrilatero. Si trova in questa mauiera, che fra le sezioni
coitiche inscritte al dato quadrilatero, sono due che hanno un'area massima,
l'una ellisse e Taltra iperbola; che U luezzo m de'loro centri h il centro
di gravitä de'mezzi delle tre diagonali del dato quadrilatero, ovvero de'sei
punti ne'quali s'intersecano idutuameute i lati del quadrilatero; e che final-
mente la distanza de'due centri al punto m e egualo alla quantitä
,/ ma'-i-mb'-\-mc'

IX.
I centri di tutte le sezioni couiche circoscritte al quadrigono*) ÄBCD,
trovansi in un'altra »ezione couica S passante per i mezzi di tutti i sei
lati, e inoltre per le intcrsezioni A^, ß,, C^ delle tre paia di lati opposti;
ne puö una conica avere jl centro sopra S e passare per tre do'quattro
vertici A, ß, C, D, seaza pasnare eziandio per il quarto. Per mezzo di
queRto teorema, l'altro famoso problema di trovare la conica minima fra
tutto le coniche circoscritte ad un dato quadrigono ABCD, si riduce al
seguente: trovare la conica minima fra tutte le coniche che sono circoscritte
al triangolo ABC,^ e che hanno il loro centro sulla conica S or definits,
possante pe'mezzi de'lati del triangolo ABC, owero pe'vertici del triangolo
aiisiliare A'Ii'L". AI iirolilcma propostn siitl.o tal forma si potra appHcare

Teoremi rel. alle coniche ec. . 335

coniügati della conica S. II centro di S e il centro di gravita de'vertici del
quadrigono ABCZ>. Adognuno de'quattro triangoli, detenninati da'vertici
del qüadrigono presi a tre a tre, possono ossere inscritte quattro coniche
simili ad S, e similmeDte situate con essa; e tutte queste sedici coniche
toccano la medesima S, Formato il prodotto delle aree delle quattro
coniche inscritte a ciascuno di questi quattro triangoli, de'quattro prodotti,
0 l'uno sara eguale alla somma de'tre altri, o la somma di due sarä eguale
alla somma de'due altri. Se la conica S e un'ellisse, e, per mezzo della
proiezione parallela, si trasmuta in un circolo, 11 qüadrigono riesce tale
nella proiezione, che ciascuno de'suoi quattro vertici e il punto ove si
segano le altezze del triangolo determinato da'tre vertici rimanenti*).
Per questa asservazione, le varie proprieta della conica S di sopra eposte,
si cangiano in altre che sono di una grande importanza per la geometria
del triangolo rettilineo, e delle quali ho trattato nel libro: ,, Die geometri-
schen Constructumen^ ausgeführt mittelst der geraden Ldnie und Eines
festen Kreises, Berlin 1833 bei Dümmler." **) (Le costruzioni geometriche
eseguite per mezzo deüa linea retta e di un solo cerchio fisso, Berlino 1833,
presse Dämmler.) Questo libro, per le costruzioni geometriche elementar!,
e il supplemento della ingegnosa geometria del compasso del Mascheroni.

XI.

Mediante la proiezione polare ed il principio delle polari reciproche,
possono dalle proposizioni ant6cedenti dedurseüe altre rispetto alle coniche
inscritte ad un quadrilatero, o circoscritte ad un qüadrigono. Delle quali
citerö le seguöHti.

a) Da'sei vertici di un quadrilatero si conducano altrettante rette
parallele in una data direzione: cosi, per ciascun vertice del quadrilatero
passeranno tre rette: due lati del quadrilatero e la retta parallela alla
data direzione. Conduciamo la quarta armo'nica, coniugata sfquesfultima:
si otterranno in questa guisa sei nuove rette che toccano una medesima
conica Cy e questa conica sarä inoltre toccata dalle tre diagonali del qua-
drilatero. Siano t e t^ due tangenti della conica Cy parallele alla data
direzione; si potranno circoscrivere a ciascuno de'quattro triangoli, formati
dai lati del quadrilatero, quattro coniche toccanti le rette t e t^, e. tutte
queste sedici coniche toccheranno la medesima conica C***). Osservo inoltre

*) I vertici del triangolo e la intersezione delle tre altezze (cioe delle tre peq)en-
dicolari calate da^ vertici ai lati opposti) formano sempre un .sistema di quattro punti,
ciascuno de^quali e la intersezione delle tre altezze del triangolo determinato dai tre
altri. Una proprieta conosciuta di questi triangoli, e, che i quattro circoli circoscritti
ai inedesimi sono eguali.

**) Cf. Volume I. pag. 461 di questa edizione.

***) Si possono sempre descrivere quattro coniche, che passino per tre punti dati e
toccbino due rette date.

336 Teoremi rel. all« eoaiche er.

che, cangiando la direziooe data, tutte le coniche C corrispondenti alle
diverse direzioDi, toccano una medestima retta.

6) Inscritta una conica alle tre diagonali di un quadrilatero completo,
si hannü tre tangenti della conica che passaoo per le aci intersezioni de' lati
del quadrilatcro; da ctascuno di quei^ti sei punti al conduca Taltra tangente
ulla medesima conica, e poi un'altra retta la quäle, coiäugata con questa
taogente, formi co'due lati passanti pel medesimo punto, un fa^cio ar-
munico. Tutte le sei quarte armoniche nel detto raodo condott«, .s'inter-
secauo in un medesimo punto.

c) Dato un quadrigono ABCD, siano A,, B„ C,, le intersezioDi di
AD e BC, di BD e CA, di CD e AB; una conica qualunque S circo-
scritta al triangolo A,B,G,, avrä ne'puDti A^, B„ C, una intersezione
co'sei lati AD, BD, CD, BC, CA, AB: dunque la medeKima conica. avrä
coD cia-scuDO di qnesti sei lati, anche un'altra intersezione. Cerchiamo in
ciascun lato un punto, quarto armonico dopo questa intersezione e gli
ostremi del lato: saranno questi sei quarti arinonici in uua medesima
retta /^ I poli di L, rispetto a tutt« le Coniche circoscritte al quadrigono
ABCD, si trovano sulla conica S.

In ciascuno de'quattro triangoli ABC, ABD, BCD, CAD, possono
inacriversi quattro coniche cho abbiano con S la retta L per secante com-
mune (reale, o, ae'condo la denominazione di Poncelet, ideale), e tutte
queste sedici conicha sono toccate dalla medcsitna conica 8. Potendosi .
al triangolo A,B,C, circoscrivero innumerovoli cQuiche S, a ciascuua
corrispondcrä una posizione determinata della retta L: allorche le coniche
8 sono Sonette alla condizione di passare per un quarto punto <leterniinato
Q, la retta Ii girerä intorno ad un altro punto fisso Q'.

. . ■ xii.

Circüscritto ad un circolo un quadrilatero completo,

Teoremi rel. alle coniche ec. 337

XTV.

Ritenute le stesse supposizioni del n® precedento, siano a, 6, e? i piedi
delle altezze del triangolo ABC^ ed immaginiamo i quattro circoli ilisöfitti
al triangolo äbc: i loro centri saranno i punti A^ B^ Cy Z>, ed il circolo
col centro D sara costante, e perö toccherä i lati di*tutto il sistema
de'triangoli abc. I quattro circoli precedenti sono toccati da un altro
circolo, passante per i mezzi de'latl e per i piedi delle altezze del triangolo
abc; ed anche questo circolo sarä costante, e per5 il luogo geometrico del
suo centro sara anch'esso un circolo del centro Z>.

XV.

In questa occasione comunicherö anche un altro teorema.

II vertice A di un cono K di secondo grado, si trovi sopra una super-
ficie S del medesimo grado: le • due superficie avranno per intersezione
comune una curva L. Preso sulla superficie S un punto arbitrario P,
corrispondera a questo un piano polare rispetto al cono K; questo piano
sega, generalmente, la superficie S secondo una conica Uy la quäle, in
generale, avrä due intersezioni B e C colla curva L. In questi punti B
e C si conducano le tangenti alla conica L' le quali s'intersechino in un
punto P': ciö posto, comunque il punto P si muova sulla superficie S, la
retta PP' passerä sempre per un medesimo punto fisso A\

Steiner'8 Werke. II. 22

lieber eine Eigenschaft der Krümmungs-
halbmesser der Kegelschnitte.

Crelle'8 Jonmal Band XXX. S. 271—272.

22»

lieber eine Eigenschaft der Krümmungs-
halbmesser der Kegelschnitte.

1. Zum Behuf der hier mitzutheilenden Eigenschaft ist es zweck-
mässig,, den folgenden bekannten Satz etwas umständlicher aufzufassen:

•„Der Ort der Scheitel aller rechten Winkel, welche einem gegebenen
Kegelschnitte umschrieben sind, ist ein mit dem letzteren concentrischer
Kreis K; das Quadrat seines Radius r ist gleich der Summe der Quadrate
der Halbaxen a und b des Kegelschnittes, also r' = a'±6'."

Ueber diesen Ortskreis K ist in Rücksicht der verschiedenen Kegel-
schnitte Folgendes zu bemerken:

a. Bei der Ellipse ist sein Radius r gleich der Sehne, welche die
Axenscheitel verbindet, also r' = a'-f-6'. Geht die Ellipse in einen Kreis
über, wird also a = b, so ist r' = 2a'.

b. Bei zwei conjugirten Hyperbeln H^ und.Ä^ können nur der einen,
//j, welche die grössere reelle Axe 2a hat, oder welche im spitzen
Asymptotenwinkel liegt, rechte Winkel umschrieben werden, der anderen
Ä, nicht. Also gehört auch nur zu der ersteren ein reeller Ortskreis iC,
für den r' = a' — 6'. Sind die Hyperbeln insbesondere gleichseitige,
so wird /* = 0, d. h. es reducirt sich der Ortskreis K auf seinen Mittel-
punct, alsdann sind die Asymptoten das einzige Paar zu einander recht-
winkliger (reeller) Tangenten, und dieses Paar gehört dann beiden Hy-
perbeln zugleich an.

c. Bei der Parabel geht der Ortskreis K in eine Gerade, nämlich in
die Leitlinie, über.

2. Die Krümmungshalbmesser der Kegelschnitte haben nun zu dem
genannten Ortskreise nachstehende Beziehung:

„Wenn man die Krümmungsradien eines gegebenen Kegel-
schnittes, jeden nach entgegengesetzter Seite hin um sich selbst
verlängert und über den Verlängerungen, als Durchmesser,
Kreise £^ beschreibt, so schneiden alle diese Kreise jenen
Ortskreis Ä' rechtwinklig." Und umgekehrt:

.^4li Eff n irt-ift der KnmHuigshalbmesser der Ke^lscbuitte.

.Beschreibt man eioeo solchen Kreis K^, welcher den ge-
^dbeofB EeceUcknitt in irgend einem Pnncte A berührt und
ladeD dessen Ort$kreis K rechtwinklig schneidet, so ist sein
Darchmes^er allemal dem Krämmungsr&dius des Eegclschnittcs
im yrenaonten Poncte A gleich. Wird der durch A gebende
Ditri:kni«$»er des Kreises K, ober .i4 hinaus um sich selbst ver-
Uncert. 4» kat man des Krümmungsradius seiner Grosse und
Laxe sack.'

Pt«»« Sitte gelten anch für die oben erwähnte zweite Hyperbel B^
(die im stampfen Aspnptotenwinkel liegt (1, b)), wenn man für sie den
iVt^Ltw f der ihr conjugirten ersten Hyperbel H, benutzt, jedoch unter
ikf vetäadeiten Bedingung, dass dieser Kreis K von jedem Kreise K,
im Parchmesser (statt rechtwinktig) geschnitten wird.

Bei dtfT Rückseitigen Hyperbel gehen alle Kreise K^ durch ihren
MinvIpiiiKt, and bei der Parabel liegen die Hittelpnncte aller Kreise £,
in ^RT Leitlinie.

8^ also in einem gegebenen Poncte A eines Kegelsctmittes der
Xrimmungsndins bestimmt werden, so ist nur nöthig, den durch. A
)^>kenden Daiehmesser des xngehörigen Kreises £j zn construiren; was
wlur einfock, wie folgt, gesjchieht:

,ln A errichte man die Karmale AB auf den Kegelschnitt
und constrnire die Harmonische (Polare) n des Punctes A in
Keaag auf den Ortskreis -ff^*); sie schneide die Normale in B,
so ist Alt Durchmesser des zugehörigen Kreises K, and somit
dem verlangten Krümmungsradius gleich."

Für die Hyperbel H^ hat man wieder den Ortskreis von H, zu be-
nutit^u, aber statt « bat man eine andere Gerade ß zu nehmen, welche
parallel tu « ist nnd so Hegt, dass der Mittolpunot von K oder von H,
gloich weit von a und ß absteht; diese giebt alsdann in der Normale den

Lehrsätze und Aufgaben.

Grelle's Jonrnal Band XXX. S. 273—276.

Lehrsätze und Aufgaben.

1. Es sei ABC ein beliebiges Dreieck, H der Durchschnitt seiner
drei Höhen und a, b, c seien die Mitten der den Ecken A, ß, C gegen-
überstehenden Seiten. Wird um H irgend ein Kreis beschrieben, welcher
die Seiten oä, acy bc des Dreiecks abc beziehlich in den Puncten 6*, JB,,
ylj schneidet, so ist allemal ,

AA^ = BB,=CC,,

•

2. „Sind in einer Ebene ein Dreieck und ein Kegelschnitt
gegeben, so kann, wenn das Dreieck fest bleibt, der Kegel-
schnitt ihm im Allgemeinen auf 6 verschiedene Arten einge-
schrieben werden; die 6 Lagen seines Mittelpunctes befinden
sich in einem Kreise, dessen Mittelpunct ein bestimmter aus-
gezeichneter Punct des Dreiecks ist, der. also immer der näm-
liche bleibt, wenn auch der Kegelschnitt seine Form undfirösse
ändert." und umgekehrt: „Bleibt der Kegelschnitt fest, so kann
ihm das Dreieck in 6 verschiedenen Lagen umschrieben werden,
und dann ist der nämliche ausgezeichnete Punct desselben in
allen 6 Lagen gleich weit vom Mittelpunct des Kegelschnittes
entfernt."' Oder: •

„Unter der unendlichen Menge von Kegelschnitten, welche
einem gegebenen Dreieck sich einschreiben lassen, sind nur
immer je 6 und 6. einander gleich (congruent); die Mittelpuncte
von je 6 gleichen Kegelschnitten liegen in einem Kreise, und
alle diese Kreise haben einen ttusgezeichneten Punct des Drei-
ecks zum gemeinsamen Mittelpuncte." — „Ebenso sind unter der
unendlichen Schaar von Dreiecken, welche einem gegebenen
Kegelschnitte sich umschreiben lassen, nur immer 6 und 6 con-
gruent, und die genannten ausgezeichneten Puncto von je 6
gleichen Dreiecken liegen allemal in einem mit dem Kegel-
schnitte concentrischen Kreise."

346 Lehrsätze und Aufgaben-

„Die Mittelpuncte aller einem gegebenen Dreieck einge-
schriebenen ähnlichen Kegelschnitte liegen in einer Curvo vier-
ter Ordnung; von solchen Kegelschnitten sind nur immer 6 und
6 einander gleich, u. s, w."

3. „Einem beliebigen Viereck sei irgend ein Kegelschnitt einge-
schrieben; aus jeder Ecke ziehe man nach den Beriihrungapuncten der
beiden gegenuborstohenden Seiten zwei Strahlen; die auf diese Weise er-
haltenen 8 Strahlen werden allemal von irgend einem anderen KegeK
schnitte berührt." Oder voHständigor:

„Werden bei vier beliebigen Tangenten eines Kegelschnittes aus dem
Schnittpuncte je zweier, Strahlen nach den Benihrungspuncten der beiden
anderen gczc^en, was zosammen 12 Strahlen giebt, so werden von dieSen
12 Strahlen allemal dreimal 8 von ii^end einem Kegelschnitte berührt."

„Einem beliebigen Viereck sei irgend ein Kegelschnitt umschrieben,

und in dessen Eckpuncten seien Tangenten an diesen gelegt, so wird jede

Seit« des Vierecks von den Tangenten in den ihr gegenüberliegenden Ecken

' in 2 Puncten geschnitten und die auf diese Weise entstehenden 8 Pnncte

ÜQgen allemal in irgend einem anderen Kegelschnitte." Oder vollständig:

„Ist einem vollständigen Viereck ein bcliebjgcF Kegelschnitt um-
schrieben, und «erden in den Ecken desselben an den letzteren die Tan-
genten gelegt, so wird jede der 6 Seiten des Vierecks von den Tangenten
in den ihr nicht anliegenden Ecken in zwei Puncten geschnitten, so dass
im Ganzen 12 Puncto entstehen ; von ' diesen 12 Puncten liegen immer
dreimal 8 in irgend einem Kegelschnitte." — Und ferner: „Die jedesmaligen
8 Puncte haben zudem dio Eigenschall, dass sie auf dreif^he Art paar-
weise in vier Geraden liegen, welche sich in einem Functe a, b, e schnei-
den; und zwar sind diese drei Schnittpuncte a, h, c für jedes der drei
Systeme von 8 Puncten die nämlichen;"' q. s. w.

4. „Fünf beliebige Puncto a, b, c, d, e in einer Ebene bestimmen.

Lehrsätze und Aufgaben. 347

■
•

Dy E liegen; diese Geraden gehen beziehlich durch die 5 Fundamental- -
puncte a, 6, c, d, e; die 6- Puncte « in jeder dieser fünf Geraden bilden eine .
Involation etc. ; die 30 Puncte 8 liegen zugleich in den ersten 10 Geraden
Gy in jeder Q liegen 3 Puncte «. Die 6 Geraden A^ ß, C, 2), E schneiden
einander in 10 neuen Puncten t Von den auf diese Weise bestimmten
55 Puncten, nämlich den 15r-f-308+10^, liegen nun, unter anderen,
120 mal 8 in irgend einem Kegelschnitte Ky wobei die jedesmaligen
8 Puncte zusammen von allen fünf Fundamentalpuncten abhängen; und
femer liegen von denselben noch 15 mal 8 in irgend eineltn Kegelschnitte
K^ , wo aber die jedesmaligen 8 Puncte nur von je vier Fundamental-
puncten abhängen.^

Man gelangt zu Eigenschaften, die diesen zur Seite stehen, wenn man
von 5 gegebenen Geraden ausgeht.

5. Zieht man zwischen 6 beliebigen Puncten eines Kegelschnittes
die 15 Sehnen S und .legt in denselben Puncten die 6 Tangenten Ty so
schneiden sich die IbSy ausser in den gegebenen Puncten, paarweise m .
45 Puncten Sy und die 67 schneiden einander in 15 Puncten ty und end-
lich schneiden die 15/S tmd die 67 einander, ausser in den gegebenen
Puncten, in 60 Puncten r. Von diesen 120 Puncten, 45«-f-15^+60r,
liegen unter anderen 900mal 8 in irgend einem Kegelschnitte Ky wobei
die jedesmaligen 8 Puncte zusammen von allen 6 gegebenen Puncten ab-
hängen. Ausserdem liegen von den genannten Puncten auch noch 720mal 8
in irgend einem Kegelschnitte J5J, wo aber jediö 8 Puncte nur von je 5
der gegebenen 6 Puncte abhängen; und femer liegen von denselben noch
45 mal. 8 in irgend einem Kegelschnitte JT,, wobei aber die jedesmaligen
8 Puncte nur « und r sind und von nur je vier gegebenen Puncten ab-
hängen. Im Ganzen liegen somit von den 120 Puncten 1665 mal 8 in
einem Kegelschnitte.^

6. In eine gegebene Ellipse E lässt sich eine Schaar grösster Drei-
ecke ABC einschreiben; nämlich jeder Punct der Ellipse ist Ecke eines
solchen Dreiecks; dieselben haben gleichen Inhalt und ihre Schwerpuncte
liegen im Mittelpuncte M der Ellipse E,

Sind üy b die Halb-Axen und c die Excentricität der Ellipse Ey ist
H der Schnittpunct der. drei Höhen des Dreiecks 4^BC und N derMittel-
punct des ihm umschriebenen Kreises, so finden unter anderen folgende
Eigenschaften statt:

1) Der Ort des Mittelpunctes iV ist eine andere Ellipse E^^ ähnlich
der gegebenen E; die Axen beider fallen verwechselt auf einander, d. h.
dih grosse 2aj-Axe und kleine 2A|-Axe von E^ fallen beziehlich auf die
kleine 2A-Axe und grosse 2a-Axe von E, und es ist

Uli

Lehrsätze und Aufgaben.

2) Ebenso Ut der Ort den Höhenftcbnittpimctes H eine dritte Ellipse
h\, ähnlich äea beiden emten und mit ihnen cODcentrisch, und zwar fallen
ihre Äsen 2n,, 24, auf die gleichnamigen Äsen der zweiten E, und in
Rücksicht ihrer Grösse ist fl,=2o,, ä, = 2Ä[, oder

"' — 26 ' "'. 2a ' ' ~ 2iiÄ

3) Wird im Kreise N (der dem Dreieck ABC umschrieben) der-
jenige Durchmesser PQ gezogen, welcher durch den Mittelpunct Af der
Ellipse £ geht, so wird derselbe von diesem Punct M in zwei solche
Abschnitte MP, MQ gotheilt, deren Rechteck constant ist, nämlich es ist
allemal

PM.MQ = i(a*-hb').

4) Der Radius t des Kreises N wird ein Maximum oder Minimum,
wenn eine Ecke des Dreiecks ABC beziehlich in einem Scheitel der
kleinen' oder grossen Äxe der Ellipse E liegt, unter derselben Be-
dingung wird zugleich das I'roduct der drei Seiten a, ß, y des Dreiecks
ABC bezichlich ein Maximum oder Minimiim. Diese Maxima und
Minima haben folgende Werthc:

t-36' . „,_, .. 3a'4-V

Maximum r := -

31/3

1=^ - V e

Maximum aß-[=^ — V:— a(a'-(-36'); Minimum t
Berlin, im Juni 1845.

3^3

6C3a*+6').

• •

lieber eine Eigenschaft der Leitstrahlen der

Kegelschnitte.

Orelle's Journal Band XXX. S. 337-340.

Ueber eine Eigenschaft der Leitstrahlen der

Kegelschnitte.

Es seien S, S^ die Scheitel der Haupt -Axe und F, F^ die Brenn-
puncte eines Kegelschnittes; es seien ferner P, P, zwei solche Puncte in
der Axe, welche zu den Scheiteln S, 6\ harmonisch sind, und zwar liege
S zwischen P und P,; ferner liege P ausserhalb des Kegelschnittes, so
dass aus ihm zwei Tangenten PT, PT^ an diesen gehen, deren Berühmngs-
sehne TT, die Axe im Puncte P, triflft. Aus einem' der Puncte P oder
P, ziehe man eine beliebige Secante PAB (oder P^ÄE) durch den Kegel-
schnitt, und nach den Schnittpuncten Ä^ B ziehe man aus dem dem
Scheitel S zunächst liegenden Bronnpuncte F die Leitstrahlen FA^=fL,
FB = ^^ sowie endlich nach dem Berührungspuncte T den LeitstFahl
FT=T, so giebt es jedesmal zwei bestimmte constante Grössen- r und k
von der Beschaffenheit, dass immer

(1) (a-r)(ß-r) = (T-r)' = *«,

wie auch die Secahte AB ihre Richtung und dadurch- die Strahlen ä und ß
ihre Grösse ändern mögen, und gleichviel ob die Secante durch P oder
P, gehen mag. Verändert man aber die Lage der festen Pole P und P,,
so ändern sich auch die Constanten r und k.

Dem anderen Brennpuncte F^ entspricht gleichzeitig die nämliche
Constante ky dagegen eine andere Constante r^, und wenn man die Leit-
strahlen Fj^ = a,, F,ß = ß„ Fjjr=T, zieht, so hat man, wie für Fy

Aendem die conjugirten Pole Pund P, ihre Lage, .so bleibt entweder
jdie Summe oder der Unterschied der gleichzeitigen Grössen r und r^ con-
stant; nämlich diese Summe oder dieser unterschied ist stets der Haupt-
Axe 2a des Kegelschnittes gleich, also

(2) r^±:r = 2a.

, Bezeichnet man die Excentricität des Kegelschnittes durch Cy setzt
die Tangente PT=t und den Winkel,, welchen sie mit dem Leitstrahle

352 UeWr eine Eigenschaft der LeiUtrahlen d«r Eegelscbnitte.

FT= T bildet, also den Winkel PTF= -p, ho hat man .

(3) k» = (a^ry^c\

(4) k =T — »■=:i(COa(p.

Unter Umständen können von den Grössen r, r, , o, ß, . . . einzelne
ihr Vorzeichen ändern. Ich will dies nebst einigen anderen Besonder-
heiten bei den verschiedenen Kegelschnitten etwas näher andeuten.

I. Bei der Ellipse kann die Grosse r positiv, negativ oder Null
sein, jenachdem die Pole P und P[ liegen. Im letzten Fall, wo r = 0,
wird die Grösse k der halben kleinen Aie b der. Ellipse gleich, so dass
für diesen Fall (1) •

(5) ' aß = T' = Ä'.
■ Dies giebt den besonderen Satz:

„Beschreibt man mit der halben kleinen' Axe b um den
Brennpunct F der Ellipse einen Kreis, der die Ellipse allemal
in zwei reellen Puncten T und T, schneidet, zieht die Sehne
TT,, die der Haupt-Axe in P, begegnet und legt in ^(oder T,)
an die Ellipse die Tangente TP, welche die Haupt-Axe in P
trifft, zieht ferner aus einem der Puncte P oder P,, gleichviel
aus welchem, eine willkürliche Secante AB durch die Ellipse
und nach ihren Schnittpuncten A and B aus dem Brennpuncte
F die Strahlen a und ß, so ist das Rechteck unter diesen Strahlen
constant, und zwar gleich dem Quadrat über der halben kleinen
Axe."

Rücken nun, von dem genannten Zustande ausgehend, die Pole P
■ und P, dem Scheitel S näher, so ist r positiv ; entfernen sie sich dagegen
.von demselben, so wird r negativ und dimn verwandeln sich die obigen
Ausdrucke in folgende:

= i'\

Ueber eine Eigenschaft der Leitstrahlen der Kegelschnitte. 353

wo die unteren Zeichen in (7) und (8) den Werthen für r, und p^ ent-
sprechen.

H. Bei der Hyperbel sind die Grössen r und r, immer positiv und
für alle Lagen der Pole P und P, ist

(2) r^— r = 2a.

In Rücksicht der Strahlen a, ß kommt es dagegen darauf an, ob die
Schnittpuncte A und B der Secante AB" \m nämlichen Zweige der Hyperbel
liegen, oder nicht. Liegen sie im nämlichen Zweige (der also S zum
Scheitel hat und den Brennpunct F umschliesst), so hat man, wie oben,

(a— r)(ß— r) = (t— r)* = P
und

(«-■'•>)(ß-'-,)=^-n)'=*'-

Dreht nun aber die Secante AB sich so um den feston Pol P oder P,,
bis B sich in's Unendliche entfernt und von da in den anderen Zweig
hinübergeht, so ändert der Strahl ß sein Zeichen, und damit wird nun
gleichzeitig r > a, während zuvor a > r war, so dass alsdann die Formel
in folgende übergeht:

(r— a)(r-hß) = (t— r)' = k^
und

(»• -«>)(»•.+?.) =(t-n)'=F^'.

Die Grössen r und r, lassen sich hier auf eigenthümliche Art construiren.
Aus einem der Pole P oder P,, etwa aus P, ziehe man einer Asymptote
parallel die Gerade PR, welche die Hyperbel in R trifft, und ziehe so-
dann die Leitstrahlen FRy F^Ry so sind diese die verlangten Grössen r
und r,.

ni. Bei der Parabel sind die Pole P und P, jedesmal gleich weit
vom Scheitel S entfernt. Für alle Lagen dieser Pole bleibt die Grösse r
constant, und zwar ist sie stets der Entfernung des Brennpunctes vom
Scheitel gleich, also ist r = FS = e. Die Grösse k ist jedesmal dem Ab-
stände des Poles P oder P, vom Scheitel S gleich, also k = SP= SP, = d.
Daher hat man

(a-eX^-e) = d%

d. h.: „Beschreibt man um den Brennpunct F der Parabel mit
dem Abstände e desselben vom Scheitel S einen Kreis, zieht
sodann aus dem Brennpunct^ nach irgend zwei Puncten A und
B in der Parabel die Leitstrahlen FA und FBy welche vom
Kreise in A^ und P, geschnitten werden, und zieht endlich die
Sehne AB^ welche die Parabcl-Axe in irgend einem Puncto Q
(d. i. P oder P,) trifft, so ist allemal das Rechteck unter den-
jenigen Abschnitten der Strahlen, welche zwischen dem Kreise
und der Parabel liegen, gleich dem Quadrat über dem Ab-

Steiner's Werke. II. 23

364

Geber eine Eigenschaft der Leitstrahlen der Eegelschnitte.

schnitte der Äxe, welcher zwischen ihrem Scheitel und dem
Puncto Q enthalten ist, also AA,.BB, =SQ'."

Daraas scbliesst man weiter den folgenden Satz:

„Schneiden eine beliebige Sehne AB und die Tangenten in
ihren Endpuncten A und B die Parabel-Ase beziehlich in Q.
A^, ßg, und trifft das aus dem gegenseitigen Schnittpuncte der
Tangenten auf die Axe gefällte Perpendikel dieselbe in R, so
ist allemal

SA^.SB, = SQ'=SR'.

Berlin, im April 1345.

Geometrische Lehrsätze und Autgaben.

Crelle's Journal Band XXXI. S. 90— 92.

23*

Geometrische Lehrsätze und Aufgaben.

1. Lehrsatz.

„Wird eine gegebene Fläche F zweiter Ordnung auf ein
rechtwinkliges Coardinaten-System XYZ bezogen, dessen An-
fangspunct A beliebig liegt, so entstehen in jeder Axe X, Y, Z
zwei Abschnitte, von A bis zu den Schnittpuncten mit F ge-
nommen, die beaiehlich durch x und ^j, y und y^^ z und 0, be-
zeichnet werden sollen, und ferner drei Abschnitte oder Sehnen
zwischen den Schnittpuncten, die a, ß, 7 heissen mögen. Wird
das rechtwinklige Coordinaten-System um den nämlichen festen
Anfangspunct A auf beliebige Art herumbewegt, so bleibt der
Ausdruck

a» ^ ß* 7'

«'«I y^y\ ^'^!

constant.^

Für die Curven zweiter Ordnung findet ein analoger Satz statt.

2. Lehrsatz.

„Schneiden sich die drei Diagonalen eines Polyeders von
octaedrischer Form in einem Puncto D und unter rechten Win-
keln, so liegen die Fusspuncte der aus jenem Puncte D auf
die Seitenflächen gefällten Perpendikel allemal alle acht in
irgend einer Eugelfläche." Oder:

„Werden in jeder von drei sich in demselben Puncte D
rechtwinklig schneidenden Geraden Ay By C zwei beliebige
Puncte a und a, b und ß, c und 7. angenommen, gleichviel ob
die Puncte eines jeden Paares auf gleichen oder auf entgegen-

;j58 (ifoaeuitfcbt LOavUze sad AnfiEBbai.

(;«is«(£lea Heiteo von D liegen, so bestimmen diese Pancte, xa
'Ä uud 3, «cht Ebenen

a/rf, a*;g, ie«, a^, Aar);, «aß, oÄc, «^.
und «odsDo liefen die FuNHpuncte der aas dem Puncte D auf
di«Ke scbt Ebenen gefällten Perpendikel in irgend einer Kagel-
fläcb«, uad zugleich liegen zwölf mal vier derselben in einer
Ebene und Momit in einem Kreise."

In der Ebeae bat man den einfacheren Satz:

„8cbiiciden Nich die Diagonalen eine» Vierecks rechtwinklig,
HO lißgen die FusHpuncte der aux ihrem Schnittpuncte D anf die
vier Holten gefällten Perpendikel in einem Kreise." (Dabei kann
daH Viereck convex, concav oder überschlagen sein.)

3. Lehrsatz.

Vit^r beliebige IVucte A, B, C, D va einer Ebene bestimmen, zu je
drni geiiommou, vior Dreiecke; durch die Mitten der Seiten jedes Drei-
eukn liigu man «inon Kreis m, so Hchneiden sich diese vier Kreise m in
eiiioin und domsulben Puncte 1\ Femer: die drei Paare von Geraden AB
uiiil CJi, AC und BD, AD und BC schneiden sich beziehlich in drei
l'uiicton b, e, d, und der durch diese Puncte gelegte Kreis [i geht eben-
falls durch jenen Punot P.

Und ferner: sind D,, C,, £,, A^ beziehlich die Puncte, in welchen
siuli diu in den Dreiecken ABC, ABD, ACD, BCD aas den Ecken auf
(liß ( iiignuNcitun gefüllten Perpoudikol schneiden, so hat der nämliche
Piiiuit /' dioMolho KiK«ii«chaft in Rücksicht dieser vier neuen Puncte, d. h.
ilin vier auf gl«iuhe Weise bestimmten Kreise m, nebst dem Kreise )x,
(dtir ilui'dh diu aualogen Puucto 6,, c„ <l^ geht) schneiden sich alle in

Geometrische Lehrs&tze und Aufgaben. 359

gleichen Kreise um den Punct P; und dieser Kreis P hat mit dem
Kreise M den Punct M^ und mit dem Kreise M^ den Punct M zum
äusseren Aehnlichkeitspunct. Die vier Mittelpuncte m (sowie die vier m^^)
sind die Ecken eines Vierecks, welches dem Viereck ABCD (oder A^B^QD^)
ähnlich ist; die entsprechenden Dimensionen verhalten sich wie 1:2. Die
Kreise \l und ^ berühren einander in P u. s, w. — Die Puncto -4,, ßj,
Cj, 2), fallen beziehlich mit den Puncton Ay ß, C, D zusammen, d. h.
letztere sind selbst die Schnittpuncte der Höhen der vier Dreiecke D^C^B^^
D^C^A^^ D^B^A^, C\B^A^, so dass also in diesem besonderen Falle kein
solcher unendlicher Fortgang stattfindet, wie oben, vielmehr den zweimal
vier Puncten Ay B, C, iD und J)j, C,, B^^ A^ die Reciptocität zukommt,
dass die vier Puncte jeder Abtheilung die Schnittpuncte der Höhen der
durch die andere Abtheilung bestimmten vier Üreiecke sind.

Liegen die vier 'Puncto Ay By C, D beliebig, so findet femer noch
folgende Eigenschaft statt. Zieht man aus jedem Puncte Strahlen nach
den drei übrigen und legt durch die Mitten dieser Strahlen einen Kreis Uy
80 schneiden sich die auf diese Weise erhaltenen vier Kreise n ebenfalls
in einem und demselben Puncte Q. U. s. w.

Hierdurch wird ein jfrüherer Satz in Grelle' s Journal (Bd. IL S. 97,.
Satz 9) *) erweitert

Berlin, im März 1845.

4. Aufgabe.

Folgende zwei Sätze werden allgemein als wahr anerkannt:

I. ^Dass neun beliebige Ebenen allemal wenigstenis von
einer Fläche zweiter Ordnung beführt werden."

n. „Dass der Ort der Scheitel aller rechtwinkligen, drei-
flächigen Körperwinkel, welche einer Fläche zweiter Ord-
nung umschrieben sind, eine mit dieser Fläche concentrische
Kugelfläche ist, die bei den Paraboloi'den in eine Ebene über-
geht.**

Nun denke man sich ein rechtwinkliges Parallelepipedon (oder auch
nur einen Würfel) P und nebstdem durch einen beliebigen Punct D drei
zu einander rechtwinklige Ebenen. Alsdann müssen die sechs Seiten-
flächen von P sammt den drei Ebenen durch D von irgend einer Fläche
F zweiter Ordnung berührt werden (I); und demzufolge müssten dann
die acht Ecken H von P nebst dem Puncte Z> — als Scheitel recht-
winkliger dreiflächiger Körperwinkel, die der Fläche F umschrieben sind
— alle neun in einer Kugelfläche liegen (II). Die acht Ecken E liegen

•) Cf. Bd. I. S. 128 dieser Ausgabe.

860

Geometriscbe Lehrsätze und Aufgaben.

in dor That immer in einer Kugol and bestimmen sie; da aber der Panel
D beliebig ist, so liegt er im Allgemeinen nicht in derselben, so dasa
also die neun Scheitel, %E und D, zusammen weder in einer Kugel noch
in einer Ebene liegen, was offenbar gegen den Satz (II) streitet. Wie
ist dieses Paradoxon zu erklären?

Es ist zu zeigen, dass dieser Widersprach nur scheinbar ist und Aast
er die allgemeine Gültigkeit der beiden obigen Sätze nicht aufhebt.

Berlin, im April 1845.

lieber Lehrsätze, von welchen die bekannten
Sätze über parallele Curven besondere Fälle sind.

Grelle' 8 Journal Band XXXII. S. 75—79.

(Auszug aus einer am 26. März in der Akademie der Wissenschaften zu Berlin

gehaltenen Vorlesung.)

lieber Lehrsätze, von welchen die bekannten
Sätze über parallele Curven besondere Fälle sind.

Es seien in einer Ebene zwei beliebige Curven A, B gegeben; SJ, 33
seien zwei parallele Tangenten derselben und a, b deren Berührungspuncte.
Man lasse die Tangenten auf den Curven gleichzeitig so rollen, dass sie
in jedem Augenblicke parallel sind, bezeichne sie in irgend einer Endlage
durch 21,, 33, und die Berührungspuncte durch a,, 6, und nenne die von
den Berührungspuncten a, b durchlaufenen (oder von den Tangenten über-
rollten) Bogen aa,, M, entsprechende Bogen, sowie je ein Paar gleich-
zeitige Berührungspuncte a, b entsprechende Puncte dieser Bogen.

Aus einem in der Ebene beliebig angenommenen Pole P ziehe man
nach jedem Puncte b des Bogens M, den Strahl Pb und aus dem b ent-
sprechenden Puncte a des anderen Bogens aa^ auf dessen concaver Seite
den Strahl ac parallel Pb und nehme ac = Pbf so ist der Ort des End-
punctes c.des letzteren Strahles irgend ein bestimmter dritter Curvenbogen
cc^^ dessen Puncte c mit den Puncten a, b der Bogen aa^, bb^ in be-
stimmte Correspondenz treten. Dieser Bogen ce^ bleibt stets sich
selbst congrueht und gleichliegend, es mag der Pol P in der
Ebene angenommen werden, wo man will; so dass er aus jeder
anderen Lage, * die einem Pole 5ß entspricht, in die vorige durch eine
bloss geradlinige Bewegung ohne Drehung übergehen kann, indem jeder
Punct in ihm eine Gerade beschreibt, welche parallel und gleich ^P ist.

Zieht man umgekehrt aus einem beliebigen Pol P nach jedem Puncte a
des Bogens' aa, einen Strahl Pa lind aus dem a entsprechenden Puncte b
in 66, den Strahl Äy parallel und gleich Pa, so ist der Ort des Endpunctes
Y wiederum ein solcher Curvenbogen 77,, welcher mit dem vorigen cc^
congruent ist, aber gegen diesen symmetrisch liegt, so dass er erst mit
ihm gleichliegend wird, wenn man ihn in seiner Ebene eine Drehung
von 180® machen lässt.

364 Geometrische Lehrsätze.

Der Bogen cc, wird femer auch noch auf folgendo dritte Art ema^
Verbindet man jedes Paar entsprechender Piincte a, b der Bogen oa,, U^
durch eine Gerade ab und zieht aus irgend einem Pol P den Strahl PC
parallel und gleich ab, bo ist der Ort seines Endpunctes C abermals ein
solcher Curvenbogen CC^, der mit dem Bogen cc, congruent ist und mit
ihm gleich oder symmetrisch liegt, jebachdem , der Strahl PC ans P
nach der einen oder nach der entgegengesetzten Richtljng gezogen wird.
Der Bogen 6'C, bleibt sich selbst gleich und gleichlicgend, während die
Bogen ao, und bb^ ihre gegenseitige Lage durch blosse Verschiebung,
ohne Drehung, beliebig ändern.

Der auf diese drei verschiedenen Arten erzeugte Bogen oc, hat in
Bezug auf die Bogen aa^ und bb^ die doppelte Eigenschaft: 1) „dass
seine Tangente 6 in jedem Puncto c den Tangenten 9, 99 der
Bogen aa,, 66, in den correspondirenden Puncten a, b parallel
ist;" und 2) „dass er in Rücksicht seiner Länge dem Unter-
schiede der Bogen öa, und ää, gleich ist."

Wird bei der obigen ersten Con&truction ans dem Puncto a statt des
Strahles ac- in entgegengesetzter Richtung ein Strahl (uJ auf der con-
vexen Seite des Bogens oa, dem Stralüe Pb parallel gezogen und ad
gleich Pb genommen, so beschreibt auch der Eudpunct d einen Curven-
bogen dd^ , dessen Tangente S) in jedem Puncto d stets den Tangenten
Sl, i8 der Bogen aa,, bb, in den correspondirenden Puncten a, b parallel
ist, und welcher mit sich selbst eongruent bleibt, der auf die Curve M,
bezogene Pol P taa% liegen, wo man will; seine Länge 'aber ist der
Summe der Bogen aa, und bb, gleich. Man liat also .
(I) cc, ^ a^^ — W, (oder cc, ^W, — oo,),

(H) dd^ = aa,-hbb,;

uüd d:

Geometrische Lehrsätze. 365

liebigen Pol P nach jedem Puncte c in cc^ den Strahl Pc und aus dem
entsprechenden Puncte a in oa, den Strahl, aß mit ihm parallel zieht
und a^^=Pc nimmt,, so ist der Ort des Endpunctes ß ein dem Bogen
bb^ gleicher und mit ihm gleichliegender Curvenbogen ßß,.

Zieht man zwischen je zwei entsprechenden Puncten a, b der ge-
gebenen Curven aa^^ bb^ die Gerade ab, so ist der Ort ihrer Mitte 8 ^in
dem oben beschriebenen Bogen dd^ ähnlicher und ähnlichliegender. Bogen
88p dessen Dimensionen sich zu denen von dd^ wie 1:2 verhalten. Der
Bogen 68, bleibt sich selbst congruent, während aa^ und 6i, ihre gegen-
seitige Lage durch blosse parallele Verschiebung ohne Drehung beliebig
ändern. Wird aber der Bogen bb^ in der Ebene um 180® gedreht, und
werden sodann wieder die nämlichen entsprechenden Puncte a und b durch
die Gerade ab verbunden, so ist der Ort ihrer Mitte y jetzt ein dem
Bogen cc,. ähnlicher Bogen xi\ ? der sich auch zu rc, wie 1 : 2 verhält.
Zieht man femer zwischen den entsprechenden Puncten b, c der Bogen
ü,, c€^ die Gerade bcy so ist der Ort ihrer Mitte a ein dem aa, ähn-
licher und ähnlichliegender Bogen aa,, der sich zu ihm ebenfalls wie 1:2
verhält

In Rücksicht der vier Curven a^^^ bb^^ cc^^ dd^ mag noch bemerkt
werden, was leicht zu sehen ist, dass sowohl ihre Evoluten als auch
ihre Evolventen unter sich die nämliche Beziehung haben, wie
Jene Curven selbst.

Besonderer Fall. Ist insbesondere die eine gegebene Curye bb^
ein Kreisbogen, und wird der Pol P in dessen Mittelpunct angenommen,
so werden die beiden Curven cc^ und dd^ der anderen gegebenen Curve
aa^ parallel, und alsdann enthalten die obigen Formeln (T) und (II) den
einen von den zwei bekannten Sätzen über parallele Curven. Der andere
Satz bezieht sich auf den Inhalt der oben genannten Vierecke aa^c^c und
aa^d^d; er folgt aus dem ersten und aus dem Umstände, dass hier die
Strahlen Pb = ac = ad eine constante Länge haben, nämlich dem Radius r
des Kreises gleich sind; denn hierdurch wird der Sector Pbb^ =^r.i6,,
und für die Vierecke hat man

(VI) (aa,c,c=r.

\aa,d,d = r.

aa^ — \r,bb^ =^r.cc^-\-\r.bb^^
^^^^ — , ,aa^-\-\r.bby ^=r.dd^ — ^r.M,,

was den zweiten Satz ausdrückt.

Wird dagegen der Pol P in der Ebene des Kreises bb^ beliebig an-
genommen, so bleiben zwar die Curven cc, und dd^ zufolge des Obigen
.sich selbst congruent, aber sie sind nicht mehr der Curve aa, parallel;
jedoch können sie durch Verschiebung immer mit dieser in
parallele Lage gebracht werden.

366 Geometriscbe Lehraitie.

Bemerkung.

In Sezug auf krummo Oberflächen finden analoge ConstructiODen und
zum T&eil auch analoge Sätze statt. Folgende kurze Andeutung darüber
m^ hier genügen.

Denkt man sich zwei beliebige kromme Oberflächen A und B in
fester T-age und an denselben ii^end zwei parallele Beriihnings-Ebenen 9
und S, nennt diese letzteren entsprechende BerShrungs-Ebenen,
sowie ihre Beriihningspuncte a und 6 entsprechende Puncte der
Flächen; denkt sich femer auf diesen Flächen A und B zwei solche be-
grenzte Flächentheile A^ und B„ welche überall, bis in ihre Grenzlinien,
entsprechende Puncte enthalten, und zieht sodann aus einem im Räume
beliebig gewählten Pole P nach jedem Puncte 6 des Flächentheiles B,
den Strahl Pf> und aus dem entsprechenden Puncte a des anderen Flächen-
theiles-^, mit ihm parallel den Strahl oc, und nimmt ae-^Pb, so ist
der Ort des EndpuncteS' c eine bestimmte dritte Fläche C, , deren Be-
rührunga - Ebene 6 im Puncte c den Berührungs- Ebenen 31 und 39 der
Flächen vi, und B^ in den correapondirenden Puncten a und b parallel
ist. Die Fläche C\ bleibt i^ch selbst congruent und gleicbliegend, es mag
der auf die Fläche £, bezogene Pol P angenommen werden, wo man
will. — Wird aus dem Puncte a der Fläche A^ statt des Strahles ac
ein Strahl ad nach gerade entgegengesetzter Richtung gezt^en, also auch
parallel i%, und wird ebenso ad^Pi genommen, so ist der Ort des
Eudpunctes d in gleicher Weise eine bestimmte vierte Fläche />,, deren
Berührungs-Ebenen denen von A\ und S, in den entsprechenden Puncten
parallel sind, und welche sich selbst congruent und gleichliegend bleibt,
während der Pol P seine Lage beliebig ändert. Zwischen den vier Flächen
findet unter anderen die folgende Relation statt:
(VD) C',4-ß, = 2.d,-h2ß,.

Ist die Fläche B insbesondere eine Kugelfläche und wird ihr Mittel-

Geometrische Lehrsätze.

367

In derselben Vorlesung wurden femer die folgenden Aufgaben be-
handelt:

„Zu zwei in derselben Ebene gegebenen beliebigen Kegel-
schnitten A und B denjenigen dritten Kegelschnitt C zu finden,
in Bezug aufweichen sie einander polar entsprechen, d.h. jeder
die Polar-Figur des anderen isf

Es wurde gezeigt, dass es im Allgemeinen vier solche Kegelschnitte C
giebt, von denen jeder der Forderung der Aufgabe genügt, und dass die-
selben auch unter sich eine merkwürdige Beziehung haben, wonach jeder
von jedem anderen auf eigenthümliche Weise abhängt und dadurch be-
stimmt wird. — Für die sphärischen Kegelschnitte findet alles in gleicher
Weise statt. — Auch die analoge Aufgabe über Flächen zweiter Ordnung
gestattet ähnliche Behandlung; sie lässt im Allgemeinen 8 Auflösungen zu,
und die 8 Flächen, welche der Aufgabe genügen, haben ebensolche gegen-
seitige Beziehung, dass jede durch jede andere auf eigenthümliche Weise
bestimmt wird.

Berlin, im März 1846.

Geometrische Lehrsätze.

Grelle's Journal Band XXXII. S. 182 — 184.

(Auszug aus einer am 27. November 1845 in der Akademie der Wissenschaften

zu Berlin gehaltenen Vorlesung.)

Steiner't Werke. II. 24

7 • ll

Geometrische Lehrsätze.

1. „Eine Curve dritter Ordnung enthält im Allgemeinen
27 solche Puncte P, in deren jedem sie von einem Kegelschnitte
sechspunctig berührt werden kann. Von diesen 27 Puncten sind
9 reell und 18 imaginär. Die Gleichung vom 27"**" Grade, durch
welche die 27 Puncte P bestimmt werden, ist immer algebraisch
aufzulösen, was für die Algebra selbst von Interesse ist."

Von den 27 Puncten P liegen lOSmal drei in einer Geraden, und
diese 108 Geraden haben wiederum eigenthümliche Beziehungen, sowohl
unter sich, als zu anderen von der Curve abhängigen ausgezeichneten
Geraden und Pmicten. So z. B. liegen von den 9 reellen Puncten P neun-
mal drei in einer Geraden, und von diesen 9 Geraden schneiden sich be-
stimmte 3, die sich wesentlich von den 6 übrigen unterscheiden, in dem-
selben Puncte Q, Solcher Puncte Q giebt es im Ganzen 12, wofern alle
27 Puncte P in Betracht gezogen werden, und diese 12 Puncte Q haben
nebstdem noch andere merkwürdige Beziehungen zu der Curve; etc. etc.

2. Werden in einer Curve dritter Ordnung zwei beliebige Puncte P
und Q als fest angenommen, wird femer in derselben ein willkürlicher
Punct A angenommen und die Gerade PA gezogen, welche der Curve
zum dritten Male in einem Puncte B begegnet, wird sodann weiter die
Gerade QB gezogen, welche die Curve zum dritten Male in einem Puncte
C schneidet, wird femer die Gerade PC gezogen, welche die Curve in
einem neuen Puncte D trifft, und werden so weiter die Geraden QDE,
PEFy QFGy . . . gezogen, welche nach der Reihe in der Curve die neuen
Puncte Ey F^ G, ... bestimmen, so entsteht ein der Curve eingeschriebenes
Polygon ^-BCDjEFö..., dessen Seiten der Reihe nach abwechselnd durch
die festen Fundamentalpuncte P und Q gehen, und welches entweder
1) sich nicht schliesst, wie lange auch die Constraction fortgesetzt
werden mag, oder 2) sich schliesst und dann eine gerade Zahl 2n von
Seiten hat. Im letzteren Falle findet folgender Satz statt:

24*

372 Geometrische Lehrsätze,

„Wenn das Polygon sich schlieest, so schlienst ea sich
immer und hat stets die nämliche Seitenzahl 2n, man mag die
erste Ecke A desselben in der Curve annehmen, wo man will."

Zieht man dio Gerade jPQ, welche die Corve in einem dritten Pnncte
R schneidet, legt aus B. eine Tangente an die Curve und nennt den Be-
rühniDgspunct 8, so hat man folgenden Satz:

„Wenn den Fundamcntalpnncten /"und Q ein geschlossenes
Polygon von 2m Seiten entspricht, so entspricht sowohl den
PuQcten P und S, als den Puncten Q und S, als Fundamenta]-
puncten, ein Polygon von 4n Seiten."

Kennt man also zwei Fundamentalpunct« P und Q, denen ein ge-
schlossenes Polygon von 2w Seiten entspricht, so ist es hiemach leicht,
zwei solche Fundamentalpuncte {P und 8 oder Q und S) zu erhalten,
denen ein Polygon von doppelter Seitenzahl 4n entspricht; und auch um-
gekehrt.

In einer gegebenen Curve dritter Ordnung ^ebt es immer unendlich
viele Paare Fundamentalpuncte P und Q, denen ein geschlossenes Polygon
von vorgeschriebener gerader Seitenzahl entspricht Man kann sogar den
einen Punct willkürlich annehmen, während dann der andere noch in
mehrfachen Lagen der Forderung genügen kann.

Solche Punctepaare, denen geschlossene Polygone entsprechen, werden
durch den Satz selbst näher bestimmt und sind für die einfacheren Poly-
gone an folgenden Merkmalen zu erkennen.

a) Soll das Polygon ein Viereck sein, so müssen die Tangenten in
P und Q einander in irgend einem Puncto T auf der Curve treffen. In
diesem besonderen Falle ist es also leicht, geeignete Fundamentalpuncte
P und Q zu finden. Auch folgt daraus, dass, wenn P in der Curve be-
liebig angenommen wird, dann Q in drei verschiedenen Lagen der Forde-
rung genügen kann. Femer folgt daraus, wie Fundamentalpunct« P und

Geometrische Lehrsätze. 373

vStimmcD. Sind ü und V zwei Wondungspuncte, ist X ein willkürlicher
anderer Punct der Curve, und zieht man die Geraden XU und XVy so
sind ihre dritten Schnittpuncte mit der Curve allemal ein Paar Funda-
mentalpuncte P und Q, denen ein Sechseck entspricht. Man schliesst
hieraus, dass, wenn der eine Fundamentalpunct P beliebig angenommen
wird, dann der andere Q in 8 verschiedenen Lagen der Fprderung ge-
nügen kann; ist P reell, so sind von den 8 Puncten Q nur 2 reell, 6 ima-
ginär; etc.

c) Soll das Polygon ein Zehneck sein, so müssen P und Q solche
Lage haben, dass, wenn die Tangenten in denselben die Curve in P, und
Q, schneiden, femer die Geraden PQ, und QP, der Curve in P^ und Q,
begegnen, weiter die Geraden PQ-j und QP^ dieselbe in Pj und Q, treffen,
dass dann endlich die Geraden PQ, und QPj die Curve im nämlichen
Puncto T schneiden.

3. Hat eine Curve vierter Ordnung zwei üoppelpuncte P und Q,
so lassen sich ihr in gleicher Weise Polygone ABCDEF,,. einschreiben,
deren Seiten abwechselnd durch jene festen Puncto P und Q gehen, und
es findet dasselbe Gesetz statt:

„üass, wenn das Polygon sich schliesst, es sich dann immer
schliesst und dabei stets die nämliche gerade Seitenzahl 2n
hat, man mag die erste Ecke A desselben in der Curve an-
nehmen, wo man will.'' Etc.

Bemerkung. Die vorstehenden Sätze (2 und 3) finden in analoger
Weise statt, wenn die Seiten des Polygons Kegelschnitte sind (anstatt
Gerade); nämlich wenn man in der gegebenen Curve drei beliebige feste
Puncto X, Yy Z annimmt, durch dieselben und abwechselnd durch P und
Q Kegelschnitte legt und mittelst solcher Kegelschnitte das der Curve
eingeschriebene Polygon construiit. Etc.

Sätze über Curven zweiter und dritter Ordnung.

Crelle's Journal Band XXXII. S. 300 — 304.

Il <ll> ,11 I •lll I

'Ifll- -■( t « •

Sätze über Curven zweiter und dritter Ordnung.

1. „Durch jeden Punct D einer Ellipse gehen drei Kriimmungskreise
der letzteren, welche sie in irgend drei anderen Puncten A^ B, C osculiren;
und jedesmal liegen die vier Puncte A, J5, C, D in einem Kreise." Dieser
Satz ist ge Wissermassen ein besonderer Fall von dem folgenden Satze.

2. I. Werden in einer Curve dritter Ordnung drei beliebige Puncte
Ay By C angenommen, so gehen durch dieselben im Allgemeinen 9 Kegel-
schnitte Ky wovon jeder die Curve in irgend einem anderen Puncte osculirt;
von diesen 9 Osculationspuncten sind im Allgemeinen drei reell und sechs
imaginär, demgemäss sie durch 3iZ und 6/ bezeichnet werden mögen; s
Diesem entsprechend sind auch von den 9 Kegelschnitten K drei reell und
sechs imaginär.

Von den 9 Osculationspuncten, 3Ä-f-6/, liegen 12mal 3 mit den
drei Puncten A, B, C zusammen in einem Kegelschnitte JST, ; von diesen
12 Kegelschnitten Ä, sind 4 reell und 8 imaginär; nach einer gewissen
Beziehung gruppiren sie sich zu 3 imd 3 in vier Systeme, wovon jedes
einen reellen und zwei imaginäre K^ enthält, und wobei die 3^^, jedes
Systems zusammen durch alle 9 Puncte R und / gehen, so dass keiner
von diesen in zwei von jenen liegt; bei dem einen System geht der reelle
Ä^ durch die 3iJ, und die 6/ liegen, zu 3 und 3, in den zwei imaginären
K^\ bei den drei anderen Systemen gehen die reellen K^ einzeln durch
die Puncte 3Ä und durch 2 imd 2 der Puncte 6/. Durch jeden der
9 Puncte Ä, / gehen vier Kegelschnitte A", *).

*) Es linden noch weitere Eigenschaften statt ; z. B. : Die 9 Kegelschnitte K jpup-
piren sich zu drei in 12 Systeme, entsprechend dem Umstände, wie ihre Osculations-
puncte B, I zu drei und drei in den 12 Kegelschnitten Ki liegen. Die 3 K jedes
Systems schneiden einander (ausser in A, B, C) paarweise in 3 Puncten X, so dass
12 mal 3X oder im Ganzen 36X entstehen. Die 12ir| wurden oben, zu 3 und 3, in
vier Systeme geordnet; die SKi jedes Systems schneiden einander ebenso paarweise in
3 Puncten Y", was im Ganzen 12 Puncte Y giebt. Nun lassen sich femer durch jeden
der 9 Pimcte Ä, / und durch die 3 Puncte A, B, C drei neue Kegelschnitte L legen,
von denen jeder die Curve C, in irgend einem anderen Piuicto Z berührt (was zu-

378 Sätze über Curveu zweitur uuil dritter Ordnung.

II. Durch rilo beliebig ariircnoinmcnen 3 Puncte A, B, C sind die
9 PuDctc! R, I bcHtiinint; auch »iiid durch jcileu der Ictztcrcu dio 8 übrigen,
aber niclit jeue drei bcstinmit. Nämlich vüu den drei l'uncten A, B, C
können iiwei oder alle drei ihre Lage gleichzeitig ändern, während die
9 Puncte R, I fest bleibeu; äntlert dt^;egeD bloss einer von jenen seine
Lage, sü ändern sich auch die letzteren alle. Folgende Angaben werden
(lies klarer und übersichtlicher machen. Der Einfachheit wegen wollen
wir Ulis dabei zunächst bloss auf die reellen Puuctc 'iR beschränken und
sie zu diesem Zwecke durch R, S, T bezelchucn.

Man ziehe die Gerade BC, diu der Cnrve in einem dritten Puncte D
begegnet, und lasse dieselbe sich um diesen festen Punct D herumbe-
wegen, wiibei also die zwei anderen Schnitt[)uncte B, C in jedem Momente
sich ändern und in neue Schnitt« B^,C, übei^ohen, dann entsprechen den
drei Puncteii A, B^, C, immer die uämHchen Puncto R, S, T, d. h. es
gehen durch A, W„, C\ wiederum drei Kegelschnitte K, welche die Curve
beziehlich in den Puncten R, S, "/"csculiren; und immer liegen tlie 6 Puncte
A, B^, (\, R, S, T in einem KogelnichDitte K,. Ebenso kann man nun
weiter dio Gerade AH^ ziehen und sie um ihren dritten Schnittpunct E
mit der Curve hcrumbewegen, wodurch man statt A, B^ neue Schnitt«
A,, ß, erhält, und wo alsdann dem System der drei Puncte ^4,, ß,, C,
dio nämliclien Puncto R, S, T in gleichem Sinne entsprechen wie dem
ursprünglichen System A, B. C.

Man sieht hieraus, dass man, um ein neues System von drei Puncten
A^, ß|, C, zu haben, welchem die Puncte R, S, T in gleichem Sinne
entsjirechen wie den gegebenen Puncten A, B, €, zwei derselben, etwa
A, und ß,, auf der Curve willkürlich annolmien und dazu den dritten (7,
leicht bestimmen kann.

Alle diese Systeme A, B, C; yi,, ß,, 6',; etc., denen die nämlichen
Puncte R, S, T entsprechen, lassen sich auch, wie folgt, bestimmen imd

Sätze über Curven zweiter und dritter Ordnung. 379

liegen *). Und umgekehrt: Zieht mau irgend eiue Gerade G imd weiter
aus den Puncten a, ß, y? io denen sie die Curve schneidet, durch einen
der Puncte Ä, S, T, etwa durch Ä, die Geraden aÄ, ßü, -yÄ, so treffen
diese die Curve allemal in einem der genannten Systeme Ay B, C; etc.
Hiernach giebt es also ebensoviele Systeme Ay By C, als sich Gerade G
in der Ebene ziehen lassen; jeder Geraden G entsprechen drei Systeme
(in Bezug auf Ä, S, T); und umgekehrt, jedem System A, B, C ent-
sprechen drei Gerade G.

2) Legt man durch die drei Puncte Ä, S, T irgend einen Kegel-
schnitt Ä',, so schneidet er die Curve noch in drei Puncten, welche alle-
mal eines der genannten Systeme A\ By C; A^^ jB,, C\ ; etc. bilden. (Ebenso
schneidet jeder Kegelschnitt Ä, welcher die Curve in einem der drei Puncte
R, Sy T osculirt, dieselbe ausserdem in einem ^ojchen System.) Hieraus
ergeben sich folgende nähere Bestimmungen.

Der durch iJ, S, T gelegte Kegelschnitt K^ kann insbesondere die
Curve in irgend einem anderen Puncte osculiren, in welchem dann die
drei Puncte A^, /?,, C\ (oder Ay By C) zusammenfallen; und zwar kann
dies, zufolge (I), in drei reellen Puncten Ä,, S,, T^ (und in 6 imaginären /,)
geschehen, und es müssen diese drei Puncte mit jenen Ä, S, T in einem
Kegelschnitte K^ liegen. Femer findet die Wechselbeziehung statt, dass
auch durch die Puncte Ä,, /S,, T, drei Kegelschnitte K^ gehen, welche
die Curve einzeln in den Puncten Ä, S, T osculiren. Weiter giebt es
9 Kegelschnitte Ä, , von welchen jeder die Curve in einem der Puncte
Ry Sy T und zugleich in einem der Pimcte Ä,, S,, T, osculirt. Endlich
haben die zwei einander zugeordneten Systeme von drei Puncten Ry S, T
und Äp S,, T^ allemal solche Lage, dass, wenn man aus einem Puncte
des einen Systems durch die Puncte des anderen Systems Gerade zieht,
diese drei Geraden der Curve stets in den nämlichen drei festen puncten
Uy Vy W begegnen. Die neun Geraden, welche die Puncte beider Systöme
mit einander verbinden, treffen sich somit, zu 3 imd 3, in den festen
Puncten Uy V, W; diese Puncte liegen in einer Geraden. Sie sind die
reellen Wendungspuncte der Curve.

Die Puncte Ä, Ä, T haben ferner die Eigenschaft, dass die Tangente
in jedem und die Gerade durch die beiden anderen der Curve im näm-
lichen Puncte begegnen, so dass also die Geraden 7S, TR, SR und die
Tangenten in Ä, S, T die Curve in den nämlichen drei Puncten r, s, t

*) Die Aufgabe: „Wenn in der Curve dritter Ordnung drei beliebige
Puncte A^ B, C gegeben sind, in derselben denjonii^en Punct X zu fin-
den, für welchen die Geraden AX, BX, CX der Curve zum dritten Mal in
solchen Puncten a, ß, y begegnen, welche in einer Geraden lie«Tcn;" hat
im Allgremeincn neun Aiiflösunj^en; sie pfiebt fnr A^ die nämlichen, oben (I) betrachteten
neun Puncte 3Ä und 6/.

3S0 S>tt« nW CaiT«n tmeiut und driiur Oidflaw-

schneiden. Ebenso werden durch A,. .S,. T, drei neue Puactc r,. ^. f,
be^timmL Die^e neuen Syitteme r. t, t tmd r,, *,. f, babea dwchwtf
gleiche Eigenschaften wie die vorigen: die sind einuMkr nigronfaeC, ^ti
die 9 Geraden, wekbe sie wechsebeitig verbioden. gebeo ebenblb. a 3
und 3. durch die WeoduDgspuDCle tf, V, W; u. ^ w.

[Q. Aendeit tmi den Puncten A, B, C \Aoss einer «eine La«»- ^
äadeni sich alle 9 Poncte if, /; kommen jene iusbeMMMki« in eine Gcnde
ABC lu liegen, so lösen sich die oben (I) betrachteten Kegebcknitte K
und £, in Systeme \oa zwei Geraden auf: die eine Gerade jedes System«
ist allen gemein; $ie i^ die eben genannte Gerade ABC: die andere L^i
reell oder imaginär, jenacbdem zuvur der betiefende KeceL«hnitt reell
oder imaginär war. Bezeichnen wir diese anderen GeradoL wie zotot di«
Kegebchoille, durch K und A',. so ergiebt sich nn dem obigen (I) un-
mittelbar Folgende«:

.Eine Cnire dritter Ordnung hal im Allgemeinen 9 WeodongspmKie.
drei reelle 3R nnd sechs imaginäre 6/, (ebeft<o 9 Wendnngstai^enten K,
drei reelle ond sechs imaginäre). Von den 9 Wendnngsponcien Uegen
12mal 3 in einer Gnaden A', : tou diesen 12 Geraden K, and 4 reell
und S imaginär: sie grappiren sich zu 3 und 3 in Tier Srsteme. deren
jedes eine reelle nnd zwei imaginäre Gerade £| enthält, die zasunmen
dureh alle 9 Pnncte R nnd / geben: bei dem einen System geht die reelle
Gerade dnreh die ZR, nnd die zwei imaginären Geraden enthalten die 6/
zu 3 und 3: bei den drei übrigen Systemen gehen die reellen Geraden
einzeln durch die 3 Poncte R und dorefa i und i der 6 Puncte /; durch
jeden der 9 Pnncte R, I geben der Gerade A',.~

3. Bne Curre dritter Ordnung kann im Allgemeinen in jedem ihm^
Puncte P Ton einem Kegelschnitte fnnfpnnctig b«ührt werden : lieide Curven
haben dann ausserdem noch einen sechsten Punct A gemein, der. wie folgt,
bestimmt wird. Die Tangenie in /* an die Ourre dritter Ordnung schneide

lieber das dem Kreise umschriebene Viereck.

Crelle's Journal Band XXXII. S. 305 — 310.

Hierzu Taf. XVH— XIX Fi^. 1-4.

lieber das dem Kreise umschriebene Viereck.

Die Lehrbücher der Geometrie enthalten den Satz:

„Dass dem Viereck nur dann ein Kreis sich einschreiben
lasse, wenn die Summen der Gegenseiten gleich sind."

Dieser Satz ist mangelhaft mid unvollständig; er ist in zwei Hin-
sichten nur ein Bruchstück. Man dachte dabei bloss an das convexe
Viereck und selbst bei diesem nur an den Fall, wo der Kreis keine Seite
in ihrer Verlängerung berührt. J)a man aber schon beim Dreieck diese
Beschränkung aufgehoben und statt des einen eingeschriebenen Kreises
vier eingeschriebene Kreise betrachtet hat, so muss auch dem Viereck
eine freiere Auffassung zukommen. Der vollständigere und umfassendere
Satz für das Viereck lautet, wie folgt:

„Jedes Viereck, bei welchem entweder die Summe irgend
zweier Seiten gleich ist der Summe der beiden übrigen, oder
die Differenz irgend zweier Seiten gleich ist der Differenz der
beiden übrigen, ist allemal einem Kreise umschrieben." Und
umgekehrt: „Bei jedem dem Kreise umschriebenen Viereck ist, in
Betracht je zweier Seiten, entweder ihre Summe oder ihr Unter-
schied beziehlich gleich der Summe oder dem Unterschiede der
beiden anderen Seiten."

Dieser Satz gilt gleichma\ssig für alle drei Arten einfacher Vier-
ecke: für convexe, concave (mit einspringendem Winkel) und üb er-
schlagene.

Die beiderlei Bedingimgen über Summe oder Unterschied der Selten
des Vierecks linden immer zugleich statt; jedoch die der Summe nur
auf eine, dagegen die des Unterschiedes auf zwei verschiedene Arten.
Sind a, 6, c, d die Seiten, abgesehen von ihrer Aufeinanderfolge, und ist
in Rücksicht ihrer Grösse

(1) a > 6 > c > d,

384 lieber (la.<> dem Kreise uinitchriebene Viereck.

SO hat man zugleich die drei Gleichungen
ia-hd = b-hc,
(2) { a—c = b—d,

\a—b = c—d;
von denen jede die beiden anderen zur Folge hat. Sind umgekehrt \'ier
Gerade a, b, c, d unter einer dieser Bedingungen gegeben, und verbindet
man sie nach beliebiger Ordnung zu irgend einem Viereck, so ist dieses
dem Satze gomäsa, allemal irgend einem Kreise umschrieben. Es können
aber die vier Seiten nur nach drei wesentlich verschiedenen Ordnungen
auf einander folgen, und somit giebt es in dieser Hinsicht nur drei ver-
schiedene Vierecke F,, F, und F,, die sich am leicht«st«n durch ihre .
Gegenseiten unterscheiden lassen, nämlich'.

F, ^ abdc mit den Gegenseiten a und d, b und e;

F, = alcd mit den Gegenseiten a und c, b und d;

Fj = arM mit den Gegenseiten a imd b, e und rf.
Das Viereck ist durch die vier Seiten nicht bestimmt; vielmehr kann es
seine Form in unendlichfacher Weise andern ; es kann sogar aus einer der drei
Haupt-Arten (convex, concav und überschl^en) in die anderen übergehen.
Von den unzähligen Formen, in welche jedes der drei in Betracht stehenden
Vierecke F, , F,, F, durch stetige Veränderung übei^hen kann, mögen
sechs besonders hervorgehoben werden. Sie sind in den Figuren-Gruppen
1, 2, 3, Taf. XVII— XIX unter I, II, III, IV, V und VI dai^estellt. Für
alle drei Fälle ist Fig. I ein convcxes Viereck, und aus ihm folgen, durch
blosses Verschieben, die fünf übrigen. Wir wollen sie einzeln betrachten.
Fig. 1. Hier kann I fibei^ehen in das Dreieck II, oder in das Drei-
eck III; dort wird die Diagonale ÄC, hier die Dii^onale DB ein Maximum.
Sodann gehen H und Ili in die concaven Vierecke IV und V über, und

Ueber das dem Kreise umschriebene Viereck. 385

weiter das überschlagene Viereck V, welches zuletzt in die Gerade VI
übergeht; wobei DB ein Maximum und zugleich ^C ein Minimum wird.
Auch hier kann I unmittelbar in die Gerade VI übergehen.

Jedes der beiden Vierecke V^ und V^ kann somit von jeder der drei
Arten: convex, concav oder überschlagen sein, wogegen das Viereck F,
nur convex oder concav, aber nicht überschlagen sein kann, weil in einem
überschlagenen Viereck die Summen der Gegenseiten niemals gleich sein
können.

Was die Lage des eingeschriebenen Kreises gegen das Viereck be-
trifft, so liegt er bei allen Vierecken F, innerhalb, dagegen bei allen Vier-
ecken Fj und F, ausserhalb derselben. Bei den obigen sechs Formen
sind folgende nähere Umstände anzugeben.

Fig. 1. Bei I berührt der Kreis jede Seite zwischen ihren End-
puncten; bei II berührt er die Seiten b und d in ihrem gemeinsamen
Endpuncte B; bei IV berührt er die Verlängerungen der Seiten b und d
über B hinaus; und bei VI reducirt er sich auf seinen Mittelpunct, der
zwischen B und D liegt. Bei III imd V findet Analoges statt wie bei
II und IV.

Fig. 2 und 3. Bei I berührt der Kreis alle Seiten in ihren Ver-
längerungen; bei II berührt er zwei Seiten im Puncto B, die zwei an-
deren in ihren Verlängerungen über A und C hinaus, so dass er ausser-
halb des Dreiecks ADC liegt; bei III bejührt er die an B liegenden
Seiten zwischen ihren Endpuncten, die beiden anderen in der Verlängerung
über A und C hinaus; bei IV berührt er zwei Seiten a und d in ihrem
gemeinsamen Endpuncte A und von den übrigen die eine zwischen ihren
Endpuncten und die andere in der Verlängerung;, bei V berührt er die
sich, kreiizenden Seiten zwischen ihren Endpuncten und die beiden an-
deren in ihren Verlängerungen über A und C hinaus, so dass er zwischen
diesen Ecken A und C liegt; bei VI endlich reducirt sich der Kreis auf
seinen Mittelpunct.

Um die den Vierecken F,, F,, F, eingeschriebenen Kreise zu imter-
scheiden, sollen sie beziehlich durch Ä,, Ä,, K^ und ihre Radien durch
r, , r^, r, bezeichnet werden. Jeder dieser Kreise hat in Rücksicht seiner
Grösse im Allgemeinen einen begrenzten Spielraum; sein Radius kann
stetig abnehmen, bis er Null wird; dagegen kann er nicht beliebig zu-
nehmen, sondern nur bis zu einem bestimmten Maximum, welches näher
anzugeben ist.

Man setze

a-\-d = b-{-c = 8,

(3) , {a — c =^b — d=ty

a — b = c — d = u,

Steiner't Werke. II. 25

386 Ueber dos dem Kreise muschriebone Viereck.

Diese GleichuDgen drücken beziehlich das Verhalten der Gegenseiten
bei den drei Vierecken V„ V„ F, aus. Werden die Maxima der Radien
*■,, r„ r, dnrch Ä,, ft,, Ä, bezeichnet, so hat man

und daher

(5) fi,,fi.:«.=4:i:A.,

und weil s > O « ist, so ist auch

(6) Ä,>ß, >Ä,.

Hiemach lässt .sich die Möglichkeit oder Unmöglichkeit der folgenden
Aufgabe leicht ermessen.

„Ein Viereck, dessen Seiten gegeben sind und zudem den
obigen Bedingungen (2) genügen, einem gegebenen Kreise K
zu umschreiben."

Ist R der Radius des gegebenen Kreises, und ist R :> R,, so ist die
Lösung unmöglich. Ist di^egen Ä<;ft,, so sind 6 reelle Lösungen mög-
lich; nämlich von jedem der drei Vierecke V^, V^, V^ sind zwei ver-
schiedene möglich. Ist ferner R~>- R,, aber R<iR^, so sind 4 reelle
Lösungen möglich ; nämlich von den Vierecken V^ und F, sind von jedem
zwei möglich. Und ist endlich R:>R, und Ä<:Ä,, so sind nur zwei
verschiedene Vierecke F, möglich. Diese als möglich angegebenen Vier-
ecke sind zu constmiren.

In äetracht der drei Vierecke V„ V^, V^ können auch besondere Fälle
eintreten. Die Seiten können theilwei.ie, oder auch alle einander gleich
sein, ohne dasa dadurch die obige Bedingung (2) gestört wird. .Nämlich

lieber das dem Kreise umschriebene Viereck. 387

Maxima werden hier

Im Falle (7) sind alle drei Vierecke gleich, sind Rauten, und für die
Maxima hat man

(9) Ä, =ia; Ä,=Ä, = -^=oo.

Werden die Seiten eines einfachen Vierecks verlängert, so entsteht
das vollständige Vierseit, und dieses besteht dann aus drei einfachen
Vierecken, von welchen das eine convex, das andere concav und das
dritte überschlagen ist. Ist eines dieser einfachen Vierecke einem Kreise
umschrieben, so sind auch die beiden anderen, sowie das vollständige
Vierseit demselben umschrieben. Und umgekehrt: je vier Tangenten
eines Kreises bilden ein umschriebenes vollständiges Vierseit, bestehend
aus drei einfachen Vierecken, die alle demselben Kreise umschrieben
sind, so dass die Seiten eines jeden der obigen Bedingung (2) genügen.

Es sei Fig. 4 ein vollständiges Vierseit. Die drei einfachen Vierecke,
welche es enthält, sind

das convexe ABCDA = 21,

das concave EDFBE = 33,

das überschlagene AECFA = 6.

Nach bloss äusserlichem Ansehen der Figur kann der eingeschriebene
Kreis sich nur auf zwei Arten gegen das vollständige Vierseit verhalten:
nämlich er liegt entweder

a) im «Räume X,
oder

P) im Räume Y.

Im Falle (a) sind bei den Vierecken 21 und 33 die Summen und bei
6 die Unterschiede der Gegenseiten gleich; oder bei @ sind die Summen
der den Ecken A und C anliegenden Seiten gleich. Also ist

(AB+CD = AD+CB,

(10) j BE+DF = BF+DE,

\aE-{-AF= CE-hCF,

Im Falle (ß) sind in jedem der drei einfachen Vierecke die Unter-
scliiede der Gegenseiten gleich; oder bei 21 sind die Summen der den
Ecken A und 6', bei 33 die Summen der den Ecken E und F, und bei
(5 die Summen der den Ecken E und F anliegenden Seiten gleich. In
Zeichen ist also

(AB^AD = CB-hCD,

(11) IeB^ED = FB+FD,

[EA-i-EC = FA-^Fa

25*

388 Deber das dem Kreise umschriebene Viereck.

Hieraus lässt sich entnehmen, wie man, wenn eines der drei einfathcn
Vierecke SS, S, 6 unter der Bedingung (2) gegeben ist, alsdatiQ auf das
Verhalten der beiden anderen , sowie auf die Lf^;e des Kreises schlieRsen
kann. Z. B. bei dem überschlagSnen Viereck 6 liegt der Kreis immer
zwischen denjenigen Gegen-Ecken (A und C, oder E und F), an denen
die anliegenden Seiten gleiche Summen haben; u. s. w.

Bemerkung. Der obige Lehrsatz Ober das dem Kreise umschriebene
ebene Viereck, sowie die übrigen Betrachtungen über dasselbe, finden auf
gleiche Weise auch für das sphärische V^iereck statt.

Elementare Lösung einer geometrischen Auf-
gabe, und über einige damit in Beziehung
stehende Eigenschaften der Kegelschnitte.

Crelle's Journal Band XXXVII. S. 161—192.

(Auszug aus einer am 19. April 1847 der Akademie der Wissenschaften zu Berlin

vorgelegten Abhandlung.)

Hierzu Taf. iX Fig. 1—4.

Elementare Lösung einer geometrischen Auf-
gabe, und über einige damit in Beziehung
stehende Eigenschaften der Kegelschnitte.

§1-

Aufgabe I. „Aus der Spitze C eines Dreiecks ABC nach
irgend einem Puncte D der Grundlinie AB eine solche Gerade
('D zu ziehen, deren Quadrat zu dem Rechteck unter den Ab-
schnitten der Grundlinie, AD und J?Z), ein gegebenes Verhält-
niss hat, wie m-.n.^ Und

IL „Wenn die Grundlinie AB der Grösse und Lage nach
gegeben ist, so soll die Grenzlage für die Spitze C gefunden
werden, über welche hinaus die Forderung (I) unmöglich wird."

Erste Auflösung.

Man setze m:n = qy so soll sein

CD' = q.AD.BD.

L Was zunächst die Construction der geforderten Geraden CD^ sowie
deren Möglichkeit und Unmöglichkeit betrifft, so ergiebt sich dieses Alles
leicht, wie folgt.

Man beschreibe um das Dreieck ABC (Taf. XX Fig. 1) den Kreis
und ziehe mit seiner Grundlinie parallel die Geraden ü und V, deren
gleicher Abstand p von derselben sich zu der Höhe h des Dreiecks ver-
hält, wie w:m, so dass also

h:p = vi:n = q.

Zieht man nun weiter aus der Spitze C durch die Schnitte E und
is, , F und F^ der Parallelen U, V und des Kreises die Geraden CF, CE^ ,
CFj CF^^ welche die Grundlinie in D und 2>,, 2) und 2)j treffen, so sind

392

Ek-aiei^MB Löstug einer geometrischen Aufgabe, und über einige

CD, CD,, 6©, OD, die vier vcrschiedeDen Geraden, welche der Ford«
ruDg (1) geaügen. Dcdd vermöge des Kreises Lst z. B.

CD. DE = AD. DB,
und zufolge der Constniction

CD:DE = hip = q,
folglich ist

CZ)' = q.AD.DB.

Von deo vier Puncteu der GruDdlinie, nach welchen die verlangte
Goraden gezogen sind, liegen allemal zwei, D und D^, zwischen den End
puncton der Grundlinie AB, wogegen die beiden anderen, 3) und S),, av
ihrer YerlSiigerung, und zwar entweder auf jeder Seite einer, wie in Fig.
auf Taf. XX, oder beide auf einerlei Seite wie in Fig. 2 auf Taf. XX liegen, j(
nachdem nämlich beziehlich m>-R, oder m<Cti ist. Ist insbesondere m=^;
und h^p, 80 geht V durch die Spitze C, F vereinigt sich mit C, un
dann fällt 62), auf V, so dass der Punct 5)j sich in'a Unendliche eatfem
und die Gerade CS) wird Tangente des Kreises im Puncto C.

Hiernach ist es auch klar, wie die construirt^n vier Geraden paai
weise unmöglich oder imaginär werden können. Denn je nach Beschaffet
heit der gegebenen Grössen m, n, k kann die eine oder andere Parallele i
oder V, oder es können beide zugleich jenseits des Kreises liegen, w
dann das eine oder beide Geradenpaare unmöglich werden. Beim Uebej
gangsfall, wo eine der Parallelen U oder V den Kreta berührt, fallen di
beiden Geraden des bezüglichen Paares in eine zusammen.

Bemerkung. Die vier Geraden CD, CD,, CS), C©,, oder einfacht
bezeichnet, d, rf,, 6, S, bilden paarweise mit den Schenkeln des Dreieck:
CA und CB, oder « und b, gleiche Winkel, nämlich ea ist

Winkel (aä) = (bd,), und Winkel (a5) = (65,),
weil Bogen AE = BE„ und Bogen AF = BF,.

damit in Beziehung stehende Eigenschaften der Kegelschnitte. 393

den Durchmesser des umschriebenen Kreises und das Perpen-
dikel auf die Gegenseite, so bilden dieselben mit den anliegen-
den Seiten gleiche Winkel."

Nimmt man für einen Augenblick das Dreieck ABC als gegeben,
dagegen p oder q = h:p als unbestimmt an, so ist klar, dass q ein
Minimum wird, wenn die Parallele ü oder V den Kreis berührt, in
Eq oder F^ (Taf. XX Fig. 2); dabei fallen d und d^ in eine Gerade d^,
oder 6 und 8, in eine Gerade 8^ zusammen, diese Geraden d^ und 8^
hälften also die (inneren imd äusseren) Winkel an der Spitze C. Seien
Z)^ und S)o die Puncto, in welchen diese Geraden die Grundlinie treffen,
so ist also einerseits dl'.AD^.BD^^ und andererseits hliASi^^BS)^ ein Mini-
mum. — Ist insbesondere das Dreieck an der Spitze C rechtwinklig, so ist

dl : AD,.BD, = 8; : A^,,B^,.

IL Was nun die zweite Frage über die Grenzlage der Spitze C betrifft,
wenn die Grundlinie AB als fest und q als gegeben angenommen wird,
so lässt sich dieselbe getrennt, das eine Mal in Betracht der inneren
Geraden dy d^ und das andere Mal in Rücksicht der äusseren Geraden
8, 8j, wie folgt, leicht beantworten.

A. Wir haben bereits gesehen, dass d und rf, nur so lange möglich
sind, als die Parallele ü den Kreis schneidet, und dass also der Zustand,
wo ü den Kreis nur noch berührt, die Grenze bildet. Dabei vereinigt
sich der Punct E^ mit E, D^ mit D und die Gerade d^ mit d. Der
Punct E (Taf. XX Fig. 3) ist die Mitte des Bogens AEB, und sein Ort
^- wenn das Dreieck und der ihm umschriebene Kreis sich ändern —
ist die auf der Grundlinie AB, in deren Mitte M, senkrechte Gerade Y,
Die Gerade d hälftet den Winkel {ph) an der Spitze C Wird unter
diesen Umständen AD=^a^^ BD=b^ und ö,+i, =2y, oder AfA=MB=^
gesetzt, so hat man zunächst

(1) d' = qa^b^,

(2) - = i-

Da nach einem bekannten Satze über das Dreieck

ab = d'-f-a,^,,
so ist femer (1)

(3) ab = (l-\-q)a,bi='^-±^d\
Aus (2) und (3) folgt:

(4) V.+^^J-^I,

und daraus weiter

(5) o+6 = (a,-l-^)Vl-h9 = 2Yl/H-?,

394

Elementare Lösud)[ einer t;«i metrischen Aufgabe, und ober eioiee

d. b. die Summe der Schenkel a-\-b ist cormtant. Man setze <
Oonstante

271/1+9 = 2a, und a^'—f = ß',

I ist

1/1+?=

(6)
oder
(7) $ = 1+,i

1 _

:^Yib=-l-YiJ,.

(8)

>Iaii setite feroer CE = e, DE =/ nad AE=^ BE = g, so ist

d\f=h:y^q, und e^d+f,
oder

(9) d = ,,/, und . = (1+5)/=
und weiter

(10) e:d:/= a':f:-i^;

(11) de = ab; df=a,b,; ef=—ab = ^ab.

1 P

Üa die Dreiecke DEB und DAC ähnlich sind, so ist

(12) ^. =-^ = i=etc. (6),
und weiter

(13) ?=7/=v«=-ßi''=yV«'.

Wird der Winkel (ab) oder ÄCB durch ip bezeichnet und bemerkt, dass
Winkel BÄE=^^'^, so ist

damit in Beziehung stehende Eigenschaften der Kegelschnitte. 395

yi-hq:l; dass daher auch die Summe 2a der Schenkel constant

ist und sich zur Grundlinie 2^ ebenfalls wie Yl-hq:l verhält (6);
u. s. w." Oder:

„Die gesuchte Grenze ist eine Ellipse, welche die End-
puncte Ay B der festen Grundlinie zu Brennpuncten hat, und
deren grosse Axe 2a sich zur Grundlinie oder doppelten Ex-

centricität 2^ verhält, wie yi+j:!, oder deren halbe grosse
Axe a, halbe kleine Axe ß und Excentricität 7 sich verhalten,

wie |/l-h? : V? : l.*'

„Jede Ellipse hat folgende Eigenschaften: Zieht man aus
irgend einem Puncto C derselben die beiden Leitstrahlen o, b
und errichtet die Normale CE, so theilt letztere das Stück AB
der Hauptaxe X zwischen den Brennpuncten allemal in solche
Abschnitte, a, und i,, welche zu den ihnen anliegenden Leit-
strahlen constantes Yerhältniss haben, und zwar wie y-^9 ^* ^'
wie die Excentricität zur halben grossen Axe." „Ebenso hat
das Rechteck unter den genannten Abschnitten, a^b^, zum Qua-
drat der Normale d^ — diese bis an die Hauptaxe X genommen

— constantes Verhältniss, nämlich wie Y'•ß^ ^'^' wie das Qua-
drat der Excentricität zum Quadrat der halben kleinen Axe."
„Desgleichen hat das Quadrat der Normale, d^y zum Rechteck
unter den Leitstrahlen^ ab, constantes Verhältniss, wie ß*:a',
d. h. wie die Quadrate der halben Axen; u. s. w. (7)." »Die drei
Abschliitte der Normale zwischen ihrem Fusspunct C lind ihren
Schnittpuncten 2>, E mit den Axen Xy Y haben unter sich con-
stantes Verhältniss, und zwar wie die Quadrate der halben Axen
und der Excentricität, nämlich es verhält sich ß:d:/=a^:p':Y'
(10); also verhalten sich die Stücke, dund e, der Normale bis an
die Axen X, Y umgekehrt wie die Quadrate der respectiven
halben Axen; u. s. w." „Das Rechteck, de, unter den Stücken d, e
der Normale bis an die Axen ist gleich dem Rechteck, ab, unter
den Leitstrahlen; u. s. w. (11).*' — »Die Gerade g, welche einen
der Brennpuncte mit dem Schnittpunct E der.N(>rmale und der
zweiten Axe Y verbindet, verhält sich zum Stück der Normale
bis an diese Axe, e, wie die Excentricität zur halben grossen
Axe (13), und zum Stück der Normale zwischen den Axen, /, wie
die halbe grosse Axe zur Excentricität (13); so dass also g die
mittlere Proportionale zwischen exxndf, oder g^ = ef iat^ u. s. w."

— »Die mittlere Proportionale, |/ai, zwischen den Leitstrahlen,
a und b, multiplicirt in den Cosinus ihres halben Winkels, ^9,
ist constant, nämlich gleich der halben kleinen Axe ß (14).*'

396 Elementare LüguDg eioer geoinetri sehen Aufgabe, und ober einige

Mao setze den Halbmesser C'Jt/^ß, und denke sich den coDJU(prt«o
Halbmesser MH = a^ gezogen, so ist letzterer bekanntlich gleich der
mittleren Proportionde zwischen den Leitstrablen a und b aus C, , also
a, = ]/(ä> und somit ist (14)

a,C08^cp = p.

Wird der Winkel, welchen die Leitstrahlen aus dem Scheitel H ein-
schliessen durch <!< bezeichnet, so ist ebenso

ß,C08i^. = ß.

Nun ist bekanntlich a'+pj^a'+ß'; daher folgt für die Winkel <p
und <{i leicht die interessante Relation:

(15) tangV+tangi^' = -^=-,

d. h. „Die Winkel, welche die zwei Paar Leitstrablen aus den
Hcheiteln C, H irgend zweier conjugirten Halbmesser der Ellipse
unter sich bilden, haben die Eigenschaft, dass die Summe der
Quadrate der Tangenten der halben Winkel constant ist, näm-
lich gleich ist dem Quadrat der Excontricität, dividirt durch
das Quadrat der halben kleinen Äxc."

Für die Axen - Scheit«! ist tangito'^i und tang4')('=^ 0, was
P
auch stimmt.

Für die besondere Ellipse, deren Axen sich vorhalten, wie die Diago-
nale des Quadrats zur Seite, oder bei welcher a'^2p'^27*, hat man

(16) taugi^'+tangi-p' = 1.

Für diese besondere Ellipse treten überhaupt in den obigen Gleichungen
und Sätzen ähnliche interessante Moditicationen ein. Sie entspricht der
vorgelegten Aufgabe für den speciellen Fall, wo das Quadrat der aus der
Spitze C des Dreiecks zn ziehenden Geraden, CD oder d, dem Rechteck

damit in Beziehung stehende Eigfenschaften der Kegelschnitte. 397

(1) ö' = 9«2*2»

a b

(2)
(3)

ab = a,h,—V = (1— 9)aA = ^~^ 3»,

(4) yi-, = - = .j-,

(1. li. die Differenz der Schenkel a, i des Dreiecks ist constant. Man setze

2y|/1— ^ = 2a, und. y'— a' = ß^
so ist

(6) A = Viir,= «=f;

Wird CF=e, 35F=/ und AF=BF=</ gesetzt, so ist femer

h:f=h:p = q, und c^/ — 8,
oder

(9) 0 = ^/, und . = (l-5)/=iz^8;

(10) e:h:/ = a'i^^if;

1 y'

(11) 8^ = ab; 8/ = a^i,; ^/ = — aÄ==-*y^ai.

? P

Da die Dreiecke S)BF und ^CA ähnlich 'sind, so ist weiter

(11) |-=^ = | = etc. (6),

oder

(13) 9 = j/=l-e = ^^ = ^Väb.

Wird der äussere Winkel an der Spitze C durch tp, bezeichnet, so liat man

± T ß

oder

(14) V^cos^cp, =ß.

Diese verschiedenen Gleichungen besagen in Worten Aehnliches wie die
obigen (A), z. B.

398 Elemenl&ra Lösung einer geometrischen Aufgabe, und über einige

„Alle Dreiecke, deren Spitzen C io der gesuchten Grenze
liegen, haben die Eigenschaft, dass die Gerade S den äusseren
Winkel an der Spitze hätftet; dass die Schenkel a, b zu den
ilmen anliegenden Abschnitten o,, i, der Grundlinie constantes
Verhältniss haben, wie ^1^ — q: 1 (4), und dass daher die Diffe-
renz 2a der Schenkel (b — », oder a — i) constant ist (5) und sich
zur Grandlinie 2y ebenfalls wie \\ — q:\ verhält (6), u.s.w." Oder:

„Die gesuchte Grenze ist im gegenwärtigen Falle eine Hy-
perbel, welche die Endpuncte A, B der festen Grundlinie zu
Brennpuncten bat, und deren Hauptaxe 2a sich zur Grandlinie
oder doppelten Excentricitat 2y verhält, wie yi — q:\, oder deren
Halbaxena,ß und Excentricität f sich verhalten, wie }f\-q:}fq:\.
(wenn ß als reell angesehen wird),"

F.ür die Hyperbel enthalten die Gleichungen analoge Eigcnschaf^n
wie oben für die Ellipse, was ich nur anzudeuten brauche.

Wie man sieht, muss hier j <: 1, also 5* > a,6, sein, wenn die Hy-
perbel reell sein soll.

Ist insbesondere q^^, so wird die Hyperbel gleichseitig, nämlich
et'^ß^^Yyi^, und dann treten in den Formeln und Sätzen Mcdificationen
ein, wie oben bei der speciellen EUipse, bei welcher q=\.

Bemerkung. Die in der Aufgabe (U) verlangte Grenze besteht
demnach im Allgemeinen aus zwei Kegelschnitten, einer Ellipse und einer
Hyperbel, welche confocal sind und zudem die zweite Axe 2ß gemein
haben (abgesehen davon, dass dieselbe für die Hyperbel imaginär ist);
ihre Hauptaxen verhalten sich, wie yi+g : V"! — q. Die Kegelschnitte
schneiden einander in vier Puncten C^ und zwar rechtwinklig. Somit
giebt es vier solche besondere (einander gleiche) Dreiecke ABC,, deren
Spitzen C^ in beiden Kegelschnitten zugleich liegen. Für jedes dieser

damit in Beziehung stehende Eigenschaften der Kegelschnitte. 399

Abschnitten der Grundlinie gleich verhalten, so muss es an der
Spitze rechtwinklig sein, oder 30 ist der Ort seiner Spitze CJ,
ein Kreis, welcher die Grundlinie zum Durchmesser hat."

Werden die beiden Kegelschnitte, Ellipse und Hyperbel, oder kürzer
E und Hy gezeichnet gedacht, so theilen sie zusammen die Ebene in
7 Theile oder Räume R. Von diesen Räumen liegen: 1) zwei sich gleiche
J?, innerhalb E imd H zugleich; 2) einer Re innerhalb £ allein; 3) zwei
gleiche Rh innerhalb H allein; und endlich 4) zwei gleiche 72^. ausserhalb
E und JGT. Liegt nun die Spitze C des Dreiecks ABC entweder: 1) in
einem der beiden Räume i?,, so sind sowohl zwei Gerade d (d. h. d und d^)
als zwei Gerade 8 möglich; 2) im Räume !?<., so sind nur zwei Gerade d
möglich; 3) in einem der zwei Räume Äa, so finden nur zwei Gerade 8
statt; und endlich 4) in einem der zwei Räume i?^,, so findet weder d
noch 8 statt, d. h. die Aufgabe (I) ist unmöglich.

Zweite Auflösung.

Von der in der Aufgabe (II) verlangten Grenze kann man sich durch
folgende Betrachtung eine klare Anschauung verschaffen.

Wird in der gegebenen Grundlinie AB der Theilungspunct D irgendwo
angenommen, so ist, wenn zudem auch q gegeben ist, die Länge der Geraden
CD oder d bestimmt, da d'^ = q.AD.BD sein soll. Daher ist für jeden.
Theilungspunct D der Ort der Spitze C des Dreiecks ein Kreis, der D
zum Mittelpunct und d zum Radius hat. Und daher ist klar, dass die
gemeinsame Enveloppe E aller dieser Kreise D . die gesuchte Grenze ist.
Jeder Kreis wird von der Enveloppe jE?*in denjenigen zwei Puncten C be-
rührt, in welchen er von dem ihm zunächst folgenden geschnitten wird,
oder, wenn man sich so ausdrücken darf, in welchen er von dem mit
ihm zusammenfallenden (oder von sich selbst) geschnitten wird. In jedem
anderen Puncto C, wird er von einem der übrigen Kreise geschnitten, aber
nur von einem. Jene zwei Berührungspuncte C lassen sich z. B. durch
die Eigenschaft der Aehnlichkeitspuncte zweier Kreise leicht geometrisch
bestimmen.

Es seien D und Z), zwei der genannten Kreise, und F und F^ seien
ihre Aehnlichkeitspuncte, so sind diese (nicht allein zu den Mittelpuncten
D und Z), , sondern zugleich auch) zu den gegebenen Puncten A und B
harmonisch, was leicht zu erweisen ist. *Eine äussere gemeinschaftliche
Tangente t, die also durch den äusseren Aehnlichkeitspunct F geht, be-
rühre die Kreise beziehlich in 6 und (5,, und der diesen Puncten zunächst
liegende Schnittpunct der Kreise heisse C,. Bleibt nun D fest, während
Z>j ihm näher rückt, bis er endlich mit ihm zusammenfällt, so rücken
die Puncto 6 und 6\ auf dem festen Kreise D einander auch näher, bis
sie zuletzt sich in einem Punct C vereinigen, welcher der verlangte Be-

400 ElemcDtare Lüsudi; einer eeometrischen Aufgabe, und über eini^

rührnng.opanct ist; dabei fallt aucli €, in C, und dor innere- Aehnlichkeite-
punct F,, der stets zwischen D und i>, liegt, fällt in D. Demnach wer-
den die zwei Puncte C, in welchen ein beliebiger Kreis D von der Enve-
loppe E berührt wird, wie folgt, gefunden:

„Zu den drei Puncten A, D, B suche man den vierten, dem
D zugeordneten, harmonischen Punct F und lege aus ihm Tan-
genten au den Kreis D, so sind deren Berührungspuncte die
verlangten zwei Puncte C"

Zieht man aus einem der construirten Puncte C nach den Puncten
A, D, B, F Strahlen a, d, b, f, so sind diese auch hannonisch; und da
d und/ zu einander rechtwinklig (als Radius und Tangente des Kreises U),
so hälften sie die von a und h gebildeten Winkel. Hierdurch gelangt miu
für die Bestimmung des Ortes von C zu denselben drei Fundamental-
gleichungen, wie bei der ersten Auflösung (II, A, 1, 2, 3), woraus also,
wie dort, folgt, dass die Enveloppe E eine Ellipse ist.

Der Krei.4 D kann mit der Enveloppe E reelle oder imaginäre
Berühmng haben. Ob das Eine oder Andere stattfindet, hängt davon ab,
oder wird bei der obigen ConstjTiction daran erkannt, ob aus F Tangenten
an den Kreis D möglich sind oder nicht, also ob F ausserhalb oder
innerhalb des Kreises liegt, oder ob d kleiner oder grösser als DF
ist. Es finden immer beiderlei Kreise statt, und der besondere Fall, wo
gerade d^DF, oder zur Unterscheidung, d^ = D^Fg, bildet den üeber-
gang von den einen zu den anderen. Bei diesem Ucborgangafalle ver-
einigen sich beide Berührungspuncte Cj mit F^, und der Krois D^ wird
der Krümmungskreis der Ellipse -E im Scheitel F„ ihrer Hanptaxe 2a.
Die Lage des Mittelpunctes Z>„ wird durch die zwei Gleichungen
dl = q.AD,.BD„, und MA* = MD^.MF^,

, wenn MD^ ^ .r und MA ^ MB ^ 7 gesetzt wird, durch

damit in ßeziehung steheude Eigenschaften der Kegelschnitte. 401

Die Berührungspuncte C der Kreise D mit der Enveloppe E können
ferner auch auf folgende umständlichere Art gefunden werden, was hier noch
um eines unten folgenden Satzes willen in Betracht gezogen werden soll.

Zieht man in allen Kreisen D parallele Durchmesser GG^ = 2d nach
einer beliebigen Richtung Ä, so liegen ihre Endpuncte G und Gj jedesmal
in irgend einem Kegelschnitte K [denn da d^ = q.AD.BD, so ist
y^ = q(^ — ^)(t^"^)5 wenn man d = yy MD = x imd MA = 'i setzt].
Wird nun an diesen Kegelschnitt K im Puncto G die Tangente GF ge-
legt, so trifft diese die Axe X im nämlichen Puncto F, aus welchem die
an den Kreis D gelegten Tangenten die verlangten Berührungspuncte C
geben (wie bei der obigen Construction). — Für den oben genannten üeber-
gangsfall, d. h. für den besonderen Kreis Z)^, hat man dabei das Merkmal,
dass die Tangente GF mit der Richtung R und mit der Axe X gleiche
Winkel bildet, oder dass D^F= D^G ist; und jenachdem sie mit R einen
grösseren oder kleineren Winkel bildet als mit X, berührt der zu-
gehörige Kreis D die Enveloppe E reell oder imaginär. Bei dem be-
sonderen Kegelschnitte ÄJ,, der entsteht, wenn 72 zu X senkrecht ist, bildet
also für jenen Fall die Tangente GF mit der Axe X einen Winkel von 45®,
xmd je nachdem sie mit derselben einen kleineren oder grösseren Winkel
bildet, berühren sich D und E reell oder imaginär. — Da beim üeber-
gangsfall D^F=^ D^G = D^G^^ so folgt, dass die Tangenten GF und
G^F dabei einen rechten Winkel bilden. Beiläufig mag noch bemerkt
werden, dass ^us der Bestimmungsart der Kegelschnitte K unmittelbar
folgt, dass dieselben die Grundlinie AB zum gemeinsamen Durchmesser
haben (somit unter sich und mit E concentrisch sind), und dass der dem-
selben conjugirte Durchmesser für jeden K der zugehörigen Richtung R
parallel und für alle K von constanter Grösse ist, nämlich er isl zugleich
ein Durchmesser 2d desjenigen Kreises D oder i)»,, dessen Mittelpunct
in Jtf fällt, so dass also 2dfn = 2,^=^2'^Yq. Femer folgt, dass jeder Kegel-
schnitt K die Enveloppe E in zwei Punoten E und H^^ nämlich in den End-
puncten eines ihnen gemeinsamen Durchmessers, berührt; dieser Durchmesser
ist dadurch bestimmt, dass die Normalen (der E) in seinen Endpuncten der
jedesmaligen Richtung R parallel sind. Demzufolge ist E zugleich auch
die Enveloppe der Schaar Kegelschnitte Ky welche sämmtlich Ellipsen
sind und innerhalb der Ellipse E liegen. Jener oben erwähnte besondere
K^ hat mit E die Axe 2ß gemein und berührt sie in den Scheiteln der-
selben. — Für die obige specielle Ellipse, die eintritt, wenn 5=1, und
bei der a='ß]/2^= y]/2, ist AB für jeden Kegelschnitt K einer der
gleichen conjugirten Durchmesser, indem 2d,„ = 2ß = 27; und daher wird
in diesem Falle K^ ein Kreis über dem Durchmesser AB,

' Wird oben anstatt des Theilungspunctes D zwischen A und B ein
Theilungspunct © in der Verlängerung der Grundlinie AB^ also jenseits

Steiner'« Werke. 11. 26

402 Eleia«ntare Lüsuu^ einer );eoiiiBtri scheu Aufj^be, und. über einige

A oder B angenommen, und wird sodann mit der dadurcli bestimmten
Geraden S um Um ein Kreis S) beschrieben, bo getaugt man zu analogai
Resultaten. Nämlich die Eoveloppe E aller Kreise 3) ist eine Hyperbel:
die Kreise zerfallen in zwei Abtheilungeu, die einen haben mit E reelle.
die anderen imaginäre Berührung, oud der Uebergang von den einen in
den anderen geschieht durch die Krümmungskreise 3), in den Hanpt-
ächcitoln der Hyperbel E, etc. Femer: Zieht man in den Kreisen je im
System pvalleler Durchmesser GG, , so liegen deren Endpuncte in einer
Hyperbel K, welche die Hyperbel E in zwei Puncten H und S^, nämlich
ia den Endpuncteu eines gemeinsamen Durchmessers (eines reellen oder
imaginären) beivhrt; u. s. w.

Bemerkung. Dass die obigen Kreise D eine Ellipse E zur Eove-
loppe haben, und diiss die Endpuncte G and G, je eines Systems paralleler
Durchmesser derselben in einer anderen Ellipse K liegen, u. s. w., daTt»
kann man sich durch stere«metrische Betrachtang, durch Projection, eine
klare unmittelbare Anschauung, wie folgt, verschaffen.

Man denke durch den Mittelpunct M einer Kugel eine feste Ebene p,
die sie in einem Hauptkreise P schneidet; ferner einen der Engel nm-
schriebenen (geraden) Cylinder T, dessen Axe (, die immer durch Af geht,
gegen die Ebene p unter beliebigem Winkel X geneigt ist, und welcher
die Kugel in einem Hauptkreise @ berührt, der mit dem Kreise P ein»
Durchmesser QR oder Y gemein hat Der Cylinder T schneidet die
Ebene p in einer Ellipse E, die M zum Mittelpunct und QR^ znr klunen
Axe (2ß) hat Sei Z der auf der Ebene p senkrechte KugeldDrchmesaer,
und 9 und SB dessen Endpuncte'. Jede durch Z gelegte Ebene schneidet
dio Kugel in einem Hauptkreise St: geht die Ebene insbesondere durch Z
untl ¥, so heisse der Kreis jt^. Jeder Kreis St bat mit dem festen Kreiw
Q einen Durchmesser ^, gemein. Alle Kreise £ haben den Durchmesser
9l$ (oder Z) gemein, und die demselben conjugirten Durchmesser haboi

damit in Beziehung stehende Eigensdiaften der Kegelschnitte. 403

Der Kreis P entspricht sich selbst. Dem Kreise 6 entspricht, die
Ellipse E; dem senkrechten Durchmesser Z entspricht die grosse Axe X
von E; den Endpuncton 31 mid S entsprechen die Brennpuncte A und
B von E, Jedem Kreise 2) entspricht ein ihm gleicher Kreis Z), dessen
Mittelpunct D die Strecke AB der Axe X zum Ort hat; den zwei Schnitt-
puncten.6 von 3) und 6 entsprechen die zwei Berührungspuncte C von
D und E; den besonderen zwei Kreiden 2)^, und S)J entsprechen die
Krümmungskreise D^ und D\ in den Scheiteln der grossen Axe X; und
überhaupt, jenachdem der Kreis 3) den Kreis 6 schneiet oder nicht, hat
D mit E reelle oder imaginäre Berührung, und der Schnittlinie 66 der
Ebenen von 3) und 6 entspricht immer die reelle^ oder ideelle Be-
rührungssehne CC von D und E. Die Kreise Ä gehen in eine Schaar
Ellipsen K über; je einem System paralleler Durchmesser ®®i der Kreise
2) entsprechen parallele Durchmesser GG^ der Kreise 2>, deren Endpuncte
G und ff, in je einer Ellipse K liegen; den. Schnittpuncten § und ^,
von Ä und 6 entsprechen die Berührungspuncte H und H^ von iT und E,
und Äö", ist allemal gemeinsamer Durchmesser der letzteren; dem ge-
meinsamen Durchmesser 3133 aller Kreise Ä entspricht der gemeinsame
Durchmesser AB aller Ellipsen K, und die diesen beiden Durchmessern
beiderseits conjugirten Durchmesser fallen zusammen und sind zugleich
die Durchmesser des Kreises P, Dem besonderen Kreise ^^ entspricht die
besondere Ellipse ÄJ, , u. s. w.

Die Verhältnisszahl oder der Coefficient q wird hierbei bestimmt durch

q == tangX^

Ist insbesondere der Winkel X = 45®, so ist }=1, und dann wird

E die mehrerwähnte besondere Ellipse, bei der a = ßy2.

Anstatt der Kugel können auch andere Umdrehungsflächen zweiter
Ordnung zu Hülfe' genommen werden, nämlich die Sphäroido und das
zweitheilige Umdrehungs-Hyperboloid. Dabei ist in gleicher Weise die
feste Ebene p durch den Mittelpunct M der Fläche und .senkrecht zu
ihrer Drehaxe Z anzunehmen. Beim Hyperboloid ist dann der um-
scluiebene Cylinder T ein hyperbolischer, und sein* Schnitt E mit der
Ebene p ist eine Hyperbel, und ebenso werden alle Kegelschnitte K Hy-
perbeln, u. s. w.

Bei diesen Fällen wird die Grösse q durch den Winkel X und durch
die zwei verschiedenen Axen 2a, 2ß der jedesmaligen Fläche bestimmt,
nämlich es ist

5 r= -^ tangX^

WO 2a die ungleiche Axe ist, die in der Drehaxe Z liegt.

- 26*

Elementare Lösung einer geometrischBii Aufgabe, und über einige

Die vorstehende Untersnchong führte «ifein System von Kreisen, welche
, einen Kegelschnitt doppolt berähren. Aber es kamen dabei einetseite
nicht alle Kreise in Betracht, welche den Kegelschnitt doppelt berähren,
und andererseits stellten eich nicht alle Arten K^lschnitte ein. Dies
^ebt Anlass, diesen Gegenstand fnr sich etwas ansfuhrlicher zn erörtran.
Es bieten sich dabei noch einige nicht ganz uninteressante Eigenschaften
und Sätze dar.

1. Ein gegebener Kegelschnitt K kann von zwei Systemen oder xwei
Schaaren von Kreisen P und Q doppelt berührt werden, deren Mittolpancte '
in den. beiden Axen X ond Y des Kegelschnittes liegen, und zwar ist jeder
Ponct in der einen oder der anderen Axe als Mittelpunct eines solchen
Kreises anzusehen, der reell oder imaginär ist. Die Kreise P, deren
Mittelpuncte in der Hauptaxe X liegen, berühren den Kegelschnitt K von
Innen und liegen ganz innerhalb desselben, wogegen die Kreise Q, deren
Mittelpuncte in der zweiten Axe Y liegen, denselben entweder von Aussen
berühren, oder ihn amschliessen vmd von ihm von Innen berührt werden.
Die erste Kroisschaar P besteht aas reellen und imaginären Kreisen, wo-
gegen die Kreise Q der anderen Schaar sämmtlich reell sind. Die reellen
Kreise P der ersten Schaar zerfallen in zwei Abtheilungen, wovon die
einen mit K reelle und die anderen imaginäre Berührung haben, (was
bereits im Vorhergehenden sich herausstellte). Bei den Kreisen Q hängt
es von der Art des Kegelschnittes iT ab, ob ihn dieselben alle reell -be-
rühren, oder ob sie, ebenso wie jene, in zwei Abtheilnngen zerfallen, wo-
von die einen ihn reell und die anderen im^;inär berühren.

Sei AAi = 2a die Hauptaxe, in X, und SB, = 2ß die zweite Axe, in Y,
seien femer Fund F^ die Brennpuncte (in X) und FF^^2r{; seien ferner
31 und St,, 33 und 33, beziehlich die Krümmungsmittelpuncte der Axen-
Scheitel Ä und A^, B und B^, und sei endlich M der Mittelpunct des

damit in Beziehung stehende Eigenschaften der Kegelschnitte. 405

mum, wenn er Jlf zum Mittelpunct und ^-4, = 2a zum Durchmesser hat;
er wird um so grösser, je weiter sein Mittelpunct von Jf absteht. — .In
beiden Fällen findet der Uebergang von den reell zu den imaginär be-
rührenden Kreisen bei den Krümmungskreisen in den Scheiteln der re-
spectiven Axen AA^ und BB^ statt.

b. Bei der Hyperbel. 1) Die Kreise P werden von der Hyperbel
umschlossen. Die Mittelpuncte der reellen Kreise P liegen zu beiden
Seiten jenseits der Strecke FF^., von deren Endpuncten an bis in's Un-
endliche, und jeder Kreis P berührt die Hyperbel reell oder imaginär,
jenachdem sein Mittelpunct jenseits der Strecke 91^, oder in einer der
beiden Strecken SIjF oder 31, F, liegt; in den Grenzpuncten Fund F^ wird
der Radius des Kreises gleich 0, etc. 2) Die Kreise Q berühren die Hy-
perbel von Aussen, jeder berührt beide Zweige derselben, und alle be-
rühren reell, so dass jeder Punct der unbegrenzten Axe Y Mittelpunct
eines die Hyperbel reell und doppelt berührenden Kreises Q ist. Der
Kreis Q wird ein Minimum, wenn er ilf zum Mittelpunct und -4-4, = 2a
zum Durchmesser hat; er wird um so grösser, je weiter sein Mittelpunct
von M entfernt ist.

c. Bei der Parabel, 1) Die Kreise P werden von der Parabel
umschlossen. Die Mittelpuncte der reellen Kreise P liegen von F an
nach dem Innern der Parabel bis in's Unendliche, und jeder Kreis P
berührt die Parabel reell oder imaginär, jenachdem sein Mittelpunct Jen-
seits 81, oder in der Strecke F^ Hegt; bei F wird der Radius des Kreises
gleich 0, etc. 2) Hier ist die zweite Axe Funendlich entfernt; als ihr ent-
sprechende Kreise Q kann man die gesammten Tangenten der Parabel
ansehen.

Bemerkung I. Die Radien der Kreise Pund Q, welche nach deren
Berührungspuncten mit dem Kegelschnitte K gezogen werden, sind zu-
gleich die Normalen des letzteren. Somit sind umgekehrt die beiden
Kreissc haaren durch die Normalen des Kegelschnittes K bestimmt, näm-
lich dieselben, bis an die Axen X und Y genommen, sind die Radien der
respectiven Kreise. Man erhält aber, wie aus dem Obigen ersichtlich,
hierdurch nicht die ganze Kreisschaar P, sondern nur diejenige Abtheilung^
derselben, welche mit Ä" reelle Berührung haben. Ebenso verhält es sich
mit der zweiten Kreisschaar Q . im Falle, wo K eine Ellipse ist. —

n. Von den zwei Kreisschaaren P und Q, die einen Kegelschnitt K
doppelt berühren, will ich hier beiläufig folgenden Satz angeben:

„Die gemeinschaftliche Sccante SS irgend zweier Kreise
aus der nämlichen Schaar und ihre Berührungssehnen CC und
(7,C, mit dem Kegelschnitte K sind parallel, und die erstere
liegt immer in der Mitte zwischen den beiden letzteren." (Dabei
können die genannten drei Geraden reell oder ideell sein.) Oder;

406

Elcmeutarti Lüsusg eiDer geometri sehen Aufgabe, uud über einige

„Werden zwei gegebene Kreise N und N^ von irgend einem
Kegelschnitte K doppelt berührt, aber beide gleichartig, so
sind die beiden Berührungssehnen CC und C,C, immer mit der
gemeinschaftlichen Secante SS der Kreise parallel und stehen
gloichweit von ihr ab." — Die zwei äusseren, sowie die zwei imiwen
gemeinschaftlichen Tangenten der Kreise N und N^ sind als ein solcher
Kegelschnitt K anzusehen; und für diesen besonderen Fall ist der Sati
bekannt — Uebrigens findet der Satz auch etwas allgemeiner statt, was
ich bei einer andereu Gelegenheit nachzuweisen mir vorbehalte.

III. Die Kreise Q der zweiten Scha&r haben. untfir anderen folgende
besondere Eigenschaft:

„Zieht man aus den Brennpuocten F und F^ nach allen
Tangenten des Kegelschnittes K Strahlen unter demselben be-
liebigen Winkel 9, so liegen ihre Fusspuncte ajlemal in einem
solchen Kreise Q, so dass durch Äenderung des Winkels cp die
ganze Schaar von Kreisen Q erhalten wird." Oder umgekehrt: „Be-
wegt sich ein beliebiger gegebener Winkel 9 so, dass der eine
Schenkel stets einen festen Kegelschnitt £ berührt, währeod der
andere beständig durch einen der beiden Brennpuncte F oder
F, desselben geht, so beschreibt sein Scheitel einen solclien
Kreis Q, welcher den Kegelschnitt doppelt berührt (reell oder
imajgin&r) und seinen Mittelpunct in der zweiten Axe Y des
letzteren hat. — Für den besonderen Fall, wo 9^90", ist der Satz
allgemein bekannt; ebenso iiir den Fall, wo K insbesondere eine Parabel,
aber 9 beliebig ist, und wobei der Kreis Q unendlich gross, d. b. eine
Gerade, eine Tangente der Parabel wird. — Zur weiteren Eatwickelung
dieses Satzes und seines Zusammenhanges mit anderen Eigenschaften ist
hier nicht der geeignete Ort.

2. Der Kürze halber wollen wir die obige Annahme (1): „dass X die
urstc oder iljo Haüptoso des [jcgebonün Kegel.^chnittcs A" sei".

damit iu Bezieh: mg stehende Eigenschaften der Kegelschnitte. 407

G und G, in irgend einem anderen Kegelschnitte JT,, welcher
FF^ zum Durchmesser hat, der mit den Brennpuncten F und F^
zugleich reell oder imaginär ist. Der diesem Durchmesser FF^
conjugirte Durchmesser G*G\ in K^ ist der Richtung Ä parallel,
nämlich er ist zugleich der Durchmesser GG^ desjenigen Kreises
Py dessen Mittelpunct in M. liegt, und somit ist er auch gleich
der anderen Axe 5ßj = 2p des gegebenen Kegelschnittes K (1)
und mit derselben zugleich reell oder imaginär. Daher ist die
Summe der Quadrate dieser conjugirten Durchmesser Ft^ und
6r*6J von K^ gleich dem Quadrat der Axe AA^=^2a von K.^
Werden diese conjugirten Durchmesser von iTj, als solche, durch 2/ und
2g bezeichnet, so ist/=Y und g = ^^ und da in K

so ist auch, wie behauptet,

Femer: Der Kegelschnitt JT, berührt den gegebenen K in den-
jenigen zwei Puncten H und JäT,, in welchen die Normalen auf
K der Richtung R parallel sind, somit in den Endpuncten eines
gemeinsamen Durchmessers J3JSi = 2Ä. Die diesem Durchmesser
in beiden Kegelschnitten K und JT, conjugirten Durchmesser
LL = 2l und L,Z/, = 2Z, fallen also auf einander, und die Diffe-
renz ihrer Quadrate ist gleich dem Quadrat der anderen Axe
BB^ des gegebenen Kegelschnittes K. Denn in Rücksicht auf K^
ist h'-\-l]=g'+/' = a\ und in Bezug auf K ist Ä'+/' = a'+P',

folglich ist

P—l] = p'.

Wird die Richtung R so viel wie möglich geändert, so entsteht eine
Schaar von Kegelschnitten K^, oder abgekürzt S.K^, welche insgesammt
folgende Eigenschaften haben:

„Die S.K^ haben FF^ zum gemeinsamen Durchmesser und
sind daher unter- sich und mit K concentrisch. Die diesem
Durchmesser conjugirten Durchmesser G^G^^ in der S.K^ sind
zugleich die gesammten Durchmesser desjenigen Kreises 1\
welcher M zum Mittelpunct hat, also alle gleich und auch
gleich der anderen Axe BB^ des K Daher ist für alle K^ die
Summe der Quadrate conjugirter Durchmesser constant, und
zwar gleich dem Quadrat der fixirten Ax.e AA^ des K (denn es
ist (7'+/' = a*). Der über der Axe AA^=2aL^ als Durchmesser,
beschriebene Kreis Af hat daher die Eigenschaft, dass die aus
irgend einem Puncto ni seines Umfanges an je einen A', gelegten
Tangenten allemal einen rechten Winkel bilden. Die S,K^
haben den gegebenen Kegelschnitt K zur gemeinsamen Enve-

408 EtemenlaTe Lotung einer geometrisdieD Aufgabe, und äb«r einige

loppe, nämlich jeder tod jeuen berührt diesen in deo End-
puncteD eiaes ihnen gemeinsamen Darchmessers ££f,, and iwir
io denjenii^en Functen, in welchen die Normalen der xa'fe-
hurigen Richtung R parallel sind. Die diesem Durchmesset
////, in dem jedesmaligen K^ und in K conjngirten Durchmesser
L,L,=^2li und LL^2l fallen aufeinander, und die Differeni
ihrer Quadrate ist coustant, nämlich gleich dem Quadrat der
anderen Äxe ßß, = 2ß des AT (oder ^— f; = ß', oben)." — „Legt
man aus irgend einem Puncte|> des gemeinsamen Darchmessers
FF, oder seiner Verlängerung an jeden K, zwei Tangenten pg
und jjff,, so liegen die BerShrungspuncte ff und g, sämmtlich
in einem der Kreise P, die Berührungssehnen ffg, sind Darch-
mossor desselben und schneiden sich somit in einem Panct." ~
„Die S.K, sind unter sich und im Allgemeinen auch mit f tod
gleicher Art, nur w«nn K eine Ellipse und X ausdrücltlich die
zweite oder kloine Axe derselben ist, sind die S.K, anderer
Art, nämlich Hyperbeln."

Gemäss einer früheren Bemerkung (1, 1) kann man den ersten Sati
auch so aussprechen:

„Werden die Normalen eines Kegelschnittes K bis an eine
seiner AxenX gezogen und um die Puncte, in welchen sie diese
treffen, so herumbewegt, bis sie irgend einer gegebenen Rich-
tung R parallel sind, so liegen ihre Endpuncte allemal in irgend
einem anderen Kegelschnitte K,, welcher jenen ersten in den
Endpuncten eines ihnen gemeinsamen Durchmessers HH,- be-
rührt, und welcher allemal den Abstand FF, der in der Axe X
liegenden Brennpuncte des K von einander zum Durchmesser
hat" U. 8. w.

3. Aus dem Vorhergehenden ergeben sich durch Umkehnng M-

damit in Beziehung stehende Eigenschaften der Kegelschnitte. 409

•

JST, gleich. Daher ist das Quadrat jener Axe AA^ des K gleich
der Summe der Quadrate der conjugirten Durchmesser FF^ und
G^G] des K^. Die aus einem Scheitel A der Axe AA^ an -ff,
gelegten Tangenten A® und A®^ bilden einen rechten Winkel,
und die Berührungssehne ®®, gehört mit zum System von Sehnen
6G, , sie ist der Durchmesser des Krümmungskreises, oderihre
Mitte ist der Erümmungsmittelpunct 9( des Kegelschnittes iT in
jenem Scheitel A (§1, 2. Auflösung). — Der Kegelschnitt K be-
rührt den gegebenen K^ in den Endpuncten eines ihnen gemein-
samen Durchmessers J3-H,, und zwar in denjenigen Puncten H
und jy,, in welchen die Normalen des K^ der Richtung R und
somit auch den Tangenten in F und F^ an JST, parallel sind.
Daher sind die Brennpuncte i^ und -F, und die Berührungspuncte,
H und Jjfj des K zugleich auch die Berührungspuncte der Seiten
eines dem K^ umschriebenen Rechtecks. Die dem Durchmesser
HH^ =2A beiderseitig conjugirten Durchmesser 21 und2Z, fallen
auf einander und es ist

Wird die Richtung R so viel wie möglich geändert, so entsteht auf
diese Weise bei demselben gegebenen Kegelschnitte K^ eine Schaar von
Kegelschnitten Ky oder S.K, welclie folgende gemeinsame Eigenschaft haben:

„Die S.iT haben mit JST, denselben Mittelpunct M, Alle K
haben eine gleiche Axe AA^^ deren Quadrat der Summe der
Quadrate je zweier conjugirten Durchmesser des if, gleich ist;
daher sind sämmtliche Axen AA, Durchmesser eines Kreises
My welcher in Bezug auf K^ der Ort der Scheitel der ihm um-
schriebenen rechten Winkel ist. Die in den Axen AA^ lie-
genden Brennpuncte i^ und F^ der S-Ä" sind zugleich die End-
puncte je eines Durchmessers FF^ des jffj, und somit ist K^
ihr geometrischer Ort. Der genannte Kreis AI ist ferner für
jeden iTegelschnitt K der Ort der Fusspuncte der aus seinen
Brennpuncten F und F^ auf seine Tangenten gefällten Perpen-
dikel.** — „Die anderen Axen BB^ der S.K sind respective den
einzelnen Durchmessern des K^ gleich, nämlich je dem, der
dem Durchmesser FF^ conjugirt ist. Der Ort der Endpuncte die-
ser Axen 5ß, ist eine Curve vierten Grades*)." — „Jeder Kegel-
schnitt K berührt den gegebenen K^ in den Endpuncten eines
ihnen gemeinsamen Durchmessers BB^ , in welchen Endpuncten

*) Die Gleichung der genannten Curve ist
wobei flt, h die Halbaxcn des gegebenen Kojrelschnittes Ä", sind.

410 Eltiiiieutare LöiniDK einer geometrischen AufjJiBbe, nnd aber eini|^e

Dämlich die NormaleD der jedesmaligeD Richtang R parallel
sind; die beiden Breonpuncte F und F, und die beiden Be-
rührangspuQcte H und H, jedes K sind immer zugleich die
BorähruQgspuDct« der zwei Paar Gegenseiten eines dem K,
umschriebenen Rechtecks, und es giebt atlemal einen zweiten
K, welcher verwechselt H aud H^ zu Breunpuncten und ^und
Fj zu Berührungspuncten hat" Und mngekehrt: „Die zwei Paar
BßrühruDgspuDcte der Gegenseiten «ines jeden dem K^ um-
schriebenen Rechtecks entsprechen in diesem Sinne zweien
Kegelschnitten K." — „^iB gemeinsame Enveloppe aller K
besteht ans -zwei Theileh, aus dem gegebenen Kegelschnitte
Kj und ans dem genanntenKreise M; letzterer berührt jeden
K in den Endpuncten A und A, seiner Axe Ad,." — ^0*» ^c™
K, eingeschriebene Viereck, dessen Ecken in den Berührangs-
puncten eines umschriebenen Rechtecks liegen, wie FIIF,II„
ist ein Parallelogramm, seine Seiten sind den Diagonalen des
Rechtecks parallel, und von den sich anliegenden Seiten des-
selben ist die Summe oder der Unterschied constant, und zwar
gleich der Diagonale des Rechtecks, also FH+F^H^AA, =2a.
Die im vorstehenden Satze genannte besondere Sehne @@,,
Durchmesser dos Krümmungskreises /*, im Scheitel A jedes
K, berührt-oder hat zur Enveloppe einen bestimmten Kegel-
schnitt M,, nämlich die Polarfigur des Kreises M in Bezug
auf den gegebenen Kegelschnitt K/, dieser Kegelschnitt H,
hat ebenfalls M zum Mittelpunct. Der Ort der Mitten der
Sehnen ®@, oder der Kriimmnngsmittelpuncte 31 aller K in
ihren Axon-Scheiteln A (und A,) ist eine Cnrve vierten Gra-
des*), die M zum Mittelpunct un4 zudem die Eigenschaft hat,
dass Je zwei Durchmesser derselben, S131, und Sfäl*, welche

damit io Beziehung stehende Eigenschaften der Kegelschnitte. 411

aa, =®®, und a^: = ®®,, und somit aa,+ra; = ®®,+®®,

= AA^ = 2a ist. Uebrigens ist auch nach früherem (§1, 2. Aullös.)

JMa = ^ und Jlf3l« = ^, und somit 3/a+it/a" = ■^""^^' = a.
a a a

Es folgt femer:

„Die Tangenten jedes Kegelschnittes K schneiden alle den
Kreis M; und umgekehrt: jede Sehne mn des Kreises M, die
den gegebenen Kegelschnitt ^ nicht schneidet, berührt irgend
zwei bestimmte Kegelschnitte iT, und zwar sind diese dadurch
bestimmt, dass die auf die Sehne, in deren Endpuncten m und
w, errichteten Perpendikel mm^ und nn^ den Äj in den zwei
Paar Brennpuncten F und F^ derselben schneiden. Wenn ins-
besondere die Sehne mn den gegebenen Kegelschnitt K^ be-
rührt, in einem Puncte\ff, so berühren ihn auch die Perpen-
dikel ww, und nw, in einem Punctenpaar i^ und F^^ und als-
dann fallen die zwei K in einen zusammen, welcher die Sehne
mn und den JT, in jenem Puncto H zugleich berührt; etc."

„Die S,K sind im Allgemeinen mit K^ von gleicher Art;
wenn jedoch iT, eine Hyperbel ist, so können die iS.JT sowohl
Ellipsen als Hyperbeln sein, sowie auch imaginär werden." —
Ueberhaupt treten bei den angegebenen Eigenschaften verschiedene Modi-
ßcationen ein, wenn der gegebene Kegelschnitt K^ eine Parabel oder
eine besondere Hyperbel (gleichseitig, oder mit stumpfem Asymptoten-
winkel) ist.

Aus der Bestimmungsart und aus den angegebenen Eigenschaften des
dem iC, eingeschriebenen Parallelogramms FUF^H^ (oder ®®,®,®,,
Taf. XX Fig. 4.) geht hervor, dass seine Winkel durch die respectiven
Normalen (und Tangenten) des i^ gehälftet werden, so dass daher, im
Falle K^ eine Ellipse ist, sein Umfang ein Maximum sein muss*), was
den interessanten Satz giebt:

„Unter allen einer gegebenen Ellipse iT, eingeschriebenen
Vierecken hat dasjenige den grösston Umfang, dessen Ecken
in den Berührungspunctcn der Seiten eines doT Ellipse um-
schriebenen Rechtecks. liegen; es giebt unendlich viele solche
Vierecke, nämlich jeder Punct der Ellipse ist Ecke eines
solchen Vierecks, dessen Umfang ein Maximum ist; aber alle
diese grössten Umfange sind einander gleich, und zwar gleich
der doppelten Diagonale des genannten Rechtecks, oder gleich
der vierfachen Sehne, welche zwei Axen-Soheitel der Ellipse

*) S. meine Abhandl. im JoumaL de Math^m. de Mr.. Liouville, tome VI, oder im
Journal/. Mathtm Bd. 24 S. 151 von CtelU. Cf. Bd. II S. 241 dieser Ausgabe.

412

ElemenUre, Lösung e

r geometrischen Aufgabe, uod über einige

verbindet, aloo gleich 4'|/(a'+i')^ 4a. Alle diese Vierecke von
gross tem Umfange, die sämmtlioli Parallelogramme, sind
zugleich einer bestimmten anderen Ellipse M, umschrieben,
deren Axen 2a,, 2b, auf die gleichnamigen Axen 2a, 26 der
gegebenen Ellipse K, fallen, und welche mit letzterer con-
focal ist. Nämlich zwischen den As.en beider EllipseD findeo
folgende Grössen-Relationen statt:

(1)

ind daraus

(3)

(4)
(5)

(2)

-**;

(6)

(7)

ab = (a,+b,)Y(^^)\ etc."

Hierbei will ich noch eines interessanten Umstandes erwähnen. Aas
einem Satze nämlich, der zu meinen Untersuchungen über Maximum und
Minimum gehört, lässt sich leicht darthun, dass die nämlichen genannten
Vierecke (FHF\Ii, oder @®,®,@,) in Beiug auf die zweite Ellipse J/,
zugleich auch die Eigenschaft haben, dass sie unter allen ihr umschrie-
benen Vierecken den kleinsten Umfang haben, so dass man mit dem vor-
stehenden zugleich den folgenden Satz hat:

„Unter allen einer gegebenen Ellipse M, umschriebeneD
Vierecken bat dasjenige den kleinsten Umfang, bei welchem
die Kormalen in den Berührungspuncteo seiner Seiten eine

damit in Beziehimg stehende Eigenschaften der Kegelschnitte. 413

Umfang bei der ersten Ellipse ein Maximum, dagegen bei der anderen
ein Minimum ist in Bezug auf alle anderen Vierecke, welche jener ein-
geschrieben und dieser umschrieben sind. Auf je zwei conjugirte Durch-
messer der inneren Ellipse M^ fallen die Diagonalen FF^ und EH^
eines der genannten Parallelogramme, sie werden durch die äussere
Ellipse K^ begrenzt.

Der Inhalt der verschiedenen Parallelogramme {FHF^H^ ist nicht
constant, so wenig als der Inhalt der zugehörigen (der Ellipse K^ um-
schriebenen) Rechtecke, „vielmehr ist jener ein Maximum oder
ein Minimum, und dieser gleichzeitig umgekehrt ein Minimum
oder ein Maximum, wenn die Seiten des Parallelogramms
beziehlich den gleichen conjugirten Durchmessern oder den
Axen der Ellipse K^ parallel sind, oder wenn die Diagonalen
des Rechtecks fauf jene Durchmesser oder auf diese Axen
fallen." Wird der Inhalt des Rechtecks durch R und der Inhalt des
zugehörigen Parallelogranmis durch P bezeichnet, so ist stets

also das Product der Inhalte constanl;. Werden femer die Maxima der
Inhalte R und P durch -K„, und P« und .die Minima durch Rn und P„
bezeichnet, so hat man

Ä^ = 2(a'+6») = 2(a,+6J*, und iJ« = 4(i = 4(a,+ft,)y^;

P^±P,==2a/^±yi;)'l/^; etc.

üeber die der Ellipse JT, umschriebenen Rechtecke AA^A^A] . und
die zugehörigen eingeschriebenen Parallelogramme ®®j®j®3 (oder FHF^H^)
will ich hier noch folgende Eigenschaften angeben. Man bezeichne die
Brennpuncte der Ellipse K^ durch B und 5, und setze BB^ = 2b,

„Die vier Ecken jedes der genannten Rechtecke liegen
mit den beiden Brennpuncten B und B^ in einer gleichsei-
tigen Hyperbel^, welche mit der Ellipse i^ concentrisch ist,
nämlich AA^, -^^-^ti ^A ^^ Durchmessern und M zum Mittel-
puncte hat; und ebenso liegen die Ecken des Parallelogramms
®®i®,®, mit den Brennpuncten B und ß, in einer anderen
gleichseitigen Hyperbel ^j, welche mit ^ den Durchmesser
BB^ gemein hat, und also m4t ihr und mit K^ concentrisch
ist. Die Hauptaxen 2a und 2a^ dieser beiden zusammengehö-
rigen, gleichseitigen Hyperbeln ^ und ^j bilden einen con-
stanten Winkel von 45 Grad, und zudem ist die Summe der

414 Elementare L5!<iiii|r «ioer lücometriscbfn Aufeabe, und über «Qiige

Biquadrate dieser Axcn constant, nnd zv,ar dem Biqaadr&te
jenes Durchmessers BB, oder 26 gleich, oder

Die auf diese Weise bestimmten zwei Schsaren gleichseitige
Hyperbeln. £($) und S(^,), sind im Ganzen nur eine and die-
se) beSchaar. S(^,^^), and als solche einfach dadarch begtimmt.
dass sie den reellen Durchmesser BB^ gemein haben. Ihre Tan-
genten in den Scheiteln ihrer Haoptaxeo berühren sämmtlicli
diejenige $, unter ihnen, welche die grössteAxe, nämlich den '
Durchmesser BB, zar Uaaptaxe hat. Daher liegen die H&apt-
scheilel der S(^. $,) in einer Lemntscate, welche BB, zur Axe
und Af zum Mittelpuncte hat." In defn Gesagten ist somit auch
der SaU mthalteo: „Die Lemniscate hat die Eigenschaft, dass
die Summe der Biquadrate je zweier Durchmesser derselbeD,
welche einen Winkel von 4ü Grad einschliessen, constant,
und zwar dem Biquadrat ihrer Ase gleich ist"

Durch Umkehrung folgt: •

,,Jede gleichseitige Hyperbel ^ (oder $,), welche mit einer
gegebenen Ellipi>e K, concentrisch ist und durch deren Brenn-
puncte£, B, geht, schneidet dieselbe in den Ecken (@,@„®„@J
irgend eines ihr eingeschriebenen Parallelogramms, oder ia
den Berührungspunclen der Seilen eines ihr iimschriebeaeo
Rechtecks." Oder:

^Die Schaar gleichseitiger Hyperbeln ^, welche einen
nach Grösse und Lage gegebenen Durchmesser BB, gemein
haben, besitzen die Eigenschaft, dass die Tangenten in ihren
Haupischeiteln sämmtlich eine und dieselbe nnd zwar die-
jenige .^, unter ihnen berühret], welche jenen Durchmesset

d&mit in Beziehung stehende Eigenschaften der Kegelschnitte. 415

deren Ellipse M^ umschrieben, welche mit jener concentrisch
ist; u. 8. w. —

4. Die obige Betrachtung der beiden Kroisschaaren P und Q (1. u. f.),
welche einen gegebenen Kegelschnitt K doppelt berühren, ist übrigens
nur ein besonderer F^ll von der allgemeinen Betrachtung, wo der gegebene
Kegelschnitt K von solchen beliebigen anderen £egelschnitten P und Q
berührt werden soll, welche durch zwei gegebene Puncte a und b gehen.
Denn unter dieser Bedingung finden bekanntlich gleicherweise zwei Kegcl-
schnitt-Schaaren P und Q statt, welche die Eigenschaft haben, dass ihre
Berührungssehnen $$, und DO, mit K beziehlich durch zwei feste Puncte
p und q in der Geraden ab gehen. Diese Puncte p und q sind auch
dadurch bestimmt, dass sie sowohl zu den gegebenen Puncten a und b,
als auch zu den Schnitten s und t der Geraden ab und des Kegelschnittes
K zugeordnete harmonische Puncte sind. In jenem speciellen Falle nun,
wo bloss verlangt wird, die Kegelschnitte P und Q sollen Kreise sein,
werden durch diese Bedingung die Puncte a und b stillschweigend gesetzt,
aber sie sind imaginär und liegen auf der unendlich entfernten Geraden
ai) der Ebene; dagegen 'bleiben die genannten festen Puncte p und q reell
und liegen nach den Richtungen der Axen X und Y des Kegelschnitts
K auf der unendlich entfernten Geraden ab, so dass die Berührungssehnen
$$j und £)£), beziehlich diesen Axen parallel laufen.

5. Wollte man die obige Betrachtung in der Art umkehren, dass
man zwei beliebige Kreise M und N als gegeben annähme und sodann
die sämmtlichen Kegelschnitte K berücksichtigte, welche dieselben doppelt
berühren, so würde man zu neuen Resultaten gelangen, deren Entwickelung
hier zu weit führen würde. Aber auch diese Betrachtung wäre wiederum
nur ein besonderer Fall von derjenigen, wo statt der gegebenen Kreise
zwei beliebige Kegelschnitte M und N angenommen werden, und worüber
ich das Nähere bei einer anderen Gelegenheit mitzutheilen mir vorbehalte.
Hier will ich mich auf folgende, darauf bezügliche Angaben beschränken.

Die Aufgabe:

„Einen Kegelschnitt iT zu finden, welcher jeden von drei
gegebenen Kegelschnitten My N, 0 doppelt berührt,"
ist im Allgemeinen mehr als bestimmt, und nur unter gewissen beschrän-
kenden Bedingungen möglich. Qiesc Bedingungen lassen sich, wie folgt,
näher angeben.

Ein Kegelschnitt hat unendlich viele Trippel zugeordnete harmonische
Pole Xy y, z und zugeordnete harmonische Gerade X, Y, Z, Je j^wei (in
derselben Ebene liegende) Kegelschnitte haben ein solches Trippel zuge-
ordnete harmonische Pole a?, y, z und Gerade X, F, Z gemein, und zwar
sind jene die Ecken und diese die Seiten eines und desselben Dreiecks,
oder sie haben drei, Paar sich zugehörige Pole und Polaren .r und X, y

41G Elemeatare Lösung einer geometrischen Aufgabe, und über einige

und y, z und 2 gemein (Abhang, geom. Gestalten § 44 S. 165 u. 166)*).
Femer haben die zwei Kegelschnitte drei Paar gemeinschaftliche Secanten
X und f, , t) und tf„ g und j, (reell oder im^inär), welche sich beziehlich
in jenen Polen x, y, z schneiden.

Nun seieu a und A irgend eins der drei Pa&re von sich zi^höiigen
gemeinschaftlichen Polen und Polaren der gegebenen Kegelschnitte Af und i^;
ein eben solches Paar seien b und B von den Kegelschnitten M and 0,
und ein gleiches Paar seien c und C von den Kegelschnitten N and 0;
ferner seien a und a, , ß und ß, , •{ und i, die in den Polen a, b, e sich
schneidenden gemeinschaftlichen Secanten der respectivon Kegelschnitte
M und N, M und 0, N und 0; und endlich seien A^, B,, C, die Seiten
bc, oc, ab des Dreiecks abc, so wie o, , b,, c, die Ecken des Dreiseits
ABC, so sind die genannten Bedingungen folgende:

„Die Dreiecke abc und ABC (oder a,b^c^) müssen perspec-
tivisch sein, d. h. die drei Geraden aa,, bb,, cc, durch ihre ent-
sprechenden Ecken müssen sich in einem Puncte treffen, oder,
was gleichbedeutend ist, die drei Schnittpuncte ihrer ent-
sprochenden Seiten (A und A^, B und ß,, C und C,) jmnssen
' in einer Geraden Hegen; und ferner müsBen die Seiten .0, und
C, zu den Secanten a und a,, sowie die Seiten^ und C^ zu den
Secanten ß und ß, , und ebenso die Seiten A^ nnd B^ zu den
Secanten -f und y, harmonisch sein."

Finden sich diese Bedingungen erfüllt, so giebt es einen Kegelschnitt
K, welcher die drei gegebenen Kegelschnitte M, N und 0 doppelt berührt,
und zwar sind dann die Seiten A^, B^, C^ des Dreiecks abc zugleich
seine Benihningssebnen mit den respectiven Kegelschnitten M, N, 0;
auch sind a und A, b und B, c und C drei Paar sich entsprechende
Pole und Polaren in Bezug auf den Kegelschnitt K, und dieser ist durch
dieselben bestimmt Und umgekehrt; wenn ein Kegelschnitt K irgend

damit in Beziehung stehende Eigenschaften der Kegelschnitte. 417

und selbst bis in die neueste Zeit hat man sich fast ausschliesslich nur
mit dem sehr beschränkten Falle, mit dem Berührungsproblem bei Kreisen
beschäftigt, aber nicht mit den entsprechenden Aufgaben bei den allge-
meinen Kegelschnitten. Die letzteren sind aber auch in der That ungleich
schwieriger. Um dies zu zeigen, wird es genügen, hier nur die folgende
Hauptaufgabe iiervorzuheben, nämlich:

„Einen Kegelschnitt K zu finden, welcher irgend fünf
gegebene Kegelschnitte berührt.**
Beschränkt man sich darauf, nur die Anzahl der fraglichen Kegel-
schnitte Ky nicht diese selbst zu finden, so lässt sich schon an gewissen
specicllon Fällen ermessen, dass dieselbe bedeutend grösser sein muss, als
bei dem Problem über die Kreise, wo bekanntlich drei gegebene Kreise
von 8 verschiedenen anderen Kreisen berührt werden können. Denn z. B.
schon für den Fall, wo jeder der fünf gegebenen Kegelschnitte aus zwei
Geraden besteht, giebt es 32 Kegelschnitte Ky welche der Aufgabe ge-
nügen; und eben so viele giebt es, wenn jeder der gegebenen Kegelschnitte
aus zwei Puncten besteht. Und wenn ferner von den fünf gegebenen
Kegelschnitten drei aus drei Paar Greraden und zwei aus zwei Paar Puncten
bestehen, so finden schon 128 Auflösungen statt; und eben so viele finden
statt, wenn zwei der gegebenen Kegelschnitte aus zwei Paar Geraden und
die drei übrigen aus drei Paar Puncten bestehen. Diese respectiven 32
und 128 Kegelschnitte K sind übrigens auch selbst leicht zu finden, und
zwar auf elementarem Wege, wie aus meinem kleinen Buche*) zu er-
sehen ist. Hiemach wird man um so mehr eine hohe Zahl von Lösungen
zu gewärtigen haben, wenn die gegebenen fünf Kegelschnitte beliebig sind**).

Durch eine gewisse geometrische Betrachtung glaube ich nun gefunden .
zu haben:

„Dass fünf beliebige gegebene Kegelschnitte im Allge-
meinen (und höchstens) von 7776 anderen Kegelschnitten
K berührt werden."
Mein Verfahren erhebt sich stufenweise bis zur vorgelegten Aufgabe.
Nämlich zuerst stelle- ich die Frage:

^Wie viele Kegelschnitte K giebt es, welche durch vier
gegebene Puncto gehen und einen gegebenen Kegelschnitt
berühren?**

*) Die gcom. Constructionen ausgeführt mittelst der geraden Linie und eines festen
Kreises. § 20, S. 97 u. 99. Berlin 1833, bei F. Dümmler. Cf. Bd. IS. 5 14 u. 5 15 dieser Ausgabe.
**) Selbst bei den genannten besonderen Fällen lässt sich schon eine weit grossere
Zahl von Lösungen nachweisen als die angegebene,* wenn bemerkt wird, dass ein Kegel-
schnitt Ä' einen anderen, welcher 1) aus zwei Geraden oder 2) aus zwei Puncten be-
steht, schon berührt, wenn er nur 1) durch den Schnittpunct der Geraden geht, oder
2) die durch die Puncto gezogene Gerade berührt.

Steiner'» Werke. 11. 27

418 Elementare Lösqiik einer geometriscben Aufgabe, nnd nber «inige

Hier ist leicht zu beweisen, dtss es im AUgemeineii 6 solche Keg
schnitte K giebt Sodurn ist die zweite Frage:

„Wie viele Kegelschnitte K können darch drei geg
bene Puncte gehen and zwei gegebene Eegelschnit
berühren?"

Hier stellt sich heraus, dass es 6.6=^36 solche Eegelscbmtte gie
Und wird aof diese Weise fortgefkhren, so gelangt man znletzt za 6* = 77
Kegelschnitten K, welche der obigen Aufgabe entsprechen.
Bemerkung.

7. In Bezng auf den obigen Satz über die der Ellipse eingeschr
benen oder umschriebenen Vierecke von beziehlich grösstem oder klei
stem Umfange ist zu bemerken, dass derselbe nur ein einzelner Fall eii
umfassenderen Satzes ist, welchen ich hier nebst noch einigen ander
Sätzen mittheilen will, die sämmtlich aus meinen anderweitigen Unt>
suchungen über Maximum und Minirnnm entnommen dnd.

„Einer gegebenen Ellipse lassen sich unendlich viele soIcl
convexe n-Ecke einschreiben, deren Umfang ein Maximam ia
nämlich jeder Funct der Ellipse ist Ecke eines aolchen n-Eck
Alle diese n-Ecke sind zugleich einer bestimmten anderen E
Hpse umschrieben, und in Rücksicht auf alle anderen derselbt
umschriebenea convexen n-Ecke ist ihr Umfang ein Minimum
Oder auch umgekehrt:

„Einer gegebenen Ellipse lassen sich unendlich viele solcb
convexe n-Ecke umschreiben, deren Umfang ein Minirnnm is:
nämlich jede Tangente der Ellipse ist Seite eines solche
n-Ecks; und alle diese n-Ecke sind zugleich einer bestimmte
anderen Ellipse eingeschrieben und haben unter allen ihr ein
geschriebenen convexen n-Ecken den grössten Umfang, un
zwar haben alle denselben Umfang."

damit in Beziehung stehende Eigenschaften der Kegelschnitte. 419

in welchen der Lichtstrahl den Kegelschnitt trifft, so berührt
der Lichtstrahl fortwährend einen bestimmten anderen Kegel-
schnitt K^\ und lässt man sodann ferner von einem beliebigen
anderen Puncte A^ des ersten Kegelschnittes K einen neuen
Lichtstrahl A^B^ so ausgehen, dass er den zweiten Kegelschnitt
iTj berührt, dann aber von dem ersten, ebenso wie der erste
Lichtstrahl, wiederholt reflectirt oder gebrochen wird, so be-
rührt er gleicherweise auch fortwährend den nämlichen zwei-
ten Kegelschnitt Z",."

Bei diesem Satze findet je einer von zwei verschiedenen Fällen statt,
nämlich der Lichtstrahl kehrt entweder

a) nach einer bestimmten Anzahl, Uy von Umläufen in den Anfangs-
punct A zurück, oder

b) er kehrt nie (oder nur nach unendlich vielen Umläufen) dahin
zurück.

Im ersten Falle (a) durchläuft der Lichtstrahl die Seiten eines ge-
schlossenen Vielecks Ny etwa von n Seiten und u Umläufen, welches dem
Kegelschnitte K eingeschrieben und zugleich dem Kegelschnitte K^ um-
schrieben ist; und dabei kehrt der Lichtstrahl unter gleichem Winkel a nach
dem Anfangspuncte A zurück, wie er von da ausgegangen ist, so dass er bei
fortgesetzter Bewegung das nämliche /i-Eck N wiederholt beschreibt. Und
in diesem Falle beschreibt dann femer auch jener genannte zweite Licht-
strahl -4,ß, , der von einem beliebigen anderen Anfangspuncte A^ ausgeht,
allemal ebenfalls ein geschlossenes, mit dem vorigen gleichnamiges Po-
lygon iV, , d. h. von gleicher Seitenzahl n und gleicher Umlaufszahl u,

Ist nun der erste Kegelschnitt K eine Ellipse, und soll das Polygon
N convex sein, so ist dann auch der zweite Kegelschnitt K^ eine Ellipse,
und alsdann haben die verschiedenen n-Ecke Ny iV,, ... die oben ge-
nannte Eigenschaft, dass sie unter allen der Ellipse iT eingeschrie-
benen oder der Ellipse Ä, umschriebenen gleichartigen w-Ecken.
beziehlich den grössten oder kleinsten Umfang haben, und dass
sie unter sich gleichen Umfang haben.

Der Leitstrahl aus einem Brennpunct der Ellipse K nach jeder Ecke
des w-Ecks N (oder iVj , . . .) theilt den zugehörigen Polygonwinkel in
irgend zwei Theile x und y; wird die Summe der Cosinusse aller dieser
Winkeltheile x, y mit der halben grossen Axe der Ellipse K multiplicirt,
so erhält man den Umfang ü des w-Ecks; oder in Zeichen

U= a2(cosa:+cosi/)= 2a2[cos^(Ä4-y)cos^(^ — i/)].

In der oben citirten (3. Note) Abhandlung über Maximum und Mini-
mum finden sich die Bedingungen angegeben, unter denen der Umfang
eines geradlinigen Polygons JV, welches einem beliebigen Curven-Polygon

27*

^0 Elementare Lösnog einer geometriBchen Aufgabe ete.

P oder eiDer einzelnen Corve P oder einem anderen gleichnamigen gerad-
linigen Polygon P eingeschrieben ist, ein Minimum oder ein Haximum
wird. Den dortigen Sätzen sind die nachfolgenden zur Seite zd Btellen.

CE. „Unter allen einem gegebenen (geradliDigen) n-£ct A'
umschriebenen n-Ecken kann der Umfang nur bei demjenigen,
Nj, ein Minimum sein, welches die Eigenschaft hat, dass in
Betracht jeder Seite desselben das aus der in ihr liegenden
Ecke des n-Ecks .W auf sie errichtete Perpendikel mit den
beiden Strahlen, welche die au dieser Seite liegenden Anssen-
winkel des n-Ecks N^ hälften, in einem Puncte zusammentrifft.

Mag auch die Construction des n-Ecks N^ schwierig sein, so ist da-
gegen, wenn umgekehrt dasselbe als gegeben angenommen wird, alsdann
dasjenige n-Eck N, welchem es mit kleinstem Umfange- umschrieben ist
sehr leicht zu construiren, wie aus dem Satze selbst erhellt.

ß. „Unter allen einem gegebenen Curven-Polygon P oder
einer einzelnen gegebenen Curve P umschriebenen geradlinigen
Polygonen P, von gleicher Seiteuzahl kann nur bei demjenigeD
der Umfang ein Minimum sein, welches die Eigenschaft hat,
dass in Betracht jeder Seite desselben die Normale in ihrem
BerührungspuDcte mit deu beiden Geraden, welche die der Seite
anliegenden Äussenwinkel des Polygons P, hälften, in irgend
einem Puncte zusammentrifft."

Diese beiden Sätze (a. und ß.) finden übrigens auf analoge Weise
auch für die sphärischen Figuren statt.

Für den speciellen Fall, wo das umzuschreibende Polygon P, nur ein
Dreieck sein soll, hat die angegebene Bedingung (ft.) zur Folge: „dass
die drei Normalen in den Berührungspuncten der Seiten des
Dreiecks sich in einem und demselben Puncto treffen." Und
in Rücksicht des ersten Satzes (a.) folgt ebenso: „dass die in den

üeber das grösste Product der Theile oder

Summanden jeder Zahl.

Crelle's Journal Band XL. S. 208.

Ueber das grösste Product der Theile oder

Summanden jeder Zahl

Wird eine gegebene ZaM a in zwei beliebige Theile zerlegt, so ist
bekanntlich das Product der Theile am grössten, wenn dieselben gleich
sind. Ebenso verhält es sich , wenn die Zahl a in 3, 4, 5, ... w Theile
zerlegt wird. Da aber die hierbei entstehenden grössten Producte unter
sich verschieden sind, so entsteht die Frage: „in wieviele gleiche
Theile, oder in was für Theile die Zahl a zerlegt werden müsse,
damit das Product derselben am allergrössten, ein Maximum
Maximorum, werde?"

Man findet leicht, dass jeder Theil gleich e, d. h. gleich der Grundzahl

der natürlichen Logarithmen, und somit die Anzahl der Theile gleich —
sein muss, so dass also das verlangte grösste Product «

ist. Oder da |/^= 1,4446..., so ist das grösste Product der Summanden
jeder Zahl a

= (1,4446...)«.

Wenn also j;e = yz= a, so ist immer

1 1

Für a = l wird .r = — , und da man dabei auch y = — annehmen

kann, so hat man

e X

Ye >> Yz, oder e''^ z^,

d. h. „Wird jede Zahl durch sicli selbst radicirt, so gewährt die
Zahl e die jjlergrösste Wurzel;" oder: „Die Zahl e hat die Ei-

424 t'eber das grösste Product der Theile oder Smnmandeii jeder ZaU.

genscbaft, dsBS sie, mit jeder anderen Zahl z gegeaseitig po-
tenzirt, allemal die grössere Potenz giebt."
Verlangt man zwei Zahlen b nnd c, fnr welche

V6 = V^, oder &= = «*
sein soll, so ist die eine, etwa h, kleiner und die andere c grösser als t\
nämlich h hat den Spielraum von e bis 1, während c ^od e bis oc wäch«L
Es giebt nur einen Fall, wo b und c ganze Zahlen sind, ttämlich 2 uod
4. Wenn d':>c^e, so ist immer

c d

Vc>y^ oder c^>rf=.
Berlin, im März 1850.

Lehrsätze.

Crelle'8 Journal Band XLIV. S. 275— 276.

Lehrsätze.

1. a) „Werden einem vollständigen Vierseit irgend zwei
Kegelschnitte eingeschrieben, so liegen die acht Puncte, in
welchen sie die Seiten berühren, allemal in irgend einem
dritten Kegelschnitte."

Und umgekehrt:

b) „Legt man durch die vier Berührungspuncte eines dem
Vierseit eingeschriebenen Kegelschnittes einen beliebigen an-
deren Kegelschnitt, so schneidet dieser die Seiten in vier sol-
chen neuen Puncten, in welchen dieselben allemal von irgend
einem dritten Kegelschnitte berührt werden können."

Ferner:

c) „Die gegenseitigen vier Schnittpuncte je zweier dem-
selben Vierseit eingeschriebenen Kegelschnitte liegen
mit jedem der drei Paar Gegen-Ecken des Yierseits zusammen
in einem Kegelschnitte."

Und femer:

d) „Von den acht Berührungspuncten je zweier demselben
Vierseit eingeschriebenen Kegelschnitte liegen zwölf mal vier
mit irgend zwei der vier gegenseitigen Schnitte der letzteren
zusammen in einem neuen Kegelschnitte. Die dadurch be-
stimmten neuen zwö|lf Kegelschnitte ordnen sich in sechs
Paare, welche einander doppelt berühren; nämlich durch je
zwei der genannten vier Schnitte gehen zwei neue Kegelschnitte,
die sich in denselben berühren."

Analoge Eigenschaften finden in Rücksicht des vollständigen Vier-
ecks statt.

2. „Beim vollständigen Viereck im Kreise haben die Recht-
ecke unter den drei Paar Perpendikeln, welche aus irgend einem
Puncte des Kreises auf die drei Paar Gegenseiten des Vierecks
gefällt werden, jedesmal gleichen Inhalt."

3. a) „Werden einem Dreiseit ABC irgend vier Kegel-
schnitte eingeschrieben, so haben je zwei derselben (ausser

429 Lebätw.

den drei Seiten des Dreiseits) noch eme vierte gemeinschafi
liehe Tangente T, was zusammen sechs T ^iebt: diese secl
T schneiden jede der drei Seiten A, B and C in sechs solche
Pancten, welche Involution bilden." (Nämlich die Tangente
zweier Ke^lschnitte nnd die Tangente der jedesmaligen beiden aoden
geben je eb Paar conjo^^rter Pnncte.^

&) „Wenn irgend vier Kegelschnitte einen BreDoponct od
eine Tangente A gemein haben, so haben sie, zu zwei nnd zwe
noch sechs Tangenten T gemein, welche jene Tangente A i
sechs InyolutionspancteD schneiden."

c) „Haben vier Parabeln den Brennpnnct gemein, so habt
je zwei derselben nur eine gemeinschaftliche Tangente
(ansser der onondlich entfernten), was zusammen sechs T gieb
Die aas irgend einem Puncte p auf diese sechs T gefällte
Perpendikel (sowie anch die durch p den sechs T parallel gi
zogenen Geraden) bilden jedesmal Involntion."

4. a) „Sind in einer Ebene eine Parabel P* und irgend ei
Syntem confocaler Kegelschnitte C* in fester Lage gegeben, :
hat die P* mit jedem C vier Tangenten gemein, von weicht
P* in je vier Puncten a, b, c und d berührt wird. Das Produ'
der aus dem Brennpuoct der Parabel nach den je vier Berül
rungspuncten gezogenen Leitstrahlen ist constant, also
fa.fbjc.fd = constant"

Wird die Parabel von den aus den gemeinschaftlichen Brennponcti
der Kegelschnitte C an nie gezogenen zwei Paar Tangenten in den Puncti
a, , £, , c, und d, berührt, so hat insbesondere anch das Froduct

fa,./b,.fi,.fd,
donHolben constanteo Wertb.

b) „Wird die Parabel in derselben Ebene um ihren fes

Lehrsätze.

Crelle's Journal Band XLV. S. 177—180.

Lehrsätze.

1. „Zieht man aus den Ecken a, 6, c eines gegebenen Drei-
ecks durch einen in seiner Ebene liegenden unbestimmten
Punct 'p Strahlen, welche die Gegenseiten beziehlich in den
Puncten a, , 6,, c, treffen, und verlangt, es soll das Product

ap,bp.cp ^= pa^,pb^,pc^

sein, so ist der Ort des Punctes ^diejenige dem Dreieck abc
umschriebene Ellipse, welche den Schwerpunct desselben zum
Mittelpunct hat."

Ist also insbesondere das Dreieck gleichseitig, so ist der Ort von p
der umschriebene Kreis.

2. „Werden durch irgend einen Punct p in der Ebene
eines gegebenen Dreiseits ABC diejenigen drei Geraden rr^^
sij,, tt^ gezogen, welche beziehlich von den Seiten A und J5,
B und Cy C und A begrenzt und durch den Punct p gehälftet
w^erden, so liegen ihre drei Paar Endpuncte r, r,; s, s,; t, t^
allemal in irgend einem Kegelschnitte C, welcher nothwen-
digerweise den Punct p zum Mittelpunct hat. Und zieht man
ferner aus demselben Puncto ^ Strahlen a, ß, 7 nach den Ecken
a, b c des Dreiseits und construirt in jeder Ecke zu den zwei
anliegenden Seiten und dem jedesmaligen Strahle den vierten,
dem letzteren zugeordneten, harmonischen Strahl, beziehlich
«j, ß, und 7p so werden diese drei neuen Strahlen in den respec-
tiven Ecken des Dreiecks allemal von einem solchen Kegel-
schnitte C] berührt, welcher jenem Kegelschnitte C^ ähnlich
ist und mit ihm ähnlich liegt, so dass die sich entsprechenden
Axen beider Kegelschnitte parallel sind,, ebenso ihre Asymp-
toten, falls sie Hyperbeln sind." — „Umgekehrt ist durch jeden
dem Dreieck abc umschriebenen Kegelschnitt C] der Punct p.

432

Lehrsätze.

sowie der ihm zugehörige Kegelschnitt C* bestimmt. Somit
giebt es nur einen Pol p, für wolchen der zugehörige Kegel-
schnitt C ein Kreis wird, oder bei welchem die drei Geraden
rr^, SS,, ((, einander gleich werden; derselbe wird durch den
dem Dreieck abc umschriebenen Kreis bestimmt." Ferner:

„Sollen die Kegelschnitte C und C\ insbesondere gleich-
seitige Hyperbeln sein, so ist der Ort des Poles 71 eine bestimmte
Gerade H; nämlich sind a,, ä,, c, die Fusspuncte der aas den
Ecken a, b, c auf die Gegenseiten ..4, B, Cgefällten Perpendikel,
so liegen die drei Schnitte der Geraden a^b^ und C, a^c, und
B, b^c, und A in einer Geraden -^ und diese ist die genannte
Gerade H." Und

„Soll insbesondere C\ eine Parabel sein, so zerfällt C* in
zwei Gerade, etwa rst und r, s, t,, welche jedesmal der Parabel-
Axe parallel sind und gleich weit vom Pol p abstehen. Fnr
diesen Fall ist der Ort des Poles p diejenige Ellipse, welche
die Seiten des gegebenen Dreiecks in ihren Mitton berührt
und somit den Schwerpunct desselben zum Mittelpunkt hat"
U. s. w.

3. Bei allen einem Kegelschnitte C* eingeschriebenen rechtwinkligen
Dreiecken bac, welche den Scheitel a des rechten Winkels gemein haben,
gehen bekanntlich die Hypotenusen bc sämmtlich durch irgend einen be-
stimmten Punct p. Somit entspricht jedem Puncte o in C auf diese
Weise ein bestimmter Punct ^. Uober den Punct p und dessen Beziehung
£11 dem Puncte a ist unter anderem folgendes Nähere anzugeben:

„Der Ort des Punctes p ist ein Kegelschnitt 6';, welcher
dem gegebenen C ähnlich und mit ihm ähnlichliegend und con-
ccntrisch ist; und zwar sind a und p stets symmetrische, ho-
mologe Puncte beider Kegelschnitte in Bezug auf deren ge-

Lehrsätze. 433

Puncto a berührt; d. h. die gesammten Tangenten des C\ geben
in C alle diejenigen Sehnen b^ Cj, welche Durchmesser solcher
Kreise sind, die den C berühren, und jedesmal berühren jene
Tangente und dieser Kreis die beiden Kegelschnitte CJ und C"
in einem Paar sich entsprechender Puncte p und a." — Zieht
man in C eine beliebige Sehne Je, welche den C\ in irgend zwei
Puncten p schneidet, so schneidet der über derselben, beschriebene Kreis
den C in den entsprechenden zwei Puncten a.

4 Die Mittelpuncte aller Kreise, welche in einer Ebene durch zwei
feste Puncte a und a, gehen, oder die Sehne aa^ gemein haben, liegen
in einer die Sehne in ihrer Mitte, etwa a^ , rechtwinklig durchschneiden-
den Geraden AA^ . Die auf entgegengesetzten Seiten der Sehne liegenden
Theile dieser Geraden bezeichne man durch A und A^^ und demgemäss
jeden Bjreis durch A^ oder -4J, jenachdem sein Mittelpunct in A oder
A^ liegt; der besondere Bjreis aber, dessen Mittelpunct in a^ liegt, oder
welcher die. Sehne aa^ zum Durchmesser hat, heisse A]. Ebenso unter-
scheide man in Rücksicht irgend zweier anderen festen Puncte b und 6,
die durch dieselben gehenden Kreise durch B^ und B] und bezeichne
den besonderen Kreis, welcher bb^ zum Durchmesser hat, durch B], Als-
dann lässt sich ein Satz, wie folgt, aussprechen:

„Sind in einer Ebene irgend zwei Sehnen aa^ und bb^ in be-
liebiger fester Lage gegeben, und beschreibt man über den-
selben je ein Paar solcher Kreise A^ und B\ oder A] und B],
deren Centriwinkel über den respectiven Sehnen einander
gleich sind, so geht die gemeinschaftliche Secante (die Linie
der gleichen Potenzen) jedes dieser Kreispaare stets durch
einen und denselben bestimmten Punct p; und beschreibt
man verwechselt je ein Paar solcher Ki;^ise A^ und ÄJ, oder
A] und 5', deren Centriwinkel über den Sehnen ebenfalls ein-
ander gleich sind, so geht die gemeinschaftliche Secante jedes
dieser Kreispaare durch einen anderen bestimmten Punct j;
und diese beiden Puncte p und q liegen in der gemeinschaft-
lichen Secante der besonderen Kreise A] und ÄJ."

5. Unter allen einem vollständigen Vierseit eingeschriebenen Kegel-
schnitten befindet sich nur eine Parabel P^; sei c ihr Brennpunct und seien
Py 3, Ty 8 ihre ßerührungspuncte mit den Seiten des Vierseits. Seien
femer a und a die Brennpuncte irgend eines anderen dem Vierseit ein-
geschriebenen Kegelschnittes J.', sowie p^, q^^ r,, s, die ßerührungs-
puncte der aus denselben an die Parabel gezogenen zwei Paar Tangenten.
In Bezug hierauf hat man folgenden Satz:

„Das Rechteck unter den Abständen der beiden Brenn-
puncte«, ajedes dem Vierseit eingeschriebenen Kegelschnittes

Stelnor's Werke. IL . 28

434

Lehrsätxe.

A* vom BrennpuDote c der Parabel P* ist constant (an Inhalt),
und zwar gleich der Quadratwurzel aus dem Prodact der tler
Leitstrahlen, welche aas dem Brennpuncte der Parabel nach
ihren Berührungspuncten mit den Seiten des Vierseits gehen.*
Und ferner: „Legt man aus den beiden Brennpuncten a, a jedes
eingeschriebenen Kegelschnittes A* an die Parabel i" die
zwei Paar Tangenten, so ist das Prodact der vier Leltstrahlen,
welche aus dem Brennpuncte c der Parabel nach den Berüh-
rungspnncten (;>,, 9,, r,, s,) dieser Tangenten gehen, ebenfalls
constant, und zwar gleich jenem vorgenannten Prodncte.

Also ist

ca.ca = ctHist. = yt^.cg.cr.cs,
cp,.cq^.cr^.c»^ ^= const. ^cp.cq.cr.c»."
Insbesondere sind also auch die Rechtecke unter den drei Paar Strahlen,
welche aus dem Brennpuncte der Parabel nach den Gegenecken des Vier-
seite gezogen werden, an Inhalt einander gleich, und zwar anch gleich
der genannten Quadratwurzel.

6. Der vorige Satz ist übrigens nur eine specielle Folge des nach-
stehenden Satzes:

„Sind a und a, b und ß, c und f die Brennpuncte irgend
dreier demselben Yierseit eingeschriebenen Kegelschnitte, so
findet zwischen ihren gegenseitigen Abständen allemal die
Relation statt, dass z. B.

ac.üui «T-oY

JcTpc ~ Äy.pY
ist." Sind nun c und y msbesondere die Brennpuncte der Parabel P'
und ist Y der unendlich entfernte, so wird der Bruch rechts gleich 1, und
daher *

^ 6r , ßc ^ CODüt. ;

Combinatorische Aufgabe.

Grello's Journal Band XLV. S. 181 — 182.

ou«

Combinatorische Aufgabe.

(i) Welche Zahl, iV, von Elementen hat die Eigenschaft, däss sich
die Elemente so zu dreien ordnen lassen, dass je zwei in einer, aber
nur in einer Verbindung vorkommen? Wie viele wesentlich verschiedene
Anordnungen, d. h. solche, die nicht durch eine blosse Permutation der
Elemente aus einander hervorgehen, giebt es bei jeder Zahl?

h) Wenn femer die Elemente sich so zu vieren verbinden lassen
sollen, dass je drei freie Elemente, d. h. solche, welche nicht schon
einen der vorigen Dreier (a) bilden, immer in einem, aber nur in
einem Vierer vorkommen, und dass auch keine 3 Elemente eines solchen
Vierers einem der vorigen Dreier angehören; entsteht daraus keine
neue Bedingung für die Zahl N?

o) Sollen die Elemente sich weiter so zu Fünfern combiniren lassen,
dass je vier unter sich noch freie Elemente, d. h. welche keinen der
zuvor gebildeten Vierer (6) ausmachen, noch einen der früheren Dreier
(a) enthalten, immer in einem, aber nur in einem Fünfer vorkommen,
und dass ein solcher Fünfer keinen der schon gebildeten Dreier noch
Vierer enthält: welche neue Modification erleidet dann die Zahl N?

d) Und sollen die Elemente sich ähnlicherweise so zu Sechsern ver-
binden lassen, dass zu je fünf unter sich noch freien Elementen ein be-
stimmtes sechstes gehört, aber keiner der so gebildeten Sechser einen
der früheren Dreier oder Vierer oder Fünfer enthält; welche Beschränkung
erleidet daijn die Zahl N?

e) Ebenso sollen Siebner gebildet werden, so dass zu je sechs unter
sich freien Elementen ein bestimmtes siebentes gehört, aber ein solcher
Siebner weder einen der vorigen Dreier, noch Vierer, noch Fünfer, noch
Sechser enthält. Und so soll fortgefahren werden, bis für die Zahl
N die Unmöglichkeit höhörer Verbindungen dieser Art eintritt. Zudem
soll auf jeder Stufe die allgemeine Form der Zahl N^ für welche die ge-
forderten Combinationen möglich sind, angegeben, sowie umgekehrt ge-

438 Combinatttrische Aufg)^.

zeigt werden, ob bei jeder Zahl von der aufgefuiidenen Form, die gefor-
derten VerbiDdungen auch in der That möglich sind. — Wenn z. B. in
Rücksicht der ersten Bedingung (a) allein die Zahl l*/" von der Form
6n+l oder 6n+3 sein muss, so ist zn beweisen, dass für jede Zahl
von einer dieser zwei Formen auch in der That die N Elemente sich aoT
die gerorderte Art zu iN(^N — 1) Dreiern verbinden lassen. Nämlich aus
den gestellten Bedingungen folgt leicht, dass

die Zahl der Dreier — — ^

2.3 •
N(N-1XN-

2.3.4
N(N—1XN-

-3)(N-

-')

-15)

NIN-

2.3.4.6
-lXAf-3X*-

-IXN-

N(N-

2.3.4.5.6
-1)(JV-.3XW-

-T){N-

-15)(Ar-

-31)

2.3.4.5.6.7
u. s. w. ist.

Auf die vorstehende Aufgabe wurde ich vor etwa sechs Jahren ge-
legentlich durch eine geometrische Betrachtung (bei UntersuchungeD über
die Doppeltangenten der Curvcn vierten Grades) geführt. Diese Betrach-
tung gab wohl einiges Licht über die Natur der verlangten Combinationon,
aber sie genügt« doch nicht, den Gegetiätand vollständig aufzaklärco. Der
für die Mathematik leider zu früh verstorbene Dr. Eisenstein, welchem
die Aufgabe vor längerer Zeit mitgetheilt worden , sagt« mir später, das»
er aus dem Falle (a), den er vorcret allein in Betracht zog, einige An-
wendungen auf Beispiele der Wahrscheinlichkeitsrechnung machen könne. —
Man kann die Aufgabe auch figürlich so stellen, dass man sich miter den
N lllcmcntcn eben so viele in t^iiier Ebene lK'li(.'liiK li(!gcndo Puncto denkt.

Aufgäben und Lehrsätze.

Crelle's Journal Band XLV. S. 183 — 185.

{

Aufgaben und Lehrsätze.

1. a) „Soll ein Kegelschnitt beschrieben werden, welcher
eine gegebene Curve vierten Grades in irgend vier Puncten
und nebstdem noch eine in derselben Ebene gegebene Gerade
berührt, so ist die Zahl der Lösungen gleich252." Oder allgemeiner:

h) „Soll ein Kegelschnitt eine gegebene Curve vierten
Grades in irgend vier Puncten und zudem eine (in derselben
Ebene) gegebene Curve n**" Grades in irgend einem Puncto be-
rühren, so ist die Zahl der Lösungen im Allgemeinen

= 126n(«-Hl)."

2. „Es giebt im Allgemeinen 126 Kegelschnitte, welche
eine gegebene Curve vierten Grades in irgend vier Puncten
berühren und nebstdem durch irgend einen gegebenen Punct
gehen."

3. „Es giebt im Allgemeinen 63 Kegelschnitte, welche
eine beliebige Curve vierten Grades in irgend einem auf ihr
gegebenen Puncto und nebstdem noch in irgend drei anderen
Puncten berühren."

4. „Es giebt im Allgemeinen 756 solche Kegelschnitte,
welche eine beliebige Curve vierten Grades in irgend einem
Puncto, a, vierpunctig und zudem in irgend zwei anderen
Puncten, b und c, einfach (d. h. zweipunctig) berühren." »Die
756 Berührungspuncte a ordnen sich zu 12 und 12 in 63 be-
stimmte Gruppen und durch die 12 Puncto jeder Gruppe geht
je eine Curve dritten Grades." — „Welche Beziehung haben
diese 63 Curven dritten Grades zu einander?"

5. „Wie viele solche Puncto, a, giebt es in einer allge-
meinen Curve vierton Grades, in welchen sie von einem Kegel-
schnitte sechspunctig berührt wird?"

[Nach einer gewissen Betrachtung sollte die Zahl der verlangten
Puncto gleich 324 sein; allein es fallen von denselben in jeden Wendungs-

442 Aufgaben uad Lehrsätze.

punct der gegebenen Curve eioe bestimmte gleiche Menge, denen keine
eigentlichen Kegel »chrntte CDtsprechon, sondern dieüelben werden durch die
doppelt gedachte Wcndungstangente vertreten. Fielen nun in JBden Wen-
dungspunct etwa 8 oder 9 der gedachten Functc, so blieben noch 132
oder 108 eigentliche Losungen übrig; wie viele fallen in jeden? Durch
ein gleiches Verfahren habe ich früher die 27 Puucte, a, bcstinunt, m
welchen die Curve dritten Grades von einem Kegelschnitte sechspanctig
berührt wird (O-etW» Journal Bd. 32. S. 182)*). Dabei fielen von den
54 Puucten, welche die allgemeine Betrachtung anzeigt, in jeden Wendungs-
punct drei, so dass nur 27 blieben.]

6. a) Wie viele solche Puucte, a, giobt es in einer Curve ö"", ö"",
7'"', . . . Grades, in welchen dieselbe von einem Kogelschmtte sechspanctig
beröhrt wird?

f>) Wie viele solche Puncto giebt es in einer Curve vierten Grades,
in welchen sie von einer Curve dritten Grades lOpunctig berührt wird?
Dnd allgemein, wenn m~^n:

e) Wie viele solche Punct« giebt es in einer Curve mf" Grades, in
welchen sie von einer Curve n*" Grades ^(n+l)(»+2)punctig berührt
wird?

7. a) Einen Kegelschnitt zu finden, welcher eine gegebene Car\'e
fünften Grades in (unf Puncten berührt. Wie viele Tiösungen giebt es? —
Dass die Zahl der Lösungen ansehnlich gross sein muss, erhellt ans dem
obigen Satze (1, a), der als ein spccioilcr Fall anzusehen ist, und wobei
die Zahl der I<ösungon schon 252 beträgt, aber gleichwohl bedeutend ge-
ringer sein wird, als für den allgemeinen Fall.

Ä) Wie vicio Kegelschnitte giobt es, welche eine gegebene Curve
6"", 7"°, .... wi"" Grades in fiinf Puncten berühren?

8. „Durch jeden beliebigen Pun%t p in der Ebene einer
Curve 71*™ Grades gehen im Allgemeinen 3n(n — 1) Krümmungs-

Aufgaben und Lehrsätze. 443

Grad, so ist die Zahl der Lösungen beziohlich 4, 36, 132, 340, .... —
„Wenn der Punct p insbesondere in der gegebenen Curve
selbst liegt, so wird letztere von

n(n-j-l) — 4

lösenden Kreisen in p selbst berührt, und dann ist jeder von
diesen Kreisen doppelt zu zählen, oder die Zahl der Lösungen
wird um eben so viel verringert."

10. „Soll ein Kreis durch zwei gegebene Puncto gehen und
nebstdem eine gegebene Curve «*•" Grades berühren, so finden
i m Allgemeinen

n(n4-l)
Lösungen statt."

Berlin, im November 1852.

Ueber einige neue Bestimmungs- Arten der
Curven zweiter Ordnung nebst daraus folgen-
den neuen Eigenschaften derselben Curven.

Crelle's Journal Band XL V. S. 189 — 211.

(Auszug aus einem am 4. März 1852 in der Akademie der Wissenschaften zu Berlin

gehaltenen Vortrage.)

Hierzu Taf. XXI und -XXII Fig. 1 —3.

lieber einige neue Bestimmungs- Arten der
Curven zweiter Ordnung nebst daraus folgen-
den neuen Eigenschaften derselben Curven.

§1-

Die zwei hier zunächst folgenden Bestimmungs-Arten der Kegelschnitte
sind den bekannten beiden Erzeugungs weisen derselben, nämlich durch
die Brennpuncte oder durch den einen Brennpunct und die zugehörige
Leitlinie, gewissermaassen analog und umfassen sie als besondere Fälle.
Die erste Ai;^ besteht darin, dass, statt die Summe oder Differenz der
nach den Brennpuncten gezogenen 'Leitstrahlen als gegeben anzunehmen,
hier die Summe oder Differenz zweier Tangenten, welche aus dem bo-
schreibenden Puncte an zwei feste Kreise gezogen werden, als gegeben
angesehen wird. Bei der zweiten tritt an die Stelle der* Leitlinie irgend eine
Anzahl von beliebigen gegebenen Geraden, auf welche aus dem beschrei-
benden Puncte Perpendikel gefallt und mit dem Leitstrahl nach dem einen
Brennpuncte, sowie mit dem aus diesem letzteren auf dieselben Geraden
herabgelassenen Perpendikel in bestimmtes Verhältniss gesetzt werden.
Die daraus hervorgehenden beiden Sätze lauten, wie folgt:

I. „Sind in einer Ebene irgend zwei Kreise A^y B^ ge-
geben, und zieht man aus einem willkürlichen Puncte X^ an
jeden Kreis eine Tangente o, ß und verlangt, es soll entweder
die Summe, (a-H-ß), oder der Unterschied, (a — ß) oder (ß — a),
dieser Tangenten einer gegebenen Länge l gleich sein, so
ist der Ort des Punctes X^ allemal irgend ein Kegelschnitt
C'\ welcher jeden der beiden Kreise doppelt berührt (reell
oder imaginär), und von dessen Axen immer die eine oder
andere auf der Mittelpunctslinie AB der Kreise liegt." Und
umgekehrt: „Werden einem gegebenen Kegelschnitte C^ irgend
zwei ihn doppelt berührende Kreise -4' und-B' eingeschrieben,

448

Nene Bestinimun^-Arl«n d«r Currea z

T Ordnung.

deren Mittelpuncte A und B jedoch in der nämlichen Äxe
desselben liegen, so haben die aus jedem Functe X^ dea Kegel-
schnittes an die Kreise gezogenen Tangenten st, ß stets irgend
eine bestimmte Länge l entweder zur Summe oder zum Unter-
schied; und zwar findet im Allgemeinen beides statt, nämlich
der Kegelschnitt wird durch die BerührungspuDCte mit den
Kreisen in vier Bogen getheilt und für zwei dieser Bogen
findet Summe (a + ß = Q, dagegen für die beiden anderen
Unterschied (n— p=7 oder ß— a = /) statt"

II. „Sind in einer Ebenen beliebige Gerade ff,, G,, G,,...G.
und irgend ein Panct A gegeben, und werden die aus einem
willkürlichen Puncto X auf die Geraden gefällten Perpendikel

^,, Xj, m^l ^ bozichlich durch die aus dem festen Puncte

A auf dieselben Geraden herabgelassenen Perpendikel o,,
a,, a,, ... o, dividirt, die erhaltenen Quotienten respective
mit gegebenen Coefficienten a,, a,, o,, ... a, multiplicirt, und
wird verlaugt, es soll die Summe dieser Productc gleich sein
dem aus A nach X gezogenen Leitstrahl AX ^ x dividirt
durch eine gegebene Länge a, also es soll

'-+<x.

-H-a, ■

■■+0.— - = -

sein, so ist der Ort des Punctos X allemal irgend*ein Kegel-
schnitt C, welcher den Punct A zum Brennpunct hat, und
von welchem der Krümmungshalbmesser r im Scheitel der
Haupt'Axe durch die n Coefficienten uijd die Länge a unmit-
telbar bestimmt ist, nämlich es ist

r = Ca,+a,-4-a,H h««)«;

ebenso hängt die dem Brennpuncte A zagehörigo Leitlinie

Neue Bestimmungs- Arten der Curvcn zweiter Ordnung. 449

§2.

Zunächst will ich hier in Rücksicht des zweiten Satzes nur einen Um-
stand kurz andeuten und sodann den ersten Satz einer ausführlicheren
Erörterung unterwerfen.

Die genannte Leitlinie G ist nämlich dadurch bestimmt, dass sie in
gewissem Sinne eine Axe mittlerer Entfernung ist, in Rücksicht der ge-
gebenen n Geraden, deren zugehörigen CoefGcienten und des Punctes Ay
und zwar in dem Sinne dass, wenn a^ und x^ die aus den Puncten A
und X auf die Linie G gefällten Perpendikel sind, dann für jeden Punct
X der Ebene stets

**'i **'a *^m •*'• ^ . • V *''|\

ist. Die Leitlinie G ist jedoch hierdurch nicht absolut, sondern vieldeutig
bestimmt. Denn da man in Rücksicht jeder der gegebenen n Geraden
die beiden entgegengesetzten Seiten derselben durch die Zeichen -h und —
zu unterscheiden hat, und da man diese Zeichen nach Belieben wechseln
kann, so entstehen durch diese Wechselung bei denselben gegebenen
Elementen (d.h. bei denselben n Geraden G, , G,, ./. G„, denselben
n Coefficienten o,, a,, . . . o«, demselben Puncto A und derselben
Länge a) viele verschiedene Leitlinien G und zugehörige Kegelschnitte (7,
und zwar ist ihre Zahl im Allgemeinen gleich 2"~^.

So sind also z. B. bei nur zwei gegebenen Geraden 6, und G^ auch
zwei verschiedene Leitlinien, etwa G und U^ möglich; dieselben gehen
beide durch den Schnittpunct jener Geraden und sind zu ihnen zugeordnet
harmonisch, u. s. w. Ich übergehe hier die weitere Entwickelung dieses
Gegenstandes.

§3.

L Um nun den ersten Satz (§ 1, L) umständlich zu erörtern, wollen
wir mit dem bestimmten Falle beginnen, wo die gegebenen Kreise A^
und jB' ausser einander liegen, wie etwa in Fig. 1 auf Taf. XXI die Kreise
Uaü^ay^ und VbVJ)^ über den Durchmessern UU^ und FF, und um die
Mittelpuncte A und B,

Es ist erforderlich, folgende Elemente näher zu fixiren, sowie auf
gewisse Nebenumstände aufmerksam zu machen.

Man bezeichne die (Grösse der) Radien der Kreise ^', B^ durch a*,
6*; den Abstand ihrer Mittelpuncte von einander, die Strecke AB, durch
2c; sei M die Mitte der Strecke AB^ also MA^=MB=c. Die unbegrenzte
Gerade ÜABN heisse Axe und werde durch X bezeichnet; U und i7,,
V und F, seien die Endpuncte der in der Axe liegenden Durchmesser der
Kreise. Man bezeichne femer die Länge der aus den Puncten F und F,

Steiner's Werke. II. 29

450 t^ene Bestinminngs-Arteii der Corven zweiter Ordnnng.

an den Kreis A* gezogenen Tangenten beziehlich durch v und e, imd
eben so die aus den Puncten ü und C, an den EreLs B* gehenden Tan-
genten durch « und «,. Ist Radius a'>6', so ist von den 4 Tangenten
u die grösste und u^ die kleinste, nämlich ihre Folge ist: «>■»,>»»>■«,.
Die Gerade L sei die sogenannt« Linie gleicher Potenzen der g^ebeneD
Kreise, d. h. der Ort aller Puncte, aus denen die Tangenten o, ß an beide
Eroise einander gleich sind, a:=ßodero — ß=0. Femer seien £, Ä, die
äusseren gemeinschaftlichen Tangenten der Kreise, und a und b, a, und 6,
ihre Berührungspuncte ; ihr gegenseitiger Schnitt % ist der äussere Äehn-
lichkeitspunct der Kreise. Eben so seien S, iS, die inneren gemeinschaft-
lichen Tangenten, a und ß, a, und ß, ihre Berühnmgspnncte ; ihr Schnitt
^, ist der innere Aehnlichkeitspunct der Kreise. Diese zwei Paar gemein-
schaftlichen Tangenten werden durch die 8 Berührungspuncte, durch ihre
gegenseitigen 4 Schnittpuncte % j, 9,, J, und durch die 4 Schnitte m, m
(i„ m, der Linie L so begrenzt, dass die Abschnitte folgendermaasaen ein-
ander gleich sind:

1) oÄ =a,6, =9Ji=ä9,, und «ß = a,ß, =9i = 9iai.

2) aj = fiq = 6,fl, = a,J, = oj = ß,9 = ß9, = a,g. ,

3) ma = 77i6 = |ij ^ [tq, ^ etc., und mj ^ m^ ^ jio ^ [iß ^ etc.
Daher stehen die Diagonalen 9^ und gg, oder Y und Z dos durch die
vier gemeinschaftlichen Tangenten gebildeten vollständigen Vierseits RR^ SS,
gleichweit von der Linie L ab, sind mit dieser zu der (dritten Diagnole
yj, oder der) Axe X senkrecht, und in Rücksicht der Puncte ^, z und m^
in welchen sie die letztere schneiden, ist m^y ^ m^ z. Die vier Berührungs-
puncte a, b, a, , b, der äusseren Tangenten R, R, liegen in einem Kreise
M\ welcher den vorgenannten Punct M zum Mitt«lpunct hat. Eben so
liegen die vier Berühnmgspnncte o, ß, a„ ß, der beiden inneren Tangenten
S, S, in einem anderen Kreise Af'; und gleicherweise liegen die vier

Neue Bestimmungs-Arten der Ourven zweiter Ordnung. 451

jeden Punct X^ der Ebene nur zwei derselben gehen; denn sind a, ß die
Tangenten aus X^ an A\ -B*, so ist für die eine Curve Z==a-+-ß und für
die andere l=a — ß oder =ß — a. Wie sich gleich nachher zeigen wird,
ist für jede gegebene Länge l leicht zu entscheiden, ob die zugehörige
Ortscurve (7 Ellipse BP, Hyperbel if' oder Parabel P* sei, und wie sich
dieselbe naher gegen die Kreise -4', B^ verhalte. Nämlich die Curve C*
ist H^ oder J5', jenachdem die Länge .1<:,AB oder 1>AB, und ist ge-
rade l=AB=2c, so findet die einzige Parabel P' statt. Li Rücksicht
ihres Verhaltens gegen die gegebenen Ej*eise zerfallen alle Hyperbeln in
drei Gruppen, die durch ör(iJJ), ßr(J?J) und ör(if J) bezeichnet werden
sollen; von ihnen, sowie von der Gruppe Ellipsen, Gr(lP), sind folgende
nähere Umstände anzugeben.

1) Für die Werthe von. 1=0 bis Z=aß (L) entsteht die erste
Gruppe Hyperbeln, Gr(H]\ sie beginnt (für Z=0) mit der Linie L (die
man sich als doppelt zu denken hat, als Hyperbel, deren beide Zweige
in der zweiten Axe zusammmengefallen sind) und endet mit dem Paar
innerer Tangenten (ßS^ für Z=aß=a,ßj. Von jeder H\ liegt die Haupt-
Axe auf der Axe X^ und von ihren Zweigen umschliesst der eine den
Kreis A^, der andere den Kreis B^\ aber anfanglich berührt sie beide
Kreise imaginär, bis Z=w, (I.) wird, wo sie den grösseren Kreis A^ in
{7j berührt, und zwar vierpunctig, so dass er der Krümmungskreis in ihrem
Scheitel JJ, ist; von da ab berührt die n\ den Kreis A^ in zwei reellen
Puncten, aber den Kreis £' noch imaginär, bis Z=t? und damit B^ ihr
Krümmungskreis im Scheitel V wird; von da ab berührt H] beide Kreise
reell bis zu ihrer Grenze (SS,). Die reellen Berühnmgspuncte aller H\
liegen also längs der Kreisbogen aJ/ja, und ßFß,.

2) Den Vi^erthen von Z=aß bis Z=ai entspricht die zweite Gruppe
Hyperbeln, Gr(ß\), sie beginnt mit dem Paar innerer Tangenten (ßS^)
und endet mit dem Paar äusserer Tangenten (ÄJR,); von jeder E\ liegt
die zweite Axe auf der Axe X, und von ihren zwei Zweigen berührt jeder
beide Kreise von Aussen ; alle vier Berühnmgspuncte sind stets reell und
liegen in den zwei Paar Kreisbogen aa und a^o^, iß, und &, ß.

3) Hat l die Werthe von Z=a6 bis l=^ABy so entsteht die dritte
Gruppe Hyperbeln, ör(ifj), beginnend mit den äusseren Tangenten (ÄJR,)
und endend mit der Parabel P", die, wie schon bemerkt, dem Werthe
l=AB entspricht, und welche die Kreise etwa in den Puncten a und a,,
b und b, berühren soll. Von jeder H] umschliesst dör eine Zweig beide
Kreise und berührt sie reell; ihre Haupt -Axe liegt auf X, und die Be-
rührungspunkte liegen in den Bogen aa und a^a^, 6b und b^i^,

4) Hat endlich l die Werthe von l=AB bis Z = cx), so entsteht die
Gruppe Ellipsen, Crr(E^, die mit der Parabel P" beginnt und mit einer
ganz im Unendlichen liegenden Ellipse, = £«, endet. Jede E^ umschliesst

29*

452 Neue Bestimmuiigs-Arteii der Ourren iweiter Ordnung.

beide Kreise, ihre Haupt-Axe liegt auf X; anfänglich berfihtt sie jeden
Kreis in zwei reellen Puncten, bis l^v^ wird, wobei sie den Kreis B*
im Puncte V, vierpunctig berührt und ihn zum Erümmungskreise hit;
von hier ab sind alle Berührungen im^inär. Die reellen Berührungspunkte
aller E^ liegen in den B(^n aUa, und iVi,.

Bei diesem Durchlaufen der ganzen Schaar von Ortscurven durch stetiges
Wachsen der Länge /, durchläuft, der Mittelpunct der Corve C, der C
heissen mag, die Axe X in unveränderter Richtung, and zwar durchziehen
die Mittelpuncte der verschiedenen Gruppen folgende bestimmte Strecken
der Ase X. Bei der Gr(H]) rückt der Mittelpunkt C von «, bis ][,;
bei der Or{HD von j:, bis je; bei der 6r(i7J) rückt C in gleicher Ach-
tung von ]c bis ins Unendliche bis zum Mittelpunct« C^ der Parabel P,
und bei der Gr(E^ endlich kommt C aus dem Unendlichen, von C.,
nach U, A, ... bis zuletzt nach M zurück, so dass dieser letzte Punct
M gerade der Mittelpunct der letzten Ellipse E* ist, die dem Wer^e
l = oo entspricht und ganz im Unendlichen liegt. — Hiernach durchlauft
der Mittelpunct (' die ganze Axe X, bis auf die Strecke Mm^; in dieser
Strecke liegen Mittelpuncte imaginärer Ortscurven.

Für jede gegebene Länge / sind die Berühningspuncte der zugehörigen
Curve C mit deu gegebenen Kreisen A^ und B' anter änderen, wie folgt,
leicht zu construiren. Um z. B. die Berührungspuncte mit dem Kreise A^
zu linden, tr^e man auf ii^end einer Tangente des Kreises B*, etwa anf
der Tangente R, von deren Berüfarungspunct b aus die gegebene Länge /
ab, nehme bb^ ^l, so schneidet der mit Bb„ um den Punct B beschriebene
Hälfskreis £* den Krets A^ in den verlangten Berührungspuncten ; und
im Falle er ihn nicht wirklich schneidet, so ist auch die Berührung ima-
ginär, aber alsdann ist die Linie der gleichen Potenzen der Kreise Bl
und A' (d. h. ihre ideelle gemeinschaftliche Secante) zugleich die ideelle
Berührungssehne von C* und A'. Ebenso findet man die Berühmngs-

Neue Bostimmungs-Arten der Gurven zweiter Ordnung. 4&3

puncto sind zu den Aehnlichkeitspuncten jt und jc, zugeordnet
harmonisch." Danach muss die Parabel P' den Mittelpunct N des
Aehnlichkoitskrcises zumßrennpunct haben, weil der ihm in Bezug auf
^ und jCi zugeordnete harmonische Punct im Unendlichen liegt. Die
mehrgenannte besondere Ellipse El hat die Mittelpuncte A, B der ge-
gebenen Kreise zu Brennpuncten , denn dieselben sind zu ]r und ;r, har-
monisch und stehen gleich weit vom Mittelpunct M der El ab*). Ferner
werden hierdurch auch die Brennpuncte jener besonderen ersten Hyperbel
i/' bestinmit, welche aus der doppelten Linie L besteht (II. 1), denn
da dieselbe offenbar m^ zum Mittelpunct hat, so sind y und z als ihre
Brennpuncte anzusehen, indem sie zu f [und jt, harmonisch sind und
gleich weit von m^ abstehen, ym^ = zm^ (L).

Demnach sind die Brennpuncte aller Ortscurven folgendem gemein-
samen Gesetz unterworfen:

„Das Rechteck unter den Abständen der beiden Brenn-
puncte, etwa/ und /i, jeder Ortscurve C" von dem Puncto N
(dem Brennpunct der Parabel P' oder Mittelpunct des Aehn-
lichkeitskreises iV') ist constant, und zwar gleich n', d. h.
gleich dem Quadrat des Radius des Aehnlichkeitskreises, also
stets /iV./iV=n».«

Ist der Mittelpunct C einer Ortscurve C* gegeben, so sind hiemach
die Brennpuncte f und / derselben bestimmt und leicht zu finden.
Nämlich liegt C im Durchmesser jrf, , so sind (wie bereits angegeben) die
Eudpuncte der in C auf jrf, rechtwinkligen Sehne des Kreises N^ die
verlangten Brennpuncte. Liegt dagegen C auf der Verlängerung des Durch-
messers nach der einen oder anderen Seite hin, so ist die aus C an den
Kreis N^ gezogene Tangente gleich der Excentricität der zugehörigen Curve
(P, so dass der mit der Tangente um C beschriebene Kreis die Axe X
in den verlangten Brennpuncten / und /\ schneidet. — Darauf gestützt,
sind nun weiter auch die Axen der Curve C, sowie die ihr zugehörige
Länge l zu finden. Nämlich setzt man die bereits gefundene Excentricität
Cf=Cf^=^ und bezeichnet die halben Axen der Curve durch a und
ß, die Radien der Kreise A^ und B^ durch a und 6, statt wie oben (I.)
durch a* und b\ so ist im ersten Falle

a:Y = aiAf=b'.Bfj
dagegen im anderen Falle

^':f = a':Af.Af,=b':B/.Bf,',
dort findet man a, hier zunächst ß'; an beiden Orten findet man die

*) Bei jeder gewöhnlichen Ellipse reducirt sich der doppelt berührende Kreis, wenn sein
Mittelpunct in einem Brennpuncte liegt, auf seinen Mittelpunct, d.h. sein Radius wird gleich 0
(s. Bd. 37 S. 175 des Cre^/e^schen Journals, cf. Bd. U. S. 404 dieser Ausgabe): die obige be-
sondere Ellipse E^ , deren Umfang im Unendlichen liegt, macht also bierin eine Ausnahme.

454 Neue Beatimmimga- Arten der Cur<cn zweiter Ordnuiig.

jedestualigo andere Axo aus der bekannten Relation zwischen a, ß und ^.
Dio Läi^o l wird boetimmt durch

l:AB = a.y.

EV. Die Puncte, in welchen ii^nd eine Ortecurve C die Kreise
A', B^ berührt, mögen boziehlich p und p, , q und q, hoissen. »Die
BerühruQgssehnen^, und qq, sind der Linie L parallel, stehen
jedesmal gleich weit von ihr ab und sind, wie sie, zur Axe X
senlirecht; (und zwar findet dies auch in dem Falle statt, wo
die Berührung imaginär und die Sehnen ideell sind)."*) Und
umgekehrt: „Je zwei mit der Linie L parallele und von ihr
gleich weit abstehende Geraden sind die BerührungssehncD
irgend einer Ortscurve C mit den gogobenen Kreisen A* und
ß'." — Ferner: „Die aus den Puncten p und p^ an den Kreis B'
gezogenen Tangenten ß sind den aus den Puncten q und j, an
den Kreis A' gehenden Tangenton a gleich, und zwar sind
beide gerade der der Curve C zugehörigen Länge / gleich."

„Die vier Berührungspunto p, p„ q, q, liegen allemal in
einem Kreise M', der den oftgenannten Punct J/ zum Mittel-
puQct hat" Und umgekehrt: „Joder um M beschriebene Krei«
AP schneidet dio gegebenen Kreise A', B' in solchen zwei Paar
Puncten, in welchen sie von irgend einer Ortscurve C* be-
rührt werden,"

„Dio acht Puncte, in welchen dio gegebenen Kreise vod
je zwei Ortscurvcn berührt werden, liogen jedesmal in irgend
cinom dritten Kegelschnitte, etwa i)*." So liegen also z.B. aut^
die acht Berühnmgspuncte a, a,, l>, b, und a, «,, ß, ß, der zwei Paar
gemeinschaftlichen Tangenten R, R, und S, S, in irgend einem K^l-
schnitte />'." Und umgekehrt: „Legt man durch die vier Berüh-
ngspuDcto p, Pi, q, q, einer Curve 6" einen beliebigen Kegel-

Neae Bostimmungs-Arten der Curven zweiter Ordnung. 455

genten gleiche Seimen in der Curvo; ebenso verhält es sich mit den
inneren Tangenten S und S^; und noch mehr:

„Die vier Tangenten Ä, Äj, S, S^ bilden in jeder Ortscurvo
C^ vier gleiche Sehnen, und zwar sind diese Sehnen gerade
der jedesmaligen zugehörigen Länge l gleich, und ihre Mitten
liegen sämmtlich in der Linie L und sind die Puncto m, m^,
(x, |j^.^ Danach sind für jede gegebene Länge l sogleich diejenigen acht
Puncte anzugeben, in welchen die vier Tangenten R, Äj, S, S, von der
zugehörigen Ortscurvo C geschnitten werden.

Werden die zwei Paar Berührungspunctep undp,, q und q^ jeder Orts-
curvo C" wechselseitig dm:ch Gerade verbunden, denkt man sich die je vier
Geraden pq^ pq^y p^q^ p^q^ gezogen, die „Wechselsehnon" heissen
sollen, so haben alle Wechselsehnen folgende gemeinsame Eigenschaft:

„Jede Wechsel sehne bildet in den gegebenen Kreisen gleiche
Sehnen; d.h. schneidet z.B. die Gerade jt^g' die Kreise A^ und
J5* zum zweiten Mal, e twa in den Puncten jo® und 5®, so ist stets
die Sehne p/>® = 5'5^" Ferner:

„Die Mitte, etwa m, jeder Wechselsehne liegt in der Linie
Ly und das aus dem Puncte M auf dieselbe gefällte Perpen-
dikel trifft sie in ihrer Mitte m. Daher berähren alle Wechsel-
sehnen insgesammt eine Parabel, etwa $^, welche M zum
Brennpunct und die Linie L zur Tangente im Scheitel m^ der
Axe hat, und welche namentlich mit den Kreisen Ä^ und B^
die 4 Tangenten Ä, Ä,, S, S^ gemein hat (die selbst specielle Wechsel-
sehnen sind)."

Die Berührungstangenten der Curve C* und der Kreise A^ und B^y
d. h. diejenigen Tangenten, welche in den Puncten p und />,, q und q^
zugleich die Curve und die respectiven Kreise berühren, sollen P und Pj,
Q und Qj heissen. Diese 4 Tangenten haben analoge Eigenschaften^ wie
die 4 Pimcte; indessen will ich hier nur einige davon angeben und die
übrigen der späteren Betrachtung überlassen, wo statt der Kreise A^ und
/?' beliebige Kegelschnitte gegeben sind.

Der Schnitt PP,, d. h. von P mit P, heisse p, und der Schnitt QQ,
hcisse p, ; femer mögen die Wechselschnitte PQ und P,Qi, PQi und P^Q
bcziehlich durch q und q^ r und r^ bezeichnet werden, so dass also p
und pj, q und q, r und r, die Gegenecken des vollständigen Vierseits
PP.QQ, sind.

„Die Puncte p und p^ liegen in der Axe X und sind stets
zu den Aehnlichkeitspuncten jt und ;c, zugeordnet harmonisch."

„Der Ort aller Wechselschnitte q, (\^y r, tj ist der Aehn-
lichkeitskreis iV^" Hierbei ist ein Nebenumstand zu bemerken.
Die Tangenten P und P, werden einmal die äusseren gemeinschaftlichen

456

Neue Bestimmungs-Aiten der Curveo zweiter Ordnung.

Tangenten der Kreise A' und N*, wobei sie iV* in den Pnnctoi r* und
I* berühren, und ein andermal werden sie die inneren gemeiDsehaftliclMi
Tangenten derselben, wobei sie N' in den Puncten q" und tf* herSbna,
und sUdann haben die Berührnngssohnen r"!' und q*q* die Eigeo-
schaft, daäs sie den Kreis B^ in den Puncten K, and V berühren,
indem dabei gleichzeitig die beiden Tangenten Q und Q, aoT die jedesmalige
Sehne fallen und die Curve C den Kreb B^ im betreffenden Pmwte F,
oder V vierpunctig berührt (!!.)■ Umgekehrt: „L^t man an zwei
ausser einander liegende beliebige Kreise A' und N* die zwei
Paar gemeinschaftlichen Tangenten und zieht in dem eineo
oder anderen Kreise, etwa in A^, die beiden BerührnngssehneD
l°r* und q**()* der Tangentenpaare, beschreibt über der Strecke
r, V, welche diese Sehnen in der Axo X begrenzen, den dritten
Kreis B*, so haben die Kreise B* und A* den KreU N* zum
Aehnlichkeitskreis."

§4.
Wenn die gegebenen Kreise A' und B' einander schneiden, oder der
ciue ganz innerhalb des anderen liegt, so treten in Rücksicht der ange-
gebenen Eigenschaften (§ 3) gewisse Aenderangcn ein oder neoe Umstände
hinzu, zu deren Vcrständniss die Bedingungen für den beschieib«Mlai
Punct X^ (§ 1, I.) etwas umfassender gestellt werden müssen. Der all-
gemeinere Begriff ist, dass man die Potenzen des Puoctes X^ in Bezog
«uf die Kteise ins Auge Eust (S. Bd. 1 S. 163 des CW/Vschen JouniaJs)^
Da nun die Potenz eines Ponctes X^ in Bezug auf einen Kreis A.' sowohl
äussere als innere sein kann, und als solche entweder durch das Qnadnt
der aus ihm an den Kreis gezt^uen Tangente o, oder durch das Quadrat
der halben kleinsten Sehne, etwa o, , die durch ihn geht, reprisentirt wird,
jenacbdem der Punct ausserhalb oder innerhalb des Kreises liegL
< kmm alsii hei zwei gegebenen KreL-en A' und B' ebengowol

Neue Bestimmungs-Arten der Curven zweiter Ordnung. 457

sonderer Eogelschnitt entspricht, so stehen beide Arten doch in einem
gewissen Zusammenhang und ergänzen einander auf naturgemässe Weise. -^
Femer kann man ebenso den Ort desjenigen Punctes y^ verlangen, für
welchem die Summe oder Differenz der Wurzeln der ungleichartigen
Potenzen (d. h. der Tangente an den einen Kreis und der halben kleinsten
Sehne im anderen Kreise) der gegebenen Länge / gleich sein soll. In diesem
Falle ist jedoch der verlangte Ort im Allgemeinen eine Curve vierten Grades.
Mit Bezug hierauf erleiden die obigen Eigenschaften bei der ange-
deuteten veränderten gegenseitigen Lage der gegebenen Ejreise nach-
stehende Modificationen.

§5.

L Man lasse die beiden Kreise A^ und E* (Taf. XXI Fig. 1) ein-
ander näher rücken, bis sie mit den Puncten U, und V an einander stossen
und sich in einem Puncte (JJ^V) berühren, so fallen beide inneren Tan-
genten & und jSj auf die Linie L^ und diese wird die Berührungstangente
der Kreise im Puncte (i7, F); in diesen Punct rückt auch der innere Aehn-
lichkeitspunct fi, sowie viele andere Puncte. Damit verschwindet jene
erste Gruppe Hyperbeln, die Gr(Hf) (§ 3, II.), indem ihr Endglied (SS,)
sich mit ihrem Anfangsgliede L vereinigt, oder sie reducirt sich auf dieses
einzige Glied L, -welches jetzt zugleich das Anfangsglied der zweiten
Gruppe, Ot(JIW ist. Diese Gruppe endet, wie zuvor, mit dem Paar äusserer
Tangenten (ÄÄ,); ebenso bleibt bei den übrigen Gruppen alles unverändert.

n. Wenn die Kreise A^ und B^ einander schneiden, wie in Fig. 2 auf
Taf. XXII, so geht die Linie L durch ihre Schnitte r und s, und auch
der Aehnlichkeitskreis N^ = ]crf^8 geht durch dieselben. Die Gr(H^)
beginnt hier wieder mit der Linie L und endet mit (ÄÄ,); aber ihre
Brennpuncte erfüllen nicht mehr den ganzen Aehnlichkeitskreis N^^ sondern
nur den Bogen rjr« desselben. Die Chr(JSD^ sowie die Gr{E^ behalten
ihre früheren Eigenschaften (§ 3, 11.). Dagegen kommt jetzt eine neue
Gruppe Ellipsen, etwa Gr{E^\ hinzu, die durch innere Potenz (durch die
halben Sehnen 04, ß,) bestimmt werden, und welche innerhalb beider
Kreise in dem krummlinigen Zweieck rVsü^r liegen, also von jedem
Kreise umschlossen und doppelt berührt werden, so dass die zweite oder
kleine Axe jeder E^ auf die Axe X fällt. Diese Gh-^E]) ist in gewissem
Sinne als Fortsetzung der Grr{Hl) anzusehen; nämlich der Uebergang
findet durch die Linie L statt, welche beiden Gruppen angehört, indem
die Strecke rs als eine E^ , dagegen die beiden unendlichen Strecken jen-
seits r und 8 als eine Hl zu betrachten sind; und zwar entsprechen
beide demselben Werthe von /, nämlich 1=0 oder beziehlich otj = ßj
und a = ß; auch sind für beide die Puncte r und s als Hauptscheitel
und zugleich als Brennpuncte anzusehen. Dadurch stehen die Brennpuncts-

458 Heue Bestimmui^-Arten der Curveu zweiter Ordnung.

Oertor beider Gnippeu io ianigcm Zusammenhang; sowie die ßrennponct«
der Gt{HI) in dorn Bogen rfs, liegen die Bronnpuncte der Gt(E*) in
dem anderen Bogen r;r, s de» Aehnlichkoitskreises N*, so dass die Endpuncte
jeder zu der Strecke m^Xi senkrechten Sehne dos Bogens rjr,« sogleich
die BrennpuQcte einer E* sind. Die Mittelpuncte der Qr(^E*} üegea
somit in der Strecke m^ f^. Lässt man die Länge l von / = 0 an wadis^
so rückt der Mittelpunct £, der Ortsciirve E' von m^ bis Xi > hier er-
reicht ^(^ci,+ßi) ein bestimmtes Gronzmaximum und dte Gnrve redacirt
sich auf ihren Mittelpunct j:,. In diesem Falle, wo also der Ort des
Punctos Xg auf die einzige Lage in f, beschränkt ist, stellt sich das ge-
nannte Maximum auch nur in den durch ;r, gehenden halben kleinsten
Sehnen dar, die beide in der zur Axe X senkrechten Goraden af,h liegen,
80 dass ;c,a+;ir,tl = ab das Grenzmaximum von l ist Also: „Unter allen
innerhalb beider Kreise yl' und £' liegenden Puncten hat der in-
nere AehnlichkeitspQDct ;c, die Eigenschaft, dass die Summe
der durch ihn gehenden kleinsten Sehnen ein Maximum ist"
Die Puncte p und p,, q und g,, in welchen die Kreise Ä^, B* vtm
je einer inneren Ortscurve £J berührt worden, sind ebenso durch HQlls-
kreise zu construiren, wie oben (§ 3, II.), sobald die Länge l gegeben
ist Nämlich, wird z. B. im Kreise B' eine Selmo gezogen, dereQ Länge
gleich SHst und deren Mitte b^ heissen mag, so schneidet der mit Bb^ um B
beschriebene Kreis B^ den Kreis A' in den verlangten Berührungspuncten
p und p,. So sind ferner auch die Grenzen, wo die reelle Berühnmg
aufhört, analogerweise anzugeben, wie oben. Wird die halbe kleinste
Sehne, dio im Krei.'fe -4' durch den Punct V geht, durch », und die halbe
kleinste Sehne, die im Kreise B^ durch den Punct U, geht, durch ■>,
bezeichnet, so berührt die Curvo £| den Kreis A' oder B' nur so laoge
reell, ak die Länge l beziehlicb kleiner als u, oder v ist und ist gerade
/^«i oder ^ = 11, so werden die Kreise in den Puncten U, oder V vier-

Neue Bestimmungs-Arten der Curven zweiter Ordnung. 459

fiüdet für alle Pimcte X^ in E] nur Summe, «j-l-ß, = Z, statt. Gleiches
konnte auch oben (§ 3, 11.) über die Gr{E^ bemerkt werden, und eben-
so ist bei den verschiedenen Gruppen Hyperbeln das ungleiche Verhalten
ihrer Bogen in dieser Hinsicht leicht näher anzugeben.

HI. Dringt der Bjreis B^ tiefer in den Kreis A^ hinein, bis der Eunct
F, in {7j zu liegen kommt und die Kreise einander nur noch in einem
Puncto (Ü^V^) berühren, so fallen die äusseren gemeinschaftlichen Tan-
genten R und Jf2j auf die Linie Ly und diese wird die Berührungstangente
der Kreise im Puncto (U^V^), auch ist dieselbe als der letzte Rest der
jetzt auch verschwundenen zweiten Gruppe Hyperbeln, 6r(-HJ), sowie
zugleich als das Anfangsglied der dritten Gruppe, Gr(lfJ), anzusehen.
Nebst den Schnitten r und s rückt auch der äussere Aehnlichkeitspunct f
in den Punct (Ü^V^)y so dass der Aehnlichkeitskreis N^ sich mit den ge-
gebenen Kreisen in demselben berührt. Die innere Gruppe Ellipsen, Crr(E]),
wird hier vollständiger, ihre Brennpuncte erfüllen den ganzen Aehnlich-
keitskreis und ihre Mittelpuncte dessen Durchmesser Jf^. Das Anfangsglied
der Grr{E[)^ entsprechend dem Werthe Z = 0, besteht aus dem Puncto
(f/,F,); ausser ihm kann keine andere E\ den Kreis Ä^ reell berühren,
gleichwie der Kreis B^ von keiner äusseren Ortscurve reell berührt wird,
ausser von der Linie L, Ebenso reducirt sich das Endglied der
Ch*{BI\) auf den lernet jr, , wenn l sein Grenzmaximum erreicht, wie
vorhin (II.).

IV. Befindet sich endlich der Kreis -ß' ganz innerhalb des B^cises
A'^y wie in Fig. 3 auf Taf. XXU, so liegt die Linie L in bestimmter Entfernung
jenseits beider Kreise, wogegen die Aehnlichkeitspuncte j: und ]r, , so wie
der Aehnlichkeitskreis tP innerhalb des Bj-eises B^ liegen. Hier beginnt
die noch fortbestehende Gr(H\) mit der Linie L bei dem Werthe Z = 0,
und endet bei l=AB mit der Parabel P', welche zugleich der Anfang
der Gr{E^ ist, die mit Ei endet, wie oben (§ 3, H.). Was dagegen die
inneren Ortscurven betrifft, so beginnt die Gr{E[) mit dem äusseren Aehn-
lichkeitspunct je, und zwar bei demjenigen Werthe von /, welcher das
Minimum der Differenz n^ — ß, ist. Nämlich dies beruht auf dem folgen-
den Satze: „Unter allen innerhalb des Kreises J?* liegenden
Puncten X^ hat der äussere Aehnlichkeitspunct j: die Eigen-
schaft, dass die Differenz der durch ihn gehenden kleinsten
Sehnen 2aj und 2ßi ein Minimum ist. Die in ]C zu der Axe X recht-
winkelige Gerade abjc enthält diese zwei besonderen Sehnen, so dass also
;ra — ]cb = ab gerade der genannte Werth von l ist, für welchen die erste
E\ sich auf den Punkt j: reducirt. Eben so reducirt sich das Endglied
der Grr{E\) auf den inneren Aehnlichkeitspunct je, und entspricht demjenigen
Werthe von ly welcher das Maximum der Summe Oj-hß, ist und sich in
der in jCj zu -X rechtwinkligen Geraden ajfib, unter JC, a,-j-jr,b, =a, b.

^JO Nene BeBtinunniigs- Arten der Curven zweiter Ordaung.

darstellt, wie oben (II.)- Für die €fr(E',) hat somit die Länge t den SpA-
rauni voa l^ab bb i ^ 0, b, .

Bei der gogenwärtigoD Lage kanii der Kreis A* nur von den äossereD
Ortscurven ffr(fij) und Or(E*), hiogegen der Kreis B* nur voo den
inneren Gr(^E]) reell berührt werden. Die Grenzen, wo beiderseits die
reelle Berührung beginnt und aufhört, sind gleicherweise bestimmt, wie
oben, und ebenso sind bei gegebener Länge l, die ßornhnmgspuncte durch
das bereits angegebene Verfahren leicht zu construiren. Ein Nebenumstaad,
betreffend die äusseren Ortscurven, soll hier noch hervorgehoben werden.

Ob von der Gr(Hl) ein Theil zu reeller Bcnihnmg mit dem Kreise
A' gelangt, oder nicht, hängt davon ab, ob u,<lAB oder u^':>AB, d. h.
ob die aus dem Puncto U^ (der von allen Puncten in A^ dem Kreise fi*
am nächsten liegt) an den Kreis B* gezogene Tangente u, (§ 3, I.) kleiner
oder grösser als AB ist. Ist gerade u, = AB, so berührt allein das letzte
Glied der Gfr(flJ), die Parabel f , den Krois A^ noch reell, und zwar m
Ü, vierpuDctig. Ist hingegen u, -< AD, so folgen nach der /" auch noch
eine bestimmte Abtheilung Ellipsen von der Gr(£J'), welche nicht reell
berühren, und die zur Unterscheidung durch Gr(E-) bezeichnet werden
sollen. Für alle Puncto X^ in einer solchen Ellipse El findet nur Differeni
ß — a^l statt (dasselbe gilt in diesem Falle auch von jeder Bl). Die
Gr(El) entsprochen den Werthon von l^AB bis l^u,. Im letzteren
Falle, bei / ^ «,,■ entsteht diejenige Ellipse, welche den Kreis A* in ü,
vierpunctig berührt, und für deren ganzen Umfang wohl noch Differeni
ß — a = l statt hat, aber die dennoch zugleich der Anfang der reell be-
rührenden Ellipsen £" ist. Von da ab, wenn l wächst, beruht £" den
Kreis A' in zwei reellen Puncten p und ^, , durch welche sie in zwei
Bogen gethoilt wird, wovon domjenigou, der den Punct 17, umspannt, Summe
a+P, d^egen dem anderen, über U, Differenz ß — a entspricht Wird
l = u (Tangente aus U an S'), so tritt die letzte reell berührende E* em,

Neue Bestimmungs-Arten der Curven zweiter Ordnung. 461

Axe durch k und ^j, so liegen die letzteren Puncte zwischen jenen, und
zwar soll k näher an / und A, näher an/, liegen. Die Mittelpuncte aller
Kreise, welche die Ellipse imaginär doppelt berühren, fallen in die Strecken
fk und /,*, (S. Bd. 37 S. 175 des O^/fe'schen Journals)*). Hiemach lässt
sich das Verhalten der Crr(El.) und Gr(E\.) gegen die gegebenen Kreise
A^ und B^y wie folgt, näher angeben:

„Bei jeder Ellipse EL liegen die Mittelpuncte A und B der
Kreise beide in der nämlichen Strecke /i oder /,/;,, wogegen
bei jeder Ellipse E^ dieselben in verschiedenen Strecken liegen,
der eine in fk und der andere in/,A,."

Auch ergiebt sich aus Allem der folgende Satz:

„Zu zwei in einander liegenden gegebenen Kreisen A'^ und
B^ kann es nur dann solche Ortscurven EL geben, für deren
ganzen Umfang nur allein Differenz ß — a = l stattfindet, wenn
u^ Z> AB ist, und dabei hat alsdann die Länge l den Spielraum
von l = AB bis / = w,." Und umgekehrt: „Beschreibt man in eine
gegebene Ellipse zwei solche, sie imaginär doppelt berührende
Kreise, deren Mittelpuncte beide in der nämlichen Strecke /ä;
oder f^k^ liegen, so findet für alle Puncte X^ in der Ellipse
dieselbe constante Differenz ß — a = Z statt, und es ist allemal
w, > AB, die Constante l aber grösser als AB und kleiner als u^.^

§6.

Aus der vorhergehenden Betrachtung ist leicht zu ermessen, dass,
wenn in einer Ebene drei beliebige Kreise il% B^ und D^, deren Mittel-
puncte Ay B und D in derselben Geraden X liegen, gegeben sind, dann
im Allgemeinen immer ein solcher Kegelschnitt C" möglich ist, welcher
in Rücksicht je z\^eier Kreise eine ihnen zugehörige Ortscurve ist, und
welcher somit jeden Kreis doppelt berührt. Die jedem Kreispaar ent-
sprechende Länge l ist unter anderem, wie folgt, zu bestimmen.

Sind Uy b und d die Radien der Kreise, werden die Abstände ihrer
Mittelpuncte von einander, nämlich ^ß = 2b, AD = 2h und ßZ) = 2a
gesetzt, und wird die Länge l für die Kreispaare A^ und J?', A^ und Z)*,
B^ und Z)' beziehlich durch 2X, 2X,, 2X, bezeichnet, so hat man, wenn
£ zwischen A und D liegt, die Relation

\ = -^(aa»— bft'-hbd'+abb),
X, = -l-(aa'— bi'-f-bd^+abb),
Xg = -J-(aa*— 6b'+bd'-f-abb).

♦) Cf. Bd. IT, S. 404 dieser Ausgabe.

462 Neue BestimmuDgs-ArtoQ der Carven zweiter Ordnung.

§'.

Wird nun fomer in Rücksicht auf zwei gegebene Kreise A* und B'
der Ort desjoDigeo Functes Y^ verlangt, für welchen die Wurzeln der
nnglotchnamigen Potenzen eine gegebene Länge l entweder zar Summe
(a+ß, oder ß-t-o,) oder zum unterschiede (a — ß,, ß,— a oder ß — a,,
a, — ß) haben soll (§4), wobei also der Punct Y^ nothwendlgerweise
jedesmal innerhalb des einen und ausserhalb des anderen Ereises liegen
muss, so findet man, dass dieser Ort im Allgemeinen eine Curre vierteo
Grades ist, gleich C*, welche jeden der beiden Kreise in vier Puncten be-
rührt (reell oder im^inär), die gleicherweise durch concentrische Hül^
krebe (J9* und AD leicht zu construiren sind, wie bei der obigen Be-
trachtung C§ 3, n. und § 5, n.).

Wenn jedoch hierbei insbesondere ^ = 0 sein soll, d. h. wenn nur
der Ort desjenigen Punctes Y^ verlaugt wird, welcher in Rücksicht der
beiden Kreise ungleichnamige aber gleiche Potenzen hat, <i = ß, oder
ß ^ «j , so redncirt sich die Curve C* auf einen doppelten Ereis, indem
die beiden TheUe, aus denen sie sonst besteht, für diesen Fall msammeo-
fallen und einen einzigen Kreis bilden, etwa 6^. Dieser Kieis O, ist
auch dadurch bestinmit, dass er den oft genannten Punct M, die Hitte
von AB, zum Mittelpunct und mit den gegebenen Kreiäen die Linie L
gemeinschaftlich zum Ort der gleichen Potenzen hat. Wenn daher die
gegebenen Kreise ^' und B' einander schneiden, wie in Fig. 2 auf Tai. XXIL
so geht auch Ci durch ihre Schnitte r und s,- befindet sich B^ ganz inner-
halb^', wie in Fig. 2 aufTaf. XXII, so liegt C^ in dem Räume zwischen ß*
und A'; und liegen endlich A' und B' ausser einander, wie in Fig. 1 auf
Taf. XXI, aber so, dass M innerhalb A^ Tällt, so kann der Ereis C^ aoch
noch reell sein und liegt dann ganz innerhalb A*. Ans diesen Ängabu
ergiebt sich der folgende Salz:

Neue- Bestimmungs-Arten der Curven zweiter Ordnung. 463

Wenn ferner die gegebenen Kreise A^ und B^ insbesondere con-
Gcntrisch sind, so zerfallt die Curve C* bei jeder gegebenen Länge l in
zwei mit jenen concentrische Kreise C* und C* , deren Radien c und c,
dem Gesetz unterworfen sind, dass stets

ist, d. h., dass die Summe der Quadrate dieser Radien constant,
und zwar der Summe der Quadrate der Radien der gegebenen
Kreise A^ und i?' gleich ist, in welche letztere jene Kreise C* und
67 auch in der That übergehen, wenn l = u:=u^ wird (§ 3, I.). — Für
Z = 0 fallen die Kreise C und Cf auf einander, bilden den vorgenannten
Kreis C^, für dessen Radius c^ man hat

2cl = a'-^-bK

§8.

Die obige Betrachtung führte auf eine unendliche Schaar Curven
zweiten Grades, S(C^j welche die zwei gegebenen Kreise A^ und B^
doppelt berühren; allein diese Schaar umfasst nicht alle Kegelschnitte,
welche die Kreise doppelt berühren, vielmehr giebt es im Allgemeinen
noch zwei andere Schaaren, die diese Eigenschaft auch besitzen, lieber
die beiden letzteren Kegelschnittschaaren sollen hier noch einige bemerkens-
werthe Umstände angedeutet werden.

Die gegebenen Kreise haben (wie jede zwei in gleicher Ebene lie-
gende Kegelschnitte) ein gemeinschaftliches Trippel zugeordneter Pole a,
y und z^ sowie auch ein gemeinschaftliches Trippel conjugirter Polaren
'K^ Y und Z; jene sind die Ecken und diese die respectiven Gegenseiten
des nämlichen Dreiecks. Einer der drei Pole, etwa Xy liegt im Unend-
lichen, und zwar nach der Richtung der Linie L^ als deren unendlich
entfernter Punct er anzusehen ist; derselbe ist stets reell, wogegen die
beiden anderen, y und z^ gleichzeitig imaginär oder reell sind, jenach-
dem die Kreise einander schneiden oder nicht, nämlich sie sind zugleich
die Schnitte der Axe (oder Polare) i mit jedem Kreise, welcher die beiden
gegebenen Kreise A^ und J?' rechtwinklig schneidet; oder wofern die letz-
teren Kreise ausser einanderliegen, wie in Fig. laufTaf. XXI, so sind die
Pole y und z zugleich die Schnitte der Diagonale jrf j = X mit den beiden
anderen Diagonalen gg, = Z und QQ, = Y des durch die vier gemein-
schaftlichen Tangenten gebildeten Vierseits RRßS^. Zu diesen drei Polen
haben nun die erwähnten drei Kegelschnittschaaren nachstehende wesent-
liche Beziehung.

Die obigen Ortscurven, S(C^, haben Bezug auf den Pol x und sollen
daher durch 5(65) bezeichnet werden; nämlich die Berührungssehnen pp^
und qq^ jeder Curve Cl sind der Linie L parallel und gehen daher mit

464

Neue Bestimm uiig;i- Arten der Curren zweiter Ordaung.

ihr nach dem Pole x (§ 3, IV.). — Nun giebt es eine zweite Schaar K^l-
achnitte, •5(6^), welcbe die gegebenen Kreise doppelt berühren, und welche
sich gleicherweise auf den Pol y beziehen, indem nämlich die Berühnings-
sehnen pp^ und c^, jeder Curve Q durch diesen Pol gehen. Und ebenso
giebt es eine dritte Kegelschnittschaar, S(Ci^ welche die gegebenen Kreise
doppelt berühren, und bei welchen die Berührungssehnen pp, und ^, stets
durch den Pol z gehen. Von den beiden letzteren EegelschnitbschaareQ
sind unter anderen folgende interessante Eigenschaften anzugeben:

1) „Ifie Berührungsaehnen pp^ und qq^ jeder Curve Q sowie
jeder Curve Q sind stets zu einander rechtwinklig; und um-
gekehrt: zieht man durch den Pol y oder z irgend zwei zu ein-
ander rechtwinklige Secanten pp, und qq, beider Kreise A' und
B^, so werden diese in den zwei Paar Schntttpuncten p and p,,
q und q, allemal von einer Curve CJ oder Q berührt"

2) „Von den beiden Axen jeder Curve Q oder Ct geht die
eine durch den Mittelpunct A und die andere durch den Mittel-
panct D. Folglich ist der Ort der Mittelpuncte beider Schaaren,
S(q) und 5(67), ein und derselbe Kreis J/;, welcher die Strecke
AB zum Durchmesser hat (§3, f.), so dass also jeder Punct
dieses Kreises zugleich der Mittelpunct sowohl einer Curve Q
als einer Curve 07 ist, und dass die Axen dieser beiden Curven
auf einander fallen."

3) „Die<S((^) sowohl als die SCQ) sind unter sich ähnlich;
und zwar verhalten sich die Quadrate der Äsen jeder CJ, wie
die Abstände des Pols y von den Mittelpuncten A aüd B; and
ebenso verhalten sich die Quadrate der Axen jeder Q, wie die
Strecken zA und zB. Nämlich so: sind a, ß die halben Axen
einer C^, und geht a durch A und ß durch B, so ist

a':ß" =yA:yB;

Neue Bestimniuiigs- Arten der Curven zweiter Ordnung. 465

4) „Der Ort der Brennpuncte jeder der beiden Schaaren,
wie etwa der iS(Cy), besteht im Allgemeinen aus zwei Kreisen
A^ und Bl, welche mit den gegebenen Kreisen dieselben Mittel-
puncte A und B haben, und welche entweder einander recht-
winklig schneiden, oder von denen der eine den iCnderen im
Durchmesser schneidet. Geht die Haupt-Axe einer Curve C?,
durch A oder S, so liegen ihre Brennpuncte / und /, beziehlich
im Kreise B^ oder A}. Das Rechteck unter den Abständen
jedes Paares Brennpuncte / und /j von dem Puncte A sowohl
als von dem Puncte B ist constant, und zwar gleich dem Qua-
drat des Radius a^ oder by des zugehörigen Kreises Ay oder B^,

also

Af.Af,=(4, und Bf.Bf,=bl.

Ebenso liegen die Brennpuncte der iS(C?) in zwei Kreisen A^
und Bly mit denen es gleiche Bewandtniss hat.^

5) „Zieht man zwischen den zwei Paar Puncten p und pj ,
} und 5^, , in welchen jede Curve CJ die gegebenen Kreise A^^
B^ berührt, die vier Wechselsehnen pq, pq^^ p^q und p^q^, so
berühren alle diese Sehnen einen und denselben bestimmten»
Kegelschnitt, etwa Y', welcher den Pol y zum Brennpunct und
mit den Kreisen die vier (reellen oder imaginären) Tangenten
Ry /{], S und S^ gemein hat, und dessen Brennpuncte y und
(der noch unbekannte) y^ zu den Puncten A und ß. zugeordnet
harmonisch sind. Jede Wechselsehno bildet in den Kreisen
A^ und jB* zwei Sehnen, etwa s und s^; das Verhältniss dieser
Sehnen ist für alle Wechselsehnen dasselbe, «:Sj = A constant. —
Ebenso berühren die Wechselsehnen der S(Q) einen bestimm-
ten Kegelschnitt Z', welcher z zum Brennpunct und mit den
Kreisen -A', B^ dieselben vier Tangenten gemein hat, und dessen
Brennpuncte z und z^ zu den Puncten A und B zugeordnet har-
monisch sind. Auch bilden die Wechselsehnen in den Kreisen
solche Sehnen « und Sj, deren Verhältniss constant, jedoch von
dem vorigen verschieden ist, 8:8^=k^ constant.*'

6) „Sind P und P, , Q und Q, die Berührungstangenteu
der Kreise A^, B^ mit einer Curve CJj (§3, IV.), so liegen die
Schnitte PP^=p und QQ, =pj allemal in der Polare Y, und
alle Paare p und p, bilden ein Puncten-System (Involution).
Dagegen ist der Ort der vier Wechselschnitte PQ und -P,Qi,
PQ^ und PjQ, oder q und q,, r und r, (§3, IV.) ein bestimmter
Kreis iVJ, welcher durch dasselbe Paar Gegenecken t) und t),
geht wie F, und welcher mit den Kreisen A^ und B^ die Linie
L zur gemeinschaftlichen Secante hat, so dass sein Mittel-
ste! ner'i Werke. II. 30

466 Neae Bestimmungs- Arten der Cturen zweiter Ordnnng'.

puQct Ng auch ia der Axe X liegt. — Ganz analog verhalt es
sich in dieser Hinsicht mit der 8(^01)."

Um den Einflu»s der verschiedenen gegenseitigen Lage der gegeboien
Krci^o auf die angegebenen Eigenschaften zu zeigen, wollen wir die Kreise
in ihren wesentIichst«Q Lagen^ nämlich wo sie ausser einander li^en, und
wo B' ganz innerhalb A* liegt, noch etwas näher betrachten. Bein
Zwischenfalle, wo die Kreise einander schneiden, sind S(Cl') und S{Q)
imaginär.

I. „Liegen die Kreise ausser einander, wie in Fig. 1 auf
Taf. XXI, so bestehen beide Schaaren, S(C;) und S(Q\ ans Hyper-
beTu S(H}) nud S(Si), jede Schaar anter sich ähnlich. Die am die
Puncte A und B beschriebenen Kreise A^ und B^, welche die
ßrcnnpunctc der iS(i^) enthalten, schneiden einander in deo
GegcDccken q und q, des Vierseits ItR,SS^ rechtwinklig; und
ebenso schneiden sich andererseits die Kreise j4* und BJ in des
Ecken j und j, rechtwinklig. — Liegt der Uittelpnnct einer
lig in dem Bogen Qj^iiQ, des Kreises AI^, so umschliesst die-
selbe den Krois B', und somit geht ihre Haupt-Äxe durch deo
. Punct B und schneidet den Kreis Ay in ihren Breonpancten/
und /p Liegt hingegen der Mittelpunct einer ^ in dem an-
deren Bogen IfBt),, so umschliesst sie den Kreis ^*; ihre Haupt-
Axe geht durch A, und ihre Brennpuncte liegen im Kreise B^
Uer Uebergang von der einen Abtheilung zur anderen Hndet
durch die Taugentenpaare (ÄÄ,) und (R,S) statt, welche spe- ,
cii^llc Hl sind und beziohlich t) und Q, zu Mittelpuncten haben.
Ganz ahnlich verhält es sich mit den Hyperbeln Hf. — Die |
Awjniptoton jeder E^ gehen durch die festen Ecken j und j,:
und ebenso gehen die Asymptoten jeder HJ durch die Eckeo
q und l),."

Neue Bestimmuugs-Arten der Curven zweiter Ordnung. 467

§9.

Bemerkung. In dem Vorhergehenden kommen beiläufig drei Bei-
spiele vor, wo eine Gerade (dort Wechselsehne genannt, § 3, IV. und
§ 8, 5), welche in den gegebenen Kreisen A^ und J5' Sehnen s und s,
von constantem Verhältniss bildet, einen Kegelschnitt zum Ort bat. Diese
Eigenschaft ist allgemein und gewährt folgenden Satz:

„Der Ort einer Geraden G, welche in zwei gegebenen festen
Kreisen A} und ß' solche Sehnen « und «j bildet, deren Ver-
hältniss irgend einen gegebenen Werth k hat, so dass s:Sj=£,
ist allemal irgend ein bestimmter Kegelschnitt &';*) und alle
auf diese Weise bestimmten Kegelschnitte, wofern der Wer^
k nach einander alle Grössen durchläuft, bilden einen Curven-
Büschel, ^5(0*), mit vier (reellen oder imaginären) gemein-
schaftlichen Tangenten (Ä, Ä,, S, ÄJ, und zwar gehören die
gegebenen Kreise -4' und B^ selbst mit zu diesem Büschel,
nämlich sie entsprechen beziehlich den Werthen A = 0 und
i = oo. Dem Werthe k=^\ oder 5 = «i entspricht, wie oben
(§3, IV.), die Parabel ^''(^Q^, welche den Punct 3/ zum Brenn-
punct und die Linie L zur Tangente im Scheitel hat. Dem
Werthe Ä = a:6 entsprechen beide Aehnlichkeitspuncte jr und
jr,, die zusammen eine specielle 0* sind; etc." — Und umgekehrt:
„Die Tangenten jedes Kegelschnittes 0', welcher mit zwei
Kreisen -4* und B^ vier reelle oder imaginäre Tangenten ge-
mein hat, bilden in diesen Kreisen solche Sehnen s und Sj,
deren Verhältniss constant ist, d. h. für alle Tangenten den-
selben bestimmten Werth k hat; etc."

Statt einer ausführlichen Erörterung dieses Gegenstandes, beschränke
ich mich hier auf folgende Angaben.

Die Mittelpuncte der Ortscurven, ß(0'), liegen sämmtlich in der
Axe X, au^ welche zugleich auch je. eine Axe von jeder Curvc fällt. Ob
die erste oder zweite Axe der Curve auf X fallt, hängt davon ab, ob ihr
Mittelpunct jenseits der Strecke AB, oder ob er in dieser Strecke liegt.
Dadurch scheiden sich die Curven in zwei Abtheilungen, etwa Gr{ß\)
und 0r(0J). In Hinsicht der Brennpuncte dieser beiden Gruppen hat
es folgende Bewandtniss:

„Die Brennpuncte der 0r(0J) liegen in der Axe X und
jedes Paar Brennpuncte / und /, ist zu den Puncten A und B

*) Diesen Satz habe ich bereits im J. 1827 mit einer Reihe anderer Sätze dem
Herausgeber der AnnaUs de Maihimatique$ nach Montpellier übersandt, welcher ihn später
— vielleicht durch Versehen — unter dem Namen eines Anderen abdrucken liess.

30*

468 Nene BestimmuiigG-Arten der CnireD zweiter Ordnung.

zugeordnet harmonisch. Dagegen liegen die Brennpancte der
Gr(GJ) in dem Kroiso A/J, welcher die Strecke AB^2c zum
Durchmesser hat-(§3, L), so dass jedes Paar Breonpuncte zu-
gleich die Endpuncte einer zu diesem Durchmesser senkrechten
Sehne des Kreises sind."

Daraus geht hervor, dass hier gleicherweise, wie oben (§3, III. und
§8,4), für beide Gruppen das gemeinschaftliche Gesetz stattfindet:

„Dass das Rechteck unter den Abständen der ßrennpunclc
/und/, jeder Curve G' von dem Puncto M, dem Brennpancte
dor Parabel $', constant und zwar gleich c* ist."

Berlin, im October 1852.

Allgemeine Betrachtung über einander doppelt

berührende Kegelschnitte.

Crelle's Journal Band XLV. S. 212 — 224.

Allgemeine Betrachtung über einander doppelt

berührende Kegelschnitte.

§10.

An die vorhergehende Abhandlung, namentlich an diejenige Betrach-
tung, wo das Verhalten der gesammten Kegelschnitte, welche zwei feste
Kreise doppelt berühren, angegeben worden, erlaube ich mir, hier die
etwas allgemeinere Betrachtung anzuschliessen, wo statt der Kreise irgend
zwei Kegelschnitte, die gleichfalls durch A^ und B^ bezeichnet werden
mögen, in fester Lage gegeben sind, und wobei ebenso die Eigenschaften
aller sie doppelt berührenden Kegelschnitte berücksichtigt werden sollen.

I. Um einen bestimmten Fall (Figur) vor Augen zu haben, denke
oder zeichne man zwei Ellipsen A^ und ß', welche einander in vier
Puncten r, «, ty u schneiden, und somit auch vier reelle gemeinschaftliche
Tangenten /?, S, 7) ü haben ; nämlich diejenige Tangente heisse it, von
deren Berührungspuncten aus zwei Bogen beider Ellipsen unmittelbar nach
dem Schnitte r führen; ebenso die anderen. Die vier Schnitte bilden
ein vollständiges Viereck rstu und die vier Tangenten ein vollständiges
Vierseit RSTU. In Betracht der drei Paar Gegenseiten des ersteren und
deren Schnitte, sowie in Rücksicht der drei Paar Gegenecken des letz-
teren und dessen drei Diagonalen setze man:

Seite r« = 3£ und tu = }i^; Schnitt 3£3£, = x.

rt=^ und m = g),; - ?)2),=i/.

rM = 3 und «^ = 3,; - 33i=2^-

Ecke RS = j: und TU= f , ; Diagonale TC]C^ = X.

- RT=t) und SU=t),; - t)t), = Y.

. Rü=i und Sr=j,; - ja, = Z.

Die Schnitte ^, y, z der drei Paar Gegenseiten des Vierecks sind das
gemeinschaftliche Trippel conjugirter Pole, und die drei Diagonalen X, Y, Z

472 Allgemeine Betrachtungeii üb. einander doppelt beiölir. Kegebchnitta.

des Vierscits sind das gemeinschaftliche Trippel conjugirtor Polaren der
beiden Ellipsen, so dass also auch

Schnitt XY=z, XZ=y, YZ = x
und •

Gerade xy=: Z, aiz=Y, yz^X
ist. Ferner sind dabei einerseits x, g, y und j,; x, l), z uad ^,; y, %,i
und fi vier harmonische Punctfi, sowie andererseits X, 3, Y uud 3^
X, D, Z und 3, ; Y, i, Z und X, vier harmonische Gerade.

Mit Bezug hierauf und mit Berücksichtigung anderer, im vorigen Auf-
satze bereits angewandter Bezeichnungen und Benennungen lassen sich
die erwähnton Eigenschaften, wie folgt, aussprechen.

11. Die gesammteu Kegelschnitte C, welche beide gegebenen El-
lipsen Ä' und B* doppelt berühren, zerfallen vermöge ihrer Beziehung zu
den drei Polen x, y und z in drei verschiedene Schaaren S(0, S{C^)
und S(Q'), C§8)i welche sich jedoch im Allgemeinen gleich verhalten
und gleiche Eigenschaften haben, so dass wir der Kurze halber Dur vod
der einen Schaar, etwa von 5(62), zu sprechen brauchen.

1) „Berührt eine Curve Cl die Ellipse A* in den PuDCten
p und Pi und die Ellipse B' in den Puncten q und q^, so gehen
die Berührungssehnen pp^ und qq, durch den Pol x und sind
allemal zu den Gegenseiten I und iE, zugeordnet harmonisch."
Und umgekehrt: „Zieht man durch den Pol m irgend zwei zu den
Seiten 3c nnd iE, zugeordnete harmonische Gerade, etwa G
und H, so schneiden sie die Ellipsen A^ und ß' beziehlich in
solchen Puncten p, p, und q, q^, in welchen dieselben vod
einer Curve C'i berührt werden; und ferner schneiden sie ver-
wechselt, li die A' und G die B', in solchen Puncten p", p*
und q", q°, in welchen A^ und ß' von einer anderen Curve €'

AUgemeioe Betrachtungen üb. einander doppelt berühr. Kegelschnitte. 473

q und q^ irgend einen willkürlichen Kegelschnitt Z)^ so schuei-
de-t er die gegebenen Curven A^ und ß' in vier solchen neuen
Puncten p^ und p% q^ und g", in welchen dieselben von einer
anderen Curve CJ berührt werden." Und umgekehrt; „Die acht
Berührungspuncte je zweier Curven Q mit den Ellipsen A^
und J5' liegen jedesmal in irgend einem Kegelschnitte Z)^" —
^Alle Curven Q haben gemeinschaftlich x und X zu Pol und
Polaren. Von den gemeinschaftlichen Secanten je zweier
Curven Cl geht immer ein Paar, etwa G und H, durch den Pol
«r, und sie sind allemal zu X und ü^ zugeordnet harmonisch.^
4) Jede vier Berührungspuncte p, p^^ g, 5, liegen einer-
seits mit den Ecken r und s in einem Kegelschnitte, etwa 3/^
und andererseits mit den Ecken t und t^ in einem Kegelschnitte
A/J. Die gesammten hierdurch bestimmten Kegelschnitte AP
berühren einander in den Puncten r und 8, so dasssie daselbst
gemeinschaftliche Berührungstangenten, etwa9i und @, haben
mit der gemeinschaftlichen Berührungssehne 7'8 = 3£ und so-
mit einen speciellen Curven-Büschel, B{AP)^ bilden. Der
Schnitt der Tangenten 9i und @ heisse m\ er liegt in der Po-
lare X und m und ü sind Pol und Polare in Bezug auf alle
jtf^ auf B(M^), Seien a und b die Pole der Seite 3£ in Bezug
auf A^ und J5', dieselben liegen auch in X, und sei c der
Schnitt von X mit 3£, so sind die vier Puncte a, ?n, b, c har-
monisch, so dass also der Pol m durch die als gegeben an-
zusehenden drei Puncte a, 6, c bestimmt ist; und durch ihn
sind dann auch die Tangenten SR und © (=mr und ws) be-
stimmt. Ganz ebenso berühren alle Kegelschnitte M\ ein-
ander in den Puncten t und w, haben daselbst gemeinschaft-
liche Berührungstangenten % und U mit der Berührungssehne
tu = X^ und bilden eine-n speciellen Curven-Büschel S(3/f);
und ferner liegen der Schnitt m^ von 2 mit U und die Pole
a^ und i, der Seite 3£, in Bezug auf A^ und B^ in derselben
Polare X, und ist zudem c^ der Schnitt von X mit 3£j, so sind
die vierPuncte a,, m^, 6,, c, harmonisch, also durch a,, b^ und
e^ der Pol tWj und durch ihn die Tangenten SE und U be-
stimmt." — »Die auf diese Weise bestimmten zwei Paar Tan-
genten fH und @, J und U berühren auch den obigen Kegel-
schnitt X*, den Ort aller Wecbsclsehnen (2.), und zwar be-
rühren ihn 9i und @ in ihren Schnitten mit der Seite J,, und
ebenso berühren ihn % und U in ihren Schnitten mit der
Seite 3£, so dass also in Bezug auf X^ verwechselt m der Pol
von 3£, , und m^ der Pol von 3£ ist." Werden diese zwei Paar Tan-

474 Allgemeine Betrachtungen üb. einander doppelt beräbr. K^elscfanitt«.

jTCDteD vorausgesetzt, so liann man auch umgekehrt behaupten: „Jeder
Kegelschnitt M*, welcher die Geraden 9t nad @ in den Puncten
r und s berührt, schneidet die gegebeneo Garen A' und B^ in
vier solchen Puncten p und p, , q und j, (ausser in r und <), in
welchen sie von einer Curve C1 berührt worden." „Die gegen-
seitigen vier Schnitte je zweier Curen 6, liegen allemal in
einem Kegelschnitte M^ (der 9tund@inrund8 berührt); und
umgekehrt: jeder Kegelschnitt M' schneidet jede Curve Ci in
solchen vier Puncten, durch welche allemal noch irgend eine
andere Curve Ci geht." Gleiches gilt für die Kegelschnitte if,-

III. 1) „Sind P und P,, Q und Q, die Beruh rungstangenten
einer CZ mit den gegebenen Curven A' und B*, so liegen die
Schnitte PP^ =p und QQ, ^p, stets in der Polare X und sind
allemal zu den Ecken j: und ;r, zugeordnet harmonisch." Und
umgekehrt: „Nimmt man in dor Polaro X irgend zwei zu den
Gcgeneckßn jr und Xi zugoordoeto harmonische Pnncte, etwi
ff und h, an, so sind die aus ihnen an die Curven A' and B*
gezogenen Taugenten P und /',, Q und Q, zugleich die Be-
rührungstangenten dieser Curven mit irgend einer Curve Q;
und ebenso sind die (verwechselt) aus h und ff beziehlich an
A' und ß' gelegten Tangenten P° und /^, Q" und Q' zugleich
die Beriihrungstangenton einer Ci mit A' und ß'."

2) „Je zwei Paar zusammengehöriger Beruh rungstan-
genten P und P|, Q und Q, haben vier Wechselschnitto PQ,
und PQ,, P,Q und P,Q,; dor Ort aller dieser Wechselschnitte
ist ein bestimmter Kegelschnitt, etwa X', welcher dem Vier-
eck rstu umschrieben ist und zudem durch die Gegenecken
j und fi geht." Und ferner: „Die aus dem Pol x an die Ellipse
ß' (oder^') gezogenen Tangenten schneiden den Kegelschnitt

Allgemeine Betrachtungen üb. einander doppelt berühr. Kegelschnitte. 475

g und hy auf der Polare Xy und diese Puncte sind allemal zu
den Ecken j und j^ zugeordnet harmonisch.^

4) „Je vier Berührungstangenten P, P,, Q, Q^ werden
einerseits mit den Tangenten R und S zusammen von einem
Kegelschnitte 3R^ und andererseits mit den Tangenten T und
ü zusammen von einem Kegelschnitte 3KJ berührt. Alle hier-
durch bestimmten Kegelschnitte 3)2' berühren die Tangenten
R und S in den nämlichen Puncten, etwa r und S, und somit
auch einander selbst, so dass sie rS = ÜR zur gemeinschaft-
lichen Berühri^ngssehne, sowie f und 3K gemeinschaftlich zu
Pol und Polare haben und einen speciellen Curven-Büschel,
P(3K'), bilden. Die Berührungssehne 9R geht durch den Pol
x; ebenso die Polaren von f in Bezug auf A^ und ^*, die 31
und 33 heissen mögen; und wird noch die Gerade orf = 6 ge-
setzt, so sind die vier Geraden 81, 9R, 33, (5 harmonisch; somit
istSß durch die drei übrigen, die als gegeben anzusehen sind,
bestimmt, und durch 3)2 sind dann auch die Puncte r und ^
bestimmt als ihre Schnitte mitiZ und /S. Ganz ebenso verhält
es sich mit den Kegelschnitten Jl/J, mit P(i/J), welche die
Tangenten T und ü'gleicherweise in zwei bestimmten Puncten
t und u berühren, u. s. w.** — „Die auf diese Weise bestimmten
zwei Paar Berührungspuncte r und 3, t und u liegen in dem
obigen Kegelschnitte 3£^ dem Ort der Wechselschnitte (2.),
und zwar gehen die in r, ö an 3£' gelegten Tangenten beide
durch die Ecke jr, und die in t, U an denselben gelegten Tan-
genten beide durch die Ecke ]r,, so dass also in Bezug auf 3L^
verkehrt SR die Polaro von jr,, und 502, die Polare von f ist."
Bei Voraussetzung der vier Puncte r und S, t und u kann man umgekehrt
sagen: „Jeder Kegelschnitt SK* (oder SKJ), welcher die Tangenten
R und S (oder Tund ü) in den Puncten r und g (oder t und u)
berührt, hat mit den gegebenen Curven A* und B^ ausser
jenen Tangenten noch zwei solche Paare Tangenten gemein,
P undPj, Q und Qj, welche zugleich die Berührungstangenten
derselben mit einer Curve CJ sind." Und ferner: „Die gemein-
schaftlichen Tangenten je zweier Curven CJ berühren allemal
zugleich einen der Kegelschnitte 3)2^ sowohl, als auch einen
der Kegelschnitte 2J2*; und umgekehrt: jeder Kegelschnitt 3W'
oder 9)2J hat mit jeder Curve CJ solche vier Tangenten gemein,
welche allemal auch noch von einer anderen Curve C^t berührt
werden."

IV. „Legt man an jede Curve (^, in ihren beiden Schnitten
mit der Seite ^ (I.), die Tangenten, so geht von diesen zwei

476 ÄUgameine Betrachtungen üb. einander doppelt beröhr. Kegalwhnitte.

Tangenten stots die eine durch die Ecke g und die andere
durch die Ecke g,; und ebenso geht von den zwei Tangenten
derselben Curve C^, in ihren Schnitten mit der Seite"?),, immti
die eine durch j und die andere durch g,." Oder omgekehit:
„Zieht man aus der Ecke ; oder g, an eine Curve Cl die beiden
Tangenten, so liegt allemal der BeVührunggpauct der einen
Tangente in der Seite ^ und der Berührungspunct der anderen
in der Seite D,." — »Und gleicherweise geht von deo zwei
Tangenten jeder Curve C^, in ihren Schnitten mit der Seite^
oder 3i) allemal die eine durch die Ecke q und die andere
durch die Ecke l), ; oder umgekehrt: von den Berührungsponcteo
der aus der Ecke t) und q, an jode Curve Ci gezogenen zwei
Tangenten liegt der eine in der Seite 3 und der andere in
der Seite 3,."

Alle vorstehenden, sich auf die S(Ci^ allein beziehenden Stütze finden
analogerweise, wie schon bemerkt worden, auch für die beiden anderen
Schaarcn, S(Q) und S(Q), statt, -so dass also jeder Satü dreifach vor-
handen ist. Die jedesmaligen zusammengehörigen Elemente sind leicht
zu erkennen. Z. B. beim Satze (IV.), wo ungleichnamige Elemente zu-
sammengehören, ist die Verbindung:

'3. Bi und ^, q, ;J
und danach ist die Verbindung fiir die beiden anderen Fälle:

o/,^\ ■* f3E. 3E, und i, i, ;1 , o^/-^x -. f^. 3t, und n, n, ;1

S(Ci) mit iV ^ . I; und S(C1) mit i™ J i 1

^ "^ 13, 3, und j, x,;y "■ " \% gl, und y, j:,.i

Es giebt aber auch Sätze, welche sich auf zwei Schaaren zugleich be-
zichen, wie z. B. die folgenden :

Allgemeine Betrachtungen üb. einander doppelt berühr. Kegelschnitte. 477

in Rücksicht auf jedes der drei Paar Gegenseiten des Vierecks rstu und
der beiden mit dem jedesmaligen Paar ungleichnamiger Schaaren.

2) „Alle Polaren der Ecke jr in Bezug auf S(Q) und S(C?)
nebst ihren Polaren Sl und 33 in Bezug auf A^ und J5' berühren
insgesammt einen bestimmten Kegelschnitt Wi, welcher zum
obigen ßCSR*) (111,4) gehört und daher die Tangenten R und
S in den Puncten r und 5 berührt, und welcher ferner auch
die zwei Paar Gegenseiten 2) und ^j, 3 ^nid 3i ^®s Vierecks
rstu zu Tangenten hat," „Und gleicherweise berühren alle
Polaren der Ecke f, in Bezug auf S(CJ) und S(ßl) nebst ihren
Polaren 8[, und 33, in Bezug auf A^ und B^ einen Kegelschnitt
9H?,, welcher zum obigen JS(5!KJ) gehört und daher die Tan-
genten T und ü in den bestimmten Puncten t und u, sowie
ferner auch die Seiten g) und 2)i7 3 ^^^ 3i berührt."

VI. Bemerkung. Die angegebenen Eigenschaften gelten für den
vorausgesetzten Fall, dass sowohl die vier gegenseitigen Schnitte als die
vier gemeinschaftlichen Tangenten der gegebenen Kegelschnitte A^ und
B^ reell sind, wobei jedoch die letzteren nicht gerade Ellipsen sein müssen,
sondern von beliebiger Art sein können. Von diesem Falle aus kann
man zu den übrigen Fällen übergehen, bei welchen je ein Theil der ge-
nannten Elemente imaginär wird. Die wesentlichsten Fälle der Art sind
folgende drei. Wenn die gegenseitige Lage der gegebenen, beliebigen
Kegelschnitte A^ und J5' so beschaffen ist, dass entweder: 1) nur die
vier Schnitte r, s, < und u reell, dagegen die vier gemeinschaftlichen
Tangenten imaginär; oder 2) nur die vier gemeinschaftlichen Tangenten
reell, dagegen die vier Schnitte imaginär; oder endlich 3) nur zwei Schnitte
und nur zwei gemeinschaftliche Tangenten reell sind. Bei diesen drei
Fällen wird dann auch von den übrigen, oben beschriebenen (I.) Elementen
je ein Theil imaginär, wodurch in den angegebenen Eigenschaften und
Sätzen entsprechende, wenig oder mehr erhebliche Aendeningen eintreten;
ähnlich wie oben § 8. So tritt z. B. , wenn etwa die Gegenseiten 3£ und
JE, imaginär werden, aber ihr Schnitt, der Pol ^, reell bleibt, bei dem
Satze (ET, 1) die Aenderung ein, dass die sämmtlichen Paare Borührungs-
sehnen pp^ und qq^ ein elliptisches Strahlen-System bilden, wogegen
sie dort ein hyperbolisches bilden, ü. s. w.

§11.

I. In Rücksicht der vorstehenden allgemeinen Sätze (§ 10) sollen
hier noch folgende, in denselben mit inbegriffene, specielle Sätze besonders
herausgehoben werden.

1) „Werden einem vollständigen Vierscit RSTD' irgend
zwei Kegelschnitte A^ und /?' eingeschrieben, so liegen die

47S Allimneiu« Betrachtungen üb. einander doppelt berähr.

S t'uucto. in «olchen sie die Seiten berühren, allemal in irgend
«>inom dritten Kegelschnitte i)'." Und: gLegt man darch die
vior Punctc T. 8, t und ti, in velchen ein beliebiger Kegel-
schnitt A' die Seiten R, S, T und 17 des Tierseits berührt.
oinen willkürlichen Kegelschnitt D', so schneidet dieser die
8eiten in vier solchen neuen Pnncten r,, S,, t, and n,, ii
wolchen dieselben allemal Ton irgend einem Kegelsehaitte
Ii* berührt werden."*) — Femer: aDie gegenseitigen vier
Schnitte r. s, K u je sweier demselben Tierseit RSTU einge-
schriebenen Kegelschnitte A* und B^ liegen mit jedem Paar
tiegenecken des Vierseits, also sowohl mit i nnd ^, als I) nnd
Q,. und j und ;, zusammen in einem Kegelschnitte, beaiehlieh
{'. ^' und ft*.* Und fern«: .Von' den 8 BerShrnDgspBBCten
(T. ^. t. n; r,. i,. t,, Hl) je sweier dem Tierseit eiagesckrie-
benen Kegelschnitte ^4' nnd £* liegen lämal 4 mit irgend
awei der vier Schnitte r. «. t, m der letaleren zasam^cn ii
einem Kegelschnitte il* (oder J/^). nad diese ISKegeUchaitte
ordnen »ich in 6 Paare, welche einander deppell berihrei:
nämlich dnrch je iwei der vier Schnitte r. s, f, m gehen iwei
Kegelschnitte JT nnd berühren sich ia denselben: Di« je
tiPnncte. welche lasammen in einem Kecelscbaitte JP lieg»,
sind:

r, *. t, . f. >, * r, t r, t," . r. t t. m. t. n, . -r, a;

' ■ mit ' mit -1-1 _|| '

I. a.ti,a, f-a «.n.«,.«, «.« ä.L£.. t, a,l;

•i h. beide tirappea T<>a Tter Pnaclea in der er»ien Klamaet
liegen mit jedem Paar in der zweiten Klammer ia eiaem JT.*
i!^ ,W*rd*a eia^n Viereck rstm zwei beliebig* Kegel-
schnitte .zt* aad fi* amschrieben aad ia den Tier Eckca ai
dieselbea Taageaten gelegt, s* berährea die * Taateat«

Allgemeine Betrachtungen ab. einander doppelt berühr. Kegelschnitte. 479

Kegelschnitte -4* und B^ werden mit jedem der drei Paar
Gegenseiten des Vierecks, (mitJ und3£,, g) und g),, 3 und ßj?
zusammen von einem Kegelschnitte (X', 7', Z") berührt." und
femer: „Bei je zwei dem Viereck rstu umschriebenen Kegel-
schnitten A* und J5' werden von ihren 8 Tangenten (9i, ©,
S, U; SR,, ©1, 3i , U,) in den Ecken 12 mal 4 mit irgend zwei
ihrer 4 gemeinschaftlichen Tangenten (Ä, S, T, i7) zusammen
von irgend einem Kegelschnitte 3ß' berührt; und zwar ordnen
sich diese 12 Kegelschnitte 3R^ in 6 einander doppelt berüh-
rende Paare, welche die vier gemeinschaftlichen Tangenten
Ry Sy T und üy paarweise genommen, zu Berührungstangenten
haben."

n. Von der obigen Betrachtung (§ 10) kann man auch zu denjenigen
besonderen Fällen übergehen, wobei die gegebenen Kegelschnitte A^ und
J3', einzeln genommen, aus einem Paar Puncten oder Geraden bestehen.
In dieser Hinsicht sind folgende fünf Fälle zu beachten:

1) Wenn etwa JS' aus zwei Geraden 3 und 3i besteht, so sind diese
ein Paar Gegenseiten des Vierecks rstUy und ihr gegenseitiger Schnitt ist
der Pol z. Die vier gemeinschaftlichen Tangenten Ry Sy T und ü fallen
paarweise zusammen, (Rü) und (ST), imd sind die aus dem Pol z an
die Curve A* gehenden zwei Tangenten. Dadurch vereinigen sich von
den sechs Ecken des früheren Vierseits RSTU zwei Paar, nämlich ]c und
;r, , Xj und \^j mit dem Puncto z, und die zwei übrigen, j und j^, sind
die Berührungspuncte jener Tangenten (RIT) und (ST), liegen in der
Polare Z und sind zu den Polen a und y zugeordnet harmonisch. Hierbei
artet die S(Q) An einen Strahlbüschel um den Mittelpunct z aus, d. h.
jeder durch z gehende Strahl (Gerade), doppelt gedacht, ist als eine Q
anzusehen, seine Schnitte mit A^ sind zugleich seine Berührungspuncte
mit A\ wogegen seine Berührungspuncte mit jB' = (33i) in z vereinigt
liegen. Die Schaaren S(CJ) und S(Q) bleiben eigentliche Curven und
behalten ihre obigen Eigenschaften, jedoch zum Theil mit angemessenen
Modificationen.

2) Wenn B^ aus zwei Puncten g und J, besteht, so sind diese ein
Paar Gegenecken des Vierseits RSTU und liegen in der Polare Z, Die
vier Schnitte r, Sy t und u rücken paarweise zusammen, (ru) und (st), in
die Schnitte von gj, == Z mit der Curve A^, so dass zwei Paar Gegen-
seiten des Vierecks rs^t«^ nämlich X und 3Ej, ^ und ^^, auf Z fallen,
und das dritte Paar, 3 und 3i» die Tangenten an A* in jenen Puncten
(ru) und (st) werden, einander in z schneiden und zu den Polaren X und
Y zugeordnet harmonisch sind. Hier besteht die S(Q) aus allen Paaren
Tangenten der Curve A\ welche sich auf der Geraden Z schneiden. Da-
gegen enthalten S(Ci) und S(Q) alle eigentlichen Kegelschnitte 6", welche

480 Allgemeine Betrachtungen ab. ein&uder doppelt bembr. Kegelsduiitte.

durch die gegebenea Pnncte 3,^, gehen und die gegebene Coire A'
doppelt berühren.

3) Wenn A* und fi' aus zwei Paar Geraden D und Sj, 3 und 3i
bestehen, so sind sie als zwei Paar Gegenseiten des Vierecks r»tu axaa-
sehen, ihre eigenen Schnitte als die Pole y and z, ihre Wechselschnitte
als die Schnitte r, s, t und u. Die vier gemeinschaftlichen Tangenten
R, S, TmrA ü fallen alle auf die Gerade yz = X. Die Schaaren «(Q)
und £(6?) arten in Strahlbfischel um die Pole y und z aus, in gleichem
Sinne wie oben (1.), und es bleiben nur die S(Ci) als eigentliche Corvea
übrig, deren Berührui^ssehnen durch den Pol x, deren Wechselsehen da-
gegen paarweise durch die Pole y und z gehen (§ 10, n.).

4) Wenn A* und B* aus zwei Paar Pnncten q und 5, , g nnd j,
bestehen, so sind sie als Gegenecken des Viorseits RSTU anzusehen, die
sie verbindenden Geraden qq, und jg, als die Polaren Y und Z nnd die
beide Paare wechselseitig verbindenden Geraden als die gemeinschaftlichen
Tangenten. ß, S, T und U. "Die vier Schnitte r, «, ( und u liegen alte
im Pol x^ YZ vereint Die S(C^) artet aus in alle Paare Gerade,
welche durch die Puncte g und j, gehen nnd sich auf Y schneiden; und
ebenso besteht die S(Cl) ans allen Paaren Geraden, welche durch q und
g, gehen und sich auf Z schneiden. Die S(Cl) bleiben eigentliche Curven,
die dem Viereck qq,gj, umschrieben sind.

5) Wenn endlich A^ aus zwei Punct«n g nnd g, und B^ aus zwei
Geraden 3 ^^^ 3i besteht, ro sind sie als die durch diese Bezeichnung
angedeuteten Elemente anzusehen, so dass femer die Gerade f^^ Z und
der Schnitt 3Bi ^ '' ''^^- ^'^ ™^ gemeinschaftlichen Tangenten fallen
paarweise auf die Geraden zj und zj,, nämlich (Ä (7) = 23 nnd (182^ = 23,,
und daher liegen die zwei Paar Gegenecken ^ und f, , Xf und q, in :
vereint. Ebenso fallen die vier Schnitte r, s, t, u paarweise (r und u,
s und t) zusammen in die Schnitte von Z mit 3 und 3t 1 ^'^ ^^^ (f) = Z^

Allgemeine Betrachtungen üb. einander doppelt berohr. Kegelschnitte. 481

a. eine gegebene Gerade G berührt; oder
ß. durch einen gegebenen Punct p geht."
Jede dieser beiden Aufgaben gestattet sechs Lösungen, und zwar bestehen
die lösenden Curven aus zwei CJ, zwei CJ und zwei Q, Die gegenseitigen
vier Schnitte des Curvenpaares C3, etwap, p,, p^ undp,, liegen in einem
der Kegelschnitte iP (§ 10, II, 4), welcher durch den gegebenen Punct
p bestimmt ist; die drei anderen Schnitte pj, p^^p^ sind dadurch bestimmt,
dass einer derselben, etwa p^ , in der Geraden xp liegt, und dass cTann auch
die Gerade p^p^ durch x geht, und zudem beide Gerade pp^ und p^p^ zu
den Seiten 3E und 3Ej zugeordnet harmonisch sind.

2) „EineCurveC" zu finden, welche eine gegebene Curve
A^ doppelt berührt und nebstdem noch entweder

a. drei gegebene Gerade 3i 3i ^^^ ^ berührt; oder

p. zwei gegebene Gerade 3 ^^^ Si berührt und durch

einen gegebenen Punct p geht; oder
•)[. eine gegebene Gerade G berührt und durch zwei ge-
gebene Puncto g und g^ geht; oder endlich
8. durch drei gegebene Puncto j, g, und p geht."
Bei jeder dieser vier Aufgaben finden im Al]gen)einen sechs Lösungen
statt, wie vorhin (1.).

3) „Eine Curve C* zu finden, welche entweder

a. drei gegebene Gerade 3? 3i ^^^ ^ berührt und durch
zwei gegebene Puncto g und g, geht; oder

ß. zwei gegebene Gerade 3 ^^^ Si berührt und durch
drei gegebene Puncto g, g, und j? geht."
Beide Mal vier Lösungen.

4) „Eine Curve C zu finden, welche entweder

OL vier gegebene Gerade berührt (II, 3) und durch einen

gegebenen Punct p geht; oder
ß. durch vier gegebene Puncto geht (11,4) und eine ge-
gebene Gerade G berührt."
Beide Mal zwei Lösungen. Und endlich:

5) „Eine Curve C zu finden, welche, entweder
a. fünf gegebene Gerade berührt; oder

ß. durch fünf gegebene Puncto geht."
Beide Mal nur eine Lösung, oder C* absolut bestimmt.

§12.

Bemerkung. Die Aufgabe:

„Eine Curve C zu finden, welche drei gegebene Curven
A\ B' und D* doppelt berührt,"

Steiner'« Werke. II. 31

482 Allgemeine BetrschtnDgen üb. einander doppelt berähr. Kegelschnitte.

ist im AUgememen unmöglich, wie ans dem obigen (§ 10) laicht erbetlt;
sie wird erst dann möglich, wenn die gegebenen Cnrven eine gewisse nä-
here Beziehung zu einander haben, was bereits in der mehrerwähnten Ab-
handlung (Bd. 37 S. 187 des Orells'aciien Journals)*) angegeben worden, nod
wovon man sich, wie folgt, leicht überzeugen kann.

Denn angenommen die Curve C berühre jede der drei gegebenen
Cnrven A*, B* und i)' doppelt; seien etwa A, B und D beziehlich die
Boruhrungssehnen, und seien femer je, y, z; x', y", 2*; «", y", 2" die ge-
meinschaftlichen Tripel conjugirter Pole, sowie X, Y, Z; X', Y', Z';
X", Y", Z" die gemeinschaftlichen Tripel conjugirter Polaren der Curven-
paare A' und B\ A* und D*, B^ und D^, so muss die Bernhrungssehne
A sowohl durch einen Pol des ersten Tripels, etwa durch asy als auch
durch einen Po! des zweiten Tripels, etwa durch a^, gehen (weil A* zum
ersten und zweiten Curvenpaar gehört) (§ 10, II, 1), und dann müssen
auch die Berührungssehnon B und D beziehlich durch die nämlichen Pole
.T und a^, sowie auch beide durch einen und denselben Pol des dritten
Tripels, etwa durch ar", gehen. Demnach müssen die drei Berfihrungs-
sehnen A, B und D allemal die Seiten eines solchen Dreiecks sein,
welches irgend drei Pole, jedoch von jedem Tripel einen, zu Ecken hat
wie das Dreieck xa^x"; die Combination gestattet 27 solche Dreiecke.
Da nun femer sowohl x und X, als af und X', sowie af' und X!' Pol
und Pohire in Bezug auf die Curve C sind (§ 10, II, 3), so mnss das
Dreieck xa^af' mit dem Dreiseit XX'X" perspectivisch liegen; d. h, die
drei Geraden, welche ihre Ecken in bestimmter Ordnung paarweise ver-
binden, treffen sich in ii^end einem Puncto p, und die drei Schnitte der
entsprechenden Seitenpaare liegen in irgend einer Geraden P; nämlich
heissen die den Seiten X, X', X" gegenüberliegenden Ecken des Dreiseits
beziehlich a, b, d (sie sind zugleich die Pole der Seiten A, B, D des
Dreiecks xi^x" in Bezug auf die Curve 6" sowohl als beziehlich in Bezi^

Allgemeine Betrachtungen üb. einander doppelt berühr. Kegelschnitte. • 483

H'li^lil und '£*li^3i\^ und von den letzteren liegen viermal drei in einer

Geraden,, ncy, n\f,, r'fj'l und f'fX-

Wenn also eine Curve C^ die drei gegebenen Curven A^^ ß', D'
doppelt berührt, so müssen die den letzteren zugehörigen Elemente unter
anderen die angegebenen Eigenschaften haben; da aber diese Eigenschaften
einander bedingen, selbst von einander abhängig sind, so beschränkt sich
die Bedingung für die Möglichkeit der Curve C nur auf je einen Theil
derselben, nämlich:

Die Curve C, welche die drei gegebenen Curven -4', ß' und
Z>^ doppelt berühren soll, ist möglich, sobald entweder

1) von den 27 Dreiecken, welche je drei Pole, jedoch von
jedem Tripel einen, zu Ecken haben, irgend eines (wie aa:'^")
mit dem ihm entsprechenden Dreiseit (XX'X") perspectivisch
liegt; oder

2) von den Seiten der drei Vierecke rstUy r's'tfu^ r^s'U^u"
irgend drei, worunter jedoch von jedem Viereck eine (wie etwa
3£, 3£', 3E"), sich in einem Puncto p treffen; oder endlich

3) von den Ecken der drei Vierseite RS TU, RS TU',
R"S"T"Ü" irgend drei, unter denen jedoch von jedem Vierseit
eine (wie etwa je, jc', jr"), in einer Geraden P liegen."

Berlin, im März 1852.

31*

Aufgaben und Lehrsätze.

Crollo's Journal Band XliV. S. 375— 380.

Aufgaben und Lehrsätze.

1. Sind in einer Ebene zwei begrenzte Geraden ^ß und CZ)
in beliebiger fester Lage gegeben, so besteht der Ort desjenigen
Punctes, aus welchem dieselben unter gleichen Winkeln (oder
auch unter Winkeln, die zwei Rechte betragen) gesehen werden,
aus zwei Curven dritten Grades." Beide Curven gehen durch die
vier Endpuncte der gegebenen Geraden, sowie durch ihren gegenseitigen
Schnittpunct. Femer haben die Curven diejenigen zwei Puncto gemein,
aus welchen beide Geraden unter rechten Winkeln erscheinen. Die zwei
übrigen gemeinschaftlichen Puncto der Curven sind imaginär und liegen
auf der unendlich entfernten Geraden. Der Satz umfasst viele, theils
interessante specielle Fälle, welche unter besonderen Annahmen rücksicht-
lich der gegenseitigen Lage und der Grösse der beiden Geraden eintreten.

2. „Hat man in einer Ebene* zwei ähnliche Curven dritten
Grades, C und C', deren homologe Dimensionen sich verhalten
wie 2:1, hält die eine, etwa C, in ihrer Lage fest, so kann die
andere auf ^24 verschiedene Arten so gejegt werden, dass beide
Curven direct (nicht symmetrisch) ähnlich liegen und ein-
ander in irgend einem Paar homologer Puncto m und ?w, und
nebstdem noch in irgend zwei nicht homologen Puncten n und
7j berühren." „Durch die 24 Puncto m in der Curve C können
Curven achten Grades gehen; und ebenso durch die 24 m, in CJ."

3. „In einer beliebigen Curve dritten Grades giebt es im
Allgemeinen 36 Paare parallele, gleiche und gleichliegende
Krümmungs-Halbmesser." — „WievielePaare parallele, gleiche,
aber ungleichliegende Krümmungs-Halbmesser giebt es in der-
selben Curve?"

Wird eine Gerade ÄD von einer Curve dritten Grades, C, im Puncto
A berührt und im Puncto B geschnitten, so soll die Strecke AB schlecht-
hin die Tangente der Curve und die Richtung von A nach B ihre

488 Aufgabeu und Lehrsätze.

Richtung genannt werden. Die Mitte der Tangente heiese M, Zwei
parallele Tangenten AB und Ä,B, heiesen gleichliegend oder Dngleicli-
liegcnd, jenachdem ihre Richtungen gleich oder ontgegengesettt
sind; die ihre Berühningspuncte verbindende Gerade bder Berührangsselme
ÄA^ heisse @ und ihre Mitte heisse N. Jede Gerade, welche von der
Curve C in drei solchen Puncten A, B, C geschnitten wird, dass der
mittlere B gerade in der Mitte zwischen den äusseren A und C liegt,
soll hier Sehne oder S heissen. Gleiche Sehnen, S = S,, sind solche,
in denen die drei Schnittpuncte gleich weit von einander abst«hen, so dass
AB^=BC^A^B, = B,C,. Mit Bezug hierauf lassen sich folgende acht
Sätze und Aufgaben (4. bis 11.) einfacher aussprechen:

4. „Eine beliebige Curve dritten Grades, C, hat im All-
gemeinen 18 Paar parallele, gleiche, aber ungleichliegende Tan-
genton, und die Mitten N ihrer 18 lierührungsaehaen 'S liegen
in einem bestimmten Kegelschnitte £'."

b. „Wieviele Paare parallele, gleiche und gleichliegende
Tangenten hat dieselbe C?"

6. „Wieviele solche Paare Tangenten hat dieselbe Curve
C, welche gegenseitig einander hälften?"

7. „In derselben gegebenen Curve C giobt es im Allge-
meinen 9 Paar parallele, gleiche Sehnen, S^S^ oder ABC^A,B,C,;
und die Mitton, etwa N^, der 9 Geraden BB,, welche die mitt-
leren Puncte der Sehnenpaare verbinden, liegen in dem Däm-
lichen, vorgenannten (4.) Eegelschnittc £'."

8. „In derselben Curve C giebt es ferner 9 solche beson-
dere Sehnen ABC^S, bei welchen die den Schnittpuncten A,
B, C zugehörigen drei Tangenten A^, B^, C„ einander in irgend
einem Puncte treffen; dabei ist die Tangente B^ im mittleren
Puncte B zugleich ein .Durchmesser der Curve C, und zndem

Aufgaben und Lehrsätze. 489

und M^% welche sich gegen die Basis C* ähnlich verhalten,
wie die Curve M^^.

10. »Dor Ort der Berührungssehne @ aller Paare paralleler
Tangenten einer beliebigen Curve C ist eine Curve neunter
Classe & und sechsunddreissigsten Grades; und der Ort der
Mitte N der Berührungssehne @ ist eine Curve zwölften Grades
N^^.^ Diese beiden Ortscurven haben gleichfalls eigenthümliche Beziehung
zu der Basis C*, wie die vorigen. „Es kann keine zwei Berührungs-
sehnen @ geben, die einander hälften.^

11. „Der Ort aller Sehnen S in der beliebigen Curve C
ist eine Curve sechster Classe und achtzehnten Grades."

Bekannten Sätzen über die Kegelschnitte gewissermassen analog hat
man rücksichtlich der Curven dritten Grades folgende zwei Sätze (12.
und 13.):

12. I. „Zieht man aus irgend einem festen Pol P in der
Ebene einer gegebenen Curve dritten Grades, C, beliebige
Transversalen durch die letztere und legt in den je drei Schnitt-
puncten die Tangenten an C, welche einander paarweise in
irgend drei Puncten Q schneiden, so ist der Ort dieser Puncto
Q eine Curve neunten Grades, Q^ welche unter anderen folgende
interessante Eigenschaften hat. 1) Sie hat drei dreifache Puncto,
Q,, die in einer Geraden A^ liegen; ihre 27 gemeinschaftlichen
Puncto mit der Basis C bestehen: 2) in 6 Schnitten -4, welche
in irgend einem Kegelschnitte A^ liegen; 3) in 6Berührungs-
puncten B (die für 12 gemeinschaftliche Puncto zählen), durch
welche irgend ein Kegelschnitt J5' geht; 4) in 9 Schnitten 3i),
SE und 3F, die zu drei in drei Geraden D^^ E^ und jP^^ liegen;
5) die genannten Kegelschnitte A^ und J5' berühren einander
doppelt, und jene Gerade A^ (1) ist zugleich ihre Berührungs-
sehne; und endlich 6) die vier Geraden A^^ D^^ E^ und jP^^
schneiden einander in einem und demselben Puncto." Femer:
„Bewegt sich der Pol P in einer beliebigen Geraden G, so be-
schreiben die vier Geraden A^^ D^^ JB^ und F^ beziehlich vier
Kegelschnitte ^jj, DJ, E] und i^, wovon jeder der drei letz-
teren die Basis C in irgend drei Puncten berührt, u. s. w."

•U. „Liegt der Pol P insbesondere in der Basis C selbst,
wobei also die Transversale in nur zwei veränderlichen
Puncten schneidet, und somit nur der Schnitt Q von den zwei
zugehörigen Tangenten in Betracht kommt, so ist der Ort
dieses Schnittes Q nur noch eine Curve vierten Grades, Q*,
welche drei Doppelpuncte hat, die in der Basis C^ liegen." —
^Bewegt sich der Punct P längs der ganzen Basis C^ so ist die

490 Ä-utgaben und LehrsäUe.

entstehende Schaar Curven Q* so beschaffen, dass jede be-
liebige Gerade in der Ebene vonjo 30 derselben berührt wird."

13. „Aus jedem Functe P in der Ebene einer Curve dritten
Grades C* gehen 6 Tangenten an dieselbe, deren Berührnngs-
puncte, paarweise verbunden, 15 Berührangssehnen © be-
stimmen. Bewegt sich der Pol P in irgend einer Geraden G,
so berühren die 15 @ stets irgend eine und dieselbe Cnrve
neunter C lasse @°, welche allemal mit der Basis C die 9 Wende-
punctß und zugehörigen Wendetangenten gemein hat, u. s. w."
Wie man bemerken wird, iät dieser Satz im Grunde mit dem obigen (10.)
identisch, indem durch Projection der eine in den anderen übergeht.

14.- Die den beiden vorstehenden Sätzen 12. und 13, ana-
logen Sätze bei der Curve vierten Grades aufzufinde«.

15. „Man denke sich in einer Ebene 6 beliebige Puncte p
oder ein vollständiges Sechseck. Die Mitte jeder der 15 Seiten
heisse a, und der Mittelpunct des durch je 5 der 6 Puncte j>
bestimmten Kegelschnittes heisse b. Durch je 4 der 6 Puncte
p gehen zwei solche Kegelschnitte, deren Mittelpuncte in der
durch die beiden übrigen Puncte p bestimmton Seite liegen;
jeder dieser Mittelpuncte heisse c. Die auf diese Weise be-
stimmten Puncte sammt den- 6 Puncten p, was zusammen
6p+15a + 664-30c = 57 Puncte ausmacht, liegen allemal in
irgend einer Curve fünften Grades." „Die Gleichung dieser
Curve aufzustellen." — Wenn die gegebenen 6 Puncte j> insbesondere
in einem Kegelschnitte C liegen, so fallen die 6 Mittelpuncte b in einen
zusammen, der dann ein Doppclpunct der Curve C ist. Welche Bezie-
hung haben die beiden Tangenten in diesem Doppelpuncte zu jenem Kegel-
schnitte C"?

16. „Sind in einer Ebene 6 beliebige Puncte^ gegeben, und

Aufgaben imd Lehrsätze. 491

Kegelschnitt und bezeichnet dessen Schnitte mit der durch
die jedesmaligen zwei übrigen Puncte p gehenden Geraden
durch a, so liegen die hierdurch bestimmten 42 Puncte a
allemal in irgend einer Curve sechsten Grades, welche die ge-
gebenen 7 Puncte p zu Doppelpuncten hat." »Die Gleichung
dieser Curve aufzustellen.**

18. „Soll eine Curve dritten Grades durch 6 gegebene
Puncte a gehen und einen Doppelpunct d haben, dessen zu-
gehörige Tangenten beziehlich durch zwei andere gegebene
Puncte b und c gehen, so finden im Allgemeinen 25 Lösungen
statt."

19. „Soll eine Curve dritten Grades durch 7 gegebene
Puncte a gehen und einen Doppelpunct d haben, dessen eine
Tangente durch einen gegebenen achten Punct h geht, so giebt
es im Allgemeinen 18 Lösungen."

20. „Soll eine Curve dritten Grades durch 6 gegebene
Puncte a gehen und einen Rückkehrpunct r haben, dessen
Tangente durch einen gegebenen siebenten Punct b geht, so
finden im Allgemeinen 18 Lösungen statt."

21. „Ueber einer gegebenen Grundlinie ab, deren End-
puncte in einer gegebenen Curve dritten Grades liegen, lassen
sich dieser Curve fünf Parallelogramme einschreiben. Die
fünf Puncte, in denen die Diagonalen der einzelnen Parallelo-
gramme sich kreuzen, liegen mit der Mitte der Grundlinie ab
allemal in irgend einem Kegelschnitte." Oder:

„Zu jeder beliebig angenommenen Sehne ai in einer ge-
gebenen Curve dritten Gerades giebt es im Allgemeinen fünf
andere Sehnen, die ihr gleich und parallel sind, und die Mitten
solcher sechs Sehnen liegen allemal in irgend einem Kegel-
schnitte." Jede der 6 Sehnen schneidet die gegebene Curve noch in
einem dritten Puncte, und diese 6 Puncte liegen ebenfalls in einem Kegel-
schnitte, welcher zu dem eben genannten eigenthümliche Beziehung hat.
Lässt man die Sehnen unendlich klein werden, d. h. in Tangenten über-
gehen, so geht der vorstehende Satz in einen bekannten Satz über.

22. Zieht man durch einen festen Punct p in einer gegebenen Curve
dritten Grades C^ eine veränderliche Transversale, welche die Curve (ausser
in />) in zwei Puncten a und b schneidet, und bezeichnet die Mitte der
Strecke ab durch P, sp ist der Ort von P eine Curve dritten Grades P',
welche p zum Doppelpunct hat und durch die im Unendlichen liegenden
drei Puncte a« der gegebenen Curve C geht. Sind p, j\ und p^ drei
Puncte der Curve C, welche in einer Geraden G liegen, so schneiden
die ihnen entsprechenden drei Curven P', PJ und /^ einander

492 Aufgaben und Lehrsätze.

zusammen (ausser in jenen 3 Puncten a.) in solchen 6 Puncten
Q, welche in einem Kegelschnitte Q' liegen. Wird die Gerade
G sich selbst parallel bewegt, so ändern sich zwar mit den
Puncten p, p,, p, und den Curvon P*, PJ, PI auch zugleich die
6 Puncte Q, aber der Kegelschnitt Q*, in welchem die letzteren
stets liegen, bleibt unveränderlich fest.

23. Durch 9 gegebene Puncte p ist die Curve dritten Grades, G',
im Allgemeinen absolut bestimmt; und ebenso die Curve dritter Classe,
AT', durch 9 gegebene Tangenten g.

•Soll dingen eine Curve G' durch 8 gegebene Puncte p gehen und
eine gegebene Gerade y berühren, so ist sie vierdeutig bestimmt, d. h. so
finden 4 Lösungen statt; und gleicherweise ist die Curve £**, wenn sie
8 gegebene Geraden ff berühren und durch einen gegebenen Punct p gehen
soll, vierdeutig bestimmt.

Wie verhält es sich nun in dieser Hinsicht, wenn die Curve 6' durch
7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 0 gegebene Puncto p gehen und bcziehlich 2, 3, 4,
5, 6, 7, 8, 9 gegebene Gerade g berühren soll? Wie steigt die Zahl der
Lösungen? Für die Curve K' findet in allem Analoges statt.

Berlin, im November 1852.

Allgemeine Eigenschaften der algebraischen

Curven.

Crelle's Journal Band XLVII. S. 1—6.
(Monatsbericht der Akademie der Wissenschaften zu Berlin vom August 1848.)

Allgemeine Eigenschaften der algebraischen

Curven.

In der Gesammtsitzung der Akademie am 10. August 1848 wurde
von Herrn Steiner eine Abhandlung über „allgemeine Eigenschaften der
algebraischen Curven" vorgelegt.

Diese Curven werden darin nach Grad und Classe aufgefasst; das
Wesen der Doppel- und Rückkehrpuncte, der Doppel- und Wendetangenten
wird erläutert, und die gegenseitige Abhängigkeit dieser Elemente und des
Grades und der Classe wird nachgewiesen. Bezeichnen g und k bezieh-
lich den Grad und die Classe einer Curve, -K'^ = Ä*, femer d und r die
Zahl ihrer Doppel- und Rückkehrpuncte, sowie t und w die Zahl ihrer
Doppel- und Wendetangenten, so hat man die drei Gleichungen

(1) 9(.9-V} = *4-2d4-3r,

(2) *(*— 1) = g-^-^t+Zw,

(3) ' 35f(<7— 2) = 6d+8r4-t(7,

aus denen, wenn von den darin enthaltenen 6 Grössen irgend drei ge-
geben sind, die drei übrigen gefunden werden ; was somit auf 60 Formeln
fuhrt.

Bei Bestimmung der Curven durch gegebene Puncte ergiebt sich der
folgende bekannte Satz als

•

Erster Fundamentalsatz:

„Durch beliebige gegebene ^(n-+-3) — 1 Puncte a^ geht eine
unzählige Schaar Curven v>^^ Grades, ^", und alle diese Curven
gehen nebstdem nothwendig noch durch andere ^(n — l)(n — 2)
bestimmte Puncte a^, so dass sie ein Curvenbüschel B^A"") mit
n' gemeinschaftlichen Schnittpuncten a bilden." Die Puncte a^
heissen die bestimmenden, die Puncte a^ die noth wendigen, und beide
insgesammt, die w'Puncte a, heissen die Grundpuncte des Büschels J5(^*).

496 ÄllgemeiDe EigeiiBchaften der algebraisches Curven.

Dieser Satz ist fiir die Betrachtung der Curven einer der wesent-
lichsten und fruchtbarsten, indem er zahlreiche Folgeniugeo gewährt. Dahin
gehört unter auderen die Erzeugung der Cnrven durch Curvenbüschel nie-
drigen Grades, ganz analog, wie die Kegelschnitte durch projectivische
Strahlbüschel erzeugt werden. Femer eine grosso Reihe von Sätzen über
gegenseitige Berührung der Curven, wobei sich insbesondere verschiedene
merkwürdige Eigenschaften der 28 Doppeltangenten der Curven vierten
Grades ergeben.

üeber die Polaren werden einige neue weiter gehende Gesichtspuncte
aufgestellt, die zu einer Menge neuer Resultate föhren.

Werden aus einem beliebigen Puncte P an eine gegebene Curve Ä*
(die Basis) Tangenten gelegt, so liegen die M(n— 1) BerShrangspuncte in
einer Curve -4"~'; und werden aus demselben Punct P an diese neue
Curvc Tangenten gelegt, so liegen die (n — l)(n — 2) Beruh nmgspuncte
ebenso in einer Curve Ä'—^; und wird so fortgefahren, so erhält man die
aufeinander folgenden Curven -.1"'"', j4"-*, ^"-*, ... A', A*, welche die
successiven Polaren des Punctes P in Bezug auf die Basis A', und
zwar nach der Reihe die 1", 2"', 3", ..., (n— 2)'*, (n— 1)" Polare ge-
nannt, und die in Zeichen, wie folgt, dai^stcllt werden:
(P),:^- = ^-'; {P)^:A' = A'-^\ {F)^: A' = A'—; {P)^-r.A' = A^

i_P\-,:A- = A\
wobei also z.B. (/*)^:.i4" = ^4"-'^ heiitst: die jb" Polare des Pnnctes P \a
Bezug auf die Basis A' ist eine Curve vom (n — xy" Grade, gleich A*~'.
Die (n — 2)" Polare A'' ist ein Kegelschnitt und die (n — 1)" Polare A*
ist eine Gerade.

Bewegt sich der Pol P in irgend einer Linie L (Directrix), so wird
jede seiner Polaren, wie etwa die af, eine continuirliche Schaar Curven
A"-', oder iS(.^"-*), durchlaufen, die irgend eine Curve umhüllen, welche

Allgemeine Eigenschaften der algebraischen Curven. 497

Für die erste und letzte Polare, also für ^=1 und a = n — 1 hat
man insbesondere

(6) (iI>\:A* = ^»-^X-^);
and

(7) (iy)n-i:Ä- = £;^r"-'^;

ist dagegen r=l, also die Directrix eine Gerade D\ so hat man (5)

(8) (D%:Ä- = i?j(--^)('*--),

und für « = 1 und a^n — 1 kommt

(9) (D'X-.A' = E];
und

(10) (D 0.-1 : An = JB^V'^ = ®^-\

d. h. „Bewegt^. sich der Pol P auf einer Geraden D^ (9), so ist
seine erste Polar-Enveloppe vom nullten Grad, J5J, was an-
zeigt, dass die /S(J."~^) sich in (n — 1)' Puncten a schneiden, auf
welche sich die Enveloppe reducirt, oder dass die Schaar Po-
laren ^*—^ in ein Büschel jB(^"~^) übergehen;" und (10) „die
(n — !)*• Polare einer Geraden D^ in Bezug auf die Basis A* ist
eine Curve vom 2(w — 2)*®° Grad und von der (n — 1)'«" Classe 6"-^"
Für die Betrachtung der Polaren dient der folgende, allgemein be-
kannte Satz als

Zweiter Fundamentalsatz:

„Nimmt man in Bezug auf dieselbe Basfs A^ von zwei be-
liebigen Puncten P und Q die ersten Polaren, seien diese P*~^
und 0"—^ und nimmt man sodann verwechseltidie erste Polare
von P in Bezug auf die Curve Q"~^ und die erste Polare von
Q in Bezug aufP«~^, so sind diese beiden Polaren eine und die-
selbe Curve Ä»"^; oder in Zeichen:

(11) CQ\'[(P). •■ ^-] = (P\ -[(QX '^'] = ■»•-'•"

Dieser Satz ist ebenso folgenreich, wie der obige. Durch wiederholte
Anwendung desselben folgt zunächst, dass

(12) (Q).:[(i*),:^;] = (i')«:[(Q)y:^"] = ^R^*-"-

Eine andere Folgerung ist:

„Liegt der Punct Q in der ^*" Polare von P, also in P»-*,
so geht die (n — ai)^ Polare von Q, also Q*, durch den Punct P."
Ebenso folgt daraus der schöne Reciprocitätssatz:

„Hat die a?^ Polare eines Punctes P, also P*"*, einen Doppel-
punct Q, so hat auch umgekehrt die (n — a — 1)*« Polare des letz-
teren, d. i. Q^\ jenen Punct P zum Doppelpunct."

Die Doppelpuncte der Polaren spielen eine wesentliche Rollo, wie aus
dem folgenden Beispiel zu ersehen ist.

Steiuer't Werke. IL 32

49d Allgemeine Eigenachaften der al^braiscben Curren.

„Der Ort desjenigen Punctes P, dessen erste Polare, i*^',
einen Doppelpunct Q hat, ist eine Cnrve vom 3(n — 2X»' — 2)^
Grad

und der Ort des Doppelpunctes Q ist eine Curve vom 3(n — 2)'*"
Grad

= OjC-ä);«

diesG letztere Curve Q^ ist also zugleich ' auch der Ort deejenigen Pnnctes
Q, dessen (n — 2)" Polaro, Q', einen Doppelpunct P hat, und jene erste
Curve P„ ist der Ort dieses Doppelpunctes. Die Polare Q* ist somit ein
Kegelschnitt, der aus zwei Geraden besteht, die sich in P schneiden. Die
Curven P, und Qg werden nebst anderen conjugirte Eern-Curven
der Basis A' genamit. Sie haben unter anderen folgend« Eigenschaflen:
„Die Curve Q^ geht durch die 3n(n — 2) Wendepuncte der
Basis A", wogegen die Curve P^ alle Wendetangenten dersel-
ben berührt." — »Die Curve P, ist von der Sf« — l)(n — 2)"*
Classe; und von gleicher Classe ist im Allgemeinen die-
jenige Curve Ä,, welche von der Geraden PQ umhüllt wird;
diese Curve R^ berührt ebenfalls die Wendetangenten der Basis
A";"* etc. — »Die (n — l)" Polare von jeder beliebigen Carve IX,
d. i. DK'+s— 6) (7), berührt die Kerncurve P, in 3r(«— 2) Punc-
ten;" etc. — »Die Kerncurve P, hat

3Cn— 2X4n— 9) Wendetangenten,
iC«— 2)[(3«'-+-l)Cn— 4)+28] Doppeltangenten,
12(»— 2)Cn— 3) Rfickkehrpuncte und
K«— 2)[3(»— 2)"— 14(»— 2)+ll] Doppelpuncte.«
„Sind P, und P, irgend zwei solche Puncte, deren erste
Polaren Pp^ und i^' einander in irgend einem Puncte X be-

Allgemeine Eigenschaften der algebraischen Cunren. 499

•

Polaren jB(Pj~^) in zwei verschiedenen Puncten Q. Ist ferner
insbesondere P ein Doppelpunct der Curve P^,, so hat seine
erste Polare P"~* zwei Doppelpuncte Q, und somit giebt es
ebenso viele erste Polaren, welche zwei Doppelpuncte haben,
als die (erncurve P^ Doppelpuncte hat;" u. s. w.

Die gesammten ersten Polaren P'*""^ Pj^S Pj"S . . . bilden ein
sogenanntes Netz, welches durch irgend drei derselben (die nicht zu einem
Büschel gehören) bestimmt ist^ und wodurch dann auch die Basis A"^ be-
stimmt wird. Haben die drei gegebenen Curven gemeinschaftliche Puncto
[1, 2, 3, ... bis höchstens i(n — l)(n-f-2) — 2], so sind dieselben Doppel-
puncte derKemcurve Q^. Daher ist z. B. der Ort der Doppelpuncte
(oder der Berührungspuncte) aller Curven P*, welche durch
dieselben gegebenen ^(^4-3) — 2 Puncto d gehen, eine Curve
Q3(x-i)^ welche die Puncto d zu Doppelpuncten hat. Sollen die
Curven P' durch ^(a-^S) — 1 Puncto d gehen, so bilden sie ein
Büschel B{P*) und dann haben sie zusammen 3(d? — 1)* Doppel-
puncte.

Ueber die obigen Polaren (Polar-Enveloppen) wird bemerkt, dass wenn
man eine derselben zur Directrix annimmt, ihr ebenfalls eine Reihe Polar-
curven entsprechen, von denen die eine vorzujgs weise ihre reciproke
Polare genannt wird. Nämlich wird von der a^^ Polare einer Curve
!>•, also von (5)

^r(r-f2x-3)(n— «)

die (w — xj^^ d. i. die reciproke Polare genommen, so mfisste diese die ge-
gebene Curve ly sein; nach der allgemeinen Formel (5) ist sie aber, wenn
r(r-{-2x — 3)(w — x)=s gesetzt wird, eine Curve vom s\s-^2{n — «) — 3]j?*®"
Grad. Hier ist also der scheinbare Widerspruch noch auffallender, als
bei der gewöhnlichen Polarität, wo die Basis nur ein Kegelschnitt ist,
ein Fall, für welchen er durch Poncelet aufgeklärt worden. Hier wird
das Paradoxon, wie folgt, erklärt.

Die erste Polare von !>* in Bezug auf die Basis A^ ist jBj('"-^)('«-^), •
und für die (n — 1)*® Polare von dieser giebt die Formel (7)

rK»-— l)(n— l)[r(r -l)(n-l)H-2n-5]

statt dass sie vermöge der Reciprocität bloss die ursprüngliche Curve
jy geben sollte. Dieses Wundersame klärt sich nun dadurch auf, dass
die Curve J5»_i

1) aus (w — 1)' Mal der Curve ly nebst deren 3r(r — 2) Wende-
tangenten und ^(r— •2)(r' — 9) Doppeltangenten, wobei noch jede
Wendetangente als eine 3fache und jode Doppeltangente als eine
2 fache Gerade zu zählen ist, also aus (n — l)'X(i>'4-2rf-|-3u^),
und

32*

500 Allgemeine EigeiischaFt«a der slgebraischen Curren.

2) sn9 den 3»:(»- — l)(n — l)(n — 2) gemeinschaftlichen Tangenten der
Curve ly und der Kemcurve P,
besteht.

Eine gegebene Curve Q^ kann von den Curven eines in derselben
Ebene gegebenen Büschels B(P'') in q(q--i-2p — 3) Pnncten ß berührt
werden, welche allemal mit den 3(p — 1)' Doppelpuncten des Büschels
' fi(Pp) zusammen in einer Curve Rf+^r-^ liegen. — Sind in derselbeo
Ebene irgend zwei Curvenbüschel B(^Pf) und B{Qi) gegeben, so ist der
Ort des Punctes R, in welchem sich je zwei Curven beider Büschel be-
rühren, eine Curve vom (2^-|-23 — 3)"° Grad; und die Anzahl deijenigeu
Puncte Ä, , in welchen sich zwei Curven Pf und Q« beider Büschel oa-
cuUren, ist

= 3[(f+5)Cp-1-?-6)+2p?-|-5].
Sind in einer Ebene drei beliebige Curven -Büschel 8(1^}, B(Qi) o&d
B(R'') gegeben, so ist die Zahl derjenigen Puncte, in welchen je dra
dieser Curven einander berühren, im Allgemeinen

= 4(pq+pr+qr) — G(p-i-g+r — 1).

Für die Curven dritten und vierten Grades insbesondere ergeben sich
aus der obigen allgemeinen Betrachtung viele, zum Theil ganz neue m\»t-
essante Eigenschaften, wie leicht zu ermessen. Namentlich treten hier
wiederum eigenthümliche Relationen der 28 Doppeltangenten der Curve
vierten Grades hervor, ein Gegenstand, über welchen bisherige Bemühonges
noch wenig ermittelt haben. Ueber die Curve dritten Grades bieten sich
noch mehr specielle Fälle dar; dabei wird nachgewiesen, dass das eigent-
liche Wesen vieler ihrer Eigenschaften vornehmlich auf der sogenannten
Involution beruht.

Durch verschiedene Correlationssysteme werden theils analoge Resul-
tate, wie durch die Polarität, theils aber auch neue Sätze über Curven

lieber solche algebraische Curven, welche einen

Mittelpunct haben, und über darauf bezügliche

Eigenschaften allgemeiner Curven, sowie über

geradlinige Transversalen der letzteren.

Crelle's Journal Band XLVII. S. 7— 105.

(Theits Ätiszug, theils Erweitening eines am 26. Hai 1851 in der Akademie der

Wissenscliaften zu Berlin gehaltenen Vortrags.)

Heber solche algebraische Curven, welche einen

Mittelpunct haben, und über darauf bezügliche

Eigenschaften allgemeiner Curven, sowie über

geradlinige Transversalen der letzteren.

§1.

Die Curven zweiten Grades .haben schon an sich Mittelpuncte, es ist
eine ihnen innewohnende Eigenschaft. Anders verhält es sich mit den
Curven höherer Ordnung. Wohl besitzen noch die Curven dritten Grades
die Eigenschaft, dass sie sich durch Projection in solche umwandeln lassen,
welche Mittelpuncte haben; wogegen alle höheren Curven gewisse Beschrän-
kungen zu erleiden haben, wenn ihnen die Eigenschaft eines Mittelpunctes
zukommen soll.

Unter „Mittelpunct'' einer Curve w**° Grades, C**, wird ein solcher
in ihrer Ebene liegender Punct 3K verstanden, welcher die Eigenschaft hat,
dass jede durch ihn gezogene unbegrenzte Gerade S die Curve in solchen
m Puncten schneidet, welche paarweise gleichwejt von ihm abstehen, so
dass also die Schnittpuncte auf beiden Seiten von jenem Puncto 3Jl gleich
vertheüt sind, und jedem Punct p auf der einen Seite ein anderer Pi auf
der entgegengesetzten Seite in gleichem Abstände . von 9Jt entsprechen
muss und sein „Gegenpunct" genannt wird. Hiemach möchte es
scheinen, als könne eine Curve C"* nur dann einen Mittelpunct 3K haben,
wenn ihr Gradexponent m eine gerade Zahl ist, etwa 7w = 2jjl, weil nur
dann in jeder Transversalen S zu beiden Seiten von 5W gleichviel Schnitte
liegen können, was dagegen, wenn m ungerade, w = 2v — 1, nicht möglich
ist. Indessen wird dieser scheinbare Einwand dadurch beseitigt, dass im
letzteren Falle ein einzelner Schnittpunct im Mittelpuncte 3K selbst liegt,
somit ein Zweig der Curve C^*"-^ durch ihren Mittelpunct selbst geht,
wobei alsdann auf jeder Seite von diesem noch v — 1 Schnitte liegen, die

r>(i4

L'cb^r iilgeluaisclip C

i Uitlelpunct bähen, iind

sich paarweise als Gegenpuncte entsprechen; jener besondere Ponct aber
mnas nothwendig ein Wendepunct der Cuire C''~' sein.

In besonderen Fällen kann die Curve C™ auch öfter durch ihren eige-
nen Mittelpunct 3R gehen, und zwar verhalt es sich damit, wie folgt Ist
m ^ 2\t; so können insbesondere gleichzeitig 2 oder 4 oder 6 etc. Zweige
der Curve C^'' durch 3)} gehen, d. h. sie kann ihren Mittelpunct 3R zugleich
zum vielfachen Puncto haben, jedoch nur zum 2, 4, 6, . . . 2(i* — l)faGhen.
und ist m ^ 2v — 1, so musa nothwendig ein Zweig der Curve C"~* durch
ihren Mittelpunct üff gehen, aber es können insbesondere auch 3, 5, 7, . . .
Zweige durch denselben gehen, wo er dann ein ebenso vielfacher Ponct
von ihr ist. In beiden Fällen sind die Tangenten im Mittelpuncte 3B
höherer Art, nämlich sie sind zugleich Wendetangenten der respectiven
Zweige und haben somit, wenn ;e Zweige durch 3R gehen, daselbst a:-\-2
Puncte mit der Curve gemein, was als .eine («+2)punctige Berührung
anzusehen ist.

Zur Bestimmung solcher Curven C™, welche Mitt«lpuncte haben, durch
gegebene Puncte kann entweder 1) der Mittolpunct 39t selbst gegeben
werden und nebstdem noch eine genügende Anzahl anderer Puucte p, durch
welche die Curve gehen soll; oder es können 2) bloss solche beliebige Puncte
p, durch welche die Curve gehen soll, gegeben und dazu verlangt werden,
dass dieselbe einen Mittelpunct 3R haben müsse, dessen Lage dann durch
jene Puncte erst bedingt wird. Bei dieser Bestimmung, sowie schon vorhin
(§ 1) und auch in der Folge macht sich der Umstand geltend, ob der
Gradexponcnt m eine gerade oder eine ungerade Zahl, also ob a) m=2|*,
oder ß) m^2v — 1 ist; denn danach scheiden sich die Sätze folgender-

über darauf bezügliche Eigenschaften allgemeiner Curven. 505

Da im Allgemeinen eine Curve w**° Grades durch

T) im(m+^)
Puncte p bestimmt wird, so sieht man, wieviele bestimmende Puncte y>.
durch den gegebenen Mittelpunct vertreten werden, nämlich
„Der Mittelpunct SW vertritt

a") bei C»-": li.(li.-l-l) = iw(7w4-2),

ß«) bei C^-'-i: v' = i[m(m+2)+l]

bestimmende Puncte p.^

Aber der gegebene Mittelpunct bedingt noch mehr; denn mit ihm
sind auch zugleich alle Gegenpuncte p^ zu den gegebenen Puncten p be-
stimmt oder als gegeben anzusehen, durch welche die Curve noth wendig
ebenfalls geht, so dass also zusammen beziehlich (a und ß)

^m(w-|-4) und i[m(7n-h^) — 1]
Puncte p und p^ gegeben sind, somit mehr, als die Bestimmung der Curve
im Allgemeinen erheischt oder zulässt (7), und zwar sind

für C»i": [j. = iw,

für C^y-h V— 1 = i(w— 1)

Puncte mehr gegeben, ohne dass dadurch die Curve überbestimmt wird.
Den obigen Satz kann man danach auch so aussprechen:

„Sind fi(p.+2)(=i^(m-4-4)) oder v(vH-l)— l(=i[w(??i-f-4)— 1])
beliebige begrenzte Gerade oder Sehnen j^p, gegeben, die alle
durch denselben Punct 5K gehälflet werden, so liegen ihre

Werden die zwei Zahlformen von m unterschieden, so hat man folgende zwei Glei-
chungen:

I. D^fi + D^f^^ + D^M-* -\ [-D^ + iy> rs 0; für C»/«,

n. Z)2r-i4.i>a»'-8+Z)2i'-5 4....4,/>J + i)i = 0; für C^^-K

Jenachdem also der Gradexponent gerad oder ungerad ist, enthält die Mittel-
puncts-Gleichun9»der Curve C"* auch nur die Glieder von gerader oder ungerader
Dimension, indem alle übrigen gleich 0 sein müssen. In (I.) bezeichnet D^ das con-
staute Glied. Dass die Curve C^y— 1 nothwendig durch ihren eigenen Mittelpunct geht,
ist aus (IL) ersichtlich. *

Da jede Dimension ein Glied mehr umfasst, als ihr Exponent anzeigt, z. B. da
2>« die a + 1 Glieder

abgesehen von den Coefficienten, umfasst, so ist die Zahl aller Glieder in den beiden
Gleichungen

in a.): =(Ht+l)' = l(m + 2)>,

in (n.): =v(v+I) = |(iii+l)(iii+3).

Daraus ist zu entnehmen , durch wieviele gegebene Puncte p eine Curve C^ bestimmt
wird, wenn sie durch dieselben gehen und einen anderen gegebenen Punct 9R zum
Mittelpunct haben soll.

506 lieber algebraische Ctirveu, welche einen Uittelpmict habes, and

2ii.(tii+2) oder 2v(v+l) — 2 Endpuncte p und p, allemal in einer
durch BIO bestimmten Curve C^f oder C''"— ', welche den Puoct
an zum Mittelpunot hat."

§3-

Lässt man von den genannten Sehnen pp, eine weg, 60 ist die Corve
durch die Endpuncte der übrigen nicht mehr bestimmt, aber durch jeden
Punct p", den man frei annimmt, und durch den sie gehen soll, vird de
bestimmt (weil dann nebst 3R wieder ebenso viele p gegeben sind, wie
vorhin), bo dasa also unendlich viele Curven O durch diese äbrigen End-
puncte möglich sind, die 3)1 zum Mittelpunct haben. Aber alle diese
Curven schneiden einander ausser den Endpuncten der Sehnen noch id
anderen bestimmten Puncten q und q,, deren Zahl beziehlich 2((t — 1)'
und 2(v — l)(v — 2)-l-l ist, so dasa sie einen Curvenbüscbel B^C^} mit
m' Gnindpmicten bilden (vgl. die vorhergehende Abhandlung). Sie neooi
Puncte sind ebenso paarweise die Endpuucte von Sehnen g;,, welche ihre
Mitten in 2R haben; und im zweiten Falle, wo «t^2v — J, liegt der un-
gerade oder einzelne Punct, etwa q^, in 3R selbst. Also:

„Sind [i((i.4-2) — 1 oder v(v-i-l) — 2 beliebige Sehnen pji, ge-
geben, die alle durch denselben Punct ^R gehälftet werden, so
gehen durch ihre Endpuncto die Curven eines Büschels B^Of)
oder ß(C*'~'), welche alle den Punct 3)1 ziim Mittelpun-ct haben,
und deren übrige 2(ji — 1)* oder 2(i'— l)(i' — 2)+l gemeinschaft-
liche Schnittpuncte (q und 9,) ebenfalls paarweise die End-
puncte solcher Sehnen qq^ sind, die ihre Mitten in 3R haben.
Im zweiten Falle liegt der einzelne Punct jg im MittelpancteSt
selbst, so dass alle Curven des Büschels SCC'"') durch ihren
gemeinsamen Mittelpunct gehen, der zugleich ein Wendepunct

über darauf bezügliche Eigenschaften allgemeiner Giirven. 507

Zum Behuf späterer Betrachtungen mag hier bemerkt werden, dass
eine Curve 6^, welche einen Mittelpunct hat, auch in solcher speciellen
Form erscheinen kann, wo sie aus verschiedenen Theilen besteht. So kann
z. B. der Kegelschnitt C

1) Durch zwei sich schneidende Gerade -4 und JB vertreten
werden, deren Schnittpunct als Mittelpunct SR anzusehen
ist; oder

2) Durch zwei parallele Gerade, A:^By wo dann der Mittel-
punct unbestimmt bleibt, nämlich jeder Punkt sein kann,
welcher von^ und J5 gleich weit absteht, also eine dritte Gerade
C zum Ort hat, die mit A und B parallel und in der Mitte
zwischen ihnen liegt.

Gleicherweise kann eine Curve C, welche einen Mittelpunct haben
soll, insbesondere durch folgende Elemente vertreten werden.

1) Durch einen Kegelschnitt C und irgend eine durch
seinen Mittelpunct gehende Gerade C\ wobei der Mittelpunct
2R von C auch zugleich als Mittelpunct von C(=C-|-C*) an-
zusehen ist. (Dies gilt also auch, wenn C^ eine Parabel und C^ irgend
ein Durchmesser derselben ist.)

2) Durch drei Gerade und zwar a) durch drei sich in einem
Punct schneidende Gerade, wo dann dieser Punct selbst der
Mittelpunct ist (hierin sind auch die zwei besonderen Zustände inbe-
grififen, wo die drei Geraden parallel, oder zwei parallel und die dritte im
Unendlichen); oder b) durch zwei parallele und eine sie schnei-
dende Gerade, wobei die Mitte des von jenen beiden auf der
letzteren begrenzten Stückes der Mittelpunct ist; oder endlich
c) durch drei parallele Gerade, wenn die eine gleich weit von
den beiden anderen absteht, wobei dann jeder Punct in der
mittleren Geraden als Mittelpunct anzusehen ist.

Analogerweise kann die Curve C* in Theile zerfallen; u. s. w.

§5.

Die obige zweite Frage (§2) verlangt zu wissen: „Wieviele be-
liebige Puncto j? dürfen höchstens gegeben werden, wenn durch
dieselben eine Curve O" gehen soll, welche einen Mittelpunct
hat, der aber nicht gegeben ist."

Man überzeugt sich leicht, dass unter dieser Bedingung nur zwei
Puncto p mehr gegeben werden dürfen, als im obigen Falle (§ 2), wo der
Mittelpunct 901 selbst mit gegeben war. Denn sobald nur ein Punct,

.VW

IJeher ulji!«<iiainclie <

1 Hittelpunct haben, und

(ttwa q, mehr gegeben, xo kann 3R schon nicht mehr beliebig liegen,
Hondern muss «ich auf eineo Ort beschränkeD, der irgend eine Corve ^
Noin wird; und wenn man statt q einen anderen beliebigen Pnnct raU
-gegeben annimmt, so wird der Mittelpunct 3R der Curve O einen anderen
Ort, etwa 3Rf, haben; und soll nun eine. Curve O" durch beide Functo
q und r gehen, so kann ihr Mittelpunct ^ nur in einem den OrtBCorreii
3R'' und ^\ gomoinsamen Puncte liegen. Da diese Ortscorven sich aber
in mohroron Puncten schneiden, so wird die Curve C" nicht absolut b»-
stimmt sein, sondern die gestellten Bedingungen werden mehrere Lösungen
gestatten. Also:

„Soll eine Curve O"- einen .Mittelpunct haben, so ist sie
a) als Ol' durch ^(^+2)-(-2 = i[mCwH-4)+8],
ß) als 6'*-'durchv(v-|-l)+l=i[»»(»H-4)-|-7J
beliebig gegebene Puncte p bestimmt, jedoch nicht absolut be-
stimmt, sondern es finden im Allgemeinen mehrere Lösnngen
statt."

Wie es sich damit nühor verhält, ist aas den nachfolgenden zwu
einfachsten Beispielen zu ersehen.

Erstes Beispiel. Soll ein Kegelschnitt C* durch 4 gegebene Puncto
%p und q gehen, so ist der Ort seines Mittelpunctes ^ ein bestimmt«
anderer Kegelschnitt W; und soll C* durch die 3j) und einen anderen
gegebenen Punct r gehen, so ist der Ort seines Mittelpuuctes ein neuer
Kegelschnitt 3R|. Nun schneiden sich die beiden Oerter 3R' und 3S* xwu
in 4 Puncten, aber vou diesen 4 Puncten besitzt nur einer die Eigenschaft,
dass er der Mittelpunct W eines Kegelschnittes C* ist, welcher durch dis
5 Puncte 3p, q und r geht; die drei übrigen haben diese E^enschaft nicht,
donu BIO sind diu Mitten der Seiten desjenigen Dreiecks, dessen Ecken

über darauf bezügliche Eigenschaften allgemeiner Curven. 509

ist nun die Lage von 3K nicht gegeben, aber dagegen noch ein sechster
jPonct q^ durch welchen C^ gehen soll, so findet folgender Satz statt:

„Soll eine Curve dritten Grades, C", durch gegebene
6 Puncto bp und q gehen und einen Mittelpunct 3Jl haben, so
i^t der Ort des letzteren eine Curve fünften Grades, 5W*."

Von dieser Ortscurve 351^ sind nachstehende 57 Puncto theils unmittel-
bar gegeben, theils leicht zu construiren, indem sie die Mittelpuncte spe-
cieller Curven C^ sind. Nämlich die Curve 3K* geht

1) Durch die gegebenen 6 Puncto selbst; denn jeden derselben
kann man als 9R annehmen und verlangen, die Curve C soll durch die
5 übrigen gehen (§ 2).

2) Durch die Mitten jjl der 15 Geraden G, welche die ge-
gebenen 6*Puncte paarweise verbinden; denn man kann die Mitte
fjL einer solchen Geraden G als 3K annehmen und verlangen, die C soll
durch den einen Endpunct von G und durch die 4 übrigen gegebenen Puncto
gehen; so geht sie auch zugleich durch den anderen Endpunct von G,

3) Durch die Mittelpuncte m der 6 Kegelschnitte C, welche
einzeln durch je 5 der gegebenen 6 Puncto gehen. Denn ein
solcher C* und sein durch den sechsten Punct gehender Durchmesser sind
zusammen eine specielle C, welche mit C den Mittelpunct gemein hat (§ 4).

4) Durch die Mittelpuncte w, der 30 Kegelschnitte CJ, wo-
von jeder einzeln durch 4 der gegebenen 6 Puncto geht und
seinen Mittelpunct in der die 2 übrigen vorbindenden Ge-
raden G hat. Denn ein solcher C\ und die zugehörige G sind zusammen
eine C, welche durch alle 6 Puncto geht und mit C\ denselben Mittel-
punct hat. In jeder Geraden G liegen 2 Mittelpuncte m^.

Dies sind zusammen 57 Puncto: 1) bp-^q; 2) löfi; 3) &m; und
4) 30i»,.

In jeder der 15 Geraden G kennt man demnach alle ihre 5 Schnitte
mit der Curve SB?', nämlich ihre zwei Endpuncte (2p, oder p und y), ihre
Mitte (1 und die in ihr liegenden 2m^.

um die Bestimmung der 30 Mittelpuncte m^ deutlicher zu machen,
bezeichne man die 5p durch a, 6, (?, d, e. Je 4 der gegebenen 6 Puncto,
etwa a, b, c und d^ bestimmen 6&, deren Mitten, 6p., in einem Kegel-
schnitte 5JW' liegen, welcher der Ort der Mittelpuncte aller durch a, b, c
und d gehenden Kegelschnitte (C^) ist (§ 6), und welcher somit die durch
e und q gehende G in den genannten 2m^ schneidet; femer geht 3Jl' auch
durch die Mittelpuncte, 2w, der beiden Kegelschnitte C, welche bezieh-
lich durch die 5 Puncto abcde und abcdq bestimmt werden (3); folglich
kennt man auch alle Schnitte des Kegelschnittes 3R' mit der Curve ^^
nämlich die genannten 6p., 2m^ und 2m, zusammen =c 10 Schnitte. Es
giebt im Ganzen 15 solche Kegelschnitte 3ß^

510 Veber algebraische Curren, welche eihen Hitteipuuct haben, and

IL Dnrch das Vorstehende (I.) lässt sich' nimmehr auch leicht ent-
scheiden, wieviele Curven C, welche Mittelpuncte haben, dorch 7 gege-
bene Puucte Öp, q und r gehen. Denn soll die C* nur dorch die 6 Poncte
5p und r gehen, so ist gleicherweise, wie vorhin (I.), der Ort ihres Mittel-
punctes 3R eine neue Curve IDI* ; und soll also C* durch alle 7 Puncte
zumal gehen, so rnuss ihr Mittelpunct in beiden Ortscnrven 3X* und 9S|
zugleich liegen, d. h. er muss einer ihrer gegenseitigen Schnitte sein.
Nun ist die Zahl dieser Schnitte gleich 25; allein nach der obigen Äusem-
andersetzung befinden sich darunter 16 solche, welche der Forderung nicht
genügen können, weil sie von den bp allein abhängen, nämlich dieflelben
sind 1) die 5p selbst, 2) lOfi, d. h. die Mitten der durch die 5p be-
stimmten 10 Geraden G, und 3) ein m, der Mittelpunct des dorch die
bp gehenden Kegelschnittes C*; denn durch diese 16 Puncte gehen beide
Ortscurven; daher bleiben für die Tiage des Mittelpunctes 3R der Corre C
nur 9 Schnittpuncte übrig. Dies begründet den folgenden Satz:

„Durch 7 gegebene Puncte in einer Ebene gehen im All-
gemeinen nur 9 solche Curven dritten Grades, welche Mittel-
puncte haben."

Daraus schltesst man: a) Dass unter den unendlich vielen
Curven dritten Grades A', welche durch beliebig- gegebene

8 Puncte gehen, und somit einen Curveobüschel B (A*) mit

9 gemeinschaftlichen Puncten bilden, sich im AllgemeineD
keine befindet, welche einen Mittelpunct hat. b) Hat aber
insbesondere eine der Curven einen Mittelpunct, so braucht
deshalb von den übrigen keine einen Mittelpunct zu haben.
c) Befinden sich insbesondere zwei darunter, welche Mittel-
puncte haben, aber nicht concentrisch sind, so kann von den
übrigen keine einen Mittelpunct haben, d. h. „durch die
Schnittpuncte zweier Curven A*, welche Mittelpuncte haben.

aber darauf bezügliche Eigenschaften allgemeiner Gurven. 511

specielle Fälle möglich, von denen einige liier kurz angedeutet werden
sollen.

I. Wenn die gegebenen 6 Puncte in einem Kegelschnitte
Cl liegen, dessen Mittelpunct Sß^ heissen mag, so vereinigen sich
die dort genannten 6 Kegelschnitte C (§ 7, 1, 3) alle in 6*J und ihre sechs
Mittelpuncte m in 3Ro. Da CJ mit jedem seiner Durchmesser C'J zusammen
eine C* vorstellt, welche durch die 6 Puncte geht und SKq zum Mittel-
punct hat, so folgt, dass 3Rq ein vielfacher Punct der Curve 9R*
sein muss. — Oder, wenn der durch die 5 Puncte a, 6, <?, d, e gehende
Kegelschnitt C den sechsten Punct q zum Mittelpunct hat, so folgt ebenso,
dass dann die Curve 5JW* den Punct q zum Doppelpunct haben
muss.

n. Liegen von den 6 Puncten drei, etwa d, e und q, in
einer Geraden Bj so muss 3R^ in diese Gerade und in eine
Curve 5K* zerfallen, so dass 5IW^ = jB-hSTO*. Denn jeder beliebige
Punct 511 in der Geraden B ist Mittelpunct eines Kegelschnittes 91^ der
durch die 3 Puncte a^ b^ c geht, und der also mit B zusammen eine
Curve C" repräsontirt, welche durch die 6 Puncte geht und ihren Mittel-
punct Sro in 91 hat; so dass folglich B zum Ort der Mittelpuncte 3R ge-
hört. — Die Curve 9R* geht durch folgende leicht angebbaren 39 Puncte.
1) Durch a, b und c; 2) durch die Mitten (i sowohl der 3&, welche die
Puncte a, ä, c unter sich, als der 9ff, welche a, 6, c mit rf, e, q ver-'
binden, also durch 12p.; 3) durch die Mittelpuncte m der 3C^, welche
beziehlich durch die dreimal 5 Puncte abcdey abcäq^ abceq gehen; 4) durch
IB Puncte wij, in welchen die vorgenannten 9ff von den ihnen (wie oben
§ 7, 1.) entsprechenden Kegelschnitten 3R' geschnitten werden; und femer
durch 3 Puncte m,, in welchen die vorgenannten 3ff, d. i. oi, oc, bc be-
ziehlich von 3 Geraden C, , B^^ Ä^ geschnitten werden, die so bestimmt
sind, dass z. B. C^ durch die Mitten p. der 3 Geraden cd, ce und cq geht
und die oi in 79%, trifft. Demnach kennt man die 4 Schnitte von jeder
der 15 Geraden 3ff, 9ff, ^i, B^ und Cj mit der Curve 9R*; ebenso die
8 Schnitte von jedem der 9 Kegelschnitte 9R' mit 9Ä\

in. Liegen die 6 Puncte zu 3 und 3 in zwei Geraden, etwa
a, bj c in A, und d, e, q in JB, so muss die Ortscurve 9R* aus
diesen Geraden und aus einer Curve 3Jl^ bestehen, so dass
51Ä* = ^-|-jB-|-9R'. Die Curve 9Ji' geht durch folgende, leicht construir-
bare 27 Puncte. 1) Durch 9[j., die Mitten der 9ö, welche die Puncte in
A mit denen in B verbinden; 2) durch die 18m^, in welchen die 9G
von den zügehörigen 99ß' geschnitten werden. Somit kennt man die
3 Schnitte jeder der 9G mit SR'. Jene 9(1 liegen auch zu 3 und 3 in
6 Geraden, 3^, und 3j5, , wovon die 3^, mit A und die 3j5, mit B pa-
rallel sind.

512- Ueber algebraische Curven, welche eineD Mittelpunct haben, und

IV. Gehen von den IbG, welche die 6 PuDcte paarweise verbinden,
irgend 36, die zusammen alle 6 Pimcte enthalten, etwa die 3 Geraden
ab, cd imd eq, durch irgend einen Punct N, so vertreten sie eine C*, deren
Mittelpnnct 3H in A'^ liegt (§ 4). Sind insbesondere die 3 Geraden ab,
cd, eq parallel, und liegt cd in der Mitte zwischen den beiden anderen,
so zerfällt 9Ä' in die Gerade cd und in eine Curve 9H', von der 46 Puncte
leicht anzugeben sind, nämlich ausser a, b, e, q noch lOji, 6n» und 2&m^.
Sind zum zweiten Mal drei Gerade parallel und die mittlere gleich weit
von den äusseren entfernt, welche jedoch nur (wenn man sich bei jenen
ersteren ah, cd, eq die Endpuncte a, c, e nach linke und b, d, q nach
rechts denkt) entweder a) die Geraden ac, be, dq o3er ß) <u, cq, bd sein'
können, so müssen nothwendig zum dritten Mal 3 Gerade dieselbe Eigen-
schaft haben, und zwar beziehlich (a) bd, ag, ce oder (ß) bc, be, ce. In
beiden Fällen schneiden sich die 3 mittleren Geraden cd, be, aq oder cd,
cq, be in einem und demselben Puncte N^; abet im Falle (et) sind sie die
Hauptdiagonalen eines Sechsecks abdqeca, welches die 3 Paar SosserNi
Geraden zu Gegenseiten hat, wogegen im Falle (ß) die 3 Geraden des
dritten Systems, bc, be, ce, in eine und dieselbe Gerade, bce, fielen, und
wobei ^ in tf liegt Für beide Figuren besteht 3)1' aus den drei mitt-
leren Geraden cd, be, aq oder cd, cq, he und aus einem Kegelschnitte
^', welcher bei der ersten Figur die Seiten des genannten Sechsecks io
'ihren Mitten berührt und N^ zum Mittelpunct hat; etc. — Die 6 Pnnete
können endlich auch solche specielle Lage haben, dass von den XbQ- sid
lOmal 3är, die zusammen alle 6 Puncte enthalten, in einem Puncte If
trefTen, wobei dann 3R* in 5 Gerade 3Q' zer^lt. Die einfachste Fignr,
diesen Fall darzustellen, ist die, wo etwa a, b, c, d, e die Ecken eines
regelmässigen Fünfecks sind und q der Mittelpunct des demselben niD-
schriebenen Kreises. Die 5 Geraden ISt' sind alsdann qa, ^, gc, qd md
qe; die 10 Puncte N liegen paarweise in ihnen und sind, ^u 5 und b,

über darauf bezuj^licbe Eip^enscbaften allgemeiner Curven. 513

ein Doppelpunct durch dp oder pj,
eine Doppeltangento durch dt oder SE^,
ein Wendepunct durch mp oder tt),
eine Wendetangente durch wt oder 2ß,
ein Rückkehrpunct durch rp oder r,
eine Rückkehrtangente durch rt oder SR,
eine Asymptote durch A, und
die unendlich entfernte Gerade der Ebene durch G^
bezeichnet werden.

L „Hat eine Curve C'" einen Mittelpunct 3R, so gehen ihre
m Asymptoten A^ im Allgemeinen alle durch denselben. Jede
andere durch den Mittelpunct gehende Tangente der Curve ist
nothwendig eine Doppeltangcnte SEj, und ihre zwei Berührungs-
puncte, etwa b und ij, sind Gegenpuncte. Die Zahl der durch 5D?
gehenden 5£, ist gleich ^?w(m — 2), und ihre m(m — 2) Berührungs-
puncte, iundi,, liegen in einer neuen Curve C"*"^, welche eben-
falls einen Mittelpunct, und zwar mit der gegebenen den näm-
lichen Punct 5K zum Mittelpunct hat. Von dieser neuen Curve
gehen also ebenso alle A^ sowie eine ihrem Grad angemessene
Zahl SEj durch den Mittelpunct 5D?, und die Berührungspuncte
der SE, liegen in einer neuen Curve C"*~', welche gleicherweise
denselben Punct 5K zum Mittelpunct hat; u. s. w. Werden die zwei
Zahlformen von m unterschieden, so entstehen auf diese Weise zwei Cur-
venreihen:

a) C^^ (P."-\ C»^-*, ..., 6>, (7;

P) C^»'-!^ c'2''-^ 6-^»'-*, . . ., 6^ 6".

Bei (a) hat die vorletzte Curve, 6'*, noch 4^%^ mit 8 Berührungspunctcn,
durch welche die letzte, C*\ geht; und diese C hat nur noch 2J„ aber
keine St, mehr. Da für C^^-^ die Zahl der durch ihren Mittelpunct ge-
henden Sj gleich 2v(v — 2)-|-|^ ist, so hat das vorletzte Glied bei (ß), C^ nur
:]3^„ was offenbar ihre Wendetangente im Mittelpuncte 5D? bedeutet, und
das letzte Glied C^ ist diese wt selbst. Uebrigens haben alle Curven der
Reihe (ß) diese nämliche C^ zur gemeinschaftlichen tL% so dass dieselben
in ihrem gemeinsamen Mittel- und Wendepunct 301 sich insgesammt drei-
punctig berühren. Auch für die Curve O^^'^ bedeutet der Bruch \ die
Wendetangente im Punct 3R selbst, und die Zahl der eigentlichen Doppel-
tangenten ist gleich 2v(v — 2).

II. Die Tangenten in je zwei Gegenpuncten p und j3, der
Curve C"' sind parallel. Alle ausgezeichneten Elemente der
Curve, als da sind dp, wp^ rp, dt, tat und rt, wofern sie nicht im
Mittelpunct 3R oder im 'Unendlichen, in G^^ liegen, müssen

ttteiner's Werke. II. 33

51 4

L'eber algebrai^clie Curron, welche einen Mittelpnoct haben, und

paarweise vorhanden und zwar Gegenelemente sein. D. h. die
ßm(m — 2)tt] der Curve müssen paarweise Gegenpancte, und die
jedem Paar zugehörigen ^ müssen parallel- sein; die nicht
durch den Mittelpunct 5M gehenden im(m — 2)()»' — 10)21, mösseo
paarweise parallel sein und gleich weit von 9R abstehen,
auch sind die Bernhrungspuncte jedes Paares beziehlicli Ge-
genpuncte; hat die Curve Doppelpuncte, p„ (die weder in H
noch in G^ liegen), so müssen dieselben paarweise vorhanden
und Gegenpuncto sein, auch müssen die zwei Tangeateo in
dem einen p, denen in seinem Gegenpuncte beziehlicfa parallel
sein; ebenso können auch die Rückkehrpnncte T nur paarweise
und zwar als Gegenpuncte auftreten, und die zugehörigen Rnck-
kchrtangentcn müssen parallel sein. Hat dagegen die Curve
einen Doppelpunct, der insbesondere im unendlichen, in G«,,
(oder in W) liegt, so bedingt derselbe nicht gleicherweise
eiuen zweiten, vielmehr bewirkt er umgekehrt sogar noch
eine scheinbare Abweichung von dem obigen Satze (I.). Näm-
lich, liegt ein Doppelpunct in 6«, so erscheinen die beides
Tangenten in demselben als zwei parallele Asymptoten, die,
jenem Satze entgegen, nicht durch den Mittelpunct 3R gehen,
wohl aber gloichweit von 3R abstehen; daher kann O^ selbst
nie Tangente der Curvo in einem Doppelpuncte sein. Und liegt
ferner ein Räckkehrpunct in 6„, so muss die Rückkehrtan-
gentc entweder auf G„ fallen oder durch 2R gehen, wo sie dann
im letzteren Falle als zweifache (oder im weiteren Sinne ah
fünffache) Asymptote anzusehen ist.

III. Zieht man durch den Mittelpunct 2R der Curve C^ irgend eine
unbegrenzte Gerade, einen Durchmesser S, so liegen in ihm ^m Paare Ge-
genpuncte q und q^ oder ^ Sehnen qq^, und die Tangenten in jeden

über darauf bezügliche Eigeu^!ichaften allgemeiner Curven. 515

conjugirte Richtungen i?, und zu jeder Richtung R gehören
}^vi(m — 1) conjugirte Durchmesser Ä oder Sehnen qq^-^*)

Nun liegen ferner die m(ri% — 1) Berührungspuncte jedes Systems pa-
ralleler Tangenten bekanntlich in einer neuen Curve C"*-\ welche die
erste Polare des nach der Richtung der Tangenten im Unendlichen, in
Gooj gedachten Poles P« heisst; und da die Berührungspuncte paarweise
Gegenpuncte oder die Endpuncte von \m(m — 1) Sehnen qq^ sind, so
muss diese Curve ebenfalls den Punct 3R zum Mittelpunct haben. Gleicher-
weise müssen die zweite, dritte, ... (m — 1)'* Polare desselben Poles P«
in Bezug auf die gegebene Curve 6'*", welche nach der Reihe 6'"*-^,
C"*^^, ... C", C^ sind, den nämlichen Punct 3K zum Mittelpunct haben,
wobei die letzte, C\ eine durch 301 gehende Gerade, ein Durchmesser von
jeder der übrigen Polaren, sowie von C^ ist. Also:

„Hat eine Curve C^ einen Mittelpunct 9R, so haben auch
alle successiven Polaren C"*-"\ 6'"'-^ C'""-^ ... C*, C^ jedes un-
endlich entfernten Poles P«, Mittelpuncte, und zwar sind sie
alle mit der Basis C^ concentrisch."

„Wird die Richtung R der Tangenten, auf jede mögliche
Weise geändert,' oder lässt man den Pol P« die Gerade G«
durchlaufen, so haben die zugehörigen ersten Polaren den
Mittelpunct 9R gemein und bilden zudem einen Curvenbüschel
2?(6'*"~^) mit (rn — 1)' Grundpuncten p und j?,,**) welche paar-
weise Gegenpuncte oder Endpuncte von ^(m — 1)' Sehnen ^,
sind (vergl. §3). Die Curven dieses Büschels haben im
Ganzen 3(w — 2)* Doppelpuncte ^)j, welche paarweise einzelnen
Curven C'"^^ angehören und Gegenpuncte sind; nur wenn ein
p, in 3K oder in ©„ Hegt, kann er vereinzelt dastehen. In G«
liegen 2(wi — 2) Doppelpuncte |),, daher ist die Zahl jener
Paare (oder die Zahl der Curven 6'"*"^ welche 2|)j, haben)
gleich ^(w — 2)(3w — 8)." Werden hierbei die zwei Zahlformen von m be-
rücksichtigt, w = 2|i und 7w = 2v — 1, so hat man statt des B(C"''~^)

*) Hierbei entsteht die doppelte Frage:

„Welche Relation findet einerseits zwischen den ^m conjugirten
Richtungen R zu jedem Durchmesser -S, und andererseits zwischen den
\m(m — 1) conjugirten Durcßmessern 5 zu jeder Richtung R statt?"

*♦) Diese (m — 1)' Puncte sind als die erste Polar-Enveloppe der Geraden ö» in
Bezug auf die gegebene Curve (7"* anzusehen (vgl. die vorhergehende Abhandlung).
Die übrigen Polar-Enveloppen , die zweite, dritte, ... (m — 1)*« haben alle den Punct
*W zum Mittelpunct und erscheinen überhaupt in specieller Form ; so z. ß. reducirt sich
die letzte oder (w — 1)^ Polar-Enveloppe, die im allgemeinen Falle eine Curve von der
(wi — l)ten Classe und vom 2(wi — 2)ten Grade ist, hierbei auf den Wossen Mittelpunct
3W, indem nach obiger Angabe die letzte Polare, C\ stets durch 3)i geht.

33*

516

l'eber atvebraiHche Curren, welche e

ICittelpnnct haben, und

folgende zwei:

a) Ji(C^"-') und ß) ß(C'— >).
Bei (a) gehört der MittelpuQCt 3)1 mit 8U den (»* — 1)' Grund-
puQcteD (weil jede C'^f-' durch ihren eigenen Mittelpunct geht); bei
(ß) dagegen gehört gW zu den 3Cm— 2)' = 3(2v— 3)' Doppel-
puncten p,, weil nothwendig eine der Curven, etwa C-,"\
durch 3R gehen und ihn daher zum p^ haben muas (§ 1). Diese
besondere Curvc €^~^ entspricht derjenigen Richtung B,
welche durch die Wendetangente der Basis C" ^ C'"^ im
Puncte 3R gegeben ist. In diesem Falle ist die Anzahl der
Paare Doppelpuncto gleich 2(v— 2)C3v— 4)+i, wo der Bruch \
den in 39t liegenden )>, anzeigt.

Zu den zuletzt angegebenen Eigenschaften gesellen sich in besondereo
Fällen noch andere Umstände, wie an folgenden einfachsten Beispielen lu
sehen ist.

1, Ist die gegebene Curve C" nur eine C, so gehen nach jeder
Richtung R je 6 Tangenten, deren 6 Berühningspuncte in einem mit C*
concentrischen Kegelschnitt 6' liegen und zugleich die Endpuncte dreier
Durchmesser des letzteren sind. Für alle Richtungen R entsteht ein
B(C'^), die alle mit C concentrisch sind, und deren 4 Gmndpuncte ans
zwei Paar Gegenpuncten , etwa p und p^, r und r,, bestehen und somit
die Ecken eines Parallelogramms sind. Die Curven B(C") haben im
Ganzen nur 3 Doppelpuncte p„ aber keine von ihnen kann hier 2fi, haben,
sondern die 3p, gehören drei verschiedenen speciellen C" an, wovon die
eine, C'l, aus den Diagonalen, pp, und rr^, und jede der zwei ajideren,
Ca und Q, aus einem Paar Gegenseiten des Parallelogramms besteht, so
dass jene ihren p, in 3R und jede von diesen ihren p, in Q^ zu li^m
Iiat. Die C'l entspricht der Richtung der Wendetangente der Curve C'
im Puncte 351', und von CZ und Ci entspricht Jede der Richtung der swh

über darauf bezügliche Eigenschaften allpfomciner Curven. 517

§10.

Aus dem Bisherigen ist zu sehen, dass eine höhere Curvo 6*"*, welche
einen Mittelpunct 5D? hat, offenbar in ihrem ganzen Wesen der Art be-
schränkt wird, dass sie durch keine projectivische Umwandlung aus einer
allgemeinen Curve gleichen Grades, etwa 6'^, entstanden sein, noch in
eine solche übergehen kann. Denn wird C"» von irgend einem Puncte P
des Raumes aus auf eine beliebige Ebene projicirt, so behält die neue
Curve 6',"* immerhin die folgende, sie modificirende besondere Eigenschaft,
nämlich (§ 9):

„Dass es in ihrer Ebene einen solchen Punct 9K, giebt,
durch welchen \m{m — 2) ihrer Doppeltangenten %^ gehen,
deren m(m — 1) Berührungspuncte, b und b^ von jeder %^^ in
einer neuen Curve Cj""* liegen; und dass die Berührungs-
puncte der noch übrigen, aus 5D?i an Cf'* gehenden m einfachen
Tangenten in einer Geraden G liegen, welche jede %^ in dem-
jenigen Puncte g schneidet, der mit 5Kj zu ihren beiden Be-
rührungspuncten b und ij harmonisch ist, also g, 6, 9Kj, 6,
vier harmonische Puncte sind; dass ferner jede durch 3K, ge-
zogene Transversale S^ die Curve C^* in \m solchen Puncte-
paaren q und 5, schneidet, wovon jedes Paar zu 9R, und dem
Puncte ^j, in welchem S, jene Gerade G schneidet, harmonisch
sind, also je 4 Puncte g, 9R, , 3,, g^ harmonisch sind, und dass
die beiden Tangenten in jedem Punctepaar q und g, sich auf
G schneiden; und dass weiter, wenn man umgekehrt aus irgend
einem Puncte P in der Geraden G die m{m — 1) Tangenten an
die Curve C* legt, dann deren Berührungspuncte paarweise,
q und 5,, mit äRj in Geraden S^ liegen, wovon jede von G im
vierten harmonischen Punct g^ geschnitten wird, also q, 9Kj,
q^ muSl g^ harmonisch sind, und dass endlich die durch alle
m(m — 1) Berührungspuncte gehende Curve C;"~S d. i. die erste
Polare des Poles P in Bezug auf die Basis 6',*", den Punct 3Ri
und die Gerade G gleicherweise zum harmonischen Pol und
zur harmonischen Geraden hat, wie die Basis selbst, und
dass es sich mit der zweiten, dritten, ... Polaren auch eben-
so verhält."

Auch in Rücksicht der übrigen obigen Sätze geht das eigentlich
Wesentliche der Mittelpuncts- Eigenschaften bei gleicher perspectivischer
Umwandlung nicht verloren, sondern es stellt sich nur in der neuen
Figur in scheinbar allgemeinerer Form dar. So z. B. geht der Satz
in § 3 verbunden mit § 9 durch solche Umwandlung in folgenden
über:

tiiS Ucher aJKebniische Curveii, welche einen Mittelpunet h&ben, und

„Zieht mao durch einen Punct ^,

«) ^(^+2)-l, oder ß) v(_y+l}—i
UDbogrenzte Gerade 'S, nach beliebigen Richtangen, »cboeidet
dieselben durch eine andere willkürliche Gerade G in Puncteo
ff und bestimmt äodann in jeder Geraden S, irgend ein Paar
solche Puncte p und p,, die zu g und 3R, zugeordnete harmo-
nische Puncte sind, so gehen durch alle Puncte p und p, die
Curven eines Büschels B^C^") oder B^C'—'), welche nebstdem

») 2(f-1)-, oder f) 2(,-l)(,-2)+l
andere Puncte g und q, gemein haben, di-e gleichfalls paar-
weise in neuen durch 3H, gehenden Geraden S, liegen, welche
von derselben Geraden G im vierten harmonischen Punct er,
geschnitten werden, so dass q, ^,, q,, g^ harmonisch sind.
Dabei hat jede Curve des Büschels den Punct ^^ und die
Gerade G, in gleichem Sinne wie vorhin, zum harmonischen
Pol und zur harmonischen Geraden. Iiü Falle (ß) gehen alle
Curven 6'*'-* durch den Punct 3B,, und von jeder liegt ein
Wendepunct in ihm. In beiden Fällen haben die Curven (als
S(6''") aufgefasst) im Ganzen 3(m — 1)' Doppelpuncte p,, wovon
2(wi — 1) auf die Gerade G fallen und im Allgemeinon einzeln
ebenso vielen Curven angehören, wogegen die übrigen, lo
i(OT — ])(3ni — 5) Paaren, je derselben Curve angehören, und
jedes Paar in einer neuen, durch 3R, gehenden Geraden S,
liegt, welche gleicherweise von der Geraden G im vierten
harmonischen Punct geschnitten wird. Im Falle (a) hat eine
der Curven 6'*" den Punct 3Hi zum Doppclpunct p,."

Aus der tief eingreifenden Wirkung des Mitt«lpunctes im. vorstehenden
ersten Satze erkennt man, dass ausser der Curve zweiten Grades C" onr

über darauf bezügliche Eigenschaften allgemeiner Curven. 519

müssen die Berührungspuncte der 3 übrigen Tangenten ebenfalls in einer
Geraden H liegen, welche mit SB zusammen die erste Polare des Pimctes
VQ in Bezug auf C] vorstellt. Diese Gerade U hat ferner die Eigenschaft:
„dass sie jede durch .to gezogene Transversale S in dem-
jenigen Puncto h schneidet, der zu den 3 Puncten p, ti), p^^ in
welchem S von der Curvo 67 geschnitten wird, der vierte
(stets dem ti) zugeordnete) harmonische Punct ist? Demgemäss
soll die Gerade H die „Harmonische" des Wendepunctes It) (dessen
halbe Polare sie ist) genannt werden.

Diese Eigenschaft enthält das eigentliche Wesen des Mittelpunctes.
Denn wird die Curve C] auf eine andere Ebene so projicirt, dass die
Harmonische U ins Unendliche geht, d. h. dass ihr in der neuen Ebene
die unendlich entfernte Gerade G« entspricht, so ist die Projection des
Punct^s xo (3K,) der Mittelpunct 3K der neuen Curve C.

Demnach kann die Curve 6',' auf mehrfache Art so projicirt werden,
dass die neue Curve C einen Mittelpunct 5D? erhält, nämlich jeder ID von
jener kann in 3R von dieser übergehen. Und somit ist eine Curve
C, welche einen JJittelpunct 3R hat, nur eine solche, bei
welcher die Harmonische H eines ihrer Wendepuncte im Un-
endlichen liegt, gleich G^ ist.

Hiemach finden bei der beliebigen Curve 6' in Rücksicht jedes
Wendepunctes Xo und der zugehörigen Harmonischen H analoge Sätze statt,
wie oben (§ 9, HI, 1) und (§ 10), z. B.

„Zieht man durch einen Wendepunct in der beliebigen
Curve Cf irgend eine Transversale ä, so schneidet sie die
Curve in zwei solchen Puncten q und q^^ deren zugehörige
Tangenten einander in irgend einem Puncto P auf der Har-
monischen H von xo treffen; auch schneiden die beiden Tan-
genten die Curve in zwei neuen. Puncten r und r, , welche mit
xo in einer neuen Geraden Oj liegen." Und umgekehrt: „Werden
bei einer beliebigen Curve C] aus irgend einem Puncto P in
der Harmonischen II eines ihrer Wendepuncte XO die 6 Tan-
genten an die Curve gezogen, so liegen deren 6 Berührungs-
puncte paarweise, ^ und q^^ in drei durch XO gehenden Geraden
//</,,, und die durch alle 6 Berührungspuncte gehende Polare
6'' hat den Punct in und die Gerade H zu Pol und Polare; und
ferner: die 6 Tangenten schneiden die Curve in neuen 6 Puncten,
welche ebenso paarweise (r und r,) in drei durch in gehenden
Geraden rr^ und zudem alle 6 in einer Curve C] liegen, die
gleichfalls in und // zu Pol und Polaro- hat, und die sich mit
jener Polare 6" in zwei functen berührt. Ist P insbesondere
der gemeinschaftliche Schnittpunct von 3 solchen Harmoni-

52()

Uebei' al)!(>hrai,schc (.

1 MittelpuQct haben, und

sehen H, deren zugehörige äto in einer Geraden liegen, so
müssen die BorübrungspuDcte der aus P an die Curve ge-
legten 6Tangcnten auch dreimal paarweise in drei Geraden
qq^ liegen, welche boziehlich durch die 3tn gehen; ebenso die
6 PuDcte r und r,, in welchen die 6 Tangenten die Carve
schneiden." TJ. s. w.

Von den 9 Wendepuncten to einer beliebigen Curve Cf sind im All-
gemeinen 3 reell und 6 imaginär; ebenso verhält es sich mit den zuge-
hörigen 9 Hannonischen H, sowie auch mit den 9 Wendetangenten SB-
Es ist von Interesse, das gegenseitige Verhalten dieser Elemente in fol-
genden besonderen Fällen näher zu betrachten.

Wenn die Curve C' einen Doppelpunct p, hat, so kann er anter drei
verschiedenen Formen erscheinen, nämlich erstens als Schnitt- zweier
reellen Zweige, so dass ihm zwei reelle Tangenten, etwa O und @, zd-
gehören; zweitens als Rückkehrpunct r, der aus dem vorigen dadurch
entsteht, dass die Schleife der Curve sich bis auf den Punct )), zusammen-
zieht, wobei dann die Tangenten O und @ in die Rückkehrtangente 3)
zusammenfallen; drittens als sogenannter isolirter oder conjugirt«r Punct
TT,, durch den kein reeller Zweig mehr geht und dem daher auch keine
reellen, eigentlichen Tangenten zugehören. Demgemäss ist nun auch du
Verhalten der vorgenannten Elemente verschieden.

I. Hat die Curve 6',* einen p, mit zwei zugehörigen reellen Tan-
genten O und @, so fallen von den 9 Wendepuncten 6 in )),, wovon
4 imaginär und 2, die q und S hcissen mögen, reell sind. Von diesen
zwei reellen Wendepuncten q und <$, in p,, sind jene Tangenten Q und
@ als die zugehörigen Wendetangenten, sowie verwechselt zugleich als
die zugehörigen Harmonischen (H) anzusehen, so dass also die Wende-
tangenten und Harmonischen zu diesen zwei Punctea verwechselt auf ein-
ander fallen. Von den noch übrigen 3 Wendepuncten, die nicht in p, liegen,
ind zwei imauinür. i'iu. und einer reell. tP. Die aus p., durch diene

ül;er darauf bezüi^liche Eigenschaften allgemeiner Ciirven. 521

dabei ein umfassenderer Satz statt, der sich aus anderen Betrachtungen
ergiebt, nämlich:

„Zieht man aus dem Doppelpunct p^ irgend zwei zu Q
und © zugeordnete harmonische Strahlen W^ und H^, welche
die Curve C' in zwei neuen Puncten, etwa tt), und 6,, schneiden
werden, so ist der Ort der diese Puncte verbindenden Geraden
tt),Ä, eine Curve 6", welche insbesondere sowohl die Tangenten
Q und © als auch die vorgenannte Tangente $ (oder tob) be-
rührt."

II. Hat die Curve Cf einen Rückkehrpunct r, so sind 8 Wende-
puncte als in ihm liegend zu denken (zu den 6 vorigen gesellen sich noch
die genannten zwei ivd) ; von denselben sind 6 imaginär und 2 reell, und
zwar haben die letzteren, da sie von den vorigen Puncten q und § her-
kommen, die Rückkehrtangente di sowohl zur gemeinsamen Harmonischen
als zur gemeinsamen Wendetangente (weil Q und @ sich in SR vereinigt
haben), so dass sie also durch diese ihnen zugehörigen Elemente nicht
mehr zu unterscheiden sind, nur etwa noch dadurch, dass man sie als
den verschiedenen Zweigen der Curve angehörend auffasst; in manchem
Betracht sind sie daher nur als ein Punct zu achten. Der neunte und
eigentliche Wendepunct ist der vorige reelle, ti), aber die vorhin aus ihm
an die Curve gehende Tangente $ (=tt)6) fallt hier auch noch auf die
Gerade W (= rto), so dass jetzt alle 3 Tangenten, durch deren Berührungs-
puncte die Harmonische H von tt) geht, in W und ihre drei Berührungs-
puncte in r vereinigt sind, allein wenn nun auch hiedurch die H nicht
mehr bestimmt wird, so folgt doch andererseits aus ihrer harmonischen
Lage, dass sie mit D und @ zugleich in die Rückkehrtangente SR über-
gehen muss. Demnach gehen in diesem Falle die drei reellen Harmo-
nischen nicht allein alle durch den Rückkehrpunct r, sondern sie fallen
alle drei in die Rückkehrtangente SR zusanmicn.

Aus den obigen Sätzen ergeben sich hier folgende specielle Sätze:

^Jede durch den Wendepunct ti) gezogene Gerade S wird
von der Curve Cf und deren Rückkehrtangente SR in 4 harmo-
nischen Puncten geschnitten; d. h. wird S von Cf in den
Puncten g, to, q^ und von SR im Puncte r geschnitten, so sind
immer }, tt), q^^ r vier harmonische Puncte." »Die in den
beiden Puncten q und q^ an die Curve gelegten Tangenten
treffen sich allemal in irgend einem Puncte P auf der Rück-
kehrtangento SR; und umgekehrt: werden aus irgend einem
Puncte P der Rückkehrtangente SR die zwei nicht auf SR fal-
lenden Tangenten an die Curve gelegt, so liegen ihre Be-
rührungspuncte q und 3, s4;ets in einer durch den Wendepunct
XO gehenden Geraden S." Und femer: „Zieht man durch den

T>22 Uebcr algobraische Curvcii, welche einen Uittetponct haben, und

RückkohrpuDct r irgend zwei zu 9t und W zugeordnete h&r-
moDigche Strahlen Q und Q,, so sclineiden diese die Curve in
zwei neuen Puncten 9 und 9,, welche jedesmal mit dem Wende-
puncttDin einerGeradenS liegen." — „Wenn ferner die durch
tD gezogene Transversale S insbesondere der Rückkehrt&n-
geote !R parallel ist, ho stehen die Schnitte q und 9, gleich
weit von m ab; und wenn S mit einer der drei Asymptoten
der Curve parallel ist, so liegt einer der beiden Puncte q
und ^, , erhcissefür einen Äugenblick ^g, in der Mitte zwischen
XO und r; und daher auch umgekehrt: zieht man durch die
Mitte der Geraden W (3= rln) eine Gerade Q,,. parallel zu 91, so
schneidet sie die Curve in 3 Puncten }„, und die aus n> durch
dieselben gezogenen 3 Geraden toq^ »lud den drei Asymptoten
parallel, und die in den Puncten q^ an die Curve gelegten
Tangenten treffen sich mit den respectiven Aeymptoteo aaf
der Rückkehrtangente St."

III. Hat die Curve C' einen isolirten Punct ic,, so sind in dem-
selben 6 imaginürc Wondopuncte zu denken, die übrigen drei Wende-
puncte Vo sind reell und liegen in einer Geraden. Von den aus jedem
dieser drei reellen m an die Curve zu legenden 3 Tangenten fallen, wie
oben (1.), zwei auf die Gerade Wn, = W, so dass ibre beiden Beruhnings-
puncte in it^ liegen; die dritte Tangente heiüse, wie dort, ^ und thrB«-
rührungspunct b, so ist also die Gerade it,A die Harmonische II zu 0.
und folglich geben auch hier die Harmonischen H der 3 reellen Wende-
puncte tD alle drei durch den Doppelpunct n,. Auch findet hierbei ein
analoger Umstand statt, wie bei (j.), nämlicb:

„Die drei Paar Geraden W und i/ (aus dem Doppelpunct
ir, durch die Wendepuncte tt) und durch die Berührungiipuncte
Ä der aus XO gelegten Tangenten // gezogen) sind 3 Paar con-
iibisvstems oder bildet

über darauf bezugliche Eigenschaften allgemeiner Curvou. 523

Soll ZU drei durch einen Punct gehenden, gegebenen Geraden a, 6, c eine
vierte harmonische Gerade bestimmt werden, so sind 3 Lösungen möglich,
indem sowohl abacy als abc^, als a-^bc harmonisch sein können; und werden
sodann die drei neuen Geraden a, ß, 7 als gegeben angesehen, so sind
umgekehrt jene ersteren Geraden a, b, c die ihnen entsprechenden vierten
Harmonischen, so dass also zugleich auch aßa^, aß^Ä, acß^ harmonisch
sind. Dabei ist, wie man sieht, jedes Paar conjugirter Geraden, wie etwa
a und a, sowohl zu b und {?, als auch zu ß und 7 harmonisch. Diese
nämliche Beziehung haben nun auch die 3 Paar Geraden W und H^ wenn
man die SPT als a, i, c und die iU als a, ß, y ansieht. Wenn ins-
besondere zwei Paar conjugirter Geraden unter sich rechtwinklig sind, wenn
etwa (aa) und (6ß) rechte Winkel sind, so ist auch (c^) ein rechter Winkel,
und alsdann bilden je zwei nach der Reihe a-^boLC^a auf einander folgende
Geraden einen Winkel von 30°. Dabei ist das genannte Strahlsystcm ein
rechtwinkliges, so dass jeder Winkel (H^,i/,) ein rechter ist. — Ein
Theil des obigen Satzes ist bereits von Möbius in seiner Abhandlung
^über Linien dritter Ordnung" bewiesen worden; ich bin jedoch nicht
erst dadurch zu dem Satze gelangt.

Soll nun in Rücksicht auf die vorstehenden drei besonderen Fälle
L, U. und lU. die jedesmalige gegebene Curve 6'f durch Projection in
eine solche andere Curve Cl umgewandelt werden, welche einen (reellen)
Mittelpunct 5K hat, so kann C] auf folgende Weise projicirt werden.

A. Bei L auf zwei wesentliche verschiedene Arten, nämlich ent-
weder

a) 80, dass die Harmonische H des reellen Wendepunctes XO in die
Gerade G„ und dadurch It) in 301 übergeht, wobei also auch der Doppel-
punct pj der neuen Curve in G« zu liegen kommt, und daher die Tan-
genten £} und @ in zwei parallele, gleich weit von 9K abstehende Asymp-
toten £}^ und @o übergehen, sowie $ in die dritte, durch 9K selbst
gehende Asymptote ^^ übergeht; oder

ß) so, dass die Tangente £} (oder 6) in G«, und damit ihr Berüh-
rungspunct q in 5D? übergeht, mithin auch 9K in G«> Hegt und 3K« heisson
mag, wobei '@ in die einzige sichtbare Asymptote @o der neuen Curve
übergeht, indem die beiden anderen auf ö« fallen, wobei die 3 Ge-
raden ©^ , W^, , H^ parallel werden, ©^ in der Mitte zwischen den beiden
anderen liegt und daher durch die Mitte der Tangente 11^ = Xojb^ geht.

B. Bei n. kann mir so projicirt werden, dass die Rückkehrtangente
SR in Gga übergeht, aber dadurch gehen der Wendepunct to und der Rück-
kehrpunct r, wofern man die im letzteren vereinten zwei reellen Wende-
puncte q und S nur für einen achtet, zumal in Mittelpuncte der neuen
Curve Cl über, so dass diese also zwei Mittelpuncte hat, wovon der eine,
5R, ihr eigentlicher Wendepunct XO^ , der andere, 9K«> , ilir im Unendlichen

r)24

L'i;l>«r Hl^el •misch« C'urvcD, «flehe eineo Hitlelpimct h&b«n, und

liegender Rückkehrpimct r, ist. Hier hat die Curve C* keine eigeatlicl»
As)iDptotc, sondern alle drei Asymptoten follen aaf G^.

C. Bei m. bann dreifach, aber aaf gleichbedeat«nde Art projiciH
werden, nämlich so, dass je eine der drei Harmonischen S in G^ uud
der ihr zugehörige Wendepunct in in 3R übergeht; dabei kommt aiao dn
Doppelpunct it* der neuen Cur\'e C* jedesmal in G«, zu liegen, and die
dem jedesmaligen to zugehörige Tangente ^ geht in die einzige reelle
nnd eigentliche Asymptote §, der Cune 6'* ober.

Aus diesem Verhalten der besonderen Elemente sind za nachheriger
Benutzung noch folgende zwei Sätze hervonuheben :

1°. „Soll eine Curve C* einen Mittelpnnct und zagleich
anch einen (aber nur einen) Doppelpunct haben, so mnsg der
letztere nothwendig im Unendlichen, auf G^, liegen, dabei
kann er aber, je nach Umständen, entweder f>,, oder r, oder
it, sein."

2". „Hat eine Curve C* einen im Unendlichen liegeoden
Mittelpnnct, SKx, so ist derselbe nothwendig zugleich ein
Doppelpunct und zwar ein Doppelpunct erster Art, p, (I.), oder
insbesondere ein Röckkehrpanct, r (II.)i und so ist die Gerade
Cf^ nothwendig Tangente in demselben (also jQ oder @, oder
insbesondere 3t)."

§ 12.

Die eben betrachteten Eigenschaften besonderer Curven dritten Gndes
gewähren eine Ergänzung der Sätze in § 7, sowie weitere Folgerungen
aus denselben.

Da in Rücksicht derjenigen Schaar Curven dritten Grades, S(C'),
welche durch gegebene 6 Puncte p gehen und Mittelpuncte 3it haben, der
Ort dieser Mittelpuncte eine Curve fünften Grades 3B' ist (§ 7, L), die

über darauf bezügliche Eigenschaften allgemeiner Curven. 525

Die /S(C) haben im Ganzen 77 Üoppelpuncte; jedoch giebt es
bloss die genanten bC^, wovon jede nur einen Doppelpunct
hat, dagegen 36 solche, wovon jede in C'^-hC^ zerfällt und
daher zwei Doppelpuncte hat."

Durch Projection folgt:

„Soll eine beliebige Curve C" durch gegebene 6 Puncto
p gehen und eine gegebene Gerade // zur Harmonischen eines
ihrer Wendepuncto tt) haben, so ist der Ort dieses It) eine
Curve fünften Grades, ÜR*, welche durch die 6p, sowie durch
51 andere, leicht construirbare Puncto geht (§7,1.). Unter
dieser Schaar Curven C* giebt es 36 solche, wovon jede aus
C-f-C* besteht und somit zwei Doppelpuncte hat; hingegen
giebt es nur 5 solche C*, wovon jode bloss einen Doppelpunct
pj (oder r) hat, und zwar liegen diese 5 Doppelpuncte in der
Geraden H, sind ihre Schnitte mit der Ortscurve 5D?^, und in
jedem ist J? Tangente an die zugehörige Curve 6'*.^ Oder man
kann auch sagen: „Sind 6 Puncto p und eine Gerade H gegeben,
so giebt es fünf solche Curven 6'*, welche durch die 6p gehen
und die H zur Tangente in einem Doppelpuncte p^ haben."
Hieraus und aus dem Umstände: „Dass die Curve 6^ bestimmt ist,
wenn sie durch gegebene 6 Puncto p gehen und einen gege-
benen siebenten Punct q zum Doppelpunct, oder wenn sie
durch gegebene 5 Puncto p gehen, einen gegebenen sechsten
Punct q zum Doppelpunct und in diesem eine gegebene Ge-
rade Q zur Tangente haben soll," können weiter folgende Sätze ge-
schlossen werden:

I. „Soll eine Curve C' durch gegebene 6 Puncto p gehen
und einen Doppelpunct f), haben, dessen eine Tangente D
durch einen gegebenen siebenten Punct q geht, so ist der Ort
des Doppelpunctes p^ eine Curve siebenten Grades, G\ welchö
sowohl den Punct q als die 6 Puncto p zu Doppelpuncten hat,
und wobei die eine Tangente jedes Doppelpunctes p auf die
Gerade pq fällt; — und ferner ist der Ort der anderen Tan-
gente @ des Doppelpunctes p^ der Curve C' eine Curve fünf-
undzwanzigster Classe, Ä''^" Von der Curve G^ sind viele andere
specielle Puncto leicht zu construiren. Ferner: „Unter der Schaar
Curven Cl giebt es im Allgemeinen 18 solche, welche statt
des Doppelpunctes p^ einen Rückkehrpunct r haben, dessen
(Rückkehr-) Tangente SR also ebenfalls durch den gegebenen
Punct q geht und die Curve Ä'" berührt (indem Q und ig in
SR vereinigt sind § 11) und zudem auch die Curve G^ im Puncto
r berührt." Und femer:

526 lieber algebrainche Ciirvon, welche oiaen llittelpnnct iiaben, uud

„Soll eine Curve C/ durch gegebene 6 Puncto p gehen
und einen Doppelpunct p, haben, dessen Tangenten Q und S
bcziehlich durch zwei andere gegebene Functe q und ■ gehen,
so finden im Allgemeinen 25 Lösungen statt."

II. „Soll eine Curve C^ durch gegcirene 7 Puocte p gehen
und einen Doppelpunct p, haben, so ixt der Ort dieses Doppel-
punctcs eine Curve sechsten Grades, G*, welche die 7 Pnocte
p 7.U Doppelpuncten hat, und so ist der gemeinsame Ort seiner
beiden Tangenten tH und € eine Curve achtzehnter Classe,
Ä'"." Also:

„Soll eine Curve C' durch gegebene 7 Puncte p gehen und
einen Üoppelpunct p, haben, dessen eine Tangente Q durch
einen achten gegebenen Punct q geht, so finden im Allge-
meinen 18 Lösungen statt."

IIL „Soll eine Curve C' durch gegebene 6 Puncte p gehen
uud einen Rückkehrpunct i haben, so ist derOrt des letstereo
eine Curve sechsten Grades, welche jene 6 Puncte p zu Dop-
pelpuncten hat; und so ist der Ort der Rüchkehrtangente 31
eine Curve achtzehnter Classe." Daher:

„Soll eine Curve Cl durch gegebene 6 Puncte p gehen
und einen Ruckkehrpunct r haben, dessen Tangente dt durch
einen gegebenen siebenten Punct r geht, so giebt es im All-
gemeinen 18 Lösungen." >

Hieran schliesse ich noch folgende Aufgabe.

IV. Wenn beliebige 6 Puncte p gegeben sind, so ist jeder andere
Punct q der Ebene Doppelpunct eincp-durch jene 6 Puncte gehenden be-
stimmten Curve C'. Werden nun die Doppelpuucte nach den zwei Arten
durch p, und tc, unterschieden (§ 11), so kann man fragen; „in welchsn
Thcilen oder Regionen der Ebene der Punct q liegen müsse.

über darauf bezügliche Eigenschaften allgemeiner Curven. 527

solche Sehnen durch denselben Punct P möglich sind, so finden zugleich
unendlich viele statt, und dann ist P der Mittelpunct von C*.

Diese Betrachtung kann auch auf die höheren Curven ausgedehnt
werden. Zieht man durch einen beliebigen Punct P in der Ebene einer
gegebenen Curve.C"* irgend eine Gerade S, so schneidet sie die Curve in
m Puncten; nun kann man verlangen, die Gerade soll so gezogen werden,
dass von den m Schhittpuncten irgend zwei, etwa a und a, , gleichweit
von P abstehen, und zwar auf entgegengesetzten Seiten von P liegen
(nicht in einem Berührungspuncte vereinigt sind). Der Kürze halber soll jede
Gerade S, welche ein solches Paar Schnittpuncte enthält, schlechthin eine
„Sehne" und die Puncto a und a, sollen die Endpuncte der Sehne
heissen; und wenn eine Gerade zugleich zwei Paar solche Schnittpuncte
enthält, etwa a und aj, b und i, , so soll sie „Doppelsehne" genannt
und durch S, bezeichnet werden; solche S^ hat also auch zwei Paar End-
puncte. Gleicherweise können insbesondere auch dreifache, vierfache, etc.
Sehnen vorkommen.

Ueber die Anzahl aller Sehnen S, welche durch denselben Pol P
gehen und über die Lage ihrer Endpuncte a und a, hat man den fol-
genden Satz:

I. „Durch jeden Punct P in der Ebene einer gegebenen
Curve C"* gehen im Allgemeinen ^m(w — 1) Sehnen S, und ihre
m(jn — 1) Endpuncte (a und a,) liegen allemal in einer um einen
Grad niedrigeren Curve J"*~^, welche nothwendigerweise den
Pol P zum Mittelpunct hat."*)

Die genannten Endpuncte machen gerade die volle Zahl Schnittpuncte
beider Curven aus. Findet sich insbesondere, dass durch einen Pol P
mehr als ^(m — 1) Sehnen S gehen, ja sobald nur eine Sehne mehr
durchgeht, so gehen alsdann unendlich viele hindurch, so dass die gege-
bene Curve C^ selbst den Punct P zum Mittelpunct hat.

Beachtet man von allen durch den Punct P gehenden Geraden nur

*) Der Beweis dieses Satzes ergiebt sich unter anderen durch folgende geometrische
Anschauung. Man denke sich die Curve C^ in ihrer Ebene um den festen Pol P um
180^ herumbewegt und bezeichne sie in der neuen Lage durch C}" — oder, was auf
dasselbe hinauskommt, man denke sich zu C^ die ihr in Bezug auf den Punct P sym-
metrisch gleiche C[", so dass C'"-|-C"* als eine Curve C^"* anzusehen sind, welche P
zum Mittelpunct hat, und wobei also jeder Punct p in C"* seinen Gegenpunct pi in C"*
liat und auch umgekehrt, — so haben die Curven C"* und C"* parallele Asymptoten, von
ihren m' gegenseitigen Schnittpuncten liegen somit m in der Geraden G», daher müssen
die übrigen iii(m— 1) Schnitte in einer Curve (m — 1)^" Grades J'"~^ liegen, und zwar
müssen sie paarweise Gegenpuncte in Bezug auf P sein (denn ist a ein Schnitt von
C"* und CJ*, so muss auch sein Gegenpunct «i in beiden Curven zugleich liegen), somit
müssen diese Schnitte die Endpuncte von \m{m — 1) Sehnen aa^ der Curve C" (auch
der Cf*) sein, und folglich muss die Curve ./*""* den Pol P zum Mittelpunct haben.

528 lieber alftebriiische Cutveo, wulche eiuon Hiltelpuuct hkliea, tmd

diejenigen, T, bei welchen von den m SchDitt«D mit der Curvo C" eben-
TalU zwei gloichweit von P abstehen, aber auf derselben Seite von i'
liegen sollen, alao zu einem Beruhrungspunct der Geraden T* vereinigt
Hind, so finden bekanntlich m(ni — 1) solche Tangentea T statt, deren
m(m — 1) BeriihniDgspuncte in einer Curve -i4"^' liegen, .welche die erste
Polare des Pole« P in Bezug auf die gegebene Curve C" heisst (vgl. die
vorhergehende Abhandlung).

Wegen Uobereinstimmung dieser letzten BediDgUDg mit der vorigeo
soll fortan die obige Curve J"^' (wenn auch in anderer Hinsicht nicht
ganz passend) die „innere Polare", hingegen die Curve A"^^ die
„äussere" oder schlechthin nur die erste Polare des Pols P in Betog
auf die Basis C'" genannt werden. Beide Polaren sind also immer von
gleichem Grad. Ausserdem haben sie unter anderen folgende wesentliche
Beziehung zu einander.

II. „Die beiden Polaren ^"-' und y™-' jedes Punctes Pin
Bezug auf dieselbe gegebene Curve 6'" haben m — 1 gegenseitige
SchnittpuDCte im Unendlichen, auf der Geraden G^, daher
müssen ihre Asymptoten paarweise parallel und die zu jedem
Paar gehörigen müssen gleichzeitig reell oder imaginär sein;
und daher müssen ferner die noch übrigen (m — l)(m — 2) Schnitte
beider Polaren in einer Curve vom {m — 2)"" Grad, 6'"^*, liegen."

§14.
In Rücksicht der inneren Polare sind zunächst verschiedene besondere
Umstände zu erörtern, welche zum Theil zu interessanten Resultaten fuhreD.
Nämlich man kann fragen, welchen Einfluss es auf die Polare y*~i habe,
oder wie sie sich gegen die Basis C" verhalte, wenn der Pol ^ in der
letzteren selbst liegt, oder insbesondere ein singulärer Punct derselben itt;

nber darauf bezügliche Kip^euschaften allgemeiner Curvon. 529

1. Wenn der Pol P ein beliebiger Punct der Basis C*" ist;

a) so hat J^f*-^ die Tangente von ß) so hat J^*'-^ im Puncte P einen

C"* im Puncte P zur Wendetangente, Doppelpunct, dp,
wt (§ 9).

2. Wenn P insbesondere ein Wendepunct der Basis C"* ist:

a) so hat fPf*-^ die zugehörige ß) so hat J^»'"^ den P zum dp

Wendetangente mit der Basis ge- mit zwei wt^ wovon die eine auf
mein. die tot der Basis fällt.

3. Wenn P insbesondere ein Doppelpunct der Basis ist:

a) so hat nPf-^ in P einen drei- ß) so hat J^^-^ den P wiederum

fachen vrp mit drei wt^ von wel- zum dp mit zwei wt, welche auf die
chen sie fünfpunctig berührt wird beiden Tangenten der Basis fallen.

(§ !)•

4. Wenn P insbesondere ein Rückkehrpunct der Basis ist:

a) so hat J^t*-^ in P einen drei- ß) so hat J^^-^ in P die rt der
fachen Wendepunct mit drei Wende- Basis zur doppelten rt und doppelten
tangenten, so dass sie von jeder der wt^ nämlich sie berührt daselbst die
letzteren daselbst fünfpimctig be- rt der Basis doppelt, mit zwei Zwei-
rührt wird, wie vorhin (3). gen, und somit auch sich selbst.

Ist die gegebene Basis z. B. nur vom vierten Grad, C*, so besteht die in-
nere Polare J' in den beiden Fällen (3. a) und (4. a) aus drei Geraden, 3«/\ die
durch P gehen, nämlich aus drei Doppelsehnen aa^ oder 6*, , bei denen das
eine Paar Endpuncte aus den in P vereinigten Puncten b und 6, besteht.
Und dabei hat die äussere Polare \4' mit der Basis beziehlich den Doppel-
oder Rückkehrpunct nebst den zugehörigen Tangenten (£) und @ bei 3.,
oder 5R bei 4.) gemein. Vermöge des obigen Satzes (§ 13, IL) folgt:
^Dass die drei Geraden, 3t/\ aus denen die innere Polare be-
steht, oder die durch P gehenden drei Doppelsehnen S^ = aa^
Jbeziehlich den drei Asymptoten, 3-4,, der äusseren Polare A*
parallel seih müssen; und dass umgekehrt, wenn man durch P
mit einer Asymptote von A^ eine Gerade S parallel zieht, diese
von der Basis C* in zwei von P gleich weit abstehenden Puncten
a und ttj geschnitten wird."

5. Wenn endlich P insbesondere ein (w — l)facher Punct
der Bads C"» ist:

„so besteht sowohl die innere als äussere Polare, J^^^
sowohl als ^"»"^ aus den m — 1 Tangenten der Basis im
Puncte P.«

Steiner't Werke. IL' 34

Ucber alKebraisclie Cuvveii, welcbe einen Uitteipnnct haben, und

n. Verhalten der inneren Polaren, '

) die Buis a

I Theilen bertdA.

Die Basis C*" kann auf maonigfache Weise in Theile Kerfallen, d. h.
aus zwei oder mehreren Curven niedrigerer Grade oder selbst nnr ans G^
raden bestehen, wobei dann der obige Satz (§ 13) immerlÜD be«t«lKi
bleibt; was unter anderen zu folgenden epeciellen Sätzen tuhrt.

1. Wenn die Basis C" aus m Geraden O besteht:

„Sind in einer Ebene beliebige m Geraden 6 gegeben, und
zieht man durch irgend einen Pol P zwischen je zwei Geraden
diejenige Sehne S oder aa,, welche von P gehälftet wird, wit
im Ganzen ^i(m — 1) Sehnen aa, giebt, so liegeD ihre m(iii— 1)
EndpoDcte, a und a,, allemal in einer Curve (m — 1)*» Grades,
J"-—^, welche P zum Mittelpunct hat."

2. Wenn die Basis C"" aus zwei Curven C' und C^ besteht,

„Sind in eiDer Ebene irgend zwei Carven C' and Cf ge-
geben, und zieht man durch einen beliebigen Pol /* die 4^(a — 1}
Sehnen aa^ in der Curve C" sowie die ^(ß— 1) Sehnen M, ia
der Curve C^ und forner die a.ß Sehn.en <d> zwischen beidei
Curven, (d. h. solche Gerade oi, die den einen Endpnnct a ii
C, den anderen b in C^ und ihre Mitte ib P haben), so lieget
die EndpuDcte aller dieser Sehnen, was zusammen

«C«— l)+ßCß— l)+2ap = mim—V)
Endpuncte ausmacht, allemal in einer Curve (a+ß — 1)^ oder
(m — ly™ Grades y"--', welche den Poi P zam Mittelpunct hat*

Darin ist der besondere Satz enthalten: „Bass durch jeden PudoI I
P in der Ebene zweier beliebigeu Curven C und C^ im Allge- I

a.ß solche Sehnen ab möglich sind, w

den eioen

über darauf bezügliche Eig:enschafteu aUgemeiner Curven. 531

m. Lage oder Ort des Poles P, wenn .die innere Polare in Theile zerfallen soll.

Dieser Fall führt schon auf complicirte Untersuchungen, wenn die
gegebene Basis nur von niedrigem Grade, nur vom dritten oder vierten
Grad ist, wie aus nachstehenden Betrachtungen erhellen wird.

§ 15.

I. Ist die gegebene Basis nur vom dritten Grad, C\ also die innere
Polare jedes Polgs P ein Kegelschnitt «/', so kann dieser möglicherweise
nur in zwei Geraden zerfallen, und es ist die Frage ^ ob dieses Zerfallen
wirklich stattfinden könne, und wo dabei der Pol P liegen müsse, oder
welchen Ort er habe? In der That stellt sich heraus, dass dieses Zer-
fallen auf zwei verschiedene Arten geschehen kann, und demgemäss auch
zwei verschiedene Oert^r vorhanden sind, und zwar, wie folgt:

„Der Ort des Poles, dessen innere Polare «/' in zwei Gerade
zerfällt, besteht aus zwei getrennten Curven, nämlich:

A. aus der gegebenen Basis C" selbst, und

B. aus einer bestimmten Cus^ve zweiten Grades, E*j welche
die zweite Polare der Geraden 6« in Bezug auf die Basis C^ ist
(vgl. die vorhergehende Abhandlung), oder welche die Enve-
loppe aller Durchmesser von C" ist." — Nämlich schneidet man
die Curve C^ mit einer beliebigen Transversale S) und bestimmt zu den
drei Schnitten den Schwerpunct d, so liegen alle Schwerpuncte d von je
einem System paralleler Transversalen S) in einer Geraden D, welche
Durchmesser* der Curve C" heisst, und wobei die Richtung der Trans-
versalen die „conjugirte Richtung" des Durchmessers genannt werden
soll. Alle Durchmesser D der Curve C*, wozu insbesondere auch ihre
Asymptoten Ag gehören, berühren nun den genannten Kegelschnitt E^.
Sind die SAg alle reell, so ist E^ diejenige dem Asymptotendreieck ein-
geschriebene Ellipse, welche dessen Seiten in ihren Mitten berührt; und
schneiden sich insbesondere die 3Ag in einem Puncto, so reducirt sich E^
auf diesen Punct, so .dass alle Durchmesser durch denselben gehen. Ist
dagegen nur eine A, reell, so ist E^ im Allgemeinen eine Hyperbel, welche
diese Ag in einem leicht zu construirenden Puncto berührt.

Ueber die beiden Oerter (A.) und (B.) sind die näheren Umstände
folgende.

n. 1. Liegt der Pol P in der Basis C selbst (J.), so fallt von den
ihm zugehörigen drei Sehnen S oder aa^, bb^y cc^ die eine, etwa cc^^ auf
die ihm zugehörige Tangente, wobei ihre Endpuncte c und c, sich mit P
vereinigen, daher als in den beiden anderen Sehnen liegend anzusehen

34*

532

l'cbur algebraisclie Curven, welche eineu UittelpuDct haben, und

sind, etwa c in oa, nud c, io' M, , so dass also der Eegelsclmitt >/' in
die beiden Sehnen aea, und bc^b^ übergeht, die wir zur Üoterscheidnog
durch S, oder auch nach Umständen durch S und 5, bezeichneD wollen.
Demnach entsprechen jedem in der Basis liegeDden Pol P nur
zwei eigentliche Sehnen S,, die dritte fällt auf die Tangente,
wird unendlich klein, reducirt sich auf ihren Berährnagspnnct
P. Denkt man sich nun zu demselben Pol zugleich auch die äussere
Polare A\ so folgt (§ 13, 11.);

„Für' jeden in der Basis C liegenden Pol sind die ihm
entsprechenden zwei Sehnen S und S, den Asymptoten seiner
äusseren Polare A' parallel." „Daher sind beide Sehnen reell
oder imaginär, je nachdem die Polare A* Hyperbel oder El-
lipse ist, und auch umgekehrt; und wenn insbesondere A* Pa-
rabel ist, so fallen die Sehnen S und S, aufeinander, und attcli
umgekehrt." Es giebt im Ganzen nur 6 solche besondere Pole
P, die P^ heissen sollen, für welche die lehnen jS and 5, in
eine, ab oder S^, zusammenfallen, und womit zugleich die
Polaro A' Parabel wird, und zwar sind die 6 Pole P^ die gegen-
seitigen Schnitte der Curven C* und £*.*) Jede der 6 Sehnen
iS, hat die Eigenschaft, dass die in ihren Endpuncten a, h an
die Basis C gelegten Tangenten A^ B parallel sind. Liegt
ilor Pol P insbesondorc in einem Weudepunct to der Basii,
so füllt eine der beiden Sehnen S und S^, etwa S, auf die Wen-
dotangente SB, und alsdann besteht auch A* aus zwei Geraden,
nämlich aus SB und der Harmonischen H von xa (§ 11), und et
ist iS,=t^7/, d. h., in diesem Falle besteht jede der beiden Po-
laren ./* und A* aus zwei Geraden, wovon zwei auf SB fallen
und die beiden anderen, 'S, und M, parallel sind.

Die Sehnenpaare <S und 8, sind insgesammt dem folgenden Gemti

über darauf bezugliche Eigenschaften allgemeiner Curven. 53B

wenn der Pol P in der Basis C selbst liegt, oder was auf das-
selbe hinauskommt^ alle solche Sehnen aca^^ deren Mitten^ c,
in der Basis selbst liegen, berühren eine bestimmte Curve
sechster Classe, SJ, und achtzehnten Grades, ö*^"

Ueber das Verhalten dieser Curve gegen die Basis und über andere
Eigenschaften derselben mag hier noch Folgendes hinzugefügt werden:

2. »Die Curve SJ berührt die Basis C in ihren 9 Wende-
puncten tt), sowie in ihren 3 unendlich entfernten Puncten «<»,
80 dass sie also die 3 Asymptoten A, mit ihr gemein hat; aber
die S\ berührt jede dieser 3^« auch noch in einem bestimmten
anderen Puncto, so dass sie dieselben zu Doppeltangenten hat.
Da die Basis ebenfalls von der sechsten Classe ist, C* = K\ so
bestehen die 36 gemeinschaftlichen Tangenten beider Curven
bloss aus den 9 Wendetangenten SB und den 3 Asymptoten der
fV indem jede dieser 12 Geraden für 3 gemeinschaftliche. Tan-
genten zu zählen ist.^

3. „Die Curve SJ berührt'die oben genannten 6 besonderen
Sehnen S^ in ihren Mitten P^ und Schneidet somit daselbst die
Basis C. Von den 3.18 = 54 gemeinschaftlichen Puncten beider
Curven kennen wir also bereits 30, nämlich die 9tt) und ia^,
jeden doppelt gezählt, und die ßP^; die 24 übrigen haben die
Eigenschaft, dass sie die einen Endpuncte a, solcher beson-
deren Sehnen aca^ sind, die ©^ heissen mögen, bei welchen die
im anderen Endpuncte a und in der Mitte c an die Basis ge-
legten Tangenten A und C parallel sind, und welche die Curve
SJ in den Puncten a^ selbst berühren. Durch die 24 Puncto a^
können Curven achten Grades gehen.^

4. „Die 12 gemeinschaftlichen Tangenten der Curven S^
und E^ bestehen: 1) aus den 3^« der Basis^ jede doppelt ge-
zählt, und 2) aus 6 solchen Sehnen iSj, welche zugleich Durch-
messer der Basis sind; die 6 Mitten c dieser 6 Sehnen liegen
in irgend einem Kegelschnitte C^"

5. „Die Curve SJ hat ferner die Gerade ö« zur dreifachen
Tangente, berührt sie in 3 Puncten g^. Diese 3 Puncto sind
dadurch bestimmt, dass sie zu den drei. Puncten a« (2-) die
vierten harmonischen Puncto sind; d.h., wenn man durch irgend
einen Punct drei Gerade -4, B, C den 3-4, der C^ parallel zieht
und zu denselben die 3 vierten harmonischen Strahlen A^, Pj,
C, bestimmt, so dass ABA^C\ ABCB^, AC^BC harmonisch sind,
oder auch so, wenn man in dem Asymptoten-Dreieck 3Ag aus
den Ecken durch die Mitten der Gegenseiten die 3 Strahlen A^y
B^y C, zieht, so sind diese Strahlen nach jenen unendlich ent-

534

l'elrer algehmische Cnrven, welche e

UittelpuDct haben, und

fernten Berährungspuncten g^ gerichtet." (Die auf diese WeiM «m-
stniirten 3 Strahlen sind dann auch beztehlich den Axen der 3 asympto-
tischen Parabeln parallel, welche die Curve S\ in den 3 Poncten g^ fönt
punctig beriihren.) Da die Curve <S* vom achtzehnten Grad ist, so mo»
sie mit der Geraden G^ ausser den bereits angegebeneo 9 Poncten (den
3^„, doppelt gezählt, und den 3a„) noch 9 andere Poncte, d. , gemein
haben. Diese Puncte d^ sind dadurch bestimmt, dass die xoge-
hörigen Tangenten oder Asymptoten, S)^, der Cnrve durch die-
jenigen Puncte, (f„, der Basis C* gehen, in welchen letztere von
einzelnen ihrer Durchmesser, D^, berührt wird, and dass die-
selben die diesen Darchmeesem conjugirte Ricbtang haben (L).
Dass es 9 solche Durehmesser D^ giebt, erhellt daraus, dass sie gemein-
schaftliche Tangenten der Curven C* und E* sind, welche 12 gemein-
schsftliche Tangenten haben, aber wovon drei die Asymptoten A, der C
sind. Die 9 Asjmpt^iten S),, sind zugleich solche eigenthömliche Sehiiea
. ot/o«, {j= S,\ bei welchen die in den Endpuncten a, a, und in derllitte
4, an die Basis C gelegten drei Tangenten A, A^ und D^ sich in i^end
einem Puncte Q treffen. Also: „In einer Curve dritten Grades C*
giebt es im Allgemeinen 9 solche Transversalen £,, bei welchen
von den drei Schnitten der eine, d^, in der Mitte zwischen den
beiden anderen, a und a,, liegt, und wobei die zugehörigen drei
Tangenten in irgend einem Puncte Q zusammentreffen, und wo
zudem die Tangente D^ im mittelsten Schuittpnncte d, »•
gleich ein Durchmesser der Curve ist." — Die Begehungen, welche
die Curve S\ rücksichtlich der 9 Geraden S, und der 9 Puncte Q n
anderen, mit der Basis C* innig zusammenhängenden Curven hat, werdeo
hier übergangen und sollen bei einer anderen Gelegenheit näher in B^
tracht kommen.

6. „Durch jeden beliebigen Punct 'Q gehen im Allgemeinen

nber darauf bezugliche Eigeuschaften allgemeiner Curven. 535

genten A, A^ und C; ihre Schnitte AA^, AC, CA^ mögen beziehlich p,
q, 9, heissen. In A und A^ nehme man die Puncte p und p^ so, dass
q und 9j die Mitten der Strecken pp und pp^ sind; ziehe sodann die
Geraden ap^ und ajp, nenne ihren Schnitt r^ so geht die Gerade pr durch
den gesuchten Berührungspunct 8 der Sehne aa^, — Hierzu noch die Be-
merkung. Die durch die Puncte p und p^ gezogene Gerade C\ , — die
mit C parallel und mit ihr auf gleicher Seite von p liegt, aber doppelt
so weit von p absteht, — schneidet die Sehne aa, in demjenigen Puncte
«j, welcher mit 8 zu a und a, harmonisch ist, d. h. a8a^8^ sind harmo-
nisch. Geht C insbesondere durch p, so fallt also Cj auf C\ s, in c, und
8 entfernt sich ins Unendliche.

8. Aus (2.) folgt unter anderen der nachstehende Satz:
„Denkt man sich in derselben Ebene zwei ähnliche Curven
dritten Grades, C* und Cf, deren homologe Dimensionen sich
verhalten, wie 2:1, hält die eine, etwa C, in ihrer Lage fest,
so kann die andere auf 24 verschiedene Arten so gelegt
werden, dass beide Curven direct (nicht symmetrisch) ähnlich
liegen, einander in irgend einem Paar homologer Puncto m
und fi\ und nebstdem noch in irgend zwei nicht homologen
Puncten n und q^ berühren." „Durch die 24 Puncte m in der
Curve C können Curven achten Grades gehen; ebenso durch
die 24m, in CJ.«

ni. Liegt der Pol P in der Curve E* (1, J5.), so sind die ihm zu-
gehörigen drei Sehnen S oder oa,, bb^^ cc, so beschaffen, dass etwa die
drei Endpuncte a, 6, c in einer Geraden «/, und somit auch die drei an-
deren a„ 6j, c, in einer Geraden J, liegen, so dass also unter diesen Um-
ständen die innere Polare J' in die zwei Geraden V und «/, zerfällt,
welche parallel sind und gleich weit vom Pol P abstehen, und zudem auch
projectivisch gleich sind, indem ab^=a,b,, ac = a^c^^ bc=\c, ist. In
diesem Falle ist die äussere Polare jedesmal eine Parabel, deren Axe mit
den Geraden J und J, parallel ist (II, 1.). Von den in E^ liegenden
Polen zeichnen sich zunächst folgende durch eigenthümliche Umstände
aus. 1) Die schon oben genannten 6 Schnitte P^ der Curven 6" und E^.
In jedem derselben wird die Sehne crc/ unendlich klein, und daher fallen
die Geraden J und J, zugleich mit den Sehneu aa, und 66, (oder oben
S und iSj) auf einander, auf die dortige Sehne S^. 2) Femer giebt es drei
solche besondere Pole, die X, Y, Z heissen mögen, für welche (nicht
allein die innere sondern) zugleich auch die äussere Polare A^ (die Pa-
rabel) in ein Paar paralleler Geraden A und A, zerfällt, welche überdies
mit den zugehörigen Geraden J und </, parallel sind. Ausser diesen drei
Puncten X, Yy Z giebt es In der ganzen Ebene keinen anderen Pol, dessen
äussere Polare A^ in zwei parallele Gerade zerfällt.

ri3*i

'ctior klgebr&iscbe Curveu, welche einen Uittelpuuct h&ben, und

Ueber die geBammten Geraden J, J^ hat man folgenden Sati:

„Alle Paare Geraden J nnd J^ , in welche die innere Pelare
J* zerfällt, wenn der Pol P in der Curve E* liegt, berühreo
eine Curve sechster Classe, ./', und vierzehnten Grades, welch«
die 6 Sehnen S^ zu Asymptoten und die Gerade 6„ cur viel-
fachen Tangente hat." Die Curve J^ berührt jedoch die Ge-
rade d„ nicht in vier, sondern in nur zwei verschiedenen
Puncten, aber in jedem doppelt, so dass sie sich in jedem der-
selben selbst bervhrt, und zwar sind diese zwei Pancte zn-
gleich die gemeinschaftlichen Puncto der Curve E* and dei
Geraden 6«, oder die unendlich entfernten Pancte der
Asymptoten von E*. „Wird darch den Pol P mit den xnge-
hörigen Geraden J und •/, eine dritte Gerade, J^, parallel ge-
zogen, so ist ihr Ort eine Curve dritter Claase J^ and vierten
Grades, welche die Gorade G«, zur Qoppeltange&te hat nnd
sie in den eben genannten zwei Puncten berührt." „Daher
ist das ganze System der verschiedeneu Paare Geraden J und
J, auch so beschaffen, dass jeder Punct % der Ebene im All-
gemeinen der Mittelpunct eines Kegelschnittes ist, welcher
irgend drei der genannten Paare berührt, nnd zwar diejenigen
drei Paare, welche den durch den Punct, $ gehenden drei Ge-
raden J^ entsprechen."

„Die 36 gemeinschaftlichen Tangenten der Carve J* und
der Basis C bestehen aus 18 Paar znsammengehörigeB Ge-
raden J und y,."

Wenn die Geraden J und </, Tangenten der Basis C* werden, m
vereinigen sich von den obigen drei Puncten a, b, c m J irgend xim,
etwa b und c, zu einem Beriihnmgspuncte (bc) oder a; ebenso die Pancte
b^ und c, in J, zu einem Beriihrungspuncte (b^c^ oder a, ; nnd damit
fallen die Sehnen bb, und et-, in die Bmilirun^sschne g^, zusammen, die

über darauf bezügliche Eigeuschafteii ailgemeiucr Curveu. 537

00 f

und der obigen Curve SJ (II.) fallen 12 auf die Gerade G
6 andere sind jene besonderen 6 Sehnen S^ (II, 1.)» und die
noch übrigen 18 bestehen aus 9 Paar zusammengehöriger Ge-
radon J und «/j." Da die letzteren (als Tangenten der äJ) zugleich
9 Paar paralleler und projectivisch gleicher Sehnen S^ , oder zur Unter-
scheidung S^ und S\y sind, so dass J^=S^ =abc, J, =S\ =afi^c^ und
a6 = ft(? = a,6, = 6,<?j ist, wofern b und 6, die mittleren Puncto, also die
Mitten der Sehnen S^ und S\ sind, so hat man weiter, wenn der zuge-
hörige Pol P oder die Mitte der Geraden W, durch P^ bezeichnet wird,
den folgenden Satz:

„In der beliebigen Curve C giebt es im Ganzen 9 Paar
paralleler gleicher Sehnen 5j und 51, und die 9 Mitten P* der
ihre Mitten 6 und b^ verbindenden Geraden bb^ liegen in dem
oft genannnten Kegelschnitte E^,^

Rücksichtlich der 42 gemeinschaftlichen Puncto der Curven «7® und
C kann bemerkt werden, dass, wenn etwa a ein solcher Punct und J
die zugehörige Tangente an J^ ist, und man sich das zugehörige Paar
Geraden J und J^ nebst dessen (in E^ liegenden) Pol P denkt, alsdann
die in den Puncten P und a, an die respectiven Curven E^ und
C* gelegten Tangenten allemal parallel sind. Daraus schliesst
man den folgenden Satz:

„Denkt man sich die gegebene Curve C* in ihrer Ebene
um den Mittelpunct, Ey des Kegelschnittes jB' um 180° herum-
bewegt und bezeichnet sie in der neuen Lage durch Cf, denkt
sich ferner einen dem E^ ähnlichen und ähnlich liegenden
Kegelschnitt £,* von doppelt so grossen Dimensionen, dessen
Mittelpunct J5, in der Curve C* liegt, und bewegt diesen
Kegelschnitt E] so, dass während sein Mittelpunct E^ die
ganze Curve C* durchläuft, er stets mit E^ ähnlich liegend
ist, oder seine Axen stets sich selbst parallel bleiben, so
wird die gegebene Curve C" im Allgemeinen 42mal von dem
auf diese Weise bewegten Kegelschnitte^^ berührt."

IV. In dem Vorstehenden kamen beiläufig solche einzelne Sehnen
S^,, @o und @j vor, bei welchen die Tangenten in ihren Endpuncten an
die Basis C* parallel waren, und zwar kamen 65^ (II, 1.), 24@o (11, 3.)
und 18@i (III.) in Betracht. Fassen wir diese Eigenschaft für sich auf
und bezeichnen jede Sehne, welche überhaupt die Berührungspuncte, a
und a„ irgend zweier parallelen Tangenten, Sl und 31,, der Basis C ver-
bindet, durch @, so ergeben sich folgende Resultate:

„Alle Sehnen @, welche die Berührungspuncte je zweieJr
parallelen Tangenten der gegebenen Basis C verbinden, be-
rühren eine Curve neunter Classe, @^ und (höchstens) sechs-

53Ö

l'ebHT al^ebiuibche Curveii, welche eineu UiltelpUDCte haben, und

unddreissigsten Grades." Feiner: „Die Gurve @* fast 6 drei-
fache Tangenten, @,, welche sich paarweise in den oben ge-
nannten, in der Curve E' liegenden drei Puncten X, Y, Z (III.)
Hchneiden, und welche nebstdcm sn je 3 durch 4 Paacte q, r, i
und V gehen, so dass »ie die 6 Seiten eines TollstäodigeD
Vierecks rqtt sind. Dieselbe Curve berührt auch die %A, dtr
C, nnd zwar jede im Hittelpunote derjenigen Hyperbel, welche
die 6* in ihrem Berährungspancte a„ (U, 2.) mit der jedes-
maligen A, funfpunctig berührt." Wird jede Tangente der C, welche
mit einer ihrer %A, parallel ist, durch 91, und ihr Berühnrngsponct durch
Og bezeichnet, so giebt es im Ganzen 1291, nnd \'i.\. Di^se 12 Tan-
genten 9, sind zugleich besondere Sehnen @ und berühreo
die Curve @* in den nämlichen Puncten Og. Wird ferner jede Tan-
gente der C, welche mit einer ihrer 9S} parallel ist, durch SS und ihr
Berubrungspunct durch tt bezeichnet, so giebt es im Ganzen 36 Poncte B,
und somit auch 36 Sehnen lnD:=@, welche die besondere Eigen-
schaft haben, dass sie die Curve ©* gerade in den Puncten U
berühren; zudem berühren auch die 9äß selbst, als specielle Sehnen 6^
die Curve @* in den zi^ehörigen Pnocten U). Hieraus und aus Früherem
orgeben sich folgende Beziehungen der Curve @' zu den Curven C* und S|:

„Die Curve @' berührt die Basis C in ihren 9 Wende-
pnncten K, sowie in den 12 Puncten o,. Die 54 gemeinscbtft*
liehen Tangenten beider Curven bestehen: 1) ans den 9 Wen-
detangentcn 39} der C, jede dreifach gezählt, 2) sas^ den
12 Tangenten Sl,, jede doppelt gezählt, und 3) aus den 3 Asymp-
toten A, der C*; was zusammen 54 ausmacht."

„Die 54 gemeinschaftlichen Tangenten der Curven @* and
&\ bestehen: 1) aus den 99S und ZA, d«r Basis C, jede doppelt
gezählt, 2) aus den obigen 24@. (11,3.), und 3) aus den &S; (H, 1.);

über darauf bezugliche Eigenschaften allgemeiner Curveu. 53i)

in einer Geraden liegt, so dass die Gerade mm, allemal die
Sehne aaj im verlangten Berührungspuncte 8 schneidet." Daraus
8chliesst man, unter anderen:

„Dass es in einer beliebigen Curve dritten Grades C im
Allgemeinen 36 Paare paralleler gleicher und gleichliegendor
Krümmungsradien giebt."

„Der Ort der Mitten 9R aller Sehnen®, welche die Berüh-
rungspuncte paralleler Tangenten der gegebenen Basis C*
verbinden, ist eine Curve zwölften Grades, 9R", und sechs-
undneunzigster Classe, welche die Basis C in ihren 9 Wende-
puncten ID berührt, in den 6 Puncten Pq schneidet und ihre
drei unendlich entfernten Puncto a« zu vierfachen Puncten hat;
was zusammen die volle Zahl, gleich 36, gemeinschaftliche
Puncte beider Curven ausmacht." Die 3mal 4 Asymptoten der
Curve 3R", welche beziehlich den 3-4, der 6" parallel sind, liegen respective
in der Mitte zwischen jeder A, und den mit ihr parallelen 4 Tangenten SIq.

„Die Curve 3K*' schneidet die Curve jB' in den nämlichen
6 Puncten P^, und nebstdem in den 18 Puncten P, (UI.)."

Wenn man die Mitte 3R irgend einer Sehne aOi = @ als Pol P an-
nimmt^ so berührt dessen innere Polare J^ die Basis C" in den End-
puncten a und a, der Sehne. Für keinen anderen Pol können sich J^
und C berühren, d. h. sie können sich nicht bloss in einem Puncte oder
nur einmal berühren, sondern sobald sie sich in irgend einem Puncte a
einfach berühren, so berühren sie einander nothwendig noch in einem an-
deren Puncte Qj, und alsdann sind die. zugehörigen Berührungstangenteu,
Sl und $lj , parallel, die Berührungssehne aa^ geht durch den jedesmaligen
Pol P und wird durch ihn gehälftet. Also:

„Der Ort des Poles, dessen innere Polare «/' die Basis C
berühren soll, ist die nämliche obige Curve zwöften Grades
9R"; dabei berühren sich die Curven J^ und C zugleich in
zwei Puncten und die zugehörigen beiden Berührungstangenten
sind stets parallel.^ Daraus folgt weiter:

„Dass es in der gegebenen Basis 6'' keine zwei Sehnen @
geben kann, welche einander hälften; und daher kann auch
die Curve 3W*' ausser jenen drei vierfachen Puncten «oo keinen
anderen vielfachen Punct haben.''

§16.
. Die im Vorstehenden (§ 15) über die allgemeine Curve dritten Grades
aufgestellten Sätze und Eigenschaften erleiden mehr oder weniger erheb-

540 ü«bar ;il|i<!lirairiche (lurven, welche einen Uittelpuiict haben, und

liehe Modißcatio&eo, wenn die Curve von specieller Art ist. Die wesoit-
lichsteu besonderen Arten sind etwa folgende:

I. Wenn die Ourve C" einen Doppelpooct kat; wobei auch noch dis

dreifache Art des Doppelpunctes zu berücksichtigeD ist (§ 11).
IL Wenn die Ourve zwei Doppelpuncte hat oder in eineD Kegel-
schnitt und eine Gerade zerfallt.
III. Wenn die Curve drei Doppelpuncte hat oder in drei Gerade zerfiUlt
Wiewohl diese Fälle zu mehreren nicht uninteressanten besonderen SätieD
führen, so musa ich hier doch die nähere Discnssion derselben unt«rIaaseiL

Ist nun femer die gegebene Basis eine allgemeine Curve vierten Grade)>,
6'', und somit die innere Polare jedes Pols eine Curve dritten Grades, •/',
so kann letztere möglicherweise nnr entweder in eine Curve zweiten Grade«
und in eine Gerade oder in drei Gerade zerfallen; und swar kann diese«
Zerföllen nur dadurch geschehen, dass von den durch den jedesmaligen
Pol P gehenden 6 Sehnen S, oder aa,, M,, cv,, dd^, ee, und j^^,, irgend
zwei aufeinander fallen und eine Doppelsehne ;S, bilden; denn da alsdaim
durch die in S^ liegenden zwei Paar Endpuncte, etwa a und o,, & und
hy, keine eigentliche Curve •/* gehen kann, so muss sie zerfallen, nnd
zwar mnss <S, selbst ein Bestandtheil von ihr sein. Der andere Bestsod-
theil geht dann durch die 8 Endpnncte der noch übrigen 4 Sehnen S und
ist im Allgemeinen irgend ein Kegelschnitt </*, der den Pol P zum Hittel-
punct hat, welcher jedoch in besonderen Fällen auch selbst noch in
zwei Gerade zerfallen kann, und zwar auf zwei Arten. Nämlich 1) sobald
es sich ereignet, das» von den übrigen 4 Sehnen auch noch ein Paar auf
einander fallt, so lallt nothwendigerweise auch noch das dritte Paar asf
einander, so dass dann J' aus drei Doppelsehnen £, besteht; oder 2) kamt
sich ereignen, dass von den Endpuncten der übrigen 4 Sehnen at„ (£J„

aber darauf bezügliche Eigenschaften allgemeiner Curven. 541

Der Fall (A.) kommt am häufigsten vor, wogegen die Fälle unter (J5.)
nur für einzelne bestimmte Pole eintreten. Nämlich Fall (J5, a): „Es
giebt im Ganzen nur 9 solche Pole, die P, heissen sollen, für
welche die innere Polare e/* in drei Doppelsehnen iS, zerfällt,"
und zwar sind dieselben zugleich die der Geraden G« in Be-
zug auf die Basis entsprechenden 9 Pole, d. h. sie sind die ge-
meinschaftlichen Schnittpuncte aller äusseren ersten Polaren
A* in Bezug auf C*, deren Pole in der Geraden G« liegen. Die
besonderen einzelnen Pole, für welche der Fall (B, b) eintritt, sind schwie-
riger anzugeben, wie man weiter unten sehen wird.

Ueber den Ort des* Poles, dessen innere Polare auf die angegebene
Weise in Theile zerfallt, und über den Ort aller dabei vorkommenden
Doppelsehnen sowie über andere damit in Beziehung stehende Umstände
ergeben sich unter anderen folgende Sätze und Eigenschaften:

4^Der Ort des Poles P, dessen innere Polare auf die ange-
gebene Art in Theile zerfällt, ist eine Curve zehnten Grades,
P*^, und sechsunddreissigster Classe, welche die genannten
besonderen 9 Pole P, zu dreifachen Puncten hat, die Basis C*
in ihren 4 unendlich entfernten Puncten a« berührt und somit
deren AA, auch selbst zu Asymptoten hat.'^ Die noch übrigen
32 gemeinschaftlichen Puncto der beiden Curven P^® und C* sind solche
besondere Pole, etwa P*, für welche die zugehörige Döppelsehne 5, in
eine Tangente der Basis C* übergeht, etwa Sl, wobei nämlich das eine
Paar Endpuncte, b und 6,, sich zum Berührungspunct P^ vereinigt
hat. Also:

„Eine beliebige Curve vierten Grades C* hat im Ganzen
32 solche Tangenten Sl, welche von ihr in zwei vom Berüh-
rungspunct P® gleich weit abstehenden Puncten a und a^ ge-
schnitten werden."*) „Durch die 32 Berührungspuncte P°
können Curven achten Grades gehen.^

*) Dieser Satz stimmt mit demjenigen überein, welchen Herr Professor Hesse im
36. Bande S. 161 des Cr elW* sehen Journals zuerst aufgestellt hat; denn beide Sätze
geben durch Projection in einander über; oder beide Sätze sind zugleich in dem fol-
genden Satze enthalten:

^Bestimmt man in jeder Tangente einer gegebenen Curve vierten
Grades C* den ihrem Berührungspuncte in Bezug auf ihre zwei Schnitt-
puncte mit der Curve zugeordneten vierten harmonischen Punct Q, so
ist dessen Ort eine Curve zweiunddreissigsten Grades, Q", welche die
gegebene Curve in ihren 24 Wendepuncten dreipunctig berührt (die
Wendetangenten mit ihr gemein hat) und sie in den 56 Berührungs- ,
puncten ihrer 28 Doppeltangenten schneidet; was zusammen die volle
Zahl gemeinschaftlicher Puncte beider Curven ausmacht, 24.d-|-56 = 128.'^
^Die obigen besonderen 32 Tangenten «S, sind den 32 Asymptoten der

542

l.leher algebraische Turvou, »eiche einen Uittelpunel habeD, und

Von den 10 gemeinschaftlichen Pnncten d&t Cnrvfl P'" nod der Ge-
raden G^ kennen wir erst vier, die 4a.; allein von diesen Borie vu
den ihnen zugehörigen Asymptoten, 4A„ hängen die noch fibrigen 6 Puncte
sowie die Richtungen ihrer zugehörigen Asymptoten ab. Bezeichnen wir
für einen Augenblick die 4 Puncte a„ durch o, ß, 7 and S und die 6 im-
bekamiten Puncto durch ;r und j^,, y und tf,, z und z,, so ist jedes Pur
der letzeren immer zu den in zwei Paare geordnei«n enteren ngleid
harmonisch, so dass etwa

^ecuEjß und a^aijS; yay,Y und ^y,S; zcuifi und sß^if
harmonisch sind. Oder zieht man dnrch einen beliebigen Pnnct die 4 Ge-
raden A, B, C und D den 4 Asymptoten Ä, parallel, ordnet dieaelb»
auf die möglichen drei Arten zu zwei Paaren, nämfich AB und CD, A€
und BD, AD und BC, und construirt zu diesen andere drei Stnhl«-
paare X und X,, Y und Y,, Z und Z, so, dass zugleich

XAX.B und XCX,D; YAY^C und YBY,D; ZAZ,D und ZB^C
harmonisch sind , so sind diese Strahlen X, X^ ; Y, F, ; Z, Z^ den rabe-
kannten 6 Asymptoten der .Curve P'" parallel und somit nadb jenai
6 Puncten x, x, ; y, y, ; z, z, gerichtet, welche die Curve mit G^ gemein
hat. Von diesen drei Punctepaaren sind immer zwei Paar
reell und das dritte imaginär, und dem entsprechend sind
auch von den 6 Asymptoten 4 reell und 2. imaginär, vofen
nämlich jene ersten 4 Asymptoten A, reell sind.

Die Curve P'" geht ferner insJjesondere auch durch dit
Mitten der 28 üoppeltangenten der Basis C*.

Was nun weiter die Doppelsefanen, 5„ betrifft, so ist zwar die Curve
P'" der Ort ihrer Mitten, P, aber die Sehnen selbst omhülleu cdne andcn
Curve, nämlich:

CnrTe Q" parallel." Bei dieser Gelegenheit erlaube leb mir noch Tolgnide Be-

über darauf bezügliche Eigenschaften allgemeiner Curven. 543

„Der Ort aller Doppelsehnen £>,, welche Bestandtheile der
zerfallenden inneren Polaren «/', oder welche in der gege-
benen Basis überhaupt möglich sind, ist eine Curve neunter
Classe, Sl^ und vierunddreissigsten Grades, welche die Basis
in ihren im Unendlichen liegenden 4 Puncten a«, vierpunctig
berührt, somit deren 4A, ebenfalls zu Asymptoten hat, aber
jede derselben noch in einem bestimmten anderen Puncto
berührt, also dieselben zu Doppeltangenten hat; ferner be.
rührt die Curve auch noch die 28 Doppeltangenten der Basis
und hat die Gerade &« zur sechsfachen Tangente, und zwar
berührt sie diese in den nämlichen, vorhin näher bestimmten
6 Puncten x und ^, , y und y,, z und 2:,.^ Nämlich denkt man sich
den Pol P in einem dieser 6 Puncte, etwa in a, so lallt die ihm zuge-
hörige Doppelsehne S^ auf die Gerade &<<> und berührt die Curve im con-
jogirten Puncte o;,, und auch umgekehrt; und ebenso verhält es sich mit
den beiden anderen Punctepaaren. Diese Berührungen sind mit den re-
spectiven Puncten gleichzeitig reell oder imaginär.

Da die Basis C^ im Allgemeinen von der zwölften Classe ist, so hat
sie mit der Curve SJ im Ganzen 12 . 9 = 108 Tangenten gemein , und
diese bestehen: 1) in den obigen 32 Tangenten iS*; 2) in den 28 Doppel-
tangenten der Basis, jede doppelt gezählt; und 3) in den 4Ag, jede fünf-
fach gezählt; was zusammen richtig 32-1-28.24-4.5 = 108 ausmacht.

Von den gemeinschaftlichen Puncten der Curve S^ und der Geraden
G^oo kennen wir bereits 16^ nämlich die 6 Berührungspuncte ^, ^,, y^ y^
2; und ;^p jeder doppelt gezählt, und die 4 Puncte a^. Da die Curve vom
vierunddreissigsten Grad ist, so fehlen also noch 18 Puncte, welche durch
folgende Betrachtung näher bestimmt werden, aus der zugleich noch einige
andere Eigenschaften hervorgehen.

•

Durch jeden gegebenen Punct gehen im AUgemeinen 9 Doppelsehnen
S^. Liegt der Punct in der Basis C^ selbst, er heisse a, so ist er ein
Endpünct von jeder der 9/S,, und alsdann liegen die ihm zugehö-
rigen anderen 9 Endpuncte a, in einer Curve dritten Grades,
a', welche die Basis im Puncte a dreipunctig berührt; und
ebenso liegen die Mitten P der ^S^ in einer anderen Curve
dritten Grades, P', welche die Basis im Puncte a zweipunctig
berührt. Ist insbesondere der Punct a ein Wendepunkt der Basis, so
ist er dasselbe auch von jeder der beiden Curven a' und P*.
Und ist a einer der obigen 32 Schnittpuncte P^ der Curven P*® und C*,
so wird die Basis in ihm von der Curve a] vierpunctig und von
der Curve P* dreipunctig berührt, so dass diese beiden
Curven einander daselbst auch dreipunctig berühren.

Wiewohl durch jeden Punct 9 Doppelsehnen gehen, so sind dieselben

l'eber aigchraisrhe (

, welche einen Uittelpiiiict hahen, und

doch nur zu 3 und 3 parallel, ho dat» es nach jeder gegebenen Richtong
nur je 3iS, giebt, oder mit anderen Worten: durch jeden PnDct Q in der
Geraden 6„ gehen nur 3 (nicht selbst im Unendlichen liegende) Doppel-
sehnen S^, indem dio 6 übrigen auf die Gerade 8„ selbst fallen. Die
Mitten, P, je dreier parallelen Doppelsehnen liegen nothwendigerweiae in
einem Durchmesser, D, der Basis C (§ 15, I.) oder, - was dasselbe ist, in
der dritten äusseren Polare, D, des Punctes Q in Bezug auf die Basig,
uud die drei Sehnen S, haben die dem Durchmesser D conjugirte
Richtung. Man denke sich ferner von demselben Puncte Q die eist«
äussere Polare A^ in Bezug auf die Basis, so geht dieselbe, wie sclu»
bemerkt, durch jene 9 Pole P,, welche dreifache Puncte der Curve P"
sind, und daher kann sie die letzteren ausserdem nur noch in irgend dm
Puncten P schneiden, welche (vermöge der Lage der 9P,) nothwendig
zugleich in irgend einer Geraden liegen müssen. Diese Gerade ist ab«
gerade der genannte Durchmesser D und die drei Schnittpaacte P sind
gerade die Mitten jener nach Q gerichteten 3S,. Also:

„Denkt man sich von irgend einem Puncte Q in der Ge-
raden G„ die erste und dritte äussere Polare in Bezug auf die
Basis C, A^ und />, so schneiden sich dieselben in denjenigen
3 Polen P, deren zugehörige 3 Doppelsehnen S^ nach dem
. nämlichen Puncte Q gerichtet sind, oder welche die dem
Durchmesser D conjugirte Richtung haben." Und: „Bewegt
sich der Punct Q längs der Geraden G„, so ist der Ort der
3 Schnitte P seiner eisten und dritten änssereo Polare die
nämliche Curve zehnten Grades P", welche alle Pole enthält,
deren innere Polaren J* zerfallen." Alle bei dieser Bewegung vo^
kommenden Polaren A' bilden einen Curvenbüschci , S(ji')i ™it d"
9 Gnindpuncten Py

Nun kann sich ereignen, dass von den genannten Polaren A* irgend

über darauf bezügliche Eigeuschaften allgemeiner CurTen. 54^

Aoe befinden, so dass es also nur 18 zulässige Berührungspuncte ^^ giebt:
und diesen 18 Puncten ^^ entsprechen somit auf der Geraden 6« die
verlangten 18 Puncte Q^, sovae die zugehörigen 18 Asjmptoten @J der
Cnrve /S^. Das heisst: Die oben noch fehlenden 18 gemeinschaft-
lichen Puncte Qjj der Curve SJ und der Geraden 6« haben die
Eigenschaft, oder sind dadurch bestimmt, dass die erste und
dritte Polare eines jeden derselben in Bezug auf die Basis
sich in irgend einem Puncte ^^ berühren, und dass die jenem
Puncte zugehörige Asymptote @* zugleich durch den letzteren
Punct geht. Dieselbe Eigenschaft besitzen übrigens auch jene 4 Puncte
aoo, jedoch mit dem Unterschiede, dass jeder Q^ und ^^ zugleich ist,
d. h. dass die erste und dritte Polare eines jeden sich mit der Curve P^^
in ihm selbst berühren, und zwar ist seine dritte Polare die zugehörige
Asymptote A, der Basis, so dass also die 4 Asymptoten der Basis zugleich
specielle Durchmesser derselben sind. Die 18 Asymptoten (S, haben als
Doppelsehnen die besondere Eigenschaft, dass die in ihren End-
puncten a unda^, iund b^ an die Basis 6'^ gelegten Tangenten-
Paare A und A^y B und B, sich auf dem zugehörigen Durch-
messer D schneiden, so dass dieser Durchmesser eine Dia-
gonale des vollständigen Vierseits AA^BB^ ist, von dem die
beiden anderen Diagonalen mit @* parallel sind.

Jeder Durchmesser D schneidet die Curve P*" ausser jenen 3 Puncten
P, die zugleich in der entsprechenden Polare A* liegen, in noch 7 an-
deren Puncten P; aber jene unterscheiden sich von diesen wesentlich da-
durch, dass die ihnen zugehörigen Doppelsehnen S^ die dem Durchmesser
conjugirte Richtung haben, wogegen die zu den 7 anderen gehörigen
Doppelsehnen zu je einem anderen Durchmesser conjugirt sind. Also:
^Von den je lOPolen P, welche in irgend einem Durchmesser
D -liegen, gehören ihm 3 in der Art eigenthümlich an, dass
die ihnen zugehörigen Doppelsehnen die dem Durchmesser
conjugirte Richtung haben oder nach seinem in &« liegenden
Pol Q gerichtet sind."

Ueber die Durchmesser insgesammt hat man folgenden Satz:
„Alle Durchlnesser, Z>, der gegebenen Basis C* umhüllen
eine bestimmte Curve dritter Classe, /)', und vierten Grades,
welche drei Rückkehrpuncte, r, und eine Doppeltangente, Z),,
hat; und namentlich berührt diese Curve jede der 4 Asymp-
toten Af der Basis (als specielle Durchmesser) in demjenigen
Puncto, welcher der Schwerpunct von ihren 3 Schnittpuncten
mit den 3 anderen Asymptoten ist." Die Curve 2>" heisst
auch die dritte Polare der Geraden Ctoo in Bezug auf die Basis
C* (vgl. die vorhergehende Abhandlung).

Steioer't Werke. II. 35

r>46 L'eber &](;el)raJ4che Cnrveii, welche einen UittelpQUct babeii, und

Danach gehen also durch jeden beliebigen Pimct R in der Ebene
im Allgemeinen je drei Durchmesser der C; BOmit auch dorch jeden
PuDct Q in G^ drei parallele Durchmesser, etwa i>,, und zvar haben
diese die conjugirtc Richtung desjenigen Durchmessers D, welcher dem
Puncto Q entspricht (dessen dritte Polare ist); aber die den drei Dorch-
messern £>, conjugirten Richtungen sind unter sich, sowie auch im All-
gemeinen von der Richtung des Durchmessers D verschieden. Nämlich:

„Die Basis C hat im Ganzen nur drei Paar conjagirte
Durchmesser, d.h. solche Durchmesser, wovon jeder die con-
jugirte Richtung des anderen hat, und zwar sind dieselben
bcziehlich nach den obigen Punctepaaren x und x^, y und
y,, z und s, in der Geraden G^, gerichtet und somit den dort
construirten Strahlen-Paaren X und X,, Y und y,, Z und Z^
parallel." Denkt man sich den Punct Q in einem der 6 Puncte, etwi
in X, so geht der ihm entsprechende Durchmesser D durch den conjugirten
PuDct x^, und auch umgekehrt; und zwar ist dabei 2, zugleich einer der
drei Puncte P, die dem Durchmesser D eigenthümlich zugehoren, oder
in denen er von der entsprechenden Polare A} geschnitten wird.

Die 4 Asymptoten Ä, sind diejenigen besonderen Dnrch-
mesner, welchen ihre eigene Richtung conjugirt ist.

Die Doppeltangente i>, der Cnrve />' ist gewisBermaassen
ein doppelter Durchmesser, d. h. ein solcher, welchem zwei
verschiedene Richtungen conjugirt sind, so dass ihm ancb
zwei verschiedene Pole auf der Geraden O, entsprechen, etwa
Q, und Qi, welche nach den beiden Richtungen hin liegea;
ebenso müssen ihm zweimal 3 Pole P eigenthümlich ange-
hören, und die zu denselben gehörigen Doppelsehnen S, mfisseo
zu 3 und 3 die conjugirten Richtungen haben, also parallel
oder nach den Pnncten Q, und Q\ gerichtet sein.

über darauf bezügliche Eigenschaften allgemeiner Curvcn. 547

Ist der Pol Pjc(=P) insbesondere einer der 40 gemeinschaftlichen
Puncte der Curven P*® und />', 60 fallen von den durch ihn gehenden
drei Durchmessern zwei zusammen, nämlich auf die Tangente der Curve
D* im Pol Pxj welche Dt heissen soll; der andere Durchmesser berührt
die Z>' in irgend einem anderen Puncte, etwa R^, und heisse Dr. Nun
sind hierbei zwei Fälle möglich, nämlich entweder gehört der Pol P^

1) dem Durchmesser Dt, oder

2) dem Durchmesser Dr eigenthämlich an;

und davon hängen sodann weiter folgende interessante Umstände ab:

I. „Gehört der Pol P^ zum Durchmesser A, so besteht
seine innere Polare J' aus J'-I-Sj, und zwar ist die Doppel-
sehne Sj zugleich eine Asymptote des Kegelschnittes J';" und

IL „Gehört der Pol Px zum Durchmesser Dr, so besteht^
seine innere Polare aus S,-f-e7-4-e/, , wobei die Geraden J und
c7, parallel sind und gleich*weit vom Pol abstehen."

Hierbei entsteht die Frage:

„Wieviele von den 40 Polen P^ gehören zu Durchmessern
Dty und wieviele gehören zu Durchmessern Dr? oder wieviele
in e/'-+-Sj zerfallende innere Polaren giebt es, bei welchen S^
Asymptote von J' ist, und wieviele giebt es, welche in drei
Geraden Sj-HeZ-heTj zerfallen?"

Diese Frage weiss ich vor der Hand noch nicht sicher zu beant-
worten und überlasse sie daher dem geneigten Leser.

Ueber die Curve 2)' will ich noch Folgendes bemerken:

„Die Curve D* ist der Ort desjenigen Poles R^, dessen
äussere Polare A^ die Gerade G^ berührt; und die dritte Po-
lare des Berührungspunctes, Q, ist gerade derjenige Durch-
messer D, welch-er die Curve Z)' in jenem Pole R^ berührt."
Da nun die innere Polare J* desselben Poles /?,, mit der Geraden 6«
allemal die nämlichen drei Puncte gemein hat, wie die äussere A* (§ 13, U.),
so muss auch sie die Gerade O^ in Q berühren; allein nach dem Frü-
heren (§ 11) ist diese Berührung nur dadurch möglich, dass Q ein Doppel-
punct der Curve J^ ist. Daher kann man auch sagen:

„Der Ort desjenigen Poles R^, dessen innere Polare J* nur
einen einzigen Doppelpunct Q (oder insbesondere auch drei
Doppelpuncte) hat,*) ist die Curve /)', und der Ort des Doppel-

*) Soll die Polare J^ zwei (und auch drei) Doppelpuncte haben, so muss sie aus
•/*+*Sa bestehen, somit der Ort ihres Poles die Curve P^^ sein, und dann sind die
Doppelpuncte die gegenseitigen Schnitte von J^ und S^^ etwa D und Di. Dabei kann
raan fragen: »In welcher Curve, D**, liegen alle diese Doppelpuncte? Ist
der Grad-Exponent, n, etwa gleich der Zahl derjenigen Pole Pz, welche
zu Durchmessern Dt gehören? und sind die diesen Polen zugehörigen

35*

548 lieber aleehraische Curvon, welche einen JlitUlpanet haben, und

punctes ist die Gerade G»." ,Bei deqjeDigen Polen i*,(^Ä,), deren
innere Polaren aus S^-hJ-hJ, bestehen und somit drei Doppelptmd«
haben , liegt nur einer der letzteren (der Schnitt von J und </,} tnf der
Geraden. G„; und bei denjenigen P^, deren innere Polaren aas J*+S,
bestehen, fallen die zwei Doppelpuncte in einen zosammen, der als ein
RückkehrpuDct anzusehen ist und in G« liegt

„Liegt der Pol Ag insbesondere in einem der drei Röckkehr-
puncte r der Curve Z>', so ist der'ilim entsprechende Ponct Q
zugleich ein Wendepunct seiner Polare A* nod ein Röckkehr-
punct seiner Polare J\ und zwar ist die Gerade G„ beziehlicli
die zugehörige Wende- und Rückkehrtangente."

Liegt ein Pol R in dem Doppoldurchmesser (Doppeltangente der i)*)
Z),, so gehen seine beiden Polaren A* und /* durch die dem Z), ent-
sprechenden beiden Puncte Q, und Q', auf G„ ; und bew^ sich R längs
D^, so bleiben also zwei Paar Asymptoten der Poluen A' und J* sick
selbst parallel, nümltch stets nach jenen Puncten Q, and Q^ gerichtet

§ 18-

Hat die Basis C* specielle Form, hat sie z. B. Doppel- oder Röek-
kehrpuncte, oder besteht sie aus Theilen, nämlich ans

1) C'+C; 2) C'+C*; 3) C'+2C'; 4) iC,
so werden die vorigen Satze und Eigenschaften (§ 17) auf entsprechende
Weise verändert, sowie auch neue Sätxe herbeigeführt. Eine umständ-
liche Erörterung aller dieser Fälle würde hier zu weit führen; daher be-
gnüge ich mich, nur Einiges kurz anzudeuten.

L Besteht die Basis aus C"+<7|, d. h. aus ir^nd zwei gegebratu
Ourven zweiten Grades, so hat sie 4 Doppelpuncte, nämlich die gegeih
seitigcn Schnittpuncte q, r, 9, t von C'+C*, und es tritt zunächst die

über darauf bozügliclie Eigenschafteu ullgeineiuer Curveu. 549

B. Die Sehnen ab und a,J, sind gleich, und ein Paar Wechselseh-
nen, aa^ und hb^ oder ab^ und 6a,, hat dieselbe Mitte P und das
andere Paar ist gleich.

Gemäss diesen zwei Arten Doppelsehnen zerfallen die beiden Orts-
curven in die genannten Theile, welche, wie folgt, gewissermaaäsen selb-
ständig auftreten.

1. „Im Falle {A.) ist der Ort des Poles P ein bestimmter
Kegelschnitt P', und der Ort der Doppelsehne S^ ist eine be-
stimmte Curve dritter Classe S\ und vierten Grades, welche die
Gerade G« zur Doppeltangente (und drei Riickkehrpuncte r)
hat." Oder anders ausgesprochen: „Der Ort der Transversale Sj,
welche in den zwei gegebenen Kegelschnitten 6'^ C] solche Seh-
nen abj a,6, bildet, welche die nämliche Mitte P haben, ist eine
Curve dritter Classe S\ und vierten Grades, und der Ort der
Mitte P ist eine Curve zweiten Grades P^" Zieht man in den ge-
gebenen Kegelschnitten C \md C\ irgend zwei parallele Durchmesser,
etwa a und a, , und femer die ihnen conjugirten Durchmesser ß und ßj :
so treffen sich die letzteren allemal in irgend einem der Pole P,
und die durch diesen mit den Durchmessern a und a, parallel
gezogene Gerade ist die ihm zugehörige Doppelsehne S^. Tritt
der besondere Fall ein, dass die Durchmesser ß und ß, auch parallel
werden, so sind alsdann a, a, der einen und ß, ß, der anderen
Asymptote der Curve P' parallel. Zieht man durch einen beliebigen
Punct drei Paar Gerade A und P, A^ und Pp X und X, beziehlich den
Asymptoten der drei Kegelschnitte C, C', P* parallel, so sind

AXBX, und A^XB.X,
zugleich harmonisch; und wenn a und ß, a, und ßj, x und x^ die im Un-
endlichen liegenden Puncte derselben Kegelschnitte sind, so sind oturßo?, so-
wohl als n^x^^x^ harmonisch. — Die Curve P' schneidet jede der
beiden gegebenen, etwa 6'', in denjenigen 4 Puncten P*, bei
welchen die zugehörige Tangente S\ (an 6'*) von der anderen
gegebenen Curve C\ in gleichen Abständen vom Puncte P* be-
grenzt wird, 80 dass a^P^ = h^P^ ist. Ferner geht die Curve P*
durch die Mittelpuncte der gegebenen Curven C^ und 6'J, sowie
durch die Mitten der 6 Seiten des vollständigen Vierecks qrst
und durch die drei Schnittpuncte, etwa a, b und c, der drei
Paar Gegenseiten desselben; demzufolge hat die Curve P' die
drei Geraden, welche die Mitten der Gegenseiten verbinden, zu
Durchmessern und deren gemeinsamen Schnittpunct zum Mit-
telpunct, so dass also ihr Mittelpunct im Schwerpunct der
4 Puncte 5, r, «, ^ liegt. — Die Curve S\ berührt die Gerade G^ in
den nämlichen beiden Puncten x und «, , in welchen letztere von der

550 L'eber algelinusrbe CurTeu, «ekbe einen Mittelpuncl Iwben, und

Car\-e F' geschnitten wird ; ferner berührt sie insbesondere die xwn Vmmt
Asymptoten der gegebenen Corven C nnd C* and aach j«m zTeimtl
4 Tangenten S\ derselben, sowie ferner die 6 Seiten des voUstiodigen
Vierecks qrst nnd die durch die Ecken des Dreiecks ttÜC den Gegenseiteo
desselben parallel gezt^nen drei Geraden.

Die angegebenen Eigenschaften haben noch eine weitere Anadehnni^.
Denkt man sich den durch C und C\ bestimmten Kegelschnitt- BnecbeL
B{C^), mit den 4 Gmndponctea g, r, t nnd t, d. h. alle Kegelschnitte,
welche mit den beiden gegebenen die nimlichen vier (reellen od«- im»-
ginären) Poncte q, r, », t gemein haben; so kann man sagen: ,Dit
Cnrve F" sei zugleich der Ort der Hittelpnncte aller dieser
Kegelschnitte B(C^, so dase jeder Fol P allemal zugleich der
MittelpuDct irgend eines derselben ist, nnd aneh omgekehrL'
Cnd: „Die Curve S] sei zugleich der Ort der Asymptoten aller
dieser Kegelschnitte B(C'), so dass jede Doppeleehne S, zd-
gleich eine Asymptote irgend eines derselben ist, and aacb
umgekehrt." Und zwar ist dabei der jedesmalige Pol P nicht allnn
die Mitte der Sehnen ah. a,6, der beiden gegebenen Kegelschnitte C* und
C], sondern er ist die gemeinsame Mitte aller Sehnen, wetcke
die zugehörige 'S, mit sämmttichen Kegelschnitten S(C*) bildet,
und welche in stetiger Folge alle Grössen, von 0 bis oo, ent-
halten. Nämlich unter den K^lschnitten giebt es jedesmal einen, etn
Cl , welcher die S, in P berührt, dessen Sehne a,6, somit gleich 0 ist; fer-
ner einen anderen, etwa d, welcher S, zur Asj-mptote hat, dessen Sehn
somit gleich oc wird: und dazwischen li^en alle anderen (reellen) Sehoea.
Der Mtttelpunct des letzteren Kegelschnittes Cl ist derjemge Pol Pa(^P}.
in welchem £, die Curve P' zum zweiten Mal schneidet Werden in allen
Kegelschnitten, B(C^, nach irgend einer Richtung parallele Durchmesser
a, 7, , ü, gezogen, so treffen sich die ihnen coigngirten Durchmessn

über darauf bezügliche EigeDschaften allgemeiucr Curvcn. 551

Asymptoten der Curve P' parallel. — Die Asymptoten jedes
Kegelschnittes des B(C^) sind irgend einem Paar conjugirtor
Durchmesser der Curve P' parallel, und auch umgekehrt. U.s.w.

Da die drei Paar Gegenseiten des Vierecks qrst als specielle Kegel-
schnitte mit zum B(C^ gehören, so finden die angegebenen Eigen-
schaften mit einiger Modification auch für dieselben allein Anwendung,
wodurch man mehrere, theils bekannte Sätze über das vollständige Vier-
eck erhält.

2. „Im Falle (P.) ist der Ort des Poles P eine Curve achten
Grades, P®, und zweiundzwanzigster Classe, und der Ort der
Doppelsehne S, ist eine Curve sechster Classe, SJ, und acht-
zehnten Grades." Oder bestimmter gesprochen: „Der Ort derje-
nigen Transversale /S,, welche in zwei gegebenen Kegel-
schnitten (P und CJ gleiche Sehnen, ai = a,i, , bildet, ist eine
Curve sechster Classe und achtzehnten Grades, und der Ort
des gemeinschaftlichen Schwerpunctes P beider Sehnen ist
eine Curve achten ^Grades und zweiundzwanzigster Classe."
Von beiden Curven sind unter anderen folgende nähere Eigenschaften
anzugeben.

Die Curve P* hat die 4 Schnitte q^ r, s, t von C* mid C] zu drei-
fachen Puncten; zudem hat sie noch 5 bestimmte Puncto p zu Doppel-
puncten, welche zugleich in der vorigen Curve P* (1.) liegen, so dass
also diese 5 Puncto und jene 4 Schnitte zusammen die obigen 9 Pole I\
(§ 17) vertreten. Die Curve P* geht auch durch die Mitten der 6 Seiten
des vollständigen Vierecks qrst, schneidet sich also daselbst mit der Curve
P', was mit jenen bp zusammen die volle Zahl gemeinschaftlicher Puncto
beider Curven ausmacht. Femer geht die Curve P' durch die Mitten der
4 gemeinschaftlichen Tangenten der gegebenen Curven C und C] und
berührt diese in ihren im Unendlichen liegenden Puncten a und ß, a^
und ßj, so dass sie mit denselben die zwei Paar Asymptoten gemein
hat. Ihre übrigen 4 gemeinschaftlichen Puncto mit der Geraden ö« be-
stehen aus zwei Paaren, y und y, , z und -^^, welche durch jene zwei
Paare a und ß, a^ und ß^ ebenso bestimmt werden, wie oben, nämlich dass

ay«!?/! und ßyß,y, ; az^.z, und a.z^z^
harmonisch sind. Und gleicherweise werden die Richtungen der zugehö-
rigen Asymptoten durch die obige Construction (§17) gefunden.

Die Curve SJ hat die Gerade ©od zur vierfachen Tangente und be-
rührt sie in den nämlichen 4 Puncten y, t/j, z und 2,, in welchen dieselbe
von der Curve P* geschnitten wird. Die Curve SJ berührt insbesondere
auch die 6 Seiten des vollständigen Vierecks qrst, sowie die vier gemein-
schaftlichen Tangenten der gegebenen Curven C^ und CJ; und diese Curven
selbst berührt sie in deren unendlich entfernten Puncten a und ß, a^ und

5r>2 l'eticr ulgcbrMäclie Curveu, welche einen Uiltelpunet bkbeu, uud

^, vierpunctig, hat somit deren Asymptoten mit ihnen gemein, and swu
ist jede dieser Anymptoten für 4 gemeinschaftliche Tangenten der be-
trefTeDden Curven zu zählen, so dass also alle 12 Tangenten angegeben
sind, welche Sl mit C oder C, gemein hat. Von den 18 Ponct«,
welche die Curve S', mit der Geraden G„ gemein hat, sind bereits 12 an-
gegeben, nämlich die 4 Berährungapuncte y, y„ z und ^,^ doppelt gezählt,
und die 4 Puncte a, ß, o, und ^, ; die noch fehlenden 6 Puncte weideii
ähulicherweise bestimmt, wie oben die 18 Puncte Q„ (§ 17).

11. Besteht die Basis aus 46", i. h. aus vier beliebigeo Geraden,
etwa A, B, C und D, so bilden dieselben ein vollständiges ~Vieiseit
ABC'D, dessen 6 Ecken als Doppelpuncte der Basis anzusehen sind.
Dabei treten noch grössere Aeoderungen ein, als vorhin, and zwar der Art:

„Dass dabei die Curve P'° aus drei Kegelschnitten P* und
aus den gegebenen 4 Geraden selbst und die Curve £* aot
drei verschiedenen Curven S' besteht."

Nämlich es sind hier dreierlei Doppelsehnen zn unterscheiden.
Werden die Schnittpuncte der Transversale S, mit den Geraden A, B,
C, D beziehlich durch a, b, c, d bezeichnet, so sind folgende drei Fälle
möglich; entweder haben:

a) die Sehnen ab und cd, oder
ß) die Sehnen etc und bd, oder
y) die Sehnen ad und be
die nämliche Mitte P. Werden ferner die drei Paar Gegenecken des Tiw-
seits ABCD, nämlich AB und CD, AC und BD, AD und BC bezieHich
durch e und e, , / und /, , g und ^, , sowie dessen Diagonalen «, , fj\,
gg, durch E, F, G, deren Mitten durch «„, /«, ^, und deren gegen-
seitigen Schnittpuncte EF, EG, FG durch g, f, e bezeichnet, so lassen
sich die drei Fälle auf die drei einfachen Vierecke beziehen, welche in
dem vollständigen Vieriieit ABCD enthalten sind, und dadurch folgendw-
masscn bestimmter unterscheiden.

über darauf bezögliclie Eigeuschaftcu allgemeiuor Curveu. 503

die nämlichQ Curve P', in welcher die Mittelpuncte des dem
Viereck umschriebenen Kegelschnitt-Büschels B(C^) liegen,
und der Ort der zugehörigen Doppelsehne iS, ist die nämliche
Curve SJ, welche von den gesammten Asymptoten derselben
Kegelschnitte umhüllt wird. Jede der drei Curven SJ hat die
Gerade O^ zur Doppeltangente und berührt sie in den näm-
lichen Puncten, in welchen dieselbe von der zugehörigen
Curve P' geschnitten wird." Ueberhaupt verhalten sich die jedes-
maligen beiden Curven P' und ÄJ zu dem zugehörigen Viereck gerade
ebenso, wie vorhin (I, 1.) die gleichbenannten Curven zu dem Viereck
qrst. Nur ein Umstand betreffend das Verhalten der drei Curven P'
gegen einander mag hier noch besonders hervorgehoben werden. Zu
diesem Zwecke unterscheide man die 3P' nach den Schnittpuncten der
Diagonalen der respectiven Vierecke durch P?, Pf und Pg. Alsdann findet
(ausserdem, dass jede dieser Curven durch die Mitten der 4 Seiten und durch
den Schnitt der Diagonalen des zugehörigen Vierecks geht) Folgendes statt:

a\ Die Curve P? geht durch die Mitten /, , g^ der Diagonalen des
Vierecks /^/,^i, sowie durch die Schnitte e^ e^ seiner zwei Paar Gegen-
seiten, welche zugleich ein Paar Gegenecken des vollständigen Vierseits
ABCD sind; ihr Mittelpunct liegt in der Mitte der Geraden /^^o und ist
der Schwerpunct der vier Ecken/, 5^, /i, g^.

b^. Die Curve Pf geht durch die Mitten e^, g^ der Diagonalen des
Vierecks ege^g^ und durch die Schnitte/, / seiner Gegenseiten; ihr Mittel-
punct liegt in der Mitte der Geraden e^g^^ etc.

c®. Die Curve PI geht durch die Mitten e^ , f^ der Diagonalen und
durch die Schnitte ^, g^ der Gegenseiten des Vierecks efe^f^ ; ihr Mittel-
punct liegt in der Mitte der Geraden ej^^.

Demnach gehen die drei Curven P?, Pf, JFg zusammen durch alle
(^ Ecken des gegebenen vollständigen Vierseits ABCD, jede durch ein
Paar Gegenecken e und ^^ / und /„ g und ^, ; zudem schneiden sie ein-
ander paarweise in den Mitten g^^ Z^, e^ der drei Diagonalen desselben
und haben die Abstände dieser drei Mitten von einander zu Durchmessern
(ffo/oi 9o^oy /oOj ^^^ da nun diese drei Mitten bekanntlich in einer Ge-
raden liegen, so liegen also auch die Mittelpuncte der drei
Curven in derselben Geraden. — Durch die drei Puncto, etwa ip,
in welchen sich irgend zwei der drei Curven ausserdem noch schneiden,
muss nothwendig auch die dritte Curve gehen, und die Puncto
haben die besondere Eigenschaft, dass jedem drei Doppel-
sehnen Äj zugehören. Diese 3 Puncto j^ ^^d die 6 Ecken
^/ff^i/i9i dö^ gegebenen Vierseits ABCD vertreten zusammen
die obigen 9 Pole P, (§ 17). Unter den 11 Räumen, in welche die
Ebene durch die vier Geraden A, B, C, D getheilt wird, befinden sich

Uuber al);ehraiitche Curvpu, welche einen Uittetpunct haben, udiI

im Allgemeinen drei ganz begrenzte, nämlich zwei Dreiecke und eb
Vierocli; in jedem dieser drei Räume liegt einer der drei Polep.
Dieselben vier Geraden, zu je drei geDommeo, bilden vier Dreiecke. Die
Ecken und der Schwerpuact jedes dieser Dreiecke liegen mit
den drei Polen p zusammen in irgend einem Kegelschnitte.
Joder dieser vier Kegelschnitte ist nebstdem dadurch bestimmt, daas
Heine Tangenten in den Ecken des Dreiecks durch die HittcD
derjenigen Strecken gehen, welche von den die Ecken bil-
denden G-eraden (Seiten) auf der jedesmaligen vierten Ge-
radon begrenzt werden; z. B. bei dem durch B, C, L> gebildeten
Dreieck e^J\g^ gehen die Tangenten ctes zugehörigen Kegelschnittes in da
Ecken i?, , /, , f, beziehlich durch die Mitten der Strecken fg, eg, ^ uT
der Goraden Ä.

Da für jeden der oben betrachteten Pole P die innere Polare J* io
Bezug auf das jedesmalige einfache Viereck aus J*-\-S, besteht, so kano
man sagen: „Soll oin Pnnct in der Ebene eines gegebenen eio-
fachcn Vierecks die Eigenschaft haben, dass die 8 Endpnncte
der durch ihn zwischen je zwei auf einander folgenden Seiten
des Vierecks gezogenen vier Sehnen S in irgend einem Kegel-
schnitte J' liegen, so muss er ein Pol P sein, oder so ist sein
Ort die nämliche obige Curve /". Und werden durch den-
selben Punct ferner zwischen jeder Seite und joder dar
beiden Diagonalen gleicherweise die durch den Ponot gehälf-
teten Sehnen S gezogen, was S neue Sehnen giebt, so liegen
die 24 Endpancte aller 12 einfachen Sehnen S in irgend einer
Curve vierten Grades J*, welche P zum Mittelpanct hat."

§19.
In wiefern das Zerfallen der inneren Polaren auch bei den Basen hö-

über darauf bezügliche Bigenscbafteu allgemeiner Curven. f),^).^)

gleicherweise eine Curve sein kann, wie bei den vorhergehenden Beispielen,
sondern dass yielmehr den drei ersten Fällen nur eine bestimmte Anzahl
Pole entsprechen, und dass namentlich der Fall (3.) nur unter besonderen
Umstanden vorkonmit.

Soll z. B. der Fall (1.) eintreten, so muss nothwendigerweise der Pol
P in der Basis C* selbst liegen, und zwar muss er einerseits nicht nur
die Mitte, sondern zugleich der fünfte Schnitt der Doppelsehne S^ mit der
Basis, und andererseits der Mittelpunct der durch ihn gehenden Curve J^
sein, wobei sodann in Rücksicht derjenigen unter den zugehörigen 10 Sehnen
S, welche auf die Tangente der Basis iallt, und deren Endpuncte im Be-
rührungspuncte, in Py vereint liegen, der eine dieser Endpuncte als in S^
und der andere als in J* liegend anzusehen ist, so dass also die Curve
,P ausserdem noch durch die 14 Endpuncte von 7 anderen Sehnen S geht,
und die beiden übrigen Sehnen in /S, liegen. Da nun offenbar nicht jeder
Pimct in der Basis diese Eigenschaft haben kann, so ist klar, dass der
genannte Fall nur für einzelne bestimmte Pole eintreten wird. Die Anzahl
dieser Pole wird durch folgenden Satz bedingt:

„Der Ort aller Doppelsehnen /S,, welche in der gegebenen
Basis C* überhaupt möglich sind, ist eine Curve fündundvier-
zigster Classe, SW und der Ort ihrer Mitten, P, ist höchstens
eine Curve fünfundvierzigsten Grades, P**."

Demnach können also dem Falle (1.) nur solche Pole genügen, welche
gemeinschaftliche Puncto der beiden Curven -C* und P^^ sind, und somit
kann es höchstens 5.45 = 225 solche Pole geben. Darin sind nun aber
auch die beiden Fälle (2.) und (3.) mit inbegriffen, wie leicht zu sehen,
und es bleibt zu entscheiden, in wiefern dieselben möglich sind oder nicht;
denn der Fall (2.) erfordert, dass der Pol P zugleich ein Doppelpunct der
Curve P** sein muss, der Fall (3.) dagegen erheischt, dass der Pol
ein solcher Punct der Basis C* sein muss, in welchem dieselbe von der
zugehörigen Tangente vierpunctig berührt wird, oder dass er ein Doppel-
punct derselben sein muss; so dass also dieser Fall im Allgemeinen gar
nicht vorkommt.

Hieraus ergiebt sich durch Umkehrung und Projection der folgende Satz:

„Zieht man durch einen Wondepunct 5ß einer beliebigen
gegebenen Curve dritten Grades 3' irgend 7 Secanten @, welche
dieselbe in 14 neuen Puhcten schneiden, so geht jede durch
diese 14 Puncto gelegte Curve fünften Grades 6* nothwendig
auch durch jenen Wendepunct; oderj. jede 6*, welche durch
irgend 14 der genannten 15 Puncto geht, geht allemal auch
durch den fünfzehnten." Auch giebt es dabei in jeder Curve
6* eine solche durch 5ß gehende Secante @j, von welcher sie
in zwei Paar Puncten a und a,, b und 6, geschnitten wird, die

55(> Al);ehrai«.-Lu Curveu, welche Uiltolpunüt« babeo, UDd

boido zu $ und dem Schoitte, etwa Q, der @, mit der Uarmu-
.nischen H (§ 11) von $ in Bezug auf die Curve 3' zageordnet
harmonisch sind, d.h. sowohl a$a,0 alsi^gD sind harmonisch.

Dass weiter auch der Fall (4.) bei einer allgemeinen Basis C* Tor-
kominen kann, geht umgekehrt daraus hervor, dass man durch die 10 End-
puDcto von 5 beliebigen Durchmessern eines' gegebeneu Kegelschnittes J*
immerhin eine solche Curve legen kann, ohne daes dieselbe etwas tos
ihrer Allgemeinheit einbüsst; aber alsdann muss deren innere Polare, welclie
dem MittelpuQCte P von J' entspricht, nothwendig ans diesem Kegel-
schnitte und aus irgend einem anderen mit ihm conceotrischen Eegel-
schoitte J\ bestehen. Eä wäre daher za untersuchen: „Ob der Ftll
(4.) auch Bur für einzelne bestimmte Pole eintrete, oder ob füt
ihn der Ort des Poles P irgend eine Curve sei und welche?" —
Bei diesem Falle kann sich möglicherweise auch das ereignen, dass fsr
irgend einen Pol fünf Üoppelsehnen £, entstehen, deren Endptincte jedocb
immerhin in J''-^J\ liegen; ein solcher Pol würde alsdann ein fnniGuluf
Punct der Curvo /**' sein.

Uebrigens lässt sich der Ort der Doppelsehnen allgemein für jed«
beliebige Basis angeben, nämlich:

„Der Ort aller Doppolsehnen iS,, welche in einer gegebenen
allgemeinen Curve m'"" Grades überhaupt möglich sind, ist eine
Curve von der 4m(m~l)Cm— 2)(m— 3)^ Ciasso."

Ausser der gleich Anfangs namhaft gemachten Eigenschaft der beid«
Polaren A'"-* und J"—' jedes Poles P in Bezi^ auf eine gegebeoe Basis
V" (§ 13, 11.) waren nun noch andere gegenseitige Beziehungen beider
Polaren, sowie auch das Vorhalten der inneren Polare ■/■"-» zu anderen,

■ in Verbinfluiii' stehenden Curven zu yrforMcheu. Ich habe darüber

über darauf bezügliche Eigenschaften allgemeiner Curven. 557

etwaÄ." Und:* „Diese Gerade/? ist jedesmal eine (reelle oder
ideelle) gemeinschaftliche Secante der beiden Polaren Ä^ und
e/' des zugehörigen Poles P in Bezug auf die Basis C, so dass
also die Geraden ö^ und R immer ein Paar sich entgegen-
stehende gemeinschaftliche Secanten der beiden Polaren sind."
Femer: „Die Gerade R ist stets der zweiten äusseren Polare
A^ desselben Poles in Bezug auf die Basis parallel." Liegt der
Pol P insbesondere in der Basis selbst, so fallen R und A^ auf die zu-
gehörige Tangente.

Soll die Gerade R durch irgend einen in der Basis C ge-
gebenen Punct a gehen, so ist der Ort des ihr entsprechenden
Poles P eine Curve dritten Grades, etwa PJ, welche in a einen
Doppelpunct und mit der Basis deren im Unendlichen lie-
gende drei Puncto a« gemein und folglich mit derselben pa-
rallele Asymptoten hat. Und soll die Gerade R durch zwei in
der Basis gegebene Puncto a und ß gehen, wodurch sie und
auch ihr dritter Schnitt 7 mit der Basis bestimmt ist, so ent-
sprechen ihr noch 6 verschiedene Pole P, in welchen nämlich
die den Puncten a, ß und 7 entsprechenden Ortscurven PJ, Pß
und Py ausser in jenen drei Puncten a„ einander schneiden,
und welche somit in irgend einem Kegelschnitte liegen (weil
die 3aoo sich in ö« befinden); und zwar ist dieser Kegelschnitt
zugleich die erste äussere Polare, etwa A"}^ des nach der
Richtung der Geraden R im Unendlichen liegenden Punctes
Too in Bezug auf die. Basis. Die zweiten Polaren, A\ der 6 Pole P
sind alle der Geraden R parallel. Wird die Gerade R sich selbst
parallel bewegt, so ändern sich zwar die drei Ortscurven PJ,
Pß und Py und mit ihnen zugleich auch ihre 6 Schnitte oder
Pole P; aber der Kegelschnitt A\^ in welchem die letzteren
liegen, bleibt unveränderlich fest.

Soll die Polare J^ durch einen in der Basis gegebenen
Punct a gehen, so ist der Ort des zugehörigen Poles P ebenso
irgend eine Curve dritten Grades, PJ, welche die Basis in a
berührt, ihr ähnlich und mit ihr ähnlichliegend ist, also mit
ihr parallele Asymptoten oder die drei Puncto a» gemein hat.
Und soll e/' durch zwei in der Basis gegebene Puncto a und b
gehen, so entsprechen ihr noch 6 verschiedene Pole P, in wel-
chen die Ortscurven PJ und Pi ausser in den 3a« einander
schneiden, und welche somit in irgend einem Kegelschnitte
liegen; und namentlich ist die Mitte der Geraden ab einer
dieser 6 Pole. Daraus schliesst man den folgenden speciellen Satz:

„Ueber einer gegebenen Grundlinie aby deren Endpuncte

i'pi

r aleehraische riinren, welche einen Mittelpunct haben, und

in einer gegebenen Curve dritten Grades C* liegen, lasseo
Mich dieser Curve im Allgemeinen fünf verschieden eParsllelo-
gramme einschreiben; und dabei liegen die fünf Puncfe, in
denen die Diagonalen der einzelnen Parallelogramme sieh
kreuzen, mit der Mitte der gemeinsamen Grandlinie ta-
aammCR in irgend einem Kegelschnitte." Oder anders losge-
sprochen: „Zu jeder Sehne ab in einer gegebenen Curve dritteo
Grades giebt es im Allgemeinen fünf andere Sehnen, die ihr
gleich und parallel sind. Die Mitten solcher sechs Sehneo
liegen allemal in irgend einem Kegelschnitt." Dieser Satz uio-
fasst, wofern man die Sehne ab unendlich klein werden oder in eine
Tangente übergehen lüsst, auch den bekannten Satz: „Dass die Tao-
genten einer Curve C zu 6 und Gparallel sind, und dass die
Berührungspuncte von je 6 solchen Tangenten in einem Kegel-
schnitte liegen, nämlich in der ersten Polare A\ des nach der
Richtung der Tangenten im Unendlichen liegenden Punctes."
— Hierbei bleiben noch viele Fragen zu erledigen, wie z. B. folgende.
Zu jeder Sehne ab gehören 6 Pole P, und diesen entsprechen
6 Gerade R: welche Eigenschaft haben diese 6 R? Der dnith
die 6P gehende Kegelschnitt heisse P*, und der durch die Mitte von <Ji
und durch die Mitten der mit ihr zusammengehörigen 5 Sehnen gehende
Kegelschnitt heisse A*; diese zwei Kegelschnitte berühren sich in der
Mitte von ab, sind ähnlich und ähnlichliegend, und ihre entsprechenden
Dimensionen verhalten sich wie 1:2. Wird nun die Sehne ab sich selbst
parallel bewegt, so entsteht eine Schaar Kegelschnitt« i", S(i**), mtd
ebenso eine S(Ä'): welche Eigenschaft haben diese Kegelschnittschaaren?
Und wenn man der Sehne ab nach einander alle Richtungen giebt: weldie
Beziehung haben dann alle S(P') oder alle S(A]) zu einander? Unter
jeder S(_A]) befindet sich die vorgenannte Polare A\, und alle A] bilden

fiber darauf bezüfifliche Eigenschaften allgemeiner Curven. 559

folglich ihre übrigen 6 gemeinschaftlichen Puncte, etwa 6q,
in irgend einem Kegelschnitte Q' liegen." — Die beiden Polaren
-4*'unÜ J* desselben Poles P haben mit der Geraden ö« die nämlichen
drei Puncte, etwa Sg'«? gemein, und daher liegen ihre übrigen 6 gemein-
schaftlichen Puncte, g^j, ebenfalls in irgend einem Kegelschnitte Q] (§ 13, IL).
Jene drei Puncte q^ sind zugleich die Berührungspuncte der Curve */'
mit ihren drei Asymptoten, und die Gerade ö„ ist die Harmonische ihres
Wendepunctes P (§ 11). In Rücksicht der Curve Ä' bezeichne man die
Harmonische ihres Wendepunctes P durch II; dieselbe geht ebenso durch
die drei Berührungspuncte, etwa 3A, der aus P em R* gelegten drei Tan-
genten (§11); „und durch diese 3 Puncte geht gleicherweise
auch die Polare A*, so dass die übrigen 6 gemeinschaftlichen
Puncte, j„ der beiden Curven R^ und A^ gleichfalls in irgend
einem Kegelschnitte Q] liegen." Hieraus ist ersichtlich: „Dass
in projectivischer Hinsicht die beiden Curven •/' und R* sich
gegen die Polare A^ (sowie auch gegen die Basis C*) völlig
gleich verhalten, so dass sie ihre scheinbar verschiedene
Rolle durch Projection (wobei -ff ins Unendliche kommt) ver-
tauschen oder gänzlich verlieren und gegen A^ und C* eine
völlig gleiche Stellung einnehmen können." [Hierbei entsteht
die Frage: Ob nicht die von jedem Pol P abhängigen drei
Curven, nämlich die beiden Polaren -4', «/' und die Curve ü',
alle durch dieselben 6 Puncte q gehen, welche in einem Kegel-
schnitte Q* liegen? Oder wenn dies nicht der Fall ist: Welche Be-
ziehung alsdann die genannten 3 Kegelschnitte Q^ Q] und
Ql zu einander haben? und welche Beziehung ferner die
zweite Polare A^ des nämlichen Poles in Bezug auf die Basis
(d.i. die erste Polare in Bezug auf A^) zu denselben habe?]
Es findet weiter Folgendes statt: „Die Harmonische H des Wende-
punctes P der Curve Ä* ist stets der dritten Polare A^ des-
selben Punctes in Bezug auf die Basis parallel." Daher geht
die dem Puncte A^o, der nach der Richtung von H im Unend-
lichen liegt, entsprechende erste Polare Ai in Bezug auf die
Basis jedesmal durch den Pol P; und umgekehrt: für alle in
dieser Polare Ah liegenden Pole P sind die ihnen in Rück-
sicht der zugehörigen Curven R^ entsprechenden Harmoni-
schen H sämmtlich parallel, nämlich alle nach dem Puncte
^oD gei^ichtet; oder jedesSystem paralleler Geraden in der Ebene
sind als solche Harmonische H anzusehen, deren zugehörige
Pole P in derjenigen ersten Polare liegen, welche dem nach
der Richtung der Geraden im Unendlichen gedachten Puncte
entspricht. [Frage: Ist nicht die den Curven J* und R^ ge-

560 Algebraische rurren, »clcbe HittelpuQcte habeu, uod

meinsame Wendetangente Sß im Pol P mit den dem letiteren'
entsprechenden, vorgenaanten Geraden H und A' parallel?
und wenn es so ist: wie verhalten sieb dann die Abstände der
drei Geraden H, Ä' und SB von einander? liegt etwa fB in der
Mitte zwischen den beiden anderen, so dass sisdann die vier
Geraden HBÄ^G^ harmonisch sind?]

„Liegt der Pol P in der Basis C* selbt, so zerfällt R' in
A*+R, und zwar ist die Gerade R die Tangente der Basis im
Pol P, somit zugleich die Wendetangente der Polare «A* daselbit
(§ 14, 1, 1); und der Kegelschnitt R' berährt die Basis in P drei-
punctig." Nämlich von den obigen 12 Puncten a fallen hierbei 5 in P,
und von denselben kommen 2 auf die Berührang von R und C* ood die
3 anderen auf die Berührung von Ä' und C. „Ist der Pol P insbe-
sondere ein Wendepnnct der Basis, so zerfällt anch noch dei
Kegelschnitt K* in zwei Geraden, Sß+!R, nämlich in die snge-
hörige Wendetangente Sß der Basis und in irgend eine andere
Gerade 91, und da auch schon i£ auf der Tangente liegt, so mass
also in diesem Falle R' aus der doppelton Wendetangente S
und aus einer (nicht durch P gehenden) Geraden 91 bestehen.*
„Ist fcrnor der Pol insbesondere einer jener 32 Schnitte f der
Basis und der obigen Curve P'" (§ 17), so besteht R* wiederam
ans der doppelten zugehörigen Tangente 'S* (§ 17) und aas
irgend einer Geraden Sft." Nämlich von den 12 Fnocten a. fallen hier
6 in P, zwei andere sind die äusseren Endpuncte von S*, und die vier
übrigen liegen in der Geraden SR. „Bei diesen beiden besonderen
Fällen ist die Gerade £ß der jedesmaligen Tangeute SS oder S\
der Basis, welche zugleich die dritte Polare des Poles in Be-
zug auf die Basis ist, parallel."

„Liegt der Pol P in der Curve /"", wobei die Polare J* ans

über darauf bezügliche Eigenschaften allgemeiner Ciirven. 561

„Durch die 30Puncte a können unzählige Curven sechsten
Grades, R^, gehen." Jede solche Curve schneidet die lOS, ausser in
den 30a, in 10.3 = 30 neuen Puncten Oj.

„Solche 30 Puncte a, liegen jedesmal mit jenen festen
20 Puncten a^ zusammen in irgend einer Curve fünften Gra-
des, etwaCJ." Demnach gehen durch die 20 Puncte a, gerade eben-
so viele Curven CJ, wie durch jene 30 Puncte a Curven R^ möglich sind;
mittelst der 30 Puncte a, bestimmen sie einander gegenseitig, so dass
jeder durch die 30a gehenden Curve R^ eine durch die 20a, gehende
bestimmte Curve CJ entspricht, und auch umgekehrt. Die Curve R^
hat zu der ihr entsprechenden Curve Cf und zu der Basis 6'*
völlig gleiche Beziehung. Die inneren Polaren des Poles P in
Bezug auf die Curven C* und CJ sind eine und dieselbe Curve
e/\ Aus einem früheren Satze (§ 14. II, 2) kann man schliessen: Dass
durch die 25 gemeinschaftlichen Puncte der beiden Curven 6**
und C\ allemal noch eine solche dritte Curve gleichen Grades,
etwa Cl^ geht, welche den Pol P zum Mittelpunct und somit
zugleich zum Wendepunct hat. Und dass ferner, wenn man
sich zwischen denselben zwei Curven 6'* und 6'J die durch den
Pol P gehenden 25 Wechselsehnen bb^ denkt, von deren End-
puncten nämlich der eine in der einen und der andere in der
anderen Curve, die Mitte der Sehne aber in P liegt, alsdann
die 50 Endpuncte dieser Sehnen ebenfalls in einer solchen
Curve fünften Grades, etwa jB% liegen, welche P zum Mittel-
punct hat.

IV. Bei der Basis C^ gehen durch jeden beliebigen Pol P je 15 Seh-
nen iS, deren 30 Endpuncte a in der Polare J* liegen, welche den Pol zum
Mittelpunct und zugleich zum Wendepunct hat. Die Basis wird von den
15 S noch in anderen 15.4 = 60 Puncten a und die Polare J^ wird von
denselben, ausser in P selbst, noch in 15.2 = 30 neuen Puncten a^ ge-
schnitten, welche paarweise Gegenpuncte in Rücksicht des Mittelpunctes
P sind.

„Durch die 60 Puncte a können Curven zehnten Grades i?^°
gehen." Jede dieser Curven schneidet die 15 S in neuen 15.6 = 90
Puncten o^.

„Solche 90 Puncte aj liegen jedesmal mit jenen festen 30
Puncten a, zusammen in irgend einer Curve neunten Grades R%
welche mit der Polare J^ den Wendepunct P sammt der zuge-
hörigen Wendetangente gemein hat" — [Berühren die Curven R]
und e7* einander im Pol P nicht höher als dreipunctig? Kann die Curve
i?J nicht in CJ-hC* zerfallen? Oder können durch die 30 Puncte a, nicht
auch Curven sechsten Grades, C^, gehen? Jede solche C] schnitte alsdann

Steiatr'i Werkt. II. 36

562 lieber algebraische Cuiven, welche einen Hittelpnnet haben, nnd

die 15 S in neuen 60 Puncten a', und diese 60a' lägen mit den fegten
60a in einer Curvo R'% welche die 15 <8 in noch 15.2 = 30 uidetcD
Puncten a" schnitte, und diese SOa" müsstan sodann in einer Curve C*
liegen, welche mit J^ den Wendepunct P nebst der zngehörigeii Wende-
tangente gemein hatte oder sie noch höher berfihrte.]

V. Bei der Basis C" gehen durch jeden Pol P je 21 Sehoeo S, dereo
42 Endpuncte a in der Polare J' liegen, die den Pol zum MittelpoDCt'
hat. Die Basis wird von den 21 S noch in 21.5^1(3 Puncten a und
die Polare wird von denselben noch in 21.4 = 84 Pnncten a, geschnitteo.
Die in jeder Sehne S liegenden 4 Puncto a, best^en aus zwei Paar 66-
genpuncten in Rücksicht der Polare J* und ihres MittelpuQctes P.

„Durch die 105 Puncto a können Curven fünfzehnten Gra-
des, R", gehen." Jede dieser Curven schneidet die 21 S in nenea
21.10 = 210 Puncten a,, und

„Solche 210 Puncte a, liegen jedesmal mit jenen festen
84 Puncten a, zusammen in irgend einer Curve vierzehntes
Grades Rl*." In Rücksicht dieser Curven und des Poles findet das Eig«o-
thfimliche statt: „Dass die innere Polare, J\*, des Poles P in Besag
auf jede Curve i2|* in zwoiTheile zerfällt, wovon der eine alle-
mal die vorgenannte Polaro J', der andere aber irgend eise
Gnrve J' ist, welche gleichfalls den Pol zum Mittelpunct (ood
zugleich zum Wendepunct) hat." — [Können hierbei nicht ancli u
die Stelle der Carve R',' zwei solche Curven siebenten Grades, etn
C'H-CJ, treten, wovon die eine in Rücksicht der zwei Paar Gegenpuncta o,
in jeder Sehne S je durch das eine und die andere durch das jedesmalige
andere Paar geht? Welche Paare in Betracht aller 21 Sehnen gehöreo
zusanmien, oder wieviele Äendeningen sind dabei möglich? U. s. w.]

Analoge Eigenschaften, wie bei den beiden letzten Beispielen (IT)
und (V), finden auch bei den allgemeinen Basen C*/' und 0^"—^ statt

über darauf bezügliche Rigeuscbaften allgemeiner Curven. 563

meinsamen Mittelpunct; zudem sind ihre Grundpuncte q paar-
weise Gegenpuncte, etwa q und g', , in Rücksicht des Mittel-
punctes Py 80 dass also die Polaren sämmtlich \(rn — 1)^ Sehnen
qq^ gemein haben.^ In dem Falle, wo «i— 1 und damit auch (m — 1)*
ungerade ist, liegt der unpaare oder einzelne Punct g, der q^ heissen mag,
im Pol P selbst, und die Zahl der Sehnen qq^^ wird dabei, nur durch die
in dem Ausdrucke ^(m — 1)' enthaltene ganze Zahl angezeigt.

„Die gesammten Asymptoten A, aller gegebenen Curven
BCC") umhüllen eine Curve (2w— 1)*«' Classe ^««.-i und 4t(m—\y^
Grades, welche die Gerade ö« zur 2(m — l)fachen Tangente hat;
so dass also durch jeden gegebenen Pol P im Allgemeinen
2m — 1 Asymptoten ^4 gehen, dagegen aber nach jedem in G^ lie-
genden Puncto Q oder nach jeder gegebenen Richtung nur je eine
Asymptote A, geht, somit keine zwei parallel sein können."*)

Werden die Endpuncte aller jener Systeme Sehnen, welche demselben
Pol in Bezug auf alle gegebenen Curven entsprechen, zusammengefasst, so
ergiebt sich der folgende Satz:

„Die Endpuncte a aller Systeme Sehnen /S^ die irgend einem
und demselben Pol P in Betracht aller einzelnen Curven des
gegebenen Curven-Büschels J5(C"') zugehören, liegen zusammen
in einer Curve (2w — 1)^^ Grades^ J^"»"^, welche den Pol P zum
Mittelpunct und die durch denselben gehenden 2m — 1 Asymp-
toten Ag von einzelnen dor gegebenen Curven auch selbst zu
Asymptoten hat, so dass sie diese Curven in den unendlich
entfernten Puncten a« der respectiven Asymptoten berührt,
und welche ferner sowohl durch die m^ Grundpuncte p des ge-
gebenen Curven-Büschels, als auch durch die (m — 1)' Grund-
puncte 9 des Büschels innerer Polaren, J5(J'"~'^), desselben Poles
in Bezug auf jenen gegebenen Curven-Büschel geht." Diese
Curve J*»»— * soll „innere Panpolare" des Poles P in Bezug auf den
gegebenen Curven-Büschel B(C^) genannt werden. Da dieselbe immer
von ungeradem Grad ist, 2m — 1, so geht sie stets durch ihren eigenen
Mittelpunct P und hat ihn zugleich zum Wendepunct.

Unter den unendlich vielen Sehnen S, welche in Betracht aller ge-
gebenen Curven durch den jedesmaligen Pol P gehen, giebt es allemal

•) „Werden die gegebenen Curven B{C^) von einer beliebigen Ge-
raden G geschnitten, und denkt man sich in den Schnittpuncten an die-
selben Tangenten^ gelegt, so umhüllen diese Tangenten gleicherweise
eine Curve (2m — 1)*«' Classe ^2m— 1 und 4(in — l)*««» Grades, welche die
Gerade G zur 2(m — l)fachen Tangente hat." Dieser Satz ist einer in der Aka-
demie der Wissenschaften zu Berlin gelesenen Abhandlung entnommen. (Vgl. die vor-
hergehende Abhandlung, S. 495.)

36*

664

Üeber «Igebrsiscbe Curven, welche

1 Hittetpunct haben, und

einzelne solche beROndere Sehnen; welche in ihrem einen Eudpuocte die
zugehörige Curve berühren, statt schneiden. Jede solche TaogenteD-Sehne
soll durch S^ und ihre Endpuncte durch a und a^, nämlich der gen&nnte
Beriihrungspunct durch a^ bezeichnet werden. (In apeciellem Falle könn«
beide Cndpuucte Bcrührungspuncte werden.) Ist S^ insbesondere eine
Asymptote A, der zugehörigen Curve O", so ist a^ nicht mehr allein als
Berührungspunct anzusehen, sondern in diesem Fidle hat man sich anch
a in dorn unendlich entfernten BeriihrungspuDcte a„ der A^ zu denken,
und zwar a„ nach der einen und a nach der entgegengesetzten Richtung.
80 dass beide vereint den Berührungspunct a„ bilden, und dennoch gleich
weit vom Pol P abstehen. Demnach ist jede Asymptote A, einer
Curve C" in Rücksicht jedes in ihr angenommenen Poles P alle-
mal als eine Tangenten-Sehne ;$, anzusehen, deren beide End-
puncte a und a^ jedoch als in ihrem Berührungspancte a. ver-
einigt, aber als nach entgegengesetzten Richtungen liegend la
betrachten sind.

„Durch jeden Pol P gehen im Allgemeinen 3ffl(ni — 2)H-2»i— 1
Tangenten-Sehnen £g, die jedoch von zweierlei Art sind; Däm-
lich; 1) 2m— 1 derselben bestehen aus den vorgenannten,
durch den Pol P gehenden Asymptoten A, einzelner gegebenen
Curven (den Asymptoten der Panpolare), so dass ihre End-
puncte in den rcspectiven Berührungspuncten a. vereint
liegen; 2) dagegen sind die im(m — 2) übrigen eigentlich«
Tangenten-Sehnen S^, deren Endpuncte a und a, verschieden
und nicht im Unendlichen liegen; die 3m(m — 2) BerOhrungs-
puncte a„ der letzteren liegen allemal mit den tn* Grund-
puncteu p des gegebenen Curven-BSschels zusammea in irgend
einer Curve 2(m — !)*•" Grades, -dj""*, welche die zugehörige
Panpolare J"^^ in ihrem Mittelpuncte P berührt." Die Curven

über darauf bezügliche Eigenschaften allgemeiner Curven. 565

„Die zu allen Curven eines gegebenen Curven-Büschels
B(C***) gehörige Schaar Ortscurven S(W^) bedecken die ganze
Ebene dergestalt, dass durch jeden Pol P im Allgemeinen
Sm(m — 2) derselben gehen." Es gehen nämlich ebenso viele Tan-
genten-Sehnen durch jeden Pol, ausser den 2m — 1 Asymptoten. In dem
speciellen Falle, wo w = 3, isty = 15, und: Bei einem gegebenen
Curven*Büschel dritten Grades, J5(C), gehen von der Schaar
zugehöriger Ortscurven /S(3W^*) durch jeden Pol P je 9, sowie
nebstdem je 5 Asymptoten A, von einzelnen der gegebenen Curven.
[1. Den Grad, y, der Ortscurve 3R^ allgemein zu bestimmen. 2. Die En-
veloppe der 5(501«') zu finden.]

unter den durch irgend einen Pol P gehenden unendlich vielen
Sehnen S der gegebenen Curven jB(C'"*) giebt es ferner auch solche be-
sondere, die @ statt S heissen sollen, in deren Endpuncten a und 0, die
Tangenten 31 und 31, der zugehörigen Curve 6"* (statt C"*) parallel sind,
und wobei also diese Curve in den Endpuncten der Sehne sowohl von
ihrer inneren Polare 3"*"^ (statt J"^~^) als auch von der Panpolare J^^-^
berührt wird. Es giebt für jeden Pol P im Allgemeinen (3w — l)(w — 2)+i
solche besondere Sehnen @, oder im engeren Sinne nur (Sm — l)(m — 2),
indem der Bruch ^ die Tangente der durch P gehenden Curve C"* anzeigt,
bei welcher a und a, sich in P vereinigt haben und die genannten drei
Curven einander nur noch in diesem einen Puncto P berühren. Als der-
gleichen uneigentliche Seimen @ machen sich femer auch die durch P
gehenden 2in — 1 Asymptoten A^ geltend, in deren Puncten a« die zu-
gehörigen beiden Curven C"* und «7"*"^ einander ebenfalls berühren und
zugleich von der Panpolare berührt werden. Ausserdem berührt die Pan-
polare J*™-* in jedem der m^ Grundpuncte p irgend eine Curve 6'*", aber
nicht auch zugleich deren Polare J"*"^; und ebenso berührt dieselbe in
jedem der (m — 1)' Puncto q irgend eine der Polaren 5(e/"*~'^), aber nicht
auch deren Basis C"*. Also:

„Durch jeden Pol P gehen im Allgemeinen (3w — 1)(^ — 2)
eigentliche Sehnen @, in deren Endpuncten a und a,- die Tan-
genten 31 und Sil parallel sind und die jedesmalige Curve 6"»
sowohl von ihrer inneren Polare S*""^ als auch von der Pan-
polare •7**'*—^ berührt wird." Oder: „Unter den jedem Pol P ent-
sprechenden inneren Polaren jB(t/"*"^) giebt es je (3m — l)(w — 2)
solche, 3"*""^, welche ihre Basis, (5"*, in zwei Puncten berühren."
Oder: „Die Panpolare «/^"»-^ jedes Poles P berührt je (3w — l)(w — 2)
der gegebenen Curven P(C'"') in je zwei Puncten a und a,, welche
stets Gegenpuncte in Rücksicht des Poles sind, und sobald
dieselbe eine der gegebenen Curven in irgend einem Puncto a
berührt, der weder in der Geraden ö» liegt, noch einer der m^

566 Ueber algebraische Curren, welche einen Mittelpunet haben, und

PuDCte p ist, so berührt sie dieselbe Qothwendig noch in einem
anderoD Puncte a, , und zwar im Gegenpnncte von jenem in
Rücksicht auf den Pol P." Dabei kann in Betracht einer einzelnoi
gegoboiien Curvo auch noch das bemerkt werden: „Liegt der Pol P
in einer Asymptote A, einer Carve C", so berührt seine innere
Polare J"^* die letztere im nnendlich entfernten Pnncte a,
der A,."

In jeder einzehien Curve C" müssen alle solche Sehnen @, in deim
Endpuncten a and a, die Tangenten S und Sl, parallel sind, irgend eisa
Curve y" Claase, &, umhüllen, und ebenso muss, wenn man die Mitte
jeder Sehne @ durch 91 bezeichnet, der Ort aller 91 irgend eine Curve
x"' Grades, 3t', sein. In dieser Hinsicht gehören alsdann m den Gornn
des gegebenen Büschels 3(0"^) zwei Schaaren Ortecurven, S(&^ und S(9^).

„Die Schaar Ortacurven ^(Si'), welche zu dem gegebeneo
Gurven-Büschel £(C") gehören, überziehen die ganxe Ebene
dergestalt, dass durch jeden beliebigen Pol P im Allgemei-
nen je (3m— I)Cwi— 2) derselben gehen." Für den speciellen Fall,
wo m:=3, sind nach dem Obigen (§ 15) die Curven ©» und 91" .^6'
und 91", und in Rücksicht des Curven-Büschels B^C) gehen durch jedes
Punct P der Ebene je 8 Ortscurven VI". [1. Die Classe y und den Grad
X der beiden Ortscurven allgemein zu bestimmen. 2. Die Enveloppen
von SC®") und S(gi') zu tinden.]

Wird mit der inneren Panpolare zugleich auch die äussere Panpolare
A-"—^ (vorgl. d. vorhorgeh. Abhandl.) desselben Poles in Bezog auf da
nämlichen gegebenen Curven -Büschel betrachtet, so findet sich folgende
gegenseitige Beziehung derselben (vergl. § 13, II.):

„Die beiden Panpolaren A*^~^ und J^*"' jedes Poles Pia
Bezug auf den gegebenen Curvon-Büschel 3(0"} haben mit
der Geraden G^ die nämlichen 2»» — 1 Poncte a« gemein, so

über daraof bezügliche Eigenschaften allgemeiner Cunren. 567

Da die Curven irgend eines Büschels a^ Grades, B(C^\ insgesammt
3(ä — 1)' Doppelpuncte haben, und da sich unter denselben je 2(^ — 1)
solche befinden, welche irgend eine gegebene Gerade G berühren (vergl.
d. vorhergeh. Abhandl.), so müssen also auch die Polaren J5(J*'»"^)
jedes Poles P in Bezug auf den gegebenen Curven-Büschel
B(C^) allemal im Ganzen S(m — 2)' Doppelpuncte enthalten,
und es müssen je 2(in — 2) derselben jede gegebene Gorade,
also namentlich auch die Gerade &» berühren.

Daraus ist zunächst zu entnehmen, dass es in Betracht jeder einzelnen
Curve C*" auch solche Pole P geben muss, deren innere Polaren J^-^
Doppelpuncte haben; und zwar müssen diese Doppelpuncte im Allge-
meinen paarweise vorhanden sein, nämlich als Gegenpuncte in Rücksicht
des Poles oder Mittelpunctes P der jedesmaligen Polare J^-^ (§ 9, U.);
nur wenn ein Doppelpunct insbesondere im Mittelpunct P selbst, oder
wenn er in der Geraden ö« liegt, steht er als einzeln da. Von jeder
Curve, etwa J^''\ welche einen Doppelpunct )j>ao auf der Geraden ö«
hat, kann man sagen, sie berühre diese Gerade in demselben; und wenn
die Curve einen Mittelpunct P^ hat, so kann man umgekehrt behaupten,
sie könne die Gerade &« im Allgemeinen nur in diesem Sinne be-
rühren, dass sie einen auf derselben liegenden Doppelpunct hat. Da nun
aber mit der inneren Polare */"}*"* auch zugleich die äussere Polare Af-^
desselben Poles P^ die Gerade G^ im nämlichen Puncto berührt, so
folgt also:

„Dass der Ort desjenigen Poles Pj, dessen innere Polare
«/^* in Bezug auf die gegebene Basis C"» die Gerade öoo be-
rührt und somit einen auf ihr liegenden einzelnen Doppel-
punct pa, hat, eine bestimmte Curve 2(m — 2)'*° Grades P»»»-*
und (m — 1)**' Classe D"*"^ ist; nämlich diese Curve ist die
(m — !)*• Polare der Geraden Gao in Bezug auf die Basis C"*,
oder die Enveloppe aller Durchmesser D der letzteren."

In den Mittelpunct oder Pol P kommt vornehmlich dann ein ein-
zelner Doppelpunct der Polare zu liegen, wenn m ungerade, gleich 2v — 1 ist,
und P in der Basis C"* = C^^"^ selbst liegt, so dass also für diesen Fall
die Basis als Hauptbestandtheil seines Ortes anzusehen ist. Dabei sind
alsdann die gegenseitigen Schnitte der beiden Curven P^"*-* und C"* solche
besondere Pole P, deren Polaren zwei vereinzelte Doppelpuncte, paa und
P, haben. XJebrigens kann der Mittelpunct P insbesondere auch ein mehr
als zweifacher Punct der Polare J"*~^ werden, jedoch nur nach Maass-
gabe der zwei Zahlformen von m^ nur so, wie bereits oben (§ 1) ange-
geben worden.

Ausser diesen speciellen Fällen, wobei die Polare einen vereinzelten
Doppelpunct hat, muss ibs nun in Bezug auf die gegebene Basis C"* auch

568 Ueber algebraische (.'urven, welcbe einen Uittelpunct haben, und

Holcho Pole geben, die P, beissGD sollen, deren innere Polaren J^^^ ein
Paar (oder insbesondere auch mehrero Paare) Doppelpimcte, fl, und )/„
haben, welche dann stets Gegenpuncte in Bücbsicbt des Poles /*, siad; und
zwar muss der Ort aller solcher Pole irgend eine Curve jf*" Grades Pj seto.

Hiernach gehören also zu der gegebenen Corvo C" im Äl^meinen
zwei solche Ortscurven PJ"— ' und Pj, wovon die erste alle diejenig«)
Pole P, enthält, deren Polaren J^^ einen auf der Geraden 0„ liegenden
einzelnen Doppelpunct haben, die andere, unbekannte Curre dingen alle
diejenigen Pole P, enthält, deren Polaren J^-^ Paare von Doppelponden
haben. Die 2(m — 2)Xx gemeinschaftlichen Poncte beider OrtscurveD
sind solche besondere Pole, welche beide Eigenschaften zugleich besitzen.
In dem Falle, wo m^2v — 1, hat femer auch jede innere Polare, derto
Pol in der Basis C^"-^ selbst liegt, in diesem Pol einen einzelnen Do{i^-
punct.

Tn dieser Hinsicht gehören demnach zu allen Curven eines gegebenen
Curven • Büschels B(C'") im Allgemeinen sowohl eine Schaar Ortscurven
PJ'"-* oder S(P?"'~'), als auch eine Schaar Ortscurven Pf oder S(i^).

Da nun unter dem Büschel Polaren P(i/'"~') jedes Poles P in Beti^
auf den gegedenen Curven-Biischel B(C'") sich 2(m — 2) solche befinden,
welche die Gerade ff« berühren, also 2(m — 2) solche Polarea J^\
welche einzelne Doppelpuncte p„ auf 6„ haben; und da der BüscIhI
D{J'^-^) im Ganzen 3(m — 2)' Doppelpuncte enthält, so bleiben also noch

3Cm— 2)'— 2(m— 2) = (m— 2)(3m— 8)
solche Doppelpuncte übrig, welche nicht im Unendlichen liegen, und welche
somit paarweise einzelnen Polaren J^~^ angehören müssen. Die Anzahl
dieser Polaren J'^'~* ist daher

= i(™-2)(3™-8),
insofern nämlich diejenigen unter ihnen, welche insbesondere mehrere Pave
Doppelpuncte haben, ebenso oft gezählt werden, als sie Paare enthalten.

über darauf bezügliche Eigenschaften allgemeiner Curven. 569

gehen." Wenn7w=2v — 1 und danach die letzte Zahl gleich 2 (v — 2X3v — 4)-hJ
ist, so. gehen 2(v — 2)(3v — 4) Curven Pf durch P und der Bruch ^ zeigt
diejenige unter den gegebenen Curven an, welche durch P geht.

Es wird zur Erläuterung dienen und auch an sich nicht ohne Inter-
esse sein, wenn wir die ausgesprochenen allgemeinen Eigenschaften bei
den einfachsten Beispielen, wo der gegebene Curvenbüschel nur vom
dritten, vierten und fünften Grad ist, etwas näher betrachten.

A. Bei einem gegebenen Curven -Büschel dritten Grades, B(fi^\
finden keine Ortscurven Pj statt, was auch der Ausdruck 2(v — 2)(3v — 4)
richtig anzeigt, indem er gleich 0 wird, wenn v = 2 ist; wogegen der Bruch
\ bleibt und die durch den Pol P gehende Curve C anzeigt. Jede der
anderen Ortscurven P^^-^ wird hier ein Kegelschnitt Pf, und zwar der-
selbe, welcher schon oben (§ 15) betrachtet und durch E^ bezeichnet
worden. Die inneren Polaren jedes Poles P in Bezug auf den gegebenen
Curven-Büschel P(C') bilden einen Kegelschnitt-Büschel B(J^) mit 4 Grund-
puncten q; dieselben enthalten im Ganzen 3(3 — 2)' = 3 Doppclpuncte,
von welchen 2(3 — 2) = 2 auf der Geraden ö« liegen, und einzelne Doppel-
puncte zweier besonderen Polaren J* sind, der dritte dagegen liegt im
Pol P selbst und ist Doppelpunct der besonderen Polare e/J, welche der
durch P gehenden Curve C^ entspricht. Jede der beiden Polaren JJ
besteht aus zwei parallelen Geraden J und Jj, die gleich weit vom Pol
P abstehen, und die Polare Jl besteht aus zwei sich in P schneidenden
Geraden (Sehnen) S und S, (§ 15). Demnach sind die 4 Grund-
puncte q des Büschels Polaren B(J^) allemal die Ecken eines
Parallelogramms, welches die Geraden S und Si zu Diago-
nalen und die zwei Paar Geraden J und «/, zu Gegenseiten
hat; und die zu dem gegebenen Curven-Büschel B(C^) gehö-
rige Schaar Orts-Kegelschnitte S(P*) erfüllt die ganze Ebene
doppelt, 80 dass durch jeden Punct P je zwei Kegelschnitte
PJ gehen.

B. Bei einem gegebenen Curven-Büschel B(C*) sind die zugehörigen
Ortscurven P* vom zehnten Grad und sechsunddreissigster Classe (§ 17),
also Pi = Pl^] die anderen Ortscurven p2m-4 -__ 2)m-i gjj^j y^^^ vierten
Grad P*, und dritter Classe 2)'. Die irgend einem Pol P entsprechenden
inneren Polaren bilden einen Büschel P(«/') mit 9 Grundpuncten q und
haben im Ganzen 3(4 — 2)' = 12 Doppelpuncte. Von den 9 Puncten q
liegt einer, etwa j^, im Pol P selbst und die 8 übrigen bestehen aus
4 Paar Gegenpuncten q und q^ rücksichtlich des Poles ^ so dass sie die
Endpuncte von 4 gemeinschaftlichen Sehnen S der Polaren B(J^) sind.
Von den 12 Doppelpuncten liegen 4 auf der Geraden G«, und sind ein-
zelne Doppelpuncte von 4 besonderen Polaren JJ, dagegen sind die 8
übrigen paarweise Doppelpuncte, p^ und p',, von vier besonderen Polaren

f)70 Uebtir slgebroiRche Curven, welche einen Mlttelpnnct haben, und

J^ und zugleich Oogenpuncte in Rücksicht des Poles P. Jede der 4 letz-
teren Polaren •/,' muss aus J*-i-Sj beatohen (§ 17), und zwar musa der
Kegelschoitt J* durch je drei Paar Grundpuncte q und g, und die Doppel-
sohne S, muss durch das jedeamalige vierte Paar gehen, also aal eise
der 4 Sehnen <S faUon; und da nun das zugehörige Paar Doppelpuneta
aus den gegenseitigen Schnitten von •/* und £, besteht, so liegen aln
in jeder der 4 Doppelsehnen S, (oder auch der'4S) sowohl ein fut
Doppelpuncte f, und p',, als auch ein Paar Grundpuncte q und ^, des
B(J'), sowie auch Jede derselben durch den neunten Grundpooct q, (oiet
Pol F) geht. Von den zu dem gegebenen Curven-Buschel B(C')
gehörigen zwei Schaaren Ortscurven, SCP*) und S(J*I*), be-
deckt jede die ganze ßbene vierfach, d.h. durch jeden Pnoct
P der Ebene gehen sowohl 4 Corven P* als auch 4 Curven P".
Jede Ortacurve PJ* hat 9 dreifache Puncto P, (§ 17); der Ort dieser
Functe rücksichtlich aller Ortscurven S(Pl*) ist eine Garve
sechsten Grades P*, welche inabesondere auch durch die ig
dem gegebenen Curven-Biiachel B(C^) gehörigen 27 Doppel-
puncte geht

C. Bei dem gegebenen Carven- Büschel B(C*) bilden die Polano
jedes Poles P einen Büschel B(J*) mit 16 Gnmdpuncten q und im Gui«o
mit 3(5 — 2)' = 27 Doppelpunctcn; es befindeu sich unter denaelben
2(5 — 2)^6 solche, J^, welche einen einzelnen Doppetpunct p^ aof der
Geraden G. haben, und ferner 2(3— 2)(3.3— 4)= 10 solche, Jt, wekhi
ein Paar Doppelpuncto p, und p', haben, die Gegenpnncte rficksichtlick
dos Polos P sind, und endlich noch eine solche, J*, weiche einen «n-
zelnen Doppelpunct im Pol P selbst bat, was zusammen die 27 Doppel-
puncte ausmacht. Dem entsprechend gehen also von den zu dem gege-
benen Cnrven-Büschel gehörigen Ortscurven Ä(P') und iS(Pf) durch jedeo

über darauf bezügliche Eigenschaf teu allgemeiner Curveu. 571

übrigen 4 Paare geht, und wobei die gegenseitigen 4 Schnitte vonV und
J] zwei Paar Doppelpuncte ;p, und p'^ sind, so dass also diese specielle
Polare für zwei Polaren «/J zählt, und dass die ihr entsprechende Ortscurve
Pf den Pol P zum Doppelpunct haben muss. — Hierbei kann gefragt
"werden: a. Welches ist in Bezug auf den gegebenen Curven- Büschel
B(^C^) der Ort des Poles, für welchen die besondere Polare e/J aus J^+S^
besteht? (höchstens vom fünfzigsten Grad), b. Welches ist der Ort des
Poles, für welchen eine der 10 Polaren J\ aus «/'-he/J besteht? oder welches
ist der Ort der Doppelpuncte aller Ortscurven >S(Pj)?

In Betreff der obigen allgemeinen Betrachtung sind unter anderen
folgende Aufgaben zu stellen:

1. Den Grad a der Ortscurve Pf allgemein zu böstimmen,
d. h. für jede Basis C"».

2. Die Enveloppe der zu einem gegebenen Curven-Büschel
5(C**) gehörigen Schaar Ortscurven /S(Pf) zu finden; und

3. Die Enveloppe der zu demselben Curven-Büschel ge-
hörigen Schaar Ortscurven S(P^"*-^) = S^D"*"^) zu finden. Hierbei
will ich bemerken, dass diese Curvenschaar in der Hinsicht, dass sie
(m — 1)**^ Classe ist und durch jeden Punct P der Ebene je 2(w — 2)
derselben gehen, auffallende Uebereinstimmung mit einem Curven-Büschel
gleicher Classe jB(ä'*»"^) und mit (m — 1)' gemeinschaftlichen Tangenten
hat, indem auch hier durch jeden Punct der Ebene je 2(m — 2)- Curven
jjfm-i gehen; dagegen sind diese Curven K"*"^ vom (m — l)(rn — 2)'*" Grad,
während jene D"*^^ nur vom 2(m — 2)**" Grad, gleich P^*«-^, sind. Der
ß(Ä''*~*) ist durch ^w(m-+-l) — 2 gegebene Tangenten bestimmt.

§22.

I. Die innere Panpolare kann unter geeigneten Umständen auch in
Theüe zerfallen, wie aus Folgendem erhellen wird.

Befindet sich unter den Curven des gegebenen Büschels P(C'*) ins-
besondere eine solche, etwa C^, welche einen Mittelpunkt 6|, hat, und
wird dieser Mittelpunct als Pol angenommen, so zerfallt die innere Pan-
polare nothwendig in die Curve Cj* und in eine bestimmte Curve e/J'*~^ ,
80 dass e/^**~* aus 0^-\-Jo'~^ besteht, und zwar ist dabei die Curve J^~^
eine gemeinsame innere Polare aller gegebenen Curven B{0") mit Aus-
nahme der Curve C^, mit welcher sie concentrisch ist. Ein solcher Pol
Cq(^^=P) bedingt aber auch in Rücksicht der ihm entsprechenden äusseren
Polaren, JB(-4"*~^), eine besondere Eigenschaft, nämlich: Dassalle diese
Polaren parallele Asymptoten haben, und zwar parallel den
Asymptoten jener gemeinsamen inneren Polare e/j*~^ weil sie
mit dieser die Gerade ö«» in dieii nämlichen m — 1 Puncten a^

572

Ucber algebraische Ourven, welche einen Uittelpauet baben, und

»chnoideD. Die(m — lX»i — 2) übrigen gemeiuscliaftlichen Functe (Grand-
puDcto) f dos Büschels J?(^"'-') müssen daher in einer Curve -<4*"^ liegen,
welche mit Q^ zusammen eiiio Curve A^^ dieses Büschels vertritt, lutd
zwar ist dieselbe die äussere Polare von jener besonderen Curve C^- B^
findet sich unter den gegebenen Curven BiC") zugleich noch eioo andeir,
etwa 6'^,, welche einen Mittelpuuct 6,, hat, so kommen ihr und ihrem
Mittelpuacte gleiche Eigenschaften zu. Bewegt sich sodann der Pol P in
der durch beide Mittelpuncto gehenden Geraden QC^g, so entspricht ihm
in jedem Moment ein Büschel äusserer Polaren ß(^*~') mit («i — 1)' Grund-
puncten -p, und der Ort aller dieser Puncte j) ist eine Curva
2(w* — 1)"° Grades ^4^"^*, deren Asymptoten mit den Äsymptotee
der beiden gemeinsamen inneren'Polaren ^^' und J^^ parallel
sind, oder welche mit diesen zwei Curven die Gerade 6. in
den nämlichen zweimal tn — I Puncten a^ schneidet.

Durch Umkehrung ei^ben sich folgende Satze:

a. Giebt es in der Ebene zweier gegebenen Curven »"*
Grades, 6',"" und Cj*, irgend einen solchen Pol 6j( = i^, dessen
innere Polaren in Bezug auf dieselben in eine zusammenfallen,
t7;*-i, 80 haben alle Curven des durch die zwei gegebenen be-
stimmten Büschels £(6''") für den gleichen Fol die nämliche
innere Polare gemein, und so enthält dieser Büschel allemil
eine solche besondere Curve 6'^, welche den Pol C, zum Mittel-
puuct hat

h. Hat eine gegebene Curve m"'' Grades C^ einen Mittel-
puuct C^, und nimmt man in derselben ■J?M(7n+3) — IPunctef
beliebig an, so gehen durch diese Puncte unzählige Curven
desselben Grades, B(C"''), welchen rücksichtlich jenes Mittel-
punctes, als Pol, eine und dieselbe innerePolare^J^^ entspricht

c. Sind in einer Ebene zwei Curven m*"' Grades C" und C",

über darauf bezügliche Eigenschaften allgemeiner Curvon. 573

enthält. Da nun die innere Panpolare desselben Poles vom (2 m — 1)^" Grad
ist, so fallen in jede durch P gezogene Gerade G je m — 1 Sehnen S,
welche im Allgemeinen ebenso vielen verschiedenen Curven oder Systemen
2(S) angehören werden. Bezeichnet man irgend eine Curve des Büschels
durch Cj", ihre Sehnen'durch S(/S,) und jede der j^m(m — 1) Geraden, in
welchen die Sehnen liegen, durch G, , so fallen in jede ö, noch m — 2
andere Sehnen S, die ebenso vielen anderen Curven C*" angehören, und es
entsieht die Frage : Ob in Rücksicht aller ^m(w — 1) Geraden Gj die
je m — 2 anderen Sehnen S zu den nämlichen m — 2 anderen
Curven C*", oder ob dieselben im Ganzen zu ^(m — l)X(w — 2)
verschiedenen Curven 6'*" gehören. Z. B. bei einem gegebenen
B(C^) fallt in jede der 3 Geraden G, , in denen die 3 Sehnen S^ der
Curve Cf liegen, noch je eine andere Sehne S', und es ist die Frage, ob
diese 3iS' einer und derselben, etwa C', oder ob sie drei verschiedenen
anderen Curven C^ angehören. Gehörten sie derselben Curve C' an, so
wären alle Curven des Büschels B(C^) einander paarweise zugeordnet.
Es kann femer gefragt werden: Welche Relation findet zwischen den
\m{m — 1) Sehnen jedes Systemes 2(5) statt? oder wenn eine derselben
gegeben ist, wie sind die übrigen zu finden? Welche Relation findet
zwischen verschiedenen Sehnen-Systemen statt?

Hat insbesondere 'eine der gegebenen Curven J5(6''"), etwa C^, einen
Mittelpunct C^ , und wird dieser als Pol P angenommen, wobei die Pan-
polare J^"*"^ = C^H-t/2*~* wird, so liegen in jeder Geraden G je ^ Sehnen
Sq der Curve C^^ sowie je ^{m — 1) Sehnen S, welche einzeln anderen
Curven O^ angehören; dabei sind in den Zahlen \m und ^(m — 1) nur
die Ganzen zu zählen. Welche Resultate erhält man, wenn die eben auf-
gestellten Fragen auf diesen besonderen Fall angewendet werden?

§23.

Allgemeine Bemerkung.

Die Resultate der vorstehenden Untersuchung lassen sich durch Pro-
jection in andere, scheinbar allgemeinere umwandeln; was bereits schon
oben gelegentlich an einigen Stellen geschehen, an anderen nur bemerkt
worden ist. Auch kann fast durchgängig eine entgegenstehende Reihe von
Sätzen und Eigenschaften nach dem Princip der Dualität der Raumge-
stalten gleicherweise entwickelt oder durch Polarisation mittelst eines
Hülfs-Kegelschnittes aus dem Obigen hergeleitet werden; welches alles
zur Genüge bekannt ist. Eine eigentliche Weiterführung des Gegenstandes
gedenke ich später mitzuthoilen, wofern mein kränkelnder Zustand mir
die zur Ausarbeitung nöthige Kraft und Anstrengung gestattet.

Heber algebraische Curven, welche einen UitUtpimct haben, und

Einiges Über geradlinige Transversalen bei algebraischen
Carven.

§24.
Id den obigen Betrachtungen kommen bereits viele SStze über solche
Geraden vor, welche eine gegebene Gurve unter ii^nd welchen bestimniteD
Bedingungen schneiden, und zwar wurde dabei in den meisten Filleit
entweder der Ort der Geraden selbst, oder irgend eines in ihr fixirt«
Punctes, oder es wurden beide Oerter zugleich berücksichtigt, sowie auch
andere, davon abhängige Eigenschaften beobachtet. Einige der frühem
Fälle sollen hier etwas allgemeiner behandelt und nebstdem noch andere
analoge Beispiele hinzugefügt werden. Eine umfassendere UntersuchaDf
über Transversalen bei algebraischen Curven, aus welcher nicht nur alle
diese Beispiele, sondern auch ein grosser Theil der obigen Betrachtongeo
entnommen ist, behalte ich mir für eine andere Gelegenheit vor.

§25.

Eine gegebene Curve m"" Grades C" wird von jeder in ihrer Ebene
liegenden Geraden oder Transversale S in m Pnncten a (reell oder inu-
ginär) geschnitten. Der gemeinsame Scbwerpunct solcher m Schnitte (alle
gleich schwer gedacht) heisse A; so hat man in Rucksicht dieses Schver-
punctes zunächst folgende Sätze (wovon der erste I. a. allgemein bekannt ist):

1. a. „Wird die Transversale S sich selbst parallel be-
wegt, so beschreibt ihr Schwerpunct A (d. h. der SchwerpnncI
ihrer verändorticben m Schnitte a) irgend eino bestimmte
Gerade/), nämlich den der Richtung von <S conjugirten Durch-

über darauf beznglicbe Eigenschaften allgemeiner Curven. 575

mit den m — 1 übrigen Asymptoten ist; diese Curvo hat im All-
gemeinen ^ (m — 1) (m — 2) Doppeltangenten, welche solche
Durchmesser der Basis sind, 2),, denen zwei verschiedene
conjugirte Richtungen entsprochen.^ Demnach gehen durch
jeden Punct P der Ebene im Allgemeinen m — 1 Durchmesser
D der Basis, oder jeder Punct P ist der Schwerpunct A von
m — 1 durch ihn gehenden Transversalen S, welche nämlich
jenen Durchmessern beziehlich conjifgirt sind; liegt der Punct
P insbesondere in einer il„ so ist diese selbst einer der m — 1
Durchmesser, und so fällt die ihr conjugirte Transversale S
auf sie, und da diese Transversale mit den übrigen, wie
zuvor, ihren Schwerpunct in P haben muss, so kann also jeder
Punct P in der Asymptote A^ als Schwerpunct einer auf ihr
liegenden Transversale S angesehen werden; wird P in den
im Unendlichen liegenden Punct a« der Ag versetzt, so sind
die übrigen m — 2 Durchmesser D alle mit Ag parallel, die
ihnen conjugirten m — 2 Transversalen fallen sämmtlich auf
öoo und die der Ag conjugirte liegt auf dieser, wie zuvor;
liegt endlich P nach beliebiger Richtung in der Geraden ö«>,
so sind ebenso alle m — 1 Durchmesser nach dieser Richtung
parallel und die ihnen conjugirten Transversalen fallen alle
auf öoo-

c. Da die Basis C"» von der m(m — !)*•** Classe ist, so hat sie mit
der Curve 2)'»~^ im Ganzen m(m — l)X(w — 1) Tangenten gemein, d. h.
„Die Basis wird im Allgemeinen von m(m — l)(w — 1) ihrer
Durchmesser berührt; '^ zu diesen besonderen Durchmessern gehören
namentlich diei m Asymptoten ^«, deren Berührungspuncte a„ auf (r„
liegen; die in^(m — 2) übrigen sollen durch Z)^ und ihre Berührungspuncte
mit der Basis durch d^ bezeichnet werden.

U. a. „Wird eine beliebige Transversale S um irgend
einen in ihr liegenden Pol P herumbewegt, so beschreibt ihr
Schwerpunct A eine Curve 7w**° Grades, -4"*, und 2(m — 1)*«'
Classe, welche den Pol zum (m — l)-fachen Punct und in dem-
selben diejenigen m — 1 Transversalen, von denen er der
Schwerpunct ist (I. t.), zu Tangenten hat, und deren m Asymp-
toten 91« beziehlich den m Ag der Basis C"* parallel sind, und
zwar siad die beiden vollständigen m-Seite, m^g und mAg, ähn-
lich und ähnlichliegend, haben den Pol P zum Aehnlichkeits-
punct und ihre homologen Dimensionen verhalten sich wie
l:7n." Somit haben alle solche Curven A^^ welchen Polen P
sie entsprechen mögen^ congruente Asymptoten-Tii-Seite, mSI«;
und denkt man sich nebst der gegebenen Basis C"^ beliebige

576 Heber algebraiscfap Cnrveii, welche einen Mittelpnnct haben, uod

andere Curveo C*, Cj, ,,., welche mit ihr die m A, gemein
haben, so muas jedem Pol P in Rücksicht aller dieser Curven
eine und dieselbe Curve A" entsprechen, und ebenso haben
dieselben alle Durchmesser D und deren Envetoppe i>~— ' ge-
mein. Unter den Curven 6'", , welche mitC" die «»Asymp-
toten A, gemein haben, giebt es insbesondere eine solche,
etwa 6'^, welche den Pol P zum (m — l)-fachen Punct hat, und
zwar hat dieselbe in diesem Puncto mit der Curve A^ die ge-
nannten m — 1 Tangenten gemein, so dass ihre respectiven
Zweige einander daselbst tberühren, oder mit einem Worte:
die Curven 6'^ und A" sind ähnlich und ähnlich liegend,
haben P zum Aehnlichkeitspunct und ihre entsprechenden
Dimensionen verhalten sich wie 7r:1. — Denkt man sich den
Pol P nach irgend einer Richtung ins Unendliche versetzt, so zerfaUt die
Curve .^ " in den der Richtung conjugirten Durchmesser D und in einen
anderen Theil, welcher ganz im Unendlichen liegt.

b. Da die Ortscurve A "• durch die im Unendlichen, in G„ , liegenden
m Puncto «„ der Basis 6'"" geht (vermöge der Parallelität der Asymp-
toten), so müssen die übrigen ni(ni— 1) gemeinschaftlichen Poncte, etw»
Aj, beider Curven in einer Curve (wj — 1)"" Grades, Af~^, liegen. Oder:
„Durch jeden Pol P gehen je m(m — 1) solche besondere Trans-
versalen S|(^S), deren Schwerpuncte A^ in der Basis selbsl
liegen, und zwar ihre Schnitte mit irgend einer Curve (m — \y
Grades, -fl;"~', sind." Liegt der Pol P in der Basis selbst, so
wird diese in demselben von der Curve A'^~^ (m — l)-punctig
berührt; die Berührung wird m-punctig, wenn eine jener m— 1
Transversalen, welche P zum Schwerpunct haben, auf die Tan-
gente der Basis in P fällt, was jedoch nur für eine bestimmte
Zahl (nämlich für m (in — 1)') Pole eintreten kann. Versetil'

über darauf bezügliche Eigenschaften allgemeiner Cnrren. 577

einem Puncto berührt, so berührt auch die zugehörige Curve
A"^"^ im nämlichen Puncto.

c. Bewegt sich der Pol P in irgend einer festen Geraden G, so
bilden die ihm in Bezug auf die gegebene Basis C"* in obigem Sinne
(a.) entsprechenden Curven A"^ eine solche Curven-Schaar S(A"^), welche
ausser den mPuncten a« der Basis auch noch den Schwerpunct, etwa
Ag, der Geraden G gemein haben, und welche nebstdem die ganze Ebene
dergestalt durchziehen, dass durch jeden beliebigen Punct ^ im Allge-
meinen je m — 1 derselben gehen, und dass die Basis in jedem ihrer
m Puncto ttoo von je einer derselben zweipunctig, in ihren m Schnitten
mit der Geraden G aber von je einer derselben (m — l)-punctig und
ausserdem noch von in(m^ — 3) derselben in je einem anderen
Puncto berührt wird. „Zudem hscben die S(A'^) die obige
Curve XH—i (I. i.) zur gemeinsamen Enveloppe, und zwar wird
diese von jeder Curve -4*" im Allgemeinen in 2m — 3 ver-
schiedenen Puncten berührt; insbesondere giebtes unter den-
selben A(m — 2) solche, welche die Curve 2)"*~^ in irgend einem
Puncto vierpunctig (also nebstdem nur noch in 2m — 5 Puncten)
berühren." „Ferner ist diese Schaar Curven S(A"') so be-
schaffen, dass irgend eine gegebene Curve q^'^ Grades von
q(q-hl)0^ — 1) derselben berührt wird;" also wird insbesondere
jede gegebene Gerade von je 2(m — 1) derselben berührt.*)

*) Bewegt sich der Pol P statt in der Geraden G in irgend einer
Curve nt«n Grades G*, so hat die ihm entsprechende Curven-Schaar
S(A^) folgende Eigenschaften: P. Sie haben die mPuncte a« der Basis
gemein. 29, Durch jeden Punct P der Ebene gehen im Allgemeinen
n(m — 1) Curven -4"*. 3®. Die- Basis C" wird in jedem der mPuncte a« von
n derselben einfach, in ihren mnSchnitten mit der Curve CT von je einer
derselben (m»— l)-punctig und ausserdem von nm{m^ — 3) derselben in an-
deren-bestimmten Puncten einfach berührt. 4^. Irgend eine gegebene
Curve q^^ Grades Q^ wird im Allgemeinen von nq(q-\-l){m — 1) Curven A"^
berührt. 5®. Die Enveloppe der S{A^) besteht im Ganzen: o) aus den
mPuncten 0«; ß) aus der Curve D^~^ und zwar wird diese, wie oben,
von jeder A^ in 2m — 3 Puncten berührt, insbesondere giebt es 4n(m — 2)
solche Curven -4*", welche dieselbe in irgend einem Puncto vierpunctig
berühren; j) aus der (m — l)(m — 2)-fachen gegebenen Curve C; und end-
lich h) aus einer bestimmten Curve wm*®" Grades, die jedocji von jeder
Curve A^ im Allgemeinen in nur einem Puncto berührt wird.

Bewegt sich der Pol P in der Basis C^ selbst, so wird diese (abge-
sehen davon, dass sie im jedesmaligen Pol von den zugehörigen Curven -4"* und A"'~^ (6.)
schon (m — l)-punctig berührt wird, ausserdem) von m(m^ — w' — m — 1) Curven ^"* (und
zugehörigen A^"^) berührt, und zwar wird sie von m{m — 1)' derselben im
jedesmaligen Pol selbst (also m-punctig), dagegen von m(rn — 2)(m' + l) der-
selben in anderen bestimmten Puncten berührt.

Steiner 's Werke. IT. 37

578 l'eber algebraische Curren, welche eloen Uittelpunct haben, und

Beachtet man, während der Pol P sich \a der Geraden 6 bewegt,
die je m — 1 Transversalen, von welchen er der Schwerpunot ist (I. b.),
so sind dieselben zusammen alle Transversalen, deren Schwerpuncte in
G liegen; wird jede derselben durch S^ bezeichnet, so hat man den Satz:

„Der Ort aller Transversalen Sg, deren Schwerpuncte A in
irgend einer gegebenen Geraden Q liegen, ist eine Carve m"'
Classe S" und 2(m — 1)"™ Grades, welche die Gerade G. zur
(m — l)-fachen Tangente hat, und welche namentlich die Asym-
ptoten A, der Basis, sowie auch die Gerade Q, und zwar diese
in ihrem Schwerpuncte Ag berührt."

Dieser und der obige erste Satz (a.) sind gewissennassen einander ent-
gegenstehend. Durch Hülfe derselben folgen leicht alle nachstehenden Sätze.

III. a. „Soll die durch die feste Basis C" gezogene Trans-
versale S irgend eine andere gegebene Curve n"' Classe K*
berühren, so ist der Ort ihres Schwerpunctes A eine Carve
»»»""Grades, Ä"™, welche die mPuncte a« der Basis su n-faclien
Puncten und daher mit jeder A, der Basi« je n parallele
Asymptoten K, hat, welche den nach gleicher Richtang ge-
henden nTangonten Tder Basis in der Art entsprechen, dass
die Abstände je zweier zusammengehörigen 91, und T von Ä,
sich verhalten wie m — l:wt,"

b. „Soll der Schwerpunct A der Transversale S in irgend
einer gegebenen Curve n"° Grades G" liegen, so ist ihr Ort
eine Curve mn"" Classe S™ und n(n — l)(m — l)4-2n(«i — I)
= (m — l)n(n-j-l)"'' Grades, welche die «»Asymptoten A, der
Basi.s zu n-fachen und die Gerade G„ zur n(m — l)-fachen Tan-
gente hat; ihre n(m — 1) Berührungspuncte mit der letzteren
sind durch die conjugirten Richtungen derjenigen n-mal m — 1
Durchmesser D der Basis bestimmt, welche beziehlich den

über darauf bezügliche Eip^enschaften allgemeiner Cunren. 579

die Basis in 7n^(m — 2) bestimmten anderen Puncten berührt."
Femer: „Die m(m — 2) Berührungspuncte der Curve S^^" mit
der Geraden ö« werden durch die conjugirten Richtungen
derjenigen Durchmesser der Basis angezeigt, welche zu je
m — 2 mit ihren m Asymptoten A, parallel sind (I. J.); die
m(m — 1)' geradlinigen Asymptoten der ersteren (worunter
jene m Ag mit inbegriffen) gehen durch diejenigen Puncte d^
der Basis, in welchen diese von einzelnen ihrer Durchmesser
D^ berührt wird (I. <?.), und zwar hat jede Asymptote die dem
jedesmaligen Durchmesser conjugirte Richtung, so dass sie
bestimmt ist."

Die Curve iS,"*^"»-*) hat mit der Basis C"» im Ganzen

m(7n — l)Xm(m — 1)

Tangenten gemein; daraus könnte man schliessen, dass die Basis ebenso
viele solche Tangenten, etwa SJ, habe, deren Schwerpuncte A^ in ihr
selbst liegen ; allein es verhält sich nicht genau so. Sondert man zunächst
die m Asymptoten Ag der Basis, wovon jede für m, also alle für m^ ge-
meinschaftliche Tangenten zählen, ab, so bleiben noch

(w— 2)m'

solche gemeinschaftliche Tangenten S^ übrig, deren Berührungspuncte,
etwa «2, mit der Basis nicht im Unendlichen liegen, und in Rücksicht
dieser entsteht nun die Frage: „Bei wievielen derselben fällt der
Schwerpunct A^ mit dem Berührungspuncte a,, und bei wie-
vielen fällt er mit einem der m — 2 Schnitte a, mit a,, zu-
sammen?" Da im Berührungspuncte a, zwei der w Schnitte a vereinigt
sind, 80 habe ich die Wahrscheinlickkeit beider Fälle nach dem Ver-

hältniss von

2:m—2

angenommen^*) woraus sich ergiebt, dass von den (m — 2)m^ Tan-
genten iS* der Schwerpunct A^

(1) 2(m — 2)w'-mal in a^; und (2) (m — 2)'7?i'-mal in einem a^

liegen muss. Wenn aber der Schwerpunct A^ im Berührungspunct a,
liegt, 80 muss die Curve Sf'^'"-^) daselbst nothwendig die iS® und
somit auch die Basis C"* berühren, so dass also S" in diesem Falle
(als Berührungs- Tangente) für zwei gemeinschaftliche Tangenten zählt,
im Sinne von § 17 eine SJ ist, und folglich der Schwerpunct A^
nur halb so oft, als eben angegeben worden (1), also nur
(1*) (m — 2)7w'-mal in a,

*) Einen strengen Beweis für die Richtigkeit oder Unrichtigkeit dieser Annahme
überlasse ich Anderen. Für m = 3 und »i = 4, d. h. für die Basen C und C* stimmt
die Annahme mit der Wahrheit überein.

37*

580 l'eber algebraische Curven, welcbe einen MittelpuDct haben, und

fällt. Danach rcduciren sich die (m — 2)»»' TangeDten S* auf

und mit diesen verhält es sich so:

„Die gegebene Basis C" hat im Allgemeinen ausser den
Asymptoten

a) (m — 2)m* solche Tangenten, deren Schwerpanct A,
mit dem Berührungspunct a, zusammebfSllt; und

b) (m — 2)'m' solche Tangenten, deren Schwerpunct A, in
einem ihrer wi — 2 Schnitte o, in o, , liegt."')

Uebrigens verhält es sich mit den m Asymptoten A, ebenso. Da jede A, for
m gemeinschaftliche Tangenten zählt, so müssen auch tn Schwerpuncte A^ in
ihr und zugleich in der Basis C" liegen; und zwar vertheilen sich dieselben
nach dem Verhältniss von 2:m — 2, nämlich 2 sind im Berührungspuiicte a,
{= a„) vereinigt, woselbst sich zugleich die beiden Curven berühren, und
die m — 2 anderen fallen in die m — 2 Schnitte a von Ä, und C".

Somit findet für die gesammten m(m — l).m(»n — 1) ge-
meinschaftlichen Tangenton S", dieselbe Reduction und Ver-
theilung statt; nämlich sie reduciren sich auf

7n(m-iy,
und von diesen liegt der Schwerpunct A,

(a.) m(wi— l)'-mal in a,; und (ß.) mCm— 2)Cm— I)'-mal in o,.
Hierbei und mehr noch oben (I. h.) stellt sich für die Asymptot«
A, das Eigenthümliche herans, dass ihr Schwerpunct, d. h. der Schwer
punct ihrer m gemeinschaftlichen Punct« a mit der Basis C, unbe-
stimmt ist, in ihr liegen kann, wo man will; wogegen bei jeder mit
A, parallelen Transversale S der Schwerpunct bestimmt, nämlich im
Unendlichen, in a^, liegt. Dies erklärt sich einfach ans dem Umstände,
dass man sich bei A, die zwei in ihrem Berührungspuncte a, vereinigten
lüte, etwa »^ uud a'^, nach «niLgogcnse sota Ion Richtungen im Unend-

über darauf bezngliche Eigenschaften allgemeiner Curven. 531

a« der Basis zu (m^ — m — l)-fachon Puncten hat, und zwar mit
dem einen Zweige daselbst die Basis berührt, dagegen mit
den w' — m — 2 übrigen schneidet, und welche ferner die Basis
in den nämlichen vorgenannten (m — 2)m^ Puncten a, berührt
und in den (m — 2)'w' Puncten a^ schneidet (IV.). Danach hat
die Ortscurve mit der Basis deren ?n Asymptoten Ag gemein,
aber mit jeder A, noch m' — m — 2 andere Asymptoten St, pa-
rallel, welche den mit derselben^, parallelen m^ — m — 2 Tan-
genten T der Basis so entsprechen, dass die Abstände der zu-
sammengehörigen 8, und T von A, sich verhalten wie
m — l:w."

VI. „Der Ort der Schwerpuncte A^ aller Durchmesser D
der gegebenen Basis C"*, dieselben als S angesehen, ist
(ausser den Asymptoten der Basis) eine Curve m (m — 2)^"
Grades, ^J^"*~^\ welche die m Puncto a» der Basis zu (m — 2)-
fachen Puncten und daher mit jeder A^ der letzteren je m — 2
parallele Asymptoten 81, hat, die den mit derselben Ag pa-
rallelen m — 2 Durchmessern D (I. i.) in der Art entsprechen,
dass die Abstände der zusammengehörigen Sl, und D von Ag
sich verhalten wie m — l:m; und welche ferner die Enveloppe
aller Durchmesser, die Curve Z)'»-^ in denselben Puncten a^
berührt, in welchen diese von den m Asymptoten A^ der Basis
berührt wird (I.A.)." Die in(m — 2) X w gemeinschaftlichen Puncto
der Curven ^J^"*"*^ und C"' sind die Schwerpuncte Aa ebenso vieler
Durchmesser der letzteren; und da m(m — 2) derselben in die m Puncto
a^ fallen, so zeigen die m(7n — l)(m — 2) übrigen die Zahl derjenigen
Durchmesser an, deren Schwerpuncte in der Basis, aber nicht im Unend-
lichen liegen. Dasselbe Resultat ergiebt sich auch, wenn man die
m(m — 1)' gemeinschaftlichen Tangenten der Curven /S^*^"*-*) (IV.) und
D"^^ berücksichtigt; denn werden von diesen die (m — l)-fach gezählten
Asymptoten^, weggelassen, so sind die m(vi — l)(w — 2) übrigen gerade
die genannten Durchmesser. Also:

„Die gegebene Basis 6'"* hat im Allgemeinen 7w(7/i — l)(w — 2)
solche Durchmesser, deren Schwerpuncte in ihr selbst, aber
nicht im Unendlichen liegen, und durch diese Schwerpuncte
können Curven {m — l)(m — 2)^" Grades gehen."

In Betracht der Durchmesser D und ihrer Enveloppe 2)'»-i ist noch
der folgende Satz hinzuzufügen:

„Wird durch denjenigen Punct a^, in welchem jeder
Durchmesser D der Basis C"* die Enveloppe Z)"*"^ berührt, die
dem Durchmesser conjugirtc Transversale @(==/S) gezogen,
so ist ihr Ort eine Curve (2?;?— 3)*«' Classe, ©sm-s^ und 4(w— 2>*"

582 Ueber al^eliraiacbe Uurveu, welche einen Hittelpuaci haben, lUtd

Grades, welche die Gerade G„ zur 2(m — 2)-fach6n Tangente
hat und namentlich auch die m Asymptoten der Basis
berührt."

VII. Werden die vorstehenden Sätze auf die einfachsten Basen, C*
und 6", bezogen, so ergeben sich noch viele Folgerungen aas denselbui;
wie z. B. die nachstehenden.

a. Für die Basis C* sind die meisten Satze bereits schon ohen
(§ 15) unter anderem Gesichtspuncte betrachtet worden; hier soll nur noch
Einiges bemerkt werden. Nach (IV.) soll die Ortacurvo SJ die Basis C
in (3 — 2)3'^9Puncten a, berühren, welche zugleich die Schwerpunde
j4[ der zugehörigen Tangenten S* sind; und femer soll von (3— 2)'.3'=9
anderen Tangenten S* der Schwerpunct A, zugleich im (einzigen) Schnitt-
puncte a, derselben liegen. Diese 2 mal 9 Tangenten S' reduciren sich
aber auf die 9 Wendetangenten SB der C*, so dass in jedem Wendepnod
n ein o, und ein n, zugleich liegen (vergl. § 15, II, 2) — Nach (V.) ist
der Ort der Schwerpuncte A^ aller Tangenten S^ eine Corve fünfzehnten
Grades A',', welche die drei Puncte a„ der Basis C* zu fünffachen Ptmcten
hat und daselbst mit Je einem Zweige die Basis berührt, so dass sie mit
dieser daselbst 18 Puncte gemein hat und sie nebstdem in ihren 9lD drei-
punctig berührt, also mit ihr die 9^ gemein hat. Der Schwerpunct
Ag jeder Tangente <S, liegt im ersten Drittels-Punct vom Berührungspuncte
aus. Die Mitte jeder Tangente S^ heisso M. Der Ort aller M ist eben-
falls eine Curve fünfzehnten Grades JM", welche die 3 Puncto
a„ zu fünffachen Puncten hat, mit dem einen Zweige daselbst
die C berührt und mit dieser nebstdem die 9ni und zugehöri-
gen 9SS gemein hat. Daher folgt: „In der Ebene einer Curve
dritten Grades C giebt es im Atigemeinen 120 solche Punctt
P (ausser den 3a„ und 9n]), wovon jeder A^ und Sf zugleich,
d. h. der Drittels- oder Schwerpunct einer und die Mitte einer

über darauf bezugliche Eigenschaften allgemeinei Curven. 58B

welche mit der Basis ausser deren Asymptoten (4 — 2) 4' = 128 Tan-
genten iS* gemein hat, aber von denen 32 Paare zusammenfallen, nur
32 Tangenten SJ bilden, bei welchen der Schwerpunct A^ im Berüh-
rungspuncte a, liegt, und über welche das Weitere bereits oben (§ 17)
steht; wogegen bei den (4 — 2) '.4' = 64 übrigen S\ der Schwerpunct
Ä^ sich in einem der zwei Schnitte, a oder a,, befindet. Bezeichnet
man den Berührungspunct jeder der letzteren Tangenten durch a und die
zwei Schnitte durch ß und y und nimmt an, der Schwerpunct A^ liege
in ß, so muss ß zwischen a und y liegen, und zwar muss die Strecke
ßY = 2ßasein. Also: „Eine beliebige Curve vierten Grades C* hat
im Allgemeinen 64 solche Tangenten, bei denen die beiden
Schnitte ß und y auf gleicher Seite vom Berührungspuncte a
liegen, und wobei der eine Schnitt gerade dreimal so weit vom
Berührungspunct abliegt, wie der andere, aY = 3aß." Durch die
64 Puncto a, (oder ß) können Curven sechzehnten Grades
gehen. — Die Schwerpuncte A^ aller Tangenten S^ der 6'* liegen in
einer Curve vierundvierzigsten Grades (V.). Der Ort . der Schwerpuncte
Ad aller Durchmesser D ist eine Curve achten Grades ^5, welche die
4 Puncto ax, und die drei Schnitte der drei Paar conjugirten Durchmesser
der Basis (§ 17) zu Doppelpuncton hat. Es giebt (ausser den 4-4,) 24
solche Durchmesser 2), deren Schwerpuncte Aa iti C* selbst liegen, und
durch die 24 A^ können Curven sechsten Grades gehen (VI.).

Bemerkung. Durch Projection erhalten die vorstehenden Sätze ein
allgemeineres Ansehen; nämlich an die Stelle des betrachteten Schwer-
punctes tritt ein „mittlerer harmonischer Punct", welcher übrigens
auf die Art zu bestimmen ist, wie bereits PonceUt in seiner inter-
essanten Abhandlung ^8wr les centres de mayennes hafmoniques^- (Bd. 3.
S. 213 d. Cr^Zfe'schen Journ.) gezeigt hat.

§26.

I. Die m Schnitte a, b, c, d, , , . , der Basis C"' und irgend einer
Transversalen S begrenzen in der letzteren 4^m(m-^l) Strecken ab, ac,
ady . . . . , bcj bdj . . . . , cd, . . . . ; die Mitte jeder Strecke heisse Q. Jede
Strecke ist rücksichtlich ihrer Mitte eine einfache Sehne, etwa « (statt S)
(§ 13), und somit liegen in jeder Tran.^versale S im Allgemeinen ^m(rii — 1)
einfache Sehnen s und ebenso viele Mitten Q. Wenn insbesondere S die
Basis berührt, so liegt eine Mitte Q im Berührungspunct, etwa (a6), und
m — 2 Paare fallen zusammen. Ist ferner insbesondere S einer Asymptote
A» der Basis parallel, so hat man sich m — 1 Puncto Q als in a« liegend
zu denken; und fallt S auf ^,, so liegen 2(w — 2) Puncto Q in a^, ein
anderer Punct Q aber, nämlich die Mitte der im Berührungspuncte a^ ver-

584 Ueber sIgebraUche Curven, welche eineD Hittdpunct haben, und

oinigten zwei Puncte a und b, bleibt hierbei nnbestimmt, er kann jeder belie-
bige Puoct iD A, sein (vergl. § 25, IV.); die noch übrigen i(«J — 2)(»i — 3)
PuDctc Q sind bestimmt, wie zuvor. Wird S ins Unendliche »er-
setzt, soll S=sG^ sein, so sind die Pnncte Q unbestimmt, weil die
Richtimg voQ 6„ unbestimmt ist; sobald aber die Richtung von 6„ fest-
gestellt wird, so sind auch alle im(m — 1) Puncte Q bestimmt, nämlich
durch Hülfe der vi Asymptoten A, der Basis. Diese Unbestimmtheit der
Richtung von G„ bewirkt, dass jeder nach irgend einer gegebenen Rich-
tung in G^ liegeado Punct Q„ nach Belieben als die Mitte von jeder
durch die Puncte a. , i«,, c„, rf„, .... begrenzten \m(m — 1) Strecken
angesehen werden kann. — Mit Bezug auf alle diese Umstände hat man
folgende Sätze:

II. a. „Wird die beliebige Transversale S sich selbst
parallel bewegt, so beschreiben ihre ^(m — 1) Mitten Q
insgesammt eine Corve ^(m — I)*™ Grades, Qi^f"^'), und
mCwi— 1)Cmj— 2)*" Class.e, welche 4m()»— l)(m— 2)(ni— 3) Dop-
pelpUDCte Q, , sowie m(vi — 1) auch die Basis berührende
(m — 2)-facho Tangenten hat, und deren Asymptoten Sl, be-
ziehlich durch die im(m—l') gegenseitigen Schnitte der n
Asymptoten A, der Basis gehen und zu diesen mit der Rich-
tung von S zugeordnet harmonisch sind, so dass, wenn etwa
A, und B, zwei Asymptoten der Basis sind, welche dieselbe
in a^ und b^ berühren und irgend eine der parallelen Trans-
versalen S in a, und &, schneiden, dass dann die aus dem
Schnitte A,B, durch die Mitte Q, der Strecke a^b^ gezogene
Gerade Hl, eine' Asymptote der Ortscurve ist und sie in der
Mitte Q„ derStrecke a^b^ berührt." Uebrigens werden alle andereo
Tangenten der Ortscur\-c durch eine gleiche Construction erhalten. Denkt
man sich in irgend zwei Schnitten, etwa a und b, von S und

über darauf bezügliche Eigenschaften allgemeiner Curven. 585

gemeinen je im(m — 1) derselben gehen."*) Während die Trans-
versale S ihre Richtung ändert, drehen sich die ^m^m — 1) Asymptoten
21, der veränderlichen Curve Q*"'("*-i) um die festen Schnittpuncte der
m Asymptoten A^ der Basis und bilden ebenso viele unter sich projec-
tivische Strahlenbüschel, welche theils perspectivisch, theils schief liegen,
also theils perspectivische Durchschnitte G haben und theils Kegelschnitte
Ä"' erzeugen; nämlich jeder Strahlbüschel ist mit 2(m — 2) anderen per-
spectivisch und mit ^(m — 2)(m — 3) befindet er sich in schiefer Lage.
Die genannten G und K^ haben unter sich ebenfalls mannigfaltige Be-
ziehungen, welche jedoch hier ausser Acht gelassen werden.

III. a. „Wird die Transversale S um einen in ihr be-
liebig gewählten Pol P herumbewegt, so beschreiben die
^m(m — 1) Mitten Q eine Curve 7n(m — 1)**° Grades Q^^f«»-*) und
(m — lym^^ Classe, welche den Pol P zum ^i(w — l)-fachen
Punct und nebstdem noch fm(m — l)(w — 2)(m — 3) Doppelpuncte
Q, hat, sowie ferner in jedem der m Puncto a« der Basis C"*
sich selbst (w — l)-mal berührt, so dass sie nur w* Asymptoten
81, hat, aber jede derselben (m — l)-fach zu zählen ist, und
zwar sind diese Asymptoten beziehlich den Asymptoten A,
der Basis parallel und liegen halb so weit vom Pol ab wie
diese, so dass also die beiden Asymptoten-?7»-Seite, mS(, und
mAgy ähnlich sind, den Pol P zum Aehnlichkeitspurict haben
und ihre entsprechenden Dimensionen sich verhalten wie
1:2." „Liegt der Pol P insbesondere in der Basis selbst, so
zerfällt die Ortscurve in zwei Theile Q"*-\-Q^(»^-^). Die Curve

*) Diejenigen Puncte P, diu'ch welche eine Curve weniger geht, liegen in der En-.
veloppe E* der Curven-Schaar, welche von jeder der letzteren in ^m^im — 1)' Puncten
berührt wird. Woraus besteht diese Enveloppe E', oder welche Eigen-
schaften hat dieselbe? — Besteht sie nicht aus zwei getreunten Theilen, nämlich
1) AUS dem Ort aller Doppelpuncte Qj der Curven-Schaar, etwa aus einer Curve x^^
Grades Q^, und zwar diese doppelt genommen; und 2) aus dem Ort der Mitten Qq
aller deijenigen einfachen Sehnen @ der Basis, welche die Berührungspuncte paralleler
Tangenten der letzteren verbinden (vergl. § 15, IV. u. § 21, I.) , [welchen Ort ich als
vom m(iii + l)(m — 2)ten Grade, als Qj'r'n+i)(m-2) gefunden habe]? Demnach bestände
die Enveloppe E* aus 2Qj-f Qy^"*-^*>^"*-2\ und jede Curve Q^"<"*-^^ der obigen
Schaar hätte im(rn — l)(m — 2)(m — 3) Doppelpuncte Qi in Qf> was für

iOT(m— l)(m — 2)(iii — 3)
Berührungen zählte, und somit müsste der andere Theil, qyC'^+OC»"— 3)^ yqh jeder Curve
Qim(iw-i) ^ ^to(^__i)(2^_3) Puncten berührt werden.

Für die Basis C bestände E* nur allein aus QJ* (§ 15, IV.) und diese würde
von jeder Q' in 9 Puncten Qq berührt.

Für die Basis C\ wo Q*, = Qi* (§ 17), wäre £* = 2Q;'» -f-Q}% und jede Curve
Q* hätte 3 Doppelpuncte Q, in QJ® und berührte die Curve QJ* in 30 Puncten Qq,

586 Ueber algebraische Curven, welche einen MitUlpunct haben, und

Q*" ist der Basis äholich und mit ihr ähDÜch liegend; beide
LierühreD einander im Pol P, der ihr AehDlichkeitspODCt ist,
und ihre entsprechenden Dimensionen verhalten sich wie
1:2; so dass also ihre Asymptoten parallel sind and nach
diesem Verhältniss vom Pol abstehen. Die andere Curve
Q^C—s) hat den Pol zum i(m+lXm— 2)-fachen Punct, sowie
die m Asymptoten 3, der ersten Curvo Q" zu (m — 2)-fsGheD
Asymptoten; und nebstdom hat sie noch

\ C3m+l)Cm — 2)(m — 3)C«t — 4)
Doppelpuncte Q,."

b. Soll die Ortscurve Q^"-'> durch irgend einen gege-
benen Punct $ gehen und ihren Pol P in einer gegebenen Ge-
raden G haben, so finden ^(m — 1) Lösungen statt Oder:
Bewegt sich der Pol P in einer festen Geraden G, so ist die
ihm entsprechende Curven-Schaar SCQ"'"-'') so beschaffen,
dsss durch jeden Punct % der Ebene im Allgemeinen je
^(m — 1) derselben gehen, und dass jede gegebene Gerade
G von jo m(wi'^ — 3) derselben berührt wird. Die Eiiveloppe dieser
Curven-Schaar enthält dieselben Bestandtheile, wie die vorige (II. b. Note),
aber ausserdem noch verschiedene andere Theile.

IV. Die in den vorstehenden Sätzen genannten Doppelpuncte Q, (H. a.
u. III. a.) zeigen diejenigen Transversalen S an, in welchen von deo
i^(m — I) Strecken irgend zwei, etwa ad und bc, dieselbe Mitte Q,
haben, und somit nach der früheren Erklärung und Bezeichnung eine
durch den jedesmaligen Pol P gehende Doppelsehne 5, bilden. Daher:

a. „Der Ort aller Doppelsehnen iS, einer gegebenen Cur ve
wj"" Grades C"' ist eine Curve |m(m—lXm—2Xm—3)"f Ciasäe

welche die Gerade g^ zur ^(m^l){m—i)(m—Zyta.c\i^n

ober darauf bezägliche Eigenschaften allgemeiner Curven. 587

«j

meinen fm(m — l)(w — 2)(m — 3) Doppelsehnen Ä, ; liegt der Pol in G
80 sind nur noch ein Drittel derselben wahrnehmbar, indem die übrigen
auf Goo fallen. Liegt der Pol P irgendwo in der Basis, so ist er
selbst ein Endpunct, etwa a, von ^(27/i-+-lX^^* — 2)(m — 3) Dop-
pelsehnen, deren Mitten Q, in der obigen Ortscurve Q"* liegen
(in, a.), sowie auch in einer anderen Curve (m — l)(m — 3)**°
Grades, welche die Q"» im Pol \(m-{-2)(m — 3)-punctig berührt.

b. „Der Ort der Mitten Q, aller Doppelsehnen S, der
gegebenen Basis C"* ist eine Curve ^in(m-i-l)(m — 2)(m — 3)*®°
Grades

/)iwi(mH-l)(»n— 2)(m— 3)

welche die Asymptoten Ag der Basis zu vielfachen

[i(m— 2Xw— 3)-fachen?]

Asymptoten hat und die Gerade Go^ nebstdem in denselben
Puncten schneidet, in denen diese von der Ortscurve der S^
berührt wird, und welche ferner insbesondere auch durch die
Mitten der Doppoltangenten der Basis geht."

Liegt von den ^i(w — 1) Mitten Q einer Transversale S irgend eine,
die Q^ heissen soll, in der Basis selbst (ohne dass die zugehörige Strecke
gleich 0 ist), z. B. liegt die Mitte Q^ der Strecke ac im Sclmitt b, und
wird dabei, wie früher (§ 15, 11.), die Transversale oder die einfache
Sehne ac durch S^ bezeichnet, so ergiebt sich durch die obigen. Sätze
femer leicht der folgende Satz:

c, „Der Ort aller einfachen Sehnen S^ der gegebenen
Basis C"», deren Mitten Q^ in der Basis selbst liegen, ist eine
Curve m(m — l)(w — 2)*®' Classe

Q m(m — l)(m— 3)
o, ,

welche die Gerade G«, zur ^(m — l)(m — 2)-fachen Tangente,
sowie auch die m Asymptoten A, der Basis zu 2(m — 2)-fachen
Tangenten und zu (m — 2)-fachen Asymptoten hat, und welche
die Basis in ihren 37w(7n — 2) Wendepuncten berührt." Die
Richtungen, nach welchen die Berührungspuncto dieser Curve und der
Geraden G« liegen, sind gleicherweise durch die Asymptoten der Basis
bestimmt, wie früher bei der Basis C" (§ 15, IL 5); nämlich die in jedem
durch irgend drei Asymptoten der Basis C"' gebildeten Dreiecke aus den
Ecken durch die Mitten der Gegenseiten gezogenen drei Strahlen sind
nach drei jener Berührungspuncto gerichtet. Ebenso ist der Berührungs-
punct, 8, jeder Sehne S^ mit der Ortscurve hier auch durch dieselbe ein-
fache Construction zu finden, wie dort (§ 15, II. 7). — Durch jeden be-
liebigen Pol P gehen m(m — l)(w — 2) Sehnen S, ; ihre m(m — l)(w — 2)
Mitten Q^ liegen allemal in irgend einer Curve (m — l)(w — 2)'®°

t'iSH Ueber algebniscbe Cunen, welche eioen UiltelpuDct haben, und

Grades Qt^-'X'»-'). Liegt der Pol i* in der Basis selbst, so ist er
einerseits die Mitte i^Q, von ^(m-\-l)(m — 2) Sehnen ae = S,
und andererseits ein Endpunct a von {fn~i-l')(m — 2) anderen
Sehnen S,; die (m+l)(7n — 2) Mitten der letzteren liegen in der
obigen Cnrvo Q" (III. «.), welche die Basis in P berShit. Liegt ferner
der Pol P im Unendlichen, in G^, so sind nur noch im(m — IX*» — 2)
Sehnen S, «'ahmehntbar (indem ebenso viele auf 0. fallen}, und darch
ihre Mitten Q, können Cürven Olt-w-OC-»-« gehen. Bewegt sich P
in der Geraden G^, so entsteht eine Curven-Schaar SC^~-"("-*^). So
oft eine dieser Curven die Basis berührt, wobei zwei der ge-
nannten Sehnen S^ in eine, S*,, zusammenfsllen, ist diese eiDe
Asymptote der Cnrve S^^-DC™-') und berührt sie im eotspre-
chcnden Pol P; zudem hat jede solche Sehne S\ die Eigen-
schaft, dass die in ihren Endpuncten a, c und in ihrer Mitte b
an die Basis gelegten Tangenten A, C und B sich in' irgend
einem Puncto $ treffen. — 1) Welche Enveloppe hat die Cnr-
von-Schaar «(Qlf^-'X--«)? 2) Von welchem Grade ist die Cnr»e

V. Es folgt weiter: *

a. „Der Ort aller Transversalen S in Bezug auf die ge-
gebene Basis C", welche eine ihrer Mitten Q in einer gege-
benen Geraden G haben, oder schlechthin, der Ojt aller ein-
fachen Sehnen ab=^S, deren Mitten in der gegebenen Geraden
G liegen, ist eine Curve m(vi — 1)"" Classe

und m(m' — S)"" Grades, welche -die Geraden G und G„ la
^»((m — l)-fachen Tangenten, sowie zudem noch

im(m-+-l)(m — 2)(w»— 3)
Doppeltangenten hat, und welche insbesondere aach die

über darauf bezügliche Eigenschaften allgemeiner Curven. 589

cherweise sind die Tangenten der Ortscurve in ihren

m(m-\-l)(m — 2)
Schnitten mit der Geraden G^oj also ihre geradlinigen Asymp-
toten, solche Sehnen abj in deren Endpuncten die Tangenten
an die Basis sich auf der Geraden G treffen, so dass also in
diesem Betracht zwischen G und G^ Reciprocität stattfindet.

b. „Der Ort aller derjenigen Transversalen S der gege-
benen Basis C"*, welche eine ihrer Mitten Q in einer gege-
benen Curve w*®° Grades G" haben, ist eine Curve nm(m — 1)^'
Classe, welche die Gerade (x« zur inm(m — l)-fachen Tangente
hat, und von welcher ferner angegeben werden kann, wieviele
Doppeltangenten sie habe, wie oft sie die Curven C''* und G"
berühre, u. s. w.*'

c. „Der Ort der 4^m(m — 1) Mitten Q derjenigen Transver-
sale iS der Basis C»", welche eine gegebene Curve n^' Classe
K^ berührt, ist eine Curve nm(m — 1)*^ Grades, welche mit
jeder der w. Asymptoten der Basis n parallele, aber zugleich
(w— l)-fache Asymptoten hat, u. s. w."

d. »Der Ort der Mitten Qq aller solchen einfachen Sehnen
ab = ^ der Basis 6*"*, in deren Endpuncten a, b die Tangenten
Ay B parallel sind, oder der Ort desjenigen Poles Q^,, dessen
innere Polare •/*'»-* die Basis in irgend zwei Puncten a, b be-
rührt (§*21, L), ist eine Curve 7w(m-hl)(wi — 2)**" Grades

Q m (fw+l) (m— 2)

welche die Basis in ihren 3m(w — 2) Wendepuncten berührt und
ihre wPuncte o«> zu(m-+-l)(m — 2)-fachen Puncten, also mit jeder
Af der Basis ebenso viele parallele Asymptoten hat, die be-
ziehlich in der Mitte zwischen A^ und den mit ihr parallelen
Tangenten der Basis liegen." Demzufolge giebt es im Allgemeinen
m(jn — 2)(m* — 7) solche Sehnen @, welche ihre Mitte Q^ in der Basis
selbst, aber weder in einem der Puncte a^ noch in einem Wendepunct
derselben haben. (Für w = 3 kommt 6@ oder 6Qo, wie § 15, IV.)
Hier entsteht die Frage: Welches ist der Ort, ©*, aller Sehnen
©?*) Der Berührungspunct jeder Sehne @ mit der Ortscurve @' ist
übrigens durch dieselbe einfache Bedingung bestimmt, wie oben (§ 15, IV,)
bei der Basis C".

VI. Der Ort der Mitten Q aller Transversalen S, welche die Basis
6'*" berühren, also aller Tangenten der letzteren, zerfallt in drei Theile,
wovon der eine die Basis selbst ist und nur die im Berührungspunct,
etwa a^, liegende eine Mitte enthält; dagegen enthält ein anderer Theil

♦) Bei einem Versnch, diesen Ort zu bestimmen, fand ich x=\m{m — l)(2m — 3).

090 Vebcr algebraische Ctirven, welche fiapn Mittelpnnct faftbcn, und

die Mitteo, etwa T„ (statt Q), derjenigen m — 2 Strecken, welche zwischen
dem BeriihningspuDct a^ und den m — 2 Schnitten b, c, d, . . . , liegen
[wobei eigentlich in jedem T^ ein Paar Q vereint sind (T.)]; und der
dritte Theil enthält die Mitten T (= Q) der von diesen m — 2 Schnitten
begrenzten Strecken. Somit liegen in jeder Tangente m — 2 Mitten 7^ md
^(m — 2)(wi — 3) Mitten T; ihre respectiven Oerter aber sind folgende:
a. „Der Ort der Mitton T, rücksichtlich aller Tangenten
der gegebenen Basis C™ ist eine Curve m(m-t-2)(m — 2)*^ Grades

welche die mPuncte a„ der Basis .zu m(m — L)-fachen Poncten
und jede A, derselben zur (m — 2)-fachen Asymptote hat, d.i.,
welche jede A, der Basis in deren Punct a„ mit m — 2 Zweigen
berührt und mit (wj+l)(?w — 2) anderen Zweigen schneidet, und
welche ferner mit der Basis deren 3in(m — 2) Wendepuncte nnd
Wendetangenten gemein hat, sowie jede Doppeltangeote der-
selben in ihrer Mitte berührt," Daraus folgt: „Eine beliebige
Curve C" hat im Allgemeinen n»(m+4)(m — 2) (wi — 3) solche
Tangenten, bei welchen ein . Schnittpunct b in der Mitte
zwischen dem Berührungspunct a„ und einem anderen Schnitt-
punct c liegt,"

ß. „Der Ort der Mitten 2" aller Tangenten der Basis C'
ist eine Curvo m(m+l)(m — 2)(wi — 3)"" Grades

welche die m Puncte a«, der Basis zu (m-i-l)(m — 2)(m — 3)-fachen
Puncten hat, durch die Berührungspuncte ihrer im(m — 2)(»i*— S)
Doppeltangenten geht und nebstdem jede dieser Doppeltan-
genton in 2(m — 4) Puncten berührt," Folgerung: „Eine beliebige
Curvo C" hat im Allgemeinen m(m — 2)(m — S)(m*'-~m — 4) solche

über darauf bezügliche Eigenschaften allgemeiner Curvcn. 591

Berührungspunct a^ abstehen (wie § 17)." Also: Die Ortscurve
T^^ hat die 4 Puncte a« der Basis 6'* zu zehnfachen Puncten,
geht durch die 56 Berührungspuncte ihrer 28 Doppeltangenten
und berührt dieselbe in den oben näher beschriebenen 32 Puncten
P'(§17).

Ist w > 4, so wird die Basis C** von der' Ortscurve der T (ausser
den im Satze (ß.) namhaft gemachten Puncten noch) in a; Puncten be-
rührt und in y Puncten geschnitten, wobei

2^-4-y = w (m — 2) (m — 3) (rn* — m — 4)

sein muss: Wie sind diese zwei Zahlen x und y zu finden?
[Ist nicht y^=(m — 4)^?? wie ein gewisser Wahrscheinlichkoits-Grund es
erheischt. Dann wäre

a; = m(7n — 3)(w' — m — 4) und y = m(m — 3)(w — 4)(m' — m — 4),

und die Basis C"* hätte m(m — 3)(7n' — m — 4) solche Tangenten,
bei welchen zwei Schnitte c und d gleich weit vom Berührungs-
punct a^ abständen, und ferner m(m — 3)(w — 4)(w' — 7/^ — 4)
solche Tangenten, bei welchen ein Schnitt b in der Mitte zwi-
schen zwei anderen c und d läge.]

VII. In der gegebenen Basis C^ giebt es auch solche besondere
Transversalen, bei w^elchen der Schwerpunct A ihrer m Schnitte (§ 25)
mit einer ihrer \m(m — 1) Mitten Q zusammenfallt. Jede solche Trans-
versale heisse Sa und ihr Schwerpunct Q«; so sind die respectiven Oerter
derselben

d. h.: „Bei einer beliebigen Curve C"* ist der Ort derjenigen
Transversale Ä«, deren Schwerpunct Qa in der Mitte zwischen
irgend zwei Schnitten liegt, eine Curve ^m(m — l)(m — 1)^'
Classe und der Ort des Schwerpunctes ist eine Curve

^m(w-4-l)(w— 2)*«°
Grades."

Für die Basis C" sind danach die Ortscurven: 5« und Q«; die erste
ist die obige Curve Äf (§ 15, IL), und die andere bedeutet die doppelte
Basis C, indem in der That jeder Punct in C die Mitte (== Q«) zweier
Sehnen S, ist (§ 15).

Bei der Basis C* sind die Ortscurven: Si* und Q«'; aber jede ist
eine doppelte Curve, indem hier jede Transversale S„ eine Doppelsehne
iS, ist, und daher zwei Mitten Q im Schwerpuncte Qa liegen; die ein-
fachen Oerter sind somit nur S« und Qa% wie vdt sie bereits aus § 17
kennen. — Für w > 4 hören diese Reductionen der Ortscurven auf.

Bei der Basis C* hat man: S** und Qi\ Die Basis hat mit der
ersten 800 Tangenten Sl (r=Sa) und mit der anderen 225 Puncte QJ

592 Uebcr algebraische Cnrven, welche einen Hittelpunct baben, und

(= Q„) geraein. Nimmt man an, Q„ liege in der Mitte zwiacheo den
Schnitten a und b, so iat er zugleich der Schworpunct der drei übrigen
Schnitte c, d und e; und \tnrd der Berühningspunct joder Sl mit C^ durch
B^ bezeichnet, so können folgende verschiedene umstände stattfinden.
A. In Betreff der 800 S^ sind drei Fälle möglich, entweder liegeo:
a) etwa <■ und d (oder ce oder de) in B^, oder
P) etwa a und e (oder ac, ad, bc, bd, be) in ß^, oder
y) a und £ in B^ und somit auch Q^ in ^oi und
£. In Betracht der 225 Q^ sind 2 Fälle möglich; entweder ü^:
S) Q; in c (oder c, d) und ist nicht allein die Mitte von ab,
sondern auch von cd, so dass die zugehörige S, = S,
wird, oder
t) Ql in a und b vereint, also in B^, wie Fall («.), so dus
die zugehörige Sa = 'S* wird, d. h. die C* in (ai) ^ Q!
berührt.
Dabei entsteht die Frage: Wie oft tritt jeder dieser Fälle ein? udJ
namentlich: Wieviele der 225 Puncte Ql gehören dem Falle ($}
und wieviele dem Falle (e) an? Der Fall (S) enthält die oben (§19)
verlangten Puncte und bestätigt die dortige Angabe über ihre Anzahl. —
Analoge Fragen sind bei der allgemeinen Basis C™ zu stellen.

§27.
Durch Projection gehen die vorigen Sätze (§ 26) in solche andere
Sätze über, bei welchen die betrachteten Mitten Q durch gewisse hanno-
nist-ho Puncte A' vertreten werden, nämlich bei welchen nebst der Bans
C* noch irgend eine Gerade G gegeben ist (dort war es G,,'), and wobei
dann zu dorn Schnitt R der Transversale S und dieser Geraden G in
Bezug auf je ewei der m Schnitte a, b, c, d, von 5 und C" der

über darauf bezugliche Eigenschaften allgemeiner Curven. 593

„Der Ort derjenigen Transversale S, welche eine gegebene
Curve m^^ Grades C*" in irgend 4 harmonischen Puncten
schneidet, ist eine Curve \m(m — l)(w — 2)(m — 3)'" Classe,

oJm(m— l)(m— 2)(m— 3)

welche die Basis in jedem ihrer Wendepuncte mit je m — 3
Zweigen, sowie nebstdem (wennm>4) noch in vielen anderen
Puncten berührt." Der Berfihrungspunct jeder S mit der Ortscurve
ist durch Hülfe der in den vier harmonischen Schnittpuncten an die Basis
gelegten vier Tangenten leicht zu construiren. Aufgabe: Den Grad der
Ortscurve zu bestimmen.

Bei der Basis C* ist demnach der Ort der Geraden S,
welche dieselbe in 4 harmonischen Puncten abcd schneidet,
eine Curve sechster Classe S^, welche die Basis in ihren
24 Wendepuncten berührt. Die 12.6 = 72 gemeinschaftlichen Tan-
genten beider Curven bestehen daher nur aus den 24 Wendetangenten
der Basis, indem jede für 3 zählt. Die Curve S^ ist vom dreissig-
sten Grad; sie hat daher mit der Basis ausser jenen 24 Be-
rührungspuncten noch 72 Puncto (Schnitte) a^ (=«) gemein,
und ihre Tangente S in jedem dieser a^ schneidet die Basis
ausser «daselbst in drei solchen Puncten 6, c, d, (die mit a^
harmanisch sind und) deren zugehörige Tangenten B, C, D
sich in irgend einem Puncto p treffen. Durch die 72 Puncto
a^ können Curven achtzehnten Grades gehen. „Welche Lage
haben die 72 Puncto j??" — Besteht insbesondere die Basis C* aus
4 Geraden A^ By C und Z>, so zerfallt die Ortscurve S^ in die dem Vier-
seit ABCD eingeschriebenen drei harmonischen Kegelschnitte. (Entwicke-
lung der Abhängigkeit geometrischer Gestalten von einander. § 43.)
Gleicherweise ergeben sich specielle Resultate, wenn die Basis C^ aus
C'-h-2C* oder C*-h-C; oder C'+C besteht.

Bei der Basis C* ist die Ortscurve =^5'**; sie berührt die
Basis in jedem ihrer 45 Wendepuncte mit zwei Zweigen, und
nebstdem berührt sie dieselbe noch in 165 anderen Puncten a.
Daher:

„Eine beliebige Curve fünften Grades hat im Allgemeinen
165 solche harmonische Tangenten, bei welchen der Berüh-
rungspunct a und die drei Schnittpuncte by c, d harmo-
nisch sind.^

Bei der Basis C^ findet man auf diese Weise ausser den Wende-
tangenten

|^(7n_2)(w— 3)[w(w— 1)'— 36]

solche Tangenten, bei welchen von den m — 1 Puncten, nämlich dem Be-
rührungspunct a und den m — 2 Schnitten 6, c, rf, . . . ., irgend 4 harmo-

8tein«r'i Werke. IL 38

594 Ueber algebraische Ourven, welche einen Hittelpimct h«l>en, und

niHch sind, wobei jedoch jeder Fall, wo sich a unter den harmonischen
PuQCten befindet, für 2 zu zählen ist, so dass, wenn die Zahl der Fälle,
welche a enthalten, durch m und die ohne a durch y bezeichnet werden,
dann 2x-i-y der vorstehenden Zahl gleich ist. Dabei wird die Basis vod
der Ortscur\'e in den x Puncten a berührt — Diese Zahlen x und y
zu bestimmen.

II. Wird die gegebene Basis C* von einer Tangente S in a berührt
und in b, c geschnitten, und denkt man sich 2u diesen 3 Puncten die
3 vierten harmonischen Puncto a, ß, ^ und zwar so, dass

harmonisch sind:

„So ist der Ort des Punctes a eine Curve zweiunddreissig-
sten Grades, welche die Basis in ihren Wendepuncten drei-
punctig berührt und durch die Berühruugspuncte ihrer Doppel-
tangenten geht (s. S. 541 Note)." Und

„So ist der gemeinsame Ort der beiden Puncte ß und "[eitt
Curve vierundsechzigsten Grades, welche die Basis in jedem
ihrer 24 Wendepuncte mit zwei Zweigen dreipunctig, sowie
in jedem der 56 Berührungspuncte ihrer 28 Doppeltangenteii
(zweipnnctig) berührt." Daraus folgt femer:

„Dass die Curve vierten Grades C* im Allgemeinen 64
solche Tangenten hat, bei welchen der eine Schnittpunct, b,
in der Mitte zwischen dem anderen, c, und dem Berühungs-
punct, a, liegt (wie §26, VI. a'^, und dass diese besonderen
Tangenten den Asymptoten der genannten Curve vierand-
sechzigsten Grades parallel sind."

Wird die gegebene Basis C von einer Tangeute S in a' berührt ani
in by c, d geschnitten und bestimmt man die drei Puncte 8, t, ß so, dut

oÄSc; air^d; ocßd
harmonisch sind:

über darauf bezügliche Eigenschaften allgemeiner Gurven. 595

Reihenfolge a, i, <? und J, sind drei verschiedene (von mir sogenannte)
Puncten- Systeme (Involutions- Systeme) bestimmt, indem man dieselben
auf drei Arten als zwei Paar conjugirte Puncto ansehen kann, nämlich

1. ab und cd; 2. ad und bc; 3. oc und bd.

Die zu beiden Paaren jedes Systems gehörigen harmonischen Puncto, be-
ziehlich x und x^ , y und y, , z und z^ , wobei aabx^ und cxdx^ , aydy^
und hycy^y azcz^ und hzdz^ harmonisch sind (§17), habe ich „Asym-
ptoten-Puncte" und die beiden ersten Systeme, bei denen die Asym-
ptoten-Puncte reell sind, „hyperbolisch", dagegen das dritte (3.), bei
welchem dieselben imaginär sind, „elliptisch" genannt.

Denkt man sich zu je 4 der m Puncto a, b, c, dy , , , .^ welche die
gegebene Basis 6'"* mit irgend einer Transversale S gemein hat, die drei
Paar Asymptoten-Puncte x und 4?,, y und y,, z und z^^ so hat man im
Ganzen

^i{m — l)(m — 2)(m — 3) = jxPaare, oder ^(m — V)(rn — 2)(m — 3) = 2jx

einzelne Asymptoten-Puncte, von denen jeder durch X bezeichnet
werden soll.

„Wird die Transversale S um einen in ihr beliebig ge-
wählten Pol P herumbewegt, so beschreiben die 2fx Puncto X
insgesammt eine Curve 3fx**° Grades

xrf m(w— l)(m -2)(m— 3)

welche den Pol P zum fx-fachen Punct hat, u. s. w."

Es kann solche besondere Transversalen Sx (=S) geben, bei wel-
chen ein Asymptoten-Punct mit einem ihrer m Schnittpuncte zusammen-
fällt, z. B. der Schnitt e kann x sein, so dass aebx^ und cedx^ harmonisch
sind, also das durch die Paare a und &, c und d bestimmte Puncten-
System den Schnitt e zum Asymptoten-Punct hat, oder diese 5 Schnitte
Involution bilden.

„Der Ort derjenigen Transversale S«, bei welcher ein
Asymptoten-Punct X in der Basis C''^ selbst liegt, oder von
deren tti Schnitten irgend 5 Involution bilden, ist eine Curve

Q|m(m— l)(m— 2)(m--S)(m— 4) u

Rücksichtlich aller dieser Transversalen /S«, welche einen Asym-
ptoten-Punct X in einem Schnitt e (aber nicht in einem Berührungspunct)
der Basis haben, kann gefragt werden: „Welchen Ort hat der dem
x(=€) zugehörige andere Asymptoten-Punkt xj*^ Dieser Ort wird
irgend eine Curve n^° Grades X^ sein; ihre Schnitte mit der Basis C^^
bestimmen diejenigen einzelnen Transversalen S^xu welche ein Paar
conjugirter Asymptoten-Puncte x und x^ in der Basis haben. Die Beant-
wortung der Aufgabe wird erleichtert, wenn zuvor die folgende gelöst ist:

38*

596 Ueber aJ^br^sche Carren, welche einen Mittelponct haben, etc.

Wenn in joder Tangente jS der Basis C" zu dem BerShrnuga-
punct a in Bezug auf je zwei der m — 2 Schnitte h, c, d, . ...
der vierte harmonische Punct et gedacht wird, so soll der ge-
meinsame Ort aller dieser Puucte a bestimmt werden.

Bemerkung. Ich will hier noch bemerken, dass ich einige io
dieser Abhandlung aufgestellten Satze nicht genügend bewiesen habe,
60 dass dieselben möglicherweise fehlerhaft Bein können. Sollte dies der
Fall sein, so mag die Neuheit und Schwierigkeit des Gegenstandes,
zumal im Vei^leich mit der von mir befolgten synthetischen Betrachtungs-
weise, mich einigermaassen entschuldigen. Namontliph in den drei letzten
Paragraphen habe ich mir einige gewagte Schlüsse erlaubt; so z. B. um
den Satz (V. d.) iu §26 zu erhalten. Ist dieser Satz nicht allgemeifl
wahr, so sind auch mehrere ihm vorhergehende Satze nicht in allen
Theilen richtig.

Aufgaben und Sätze, bezüglich auf die vor-
stehende Abhandlung.

Crelle's Journal BtmdXLVII. S. 106—108.

Aufgaben und Sätze , bezüglich auf die vor-
stehende Abhandlung.

Zu den in der Abhandlung bereits gelegentlich aufgeworfenen zahl-
reichen Fragen mögen hier noch folgende hinzugefügt werden.

1. Wenn eine Curve vierten Grades einen Mittelpunct 50? haben und
durch gegebene 9 Puncto p gehen soll: welches ist dann der Ort von 3W?
Und: Wieviele* Curven vierten Grades, welche Mittelpuncte haben, gehen
durch 10 gegebene Puncto p? (§b und vergl. § 7). — Die analogen Fragen
bei höheren Curven.

2. Wieviele Durchmesser D hat die Curve vierten Grades, welche
mit ihrer conjugirten Richtung irgend einen gegebenen Winkel a bilden?
Wieviele, wo o = 90**? Für a = 0 sind es die 4 Asymptoten (§ 17).

3. Wieviele Paare conjugirter Durchmesser hat die Curve w**° Grades
6'"*? Der Kegelschnitt C hat unendlich viele; die C* hat ein Paar; die
C* hat 3 Paar (§17); wie geht es weiter?

4. Welches ist in Bezug auf eine gegebene Basis dritten Grades C^
der Ort desjenigen Poles P, dessen beide Polaren A^ und *P einander
berühren (§ 15)? — Die entsprechende Frage bei höheren Basen.

5. Werden aus einem festen Punct P beliebige Transversalen S durch
eine gegebene Curve m**° Grades C'" gezogen, und an diese in den m
Schnitten a, i, (?,... die Tangenten A, By Cy . . . gelegt, die einander
in ^m(m — 1) Puncten Q schneiden, so ist der Ort dieser Puncto irgend
eine Curve a^^ Grades Q'. Und werden aus jedem Puncto P einer festen
Geraden G an dieselbe gegebene Curve C"* die m(rn—\) Tangenten ge-
zogen, deren Berührungspuncte im Ganzen \m(rn — V)\vi(m — 1) — 1] Be-
rohrungssehnen @ bestimmen, so ist der Ort dieser Sehnen eine Curve
a^^ Classe ®*. In beiden FäUen hat x denselben Werth. Die Zahl x
zu finden. — Für w = 3 ist o? = 9 (§ 15),

^* _i I IjBi ■■ -uBt ^^SF. ^«nzE'ffa auf die TOrsteheode Abhandlung.

ü, Do 't: irt7«iö(^ TnosTosale S zu fiadeo, welche eine ge^-
wnr 'ir^ n^ 4cue» fa iiKDd drei Paar Puncten schneidet, die ed
{isas ?-im:Tt9L--5T^ffiin. £»fai)c«D (InToIntiob bUdon).

~. Ji ^ Lj. n ^. 5^ N<x« varde bemerkt, dass die beiden Polaren
^~ nü -~ ie!<!«ib<9i P^te» P in Etezi^ auf die gegebene Basis C K^l-
<ii3iane .«üis- Azr ^«n tioiKa. je nach der Lage des Poles gegen den
n-rr nÜKT '■Msäiiieii<eaea. Keicel^dinin E'. In der That können dieselben
utäc lilein SlOpf^o. Hrpvdwbi oder Parabehi sein, sondern als solch?
juiii «w 'i«ä«Qiic4 F'icai hatMo: und iwar verhält es sich damit näher,

I. ■yvli^a ü.« Pilir*« A' und J' Parabeln sein, so ist der
Jr' i.'s ?K44 F •ii« CstT« E*. b. Sollen dieselben gleicheei-
t:^.j äyiwf'j.iüi «ia. ** Ut der Ort des Poles eine bestimmte
'j-^r>>i<< 3- .-- >-}II<!a i:es«lbeD Kreise sein, so giobt es nur einen
•iai-ä^a ? ü F, ^=f/"- iit cenngt: derselbe ist zugleich der Pol
it>r '.T->~»i-;3 3 ix Beine auf den Kegelschnitt £^ d. Sollen Ä'
la'i -* :r^aä «ia*ai yifgebenen Kegelschnitte C* ähnlich sein,
>^ *: it!cvrs i«* P*l#s /•jedesmal eia solcher Kegelschnitt P*,
«licitfr i«s K«4:«lsi:kailt £** (imaginär) doppelt berührt, and
)«ar sit :&m j«ae Gerade H inr (ideellen) Berührungasehne
lAi. — i>:<bc man aUt> dem Kegelschoitte C* nach einander alle
««rsc^xWeiKia Formen, so entstehen fär den Pol P eine Schaar
<,'-^sc urteil P". tfd#r vielmehr ein Büschel B(P*), welche sich
:3><««43imt in denselben swei Puncten berühren, die Gerade
H lur B«räkrttii]|;:$sekne und dieselbe mit jenem Pol P, gemein-
-^u i<t P>;tar<f und Pol haben, und sn welchen insbesondere
Attcd Uttf Cttrvif K\ sowie die Gerade H und der Pol P„ selbst
jtN l'<rt>tf r^sn^s- nnd Grentglieder gehören, nämlich E* als
C<fb<^r)tai<>$ >I«r Pt^Uren A* und J* von Hyperbeln zu Ellipsen,
H als t'tifBie der Hyperbeln und Pg als Grenze der

Aufgaben und Sätze, bezüglich auf die vorstehende Abhandlung. 601

sind alle Ortscurven, B(P*), mit demselben concentrische Kreise, P^
ist ihr gemeinsamer Mittelpunct, und die Gerade H ist =G^. Daher:
Bei einer Curve dritten Grades, deren Asymptoten ein gleich-
seitiges Dreieck abc bilden, liegen die Berührungspuncte von
je 6 parallelen Tangenten in einer gleichseitigen Hyperbel.
Werden aus einem Puncte des dem Dreieck abc umschriebenen
Kreises 6 Tangenten an die Curve gelegt, so liegen die Berüh-
rungspuncte in einer Hyperbel, deren Asymptoten-Winkel =60**
ist; und werden aus dem Mittelpuncte P^ dieses Kreises die

6 Tangenten an die Curve gelegt, so liegen die Berührungs-
puncte in irgend einem Kreise.

Wie muss das Asymptoten-Dreieck abc beschaffen sein, damit der
Pol Pq Brennpunct des Kegelschnittes E^ (und damit zugleich auch aller
Kegelschnitte P*) wird?

Für alle Curven dritten Grades, welche mit der gegebenen gemein-
schaftliche Asymptoten haben (mögen diese reell oder imaginär sein),
bleiben die Ortscurven £(P*) die nämlichen (§ 22); was zu weiteren
Folgerungen führt, wenn die speciellen Curven dritten Grades berücksich-
tigt werden.

8. „Alle Curven dritten Grades, welche durch folgende

7 Puncte eines gegebenen Dreiecks gehen, nämlich 1) durch
den Schwerpunct, 2) durch die Ecken und 3) durch die im
Unendlichen liegenden Puncte der Seiten, haben congruente
Asymptoten-Dreiecke, und zwar sind dieselben dem gegebenen
Dreieck ähnlich, mit ihm ähnlichliegend, und ihre Seiten ver-
halten sich zu den entsprechenden Seiten des letzteren wie
2:3." — Es giebt einen analogen Satz über das vollständige ?/i-Seit und
die Curven m^^ Grades. Z. B. beim vollständigen Vierseit müssen die
Curven vierten Grades ausser durch die 6 Ecken und durch die im Un-
endlichen liegenden Puncte der 4 Seiten auch noch durch die oben (§ 18,
II (S. 553)) beschriebenen 3 Puncte jp, also im Ganzen durch 13 gegebene
Puncte gehen.

Eigenschaften der Curven vierten Grades
rucksichtlich ihrer Doppeltangent^n.

Crelle's Journal Band XLIX. S. 265 — 272.

Eigenschaften der Curven vierten Grades
rücksichtKch ihrer Doppeltangenten.*)

Seitdem Poncelet zuerst auf das Vorhandensein der Doppeltangenten
bei algebraischen Curven aufmerksam gemacht**), ist bis jetzt noch wenig
geschehen, die wesentlichsten Eigenschaften derselben zu erforschen. Es
gelang leicht, ihre Zahl aus derjenigen der Wendepuncte zu schliessen
durch Hülfe der Theorie der reciproken Polaren, welche man demselben
grossen Geometer verdankt. In diesem Betracht habe ich die drei Glei-
chungen aufgestellt, welche zwischen dem Grad, der Classe, der Zahl der
Doppel- und Rückkehrpuncte, und der Zahl der Doppel- und Wendetan-
genten jeder algebraischen Curve stattfinden***). Nicht ohne Anstrengung
gelang es Jacobiy die Zahl der Doppeltangenten direct und analytisch zu
beweisen f). Noch schwerer mag es sein, die allgemeinen Eigenschaften
derselben zu erforschen, was diejenigen Mathematiker am besten wissen
werden, welche sich bereits damit beschäftigt haben. Ich habe vor meh-
reren Jahren versucht, auf synthetischem Wege die gegenseitige Beziehung
der 28 Doppeltangenten der allgemeinen Curve vierten Grades zu finden,
und bin zu Resultaten gelangt, welche sowohl den Grund der dem Gegen-
stande innewohnenden Schwierigkeit aufdecken, als auch zugleich die ge-
eigneten AngrifiTspuncte für die zweckmässige Behandlung desselben leicht
erkennen lassen. Die Resultate beruhen auf eigenthümlich verschlungenen,
theils ungewöhnlichen Combinationen der gegebenen Elemente. Die we-
nigen von Änderen über denselben Gegenstand bereits veröffentlichten Ver-
suche stimmen mit meiner Arbeit wenig überein. Die nachstehenden An-

*) Einen kurzen Auszug dieses Aufsatzes habe ich bereits am 25. Juli 1853 der
Akademie der Wissenschaften zu Paris vorgelegt; s. Comptes rendus hebdomadaires
von jenem Datum.

♦^ Cre/fe's Journal f. d. Mathem. Bd. Vni, S. 401—406.

*^) Monatsbericht der Akademie der Wissenschaften zu Berlin, August 1848 ; und
Creüe*^ Journal Bd. XLVii, S. 1. (Conf. Bd. II, S. 495 dieser Ausgabe.)
t) CrtlU's Journal Bd. XL, S. 237.

60ß tTeher die Doppel UngenteD der Curren TiertoD Orades.

gaben mögen eine ohngefahre Vorstellung meiaer Resultate gewähren, so-
wie auch den Weg und die Mittel eröffiien, die zu ihrem Beweis führen,
welcher für die gewöhuliche, analytbcbe Behandlung ohne Zweifel schwierig
war, aber nunmehr durch Hülfe der in meinem schon citirteo An&atze
enthaltenen Hauptsätze über Polar -Enveloppen bei algebraischen Curven
leicht zu führen ist.

I. Man denke sich eine allgemeine Curve vierten Grades, C*. Ihre
28 Doppeltangenten t, paarweise zusammengefaast, geben 378 Paare; jedes
Paar heisse n, und der gegenseitige Schnittpunct jedes Paares heisse f,
so giebt es ebenso 373 Puncte p. Seien m und n, «n, und n, die Be-
ruhrungspuncte eines Tangentenpaares n mit der Curve; man verbinde sie
wechselseitig durch zwei Paar Gerade mm^ nnd nn„ mn^ und nra, und
nenne deren gegenseitige Schnittpuncte q, r. Dann gehören zu jedem Tan-
gentenp&ar u drei Puncte p, q, r.

n. , Die 378 Puncto p und mit ihnen zugleich auch die 378 Pur
n ordnen sich nach einem bestimmten Gesetz zu 6 und 6 in Gruppen,
G, so dass 63 Gruppen G entstehen, wovon keine zwei einen Pnnct f
oder ein Paar n gemein haben.

„Die BPuncte p jeder Gruppe G liegen in irgend einem
Kegelschnitte, G*, was im Ganzen 63 Kegelschnitte G* giebt*

Die zu einer Gruppe gehörigen Gp hängen von 12 verschiedenen Tan-
genten { ab, also von 6 Paaren «, welche keine Tangente gemein haben,
so dass von den je Gp keine zwei in der nämlichen Tangente liegen.

III. Die 8 Berührungspuncte je zweier zu einerlei Gruppe gehörigen
Tangentenpaare n liegen allemal in ii^end einem Kegelschnitte, B*, so
dass zu jeder Gruppe ^.5 = Ib Kegelschnitte B' gehören. Danach sollte
es für die 63 Gruppen 63.15^945 Kegelschnitte B* geben; allein dabei
wird jeder dreimal gezählt, und somit giebt es im Ganzen nur 315 ver-
schiedene Kegelschnitte B*. Das heissl:

„rnter den 28 DoppcltaugenteO i ciaer Cu

üeber die Doppeltangenten der Gurven vierten Grades. 607

„Soll ein Kegelschnitt A^ eine gegebene Curvo vierten
Grades C* in irgend einem Puncto, a, vierpunctig und zudem
noch in irgend zwei anderen Puncten, b und Cy einfach be-
rühren, so finden im Allgemeinen 756 Lösungen statt.^

Werden zwischen je drei zusammengehörigen Puncten a, b und c die
Geraden a6, ac und bc gezogen, und im Puncto a an die Curven* C*
und G* die Tangenten A und A^ gelegt, so sind die vier Geraden
ab, Ay ac, A^ harmonisch, also ^j durch die drei anderen be-
stimmt, und so liegt der Schnittpunct, d, der Geraden A und
bc auf der Curve ff', so dass man von dieser 12 neue Puncto
d erhält.

„Die zu jeder Gruppe G gehörigen 84 Geraden, nämlich
die 6 Tangentenpaare ir (=12 Gerade £)^ die 6-mal 4 Geraden
TwWj, nWj, mn^ und nm,, die 12 Tangenten A und endlich die
12-maI 3 Geraden ab, ac und bc werden zusammen von irgend
einer Curve dritter Classe K^ (und sechsten Grades) berührt;
und zwar berührt sie die Geraden ab und ac in den Puncten
b und c selbst, so dass also die 126 und 12c zugleich ihre
24 Schnittpuncte mit der gegebenen Curve C*^ sind.^ „Es
giebt im Ganzen 63 Curven iC'."

Die zu jeder Gruppe gehörigen zwei Curven ff' und K^ haben eine
interessante innige Beziehung zu einander, wovon ich hier nur Einiges
kurz andeuten will. Jeder der 9 Wendepuncte der Curve ff' werde durch
w und die Wendetangente durch W bezeichnet; aus jedem w gehen drei
Tangenten Q, Qj, Q^ an die Curve, deren Berührungspuncte ?? ?,, ^a in
einer Geraden Äj liegen; der Schnitt von W und Äj heisse p. Jede der
9 Rückkehrtangenten der Curven K^ werde durch R und der Rückkehr-
punct durch r bezeichnet; jede R schneidet die Curve in drei Puncten
5, g', g", deren zugehörige Tangenten Q, Q', Q" sich in einem Puncto
w^ treffen; die Gerade rw^ heisse P. Nun stehen die Curven ff'
und K^ in solcher Verbindung, dass sie einander in den
9 Puncten q berühren, also die 9Q zu Berührungstangenten
haben, dass ferner sowohl die 9 Paar Puncto xo und w^ als
die 9 Paar Geraden 22 undiZ, zusammenfallen, und dass zudem
sowohl die 4 Geraden WQ'QQ" als die 4 Puncto rq^qq^ har-
monisch sind, und dass somit auch die 4 Puncto p^qc[^ sowie
die 4 Geraden PQ^QQ^ harmonisch sind. — Die weiteren Be-
ziehungen der beiden Curven behalte ich mir ^ vor, bei einer geeigneteren
Gelegenheit umständlicher zu erörtern.

V. Die 63 Gruppen ff (11.) ordnen sich nach einem gewissen Gesetz
zu 3 und 3 zu Systemen, S, so nämlich, dass zu je zwei Gruppen alle-
mal irgend eine, aber nur eine bestimmte dritte Gruppe gehört,

60g Ueber die DoppelUngenten der Cnrren nertoi Qrades.

welche mit ihnen ein System S bildet. Die Zahl der Systeme ist daher
= 651, und jede Gruppe kommt in 31 Systemen vor.

Aus einem gewissen Gmode kann man die Systeme ia zwei Ab-
theilungen bringen und sie demgemass durch S, und 5, luiterscheideD.
Dann enthält die erste Abtheilung 315 Systeme S, und die zweite 336
Systeme S,, und dann kommt jede Gruppe in 15 Systemen <S, and ia
16 Systemen S^ vor. Die Systeme beider Abtheilongen unterscheiden
sich unter anderen, wie folgt:

1. Die drei Gruppen jedes Systems S^ haben allemal vier, und
zwar vier solche Doppeltangenten t gemein, welche in jeder Gruppe tw«i
Paare i: bilden, nämlich sind z. B. u, ^r, y und z die vier gemeinschafl-
lichen Tangenten t, so müssen etwa nx und yz Paare der ersten, uy und
xz Paare der zweiten und uz und xy Paare der dritten Gruppe sein.
Durch die 8 BerChrungspuncte solcher vier Tangenten u, x, y, z geht
also immer ein Kegelschnitt B' (III.). Die drei Gruppen umfassen tu-
sammen alle 28 Doppeltangenten t und nehmen vier derselben, u, j:, y
und z, dreifach in Anspruch.

2. Dagegen enthalten die drei Gruppen jedes Systems S, zusammen
nur je 18 Doppeltangenten t, indem jede der letzteren zu je zwei Gruppen
gehört, also je zwei Gruppen sechs Tangenten gemein haben; oder, wenn
man die 18 Tangenten durch a, a,, a,, o,, a^, a,; b, b,, ... b^: c,
c, , . . . Tj bezeichnet, dass etwa

ab, Ojbj, a^bj, a,ft,, a^b^, o,fi, Paare der ersten,

ac, a,c,, a,c,, o,c,, «,<"(, atC^ Paare der zweiten,
^«■j ^i^'i) *,<^n *j'^i> K'^4, ijt's Paare der dritten

Gruppe sind.

Abgesehen von diesem Unterschiede haben alle Systeme folgende ge-
meinsame Eigenschaft:

„Wählt man aus jeder der drei Gruppen eines Systems

Ueber die Doppeltangenten der Gurven vierten Grades. 609

uud zwar sind diese Kegelschnitte keine anderen als die obigen 315 Kegel-
schnitte jB' (in.), und die Geraden bestehen nur aus den 28 Doppeltan-
genten t selbst. Nämlich es verhält sich damit, wie folgt.

Bei jedem System S,, wo jede der vier gemeinschaftlichen Tangenten
Uy Xy yy z AiivcAi t^ uud der durch ihre 8 Berührungspuncte gehende
Kegelschnitt B^ durch B\ bezeichnet werden mag, bestehen von den

216 Curven J5«:

d) 4 aus drei Geraden, nämlich aus uanfy tucz, uyz und xyz;

b) 4 aus B\-\-t^y d. h. aus B\ und je einer Geraden w, Xy y oder z;

c) 48 aus jB'-H^oj *^^ j® einer Geraden w, a?, y, z und je einem
Kegelschnitte j5'; und

d) 160 aus eigentlichen Curven J5'.

Bei jedem System S, dagegen bestehen die 216 J5':

e) 6 aus je drei Geraden, nämlich aus abcy aj}^c^^ ..., aj)^c^\

f) 90 aus jB'+^, nämlich aus je einem ß' und je einer der 18 Ge-
raden a, ttj , . . . , ttj ; hy 6, , ... 6j ; c, c?j , . . . , Cj j und

g) 120 sind eigentliche Curven J5'.
Hiemach gäbe es im Ganzen:

a. Solche £', welche aus drei Geraden bestehen (a und e)\

315X44-336X6 = 3276,

was gerade der Zahl der Combinationen der 28 Doppeltangenten t zu je
dreien gleich ist, =28.27.26:6 = 3276.

p. Solche jB', welche aus B\-^t^ bestehen, wobei der Kegelschnitt
B\ durch die Berührungspuncte der Tangente t^ geht (i):

315x4=1260.

7. Solche J5', welche aus B'^-\-t bestehen, wo Bi nicht durch die
Berührungspuncte von t geht {c und /):

315X48+336x90 = 45360.

8. Eigentliche, nicht in Theile zerfallende Curven ß' {d und ^):

315X1604-336X120 = 90720,

was zusammen die obige Zahl 140616 ausmacht.

7^ Da es nun nur 315 Kegelschnitte ß' giebt (III.), in (7.) aber
45360 vorkommen, so muss jeder derselben 144 -mal in Anspruch ge-
nommen sein, und da er dabei jedesmal mit einer der 24 Tangenten ty
durch deren Berührungspuncte er nicht geht, verbunden ist, so muss er
mit jeder dieser Tangenten 144;24 = 6-mal vorkommen, so dass also

unter (7.) nur

45360:6 = 7560

verschiedene J5*-|- 1 enthalten sind, von denen noch je 24 den nämlichen
Kegelschnitt J?' haben und sich nur durch die Tangente t von einander
unterscheiden.

Steinor'i Werke. II. 39

612

Ueber die DoppeltaDgentoD der Curven Tierten Grades.

24 oder 28 BeriihruDgspuncte beziehlich in einer eigeatlichen
Curve fi*, S', B* oder B' liegen?"

2. Wie verhalten sich die 63 Kegelschnitte t?' (II.) rflct-
sichtlich ihrer Lage zu einander?

3. Welche Beziehung haben die 63 Cnrven dritten Graden
G* (IV.) zu einander? Und

4. Welche Beziehung haben die 63 Curven dritter Ciasse
£* (IV.) rücksichtlich ihrer Lage zu einander?

Berlin, im October 1852.

Aufgaben und Lehrsätze.

Crelle's Journal Band XLIX. S. 273— 278.

Aufgaben und Lehrsätze.

1. „Soll ein Kegelschnitt beschrieben werden, welcher
durch drei gegebene Puncte geht und eine gegebene Curve w**"
Grades in irgend einem Puncte osculirt (dreipunctig berührt),
so finden im Allgemeinen

3n(n— 1)

Lösungen statt." — Kommen die gegebenen drei Puncte insbesondere
in die gegebene Curve selbst zu liegen, so verringert sich die Zahl der
Lösungen, und zwar mit jedem Punct, der in die Curve tritt, um 2, so
dass also, wenn alle drei in derselben liegen, die Zahl der Lösungen nur
= 3w(w— 1)— 6 = 3(w-hl)(w— 2) ist.

2. Wie viele solche Kegelschnitte giebt es, welche eine
gegebene Curve w*«° Grades in irgend einem Puncte osculiren
und zudem entweder

a, durch zwei gegebene Puncte gehen und eine gege-
bene Gerade berühren; oder

h. durch einen gegebenen Punct gehen und zwei gege-
bene Gerade berühren; oder

c. drei gegebene Gerade berühren?

3. „Soll ein Kegelschnitt beschrieben werden, welcher
durch drei gegebene Puncte geht und eine gegebene Curve n^°
Grades in irgend zwei Puncten berührt, so finden im Allge-
meinen

i(w— l)w(n-hl)(w-+-2)— 4(n— l)w = i(n*-f-2w'— 9w'-h6w)

Lösungen statt." — Kommen von den gegebenen Puncten, die a, ä, c
heissen mögen, einer oder zwei oder alle drei in die gegebene Curve zu
liegen,- so vermindert sich die Zahl der Lösungen stufenweise; nämlich

616 Aufgaben und Lehrwtie.

alsdann befinden sich unter den lösenden Kegelschnitten auch solche,
welche die Curve in den gegebenen Pnncten selbst berähren, nnd dum
fallen mit jeder solchen Berührung zwei der genannten Kegelschnitte in
einen zusammen. Liegt z. B. der erste Punct a in der Curve, so wird m
von n*+fl — 4 der genannten Kegelschnitte in a selbst borfihrt, und somit
vennindert sich die Zahl der Lösungen ebenes um n'+n — 4. Oder
zählt man dabei bloss diejenigen Kegelschnitte, welche nicht in a be-
rühren, so ist ihre Anzahl um

2(n"-f-n— 4)
geringer, als die obige Gesammtzahl. Und tritt nun femer auch dtr
zweite Punct b in die gegebene Curve, so verringert sich die Anzahl der-
jenigen Kegelschnitte, welche weder in a noch b berühren, auTs Neue nin

2(n'-t-n— 6);
und gelangt auch noch der dritte Punct c in die Curve, so vermindert
»ich die Zahl der Kegelschnitte, welche weder in a noch b noch c be-
rühren, abermals um

2(n*-hn—Q),
80 dass also nur noch

KN'+2n'— 21«'— 6n-t-72)=iCn— 3)(n— 2)(n+3)Cn-|-4)— 2(n— 3)»
solche Kegelschnitte übrig bleiben, indem die Teiminderungen zosammen

6(n'-f-«— 6)
betragen. Die anderen Kegelschnitte reduciren sich aoT je n*+n — 8,
wolclio beziehlich im Puncto a oder b oder c berähren, und femer anf
drei, welche beziehlich in a und b, a und c, b und c beriihren; zählt mu
dio orsteren doppelt und die letzteren vierfach, so kommt richtig

3(n'+n— 8) X 24-3x4 = 6(n'-f-»— 6).
^Vl■t■(l^■ll aller diow fin n. b, e berührenden) Kegelschnitte auch t

Aufgaben und Lehrsätze. 617

4. Aus der vorstehenden Auseinandersetzung (3.) ergeben sich fol-
gende specielle. Sätze:

I. „Soll ein Kegelschnitt eine gegebene Curve n'«° Grades
in einem (auf ihr) gegebenen Puncte, a, osculiren und dieselbe
nebstdem noch in irgend zwei anderen Puncten berühren, so
finden im Allgemeinen

i(n*+2n»— 21n'— 6n+72)

Lösungen statt.^ Und

n. „Soll der Kegelschnitt die gegebene Curve in einem
gegebenen Puncto a vierpunctig und nebstdem noch in irgend
einem anderen Puncte (einfach) berähren, so giebt es im All-
gemeinen

n(n-hl)— 8
Lösungen.^

5. Aehnlicherweise ergiebt sich aus dem Satze (1.) der folgende spe-
cielle Satz:

„Soll ein Kegelschnitt eine gegebene Curve n^ Grades in
einem gegebenen Puncte a und noch in irgend einem anderen
Puncte osculiren, so finden

3w(»— 1)— 9
Lösungen statt. ^

6. Wie viele solche Kegelschnitte giebt es, welche eine
gegebene Curve n^° Grades doppelt berühren und zudem
entweder

a. durch zwei gegebene Puncte gehen und eine gege-
bene Gerade berühren; oder

h, durch einen gegebenen Punct gehen und zwei gege-
bene Gerade berühren; oder

c, drei gegebene Gerade berühren?

7. In Rücksicht der obigen Sätze (1.) und (3.) mögen noch folgende
besondere Fälle hervorgehoben werden:

L „Hat eine Curve 2»**° Grades drei w-fache Puncte, aber
ausserdem keine anderen vielfachen Puncte, und soll ein Kegel-
schnitt durch jene drei Puncte gehen und zudem die Curve
entweder

a) in irgend einem anderen Puncte osculiren, so ist

die Zahl der Lösungen = 3n(n — 2); oder
6) in irgend zwei anderen Puncten berühren, so ist
die Zahl der Lösungen =^n(w — 2)(n — 3)(w-f-3)."
U. „Hat eine Curve 2n**° Grades zwei n-fache und einen
(w — l)-fachen Punct, aber sonst keine vielfachen Puncte, und

.^'v Auf^Caben uud Lehrsätze.

-■ . i.i K-f^eU^liaut durch dieselbco gehon und zudem die

& 1 irz-^ai einem anderen Puncte osculiren, so ist dif

It'i', i-fr L"'*oni;en =3(h+1)(7j— 1); oder
« 3 Irx-^X'i t«r«i anderen Puncten berühren, so ist die

i»i;'i^r Lösungen =i(n-t-l)Cn-l)C«-2X« + 4)."
"" ,Hi: «ine Cnrve (3a_l)'" Grades drei (n— l)-fache
?ii:t<. »>■;? »>s>t keinen vielfachen Punct, und soll ein
XI j-jlfiia::! iarch dieselben gehen und nebstdem die Cnrve

\ 1 :r<4S<i einem anderen Puncte osculireD, so ist üt

i»il liT Lö^nnfen =3(«+l)(n — 1); oder
> .1 irx^ai »wei anderen Puncten berühren, so ist die

i^i". iir L-J*nngen =i(B-l-l)Cn— l)(n— 2)(n-l-4).''
T\ ,Ki; *iae Curve (2h — 1)"" Grades einen n-fachen und
1» ■ ■» V~:^^x-i Ponote, aber ausserdem keinen vielfachen
''.11.-:. -iti s.i't «in durch dieselben gehender Kegelschnitt
i .■ Ci-* -• tfiiweder

V ■ •.Tiyii'i einem anderen Puncte osculirea, so ist die

i*'\\ ii7 L5*un«en ^3»(n — 2); oder
■>■ -.a r.;eaä *wei anderen Puncten berühren, so ist die

isxl JL.T L^suu^eu =i«(n-2XB-3)(n+3).''
•V W .'j:! -.rstend »wei Krümmungs kreise eines Kegel-
N^'t'i".'.»-^ i-fr Orüs^e Jind Lage nach gegeben sind, den Ort
^..•■■i,'.x >l;',',ol puncte» lu finden. — «Der Ort der Geraden,
1* ,•■;"».? Jurvb iUe je iwei Puncte geht, in denen die Kreise
*,'■« tVv'i;i.>Uchnitle osculirt werden, ist eine Curve sechstet

Aufgabeu und Lehrsätze. 619

11. 1. Unter allen einer gegebenen Ellipse eingeschrie-
benen n-Ecken von grösstem Inhalte dasjenige zu finden,
dessen Umfang ein Maximum oder ein Minimum ist. Und

11. Unter allen einer gegebenen Ellipse eingeschriebenen
n-Ecken von grösstem Umfange dasjenige zu finden, dessen
Inhalt ein Maximum oder ein Minimum ist.

In Betreff des Vierecks findet sich die letzte Frage (II.) in meiner
schon citirten Abhandlung (s. Bd. 37. S. 184 d. Cr<?//^schen Journals)*) be-
reits beantwortet, nämlich „der Inhalt des Vierecks ist ein
Maximum oder ein Minimum, je nachdem seine Seiten den
gleichen conjugirten Durchmessern oder den Axen der Ellipse
parallel sind." Aber auch die erste Frage (I.) ist für das Viereck
leicht zu beantworten, und zwar fast gleichlautend, nämlich:

„Unter allen einer Ellipse eingeschriebenen Vierecken
von grösstem Inhalte ist der Umfang desjenigen ein Maximum,
etwa = w, welches die Axen der Ellipse zu Diagonalen hat
(oder dessen Seiten den gleichen conjugirten Durchmessern
parallel sind); dagegen ist der Umfang desjenigen ein Mini-
mum, = t^,, welches die gleichen conjugirten Durchmesser der
Ellipse zu Diagonalen hat (oder dessen Seiten den Axen
parallel sind)." Dabeiist, wenn a und 5 die Halbaxen der Ellipse sind,

u=4ya'-hb'; w, =2(a-f-6)y2,
imd daher

u'—u] = 8(a— ft)^

12. „Sind a und b, a^ und b^ die Ajcen zweier confocalen
Kegelschnitte, etwa zweier Ellipsen £P und Ä7, und sind die-
selben so beschaffen, dass

L ^ + -^- = 1,

a .0

so giebt es unendlich viele solche Dreiecke, welche derCurve
£' eingeschrieben und zugleich der Curve Ef umschrieben
sind." „Und sind die Axen so beschaffen, dass

II. a':i' = a, : 6,,

so giebt es unendlich viele solche Vierecke, welche der E^
eingeschrieben und zugleich der E^ umschrieben sind."

13. „Welche Relation muss zwischen den Axen zweier con-
focalen Kegelschnitte E^ und E* stattfinden, damit sich ein
n-Eck dem einen einschreiben und zugleich dem anderen um-
schreiben lässt? — Sobald sich nämlich nur irgend ein n-Eck auf die

•) Cf. Bd. II, S. 41-3 dieser Ausgabe.

620 Äufg&ben und Lebreitie.

geforderte Art beschieibeD läsat, so lassen sich zufolge eines schönco
Satzes von Poncelet unendlich viele andere n-Ecko ebenso beschreiben.
Und alsdann haben alle diese n-£cke gleichen Umfang, und zwar ästet
allen der Curvo £* eingeschriebenen n-Ecken den grössten und nnter
allen der Curve £' umschriebenen n-Ecken den kleiosten Umfug
{Orell^a Journal, Bd. 37, S. 189. Conf. Bd. 11. S. 418 dieser Ausgabe)
Berlin, im November 1852.

lieber algebraische Curven und Flächen.

Crelle's Journal Band XLIX. S. 333— 348.

lieber algebraische Curven und Flächen.

Zahl der Normalen aus einem Puncte auf eine algebraische
Curve, und Eigenschaften der Evolute der letzteren.

I. Die Frage: „Wieviele Normalen einer gegebenen allge-
meinen algebraischen Curve w*®° Grades C^ gehen durch irgend
einen in ihrer Ebene gegebenen PunctP?" ist gleichbedeutend
mit der Frage: „Von der wievi-elten Classe ist die Evolute der
gegebenen Curve?" Dieselbe lässt sich unter anderen auf folgende drei
Arten leicht beantworten.

1®. Wird die gegebene Curve C* in ihrer Ebene um den gegebenen
Punct P beliebig herumbewegt und in der neuen Lage durch Cf be-
zeichnet, so schneiden sich beide Curven in n^ Puncten Q; und bewegt
man nun die Curve Cj* wieder zurück, bis sie im Begriff ist, auf die an-
ningliche Curve C" zu fallen, so ändern sich die n^ Schnittpuncte Q und
im letzten Moment sind sie gerade die Fusspuncte der aus dem Pol P
auf die Curve C" zu fallenden Normalen, deren Zahl somit gleich n' ist, und
durch deren Fusspuncte, da sie als die Schnitte von C* und Cj» anzu-
sehen sind, unendlich viele andere Curven w*®" Grades, ein Büschel Curven
n**" Grades, gehen. Durch ^n(w+3) — 1 der w* Fusspuncte Q sind daher
die \(n — l)(w — 2) übrigen bestimmt.

2®. Denkt man sich in der Ebene der gegebenen Curve C* irgend
einen Kegelschnittbüschel -ß(C'), d. h. alle Kegelschnitte, welche irgend
4 reelle oder imaginäre Puncte gemein haben, so giebt es unter denselben
7^(n+2.2 — 3) = w(w-|-l), welche die Curve C" berühren*). Lässt man
von den 4 Gnmdpuncten dieses Büschels zwei und zwei zusammenfallen,
so dass sich die Kegelschnitte in zwei Puncten (reell oder imaginär) be-
rühren, so ist die Berührungssehne, doppelt gedacht, als ein zum Büschel

♦) S. Monatsbericht der Berliner Akad. d. Wissenschaften vom Augiist 1848; oder
Crc//e'8 Journal Bd. 47, S. 6. (Conf. Bd. II, S. 500 dieser Ausgabe.)

Q24 lieber algebraische Curren und Flächen.

B(C^ gehöriger Kegelschnitt anzusehen, sowie jeder ihrer » Pnnct«, in
welchen sie die Curve C* trifft, als einer jener n(n+l) Berfihnmgspnncte,
so dass also die Curve C" nur noch von n' der fibrigen, eigentlichen Kegel-
schnitte berührt wird. Da nun, wie PonceUt zuerst gezeigt hat, ein System
concentrischer Kreise als ein Büschel sich in zwei Poncten berührender
Kegelschnitte anzusehen ist, welche die im Unendlichen liegende Gersde
fr» zur ideellen Berühmngsschne haben; so folgt also: dass es nnter
allen um den gegebenen Punct P beschriebenen Kreisen im
Allgemeinen n' solche giebt, welche die gegebene Curve C"
berühren. Die nach den Bernhrungspuncten gezogenen Ra-
dien der Kreise sind die durch den Punct P gehenden Nor-
malen der Curve C".

3". Aus den Untersuchungen, auf welche der citirte Monatsbericht sich
bezieht, namentlich aus der daselbst bereits erwähnten Eigenschaft (S. 496
d. Bd.): „dass die algebraischen Curven durch projectivische
Curven-Büachol niedrigeren Grades erzeugt werden," ergiebt
sich die dritte Art, die vorgelegte Frage zu beantworten, aus der zngleidi
noch einige interessante Umstände hervorgehen, die ich kurz andeuten will

Mit der Curve C* in gleicher Ebene sei noch irgend ein Kegelschnitt
i" gegeben. Von einem beliebigen Pol R seien die erste Polare in Beng
auf C" und die Polare in Bezug auf P* beziehlich C"-' und P'; die«
Polaren schneiden einander in n — 1 Puncten Q, und die reciproken Po-
laren jedes dieser Puncto Q gehen durch jenen Pol R, d. h. die (n — IjT
Polare in Bezug auf C" und die Polare in Bezug auf P', beziehlich C
und P,' , von jedem der n — 1 Puncto Q gehen durch R. Bewegt sich
der Pol R in einer Geraden G, so bilden seine Polaren C"-* und P'
zwei Büschel B(C'—^) und B(P') mit beziehlich (n — I)* GnindpuncteD
C und 1 Gmndpunct P; diese Punct« sind zugleich die Pole der Geradu
G in Bezug auf die gegebenen Curven C" und P\ nämlich G ist die

üeber algebraische Cunren und Flächen. 625

den correspondirendon Pol R in der Geraden G gehen, so wird also jedes
Paar Polaren C^ und PJ aus zwei parallelen Geraden bestehen, wenn die Ge-
rade G ins Unendliche versetzt, wenn sie G^ wird; und wird dabei noch der
Kegelschnitt P' als Kreis angenommen, so stehen C^ und P/ auf der Geraden
QP senkrecht, da P, als Pol von ö«, nunmehr der Mittelpunct von P'
ist. Unter diesen Annahmen wird also, wie man sieht, die Ortscurve Q",
oder zur Unterscheidung Qj, durch die Basis C" und durch den Mittel-
punct P des Kreises P* allein bestimmt, und zwar, wie folgt:

„Der Ort desjenigen Poles Q, dessen (n — 1)^ Polare C^ in
Bezug auf die gegebene Basis C* auf der aus dem Pol nach
einem gegebenen festen Puncto P gezogenen Geraden QP senk-
recht steht, ist eine Curve w^° Grades Qj, welche namentlich
auch durch diesen festen Punct P, sowie durch die (n — 1)' Pole
C der Geraden Goo in Bezug auf die Basis 6'" geht." „Aondert
der Punct P seine Lage, während die Basis C* fest bleibt, so
ändert sich auch die Curve Qj, aber sie geht stets durch die
festen (n — 1)' Pole C und hat auch mit der Geraden G« unver-
änderliche n Schnitte Q,, so dass also ihre n Asymptoten con-
stante Richtung behalten, sich selbst parallel bleiben." (Die
ünveränderlichkeit der n Puncto Q^ in der Geraden G«, wird dadurch
bewirkt, dass nach einem Pow^^fe^'schen Satze „alle Kreise P' in der
Ebene diese Gerade G« zur gemeinschaftlichen ideellen Secante
haben.") Die auf diese Weise bestimmte Curve Q^ schneidet die Basis
C* in n' Puncten Q^ (= Q); die Polare C* jedes dieser Puncto ist zu-
gleich Tangente der Basis C* in demselben, und somit die Gerade Q^P
die zugehörige Normale, woraus wiederum hervorgeht, dass aus jedem
Punct P je n' Normalen PQ^ auf die Basis C* gehen. Alle Um-
stände zusammengefasst geben folgenden Satz:

„Aus jedem Puncto P in der Ebene einer gegebenen Curve
w*^° Grades C" gehen n^ Normalen PQ^^ auf die letztere; die n'
Fusspuncte Q^ derselben sammt dem Pol P liegen allemal in
irgend einer anderen bestimmten Curve n*®° Grades Qj*, so dass
es also ebenso viele solche Curven giebt, als die Ebene Puncto
enthält; indem jedem Pol P eine ihm eigenthümlich zugehörige
Curve Q; entspricht; und zwar haben alle diese Curven 7i* — w-hl
bestimmte feste Puncto gemein, nämlich die (n — 1)' Pole C der
Geraden G« in Bezug auf die Basis C" und n bestimmte Puncto
Qi in dieser Geraden selbst; vermöge dieser letzteren Puncto
Q, haben die Asymptoten aller Curven Q^ die nämlichen be-
stimmten Richtungen." Und umgekehrt: „Jede durch die ge-
nannten n' — n+l Puncto C und Q^ gehende Curve w^*" Grades
ist eine der genannten Curven Q* und schneidet die gegebene

Stoiuer's Werke. 11. 40

ß26 lieber algebraische CurreD nnd Fliehen.

Basis C" in »olchen n' PuQcten Q„, deren zugefafirige Normalen
in einem Pnncte P jener Curve sich treffen, der ihr ent-
sprechender !'ol ist." „Diejenigen unter allen diesen Carveii
Q^, welche durch einen gegebenen Punct Q gehen, bilden
einen Curvenbiischel ß(Q") mit n' Grnndpnncten, D&mlicl
auüHcr jenen n' — n-l-1 Puncteu C und Q, und dem gegebenen
Puncto Q haben sie noch andere bestimmte n — 2 Puocte [Q]
gemein, welche mit dem gegebenen Q in derjenigen Geraden,
etwa L, liegen, die aus dem letzteren auf seine polare Gerade
6" senkrecht gezogen wird; durch jeden dieser neuen «— i
Puncto y wird der nämliche Curvenbüschel fi(Qj) bestimmt,
und die Polare C eines jeden derselben steht auf der Geraden
L senkrecht; in dieser Geraden L liegen zugleich auch die
allen diesen Curven, B{Q*'), entsprechenden Pole P, so diss
der n'° Schnitt jeder dieser Curven mit L (ausser den n— 1
Schnitten Q) gerade ihr Pol P ist; diejenigen n — 1 CufTes
Ql, deren Pole P respective in die n — 1 Puncte Q FalleD, be-
rühren daselbst die Gerade L; wird in jedem Fol P an die
ihm zugehörige Curve Qj die Taugonte T gelegt, so isi
der Ort aller dieser Tangenten eine Curve »"' Classe 7^,
welche die Gerade L zur (n — l)-fachen Tangente hat; feroer
liegen die n — 1 Puncte Q allemal mit den (» — 1)* festeo
Polen C- zusammen in einer Curve (n- — 1)"" Grades C*-',
welche die erste Polare des im Unendlichen liegenden Punctes
der genannten Polare 6" in Bezug auf die Basis C" ist" Um-
gekehrt: „Liegen mehrere Polo P in irgend einer gegebenen Ge-
raden L, so schneiden sich die ihnen entsprechenden Curven
y; in bestimmte» n — 1 Puncton Q auf derselben Geraden, etc.*

Üeber algebraische Curven und Flächen. 627

Polaren 6'* sind jedesmal unter sich parallel. Dadurch wird bewirkt:
„dass, wenn aus irgend einem Pol P auf alle Curven B^C"*)
Normalen gezogen werden, nämlich auf jede Curve n^ Nor-
malen, dann die sämmtlichen Fusspuncte Q^ in einer und
derselben Curve Q; liegen und zwar sie ganz erfüllen:" oder
mit anderen Worten: „dass jede beliebige Gerade N im All-
gemeinen auf je n — 1 der gegebenen Curven B(C^) normal
steht, also n — 1 Fusspuncte Q^ hat, und dass, wenn sich die-
selbe um irgend einen in ihr angenommenen Pol P herum-
bewegt, dann jene n — 1 Puncto Q^ die diesem Pol P entspre-
chende Curve Qj beschreiben; und dass umgekehrt jede durch
die w' — n-hl festen Puncto C und Q^ gehende Curve n^° Gra-
des Q; die gegebenen Curven B(C'') so schneidet, dass die
Normalen der letzteren in ihren respectiven Schnittpuncten
sämmtlich in irgend einem und demselben Puncto P sich
treffen, der allemal in jener Curve Q^ liegt." „Wird in jedem
Puncto Qp, in welchem die Transversalcurve Qj eine der ge-
gebenen Curven B^C"^) schneidet, an letzteren die Tangente
T gelegt, so umhüllen alle diesö Tangenten eine Curve
(2n — 1)**' Classe T^"*S welche die Gerade 0« zur n-fachen Tan-
gente hat."

Es wird nicht uninteressant sein, wenn wir die vorstehenden Sätze
für den einfachsten Fall kurz wiederholen, wo n = 2, also die angegebene
Basis C" nur ein Kegelschnitt C" ist, und ebenso alle Curven Qj nur
Kegelschnitte Q] sind.^ Für diesen Fall redüciren sich die (n — 1)* Pole
C auf einen einzigen, auf den Mittelpunkt C von C"; die 2 (= n) Puncto
Q, auf der Geraden &„> , sind die im Unendlichen liegenden Puncto der
Axen X und Y der Basis 6'*; und da nun jede Curve Ql durch diese
2 Puncte Q^ geht, so folgt, dass dieselben sämmtlich gleichseitige
Hyperbeln sind, deren Asymptoten den Axen X, Y der Basis C
parallel laufen. Danach hat man folgenden, zum Theil bekannten,
speciellen Satz:

„Aus jedem Punct P in der Ebene eines gegebenen Kegel-
schnittes C gehen 4 Normalen PQ^ auf den letzteren (reell
oder imaginär); die 4 Fusspuncte Q^ derselben und der Pol P
liegen allemal mit dem Mittelpunct C des Kegelschnittes und
den unendlich entfernten Puncten, 2Q,, seiner Axen X, Y zu-
sammen in einer gleichseitigen Hyperbel QJ, so dass also alle
auf diese Weise bestimmten gleichseitigen Ilypcrbe^ln die drei
Puncte C und 2Q, geraein und vormöge der 2Q, ihre Asymp-
toten den Axen X, Y parallel haben." Und umgekehrt: „Jede
gleichseitige Hyperbel QJ, welche durch den Mittelpunct C

40*

g28 Ueber algebniscfae CnrreD and Ffiehen.

und durch die im T'nendlicheD liegendeo Panete, 2Q,, derÄxen
des gegebenen KegeiMchnittes C geht, schneidet den letzteren
in 4 solchen Puncten Q;,, deren zugehörige Normaleo in irgend
einem Punctc P der Hyperbel sich treffen. Bewegt sich der
Pol P in irgend einer gegebenen Geraden L, so geht die ihm
eotoprechende gleichseitige Hyperbel Q* stets darch einen be-
stimmten Punct Q in dieser Geraden: und amgekehrt: alle
gleichseitigen Hyperbeln Ql, weiche ausser durch jene drei
festen Puncte C und 2Q, noch durch irgend einen gegebenen
vierten Punct Q gehen, und somit einen Büschel B^Ql^ bildeo.
haben ihre Pole P auf derjenigen Geraden L, welche durch
den Punct Q geht und auf dessen Polare C (iu Bezng auf die
Basis C^ senkrecht steht" „Soll die gleichseitige Hyperbel
Ql durch irgend zwei gegebene Puncte Q gehen, so ist sie
bestimmt, nnd die aus diesen Puncten auf deren reapective
Polaren C gefällten Perpendikel L treffen sich im Pol P der-
selben." — Ferner: „Denkt man sich statt der einzelnen Basi«
C* einen Kegelschnitt-Büschel B(C*), welche einander in zwei
(reellen oder imaginären) Puncten A auf der Geraden <?. be-
rühren, oder, was dasselbe ist, alle Kegelschnitte, die dem
gegebenen C ähnlich und mit ihm ähnlich liegend und god-
centrisch sind, und fällt aus irgend einem Pol P Normalen
auf dieselben, so liegen sämmtliche Fusspuncte Q^ dieser Nor-
malen in einer der genannten gleichseitigen Hyperbeln Ql und
erfüllen sie ganz; und umgekehrt: jede durch die drei Puncte
<.'und2Q, gehende gleichseitige Hyperbel Q* schneidet sämmt-
liche gegebenen Kegelschnitte ß(C') in solchen Puncten Q^.
deren zugehörige Normalen durch einen und denselben Punct
P der nämlichen Hyperbel gehen." „Liegt der Pol P, ans

üeber algebraische Curven und Flächen. 629

„Werden in den je 4 Fusspuncten Q^ der aus irgend einem
Puuctc P auf die gegebene Basis C gefällten Perpendikel an
die Basis Tangenten jT gelegt, so berühren diese 4 Tangenten
T mit den beiden Axen X und Y zusammen allemal irgend
eine Parabel, deren Leitlinie durch den Mittelpunct C der
Basis geht; und umgekehrt: jede Parabel, welche die Axen
der Basis C berührt, hat mit dieser 4 solche Tangenten T
gemein, welche die Basis in 4 Puncten Q^ berühren, deren
zugehörige Normalen allemal in irgend einem Puncte P zu-
sammentreffen. Danach entspricht also jedem Puncte P in
der Ebene eine bestimmte, die beiden Axen X und F der Basis
C^ berührende Parabel, und auch umgekehrt; bewegt sich der
Punct P in einer gegebenen Geraden L, so berührt die ihm
entsprechende Parabel stets irgend eine bestimmte andere
Gerade, und auch umgekehrt; liegt der Punct P insbesondere
in der Evolute der Basis C, so berührt die Parabel die Basis,
und auch umgekehrt."

n. Die gesammten Normalen jeder Curve C^ sind Tangenten einer
anderen Curve -EJ,, welche die Evolute von 6], heisst. Durch die
vorstehende Betrachtung haben wir bereits die Classe der Evolute E^^ ge-
funden ; nämlich sie ist von der (n')**° Classe, wenn die gegebene Basis C^
vom n^^ Grad = 6'" ist. Durch die eigenthümliche Beziehung, welche
beide Curven zu einander haben, werden auch ihre Eigenschaften, nament-
lich ihre singulären Elemente (Puncte und Tangenten) in gegenseitige
Abhängigkeit gesetzt, und zwar, wie folgt.

a. Jedem Wendepunct der Basis C* entspricht ein im Unendlichen lie-
gender Punct der Evolute JS^, oder die Normale im Wendepunct der ersteren ist
eine Asymptote der letzteren, und auch umgekehrt, so dass also E^ ebenso viele
geradlinige Asymptoten hat und die Gerade 0« in ebenso vielen Puncten B
schneidet, als die Basis C** Wendepuncte hat, also im Allgemeinen 3n(n — 2).

b. Jedem* der im Unendlichen liegenden n Puncte A der Basis 6'*
entspricht ein Rückkehrpunct R^ der Evolute E^^ der ebenfalls im Un-
endlichen, auf der Geraden ö» liegt, indem diese die zugehörige Rück-
kehrtangente ist; demnach ist also die Gorade G^ eine w-fache Rückkehr-
tangente der Evolute E^. Die Tangenten der Basis in den n Puncten A
sind ihre Asymptoten ; nach den zu diesen Asymptoten senkrechten Rich-
tungen liegen die wRückkehrpuncte R^, d. h. die aus irgend einem Punct
auf die Asymptoten gefällten Perpendikel gehen durch die correspondiren-
den Rückkehrpuncte R^ auf der Geraden G^. — Da die Gerade ö« in
jedem der y^Puncte R^ mit der Curve E^ drei Puncte gemein hat, was
mit den vorgenannten Sn(n — 2) Puncten B(^(i) zusammen

Sn-h^n(n—2) = 3n(n—\)

630 Ucber algebraische Cunen und FlScben.

gemeinschaftliche Puncto der G^ mit Eg auHmacbt, so folgt also, dass
die Evolute E^ vom 3n(n — l)"" Grad ist.

c. Jedem Scheitel S, d. h. jedem solchen l'unct der Basi» C', m
welchem sie von einem Kreise vierpunctig berührt wird, entspricht abermals
ein Rückkehrpunct R der Evolute E^ , und auch umgekehrt. Daraas gebt
hervor, dass die vorigen nPuncte A ebcDfalls als solche Scheitel S anzu-
sehen sind, die .sich Jedoch von diesen dadurch unterscheiden, du*
der zugehörige, vierpunctig berührende Kreis unendlich gross ist, und zwar
ans der doppeltgedachtcn entsprechenden Asymptote besteht.

d. Steht eine Gerade in zwei verschiedenen Punct«n auf der Basis
C normal, so dass sie eine Doppelnormalo ist, so ist sio auch eine
Doppeltangente der Evolute E^, und auch umgekehrt. Da nun die Ge-
rade G„ eine n-fache Tangente der E^ ist (Ä.), so kann -man sie, wenn
es die Umstände erheischen, auch als eine n-fache Normale der 6*" an-
sehen.

e. Einem Rfickkehrpunct der Basis C' entspricht ein Wendepanct
der Evolute £,, und auch umgekehrt. Wenn aber die Basis eine allge-
meine freie Curve n**" Grades ist, so hat sie keinen Rückkehrpunct, nnd
in diesem Falle hat dann auch die Evolute E^ keinen eigentlichen
Wendepunct.

Hieraus und mit Hülfe der im oben citirten Monatsbericht gegebenen
Formeln ergiebt sich folgender Satz:

„Die Evolute E^ einer altgemeinen Curve n"" Grades C" ist
eine Curve

1". («7" Ciasso und 3nCn— 1)"° Grades;

dieselbe hat im Allgemeinen keinen eigentlichen Wendepunct
und nur
2". 3»(«— 2)

die zuglcicli iWa Norma

Uebcr algebraische Curven und Flächen. 631

solche Scheitel S hat, in denen sie von einem nicht unendlich
grossen Kreise vierpunctig berührt wird. Ferner hat die
Evolute Eq im Ganzen

5^ in(n— l)(n»+7i— 3)

Doppeltangenteu, oder die C^ hat so viele Doppelnormalen;
dabei ist jedoch die Gerade G^^ für in(7i — 1) Doppeltangenten
mitgezählt, so dass-ohne dieselbe und im engeren Sinne nur

Doppeltangenton der E^ oder Doppelnormalen der C^ statt-
finden."

Ist die gegebene Basis insbesondere nur vom zweiten oder dritten
Grad, so ergeben sich gemäss diesem Satze folgende Eigenschaften.

A. Die Evolute E^ eines allgemeinen Kegelschnittes C^ ist eine
Curve vierter Classe und sechsten Grades (1^0? ^*® bekannt; dieselbe
hat keinen eigentlichen Wendepunct und auch keine Asymptote (2°.); da-
gegen hat sie die Gerade G^ zur doppelten Rückkehrtangente, und im
Ganzen hat sie 6 Rückkehrpuncte (3°.), nämlich 2iB, (auf G^,) und 4Ü,
die letzteren sind die Mittelpuncte derjenigen nicht unendlich grossen
4 Kreise, welche den Kegelschnitt 6'* in den entsprechenden 4 Scheiteln
*S (4^) vierpunctig berühren; femer hat JSq im Ganzen 3 Doppeltangenten
(5^), die zugleich Doppelnormalen der C^ sind; und zwar bestehen die-
selben aus der Geraden G^ und aus den beiden Axen X und Y (6^)
von C, also aus den 3 Axen von C, indem auch G^ als Axe anzu-
sehen ist;*) hier sind jedoch -X und .Y nicht gewöhnliche Doppeltangenten
der E^; sondern sie sind (wie G^) doppelte Rückkehrtangenten in 2 und

2 der genannten AR, so dass also die Scheitel dieser Axen -X und Y
die genannten 4 Scheitel S der Curve 6" sind. Oder kurz gefasst kann
man so sagen: Die drei Axen X, Y und G^ des Kegelschnittes C^ sind
zugleich Axen seiner Evolute E^; dieselben sind Doppelnormalen von C
und doppelte RückkehrtÄUgenten von E^; ihre 3 Paar Scheitel sind die-
jenigen 6 Puncto (4S und 2-4), in denen C^ von einem Kreise vierpunctig
berührt wird, und die in ihnen liegenden 3 Paar Rückkehrpuncte (4i? und
2/2,) der E^ sind die Mittelpuncte dieser Kreise; in je einer Axe (Y oder
Goo) ist das Paar Rückkehrpuncte und Scheitel imaginär, in den beiden
anderen reell. Die Puncto 2üj auf Ga, liegen nach den zu den Asym-
ptoten von C^ senkrechten Richtungen.

*) Auch bei allgemeiner Betrachtung der Brennpuncte des Kegelschnittes C^ tritt
die Gerade Ö« als dritte Axe desselben auf, indem man findet, dass C- in seiner Ebene

3 Paar Brennpuncte hat, beziehlich in den 3 Axen -.Y, Y und Cr», die aber in zwei
Axen imaginär und nur in einer reell sind.

g32 Teber algebraische Curven und Fliehen.

B. Die Evolute E^ einer allgemeiDen Cur\'e dritten Grades C ist
eine Curve neunter Classe und achtzehnten Grades (1°-); sie hat nur
!) Asymptoten, wovon 3 reell and 6 imaginär sind, aber dazu hat sie die
Gerade 6, zur dreifachen Rückkehrtangente, was die fehlenden 6 Asm-
ptoten vertritt; femer hat sie ausser den 3 Rückkehrpuncten i£, auf G,
noch 24 RückkehrpuDcte R, und diesen entsprechend hat die Basi;: C
24 solche Scheit«l S (4°.)i io denen sie von Kreisen vierpuDctig berührt
wird, welche die respectiven Puncte R zu MittelpaocteD haben; ferner
hat E„ ausser der Geraden G„ noch 24 Doppeltangenten, die zugleich
die Bamnitlichen Doppelnormalen der C* sind (6°.); etc. — Da die Basi^
6'* voD der 3.2^ sechsten Classe ist, so hat sie mit ihrer Evolute E,
im Ganzen 6x9 = 54 Tangenten T gemein, also:

„Die allgemeine Curve dritten Grades C hat im Ganzen
54 solche Normalen T, welche'zugleich Tangenten derselbeo
sind;" d. h. eine solche T steht in irgend einem Puncte Q normal auf
der Curve und berührt sie in einem anderen Puncte A. Sei ü die Tan-
gente der Curve in Q, so ist der rechte Winkel (3'P) der Curve um-
schriebeu, und sein Scheitel Q liegt in derselben und ist zugleich der
Berührungspunct des einen Schenkels. „Es giebt andere bestimmte
54 Puncte Q, in der Curve C, in welchen der Scheitel eines
ihr umschriebenen rechten Winkels liegen kann, aber wobei
sie von dessen Schenkeln in anderen Puncten berührt wird.*^
Namlicb: „Der Ort der Scheitel aller der gegebenen Curve C
umschriebenen rechten Winkel {TZf) ist eine Curve secbs-
unddreissigsten Grades'), und die 3x36^ 108 gegenseitigen
Schnittpuncte beider Curven bestehen aus den genannten &4Q
und 544"

Ein anderer Lehrsatz ist der:

„Bewegt sich der Scheitel eines rechten Winkels (^Tü) in
der üegclieuon Curva 6". während der eine Schenkel ü die-

üeber algebraische Curveu und Flächen. 633

Handlung (Bd. 47 S. 43 d. Crelle fachen Journals, cf. Bd. II, S. 537 d. Ausg.)
durch @^ bezeichneten Curve, schliesst man:

„Dass die allgemeine Curve dritten Grades C^ im Ganzen
33 solche Normalen hat, von welchen sie ausser in dem Fuss-
puncte Q in zwei anderen Puncten -4 undß geschnitten wird,
deren zugehörige Tangenten parallel sind.**

Ueber die Normalen aus einem Puncte auf eine

algebraische Fläche.

ni. Die Zahl der Normalen, welche aus irgend einem Puncte auf
eine gegebene Fläche n^*° Grades gehen, kann durch analoges Verfahren
gefunden werden, wie oben für die Curven (I.), und namentlich gewährt
auch hier die dritte Verfahrungsart (entsprechend I. 3^) umfassendere
interessante Resultate, auf deren kurze nähere Andeutung ich mich hier
beschränke.

Hülfssatz 1. Irgend zwei in derselben Ebene liegende
Curven n^° und ^*®° Grades, C" und Dp, haben im Allgemeinen

(n+;>-2)^-(n-l)(p-l)

Paare gemeinschaftlicher Pole Q^ und polarer Geraden L^, d. h.
es giebt in der Ebene die genannte Zahl solcher Pole Q^,
deren (n — 1)^ und (p — 1)'« Polaren rücksichtlich der Basen C"
und D^y beziehlich C^ und D\ auf einander fallen, eine Gerade
(C^D^) = L^ sind. Ist insbesondere p = 2, also Dp = D^ nur
ein Kegelschnitt, so reducirt sich die Zahl der Pole Qj auf

n^ — w-f-1,

und diese Zahl bleibt, wenn der Kegelschnitt insbesondere
•ein Kreis oder selbst ein imaginärer Kreis wird.

Hülfssatz 2. Jeder Ebene E entsprechen in Bezug auf
eine gegebene Fläche w'*° Grades F^ je (71 — 1)' verschiedene
Pole F, d. h. die Ebene ist für jeden dieser Pole die (n — 1)*°
Polare in Bezug auf die Fläche F^, oder kurz gesagt: sie ist
die Polar-Ebene jedes dieser Polo F, Nämlich jedem belie-
bigen Pol Q entspricht nur eine bestimmte Polar-Ebene F\
aber dieser entsprechen umgekehrt (n — 1)' verschiedene Pole
Q. Die der im Unendlichen liegenden Ebene E^ in Bezug
auf die gegebene Fläche F^ entsprechenden (n — 1)' Pole sollen
durch F^ bezeichnet werden.

Auf diese Hülfssätze und Erklärungen gestützt, lassen sich die er-
wähnten Resultate, wie folgt, angeben:

(.Tpber ulgcbraiache Curven uuil Fliehen.

^In Bezug aiiT eine gegebene allgemeine Fläche n"" Gradri!
F' und in Rücksicht auf irgeud einen beliebig gewählten festen
l'unct P ist der Ort desjenigen Poles Q, dessen Pelar-Ebene f
in Bezug auf die Fläche auf der Geraden, die ihn mit dem festen
Puncto vorbindet, d. i. auf der jedesmaligen Geraden QP senk-
recht steht, eine R&umcurve (Curvc doppelter ErümmuDg)
(«'— M+l)"" r.radcs,

Q-— -',
welche auch durch den Punct, P geht und in demselben dan
aus ihm auf seine Polar-Ebene gefällte Perpendikel zur Tan-
gente hat; für diejenigen Pole Qt(_=Q), in «eichen diese
Curve die Fläche trifft, wird die entsprechende Polar-Ebene
F'f zugleich die Berübrungs-Ebene der Flache in demselben,
und somit die Gerade l'Q„ die zugehörige Normale, und folg-
lich gehen aus jedem beliebigen Puncte P im Allgemeinen

Normalen i'Q„ auf die gegebene Fläche P" und die n(n' — n-l-l)
FuKspunctc Q^ derselben sammt dem Puncte P liegen in der
genannten liaumcurve ^«'-"+1." Noch mehr: „Diese Curve geht
auch allemal durch die (n — 1)* Pole F^ der im' Unendlichen
liegenden Ebene E^ (2.), «owie durch n' — n+l bestimmte
Puncte Q, in dieser Ebene, und zwar sind diese Puncte Q,
nach dem Sinne des ersten Hfilfssatzes (1.) die gemeioschaft-
liehen Pole derjenigen zwei Curven 6'^ und Dl,, in wfflchen
die Ebene E^ von der gegebenen Fläche i^-und von irgend
einer Kugel Fl geschnitten wird,*) wobei alse Dl, ein imagi-
närer Kreis ist (1.). Demnach gehen also die allen Puncten
P des Raumes auf diese Weise entsprechenden Curven Q^-'+'

Ueber algebraivsche Curveu und Flächen. 635

„Die aus irgend einem Puncte P auf die gegebene Fläche
/'* gefällten w(n' — n+1) Normalen PQ^^ nebst den aus P nach
jenen festen Puncten, F^ und Q^, gezogenen respective (n — 1)'
Geraden PF^ und n' — w+1 Geraden PQ, , alle diese, zusammen
= n(2w' — 3w-h3) Geraden, sammt dem aus P auf seine Polar-
Ebene gefällten Perpendikel, liegen allemal in einer Kegel-
fläche n(ii — 1)^° Grades; und ebenso liegen die aus jedem der
genannten Puncte (Q^,, F^ und Q,) nach allen übrigen (und
nach P) gezogenen Geraden in einer Kegelschnittfläche des-
selben Grades, die für die Puncto Q, insbesondere in einen
Cylinder übergeht.«

Auch hier findet eine analoge Ergänzung statt, wie oben (I. 3°.). Man
denke sich alle Flächen w**" Grades, welche die gegebene Fläche F^ längs
ihrer Schnittcurve C^ mit der Ebene E^ überall w-punctig berühren, d. h.
man denke sich den besonderen Flächenbüschel B(F*)^ dessen Grund-
curve (gemeinschaftliche Schnittcurve, die im Allgemeinen eine Raumcurve
(w*)^" Grades ist) aus der w-fach gedachten Curve C^ besteht, so dass die
w-fach gedachte Ebene E^^ als ein Glied dieses Büschels anzusehen ist,
80 haben alle diese Flächen, Ä(/^"), die vorgenannten (n — 1)' Pole F^
der Ebene E^^ sowie die in dieser Ebene liegenden 7i' — n+1 Puncte Q^
gemein, und die jedem beliebigen Pol Q in Rücksicht auf alle Flächen
entsprechenden Polar- Ebenen, F^, sind jedesmal unter sich parallel.
Daraus folgt:

„Fällt man aus irgend einem Puncte P auf alle Flächen
des eben beschriebenen besonderen Flächenbüschels jB(F")
Normalen, auf jede Fläche n(7i' — 7« + l) Normalen PQ^, so liegen
alle diese Normalen in einer und derselben Kegelfläche
n(n — 1)**° Grades, und ihre sämmtlichen Fusspuncte Qo liegen
in einer Raumcurve (n* — n+l)^*" Grades, Q'**"'''*"^ die sie ganz
erfüllen und die allemal (sowie auch der genannte Kegel)
durch die mehr genannten n(7i^ — 2w+2) festen Puncte F^ und
Q^ geht." „Versetzt man den Punct P ins Unendliche, in die
Ebene E^, so zerfällt die Kegelfläche, sowie auch die Raum-
curve Q"*— "-^^ in bestimmte Theile."

In Betreff des obigen Satzes ist zu bemerken, dass für den Fall, wo
die gegebene Fläche F* nur vom 2*^" Grad, = F^, ist, Herr Terquem
irgendwo zuerst bewiesen hat: „dass aus jedem Puncte im Allge-
meinen je 6 Normalen auf dieselbe gehen, und dass solche
6 Normalen jedesmal in einer Kegelfläche zweiten Grades
liegen." Gemäss dem Vorstehenden erhält nun aber dieser Satz folgende
Erweiterung. Der Ebene E^ entspricht für diesen Fall nur ein einziger.
Pol F^^ da (2 — 1)' = 1 ist, und zw^ar ist derselbe der Mittelpunct der

636 L'eber algebmische Curren und Flscfaen.

gegebenen Fläche F'; Aie in E, liegenden n'— n-|-l Puncte Q, redu-
ciren sich auf dQ,, und zwar sind sie die im Unendlichen üegendeo
Puncte der 3 Axen X, Y und Z der Fläche F'. Danach lautet der voll-
ständige Satz, wie folgt:

„Auf eine gegebene allgemeine Fläche 3'** Grades F* gehen
aus Jedem beliebigen Pnocte P je 6 Normalen PQ„ (reell oder
imaginär); die 6 t'usRpuncte Q^ derselben nebst dem Punct«
P liegen allemal mit dem Mittelpuncte F, der Fläche und mit
den im Unendlichen liegenden 3 Puncten Q, ihrer 3 Axen X
Y und Z zusammen in einer Raumcurve 3"" Grades Q**); alle
auf diese Weise bestimmten Curven Q' haben also die 4 festen
PuQcte F^ und 3Q, gemein, und vermöge dieser 3Q, haben ihre
Asymptoten dieselben constanten Richtungen, nämlich sie
sind sämmtlich den drei Axen der Fläche parallel; uod ferner;
die 6 Normalen PQ„ aus jedem Puncte P nebst den 4 Geraden,
die aus demselben nach dem Mittelpunct F^ und nach deo
3 Puncten Q,, d. i. den drei Axen parallel, gezogen werdeo,
sammt dem aus P auf seine Polar-Ebene gefällten Perpeo-
dikel, was zusammen 11 durch P gehende Gerade sind, liegen
allemal zusammen in irgend einer Kegelfläche 2^ Grades;
und ebenso liegen die aus dem Mittelpuncte F^ oder die ana
einem der 6 Fusspuncte Q^ nach den jedesmaligen übrigen
10 Puncten gezogenen 10 Geraden in einer Kegelfliclie
2""* Grades, und insbesondere liegen die aus einem der 3 Funde
Q, nach den übrigen 10 Puncten gezogenen Geraden oder ilie
durch die Puncte 6Q„, F^ und P mit einer der 3 Axen X, Y,
Z parallel gezogeneu 8 Geraden zusammen in einem gleich-
seifigen hyperbolischen Cylinder; d, h. werden die 8 Puncte,
SQo, F„ und P, nach der Richtung einer der drei Axen (etwai)

Ueber algebraische CurTen und Flächen. 637

rühren, oder, mit PonceUt zu sprechen, denkt man sich ein
System ähnlicher, ähnlich! iegen der und concentris eher Flächen
zweiten Grades und fällt aus irgend einem Puncte P. Nor-
malen auf dieselben, auf jede Fläche 6 Normalen PQo, so liegen
deren sämmtliche Fusspuncte Q^ in einer und derselben Raum-
curve 3'" Grades Q^ welche allemal durch den Mittelpunct f\
der Flächen und durch die im Unendlichen liegenden 3 Puncte
Qj ihrer gemeinschaftlichen Axen X, y und Z geht, so dass
also die 3 Asymptoten der Curve stets diesen Axen parallel
sind; und ferner liegen die gesammten Normalen PQ, wozu
insbesondere namentlich auch die aus P nach dem Mittel-
puncte F^ und nach den 3 Punc.ten Q, oder den Axen parallel
gezogenen vier Geraden gehören, allemal in irgend einer
Kegelfläche 2'®° Grades -FJ." Liegt der Pol P insbesondere in einer
der drei Axen-Ebenen XF, XZ und FZ, so zerlallt die Raumcurve Q'
in einen in dieser Ebene liegenden Kegelschnitt Q' und in eine auf der-
selben senkrecht stehende Gerade Q\ und demgemäss zerfallt die Kegel-
flache Fl in zwei Ebenen, wovon die eine die genannte Axen-Ebene selbst
ist und die andere darauf senkrecht steht, durch P und die Gerade Q^
geht; und liegt femer der Pol P in einer der drei Axen X, Y und Z,
so besteht Q' aus drei Geraden, wovon die eine die Axe selbst ist, die
beiden anderen auf ihr senkrecht stehen und beziehlich den beiden anderen
Axen parallel sind, so dass dabei die Kegelfläche Fl aus zwei Axen-
Ebenen besteht. Ganz ähnlich verhält es sich, wenn der Pol P insbe-
sondere in der Ebene E^ oder in einer der drei Geraden Xj, Yj, Z,
liegt, in welchen dieselbe beziehlich von den Axen-Ebenen ZF, ZX, YX
geschnitten wird; denn im gegenwärtigen (sowie in manchem anderen)
Betracht ist die Ebene E^ als vierte Axen-Ebene anzusehen, so dass ein
Axen-Tetraeder stattfindet, dessen 6 Kanten X, Y, Z, X,, F, und Zj
als Axen der gegebenen Flächen, B(F^), zu betrachten sind.

Berlin, im April 1854.

Heber eine besondere Curve dritter ' Classe

(und vierten Grades).

Borchard t 's Journal Band Lin. S. 231— 237.
(Gelesen in der Akademie der Wissenschaften zu Berlin am 7. Januar 1856.)

lieber eine besondere Curve dritter Classe

(und vierten Grades).

Die Curve tritt schon beim geradlinigen Dreieck ein. Fällt man
aus jedem Puncte in der dem Dreieck umschriebenen Kreis-
linie auf die Seiten Perpendikel, so liegen die je drei Fuss-
puncte allemal in irgend einer Geraden G, und die Enveloppe
aller dieser Geraden ist eine Curve dritter Classe, G', und
vierten Grades, welche die im Unendlichen liegende Gerade,
6«» 35ur ideellen Doppeltangente hat; ferner hat sie drei
Rückkehrpuncte und die drei Rückkehrtangenten schneiden
sich in einem und demselben Punct. Die Curve berührt nament-
lich auch die Seiten des Dreiecks, sowie dessen drei Höhen, d. h. die aus
den Ecken auf die Gegenseiten gefällten Lothe.

Sei abc das gegebene Dreieck; 6 der Mittelpunct des ihm umschrie-
benen Kreises 8'; femer aa, ib, cc seine drei Höhen und d der gemein-
same Schnittpunct derselben; seien ferner a, ß, 7 die Mitten der Seiten
und m der Mittelpunct des durch diese Mitten und zugleich auch durch
die Fusspuncte a, b, c der Höhen gehenden Kreises w'; endlich sei r
der Radius dieses Kreises, derselbe ist halb so gross als der Radius des
Kreises 0'. Da der Punct m in der Mitte zwischen 6 und d liegt, so ist
d der äussere Aehnlichkeitspunct beider Kreise. Wird von den über
den Seiten des Dreiecks liegenden Bogen des Kreises w', aa,
ßb, -yc, von den Mitten der Seiten aus mittelst der Puncte u,
V, w je ein Drittel abgeschnitten, so dass Bogen aw = -J^a,
ßt? = 4^ßb, ift<? = ^'yc, so theilen diese Puncte die ganze Kreis-
linie in drei gleiche Theile, so dass sie die Ecken eines
gleichseitigen Dreiecks uvw sind.

Ist p ein beliebiger Punct in der Kreislinie 8' und G die ihm zuge-
hörige Fusspuncten-Linie, so hat der aus dem Höhenschnitt d nach j?

Steiner's Werke. IL 41

642 I'cliw cinp Curve dritter Clwse.

geKogcno Strahl ilp Heino Mitte, otwa fi, allemal in G und zd-
gleich auch im Kreise »»'; dieser Kreis werde von G zum zweitea M»l
in s geschnitten: der Punct (t wird Mittelpnnct und « Scheitel der Fii-w-
puuct«n-Linie G genannt. Im Kreise 5' sei ;>, der Gegenpunct von ^i,
so steht dessen FusspuDcten-Linie G, jedesmal auf G seok-
recht, und zwar haben beide den Scheitel * gemein und ihre Mittelpnnele
fi und |i, sind gleicherweise Gegeupuncte im Kreise m', und die Durtb-
messer pi\ und [(.(l, sind parallel. Demnach sind die FusspuncteD-
liinien, oder die Tangenten der Gurve G', paarweise zu ein-
ander rechtwinklig, auf jeder steht eine — aber nur eio«
einzige — bestimmte andere rechtwinklig, und der Ort der
Scheitet s aller dieser rechten Winkel ist die Kreislinie m'.
Diese Eigenschaft hat also die Curve mit den Kegelschnitten gemein.
Solche rechtwinklige Tangenten- Paare sind namentlich auch die Seilen
und zugehörigen Höhen des gegebenen Dreiecks, Jede zwei zu einander
rechtwinklige Fusspuncten-Linien heisseu schlechthin ein Paar.

Jede Fusspuncten-Linie G, (.= G) wird von jedem Pait
in zwei solchen Puncten geschnitten, welche gleich weit von
ihrem Mittelpuncte |i, abstehen; eine Folge davon ist, dass
Gj von der Curve G' in demjenigen Puncto (, berührt wird,
welcher von ihrem Mittelpuact ebenso weit absteht als ihr
Scheitel k,, also p-,', ^t^,s,- Es folgen femer nachstehende inter-
essante Eigenschaften. Die Gerade, welche durch die Berührungs-
puncte t, «, irgend eines Paares GG^ geht, ist stets auch eine
Fusspuncten-Linie G,, und diejenige, die mit ihr ein Pair
bildet, geht jedesmal durch den Scheitel jenes Paares; zudem
hat die Borührungs-Sehne K, constante Länge, nämlich sie
ist dem vierfachen Radius des Kreises m* gleich, tt, ^4r.

Ueber eine Curve dritter Classe. 643

^\i ^M ^1 J^i^ einander Paare; jene sind die einzigen drei
Fusspuncten-Linien, bei welchen der Scheitel (s), Mittelpunct
(fi) und Berührungspunct (^ vereint sind, die anderen haben
die Puncte Uy i?, w zu Scheiteln, deren Gegenpuncte Wj, v,, w^
(im Kreise m') zu Mittelpuncten und um die Länge des Durch-
messers über diese hinaus ihre Berührungspuncte Wj, v^, ^o^.
Diese letzteren Puncte sind die drei Rückkehrpuncte der
Curve G' und [7j, F,, W^ sind die Rückkehrtangenten, die
also alle drei durch den Mittelpunct m des Kreises gehen,
gleich lang sind, nämlich wm^ = wv, = ww^ = 3r, und mit ein-
ander gleiche Winkel (=120°) bilden, so dass die drei Rück-
kehrpuncte ttj, V,, w^ im oben genannten Kreise [mY liegen
und die Ecken eines gleichseitigen Dreiecks sind, das m zum
Schwerpunct hat; auch sind die drei Rückkehrtangenten zu-
gleich Normalen der Curve in ihren Scheiteln w, «?, w^ und es
ist uu^ = tw, = tGw^ = 4r. Der reelle Theil der Curve G^ besteht nur aus
einem regelmässigen Curvendreieck u^v^w^^ das innerhalb des geradlinigen
Dreiecks u^v^w^ liegt, aber den Kreis w' umschliesst; seine drei gleichen
Seiten w,««?, , VjMw,, w^vu^ sind nach Innen convex und berühren den
Kreis mit ihren Mitten (Scheiteln) m, v, w; die Länge jeder
Seite ist gleich 5^, somit der ganze Umfang gleich 16r; der
Inhalt des Curvendreiecks ist gleich 2icr', also gerade zwei-
mal so gross als die Kreisfläche m', so dass jeder der 'drei
gleichen, zwischen dem Kreise und der Curve liegenden Ar-
belen gleich ^icr' ist. Jede Tangente der Curve G^ berührt je
einen ihrer drei Zweige und schneidet die beiden anderen;
ein Paar ffff,, d. h. die Schenkel eines ihr umschriebenen
rechten Winkels berühren immer verschiedene Zweige.

Sind GG^ und HH^ irgend zwei Paare, wird G von H und H^ be-
ziehlich in «,, d^ und 6, von denselben in i,, c, geschnitten, so sind die
Geraden a,Cj, 6,d, allemal ein drittes Paar, etwa </J,, d. h. sie sind
auch zu einander rechtwinklige Fusspuncten-Linien oder Tangenten der
Curve ff'. Ein eben solches Trippel von drei Paaren GG, , i?^, , «/«/,
mit einem Quadrupel von vier Schnittpuncten a, i, c, d bilden auch die
Seiten und zugehörigen Höhen des gegebenen Dreiecks; beiderseits hat
man ein vollständiges Viereck (ja^h^c^d^ oder abcd)^ dessen drei Paar
Gegenseiten • zu einander senkrecht sind, oder vier solche Puncte, von
denen jeder der Höhenschnitt des durch die drei übrigen bestimmten
Dreiecks ist. Bei allen diesen Vierecken ist die Summe der
Quadrate der Gegenseiten constant, und zwar gleich 16r*; also
ad*-hÄ(?' = {K?'H-W = ai'H-(?d' = 16r'. Alle Quadrupel «icrf, deren
vier iPuncte sämmtlich reell sind, liegen innerhalb des Cur ven-

41*

644 Uebcr eine Cunre dritter Clasitp.

dreiecks 6'; und umgekehrt, durch Joden ionerhKtb dieses Drei-
ecks liegenden Punct d ist ein reelles Quadrupel bestimmt.
deDD es gehen immer drei relle Tangenten G,, H,, J, durch denselben,
und die zu diesen senkrechten Tangenten G, H, J sind ihre Gegenseiten
in einem vollständigen Viereck ahcd. Liegt hingegen der gegebene
Punct d ausserhalb des Curvendroiecks C, so geht nur ein«
reelle Tangente, etwa G, durch ihn, und alsdann ist von den
anderen drei Puncten nur einer, etwa a, reell, der gleichfslh •
in G und auf der anderen Seite ausserhalb der Curve liegt:
die conjugirtc Tangente G, ist auch reell und enthält die zwei
imaginären Puncto b und c; die beiden anderen Paare Äff, und
JJ^ sind imaginär. Die den vier Dreiecken abc, abd, acd, hcd
umschriebenen Kreise, deren Mittelpuncte beziehlich S, f, ß, a
heissen sollen, sind gleich und bei allen Quadrupeln yod
gleicher Grösse, nämlich der Radius eines jeden ist dem Durch-
messer des Kreises m' gleich, also gleich 2r. Das Viereck
aß^S ist dem Viereck aicd gleich und liegt so, dasa die viet
Geraden aa, i^, rf, (R alle durch den Mittelpunct m gehen and
durch ihn gehälftot werden; daher haben umgekehrt die den
vier Dreiecken ap7,aß5,cqB, ßi^ umschriebenen Kreise ihre Mittel-
puncte in d, c, b, a, und ihre Radien sind ebenfalls gleich 2r;
und ferner sind die Gegenseiten aS und ß^, af und ßS, aß und-|:i
zu einander rechtwinklig oder bilden drei Paare ®®,, ^»§,, 3X,
deren Scheitel im nämlichen Kreise m' liegen, und deren
Enveloppe eine der vorigen, ö', gleiche Curve ®' ist, aber
um den Mittelpunct m um 180° horumbewegt, so dass sie des
Kreis in den oben erwähnten Puncten «,, «,, «>, berührt. Alle
en Quadrupel aßvB Hegen innerhalb des Curvendreieck«

üeber eine Curve dritter Clasde. 645

und den Scheitel s von G zum Mittelpunct hat. In Betracht
aller Quadrupel abcd hat man auf diese Weise eine Schaar-Schaar gleich-
seitiger Hyperbeln, SS(IP), Denkt man sich in Bezug auf jedes Paar G(t,
alle Hyperbeln, welche dasselbe zu Asymptoten haben, so hat man die
nämliche SS(B^. Je zwei dieser Hyperbeln schneiden sich in
irgend einem Quadrupel, also nur innerhalb des Curven-
dreiecks G\ wofern ihre Schnittpuncte alle vier reell sind;
berühren sich dieselben, indem etwa a und d sich vereinen,
so berühren sie zugleich auch die Gerade ad=G in deren
Mittelpunct jx, und alsdann liegen die beiden anderen Schnitte
b und c in der Curve G' selbst und sind die Berührungspuncte
eines Paares HH^^ dessen Scheitel in jenem Puncto ja liegt. Je
zwei Quadrupel liegen in einer und derselben Hyperbel IP
oder insbesondere in einem und demselben Paar GG^, Die
Rechtecke unter den je zwei Perpendikeln, welche aus den einzelnen
Puncten irgend eines Quadrupels auf ein beliebiges Paar GG^ gefällt
werden, haben jedesmal unter sich gleichen Inhalt. Sind in einer
Ebene zwei rechte Winkel GÖ, und I1II^ gegeben, und sollen
zwei Hyperbeln die Schenkel derselben beziehlich zu Asym-
ptoten haben und einander berühren, so ist der Ort ihres Be-
rührungspunctes ji ein bestimmter Kreis w^ welcher durch die
Scheitel der Winkel und durch die Mitten der Strecken geht,
welche auf den Schenkeln jedes Winkels durch die Schenkel
des anderen begrenzt werden.

Das System Paare Gö, kann insbesondere auch, wie folgt, bestimmt
werden. Wird in der Kreislinie m* irgend ein Punct p und nebstdem
eine beliebige Gerade Q angenommen, und werden sodann aus jedem
Puncte 8 des Kreises zwei unbegrenzte Gerade P und Q beziehlich durch
p und parallel Q gezogen und die von denselben gebildeten Nebenwinkel
mittelst zweier Geraden G und G, gehälftet, so sind alle diese Ge-
raden-Paare 6G, ein dem obigen gleiches System, so dass sie
eine gleiche Curve G' umhüllen.

In dem Kreise m^ ziehe man eine fortlaufende Reihe Sehnen unter
folgender Bedingung. Aus dem Anfangspunct s ziehe man die erste Sehne
88^ willkührlich ; sodann aus 8, die zweite Sehne s^s^ senkrecht auf den
durch 8 gehenden Durchmesser; femer aus s^ die dritte Sehne s^s, senk-
recht zu dem durch 8, gehenden Durchmesser und so durch jeden neuen
Punct diejenige Sehne, welche zu dem durch den vorhergehenden Punct
gezogenen Durchmesser senkrecht ist, so entsteht — wenn nicht zufällig der
über der ersten Sehne liegende Bogen mit dem Kreisumfange commen-
surabel ist — eine unbegrenzte Reihe von Sehnen, welche «ämmtlich eine
der obigen gleiche Curve G' berühren. Wird auf jeder Sehne in ihrem

g4A Ueher eine CurTc dritter Classe.

zweiten EndpUDcto eine Senkrecht« errichtet, so berühreo auch diese
Senkrechten alle die nämliche Curve und bilden mit den reapectiven
Sehnen die obigen Paare GG,. Itit dagegen der Bogen- über dor ersten
Sehne mit dem Kreittumfaüge commensurabel, verhält er sich zu diesem,
wie n:m, wo n und m ganze und relative Primzahlen Bind, so schliestt
xich die Reihe Sehnen jedesmal, so dass ein geachlossenes
Polygon entsteht; jedoch kehrt die Reihe nicht immer in den Äufai^
pimct s zurück, »ondem sie kann auch in s, , s,, ... zurückkehren, je-
nachdem die Zahl m beschaffen ist Femer sind in diesem Falle die
Endpuncte a, «, , s, , . . . der Sehnen immer Ecken eines regelmässigoi
m-Ecks, und die Sehnen selbst sind Seiten verschiedener Ordnong des-
selben (oder Seiten und Dit^nalen). Das Sehnen-Polygon nimmt
nur dann alle Ecken des 7»-Ecks in Anspruch und ist selbst ein
rn-Eck. wenn m eine Potenz der Zahl 3 ist; seine Seiten sind
alsdann zu drei und drei einander gleich, und zwar sind sie
Seiten des regelmässigen, vollständigen m-Ecks von allen den-
jenigen Ordnungen, welche nicht durch 3 theilbar sind. Nim-
lieh bei einem regelmässigen, vollständigen (2|»+1)-Eck hat man (nach
Grösse) Seiten von erster, zweiter, dritter, ... bis (j* — l)"' Ordnung ni
unterscheiden. — Hierbei berühren alle Sehnen gleicherweise
eine Curve G*, ho das^ das Sehnen-Polygon dieser Curvc um-
schrieben und zugleich dem Kreise eingeschrieben ist. Es
folgen daraus noch mehrere specielle Sätze, die hier übergangen werden,
lu Bezug auf da^ Obige ist die Curve G' unter anderem auch noch,
wie folgt, bestimmt. Denkt man sich rücksichtlich irgend eines der oben
beschriebenen Quadrupel ahcd die Schaar Kegelschnitte, welche durch
einen der vier Puncte, etwa durch d, geben und dem durch die drei
übrigen bestimmten Dreieck abc eingeschrieben sind, femer in jedem
Kegelschnitt den durch den Punct d gehenden Durchmesser dd, und in
'h'wM-ii anderem Eiidpuiictc il, die THuuoiitc G des Kpgel;

lieber eine Curvo dritter Classe. 647

vom Halbmesser ms beschriebene Sector in jedem Moment
doppelt 80 gross ist als der vom anderen, ?72|x, beschriebene
Sector, 80 ist dieEnveloppe der durch dieEndpuncte der Halb-
messer gehenden Geraden, s\i=Gy eine Curvc dritter Classe
(?' und vierten Grades, welche die Gerade G^ zur ideellen
Doppeltangente hat, und deren reeller Theil nur aus einem
krummlinigen Dreieck u^v^u\ besteht, welches die Ellipse um-
schliesst und sie mit seinen drei Seiten (Bogen) in drei solchen
Puncton Uy Vy w berührt, welche die Ecken eines der Ellipse
eingeschriebenen grössten Dreiecks sind; die Ecken jenes
Dreiecks u^v^w^ sind Rückkehrpuncte der Curve ö', die Rück-
kehrtangentengehen alle drei durch den Mittelpunct der Ellipse
und respective durch die genannten Berührungspuncte w, ü, w;
bis zu diesen Puncten genommen sind sie gerade doppelt so
gross, als die auf ihnen liegenden Durchmesser der Ellipse.
Der Inhalt des Curvendreiecks ist zweimal so gross als die
Fläche der Ellipse, und jeder der drei Arbelen zwischen beiden
Curven ist einem Drittel der Ellipsen-Fläche gleich.

lieber die Flächen dritten Grades.

Crelle'R Journal Band LIII. S. 133 — 141.
(Gelesen in der Akademie der Wissenschaften zu Berlin am 31. Januar 1856.)

lieber die Flächen dritten Grades.

Die höheren algebraischen Flächen sind rücksichtlich ihrer charak-
teristischen geometrischen Eigenschaften noch wenig erforscht. Aus den
langjährigen Untersuchungen über diesen Gegenstand wird ein Theil der-
jenigen Resultate mitgetheilt, die sich auf die Flächen dritten Grades be-
ziehen. Es ist daraus zu sehen, dass diese Flächen fortan fast ebenso
leicht und einlässlich zu bebandeln sind, als bisher die Flächen zweiten
Grades. Von den schönen Eigenschaften der ersteren mögen hier in ge-
drängter Kürze nachstehende angeführt werden.

Zuerst werden mehrere verschiedene Erzeugungsarten der Flächen
dritten Grades gezeigt, aus welchen die wesentlichsten Eigenschaften dieser
Flächen unmittelbar hervortreten, und wovon folgende die beachtcns-
werthesten sind.

I. Durch die 9 Geraden, </, in welchen die Flächen zweier
beliebigen gegebenen Trieder einander gegenseitig schneiden
und durch irgend einen gegebenen Punct, P, ist eine Fläche
dritten Grades, /', bestimmt. Nämlich jede durch den Pimct ge-
legte Ebene schneidet die 9 Geraden in 9 Puncten, welche mit jenem zu-
sammen irgend eine Curve dritten Grades bestimmen, und der Ort aller
dieser Curven ist die genannte Fläche. — Unter den 9 Geraden g giebt
es sechsmal drei solche, welche einander nicht schneiden, und welche
also ein Hyperboloid bestimmen; jedes dieser 6 Hyperboloide schneidet
die Fläche /' noch in drei neuen Geraden, so dass also dieselbe
27 Geraden enthält. Rücksichtlich der zwei Schaaren Geraden, die jedes
Hyperboloid enthält, gehören die je drei bestimmenden Geraden zur einen
und die drei neuen Geraden zur anderen Schaar, diese drei schneiden
also jene, aber einander nicht.

II. Werdenein gegebener Flächenbüschel zweiten Grades,
B(/'), und ein gegebener Ebenenbüschel B(E)^ projectivisch
auf einander bezogen, so erzeugen sie irgend eine Fläche

652 Ueber die Flächen dritUn Grades.

dritten firades, /', welche durch die Grundcutve, Ä*,") des
ersten, sowie durch die Axc, g, des andercu Büschels geht:
d. h. alle Regelschnitte, 6'*, m welchen die oinzelncD Flachen zweiteo
Cirados,/', von den ihnen cntsprcchendeo Ebenen, E, geschnitten werden,")
liegen in einer Fläche dritten Grades. Dabei giebt es fünf Ebenen
Ef welche die ihnen entsprechenden Flächen /* berühren, sa
dass der zugehörige Kegelschnitt C^ in zwei Geraden, g, ser-
rällt, u. s. w.

III. Ist ein Flachenbüschel zweiten Grades, B(y), gegebeo.
so ist die Pampolare jedes beliebigen Polos, P, in Bezog aaf
denselben irgend eine Fläche dritten Grades/*, welche stets
durch die Grundcurve R* des Büschels und auch durch den Pol
/' geht. Das heisst, der aus dem Pol P jeder Fläche, /', des gegebenen
Büschels umschriebene Kegel berührt sie längs eines Kegelschnittes '.'
und alle diese Kegelscimitte liegen in einer Fläche dritten Grades /*; die
Ebenen der Kegelschnitte, als Polarebenen des Poles in Bezog auf die
resj>ei:ttveu Flächen des Büschels, gehen sämmtlich durch eine bestimmte
Gerade, g^ welche auch in der Fläche /' liegt Der g^ebene Elächen-
buschel enthält insbesondere vier Kegel, wie PonceUt zuerst gezeigt bat,
für jeden derselben zerfällt der genannte Kegelschnitt C* in zwei Geradra,
g„ die sich im Scheitel dei< Kegels kreuzen mid mit jener Geradeo g eio
Dreieck bilden: auch bei derjenigen Fläche des Büschels, welche doicb
den Pol P geht und daher daselbst von ihrer Polarebene berührt wird,
zerfällt der Kegelschnitt C in zwei Geraden, ^, , die eich im Pol kreateo
und gleichfalls mit jener Geraden g ein Dreieck bilden; dies sind lo-
sammen bereite 11 in der Fläche /' liegende Geraden. Durch jede der
beiden zuletzt genannten Geraden g^ lassen sich vier solche Ebenen legen,
welche die Grundeur\-e A* des Büschels berühren, und jede dieser Eben«
schneidet die Fläche /' in zwei neuen Geraden, die eich im Berüfamngs-

lieber die Flächen dritten Grade«. 653

Pj ; bewegt sich der Pol P in einer beliebigen gegebenen
Ebene, so beschreibt der Punct P, irgend eine Fläche dritten
Grades. Oder: Denkt man sich alle Flächen zweiten Grades,
welche durch beliebig gegebene sieben Puncte gehen, so
liegen die irgend einer gegebenen Ebene in Bezug auf die-
selben entsprechenden Pole sämmtlich in einer Fläche dritten
Grades. Die vielen weiteren interessanten Umstände, welche dabei noch
stattfinden, müssen hier übergangen werden.

Aus diesen Entstehungsarten — und weiterhin durch Hülfe einiger
Polaritäts-Sätze — ergeben sich nachstehende merkwürdige Haupteigen-
schaften der Flächen dritten Grades:

„Eine allgemeine Fläche dritten Grades /' enthält 27
gerade Linien g (reelle oder imaginäre); jede derselben wird
von 10 der übrigen geschnitten, und zwar von fünf Paaren,
die einander selbst schneiden, so dass sie mit jener fünf
Dreiecke bilden. Alle 27 Geraden g schneiden sonach ein-
ander zu zweien in 135 Puncten o und bilden im Ganzen
45 Dreiecke A. Die fünf Paar Schnittpunöte, 8, in jeder Ge-
raden, g^ gehören zu einem Involutions-Punctensystem; ist
dasselbe hyperbolisch, so enthält es zwei Asymptotenpuncte
(Doppelpuncte) ir. Die Seiten jedes Dreiecks A enthalten ent-
weder 1® alle drei hyperbolisches, oder 2® nur eine hyperboli-
sches und zwei elliptisches Puncten-System." Oder umfassender:

„Es giebt 27 verschiedene Systeme von solchen Ebenen,
E, welche die Fläche /' in Kegelschnitten, C, schneiden,
und zwar bestehen dieselben aus 27 Ebenenbüscheln, B(E),
welche die 27 Geraden g respective zu Axen haben; und um-
gekehrt, jede Ebene, welche die Fläche /' in einem Kegel-
schnitte schneidet, schneidet dieselbe nothwendig noch in
einer der 27 Geraden und gehört zu einem der Ebcnenbüschel.
Die Schaar Kegelschnitte, 6'^, die den Ebenen eines und des-
selben Ebenenbüschels angehören, schneiden dessen Axe, g,
in dem genannten Puncten-System; jede Ebene ist als eine
die Fläche/' doppelt berührende anzusehen, und die Schnitte
ihres Kegelschnittes mit der Axe als die Berührungspuncte;
unter den Kegelschnitten giebt es insbesondere zwei, 6'*,
welche die Axe berühren, und zwar in den genannten Asym-
ptotenpuncten ir; ferner giebt es fünf Kegelschnitte, die in je
zwei Geraden g zerfallen, so dass die zugehörige Ebene die
Fläche/' in drei Puncten berührt, nämlich in den Ecken des
in ihr liegenden Dreiecks A. Die Ebenen der 45 Dreiecke A sind
die einzigen, welche die Fläche /' in drei Puncten berühren.

(>54 Heber die Flächen dritten Gndex.

Es giebt ferner 45 Systeme von solchen Flächen zweiten
Grades, /', welche die Fläche dritten Grades /* in je drei
Kegelschnitten 6" schneiden; jedem Dreieck A ent»priclit
ein solches System, nämlich jede drei Ebenen, die beziehlicb
durch dessen drei Seiton gehen, enthalten drei solche Kegel-
schnitte 6'', durch welche allenat irgend eine Fläche Kweiteo
Grades geht; und umgekehrt: Hat eine Fläche zweiten Grades
/* mit der Fläche dritten Grades/* irgend drei Kegelschnitte
gemein, so gehen die Ebenen derselben jedesmal durch die
drei Seiten eines der 45 Dreiecke A; oder geht eine Fläche
/' durch zwei in der Fläche /' liegende Kegelschnitte, so
achneiden sich beide Flächen allemal noch in irgend einem
dritten Kegelschnitt und die Ebenen der drei Kegelschnitte
gehen durch die drei Seiten eines und desselben Dreiecks^.
IMe Seiten jedes Dreiecks A werden von den vorgenannten besondereo
Kegelschnitten Q in ihren Asymptoten - Puncten it berührt; die drei
Paar oder sechs Asymptoten-Puncte Hegen zu drei and drei
in vier Geraden, l, und durch die je drei zugehörigen Kegel-
schnitte C* geht ein Kegel zweiten Grades, /*, welcher die
Ebene des Dreiecks längs der zugehörigen Geraden l berührt,
und die Scheitel aller vier Kegel liegen in einer Geraden.
Ausserdem enthält das dem Dreieck entsprechende Flächensyatem zweiten
Grades,/', noch unendlich viele Kegel; ihre Scheitel liegen sämmt-
lieh in einer Fläche vierten Grades.

Die drei Kegelschnitte C, durch welche je eine Fläche zweiten Grades
/' geht, können insbesondere auch aus drei Paar Geraden g bestehen,
wobei dann die Fläche ein einfaches Hyperboloid, V, ist. Nimmt man
von den 27 Geraden g irgend drei, welche einander nicht
schneiden, so bestimmen sie ein solches Hyperboloid, denn

Üeber die Flachen dritten Grades. 655

deren dritte Seiten c, c, ,'cj, für sich, die Seiten eines sechsten Dreiecks
A oder C sind. Die Ebenen der Dreiecke A, By C bilden ein Trieder,
Tj auf dessen drei Kanten k ihre Seiten einander paarweise schneiden,
und ebenso bilden die Ebenen der Dreiecke ^,, ß^ , Cj ein Trieder, Tj,
auf dessen Kanten ihre Seiten einander treffen; jene Dreiecke, wie diese,
haben die nämlichen 9 Geraden g oder aa^a^bbj)./;c^i\ zu Seiten, und die
Flächen beider Trieder schneiden einander gegenseitig in denselben (wie
oben L). Zwei solche Trieder heissen conjugirte Trieder.

„Die Ebenen der 45 Dreiecke A bilden auf diese Weise im
Ganzen 240 Trieder, oder 120 Paare conjugirter Trieder T und
T,." Diese Paare ordnen sich zu drei und drei in 40 Gruppen, wovon
jede Gruppe alle 27 Geraden g enthält.

„Jedes Dreieck *A kommt in 16 verschiedenen Triedern
vor, so dass also 16 Trieder-Scheitel in seine Ebene fallen;
diese 16 Scheitel liegen allemal in einer Curve vierten Grades,
welche die Seiten des Dreiecks zu Doppeltangenten hat, und
zwar dieselben in ihren Asymptotenpuncten ir berührt."

Die 240 Trieder haben zusammen 720 verschiedene Kanten k; also
liegen die 135 Schnittpuncte 8 der 27 Geraden g zu drei und
drei in 720 Geraden ky welche sich zu drei und drei in 240
neuen Puncten T (Scheiteln der Trieder) treffen. Durch jeden
Schnittpunct 8 gehen je 16 Gerade i, wovon jede noch durch zwei andere
Schnittpuncte, etwa 8, und 8^ (statt 8), geht; nimmt man in jeder der-
selben einen vierten Punct, X, so, dass 88, ^8^ harmonisch sind, so
liegen die 16 Puncte X zweimal zu vier und vier in vier Ge-
raden, und diese 8 Geraden sammt den zwei Geraden </, deren
Schnitt jener erste Punct 8 ist, liegen in einem Hyperboloid.

Wird durch irgend einen in der Fläche /^ liegenden Kegelschnitt C
eine beliebige Fläche zweiten Grades, /*, gelegt, so schneidet sie jene
Fläche im Allgemeinen noch in einer Raumcurve vierten
Grades, R*, durch welche allemal unzählige andere Flächen
zweiten Grades gehen, oder ein Flächenbüschel zweiten Grades
geht; unter diesen Flächen befinden sich 5 solche, welche die
gegebene Fläche/' in je einem Puncte berühren, und die Be-
rührungsebenen in diesen fünf Puncten sammt der Ebene jenes
Kegelschnittes C gehen durch eine und dieselbe Gerade g;
zudem enthält jede der 5 Berührungsebenen noch zwei andere
Gerade g, die sich im Berührungspunct kreuzen, so dass also
jede ein Dreieck A enthält. — Legt man durch irgend zwei einander
nicht schneidende Gerade g ein beliebiges Hyperboloid, so schneidet
dasselbe die Fläche /' ausserdem noch in einer solchen Raum-
curve vierten Grades, ÄJ, durch welche keine andere Fläche

656 Ueber db Flächen dritten Grades.

zweiten Grades geht; diese Curve ist also wesentlich verschieden voQ
der vorigen R*, welche als der Schnitt irgend zweier Flächen zweiten
Grades anzusehen ist, und welche man bisher für die einzige
Raumcurve vierten Grades hielt Die beiden Curven onterscheideo
sich namentlich noch in folgenden Eigenschaften. »Die Tangenten-
flache der Curve R] (d. h. die Fläche, in welcher alle ihte
Tangenten liegen) ist vom sechsten Grad und vod der sechsten
Classe; wogegen die Tangentenfläche dor Curve ü* vom achten
Grad und von der zwölften Glasse ist" Femer: „Von den zwei
Schaaren Geraden, welche in dem durch die Curve R* gehenden
einzigen Hyperboloid liegen, schneidet jede Gor^ade der einen
Schaar die Curve in drei und jede Gerade der anderen Schasr
nur in einem Punct; wogegen bei jedem Hyperboloid, welches
durch die Curve R* geht, jede Gerade aus der einen oder
anderen Schaar dieselbe in zwei Puncten trifft

„Somit giebt es zwei wesentlich verschiedene Arten von
Raumcurven vierton Grades, R* und ÄJ."

Wird der gegebenen Flache dritten Grades, /', aus irgend einem
Puncto oder Pol i*ein Kegel utnschrieben, so ist derselbe vom sechst»
Grad uud berührt die Fläche längs einer Raumcurve sechsten Grades,
durch die jedesmal irgend eine Fläche zweiten Grades, /*, geht, welcba
die erste Polare des Poles Pin Bezug auf die gegebene Fläche /* heisst
Es giebt unendlich violo solche besondere Pole, deren erste Polare je ein
Kegel zweiten Grades, /l, ist, und es findet das Gesetz statt: „dass,
wenn P, der Scheitel dieses Kegols ist, dann auch seine erste
Polare gleichfalls ein Kegel ist, und dass der Scheitel des-
selben in jenem ersten Pol liegt" Solche zwei Pund« P und P,
heissen reciproko Pole in Bezug auf die Fläche/'.

„Der gemeinsame Ort aller reciproken Pole ist eine be-

üeber die Flächen dritten Grades. 657

„Es giebt im Ganzen 10 solche specielle Pole P, oder P^,
deren Polarkegel /J in zwei Ebenen, Fund i^,, zerfällt (so dass
auch der aus dem Pol der Fläche/' umschriebene Kegel in
zwei Kegel dritten Grades und ebenso die Berührungscurve
in zwei ebene Curven dritten Grades zerfällt); dabei ist dann
der reciproke Pol, P,, nicht mehr absolut bestimmt, sondern
er liegt längs der Schnittlinie oder Kante, pj, der beiden
Ebenen überall, so dass für jeden in dieser Kante liegenden
Punct P, die erste Polare ein Kegel fl ist, und dass die Scheitel
aller dieser Kegel in jenem Pol P^ vereinigt sind." „Den
10 Polen P^ entsprechen demnach 10 reciproke Goraden /),."
„Die 10 Pole sind Knotenpuncte der Kernfläche P* und die
10 Geraden liegen ganz in derselben." Die gegenseitige Lage
dieser Pole und Geraden ist der Art, dass in jeder Kante p^ je drei
der 10 Pole liegen, und dass auch durch jeden Pol P^ je drei
der 10 Kanten gehen. Oder genauer: „Die 10 Pole P^ und die
10 Geraden p, sind die Ecken und Kanten eines vollständigen
Pentaeders, d. h. es giebt 5 bestimmte Ebenen, jB^, die sich
paarweise in den 10 Geraden und zu je drei in den 10 Polen
schneiden, wobei die Schnittlinie je zweier Ebenen und der
Schnittpunct der jedesmaligen drei anderen reciprok sind."
Die Kernflächo P* wird hiernach von jeder der 5 Ebenen E^
in je vier Geraden />j geschnitten. Die durch jede Kante jp,
gehenden, vorgenannten zwei Ebenen i^ und F^ sind zu den
zugehörigen zwei Ebenen E^ zugeordnet harmonisch. Die
zehn Ebenen paare F und F^ haben auch noch interessante gegen-
seitige Beziehungen unter sich.

Es giebt nun femer auch noch solche Pole P, deren Polarkegel /J
insbesondere Cylinder sind. „Der Ort dieser Pole ist eine auf der
Kernfläche liegende Raumcurve sechsten Grades, R^^ welche
durch die 10 Knotenpuncte P^, derselben geht" (da deren Polaren,
F und i^,, auch als Cylinder anzusehen sind). „Die Axe, a, jedes
Cylinders schneidet die Curve Ä* in drei Puncten, und durch
jeden Punct der Curve gehen je drei Axen." Der gemein-
schaftliche Ort aller Cylinder- Axen a ist eine (geradlinige)
Fläche achten Grades, a*, welche die Curve Ä*' zur dreifachen
Linie hat, und in welcher namentlich auch die 10 Kanten p^
des vorgenannten Pentaeders liegen." Mehrere merkwürdige
Eigenschaften dieser Fläche können hier nicht entwickelt werden.

Die Kemfläche P* schneidet die gegebene Fläche /' längs einer
Raumcurve zwölften Grades, Ä*', welches für die letztere Fläche sehr
charakteristisch ist. Zunächst geht diese Curve durch die

Steiner's Werke. If. 42

658 Ueber die Flachen dritten GradM.

54 Asymptotcnpuncte n der 27 Geradon g und berührt sie in
denselben, so dass sie also jede Gerade zur Doppeltao-
gente hat.

„Sodann scheidet die Curve R" auf der Fläche /' die-
jenigen Regionen von einander ab, wo das Krümmuogsmaass
positiv und wo dasselbe negativ ist; längs der Curve selbst
ist dasselbe Null."

„Ferner ist die Curve Ä" der Ort aller derjenigen Puncte
auf der Fläche /\ in welchen die zugehörige Berührungsebeoe
die Fläche mit Rückkehrpunct schneidet, d. h. in einer solcheo
Curve dritten Grades C* schneidet, welche den Paoct zQin
Rticlikehrpunct hat, so dass also die BücklcehrtaDgeate, t,
der Cnrve C die Fläche /' in demselben Puncte oscuÜrt oder
dreipunctig berührt."

„Der Ort aller dieser Rücickehrtangentea t ist eine ab-
wickelbare Fläche dreissigstea Grades, t*", welche die Fläche
/' längs der Curve ü" osculirt und die 27 Geraden g zu Doppel-
linien hat, so dasH also die Schnittcurve beider Flächen, <"
und/'', die vom neunzigsten Grad sein rauss, aus der drei-
fachen Curve ß" und ans den doppelt zu zähleuden 27 Gerades
g besteht.« U. s. w.

Eine beliebige Ebene, E, schneidet die gegebene Fläche/* in einer
Curve dritten Grades; die der Fläche längs dieser Curve om-
schriebene abwickelbare Fläche, <b, ist vom zwölften Grtd
und von der sechsten Classe, und ihre Rückkehrlinie (arete
de rebroussement) ist vom achtzehnten Grad. Die zweite Polire
irgend eines Pole.s P in Bezug auf die gegebene Fläche /* ist eine Ebene,
etwa e. „Bewegt sich der Pol P in jener festen Ebene E, so ist
die Envcloppe seiner Polarobene e eine Fläche dritten Grade«

lieber die Flächen dritten Grades. 659

irgend einem in ihr liegenden Puncte ihr umschriebene Kegel
(der für andere Puncte vom sechsten Grad ist) in zwei Kegel
zweiten Grades und in die zugehörige Berührungsebene zer-
fällt; letztere berührt beide Kegel, und diese gehen stets beide
durch die vier Knotenpuncte Q^. Versetzt man die Ebene
E ins Unendliche, so ist ihre zweite Polare e^ die Envoloppe
aller Durchmesser-Ebenen der gegebenen Fläche /'; dieselbe
behält alle angegebenen Eigenschaften, sie ist den Flächen P*
und 4) eingeschrieben, etc., die letztere, C), ist in diesem Falle eine
Art asymptotischer Fläche der gegebenen Fläche /'.

Bewegt sich der Pol P in irgend einer festen Geraden i), so ist die
Enveloppe seiner Polarebene e ein Kegel zweiten Grades, etwa
d*, welcher die zweite Polare der Geraden D in Bezug auf die gege-
bene Fläche /* heisst.

„Es giebt im Ganzen 100 solche besondere Geraden i), deren
zweite Polare sich auf eine Gerade d reducirt, d. h. wobei jeuer
Kegel d^ sich auf seine Axe d reducirt, so dass alle Polarebeneu
e einen Büschel um dieselbe bilden.*' Den 100 Geraden D ent-
sprechen jedoch zusammen nur 25 Geraden c?, indem jede der letzteren je
vier von jenen entspricht. Die 25 Geraden d bestehen aus den
10 Kanten jOj des obigen Pentaeders und aus den 15 Diagonalen
desselben.

Vermischte Sätze und Aufeaben.

Borchardt's Journal Band LV. S. 356—378.

Vennischte Sätze und Aufgaben.

1. Zieht man durch irgend einen Punct, p, in der Ebene einer all-
gemeinen Curve w**** Grades, C", beliebige Geraden^, B, C, . . . und be-
zeichnet ihre Schnittpuncte mit der Curve durch a, a^, ... a«_i; 6, ij,
. . . Ä»_r, c, Cj, . . . c«-i; etc., und bildet die Producte aus den Abschnitten
jeder Geraden von diesen Schnitten bis zu dem Puncte p genommen, also
die Producte pa, pa^^ . . . pun—i; pb, pb^^ . . . pbn^\\ etc., so bleibt be-
kanntlich das Verhältniss dieser Producte constant, wenn die Geraden
sammt ihrem gemeinsamen Puncte p unter Beibehaltung ihrer Richtungen,
also jede sich selbst parallel bleibend, in der Ebene der festen Curve be-
liebig verschoben werden.

Denkt man sich alle möglichen Geraden durch den Punct p^
den Strahlbüschel, so giebt es unter denselben im Allgemeinen
je 2w Gerade, deren Abschnitte gleich grosse Producte geben.
Und insbesondere giebt es unter denselben n solche Gerade,
deren Producte relative Minima sind. An die Stelle eines sol-
chen Minimums tritt so oft ein Maximum, als die Curve ein
Paar imaginärer Asymptoten hat. — Bei paralleler Verschie-
bung des Strahlbüschcls behalten die nämlichen Geraden die
angegebene Eigenschaft.

2. Nimmt man in jeder durch denselben Punct p gehenden Geraden
A denjenigen Punct g, dessen Abstand vom Puncte p der mittlere Factor
zwischen den vorgenannten n Abschnitten der Geraden ist, so dass

2)(f = pa,pa^ ,pa^ . . . pan—\^

80 ist der Ort dieses Punctes q eine Curve 2w**° Grades, Q^,
welche n durch den Punct p gehende Doppelasymptoten hat,
und welche die gegebene Curve im Endlichen in 2n(n — 1)
Puncten r schneidet, wo in jedem der Punct q mit einem der

664 VermiBcbte Sitze und Aufgaben.

n Schnittpuncte a, a,, ... a.-i, etwa mit a, vereinigt ist, so
dasH alßo durch den boliobigen Punct p im Allgemeioeo
2n('t— 1) solche Geraden A gehen, in denen einer der n Ab-
schnitte der mittlere Factor zwischen den n — 1 übrigen Ab-
achnitten iet, also

Durch die 2M(n— 1) Puncte i- können Carven (2«— 2)^" Grade»
geben.

In den vorgenannten besonderen n Geraden, für welche das Prodnct
der n Abschnitte ein Minimam ist (1.), ist aach der Abstand des
Tuuctes q vom Puncte p ein Minimum, so dass die Gerade im
Puucte q auf dessen Ortscurve Q^ normal steht. Und zwar ist
solche Gerade eine Doppelnormale der Curve, weil der Punct q in jeder
Geraden A immer doppelt vorhanden ist, zu beiden Seiten vom Puncte
^ in gleichem Abstände, so dass also die Curve Q^ den Punct p XDm
Mittelpunct und zugleich zum vielfachen singulären Punct hat.

3. Die in (1.) und (2.) angegebenen Eigenschaften finden gleicher-
weise statt, wenn die gegebene Cur%'e C' durch beliebige n Gerade ver-
treten wird. Seien z. B. drei Gerade gegeben, so haben die durch einen
beliebigen Punct p gehenden Geraden oder Transversalen zu je 6 und 6
gleiche Producte, und insbesondere giebt es drei Transversalen, deren Pro-
ducte relative Minima sind. Welche weitere Beziehung haben diese dni
Transversalen unter sich und zu den drei gegebenen Geraden? und welche
Relation habcu jede der erstgenannten sechs Transversalen miter sich?

4. Ist die gegebene Curie nur ein Kegelschnitt, so verhalten sieh
die Producte (hier Kechtecke) der Abschnitte der darch irgeod
eineu und denselben Punct p gehenden Transversalen wie die
Quadrate der den Transversalen parallelen Durchmesser des
Kegelschnittes. Demzufolge verhalten sich die aus dem Poncte

Vermischte Sätze und Aufgaben. 665

Paar, so dass also alle diese Paare leicht zu finden sind. Jedes Paar
bildet in der Ellipse zwei Sehnen (reell oder ideell); die durch die
Mitten dieser Sehnen gehende Gerade hat constante Richtung,
d. h. alle solche Geraden sind parallel. Die vier Schnittpuncto
jedes Paares mit der Ellipse liegen in einem Kreise; welchen Ort haben
die Mittelpuncte aller dieser Kreise? und welche Enveloppe
haben die letzteren?

b. Ist hingegen der Kegelschnitt Hyperbel, so haben von den
Transversalen je vier gleiche Producto. In der That sind auch die Durch-
messer der Hyperbel zu je vier gleich gross, wofern man die imaginären
Durchmesser auch als reell annimmt, oder die conjugirte Hyperbel mit in
Betracht zieht. Ein mit den conjugirten Hyperbeln concentrischer Kreis
schneidet dieselben in den Endpuncten von je vier gleichen Durchmessern.
Demgemäss ordnen sich nun auch jede vier Transversalen, welche gleiche
Producte enthalten, in zwei Paare, wovon das eine den zwei reellen mid
das andere den zwei imaginären Durchmessern parallel ist; zudem sind
die beiden Paare darin verschieden, dass bei dem einen die Schnittpuncto
mit der Hyperbel auf gleicher, dagegen beim anderen auf entgegengesetzten
Seiten des Punctes p liegen; die Paare wechseln jedoch diese Eigenschaft,
jenachdem der Punct p innerhalb oder ausserhalb der gegebenen Hyperbel
liegt. Jedes Paar bildet mit jeder Axe der Hyperbel gleiche Winkel, oder
die den Axen parallelen Transversalen hälften die Winkel zwischen jedem
Paar mid enthalten die beiden Minima des Productes. Die Geraden,
welche beziehlich durch die Mitten der in den einzelnen Paaren
liegenden zwei Sehnen gehen, sind sämmtlich parallel. Die vier
Schnittpuncto jedes Paares mit der Hyperbel liegen in einem Kreis.
Welches ist der Ort der Mittelpuncte dieser Kreise? und welche
Enveloppe haben die letzteren? — Ist die Hyperbel gleichseitig,
so ist von den je zwei zusammengehörigen Paaren, welche gleiche Pro-
ducte enthalten^ jede Transversale des einen Paares zu einer des anderen
Paares rechtwinklig; oder jede zwei zu einander rechtwinkligen Durchmesser
der gleichseitigen Hyperbel sind gleich gross. Daher der folgende bekannte
Satz: „Zieht man aus einem beliebigen Punct p zwei zu ein-
ander rechtwinklige Transversalen durch eine gleichseitige
Hyperbel, so enthalten dieselben allemal gleiche Producte.^
Die Schnittpuncto solcher zwei Transversalen haben verschiedene Lage
gegen den Punct p und liegen nicht in einem Kreise; dagegen ist jeder
der Höhenschnitt des durch die drei übrigen bestimmten Dreiecks, u. s. w.
Durch Umkehrung ergiebt sich unter anderem folgendes:
Wird ein beliebiger Kegelschnitt von einem Kreise in vier Puncten
ay b, Cj d geschnitten, die ein vollständiges Viereck bestimmen, so sind
von den drei Paar Strahlen, welche die Winkel zwischen den

ggg Vermischte Sitze und Aufgaben.

drei Paar Gogenseitcn (ab und cd, ac und bd, ad und bc) des Vitr-
ccks hälften, drei und drei parallel, und zwar den Axen det
Eogelschnittos parallel. Bleibt der Eegelechiütt und eine Seite de«
Vierecks, etwa ab, fest, während der Ereis sich ändert, so bewegt eich
die Gegenseite, cd, aich selbst parallel; u. s. w.

Ist einem voltständigen Viereck ein Kreis uniBchriebeD, so sind Ton
den Strahlen, welche die Winkel zwischen dessen drei Paar G^enaeita
h&lfton, drei und drei parallel, und mit denselben sind auch die Axen aller
dem Viereck umschriebenen Eegeischnitte parallel.

5. Werden aus einem beliebigen Puncto p TraDsversaleii
durch einen gegebeneu Kegelschnitt gesogen und über den
Sehnen, als Durchmessern, Kreise beschrieben, so haben diese
Kreise in Bezug auf irgend einen anderen bestimmten Panct 9
gleiche Potenzen, so dass jeder einen bestimmten andereo
Kreis, der diesen Punct q zum Mittelpuact hat, entweder recht-
winklig oder im Durchmesser schneidet.

Der Punct q wird durch ii^nd drei der genannten Kreise gefnndeD;
nebstdem wird seine Lage auch, wie folgt, bestimmt. Nimmt man die Po-
Ure des Punctes p in Bezug auf den Kegelschnitt und errichtet in ihrer
Mitte, d. i. in dem Puncte, in welchem sie von dem ihr conjugirten Duith-
messor getroffen wird, die zu ilir Senkrechte, so geht diese durch den
Punct q. Und wählt man unter den genannten Sehnen zwei solche, welche
mit einer Axe des Kegelschnittes gleiche Winkel bilden, legt durch ihre
Mitten eine Gerade und fallt auf letztere aus dem Puncte p das Pw-
pendikel, so geht auch dieses durch den Punct q. — Ist der Kegelschnitt
Hyperbel, und nimmt man die den Asymptoten parallelen Transversal^
civitkpa und pb, errichtet auf denselben in ihren Schnittpuncten a, b mit
der Hyperbel Perpendikel, so treffen sich diese im Puncto q. Also: Zieht

Vermischte Sätze und Aufgaben. gg7

Jedem Pimcte p in der Ebene eines gegebenen Kegelschnittes ent-
spricht also auf die angegebene Weise irgend ein bestimmter anderer Punct
q; aber der letztere entspricht in gleichem Sinne vier verschie-
denen Puncten py welche die Ecken eines Parallelogramms sind,
dessenSeiten den Asymptoten des Kegelschnittes parallel laufen.

Wenn der Punct j:> sich in einer Geraden bewegt, während der Kegel-
schnitt fest bleibt, welche Curve durchläuft dann der ihm entsprechende
Punct 9? In dem besonderen Falle, wo der Kegelschnitt aus zwei Geraden
besteht, durchläuft der Punct q eine Hyperbel, deren Asymptoten
beziehlich auf den Geraden senkrecht stehen.

1. Sind in gleicher Ebene irgend zwei Curven, die eine
vom y*~, die andere vom j**" Grad, in fester Lage gegeben, und
bewegen sich die Endpuncte einer constanten Strecke ab einer
Geraden iS beziehlich in denselben, so umhüllt die Gerade eine
Curve 4p5^' Classe, welche die im Unendlichen liegende Ge-
rade Q^ zur 2299-fachen Tangente hat.

2. Bewegen sich die beiden Endpuncte der constanten
Strecke ab in einer festen Curve w^*° Grades, C*, so umhüllt die
Gerade S eine Curve 2w(n — 1)*" Classe, welche die gegebene
Curve in jedem ihrer im Unendlichen liegenden n Puncte vier-
punctig berührt, und welche die Gerade G^ zur n(n — l)-fachen
Tangente hat Demzufolge giebt es in der gegebenen Curve nach jeder
bestimmten Richtung nur je n(n — 1) Sehnen von irgend einer gegebenen
Lange ab. Die Mitten solcher n(n — 1) gleichen und parallelen
Sehnen liegen allemal in irgend einer Curve (n — 1)'*° Grades,
und in gleichen Curven liegen auch die nach gleicher Seite hin liegenden
Endpuncte der Sehnen.

3. Ist die gegebene Curve vom vierten Grad , C*, so umhüllt die
constante Sehne ah, oder ihre Gerade S, eine Curve vierundzwanzigster
Classe. Beide Curven haben 12X24 = 288 gemeinschaftliche Tangenten,
wovon 16 auf die vier Asymptoten der gegebenen Curve fallen, d. h. jede
Asymptote zählt für vier gemeinschaftliche Tangenten; von den 272
übrigen soll jede durch Sj bezeichnet werden. Berührt eine der letzteren
die gegebene Curve etwa im Puncte a und schneidet sie in den Puncten
ß und Y, so liegt die constante Sehne entweder zwischen diesen Schnitt-
puncten, oder zwischen einem derselben und dem Berührungspunct, also
entweder ist ß^ = ab, oder es ist aß oder ay = ab. Im letzteren Falle
berühren sich die Curven im Puncte a und dann zählt S^ für zwei ge-
meinschaftliche Tangenten. Bezeichnet man die Zahl der Fälle, wo

g3g Vermischte Sätze und Aufgaben.

WO aß oder eq = ab, durch x und die Zahl der Fälle, wo ^ ^ ah, danh
y, so ist

2x+y = 272.

Die Zahlen x und y zu ßnden.

4. Bewegt »ich die cunstante Sehne ai in einer festen Curve dritta
Grades, C, so umhüllt sie eine Curve zwölfter Classe, welche mit Jen«
(iXl2=72 gomeinscliaftliche Tangenten hat, wovon 12 auf die dni
Asymptoten der Curve C fallen, und daneben noch 60 gemeinfichafUicIie
Tangenton iS, bleiben. Jede von diesen berührt die angegebene Cnrve b
einem Pahcto a und schneidet sie in einem anderen Puncte ß, nnd es ist
aß ^ a&; aber dabei berühron sich die beiden Curven im Poncte a, w
dass also S^ für zwei gemeinschaftliche Tangenten zählt, und folglich nv
30 solche <S, stattÜDden, d. h.

Eine beliebige Curve dritten Grades hat im Allgemeinen
je 30 solche Tangenten, welche vom Berührungspunct a bis
zum Schnittpunct ß genommen irgend eine gegebene Länge
ab haben.

Betrachtet man bei derselben gegebenen Curve . dritten Grades na
Ortscurven zugleich, welche zwei verschiedenen Sehnen ab und a,i, ent-
sprechen, so ergiebt sich der folgende Satz:

In einer beliebigen Curve dritten Grades sind je 60 Tram-
vorsalen S möglich, welche dieselbe in sntcben drei Panctcn
a, ß, f schneiden, dass die Streciien aß, a^ beziehlich die ge-
gebenen Längen ab, a,&, haben.

Bei wie vielen von diesen 60 Transversalon liegen die Puncte ß nDd
Y auf gleicher und bei wie vielen auf entgegengesetzter Seite vom
Puncte a?

5. Bewegt sich eine constante Sehne ab in einem festen Eegelschnitt,

Vermischte Sätze und Au^aben. 669

Für jede Länge der Strecke giebt es im Allgemeinen vier Lösmigen,
und die Mitten der vier Strecken liegen in einem Kreise, und
alle Kreise, die entstehen, wenn die Länge sich ändert, aber
der Punct p fest bleibt, haben einen und denselben Mittel-
punct.^.

Der hier betrachtete Punct q ist übrigens der nämliche wie der oben
(I. 5.) gleichbenannte Punct und wird also nach den daselbst angegebenen
verschiedenen Arten gefunden.

IIL

1. Jeder Punct p in der Ebene eines beliebigen gegebenen Dreiecks
ABC ist zugleich der Mittelpunct eines dem Dreieck umschriebenen
Kegelschnittes P^ und eines demselben eingeschriebenen Kegelschnittes
PJ. Die Kegelschnitte sind jedesmal von gleicher Art, entweder beide
Ellipsen, oder beide Hyperbeln, oder beide Parabeln.

„Sollen die beiden Kegelschnitte gleichen Inhalt haben,
oder sollen die Producte ihrer Halbaxen gleich sein, so besteht
der Ort ihres gemeinsamen Mittelpunctes p aus zwei ver-
schiedenen Curven dritten Grades P' und PJ.**

„Die eine dieser Curven, P', ist in der Art speciell, dass
ihre drei Asymptoten sich in einem Puncto und zwar im
Schwerpunct des Dreiecks schneiden, und dass dieselben zu-
gleich Wendetangenten (Wendeasymptoten) und zudem den
Seiten des Dreiecks parallel sind. Die drei hyperbelartigen
Zweige der Curve liegen in den drei Räumen über den Seiten
des Dreiecks und berühren die respectiven Seiten in ihren
Mitten. Für jeden Punct p in dieser Curve sind die zuge-
hörigen Kegelschnitte Hyperbeln."

„Die andere Curve, PJ, besteht aus zwei getrennten
Theilen, der eineist ein sogenanntes Oval und der andere
hat drei hyperbelartige Zweige; das Oval liegt innerhalb des
Dreiecks und berührt dessen Seiten in ihren Mitten; der andere
Theil hat die Seiten des dem gegebenen Dreieck parallel um-
schriebenen Dreiecks zu Asymptoten und seine drei Zweige
liegen in den Scheitelwinkeln dieses Dreiecks. Für jeden
Punct /> in diesem dreizweigigen Theil sind die Kegelschnitte
Ellipsen, dagegen für jeden Punct des Ovals sind dieselben
Hyperbeln."

Das Oval liegt ganz innerhalb derjenigen Ellipse, welche mit ihm die
Seiten des gegebenen Dreiecks ABC ebenfalls in ihren Mitten A^, jB^, C^
berührt. Die drei Segmente des Ovals über den Sehnen A^B^^ -^i^n
jB^C, sind gleich gross, ebenso wie die Segmente der Ellipse; aber wie

Q70 Vermischte S^tie und Aufgaben.

verhalten Bich jene Segmente zu diesen? oder wie gross ist die Fllclw
des ganzen Ovals?

Welchen Ort hat der Punct p, wenn die beiden Kegelschnitte F,
P*, einander ähnlich sein sollen? (Besteht der Ort aus vier Geraden und
einer Curve vierten Grades?)

Wie viele Puncte p giebt es, wenn beide Kegelschnitte irgend einem
gegebenen Kegelschnitt« ühnlich sein sollen? Giebt es im Allgemeineii
weniger als 16 I^ösungen?

2. Wenn zwei Kegelschnitte P* und F", den nämlichen Mittelpnnctp
haben, so kann möglicherweise nur dann ein Dreieck dem einen eiogeschriebeD
und zugleich dem anderen umschrieben sein (1.), wenn dieselben gleicih
artig sind; ist also insbesondere einer derselben ein Kreis, so mnss da
andere eine Ellipse (oder er kann auch ein Kreis) sein. Sobald aber
irgend ein Dreieck ABC etwa dem Kegelschnitt P* eingeschrieben nod
zugleich dem Kegelschnitt P\ umschrieben ist, so findet alsdann nach Pott-
ceUfs Satz allemal eine Schaar solcher Dreiecke statt, die alle dem F" ein-
geschrieben und zugleich dem P| umschrieben sind. Nehmen wir an, die
Kegelschnitte befinden sich in dioHom Falle und bezeichnen wir ihre Halb-
axen beziehlicb durch a und b, a, und 6,, sowie femer jeden Kreis, der
einem der Dreiecke umschrieben ist, durch K*, seinen Mittelpunct durcb
m und seinen Radius durch r, so hat man unter anderen folgende Sitte:

a. Werden aus dem Mittelpnncte p auf die Seiten jedes
der genannten Dreiecke ABC Perpendikel a, ß, f gefallt, so
ändern sich zwar die vier Grössen «, ß, 7 und r von einem
Dreieck zum anderen, aber ihr Product bleibt constant, aod
zwar ist es stets dem halben Product der Halbaxen beider
Kegelschnitte gleich, also

mß-f ^ iaba^b,.

Und fällt man aas dem Puncte p auf die Seiten derjenigen

Vermischte Sätze und Aufgaben. 671

Radius des ersteren der Summe oder dem Unterschied der Halbaxen der
letzteren gleich, also

und so ist das Product der aus dem Mittelpunct p auf die Seiten jedes
Dreiecks ABC gefällten Perpendikel constant, nämlich

«Pt = ¥<^i K = i(«i ± ^ ) «1 K •
Also: Beschreibt man aus dem Mittelpuncte p einer gegebenen
Ellipse P\ mit der Summe oder dem Unterschied ihrer Halb-
axen einen Kreis P', so giebt es eine Schaar Dreiecke, welche
dem Kreis eingeschrieben und zugleich der Ellipse um-
schrieben sind, und sodann ist das Product der aus dem
Mittelpunct auf die Seiten jedes Dreiecks gefällten drei Per-
pendikel gleich dem halben Product aus den Halbaxen der
Ellipse in deren Summe oder Unterschied. Im Falle, wo der
Radius a = a, — Ä, genommen wird, werden die Dreiecke imaginär, wenn
nicht a>>Äj oder a, >26, ist. Ferner ist auch das Product der
aus dem Puncto p auf die Seiten der vorgenannten Dreiecke
A^Bfi^ gefällten Lothe o,, ßj, y, constant, nämlich

— _ a]6[_
«.PiTi — 4(a,dz6J'

und für je zwei zusammengehörige Dreiecke ABC und A^B^C\
hat man demnach

und

Die den Dreiecken ^£C umschriebenen Kreise sind gleich,
und ihre Mittelpuncte stehen gleich weit vom Puncte p ab;
ebenso hat der Höhenschnitt jedes Dreiecks ABC constanten
Abstand vom Puncte p und ebenso sein Schwerpunct; u. s. w.

c. Ist hingegen der den Dreiecken ABC eingeschriebene Kegel-
schnitt P] ein Kreis und also der andere, P*, eine Ellipse, so ist der
Radius von jenem die erste Proportionale zu den beiden Halb-
axen der letzteren und deren Summe oder Unterschied, also

, ab

und so sind die den Dreiecken umschriebenen Kreise K^ alle
gleich, also r constant, und zwar

r=^ = i(azti);
auch ist der Abstand der Mittelpuncte m dieser Kreise vom

672 Vermischte Sitze nnd Aufgaben.

Mittelpuncte p constant, nämlich wenn man mp'^d setzt.

so ist

endlich iet auch das Product der drei Lothe a„ ß,,.Y, constant,
welche aus dem Mittelpuncte p auf die Seiten derjenigeD
Dreiecke A^B,C, gefällt werden, welche den Dreiecken ABC
parallel oiageschrieben sind, und zwar ist
_ a\ _ a'b'

und die Mittelpuncte der den Dreiecken ^£,C, umschriebenen
Kreise stehen gleich weit vom Puncte p ab; ebenso haben die
Höhe'nschnitte der Dreiecke ABC gleichen Abstand vom
Puncte p, desgleichen ihre Schwerpuncte.

Durch d* — r' oder r' — d' wird die Potenz des Punctes p in Bemg
auf jeden der Kreise IP ausgedrückt, jenachdem p ausser- oder innerhalb
IC liegt, und wird beziehlich die aus p an den Kreis gelegte Tangente
oder die durch p gehende halbe kleinste Sehne desselben durch t be-
zeichnet, so drückt auch t' dieselbe Potenz aus. Da nun nach Vor-
stehendem

ab = ±(d*—r'),
so ist also auch das Rechteck unter den H^baxen der Ellipse P* der-
selben Potenz gleich; zudem sind diese Halbaxen einzeln
a^d+r, und Ä^±(d — r).

Sollen die Inhalte der Ellipse I" und des Kreises P| ein gegebenes
Verhältniss zu einander haben, so wird die Form der Ellipse näher be-
stimmt, sowie auch das Verhältniss der Kreise i*J und K* zu einander,
und auch umgekehrt. Soll z. B. die Ellipse P* mit dem Kreise P\

Vermischte Sätze und Aufgaben. 673

halten, und ihr Inhalt muss dem des Kreises gleich sein, oder
der Radius des letzteren muss die mittlere Proportionale
zu den Halbaxen der ersteren sein, also muss

a:6 = 3-1-1/5:2, und a] = ab,
oder

a,=ia(—l-hW) = ib(l-hyb) = a-h

sein, und alsdann ist a, =2r, und alle Kreise IC schneiden den
Kreis PJ rechtwinklig.

e. Sieht man bei der obigen Betrachtung (c.) den Kreis JP] und
einen der Kreise J5l' als gegeben an, so ist nicht nur das dort betrachtete
eine Dreieck ABC dem ersten um- und dem anderen eingeschrieben,
sondern es findet eine neue Schaar solcher Dreiecke statt, welche gleicher-
weise dem Kreise PJ um- und dem Kreise K^ eingeschrieben sind. Oder
allgemein:

Befinden sich zwei gegebene Kreise K^ und P*^ in solcher
Lage, dass zwischen ihren Radien, r und a^, und dem Ab-
stände, dy ihrer Mittelpuncte, m und p, von einander die
Gleichung

d' = r'±2ra,

besteht, so findet eine Schaar Dreiecke ABC statt, welche
dem Kreise ii' eingeschrieben und zugleich dem Kreise PJ um-
schrieben sind. Und dann folgt femer:

Die Schaar Ellipsen P*, welche den Dreiecken ABC re-
spective umschrieben sind und mit dem Kreise P^ denMittel-
punct ^ gemein haben, sind alle gleich (congruent), ihre Halb-
axen sind d-hr und ±(rf — 7»), so dass das Rechteck unter den-
selben der Potenz t^ des Punctes p in Bezug auf den Kreis K*
gleich ist, oder dass derjenige Kreis um den Punct p, welcher
von dem Kreise K^ entweder rechtwinklig oder im Durch-
messer geschnitten wird, mit den Ellipsen gleichen In-
halt hat.

Zieht man aus dem Mittelpuncte p des eingeschriebenen Kreises P]
Strahlen nach den Ecken jedes Dreiecks ABC und errichtet auf denselben
im Puncto p Lothe, so treffen diese die den Ecken gegenüberliegenden
Seiten in solchen drei Puncten, welche in einer Geraden 5^ liegen: diese
Gerade ist für alle Dreiecke eine und dieselbe; sie steht auf
der Axe pni senkrecht, ihr Abstand vom Puncte p ist gleich
(r' — a] — d^:2dy und ihr Abstand von der Linie der gleichen
Potenzen der Kreise iP und PJ ist gleich aj:2rf. — Schneidet ein
durch j? gehender Strahl den Kreis K^ in zwei Puncten, so sind

Sttfotr's W«rke. II. 43

674 Vermischt« S&Ue'vnd Aufgaben.

sio Ecken zweier verschiedenen Dreiecke ABC, and die ihnen
gegenüberliegenden Seiten treffen einander allem»! auf der-
selben genannten Geraden B. Nämlich Jeder Punct des Kreises P
ist Ecke eine« Dreiecks ABC; liegt er aber innerhalb des Kreises f,
(falb dieser jenen schneidet), so sind die anliegenden Seiten nebet deo
beiden anderen Ecken imaginär, und nur die ihm gegenüberstehende Seite
ist auch reell.

Der Ort der Höhenschnitte der Schaar Dreiecke ABC ist
ein Kreis, dessen Mittelpunct, q, in der Aze mp liegt, ebento
ist der Ort ihrer Schwerpuncte ein Kreis, dessen MittelpQnct,
s, in der Axe liegt; die vier Pnncte m, t, p, q liegen bar-
monisch, und zwar im bestimmten Verhältniss

ma:^:mq:qp = 2:1:6:3.

Die Seiten jedes Dreiecks ABC berühren den Kreis i^ in je dni
Vunctea A^, B^, Q; die Schaar Dreiecke ^,£,C, haben den Höhen-
schnitt gemein, und derselbe liegt in der Axe mp.

Schneiden die gegebenen Kreise einander rechtwinklig, so
muss a,:=2r sein, und dann haben die genannten Ellipsen mit
dem Kreise i^ gleichen Inhalt.

Sind insbesondere die Kreise gleich, so ist der Abstand
ihrer Mittelpuncte von einander, d, der Seite des gleich-
seitigen Dreiecks gleich, welches einem derselben einge-
schrieben ist, und alsdann haben die Ellipsen gerade doppelt
so grossen Inhalt als Jeder Kreis. — Dieser Fall zeichnet sich noch
dadurch aus, dass er der einzig mögliche ist, wo zu den swet
gegebenen Kreisen zwei verschiedene Schaaren Dreiecke ge-
hören; nämlich hierbei giebt es eine zweite Schaar Dreiecke, wel^
dem Kreise K* um- und dem Kreise Fl eingeschrieben sind.

Vermischte Satze nnd Aufgaben. 675

verhalten. Sind a und a,, ß und ß,, y und 7,, 8 und 8^ die Abschnitte
der Seiten a, 6, Cj d nach ihrer Folge, so ist a7 = a,Y, =ß8 = ß,8, =r',
wo r der Radius des eingeschriebenen Kreises ist. — Bleiben die Seiten
des Vierecks constant und eine derselben in ihrer Lage fest, während das
Viereck verschoben wird, so ändert sich der eingeschriebene Kreis und
sein Mittelpunct durchläuft einen neuen Kreis, dessen Mittel-

y abcd
punct in der festen Seite liegt, und dessen Radius -*— - — ist

Dieser neue Kreis behält also dieselbe Grösse, mag von den vier Seiten
fest bleiben, welche man will.

h. Welche Eigenschaft müssen zwei Kegelschnitte im Allgemeinen
haben, damit jedem solche Dreiecke umschrieben werden können , welche
zugleich dem anderen eingeschrieben sind? — Ist die Aufgabe auch für
Vierecke, Fünfecke etc. möglich?

Können zwei Kegelschnitte so beschaffen sein, dass dem einen Drei-
ecke umschrieben, welche dem anderen eingeschrieben, und zugleich diesem
Vierecke umschrieben, welche jenem eingeschrieben sind?-

3. Unter den gesammten Kegelschnitten, welche einem gegebenen
Dreieck umschrieben sind, giebt es je eine Schaar von Kegelschnitten, die
unter sich ähnlich, oder die irgend einem gegebenen Kegelschnitte ähn-
lich sind.

Die Mittelpuncte jeder Schaar unter sich ähnlicher und
dem gegebenen Dreieck umschriebener Kegelschnitte liegen
in einer Curve vierten Grades, welche die Mitten der Drei-
ecksseiten zu Doppelpuncten hat, und die Schaar Kegel-
schnitte umhüllen eine andere Curve vierten Grades, welche
die Ecken des Dreiecks zu Doppelpuncten und nur vier Doppel-
tangenten hat. — In solcher Kegelschnittschaar giebt es keine zwei,
welche ähnlichliegend sind.

Welches ist der Ort der Brennpuncte von solcher Kegelschnittschaar,
und welche Curve wird von ihren Axen umhüllt?

Ist der gegebene Kegelschnitt, dem die Schaar ähnlich sein soll, sehr
specieller Art, wie Kreis, gleichseitige Hyperbel oder Parabel, so mo-
dificiren sich die beiden genannten Curven vierten Grades wesentlich.

4. Jede Schaar unter sich ähnlicher und einem gegebenen
Dreieck ^ßC eingeschriebener Kegelschnitte hat ihre Mittel-
puncte in irgend einer Curve vierten Grades. Sind die Kegel-
schnitte ähnliche Ellipsen, so besteht die Ortscurve ihrer
Mittelpuncte aus vier getrennten Theilen, und zwar aus vier
Ovalen. Sind dieselben Parabeln, so besteht die Ortscurve
aus vier Geraden, nämlich aus &« und den drei Seiten des

43*

676 Vermiechte Sätze uad Aafg&ben.

dem gegebenen Dreieck parallel eingeschriebenen Dreiseits

Welche Curve wird von solcher Schaar Kegelschnitte omhüllt? h
welcher Curve liegen ihre Brcnnpuncte, und welche Corve wird von ihren
Axen umhüllt?

Die Glieder solcher Schaar Kegelschnitte sind zo vier
und vier ähnlich liegend, d. h. os gicbt im Allgemeinen je
vier dem gegebenen Dreieck eingeschriebene Kegelschnitte,
welche irgend einem gegebenen Kegelschnitte ähnlich und
mit ihm ähnlichliegend sind.

Sind die vier Kegelschnitte Elliptsen, so sind ihre Mittel-
puncte allomsl die Ecken eines vollständigen Vierockä, dessen
drei Paar Gegenseiten sich in den Ecken des gegebenen Drei-
ecks schneiden. Und umgekehrt: schneiden sich die Gegenseiten
eines vollständigen Vierecks in den Ecken des gegebenen
Dreiecks und liegt eine Ecke desselben innerhalb desjenigen
Dreiecks, welches diesem parallel eingeschrieben ist, so sind
seine Ecken die Mittelpuncto von vier Ellipsen genannter
Art. — Ist eine Ecke des Vierecks gegeben, so sind die drei an-
deren bestimmt und leicht zu finden; denn die Gegenseiten sind lu
den Dreiecksseiten, welche ihrem Schnittpuncte anliegen, zugeordnet har-
monisch.

Das Product der Halbaxon solcher vier Ellipsen, die dem
gegebenen Dreieck eingeschrieben und ähnlich und ähnlich-
liegend sind, ist constant und zwar der vierten Potenz der
Dreiecksfläche gleich. Oder sind r, r,, r,, r, die Radien der-
jenigen vier Kreise, welche mit den Ellipsen gleichon Inhalt
haben, so ist rt,r,r, = A'.

Jede Seite des Dreiecks, wie etwa AB, wird von den Ellipsen in

Vermischte »Sätze und Aufgaben. ß77

aber dem Dreieck umschrieben sind, und ferner diejenige
Ellipse, welche durch die Mitten der sechs Seiten des Vier-
ecks (und durch die Ecken des Dreiecks) geht, so ist das
Product der Halbaxen der vier ersteren, dividirt durch das
Product der Quadrate der Halbaxen der letzteren, constant und
zwar gleich 16A'.

Die vorstehenden Sätze, die einfachheitshalber nur für die "Ellipsen
ausgesprochen sind, gelten analogerweise auch für Hyperbeln.

Seien -4,, J8,, C^ die Mitten der Seiten des gegebenen Drei-
ecks ^JSC. Fällt man aus den Ecken irgend eines vollständigen
Vierecks, dessen Gegenseiten sich in den Ecken des Dreiecks
ABC schneiden, auf die Seiten desselben die Perpendikel a,
a,, a,, a,; 6, 6,, J,, i,; <?, Cj, ^,, c, und ebenso auf die Seiten des
Dreiecks A^B^C^ die Perpendikel a, o,, o,, «j-, ß, ßj, ß,, ß,; y, Yn
Y,, 7,: so ist allemal

aa,a,a,ßß,ß,ß,YT,LT,
r' • (a+a,+ex,+a,)'(ß-+-ß,+ß,+ß,)'(T+Ti-+-L+Ys)'

wo a^,, 6jj, <?jj und a^, ß^,, y^, die Perpendikel aus dem Schwer-
puncte der vier Ecken des Vierecks auf die Seiten der beiden
Dreiecke sind, r der Radius des dem Dreieck ABC umschrie-
benen Kreises und a, b, c dessen Seiten. Die Vorzeichen in den
Klammem werden nach Umständen bestimmt.

5. Die Mittelpuncte aller gleichseitigen Hyperbeln,
welche einem gegebenen Dreieck ABC eingeschrieben sind,
liegen in einem Kreise, welcher den Höhenschnitt des Drei-
ecks zum Mittelpunct hat, und welcher der äussere Potenz-
kreis der beiden Kreise ABC und A^B^Cj ist.

So viel mir bekannt, ist dieser Satz neu, nur habe ich ihn schon
vor zwölf Jahren gefunden. Es ist auffallend, dass derselbe so lange ver-
borgen bleiben konnte, trotzdem dass der analoge Satz über die dem
Dreieck umschriebenen gleichseitigen Hyperbeln längst allgemein be-
kannt war.

Einem spitzwinkligen Dreieck kann keine (reelle) gleich-
seitige Hyperbel eingeschrieben sein.

6. Die Axen aller einem gegebenen Dreieck eingeschrie-
benen Parabeln umhüllen eine specielle Curve dritter Classe

678 VerniKchte Sstze und Aurgsbeo.

und vierton Grades, welche die Gerade &„ zur ideellen Üop-
pettangente und drei Riickkehrpuncte hat; uämlich die Curve
ist eine bestimmte dreispitzige oder dreibogige Hypocycloide;
ihre drei Rückkehrtangenten treffen sich im Mittelpancte dea
dem Dreieck umschriebenen Kreises unter gleichen Winkeln,
= 120", and sind gleich lang, und zwar dem dreifachen Radias
des Kreises gleich; die drei Riickkehrpuncte liegen daher io
einem mit dem letzteren concentrischen Kreise; derselbe ist
die Basis der Hypocycloide, und der sie erzeugende rollende
Kreis ist gerade- dem erstgenannten Kj-eise gleich. — Die wei-
teren merkwürdigen Eigenschaften dieser Cycloide sind bereits in dnen
früheren Aufsatze (Borchardfa Journal Bd. 53)") angegeben.

7. Wenn in einer Ebene ii^end zwei Dreiecke ABC and 8[93S ge-
geben sind, so ist jeder Punct p der Ebene zugleich der Mittelpunct von
zwei Kegelschnitten P' und P', die dem ersten, und von zwei Kegel-
schnitten $' und $J, die dem anderen Dreieck beziehlich um- und ein-
geschrieben sind.

Sollen entweder die beiden Kegelschnitte

P* und $', oder PJ und ^J, oder P' nnd ¥J
gleichen Inhalt oder gleiches Axenproduct haben, so ist der
Ort des Punctes p beziehlich eine Curve neunten, dritten,
sechsten Grades.

Soll eines derselben drei Paare ein gegebenes Axenpro-
duct haben, so ist die Zahl der Lösungen beziehlich 36,'9, 18.

Welches ist der Ort des Punctes j>, wenn die Kegelschnitt!
eines der nämlichen drei Paare ähnlich sein sollen?

Und wie gross ist die Zahl derXÖsungen, wenn die Kegel-
schnitte eines der drei Paare ähnlich and ähnlich liegend
sein sollen?

Vermischte Sätze und Aufgaben. 679

Schnittpuncte der drei Paar Gegenseiten des Vierecks liegen also immer
im gleichen Zweige der Hyperbel i/', nämlich im erstgenannten. Unter
der Gruppe Hyperbeln ist allemal eine, aber nur eine gleichseitig.

2^ Ist das Viereck so beschaffen, dass der Schnittpunct jedes Paares
Gegenseiten in der Verlängerung bloss einer Seite liegt, oder dass von den
vier Puncten A, J8, C, D einer innerhalb des durch die drei übrigen be-
stimmten Dreiecks liegt, so ist die Mittelpunctscurve M* Ellipse, und
dann sind die Kegelschnitte JS(P^) sämmtlich Hyperbeln, von denen im
Allgemeinen wieder nur eine gleichseitig ist; sind insbesondere zwei der-
selben gleichseitig, so sind es auch alle übrigen, und alsdann sind alle
Paare von Gegenseiten des Vierecks zu einander rechtwinklig, und auch
umgekehrt.

3^ Liegt insbesondere einer der vier Eckpuncte des Vierecks im
Unendlichen, so ist Af' Parabel und B(F') besteht aus Hyperbeln und
einer einzigen Parabel; von den ersteren ist wieder nur eine gleichseitig.
— Liegen zwei der vier Puncte im Unendlichen, so. besteht B(P*) aus
ähnlichen und ähnlichliegenden Hyperbeln, deren Mittelpuncte in einer
Geraden liegen. — Sind zwei der vier Puncte imagi&är, etwa C und D,
so ist M^ entweder Ellipse oder Hyperbel, je nachdem die ideelle Sekante
CD zwischen den Puncten A und B durchgeht oder nicht, und dem ent-
sprechend besteht dann B(P^ nur aus Hyperbeln, oder aus einer Gruppe
Hyperbeln, einer Gruppe Ellipsen und zwei Parabeln. Sind alle vier
Puncto imaginär, so ist J/' Hyperbel und ß(P') enthält eine Gruppe
Hyperbeln, eine Gruppe Ellipsen und zwei Parabeln. — Zur obigen ersten
Form des Vierecks (1^) gehören auch noch die zwei besonderen Fälle,
wo ein Paar Seiten und wo zwei Paar Seiten unter sich parallel sind, und
wobei Af ' in zwei Gerade zerfallt.

Beachtet man der Kürze halber bloss die beiden ersten Formen (1^
und 2°.), so sind folgende Angaben zu machen.

a. Die dem Viereck umschriebenen Kegelschnitte sind paar-
weise einander ähnlich (aber keine zwei sind ähnlich und ähnlich-
liegend). Esgiebt unter denselben zwei einzelne, welche keinem
anderen ähnlich sind; der eine derselben ist die gleichseitige
Hyperbel, und der andere ist beim Viereck (1^) diejenige
Ellipse, welche dem Kreise am nächsten kommt, und beim
Viereck (2®.) diejenige Hyperbel, welche am meisten von der
gleichseitigen abweicht. Die Geraden, welche durch die Mittel-
puncte der sich ähnlichen Paare gelegt werden, sind sämmtlich
parallel, und mit ihnen sind auch die in den Mittelpuncten
der zwei einzelnen Kegelschnitte an die Mittelpunctscurve AP
gelegten Tangenten parallel. Die Mittelpuncte der beiden
einzelnen Kegelschnitte sind somit die Endpuncte eines Durch-

ßSO VeriniKchte Sätze und Aufgkb«n.

mossers des Kegelücbnittes M^. Da nun der Mlttelpimct des Kegel-
. »chnitte« Jl/', aowio der Mittelpunct der geDimiitan gleichseitigen Hyperbel
leicht zu finden ist, so gelangt man also auch leicht zum Mittelpunct der
am meisten von der gleichseitigen abweichenden Hyperbel oder der dem
Kreise am nächsten kommenden Ellipse. Diese Ellipse war achoD ürüher
der Gegenstand einer von Qergonne gestellton Fn^, welche ich im zweit»
Bande des Cr^^^schen Journals, pag. 64*) beantwortet habe. Durch die
dortigen und gegenwärtigen Angaben wird die Lage dieser Ellipse voll-
kommen bestimmt.

b. Von den dem Viereck umschriebenen EegelachnitteD
haben im Allgemeinen je-sechs gleichen Inhalt oder gleiches
Axenproduct. Es giebt unter denselben drei solche, deren
Axcnproducte relative Maxima oder Minima sind. Nämlicb
beim Viereck (!".) giebt es eine Ellipse, deren Inhalt ein Mi-
nimum Ist, und zwei Hyperbeln, deren Axenprodocte relative
Maxima sind; und beim Viereck (2°.) giebt es drei Hyperbeln,
deren Axenproducte Maxima sind. — Die Mittelpuncte dieser drei
ausgezeichneten Eogelscbnitte zu finden. Welches ist ihr Schwerponct?
Und welches ist ihr Schwerpunct, wenn ihnen Gevdchte beigelegt werden,
die sich verhalten wie die zugehörigen Axenproducte?

Unter der Schaar einem beliebigen Dreieck umschriebener
gleichseitiger Hyperbeln giebt es drei, deren Azen Maximt
sind. Welche Lage haben ihre Mittelpuncte?

0. Einem beliebigen vollständigen Vierseit 3[9€S) ist eine einfache
Schaar Kegelschnitte, £($*), eingeschrieben; die Mittelpunct« derselben
liegen in einer Geraden 3R, welche durch die Mitten a, ß, f der drei
Diagonalen des Vicrscits geht. Der im Unendlichen liegende Ponct der
Geraden 3R heisse 8. Die Kegelschnitte ordnen sich nach der Lage
ihrer Mittelpuncte in zwei Gruppen Ellipsen und in zwei Gruppen Hy-
>erb(Jn. Die Strecken a9 und -rÖ der Geraden 3)! cntlialten beziohlicli

Vermischte Sätze und Aufgaben. OSl

anderen derselben Gruppe ähnlich ist, sein Mittolpunct liegt
zwischen den Mittelpuncten jedes Paares und sein Axenver-
hältniss, 6:a, ist ein Maximum. In jeder Gruppe Ellipsen
befindet sich also eine solche, welche unter allen dem
Kreise am nächsten kommt (oder insbesondere selbst ein Kreis
ist), und in jeder Gruppe Hyperbeln giebt es eine, deren Axen-
verhältniss ein Maximum oder ein Minimum ist. — Diese
vier besonderen Kegelschnitte zu finden oder die Lage ihrer Mittelpuncte
anzugeben.

unter den gesammten Kegelschnitten B(^') giebt es im
Allgemeinen keine zwei,* welche ähnlich und ähnlichliegend
sind; wenn es aber insbesondere ein solches Paar giebt, so sind
alsdann alleübrigen auchpaarweise ähnlich und ähnlichliegend;
nämlich von den genannten je vier ähnlichen Kegelschnitten,
die paarweise zweien gleichartigen Gruppen angehören, ist
alsdann jeder von der einen Gruppe einem von der anderen
Gruppe ähnlich liegend. Dieser besondere Fall findet statt,
wenn zwei Diagonalen des Vierseits parallel sind.

Jedes Paar conjugirter Durchmesser eines der Kegel-
sclinitte B(^^ ist im Allgemeinen mit einem Paar conjugirter
Durchmesser irgend eines der übrigen parallel; daher haben
also die Kegelschnitte auch paarweise parallele Axen. Jeder
der Kegelschnitte hat aber ein besonderes Paar conjugirter
Durchmesser, welches mit keinem Paar conjugirter Durch-
messer irgend eines der übrigen parallel ist, und es giebt
im Allgemeinen zwei Kegelschnitte, deren Axen dieses be-
sondere Paar sind. — Beim genannten Falle, wo zwei Diago-
nalen des Vierseits parallel sind, hat jeder Kegelschnitt
ein Paar conjugirter Durchmesser, wovon der eine diesen
Diagonalen und der andere der dritten Diagonale pa-
rallel ist.

b. Die dem Vierseit eingeschriebenen Kegelschnitte
haben zu je drei gleichen Inhalt oder gleiches Axenproduct;
es giebt unter denselben zwei, eine Ellipse und eine Hyperbel,
welchen ein Maximum des Axenproductes zukommt; aufweiche
Weise die Mittelpuncte dieser zwei Kegelschnitte gefunden werden, habe
ich schon 1844 in einem ins Italienische übersetzten Aufsatze angegeben
(s. Bd. 30 d. Crelle'schen Journals, pag. 97)*).

Unter der Schaar von Parabeln, welche einem gegebenen
Dreiseit eingeschrieben sind, befinden sich drei, deren Para-

^ Gonf. Bd. IL S. 327 d. Ausg.

ßg2 Vermiscbte Sätie und Aufgftbeo.

mcter Maxima sind. Wolche Lage haben diese drei Parabeln, odet
wolche Lage haben ihre Axen oder ihre Brennpuncte?

10. a. Sind in gleicher Ebene zwei beliebige Vierecke
ABCD und ^,£,C,Z), gegeben, so giebt es in den ihnen um.
schriebenen Kegelschnittbüecheln B{P^ und B{P\) im Allge-
meinen nur ein Paar, P' und P\, welche ähnlich und ähnlich-
liegend sind; giebt es im besonderen Falle zwei solche Paare,
so sind dann alle übrigen Glieder der beiden Büschel aack
paarweise ähnlich und ähnlichliegend, und alsdann sind auch
die beiden Mittelpunctscurven A/* und M* (8.) ähnlich nnd
ähßlichliegend; und umgekehrt, sobald diese letzteren ähn-
lich nnd ähnlichliegend sind, ist auch jedes Glied des einen
Büschels mit irgend einem Gliede des anderen Büscheh
ähnlich und ähnlichliegend, aber dabei brauchen die Vierecke
selbst einander nicht ahnlich zu sein.

b. Sind in einer Ebene zwei beliebige Vierseite iUB@S) nnd
3I,33[@i^, gegeben, so giebt es in den ihnen bezieblich einge-
schriebenen Kegelschnittschaaren SC?*) und SC^*) im Allge-
meinen vier Paare $* und ^'\, welche unter sich ähnlich und
ähnlichliegend sind. Sind im besonderen Falle fünf Paare
ähnlich und ähnlichliegend, so ist jedes Glied der einen
Schaar mit irgend einem Gliede der anderen Schaar. ähnlich
und ähnlichliogend, und dann sind auch die drei Diagonalen
und die durch ihre Mitten gehende Gerade M (9.) des einen
Vierseits beziehlich denen des anderen Vierseits parallel;
und umgekehrt, sind die Diagonalen und die Geraden M
und A/, beider Vierseite beziehlich parallel, so sind die Kegel-
schnitte ß(?') und S(?J) paarweise ähnlich und ähnlich-

Vermischte Satze und Aiifß[aben.

683

unter die gegebenen Elemente auch Normalen des Kegelschnittes, so
werden die Lösungen schwieriger und ihre Zahl vermehrt sich mit der
Zahl der Normalen, so dass sie bis 102 ansteigt. Setzt man die Zahlen
der gegebenen Puncto, Tangenten^ Normalen beziehlich unter die Buch-
staben Py Ty N und die Zahl der Lösungen unter L, so hat man für
die 21 Fälle, welche mit diesen dreierlei Elementen möglich sind, fol-
gende Tabelle:

PTN L

•

10.

11.

12.

•

13.

•

14.

15.

16.

•

17.

•

18.

19.

•

20.

•

21.

•

102.

2. Werden die Ecken A, B, Cy D einer gleichseitigen, an der
Spitze rechtwinkligen, dreiseitigen Pyramide nach irgend einer Richtung
auf eine beliebige Ebene projicirt, so ist die Frage, welche Relation
zwischen den gegenseitigen Abständen der Projectionen ^,, jB, , C,, D^
stattfinde?

3. Das Viereck zu bilden, dessen vier Seiten nebst der Geraden,
welche die Mitten des einen Paares Gegenseiten verbindet, der Grösse nach
gegeben sind. — Ebenso, wenn die vier Seiten und die Gerade, welche
die Mitten der Diagonalen verbindet, gegeben sind.

4. Wenn in einer Ebene drei Geraden Ay B, C in fester Lage ge-
geben sind, so soll eine vierte D so gezogen werden, dass die beiden

()84 VermiKchte Sätze um) Aufgaben.

Dreiseite ACD und BCD gleichen gegebenen Inhalt haben. — Diese Auf-
gabe iet geometrisch lösbar; die Zahl der reellen Lösungen ist grösser
oder kleiner, jenachdem der gegebene Inhalt sich zum Inhalte des gege-
benen Dreiseits ABC verhält. Giebt es im günetigsten Falle sechs reelle
Lösungen?

5. Sind in einer Ebene vier beliebige Geraden A, B, C, D in fester
. Lage gegeben, so soll eine solche fünfte E gefunden werden, dass die
drei Dreiseite EDC, EBB, EDA gleichen Inhalt haben. — Werden die
gegebenen Geraden verwechselt, so findet die Aufgabe vierfach statt, aber
jedesmal giebt es nur eine Lösung.

N a c h 1 a s s.

Geometrische Betrachtungen und Lehrsätze.

Borchardt's Journal Band LXVI. S. 237—266.
(Aus den hinterlassenen Hanuscripten Steiner^s mitgetheilt von C. F, Geiser.)

Geometrische Betrachtungen und Lehrsätze.

Gehen in einer Ebene drei beliebige begrenzte Gerade aa, Äß,'^
durch den nämlichen Punct m und ist dieser die Mitte jener Geraden, so
schneiden sich sowohl die vier Kreise ahcy apy? ^«j ^«ß in irgend einem
Puncte d, als auch die vier Kreise «ßy, a^? ß^«^ T^ in irgend einem
Puncte 6. Die Gerade d8 geht durch den Punct m und wird in ihm ge-
hälftet; femer liegen die acht Endpuncte der vier Geraden in irgend einem
Kegelschnitte w', welcher die Geraden zu Durchmessern und m zum Mittel-
puncte hat. Zieht man umgekehrt in einem Kegelschnitte m' drei belie-
bige Durchmesser aa, iß, qf und legt durch je drei Endpuncte verschie-
dener Durchmesser Kreise, so schneiden sich einerseits die Kreise ahc^
aßY, &Y«, caß in einem Puncte d, und andererseits die vier Kreise «ßy,
tfbc^ ßca^ "^ah in einem Puncte 8. Beide Puncte liegen auf dem Kegel-
schnitte und sind Endpuncte eines Durchmessers desselben. Durch je
drei gegebene Durchmesser ist also nicht nur der Kegelschnitt, sondern es
ist auf diese Weise allemal noch ein vierter, ihnen zugehöriger • Durch-
messer bestimmt, und zwar ist von solchen vier Durchmessern jeder von
den anderen dreien in der angegebenen Weise abhängig. Aus diesem
Satze lassen sich nachstehende Folgerungen ziehen:

Werden in einem gegebenen Kegelschnitte irgend ein Punct c und
zwei beliebige Durchmesser aa und 6ß angenommen, so schneiden sich
die zwei Kreise ahc und aß^ allemal in irgend einem neuen Puncto d des
Kegelschnittes. Lässt man nun die Durchmesser zusammenfallen, so folgt
ferner: Beschreibt man zwei Kreise, welche durch den nämlichen Punct
c des Kegelschnittes gehen und diesen nebstdem in den Endpuncten a
und a irgend eines Durchmessers beziehlich berühren, so liegt auch der
zweite Schnittpunct d der Kreise auf dem Kegelschnitte, und umgekehrt,
legt man an zwei gegebene Kreise irgend ein Paar paralleler Tangenten,
an jeden eine, so giebt es immer einen Kegelschnitt, welcher die Kreise

Steiner't W^rke. II. 44

690 Geometrische Betracbtungen nnd Lehraltie.

mit den Tangenten in den nämlichen Punct«D a und a berührt, und zudem
durch die beiden Schnittpuucte c und d der Kreieo gebt; oa ist einer
seiner Durchmesser. Aus desa vorigen Satze zieht man leicbt durch Um-
kehrung:

Sind zwei gleiche parallele Gerade ah und aß gegeben, und legt man
durch ihre Endpuncte beziehlich irgend zwei Kreise, so liegen deren zwei
Schnittpuncte c und d mit den Endpuncten der Geraden in einem und
demselben Kegelschnitte. Oder: Zieht man in zwei gegebenen Ereiseo
zwei parallele gleiche Sehnen, in jedem eine, so liegen ihre Endpuncte
mit den zwei gemeinschaftlichen Puncten der Kreise in irgend einem Kegel-
schnitte.

Betrachtet man in Ansehung der drei Geraden oder Durchmesser m,
6ß, c( etwa die zwei Kreise ahc und aß^ und lässt die Durchmesser ip
und r[ dem festen Durchme.sser aa. so nahe rucken, dass die EndpUDcte
b und c als mit a, sowie ß und y als mit et vereinigt aozasehea sini
so osculirt der erste Kreis den Kegelschnitt in a, der uidere Kreis beiühit
ihn in a, und beide Kreise müssen sich immer, ausser in a noch in iigend
einem anderen Puncte d des Kegelschnittes treffeu. Da der zweite Kreis
durch die Bedingung, dase er durch a gehen und den K^elschnitt in i
berühren soll, bestimmt ist, so etg:iebt sich folgende einfache ConstmctioD
des Krümm ungskreises des Kegelschnittes m' in einem gegebenen Puocte
a: durch den Punct a ziehe man den Durchmesser aa, lege durch' seiu
Endpuncte einen Kreis, welcher den gegebenen Kegelschnitt m' in a be-
rührt und ihn noch in irgend einem neuen Puncte d schneidet, durch
diesen Punct denjenigen Kreis, welcher m' in a berührt, so ist dies der
gesuchte Krümmungskreis. Durch Umkehrung hat man femer: Schneidea
sich zwei gegebene Kreise in zwei Puncten a, d, und legt man in a ao
den einen Kreis die Tangente, und an den anderen Kreis eine parallele
Tangente, deren Berührungspunct a heissen soll, so giebt es altemal einen

Geometrische Betrachtungen und Lehrsätze. 691

•

das3 also die Tangenten der Ellipse in den Ecken des Dreiecks den resp.
Gegenseiten parallel sind; zugleich sind also auch die Tangenten der El-
lipse in den anderen Endpuncten a, ß, 7 der Durchmesser beziehlich den
Seiten bcy ca, ab parallel. Der .Kreis, abc schneidet die Ellipse noch in
irgend einem vierten Puncto d. Nach einem Satze von Poncelet hat jeder
durch' die Endpuncte der Sehne ad gehende Kreis mit der Ellipse eine
Sehne gemein, welche der Sehne bc parallel ist; und somit auch umge-
kehrt: die Endpuncte jeder mit bc parallelen Sehne der Ellipse liegen mit
den zwei festen Puncten a und d in einem Ejreise. Da nun die Tangente
im Puncto a der Sehne bc parallel ist, so berührt der durch a, d und a
gelegte Kreia die Ellipse in a und demzufolge geht der die Ellipse in a
osculirende Kreis durch den Punct d. Gleicherweise folgt, dass die Krüm-
mungskreise der Ellipse in b und c ebenfalls durch den nämlichen Punct
gehen. Also:

Die drei Krümmungskreise der Ellipse in den Ecken eines ihr einge-
schriebenen grössten Dreiecks ahc schneiden dieselbe in einem und dem-
selben Puncto d der Ellipse, welcher allemal mit den drei Ecken zu-
sammen in einem Kreise liegt. Und umgekehrt 1 durch jeden Punct d
der Ellipse gehen je drei Krüminungskreise derselben, welche sie in den
Ecken eines ihr eingeschriebenen grössten Dreiecks osculiren, und zwar
liegen diese Ecken mit jenem Puncto allemal in einem Kreise.^ Diesem
Satze kann man noch folgendes hinzufügen: In Bezug auf jeden Punct
der Ellipse giebt es je drei solche Durchniesser derselben, oa, iß, cr^\
welche von dem Puncto aus unter Winkeln gesehen werden, die beziehlich
denen gleich, sind, welche die Durchmesser mit den ihnen conjugirten
Durchmessern bilden. Die nämlichen drei Durchmesser entsprechen in
gleichem Sinne zugleich auch dem Puncto 8, dem anderen Endpunct des
durch d gehenden Ellipsendurchmessers, und ihre Endpuncte, in gehöriger
Ordnung genommen, sind allemal die Ecken zweier grössten Dreiecke abcj
aßY in der Ellipse, deren umschriebene Kreise beziehlich durch die Puncto
dy S gehen. Nämlich das Dreieck aß^ hat mit dem ersten, abcj den Punct
m zugleich zum Schwerpunct, und alles, was vom Dreiecke abc und dem
ihm entsprechenden Puncto d gesagt worden, gilt gleicherweise vom Dreieck
aßY und dem Puncto 8.

ill.

Da die Tangenten der Ellipse* m^ in den Ecken jedes ihr eingeschrie-
benen grössten Dreiecks abc den resp. Gegenseiten parallel sind, so sind
die Normalen in den Ecken zugleich die Höhen des Dreiecks und treffen
sich deshalb in einem Puncto p. Die durch diesen Punct gehende vierte
Nonnale der Ellipse hat gerade den vorhin genannten Punct 8 zum Fuss-
punct, was übrigens schon Joachirmihal bemerkt hat. Wie ferner bekannt,

44*

392 Oeometrische Betrtichtiing;en und Lehrsitze.

liegen die Fusapunctc aller vier Normalen oiefi sammt dem Ptmcte p und
dem Mittelpuncte m der Ellipse in einer gleichseitigen Hyperbel, etwa h\
deren Asymptoten den EUipsenaxen X, Y parallel sind. Dazu komnit
nun noch, daas die Hyperbel den Ellipsenhalbmesser mS znm Dnrchmeascr
hat, so das» ihr Mittelpunct h in seiner Mitte liegt. In diesem Betracht
ergiebt sich, alles zusammengefasat, folgendes:

Die je drei Normalen der Ellipse m' in den Ecken jedes ihr einge-
schriebenen grössten Dreiecks abc troffen sich in einem Piincte p, nnd
die durch diesen Punct gehende vierte Normale hat denjenigen Punct S
zum Fusspuncte, welcher mit den Ecken des Gegendreiecks «ßy in einem
Kreise liegt, oder dessen Gegenpunct d mit aic in einem Kreise liegL
Durch die fünf Puncte afcrfp und durch den Mittelponct m der Ellipse
geht eine gleichseitige Hyperbel A', deren Asymptoten allemal den Ellipüen-
axen X, Y parallel sind, und welche den Ellipsenhalbmesser mi idid
Durchmesser, also ihren Mittelpunct h in dessen Mitte hat. Die allen
grössten Dreiecken auf diese Weise entsprechenden gleichseitigen Hyperbeln
haben demnach zum Ort ihrer Mittelpuncte eine zweite Ellipse, etwa 9r|,
welche der gegebenen m' ähnlich, mit ihr ähnlich liegend nnd concentrisch
ist und halb so grosse Dimensionen hat .als dieselbe; auch sind sämmt-
liche grössten Dreiecke abc dieser zweiten Ellipse umschrieben, and nrir
sind sie die kleinsten ihr umschriebenen Dreiecke, indem die Seiten der-
selben in ihren Mitten berührt werden, so dass also m* zugleich der Ort
der Mitten der Seiten aller grössten Dreiecke in m' ist; und umgekehrt:

Zieht man durch die Mitte h irgend eines Halbmessers »»8 der gege-
benen Ellipse m' zwei ihren Axen parallele Gerade und denkt sich d!«
gleichseitige Hyperbel A*, welche dieselben zu Asymptoten und jenen Halb-
messer zum Durchmesser hat, so achneidet sie die Ellipse ausser im Puncte
5 allemal noch in den Ecken abc eines derselben eingeschriebenen grössteD

Geometrische Betrachtungen und Lehrsatze. 693

eotsprechenden gleichseitigen Hyperbeln sind die Ecken eines der Ellipse
w' eingeschriebenen Rechtecks, dessen Seiten auf den Asymptoten der vier
Hyperbeln liegen. Wenn insbesondere eine Ecke des Dreiecks ahc in einen
Axenscheitel der Ellipse w' fallt, so fallen die vier Dreiecke paarweise
zusammen, so dass nur zwei gleiche Gegendreiecke stattfinden, und dabei
geht die dem einen oder dem anderen derselben zugehörige gleichseitige
Hyperbel in zwei Gerade, ihre Asymptoten, über.

Anmerkung. Man vergleiche mit den Sätzen dieses und des vorigen
Paragraphen: Crelle*B Journal Band 30, „Ijchrsätze und Aufgaben" No. 6
(Band n dieser Ausgabe S. 343); Band 32, „Sätze über Curveii zweiter
und dritter Ordnung" No. 1 (Band II (Jieser Ausgabe S. 375) und Band 49,
„üeber algebraische Curven und Flächen" I, 3 (Band II dieser Ausgabe
8. 624).

IV.

So weit die obigen Sätze die gleichseitige Hyperbel betreffen, lassen
sich aus ihnen folgende, etwas allgemeinere ableiten:

Der durch die Endpuncte irgend eines Halbmessers etwa me der ge-
gebenen Ellipse m' und durch die Ecken irgend- eines derselben einge-
schriebenen grössten Dreiecks abc bestimmte Kegelschnitt ist jedesmal
eine solche Hyperbel, deren Asymptoten je einem Paar conjugirter Durch-
messer der Ellipse parallel sind, und welche allemal jenen Halbmesser
zum Durchmesser und somit dessen Mitte h zum Mittelpunct hat. Ver-
bindet man in diesem Sinne nach einander alle grössten Dreiecke mit
demselben Halbmesser me, so entsteht eine Schaar concentrischer Hyperbeln,
die me zum gemeinsamen Durchmesser haben, und deren Asymptoten
respective den gesammten Paaren conjugirter Durchmesser der Ellipse pa-
rallel sind. Und werden alle Halbmesser mit demselben Dreieck abc ver-
bunden, so entsteht ein Büschel von Hyperbeln, welche die vier Puncto
abcm gemein haben, und deren Mittelpuncte in der Ellipse m] liegen, mit
deren conjugirten Durchmessern ihre Asymptoten beziehlich parallel sind.
Umgekehrt: Zieht man durch die Mitte h eines beliebigen Halbmessers
me der gegebenen Ellipse mit irgend einem Paar conjugirter Durchmesser
derselben zwei Gerade parallel und sieht dieselben als Asymptoten einer
durch die Endpuncte des Halbmessers gehenden Hyperbel an, so schneidet
dieselbe die Ellipae ausser im Puncto e allemal noch in den Ecken eines
ihr eingeschriebenen grössten Dreiecks abc; werden die Asymptoten nach
einander allen Paaren conjugirter Durchmesser parallel angenommen, so
erhalt man alle grössten Dreiecke, jedes einmal, aber nur einmal.

Alle durch die Ecken und den Schwerpunct m eines beliebigen ge-
gebenen Dreiecks gehenden Kegelschnitte sind Hyperbeln; ihre Mittel-
puncte liegen in derjenigen Ellipse m], welche durch die Mitten der drei

g94 Geometrischa Betrachtungen und Lehnitie.

Seiten geht und den Schworpunct zum Mittejpunct hat, und ihre Asym-
ptoten sind oinzeln den verschiedenen Paaren conjngirtor Durchmesser
dioüer Ellipse parallel.

Für den besonderen Fall, vo die gegebene Ellipse m* in einen Kieü
übei^ht, wobei alle grössteu Dreiecke gleichseitig und congnient giml,
modificiren sich einige der vorstehenden Sätze.

Ein gegebener Kreis m* wird von jeder gleichseitigen Hyperbel i',
welche irgend einen Radius me desselben zam Durclunesser hat, aUemtl
in den Ecken eines gleichseitigen Dreiecks aie geschnitten; oder: die Eck«
jedes dem Kreise eingeschriebenen gleichseitigen Dreiecks liegen mit den
Eudpuucten me jedes beliebigen Radius desselben in einer gleichseitigea
Hyperbel, welche den Radius zum Durchmesser hat Und umgekehrt:
zieht man in einer gegebenen gleichseitigen Hyperbel irgend einen Durcb-
messer me und beschreibt mit demselben um einen seiner Endpuncte ■
einen Kreis m', so schneidet dieser die Hyperbel ausser im Pnncte v alk-
mal noch in den Ecken eines gleichseitigen Dreiecks, welches den Pund
m Bum Schwerpunct hat.

Von den drei Ecken jedes der gleichseitigen Hyperbel eingeschiie-
beneu gleichseitigen Dreiecks liegen immer zwei mit dem Schwerpnnct m •
im nämlichen Hyperbelzweig, und die dritte Ecke und der Punct e liegen
im uideren Zweig.

Jeder in der gegebenen Hyperbel beliebig gewählte Punct a ist:

1) Der Schwerpunct von nur einem emzigen eingeschriebeDen gleicb-
seitigen Dreieck;

2) ist er nur einmal Punct e, d. b. er liegt mit den Ecken nur ein«
einzigen solchen Dreiecks in einem Kreise. *

Df^geu ist er

Geometrische ßetrachtungen und Lehrsätze. 695

VI.

Hält man rücksichtlich der anianglich betrachteten Geraden oder
Durchmesser oa, 6ß, qf etwa die drei Endpuncte abc in ihrer Lage fest,
während der Mittelpunct m sich immer weiter, und zuletzt ins Unendliche
entfernt, wobei zugleich auch die drei anderen Endpuncte aß^ der Durch-
messer ins Unendliche fallen, die Durchmesser parallel werden und der
Kegelschnitt rn^ in eine Parabel übergeht, so bleibt noch von den dortigen
vier Kreisen abcj aß-jf, Ir^ay caß nur der erste als eigentlicher Kreis be-
stehen, wogegen jeder der drei anderen in zwei Gerade zerfällt, wovon die
eine ganz im Unendlichen liegt^ die andere aber durch den ihr zugehörigen
der Puncto abc geht, und zwar schneiden sich diese drei Geraden mit dem
Eüreise abc zusammen in einem Puncto d der Parabel. Die drei Geraden
ady bdy cd als Repräsentanten der drei Kreise haben die Eigenschaft (und
sind dadurch bestimmt), dass sie die Durchmesser unter gleichen Winkeln
schneiden wie die ihnen beziehlich gegenüberliegenden Seiten des Dreiecks
abcy d. h. dass die Gerade ad und die Seite bc mit jedem Durchmesser
ein gleichschenkliges Dreieck bilden, dessen Grundlinie im letzteren liegt,
ebenso bd und ac^ cd und ab. Daher ist von den zwei Strahlen, welche
die Winkel zwischen jeder Geraden und ihrer Gegenseite hälften, der eine
zu den Durchmessern senkrecht, und der andere denselben parallel. Daraus
ergeben sich folgende Sätze:

Nimmt man in einer gegebenen Parabel irgend ein Dreieck abc an,
und zieht durch dessen Ecken drei Gerade ady bdy cd so, dass sie und die
resp. Gegenseiten &?, oc, ab mit den Parabeldurchmessem gleiche Gegen-
winkel bilden, so treffen sich die drei Geraden jedesmal in irgend einem
Puncto d der Parabel, durch welchen zugleich auch der dem Dreiecke abc
umschriebene Kreis geht. Durch Umkehrung folgt:

Liegen die Ecken eines vollständigen Vierecks abcd in einem Kreise,
so sind von den drei festen Paaren von Strahlen, welche die Winkel
zwischen den drei Paar Gegenseiten hälften, drei und drei parallel, und
zwar sind sie beziehlich den Axen (oder Durchmessern) der dem Viereck
umschriebenen beiden Parabeln parallel, so dass also diese Axen zu einander
senkrecht sind wie jedes Strahlenpaar. •Femer findet noch ein bemerkens-
werther Umstand statt, dass die beiden Parabelaxen einander im Schwer-
punct der vier Ecken des Vierecks schneiden; oder: der Schwerpunct der
je vier Puncto, welche eine gegebene Parabel mit irgend einem Kreise ge-
mein hat, fallt immer in die Parabelaxe. Auch wenn von den vier
Puncton zwei, oder alle vier imaginär sind, besteht der Satz gleicherweise;
der Schwerpunct bleibt reell und ist geometrisch zu bestimmen. Insbeson-
dere folgt daraus:

Osculiii ein Kreis die Parabel im Puncto a und schneidet sie nächst-

g96 GeometriBcbe Betr&chtiu^n und Lebrestae.

dem im Puncte b, so wird die Sehne cJ> vQn der Parabelaxe stets im ersten
Viertel spuncte e von a aus gescliQitt«Q, so dass oc = |«6 ist; oder:

Zieht man von einem beliebigen Puncte a der Parabel diejenige Sdine
ab, welohe die Äxe unt«r gleichem Winkel schneidet wie die zugehörige
Tangente, so ist die Sohne allemal viermal so lang als die bis ao die Aie
genommene Tangente, oder, so wird die Sehne von der Axe im ersten
Viertelspimcte geschnitten. Es folgt weiter:

Befindet sich unter den Gliedern eines Eegelschnittbäschela ein Krei^
mögen übrigens von den Gnmdponcten des Böschels alle vier, oder onr
zwei, oder gar keiner reell sein, so sind die Axen sämmtliclier Kegel-
schnitte in zwei Abtheilungen parallel, and zwar beziehlich den Axea der
zwei zum Btischel gehörigen Parabeln parallel ; und die Mittolponcta all«
Kegebchnitte liegen in einer gleichseitigen Hyperbel, welche die Azen der
beiden Parabeln za Asymptoten hat. Sind alle vier Gnmdpuncte reell,
so sind die drei Paar Gegenseiten des durch sie bestimmten Vierecks als
specielle Glieder des Bäschels anzusehen, sowie die ihre Winkel hälftenden
Strahlen als ihre Axen, was mit dem Vorstehenden stimmt; die Gegen-
seiten heisaen conjugirte gemeinschaftliche Sehnen der Kegelschnitte ; sind
zwei oder vier Gnindpuncte imaginär, so bleibt immer ein Paar conjugirter
Sehnen reell.

Sind tü> und cd ein Paar conjugirter gemeinschaftlicher Seimen eine«
Kreises und irgend eines anderen Kegelschnittes, so bilden sie mit jeder
Axe des letzteren ein gleichschenkliges Dreieck, dessen Grundlinie in da
Axe liegt; und denkt man sich den ganzen Kreisbüschel, welcher mit dem
Kßgelschaitt die erste Sohne ab gemein hat, so müssen demzufolge alle
zweiten Seimen cd unter sich parallel sein, was der oben citärte Satz von
Ptmcelet ist. Weua insbesondere aS Tangente des Kegelschnitt« ist, diesen
etwa in a berührt, so ist es danach leicht, unter den Kreisen denjenigen
zu bestimmen, welcher den Kegelschnitt in a osculirt; nämlich man zieht

Geometrische Betrachtungen und Lehrsätze. 697

den Puncten abc und bestimmt sodann ihre Endpuncte a und a, b und ß,
€ und 7 so, dass die je vier Puncto amaa, imßb, crm^c harmonisch sind,
(gleichviel ob m oder a zwischen a und a etc. liege) so liegen die sechs
Endpuncte allemal in irgend einem Kegelschnitte abca^^ = m^y in Bezug
auf welchen der Punct m und die Gerade M sich als Pol und Polare ent-
sprechen. Und femer: Wählt man auf der Geraden Jtf ein Paar Puncto
r und 8 beliebig, jedoch beide reell oder beide imaginär, so schneiden sich
sowohl die vier Kegelschnitte rsabc^ rsa^^, rslr^a, rsca^ in einem Puncto d als
auch die vier Kegelschnitte rsaß-jf, rsabc, rs^a, rsr^ab in einem Puncto 8,
und beide Puncto liegen im vorgenannten Kegelschnitt m', und die durch
sie gelegte Gerade d3 geht durch den Punct m und wird von der Geraden
M in einem Puncto b so geschnitten, dass dmSb vier harmonische Puncto
sind. Und umgekehrt:

Sind in einer Ebene ein Kegelschnitt w' und irgend zwei Puncto r
und 5 gegeben, und zieht man durch den Pol m der durch die Puncto
gehenden Geraden r« drei beliebige Sehnen aa, 6ß, cy des Kegelschnitts,
legt sodann durch je drei Endpuncte verschiedener Sehnen und durch die
zwei gegebenen Puncto einen Kegelschnitt, was im Ganzen acht Kegel-
schnitte giebt, so schneiden sich dieselben zu vier und vier in zwei Puncten
d und hy welche im gegebenen Kegelschnitte liegen und zwar die End-
puncte einer vierten durch denselben Pol m gehenden Sehne sind. Von
solchen vier Sehnen ist jede gleicherweise durch die anderen drei bestimmt.

Dieser Satz lässt sich noch mehrfach umkehren und anders aussprechen,
und gewährt wie der beschränktere in I. zahlreiche Folgerungen.

Beachtet man z. B. von den acht Kegelschnitten nur die beiden
rsabc = A^ und r«mß = jB', und lässt den Endpunct c sich ändern, wäh-
rend die Sehnen oa, 6ß sowie die gegebenen Elemente fest bleiben, so kann
man sagen: Gehen zwei Kegelschnitte A\ B^ beziehlich durch rsabj rsaß
und zudem beide noch durch irgend einen Punct c des gegebenen Kegel-
schnittes 97»', so liegt auch ihr vierter Schnittpunct d stets in diesem
Kegelschnitt. Oder: Jeder durch rsab gehende Kegelschnitt A^ schneidet
den gegebenen Kegelschnitt m^ in zwei solchen Puncten c und d^ welche
mit den vier Puncten rsaß in irgend einem Kegelschnitt B^ liegen. Da
aber vermöge der erwähnten harmonischen Eigenschaft die Sehnen ab und
aß sowohl als aß und ba sich auf der Geraden M (== rs) schneiden, etwa
beziehlich in den Puncten p und q, so kann man auch sagen:

Sind a und a^ b und ß, p und q die drei Paar Gegenecken irgend
eines gegebenen vollständigen Vi^seits, und nimmt man in einer der drei
Diagonalen, etwa in pq zwei Puncto rs willkürlich an, so haben die drei
Vierecke rsaby rsaß, oÄaß, sowie auch die drei Vierecke rsa^y rsba^ aba^
die Eigenschaft, dass jede zwei Kegelschnitte, die je zweien derselben be-
ziehlich umschrieben sind, sich in zwei solchen neuen Puncten c und d

ßOJjt Geoinetrigche Betrachtungen und LehrsitEe.

schnoiden, durch welche allemal auch ein dem dritten Viereck umschrie-
bener Kegelschnitt geht; oder dass jede drei den Vierecken resp. om-
schricbene und durch irgend einen gegebenen Funct c gehende Keg^
schnitte immer noch einen bestimmten anderen* Punct d gemein halwB.
Oder, was im Grunde dasselbe ist: Ist ein beliebiges Dreieck antb gegeben,
und bestimmt man in zwei Seiten desselben, etwa in nta und mb, injedtr
i^end ein Paar zu ihren Endpimcteu 'zugeordnete harmoniBcbe PnncI«,
rosp. a, a und b, ß, und nimmt in der dritten Seite ab ein Paar PudcU
rs willkürlich au, so haben die zweimal drei Vierecke nah, r»i^, ab^ und
rsa% nba, aha^ die nämliche genannte Eigenschaft

Wenn vorhin, wo der Kegelschnitt m' gegeben, die Sehne £ß der
Sehne aa nneadlich nahe rückt, so folgt:

Gehen zwei Kegelschnitte Ä^ und B* durch die gegebenen Functer
und 8y sowie durch irgend einen Punct c des gegebenen Kegelschnittes m',
und berühren sie diesen besiehUch in den Endpuncten o, a. irgend einei
durch den Pol m der Geraden rs gehenden Sehne aa, so ßUlt ihr vierte
Schnittpunct d stets in den gegebenen Kegelschnitt. Da die Tangenten in
den Berührungspuncten a , a sich in irgend einem Puncte p auf der ge-
gebenen Geraden r» treffen, so folgt omgokehrt:

Sind zwei beliebige Kegelschnitte A*, B' gegeben, und legt man tst
irgend einem Puncte p eine ihrer gemeinschaftlichen Seimen, etwa rt, u
jeden eine Tangente, die sie beziehlich in den Puncten a und a beröhreo,
so giebt es allemal einen dritten Kegelschnitt m', welcher sie in denselbtD
Pimcton berührt und zudem durch ihre anderen beiden gemeinschaftlidwn
Puncte c und d gebt.

Wenn im obigen ?alIo die drei durch den Pol m -gehendeD Sehnes
oa, b^; rj des gegebenen Kegelschnittes m* einander unendlich nahe rücken,
so dass die Endpuncte b und c als mit a, ß und f als mit a Terdnt u-
zusehen, so wird der Kegelschnitt m' von dem Kegelschnitte A* osculirt,

Geometrische Betrachtungen und Lehrsätze. 699

d kann übrigens noch einfacher gefunden werden, indem man die Geraden
ra, sa zieht, die den Kegelschnitt m^ zum zweiten Male etwa in e^ /
schneiden, femer die Gerade e/\ die der Geraden rs etwa in q begegnet,
80 trifft die Gerade qa den Kegelschnitt m' im Punct d,)

Irgend drei Puncte a, 6, c des gegebenen Kegelschnittes «>' und die Tan-
genten Ay By C in denselben bestimmen ein Paar zusammengehörige einge-
schriebene und umschriebene Dreiecke ahc und a^b^c^ (=Dreiseit ABC)^
deren einander gegenüberstehende Seiten ab und 6'(= a,fti) ac und ß, bc und
A sich in drei Puncten u, Vj iv einer Geraden M schneiden , und durch
deren entsprechende Ecken c und c,, b und i,, a und a, drei sich in einem
Puncte m treffende Geraden ü, V, W gehen, welche beziehlich die Polaren
jener Puncte sind , sowie auch m der Pol der Geraden M ist. Die drei
Geraden schneiden den Kegelschnitt zum zweiten Mal in drei Puncten y,
p, a, welche mit den zugehörigen Tangenten gleicherweise ein Paar zu-
sammengehörige Dreiecke aßY, «jßjYj bestimmen, deren entsprechende Seiten
sich in denselben Puncten u^ v, w auf der Geraden M schneiden, und
deren entsprechende Ecken in den nämlichen durch den Punct m gehenden
drei Geraden i7, V, W liegen.

Auf diese Weise gehört also . zu jedem dem Kegelschnitt m* einge-
schriebenen Dreieck abc ein bestimmter Pol m nebst dessen Polaren M,
aber nicht umgekehrt, denn sind m und M gegeben, so gehören sie in
diesem Sinne nicht allein zu dem einen Dreieck abc ,und seinem Gegen-
dreieck aß^if (nebst den zugehörigen umschriebenen Drefiecken a^b^c^^ «iPiTi)?
sondern sie gehören zugleich zu unendlich vielen solchen Dreieckspaaren,
welche insgesammt folgende Eigenschaften haben:

Zu jedem Pol m und zu seiner Polaren M rücksichtlich des gegebenen
Kegelschnittes m^ gehören im angegebenen Sinne eine Schaar dem Kegel-
schnitte eingeschriebener Dreiecke abcy jeder Punct des 'Kegelschnittes ist
Ecke eines solchen Dreiecks, aber nur eines einzigen. Die sämmtlichen
Dreiecke sind zugleich einem bestimmten anderen Kegelschnitte m] um-
schrieben, welcher den gegebenen in zwei auf der Geraden M liegenden
Puncten berührt, so dass diese Gerade die (reelle oder ideelle) Berührungs-
sehne beider Kegelschnitte ist. Liegt der Pol m innerhalb des gegebenen
Kegelschnittes, so sind die Berührungspuncte imaginär, also M die ideelle
Beruhrungssehne der Kegelschnitte, aber in diesem Falle sind alle Theilo
jedes Dreiecks reell; liegt hingegen der Pol m ausserhalb der Kegelschnitte,
so berühren sich diese reell, und M schneidet sie in beiden Berührungs-
puncten, aber alsdann ist von jedem Dreieck nur eine Ecke und deren
Gegenseite reeU, dagegen die anderen Ecken und Seiten imaginär. (Hieraus
folgt noch für die Hyperbel, dass bei den ihr eingeschriebenen Dreiecken
vom grössten Inhalt gleicherweise nur je eine Ecke und deren Gegenseite
reell, dagegen die zwei anderen Ecken und Seiten imaginär sind. Die

7U0 GeonietriDcbe Betrachtungen und LehrsUie.

rcollen Seite» berühren sämmtlich eine zweite Hyperbel, welche die ge-
gebene umschliesst, mit ihr die Asymptoten gemein, aber nur halb so
grosBe Azen als dieselbe hat.) Die Seiten jedes Dreiecks ab, ac, bc wenl»i
von dem zweiten Kegelschnitt mf in denjenigen Piinctm tt,, e,, «>, berolirt,
in welchen sie von -den correspondkenden Geraden U, V, W geschnittes
werden, so dass also der BernhrungspUDct jeder Seite und ihr Schnitt mit
der Geraden M zu ihren Endpuncten sugoordnet harmonisch sind, d.L
uau^b, vav^c, wbw,c sind je vier harmonische Puncte; oder die Berühmiigi-
puncte sind auch in den Geraden U, V, W harmonisch bestimmt, oämhch
werden diese von der Geraden M in c, 6, a geschnitten, so sind cinK|-j,
bmr, ß, aniur,a je vier harmonische Puncte. Die den Dreiecken abc lug»
hörten umschriebenen Dreiecke o.fi^c^ sind insgesammt einem dritta
Kegelschnitt m^ eingeschrieben, welcher sich mit den beiden ersten in dat
nämlichen zwei Puncten auf der Geraden M berührt.

Nach diesen Angaben ist nunmehr dasjenige Dreieck tax, weichet
einen gegebenen Punct, etwa a zur Ecke hat, leicht zu finden. NämM
man legt in a an den gegebenen Kegelschnitt in? die Tangente Ä, cob-
struirt zu ihrem Schnitfpuncte w mit der gegebenen Geraden M die PoU«
W, welche durch den Pd m geht, den Kegelschnitt zum zweiten Male in
a und die Gerade J/ in a schneidet, sucht sodann zu den drei Pundti
ams den vierten, a zugeordneten harmonischen Punct 10,, so schneidet die
Gerade wie, den Kegelschnitt in den beiden anderen Ecken hc des ver-
langten Dreiecks.

vm.

Wählt man in der gegebenen Geraden M zwei Puncte r, s beliebig,
so bestimmen Hie mit den Ecken jedes der genannten Dreiecke nie je einen
Kegelschnitt (fi^), welcher den gegebenen Kegelschnitt m' noch in einen
vierten Puncte d schneidet, und sodann giebt es allemal drei Kegelschnitte

Geometrische Betrachtungen und Lehrsätze. 701

und nebstdem zwei willkürliche Puncte r, s gegeben, so giebt es im All-
gemeinen drei reelle Kegelschnitte -4', ß', C^ welche durch die drei Puncto
gehen und den gegebenen Kegelschnitt einzeln in drei Puncten a^ b, c
osculiren, und zwar liegen diese drei Puncte allemal mit den gegebenen in
einem Kegelschnitte 2)'; femer sind die drei Osculationspuncto die Ecken
eines dem gegebenen Kegelschnitte eingeschriebenen solchen Dreiecks abcy
welches die durch die Puncte r« gehende Gerade M zur zugehörigen Po-
laren hat, so dass seine Seiten und die Tangenten in den fiegenecken sich
auf dieser Geraden schneiden. Bleiben die Puncte rs fest^ während der
Punct d den gegebenen Kegelschnitt m^ durchläuft, so entsteht eine Schaar
Dreiecke ahc, welche sämmtlich die Gerade M zur Polaren haben und
welche alle einem neuen Kegelschnitt m] umschrieben sind, der den ge-
gebenen Kegelschnitt in zwei auf der Geraden inliegenden Puncten berührt.
Dabei entspricht also jedem Punct d ein bestimmtes Dreieck ahc und auch
umgekehrt Aendem aber die Puncte r, s ihre Lage auf der festen Ge-
raden M (wobei die Schaar der Dreiecke unverändert bleibt), so entspricht*
im Allgemeinen jedem Puncte d ein anderes Dreieck abc als zuvor; bleibt
insbesondere einem Puncte d dasselbe Dreieck entsprechend, so findet
dasselbe fiir alle statt, und zwar tritt dieser Fall dann ein, wenn das neue
Punctenpaar mit dem ersten zu dem Punctsystem gehört, in welchem die
Gerade M von dem Kegelschnittbüschel B(D^ der durch irgend einen
Punct d und die Ecken des ihm zuvor entsprechenden Dreiecks abc geht,
geschnitten wird.

Sind die Puncte r, s und d gegeben, so ist das entsprechende Dreieck
qbcy in dessen Ecken der gegebene Kegelschnitt m' von den genannten
drei Kegelschnitten A\ jB', C osculirt wird, wie folgt, zu bestimmen:
Durch den Pol tn der Geraden M(==rs) ziehe man die Gerade c?m, die
den gegebenen Kegelschnitt m} zum zweiten Male in 8 und die Gerade
M m \> schneidet, und nehme auf ihr den Punct h so an, dass bmA^ vier
harmonische Puncte sind (dieser Punct h liegt allemal in dem oben er-
wähnten Kegelschnitte m]). Femer suche man auf der Geraden M das-
jenige Paar Puncte x und y, welche einerseits zu den Puncten r, s zuge-
ordnet harmonisch (also rxsy harmonisch) und andererseits zugleich con-
jugirte Pole in Bezug auf den gegebenen Kegelschnitt sind (so dass die
Polare X von x durch y, und die Polare Y von y durch x geht), und
ziehe sodann die Geraden hx und hy; so giebt es einen Kegelschnitt A',
welcher diese Geraden in den Puncten x und y berührt, zudem durch die
Puncte tn und 8 geht, und welcher den gegebenen Kegelschnitt ausser in
0 in den Ecken des gesuchten Dreiecks abc schneidet. — Beachtet man
in der Geraden M alle Paare conjugirter Pole x und y in Bezug auf den
gegebenen Kegelschnitt m^ und zieht durch jedes Paar aus demselben
Puncte h die Geraden hx und hy^ denen je ein Kegelschnitt h^ entspricht.

702 Geometrische BetraebtnDgen und Lchnätze.

ao entsteht eine Schaar Kegelschnitt« A', welche die Pancte m, 8 gemein
haben, und welche den gegebenen Kegelschnitt einzeln in den Ecken der
voi^nannten Dreiecke schneiden. U. a, w.

IX.

Schliesslich ist zu bemerken, dass auch die vorstehende Betrachtung
selbst nur ein specieller Fall einer allgemeinen ist, wobei statt des Kegel-
schnittes und der Geraden eine Curve dritten Grades mit einem Doppel-
puncte zu Grunde gelegt wird.

Einer Curve dritten Grades m*, welche einen Doppelpunct d hat, sind
unendlich viele vollständige Vierseite eingeschrieben, jede beliebige Gerade
ist Seite eines solchen Vierseits, aber nur eines einzigen. Wir wollen
jedes solche Vierseit durch 5*, seine drei Paar Gegenecken dorcb a ood
a, b und ß, c und ■[ bezeichnen und annehmen, es liegen die drei Ecken
abc, ap^, ba'), ca.^ in je einer Seite; alsdann enthält das Yierseit die vier
Dreiecke a^i, abc, ^a, -jab. In den drei Ecken jedes solchen Dreiecb
wird die Curve von irgend einem Kegelschnitte berührt; und umgekehrt,
jeder der Curve eingeschriebene Kegelschnitt berührt sie in den Ecken
eines solchen Dreiecks, und das zugehörige Vierseit jS^ist dadurch bestimmt
Die zwei Tangenten der Curve in einem Paar Gegeneckeo je eines Vier-
seits treffen sich in irgend einem dritten Puncto der Curve; nn^kehri
gehen durch jeden Punct der Curve nur je zwei Tangenten, welche sie
anderwärts berühren, aber die beiden Beröhrungspunct« sind Gegenecken
von unendlichen vielen Vierseiten S*.

Wählt man in der gegebenen Curve m* zwei Puncto r, s beliebig,
legt durch sie und beziehlich die Ecken der vier Dreiecke aß-f, abc, ßor,
iah irgend eines eingeschriebenen Vierseits S* vier Kegelschnitte, so tieffäi
sich diese allemal in einem Puncto S der gegebenen Curve, and zwar bleibt

Geometrische Betrachtungen und Lehrsätze. 703

din&\i harmonisch liegen. Legt man aus dem Punct r die beiden Tangenten,
etwa rt und rr,, an die Curve, und zieht aus demselben die Strahlen rd
und nn, so sind rdy rr, rw, rr, vier harmonische Strahlen; gleicherweise
sind die Tangenten $a und 89, und die Strahlen sd, sm aus dem Puncto s
zugeordnet harmonisch. Danach sind also die Strahlen rm und sm durch
die jedesmaligen drei übrigen zu finden, und durch sie findet man den
Punct m; sodann wird durch die drei Puncto d, [jl und m auch der Punct
ö gefunden, als vierter, d zugeordneter harmonischer Punct; oder S ist der
einzige SchnittpuHct der Geraden dm mit der Curve ausser d. Femer ist
der Punct 8 auch dadurch bestimmt, dass die Curve von einem Kegel-
schnitte in r, « und 8 berührt wird, öder wenn t der dritte Schnitt der
Geraden rs mit der Curve ist, dass die Tangenten in t und 8 die Curve
im nämlichen Puncto schneiden. Sind r, r, und cy, o, die Berührungspuncte
der aus r und s an die Curve gelegten Tangenten, so haben die Kegel-
schnitte drsxx; und drsocy, den Punct m zu ihrem vierten Schnittpunct.
Hat man auf die eine oder andere Art den zu den gegebenen Puncten r, s
gehörigen Punct m gefunden, so kann man umgekehrt sagen: Jeder durch
die vier Puncto rf, r, s, m gehende Kegelschnitt schneidet die Curve w'
noch in je zwei solchen Puncten, deren zugehörige Tangenten sich in irgend
einem dritten Puncto der Curve treffen.

Wird nebst den Puncten r, s noch ein beliebiger dritter Punct t in
der gegebenen Curve w* angenommen, so giebt es im Allgemeinen drei reelle
Kegelschnitte, welche durch die drei Puncto gehen und die Curve in irgend
drei anderen Puncten, etwa a, b, Cy beziehlich osculiren, und zwar liegen diese
drei Puncte allemal mit r, «, t zusammen in irgend einem Kegelschnitte.
Legt man durch den Doppelpunct d und durch zwei der drei angenommenen
Puncte r, s und t^ etwa durch r und «, das Paar Kegelschnitte A^ und
AIj wovon der erste durch bc geht, und der andere die Curve w' in a
berührt, so berühren sich dieselben im Puncte d; und legt man ebenso
durch die drei festen Puncte drs die zwei Paar Kegelschnitte ß' und B] ,
C und CJ, wovon B^ und C" beziehlich durch die Puncte a und c, a und
b gehen und jBJ, CJ die Curve beziehlich in 6, c berühren, so berühren
sich dieselben gleichfalls im Puncte d. Bleiben die Puncte r^ s fest, wäh-
rend der Punct t die Curve m^ durchläuft, so ändern sich gleichzeitig die
drei Osculationspuncte a, b, c^ sowie auch die eben genannten drei Kegel-
schnitte A% jB', C\ aber alle diese Kegelschnitte umhüllen insgesammt eine
neue Curve dritten Grades wf, welche mit der gegebenen die Puncte r
und 8y sowie den Doppelpunct d und in diesem die beiden Tangenten
gemein hat. Der Berührungspunct jedes dieser umhüllenden Kegelschnitte
mit der Curve m] ist durch harmonische Eigenschaften bestimmt und zu
finden.

Anmerkung. In der bereits citirten Abhandlung im 32. Bande des

704 Qeometriache BetrochtungeD und Lehr^tze.

Q-elle'achßü Journals*^ fiaden sich Andeatungeo, wie für ganz beliebige
Cur\-en dritton Grades sich die hier angegebenen Sätze gestalten. Hierher
gehört anch noch, wie man leicht erkennt, folgender Satz: Sind ein voll-
ständiges Vierseit S* und irgend zwei Puncte r, a in einer Ebene beliebig
gegeben, so schneiden sich die vier Kegelschnitte rsxßY, rsabc, n^a, rriab
allemal in irgend einem Puncto S, und jede durchdie acht Puncte raabci^
gelegte Curve dritten Grades geht gleichfalls dnrch den Punct. 8. Ein
specieller Fall hiervon findet sich in Qergorme'i Annalen Bd. 19 (Band I
dieser Ausgabe S. 221, 1°.)= ^^^ den vier Dreiecken oß^i "^j ß^c, 7ai
umschriebenen Kreise schneiden sich in einem Puncte 6.

Wenn auch die am Anfange der vorhergehenden Betrachtung stehenden
elementaren Sätze durch Polarisiren sich nicht in solche andere umwandeb
lassen, bei welchen den dortigen acht Kreisen wiederum Kreise entsprechen,
so finden gleichwohl gewisse entgegenstehende Sätze statt, bei denen zvir
die Kreise in viel grösserer Anzahl vorkommen, aber au&denen sich rucksicht-
lich des zu Grunde gelegten Kegelschnittes analoge Folgerungen ziehen iasseo,
wie dort. Der hier an die Spitze zu stellende Elementarsatz ist folgender;

Sind in einer Ebene drei Paar parallele Gerade, A und 9, B und S,
C und 6 gegeben, wovon jedes Paar, für sich betrachtet, von einem und
demselben Puncte m gleichweit absteht, so berühren alle sechs Geraden
irgend einen Kegelschnitt m', welcher den Punct m zum Mittelpunct hat
Fasst man zunächst die vier Dreiseite ABC, ^S6, ßßSl, C^UB ins' Auge,
und bezeichnet jeden der vier Kreise, welche dem ersten eingeschrieben
sind, durch K^, ebenso jeden der vier Kreise, welche den übrigen Drei-
seiten eingeschrieben sind, durch K', AT,', Ä'*, so hat jeder der vier Kreise
Ä' mit dem Kegelschnitte wt' ausser A, B, C noch eine vierte Tangente
D gemein, und sodann berührt diese Tangeute allemal zugleich noch je
einen der vier Kreise aus jeder der drei übrigen Gruppen A'*, Ä'', A','.

. ^ Geometrische Betrachtungen und Lehrsätze. 705

Die einem Dreiseit eingeschriebenen vier Kreise unterscheiden sich
in einen inneren und drei äussere, und die letzteren unterscheiden sich
näher dadurch, dass jeder unter einer bestimmten Seite liegt.

Fixirt man nun irgend zwei der erstgenannten vier Dreiseite, etwa
ABC und -4336, welche die Gerade A gemein haben, so entspricht in
jedem derselben der unter der Seite A liegende Kreis dem inneren Kreis
im anderen Dreiseit, und sodann entsprechen sich die übrigen Kreise ver-
wechselt, d. h. dem Kreise unter B entspricht der Kreis unter 6, und der
unter C entspricht dem unter 33. Diese Regel gilt gleicherweise für je
zwei zusammengehörige Dreiseite.

Oder: bezeichnet man für einen Augenblick bloss den inneren Kreis
im Dreiseit ABC durch iC', dagegen die unter den Seiten A^ B, C lie-
genden Kreise beziehlich durch A^, jB', C, femer ebenso den inneren Kreis
im Dreiseit ^356 durch K] und die unter den Seiten A, 35, 6 liegenden
durch A\, 35% 6?, so haben die Kreise A^ und iTf, K^ und A\, B' und
6J, C und 33J je eine neue Tangente D mit dem Kegelschnitte m' ge-
mein. Und wenn man weiter auch die Kreise in den beiden Dreiseiten
53(6 und cm gleicherweise durch K^ B], 6J, aj und K^ CJ, SIJ,
331 bezeichnet, so haben die je vier Kreise K'A^BlCl, K^ A'Sdl^l,
i:*aj5»6J, Kl^l^]C' mit dem Kegelschnitt m' eine Tangente D ge-
mein.

Dabei haben je zwei sich entsprechende Kreise irgend eine der sechs
gegebenen Geraden ^jBC933@ zur gemeinschaftlichen Tangente, und als-
dann ist D aUemal die derselben conjugirte gemeinschaftliche Tangente
dei* Kreise, d. h. sie sind entweder die beiden äusseren oder die beiden
inneren gemeinschaftlichen Tangenten der letzteren. Daher kann man im
Einzelnen auch sagen:

Haben zwei Dreiseite ABC und -4336 die Gerade A gemein und sind
ihre übrigen Seiten beziehlich parallel, also die Dreiseite ähnlich, und legt
man an jedes der vier Kreispaare K^ und A], A^ und iC', B^ und (5J,
C und 33 J, wovon jedes A zur gemeinschaftlichen Tangente hat, die
dieser Tangente conjugirte gemeinschaftliche Tangente i>, was vier ver-
schiedene Gerade D giebt, so berühren diese vier Gerade und die Seiten
beider Droiseite zusammen irgend einen Kegelschnitt m', dessen Mittel-
punct fii in derjenigen Geraden liegt, welche die Gegenecken der Seite A
in beiden Dreiseiten verbindet.

Die Folgerungen aus diesem Satze sind noch zahlreicher als diejenigen
aus dem Satze in L, es mögen aber von denselben nur wenige hier Platz
finden.
• Sieht man den Kegelschnitt m^ als gegeben an, bezeichnet die Be-

Steiner'i Wsrke. IL 45

706 Geometrische BetTkehtangeii und LebTslUe.

röhningspimcte der sechs Tangenten A^B^OS, durch aoißqf und faagt
etwa die beiden Dreiseite ABC und £9@ ins Äuge, deren Edten besteh-
lieh a,b,c, und 6,0,-):, heissen sollen, so sind zunächst folgende zwei Greni-
lalle zu betrachten:

1) Bleiben die Tangenten A, B fest, also auch die ihnen paralleleo
91, S, während die Tangente C sich A nähert, bis sie auf dieselbe fällt,
und gleichzeitig auch @ auf 8, so reduciren sich die Kreise K', B' beide
auf die Ecke c„ ebenso K', £* auf die Ecke f,, und die Kreise A\ C
berühren beide die Tangente A nebst dem Kegelschnitte m' im Poncte
a, und ebenso berühren die Kreise 31', Q.\ die Tangente % und den Kegel-
schnitt im Functe a. In diesem Falle sind aber die auf einander lie-
genden Seiten A und C, S und 6 nicht mehr zu unterscheiden, also anct
nicht die unter ihnen liegenden Kreise A' und C\ 9* und @* ; indessen
sind die letzteren dadurch zu erkennen, dass jenachdem die beiden B^
rührungspunctfl a, a auf gleichen oder auf ent^gengesetzten Seiten der
Tangente B liegen, dann auch die sich entsprechenden Kreise A' und @',
C* und 9^ beziehlich auf gleicher oder auf entg^engesetzter Seite iQ
Rucksicht der parallelen Tangenten A, ü liegen; and zwar findet du
Eine oder das Andere statt, jenachdem der Kegelschnitt Ellipse oder
Hyperbel ist.

2) Bleiben dagegen die Tangenten A, C fest, also auch 9, @, während
die Tangente B sich der A nähert, bis sie mit ihr zusammenfällt, so re-
ducirt sich jeder der Kreise K\ C auf die Ecke 6„ und die Kreise A',
B* berühren beide die Tangent« A und den Kegebchnitt im Puncte a;
zugleich werden andererseits die Kreise 93*, 3[| unendlich gross, und die
Kreise £,', 6| einander gleich. Auch in diesem Falle sind weder die
Kreise A* und B^ noch K\ und @' zu unterscheiden, indessen sind die
sich entsprechenden Kreise ß' und K\, A* und 6J dadurch bestimmt,

' auf die sich kreuzenden Geraden A und C, 9 und S

Geometrische Betrachtungen und Lehrsätze. 707

Kegelschnitte eine neue Tangente D gemeio, wofern jedes Paar, in Rück-
sicht der parallelen Tangenten A und 21 entweder gleichliegend oder un-
gleichliegend ist, jenachdem die Puncte a und a beziehlich auf gleichen
oder auf verschiedenen Seiten der Tangente B liegen. — Oder: Sind zwei
parallele Gerade A und 9, in jeder irgend ein Punct a und o, sowie eine
sie schneidende beliebige dritte Gerade B gegeben, und beschreibt man
diejenigen vier Kreise, von denen zwei die A im Puncte a, die zwei an-
deren die 9 im Puncte a und zudem alle vier die Gerade B berühren,
und legt sodann, jenachdem die PunOte a^ a auf gleicher oder auf ver-
schiedenen Seiten von B liegen, beziehlich an je zwei auf gleicher oder
auf ungleichen Seiten der Parallelen Aj 9 liegende, nicht zusammengehö-
rige Kreise die der B conjugirte gemeinschaftliche Tangente D, was zwei
D giebt, so giebt es allemal irgend einen Kegelschnitt wi', welcher A und
21 in den gegebenen Puncten a. und a, und nebstdem auch B sowie die
beiden D berührt. — Oder: Legt man an zwei gegebene Kreise (etwa
-4*, 6J) ein Paar conjugirte gemeinschaftliche Tangenten B und D, sowie
irgend ein Paar parallele Tangenten A und 9(, an jeden eine, die sie in
den Puncten a und a berühren, so giebt es jedesmal einen Kegelschnitt,
welcher die Kreise in diesen Puncten aj a und nebstdem auch die beiden
gemeinschaftlichen Tangenten berührt.

'2*») Ist einem gegebenen Kegelschnitte irgend ein Parallelogramm
-4CS16 umschrieben, ist a der Berührungspunct der Seite A, und be-
schreibt man diejenigen zwei Kreise A^ und JB', welche A im Puncte a und
zudem auch C berühren, sowie femer diejenigen zwei Kreise K^ und (SJ,
welche die drei Seiten ^SKS berühren, so hat jedes der beiden Kreispaare
A* und @J, B^ und K^ mit dem Kegelschnitte eine neue Tangente D
gemein, wofern nämlich diese Paare rücksichtlich der sich kreuzenden Ge-
raden A und Cy 31 und @ in einander entsprechenden oder nicht ent-
sprechenden Winkeln liegen, d. h. jenachdem der Kegelschnitt beziehlich
Ellipse oder Hyperbel ist. — Auch dieser Satz kann noch auf zwei Arten
umgekehrt worden, wie der vorige.

xn.

Lässt man nun weiter im ersten Falle (1) oder 1*»)) die Tangente B
der festen Tangente A sich nähern, bis sie mit ihr zusammeniallt, so re-
ducirt sich auch noch einer der Kreise A^ oder C, etwa C auf den
Punct a, wogegen der andere A^ den Kegelschnitt in diesem Puncte os-
culirt; zugleich wird der dem Kreise C^ entsprechende Kreis 31' unendlich
gross, nämlich er zerfallt in die Geraden 31 und ö«, während der Kreis
&^ immerhin, wie zuvor, die Tangente 31 sammt dem Kegelschnitt im
Puncte a berührt; dabei behalten die Kreise A^ und 6' mit dem Kegel-

45*

706 Geometrische Betrachtungen tmd Lehrsätu.

schnitte die vorgenanDte Taogent« D gemeiii. Daraas ergiebt sich also
ein dem obigen analoges Verfahren, den Ernnmtnngskreis des Kegel-
schnittes in ii^nd einem gegebenen Puncte a desselben za finden. Näm-
lich: man lege im gegebenen Fanct a und im anderen Endpnnct a des
durch ihn gehenden Durchmessera Tangenten Ä, Vk v^ den Kegelschnitt,
beschreibe hierauf den Kreis, welcher die Tangente 31 im Pnncte et und
zugleich auch die Tangente A berührt, so hat derselbe noch irgend eue
vierte Tangente D mit dem Kegelschnitte gemein, und beschreibe sodann
denjenigen Kreis, welcher die Tangente D und nebstdem die Gerade A
im Puncte a -berührt, so osculirt er hier den Kegelschnitt imd ist der
verlangte Erümmungskreis.

Und umgekehrt: Sind A und D zwei conjugirt« gemeinschafüiclie
Tangenten zweier gegebenen Kreise A* tmd 8', berührt A den ersteo
Kreis in a, und legt man an den zweiten Kreis die mit A parallele Tan-
gente, welche ihn in a berührt, und beschreibt sodann den Kegelschnitt,
welcher die Kreise in den genannten Puncten a, a und zudem auch noch
die Gerade D berührt, so osculirt derselbe den Kreis A* im Puncte o.
Der Kegelschnitt ist Ellipse oder Hyperbel, jenachdem A und D äussere
oder innere gemeinschaftliche Tangenten der Kreise sind.

xni.

Einem beliebigen Kegelschnitte können ipsbesondere solche Dreiecke
umschrieben sein, deren Seiten von ihm und von drei dem Dreieck einge-
schriebenen Kreisen in den nämlichen Puncten berührt werden. Und ist
umgekehrt ein beliebiges Dreiseit gegeben, so giebt es vier ihm einge-
schriebene Kegelschnitte, welche seine Seiten mit je drei der ihm einge-
schriebenen vier Kreise in den gleichen Puncten berühren. Behalten wir
die vorige Bezeichnung der vier Kreise, die einem beliebigen Dreiseit ABV

:IlJ

Geometrische Betrachtungen und Lehrsätze. 709

perbeln. Die Ellipse liegt innerhalb des Dreiseits; von jeder Hyperbel
liegt ein Zweig in einem Scheitelwinkel des Dreiseits und berührt dessen
Schenkel, also die Verlängerungen der betreffenden beiden Seiten, der an-
dere Zweig liegt unt<5r der jedesmaligen dritten Seite und berührt sie.
Um die je drei Puncte, in welchen die Seiten von einem der vier Kegel-
schnitte berührt werden, leicht und sicher zu erkennen, dient folgendes
Merkmal :

Die vier Puncte, in welchen jede Seite berührt wird, liegen paarweise
gleich weit von ihrer Mitte ab. Sind a, ß, 7 die Mitten der Seiten Äy B,
C, 80 ist

ot^ = aa und ab = ac; ^k^ = ßij und ßa, = ß<?, ;

T*8 = ifc, und ^a^ = ^b^.
Geht man nun von den drei Berühruiigspuncten eines der Kreise aus,
und nimmt diejenigen Puncte, welche mit ihnen gleich weit von den Mitten
abstehen, so hat man die drei Berührungspuncte eines der vier Kegel-
schnitte, so dass also in dieser Hinsicht jedem Kreis ein' bestimmter Kegel-
schnitt entspricht, und zwar entsprechen sich

K' und E\ Ä' und H\ B' und J7,% C» und Hl

Aus dieser gegenseitigen Lage der Berührungspuncte, verbunden mit
dem Umstände, dass die in den Mitten a, ß, y auf die Seiten errichteten
Lothe sich im Mittelpunct N des dem Dreiseite umschriebenen Kreises
N^ treffen, folgt zugleich, dass auch die Normalen jedes Kegelschnittes in
dessen drei Berührungspuncten sich in einem Puncte treffen müssen, welcher
allemal mit dem Mittelpuncto des entsprechenden Kreises und mit dem
Puncto N in einer Geraden liegt, und zwar jene beiden gleich weit von
diesem abstehend. Werden die Mittelpuncto der Kreise iT', A\ ß', C
durch iEJ,, -4^, JB^, C^ und die Treffpuncte der je drei Normalen der
Kegelschnitte E\ H\ H^, Hl durch ^^, Slo, So, 60 bezeichnet, so
gehen also die vier Geraden K^^^^ -^o^^o» ^0^0» ^o®o durch den Punct
Ny und jede wird durch ihn gehälftet. Somit sind die Vierecke K^A^B^C^
und Äoäto^o^o gleich und haben N zum Symmetralpunct. Da jede der
12 Normalen zugleich auch zu je einem Kreise normal ist, so gehen sie
zu drei durch die Mittelpuncte der Kreise, oder mit einem Worte: die
Normalen fallen auf die 12 Geraden, welche die einander nicht .ent-
sprechenden Ecken der Vierecke paarweise verbinden. Diese 12 Geraden
sind alle gleich lang, daher ist jede Ecke des einen Vierecks der Mittel-
punct des Kreises, welcher durch die drei ihr nicht entsprechenden Ecken
des anderen -Vierecks geht^ und die auf diese Weise bestimmten 8 Kreise
sind gleich, und zwar ist ihr Radius dem Durchmesser des Kreises N^
gleich.

Man bezeichne die Ecken des gegebenen Dreiseits ABC durch abc,

710 ' Geometriscbo Betrachtungen und Lehrsätze.

nämlich so, dasa die gleichnamigen Seiten untl Ecken einander gpgenül>er-
liegen. Die drsi Paar Strahlen, welche die inneren and äusseren Winkd
des Dreiecks hälften, nod wovon jedes Paar sich rechtwinklig schneidet,
sind die drei Paar Gegenseiten des voUatändigen Vierecks A^B^C^K^,
dessen Ecken die Mittelpunctc der vier dem Dreieck eingcschricbcneii
Kreise sind. Die Strahlen bilden zu drei und drei vier Dreiecke A^,B„C^,
A^B^K^,, Cg A^ Kg, BgCglQ, die alle dem Dreieck abc umscbriebon sind, uül
wovon jedes die Eclieii des letzteren zu Fusapuncton seiner Hohen, sovie
die jedesmalige vierte Ecke des Vierecks, beziehlich K^, C,, B^, A^ vma
HöhcDschnitt hat. Jedem der vier Dreiecke kann demnach ein Eegclschnitt
eingeschrieben werden, welcher seine Seiten in den Puncten atc berfihrt,
und dessen Normalen in diesen Puncten 'auf die Höhen dos jodesmahgen
Dreiecks fallen. Wir wollen diese Regelschnitte, die zugleich alle dem
Dreieck a&c umschrieben sind, beziehlich mit €', ^*, $|, $' bezeichnen; m
sind der Bezeichnung gemäss eine Ellipse und drei Hyperbeln und ent-
sprechen nach der Reihe den obigen Kegelschnitten EP, H ', H*, H\ zu-
nächst in der Hinsicht, dass die beiderseitigen Treffpunote der je drei Nor-
malen einander entsprechende Ecken der sich gleichen Vierecke K^A^B^C,
und fg3[g33a@0 sind; so z.B. troffen eich die Normalen von @' in j^
und die von £• in Ä^.

XIV.
Aus allen diesen Angaben folgt: das Dreieck a'bc (^^Drciscit ABC)
hat in Bezug auf die ihm eingeschriebene Ellipse E* die Eigenschaft, da»
die Normale der Ellipse im Berührungspuncte jeder Seite mit den beiden
Strahlen, welche die der Seite anliegenden Aussonwinkel des üjeieck«
hälften, in einem Puncto zusammentrifft (resp. in A^, B^, C^, so das.«
also das Dreieck zufolge eines früher publicirten Satzes unt«r allen der

Geometrische Betrachtungen und Lehrsätze. 711

i/* berührt jo zwei der Seiten des Dreiecks in ihren Verlängerungen und
die dritte zwischen ihren Endpuncten, die Summe jener weniger dieser ist
die zu beachtende Differenz. Und bei joder der drei umschriebenen Hy-
perbeln $', ^* , ^l geht der eine Zweig durch zwei Ecken des Dreiecks,
und der andere Zweig durch die dritte Ecke; die zwischen jenen zwei
Ecken liegende Seite, von der Summe der beiden anderen Seiten abgezogen,
giebt die fragliche Differenz.

Wenn nun aber das Dreieck abc, als der Ellipse E^ umschrieben,
kleinsten Umfang, als der Ellipse @' eingeschrieben, grössten Umfang hat,
so müssen die Ellipsen nothwendig confocal sein, und es giebt eine Schaar
Dreiecke, die ihnen gleicherweise beziehlich um- und eingeschrieben sind,
und welche mit dem gegebenen Dreieck gleichen Umfang haben, der rück-
sichtlich der ersten Ellipse ein Minimum, rücksichtlich der zweiten hin-
gegen ein Maximum ist. Aus gleichen Gründen muss jedes der drei Paar
Hyperbeln iZ' und ^\ H^ und ^J, U^ und ^\ confocal sein, und es giebt
rucksichtlich jedes Paares eine Schaar Dreiecke, die ihnen in gleicher Art
wie das gegebene um- und eingeschrieben sind, und deren Seiten, in ent-
sprechender Ordnung verbunden, dieselbe Differenz geben, wie die Seiten
des gegebenen Dreiecks, und wo diese Differenz in Betracht der ersten
Hyperbel ein Maximum, dagegen in Betracht der zweiten ein Minimum ist.

Anmerkung. Man vergleiche die Abhandlung: Elementare Lösung
einer geometrischen Aufgabe, und über einige damit in Beziehung stehende
Eigenschaften der Kegelschnitte. (Monatsbericht der Berliner Akademie
vom April 1847, OrelW^ Journal Band 37, Band H. d. Ausg. S. 389.)

XV.

Die wesentlichsten Resultate, welche aus dieser Betrachtung hervor-
gehen, sind in etwas veränderter Ordnung folgende:

1) Ist ein beliebiges Dreieck abc oder Dreiseit ABC gegeben, so gieb es
allemal vier Paare confocaler Kegelschnitte, wovon der eine dem Dreieck ein-
geschrieben und der andere umschrieben ist ; das eine Paar besteht aus El-
lipsen, E^ und 6', die drei anderen Paare aus Hyperbeln, H^ und ^',
Il\ und ^] , H^ und ^\ . ßücksichtlich jedes Paares giebt es eine Schaar Drei-
ecke, zu denen das gegebene jedesmal mitgehört, welche demselben zugleich
um- und eingeschrieben sind; bei dem Paar Ellipsen haben alle Dreiecke
gleichen Umfang, und zwar ist derselbe in Bezug auf die eingeschriebene El-
lipse E^ ein Minimum und in Bezug auf die umschriebene @' ein Maximum,
bei jedem Paar Hyperbeln, haben alle Dreiecke gleiche Differenz zwischen
der Summe zweier Seiten und der dritten Seite, und zwar ist diese Diffe-
renz in Betracht der eingeschriebenen Hyperbel ein Maximum und in Be-
tracht der umschriebenen ein Minimum.

712 Geometrische Betracbtuugen und Lehriütie.

2) Die vier eingeschriebenen Kegelschnitte B*, B\ üf, i/* berühren
die Seiten dos Dreiecks aic mit den ihm eingeschriebenen vier Kreisen
K', A\ B*, C in Jon gleichen zwölf Pnncten. Die drei Normalen jedes
der vier Kegelschnitte in seinen drei Berühnmgspuncten treffen sich in
einem Puncte, bezichlich in Ä,,, Sl,,, S,, %; alle zwölf Normalen, aaiets
combinirt, treffen sich auch zu drei und drei in den Mittelpuncten K^, A,,
6g, C^ der vier Kreise und zwischen den beiderseitigen Treffpuncten sind
alle zwölf Normalen gleich lang; daher ist jeder der letzteren vier Poucte
der Mittelpunct eines neuen Kreises, welcher durch Je drei der ersteren vier
Puncte geht, sowie jeder von diesen Mittelpunct eines Kreises ist, welcher
durch je drei von jenen geht, und diese acht Kreise sind gleich. Zudem
sind auch die Vierecke K^A^B^C^ und J^^SK^Soßg gleich und haben den
Mittelpunct N des dem gegebenen Dreiecke umschriebeneä Kreises N* znin
Symmetralpunct« , so dasa die ihre Entsprechenden Ecken verbindenden
vier Geraden Ä^Äm -^o^, ^t^n ^ii%, durch diesen Punct N gehen
und durch ihn gehälftet werden; die drei Paar Gegenseiten jedes der beiden
Vierecke schneiden einander rechtwinklig, die des ersten schneiden sich in
den Ecken des gegebenen Dreiecks abc, die des anderen in den Ecken
eines gleichen Dreiecks a, b, c, , das mit jenem in Bezug auf den Fonct
N symmetrisch liegt; femer schneidet jede der sechs Seiten des einen
Vierecks je eine Seite des anderen rechtwinklig, und der Schnittpunct tl
und die sechs Ecken der beiden Dreiecke abc und a,b,c, liegen zusammen
im Kreise N', dessen Durchmesser dem Radius der genannten acht gleichen
Kreise gleich ist.

3) Die vier umschriebenen Kegelschnitte @', ^*, ^*, ^* haben in
den Ecken des Dreiecks abc die dr^i Paar Strahlen, welche die Winkel
derselben hälften, zu Tangenten und Normalen, so dass jede zwei Kegel-
schnitte sich in je einer Ecke berühren und in den beiden anderen Ecken
rechtwinklig schneiden. Die drei Normalen jedes der vier Kegelschnitte

Geometrische Betrachtim^n und Lehrsätze. 718

ZU dou Ellipsen gehören, findet mau

u = 2^ V^-=7» = 2 ly^ Yb^\

Unter diesen Dreiecken hat dasjenige den grössten Inhalt, welches eine
Ecke im Scheitel der grossen Axe der Ellipse 6' hat, hiugegen dasjenige
den kleinsten Inhalt, von welchem eine Ecke im Scheitel der kleinen Axe
liegt, und zwar ist das

Maximum = A(a+a) l/^-^=V = -^±^ ß j/«*^'
und das

Minimum = ^ (b-h?)Vb^^' = |^ a\b^\

Für jedes der drei Paare cpnfocaler Hyperbeln hat man die zwei Gleichungen

a'+6' = a*-hß' = ^' und — — f-=l,

a b

und für die constante Differenz d rücksichtlich der Seiten der zugehörigen
Schaar Dreiecke hat man

5) Von den beiden gleichen Vierecken K^A^B^C^ und ^o^o^o^o
(in 2)) soll noch eine Eigenschaft erwähnt werden:

Je zwei sich entsprechende Ecken beider Vierecke sind die Brenn-
puncte eines Kegelschnittes, der den beiden Dreiecken eingeschrieben ist,
welche durch die beiderseitigen übrigen drei Ecken der Vierecke bestimmt
werden; die Hauptaxe des Kegelschnittes ist allemal ein Durchmesser des
Kreises JV*, so dass alle vier Kegelschnitte mit diesem Kreise concentrisch
sind, und jeder von ihm in den Scheiteln seiner Hauptaxe berührt wird.
Nämlich die Ecken K^ und Äo sind die Brennpuncte einer Ellipse, welche
den Dreiecken A^B^C^ und 3lo33o6o eingeschrieben ist, dagegen sind die
Eckenpaare -4^, und 3lo, B^ und 33o, C^ und 6^, die Brennpuncte dreier
Hyperbeln, welche resp. den betreffenden je zwei Dreiecken eingeschrie-
ben sind.

Lässt man eine Ecke des anfanglich gegebenen Dreiecks abc, etwa
a sich in's Unendliche entfernen, während die Seite A und ihre Endpuncte
b und c fest bleiben, so werden die Seiten B und C parallel, und von den
eingeschriebenen vier Kreisen bleiben nur zwei, K* und A^^ und ebenso
von den vier Paaren confocaler Kegelschnitte nur zwei Paar, nämlich E^
und 6*, H* und ^* übrig, und zwar sind beide Paare in Parabeln über-
gegangen. Und noch mehr: die eingeschriebenen Parabeln -E', H^ haben
sich auf ihre Axen reducirt; die beiden umschriebenen Parabeln &\ ^'
schneiden sich in den Ecken b und c rechtwinklig, sie sind gleich, ihre

714

Geoiaetriscbe BetracbtUDgea und Lefarsitze.

Axeii sind parallel, und zwar den Seiten B and C parallel, aber sie liegpn
verkehrt, crstrocben sich nach entgegengesetzten Seiten hin, ihre Brennpuncte
liegen beziehlich in den Bcriihrungspunctcn a, k der Seite A mit dn
Kreisen A' und K', und ihre Leitliuien gehen durch die Mittelpuncte difser
Kreise.

Also: Bei, alten einer gegebenen Parabel eingeschriebenen Dreiecken
von grösstem Umfange geht die eine Seite A durch den Breonpunct der
Parabel und die beiden anderen Seiten B und C sind der Axc parallel. —
Einer eigentlichen, nicht auf ihre Axe reducirten Parabel kann keiD Dreieci.
umschrieben sein, dessen Umfang ein Minimum ist.

Bemerkung. Sind zwei ungleichartige Kegelschnitt« coofocal, so
kann niemals ein Dreieck dem einen um- und zugleich dem anderen ein-
geschrieben sein. Hingegen sind Vierecke auf diese Weise möglich.

Sind eine EIIIp.so £' und eine Hyperbel ^* confocal, sind a und b,
a und ß bczieblich ihre IlalbaxcD und e ihre Excentricität, so dass

und sollen Vierecke der Ellipse umscbriobeD werden können, welche ni-
gleich der Hyperbel eingeschrieben sind, so muss zwischen den Axen SiA-
gendc fernere Relation statthaben:

und —z — 3i- =

oder
und

a(<._J),

= 6(0—6)

Sollen dagegen die Vierecke der Ellipse eingeschrieben und der Hyperbel
umscLrieben sein, so muss sein

a' = c!(«+p); J' = e|

rreoinotrischo Hetrachtungen und Lehrsätze. 715

XVI.

Gleichwie im ersten Theile der vorliegenden Entwicklungen die an-
fängliche Betrachtung später allgemeiner aufgefasst wurde, so können auch
hier die unter X. — XIII. enthaltenen Sätze verallgemeinert werden; auch
lassen sich aus den beiderseitigen Sätzen durch Polarisation viele neue ab-
leiten. Aus der grossen Anzahl von Sätzen, zu denen man auf diese
Weise gelangen kann, sollen hier nur folgende hervorgehoben werden.

Werden einem gegebenen Kegelschnitte m} irgend drei Winkel A%
ßS, 6^ umschrieben, deren Scheitel in einer gegebenen Geraden M liegen,
und werden in dieser Geraden zwei beliebige Puncto r, 5 gewählt, so giebt
es vier Gruppen von je vier Kegelschnitten, welche beziehlich den vier
Dreiseiten ABC, -^S36, -B(S2l, C'SUB eingeschrieben sind und sämmtlich
durch die beiden Puncte r und s gehen, und von diesen Kegelschnitten
haben vier mal vier, je aus jeder Gruppe einer, mit dem gegebenen Kegel-
schnitte m* zusammen irgend eine Tangente D gemein. Ebenso giebt es
vier Gruppen von je vier Kegelschnitten, welche den vier Dreiseiten 31336,
SlßC, ^ACy ^AB eingeschrieben und sämmtlich durch die beiden Puncte
r, 8 gehen, und von denen vier mal vier mit dem Kegelschnitte vi^ zu-
sammen eine Tangente b gemein haben. Die vier Tangenten b ent-
sprechen nach bestimmter Ordnung den vier Tangenten 2>, und die sich
entsprechenden schneiden einander auf der Geraden M. Ferner giebt es
zu jeder der acht Gruppen von vier Kegelschnitten, welche beziehlich den
genannten acht Dreiseiten eingeschrieben sind, allemal noch einen solchen
fünften Kegelschnitt, welcher alle vier Glieder der Gruppe berührt und
gleichfalls durch die Puncte Vy s geht.

Ist m der Pol der Geraden M in Bezug auf den gegebenen Kegel-
schnitt ?»', und zieht man durch denselben irgend zwei Gerade R und S,
so haben die vier Kegelschnitte, welche beide Gerade berühren und be-
ziehlich den vier Dreiseiten ABC, ^336, i?68l, CW& eingeschrieben sind,
mit dem gegebenen Kegelschnitte zusammen eine Tangente D gemein, und
gleicherweise haben die vier Kegelschnitte, welche dieselben Geraden be-
rühren und beziehlich den vorgenannten anderen vier Dreiseiten einge-
schrieben sind, mit dem Kegelschnitte w' zusammen eine Tangente b
gemein, und beide Tangenten D und b schneiden sich auf der Geraden M,

Gehen drei Sehnen, aa, iß, c^ des gegebenen Kegelschnittes vi^ durch
irgend einen Punct m, und zieht man durch diesen Punct zwei beliebige
Gerade R und S, so giebt es vier Gruppen von je vier Kegelschnitten,
welche beziehlich den vier Dreiecken abcy aßy, h^a^ «xß umschrieben und
sämmtlich dem Winkel RS eingeschrieben sind, und von diesen Kegel-
schnitten haben vier mal vier, je aus jeder Gruppe einer, mit dem ge-
gebenen Kegelschnitte zusammen einen Punct d gemein; ebenso giebt es

716

GeoiuetrUrliu Beirut liliiu^«D unti Luhraätze.

vier Gruppon von jo vier Kogelschnitton, welche den vier Dreiecken aß;,
abc, ßco, "(ab umschrieben und Hämmtlich dem Winkel RS eingeschricbMi
sind, und von deuen vier mal vier mit dem Kegelschnitte m* zusammen
einen Punct S gemein haben; joder der vier letzteren Puncto 8 entspricht
einem der vier ersteren Puncte d derart, dass die sie verbindende Gerade
durch den Punct m geht. Auch giebt es zu jeder der acht Gruppen von
vier Kegelschnitten, die demselben Dreieck umschriebeD sind, einen solchen
fünften Kegelschnitt, welcher alle vier Glieder der Gruppe berührt und
gleichfalls dem Winkel RS eingeschrieben ist

Construction der durch neun gegebene Puncte
gehenden Fläche zweiten Grades.

Borcbardt's Jouraal Band LXVIII.- S. 191 — 192.
(Nach binterlassenen Hanuscripten iSMtner's dargestellt von C. F. Geiser.)

Construction der durch neun gegebene Puncte
gehenden Fläche zweiten Grades.

Die Aufgabe, eine Fläche zweiten Grades durch neun im Räume be-
liebig gegebene Puncte zu legen, ist bekanntlich durch die Herren Hesse
(Bd. 24 des Cr^ZZ^^schen Journals), Seydewitz (Bd. 9 des G^w^ri^'schen
Archivs) und Schroter (Bd. 62 des JBor<?Aard^'schen Journals) gelöst worden.
In den hinterlassenen Manuscripten Steiner"*^ ist nun ein mit kurzen No-
tizen versehenes Quartblatt vorhajiden, welches zeigt, dass Steiner bereits
im Jahre 1836 zwei verschiedene Constructionen dieser Fläche gefunden
hatte, die er aber nicht veröffentlichte, weil die zugehörigen Beweise nicht
vollständig und einfach genug und die Constructionen nicht linear waren.
Während, wie es scheint, die von Steiner als zweite dieser Lösungen be-
zeichnete Construction nicht auf die nöthige Einfachheit gebracht werden
kann und sich deshalb zur Veröffentlichung nicht eignet, ist es gelungen,
mit einigen Abänderungen und Vervollständigungen die erste derselben
in eine Form zu bringen, welche, trotzdem die gesuchte Fläche nicht linear
hergestellt wird, doch mit so geringen Mitteln zum Ziele führt, als man
überhaupt bei der complicirten Aufgabe erwarten darf. Ihrer Darstellung
ist die nachfolgende kurze Mittheilung gewidmet.

Wenn den neun gegebenen Puncten in einer beliebigen Reihenfolge
die Zahlen (1) bis (9) zugefügt werden, so lege man zuerst die Ebenen
(123), (456), (789), die man resp. mit I, II, III bezeichne; ihr geipein-
schafüicher Durchschnittspunct heisse S. Die Schnittgeraden von II und
ni, III und I, I und 11, welche Ay B, C heissen sollen, stehen nun zu
der gesuchten Fläche /^ in der nachstehenden Beziehung: Jede der Ebenen
I, n, ni hat mit/, einen Kegelschnitt gemein, und für diese Kegelschnitte,
zu je zweien genommen, sind die Geraden A, By C gemeinschaftliche
(reflle oder ideelle) Sehnen; kann man umgekehrt durch die Puncto 123,

720 Conatniction der Piäche zweiten Gradw durch neun Ptmcte.

456, 789 drei Kegelschnitte legen, für welche Ä, B, C gemeinachafüiche
Sehnen sind, so liegen diese drei Kegelschnitte auf/,-

Man betrachte zunächst nur die Punct« (1) bis (8). Die Gerade (23)
trifft B und C resp, in Pnncten b und c, von denen c mit (4), (5) oui
(6) einen Kegelschnittbüachel bestimmL Ein willkärlicher Kegelschnitt dem-
selben schneidet auf C ausser c einen Punct c* aua, femer ei^iobt dieser
Kegelschnitt (456cc') auf A zwei Puncte a nnd a' , welche mit (7), (8)
und b einen neuen Kegelschnitt in der Ebene III bestimmen, der die G^
rado B ausser in h noch in einem Puncte b' schneidet. Der Punct b' ktt
durch den Punct (^ bestimmt; wenn c' auf der Geraden C sich bewegt
so durchläuft b' die Gerade B, und da zu jedem c' stets ein, aber dot
ein b' gehört, und umgekehrt, so sind B und C hinsichtlich der Puode
b' und c' projectivisch. Aber b' und e' gehen gleichzeitig durch jS, d. b.
B und C »ind zugleich perspectivisch , und alle Verbind nngsgeraden ent-
sprechender b' und </ laufen durch einen und denselben in der Ebene 1
gelegenen Punct M. Fassen wir jetzt' die Geradon (23) und (^/l) als
Kegelschnitt £*, auf, der ganz in der Ebene I liegt, und welcher einen
bestimmten Punct c* auf C ergiebt, so erhält man in der angegebenen
Weise zu diesem einen Kegelschnitt K^ in der Ebene U und einen K^l-
schnitt K^ in der Ebene III. Diese drei Kegelschnitte haben die Geraden
A, B, C zu gemeinschaftlichen Sehnen, nnd gehören demzufolge einer
Flache zweiten Grades F^ an, welche durch die Puncte (1) bis (8) geht

Wiederholt man dieses ganze Verfahren, indem man statt von dei
Geraden (23) nun von der Geraden (31) ausgeht, so erhält man in den
Ebenen I, II, III drei neue Kegelschnitte K[, K[, K'^, die wieder suf
einer Fläche F^ liegen, welche die Puncte (1) bis (8) enthält- Die Flächen
F^ und F!j schneiden sich in einer durch die Puncte (l) bis (8) gehenden
Raumcurve, durch welche unendlich viele Flächen zweiten Grades gehen,
unter denen sich auch /, befindet, welche die Puncte (1) bis (9) enthält

Zwei specielle Flächen vierter Ordnung.

Nach mündlichen Mittheilungen Steiner^s.

8t«in«r't Werke. II.

Zwei specielle Flächen vierter Ordnung.

„Zieht man durch einen festen Punct (A) einer gegebenen
Fläche zweiter Ordnung (FD irgend drei Gerade, welche drei
conjugirten Durchmessern einer anderen Fläche (F^) zweiter
Ordnung parallel sind, und legt durch die drei Puncte, in
denen diese Geraden die erste Fläche ausser dem Puncte A
schneiden, eine Ebene, so geht dieselbe stets durch einen Punct
P, dessen Lage durch die beiden Flächen und den auf der ersten
angenommenen Punct völlig bestimmt ist, und welcher der Pol
von F^ in Beziehung auf die Fläche FJ und den Punct ^1 heissen
möge.*

Dieser synthetisch leicht zu beweisende Satz fahrt zur geometrischen
Erzeugung einer merkwürdigen Fläche vierter Ordnung.

Man betrachte, nachdem eine Fläche F* und in derselben ein Punct
A beliebig angenommen worden, die Gesammtheit derjenigen Flächen F%
die durch sieben feste Puncte gehen, und denke sich zu jeder von ihnen
den Pol P in Beziehung auf FJ und A construirt; der Ort des Punctes
P ist dann eine Fläche vierter Ordnung, welche die charak-
teristische Eigenschaft besitzt, dass sie von jeder ihrer Tan-
gential-Ebenen in einem Eegelschnittpaare geschnitten wird.

Untersucht man nämlich zunächst eine Schaar solcher Flächen i^',
welche eine gemeinschaftliche Schnittlinie haben, so ergiebt sich, dass
der Ort ihrer Pole ein Kegelschnitt ist.

Nun lassen sich aber die Flächen F^, die durch sieben gegebene
Puncte gehen, den Puncten einer Ebene @o in der Art zuordnen, däss
je drei Puncten der letzteren, die in einer geraden Linie liegen, drei
Flächen mit einer gemeinschaftlichen Schnittlinie entsprechen. Dann ent-
spricht jedem Puncte der Ebene 6,, auch ein Punct P, jeder ihrer Geraden

46*

724 Z*"' gpccielle Flächen vierter Ordnuig.

ein Kogelschnitt, uod jedem m ihr entlialtenen Strahlbüscliel die deGniitt
Fläche, welche also anendlich viele Schaaron von Kegelschnitten
enthält oder — was dasselbe besagt — anf noendlich vieU
ArtcD durch BeweguDg eines Teränderlichen Kegelschnittes er-
zeugt werden kann.

Fasst man femer diejenigen Poncte dieser Fläche, welche sie mit
irgend einer Ebene @ gemeinsam hat, in's Auge, so lässt sich z^gen,
dass die denselben entsprechenden Pnncte in @g eine Curve zweiter Ord-
nung bilden, woraus sich ergiebt, dass die definirte Fläche von jeder Ge-
raden iD vier PuDcten geschnitten wird, also von der vierten Ord-
nung ist.

In dem Falle, wo @ einen der angegebenen, die Fläche erzeugenden
Kegelschnitte enthält, ist die genannte Curve zweiter Ordnung in S« eis
System zweier geraden Linien, und es besteht demgemäss der Durch-
schnitt von @ und der Fläche aus zwei Kegelschnitten. Diese
Kegelschnitte haben vier gemeinsame Pnncte; in einem derselben be-
rührt @ die Fläche, und die drei anderen liegen in drei festen
Geraden, welche Doppelpunctslioien der Fläche sind nnd sioli
in einem .dreifachen PuDcte derselben schneiden.

Endlich ergiebt sich noch leicht, dass die in Rede stehende
Fläche von der dritten Classe ist.

A Q f g a b e.
Unter den Tangenten -Kegeln einer Flache zweiter Ordnung giebt e
stets Rotationskegel ; der Ort ihrer Scheitel ist bekanntlich eine Linie
Dem Rotationsiegel, welcher von allen Ebenen, die einer von seinei

lluui.t-lli; rrM,.ln.ui.|i iKir.llrl >in.l . Im Kreis i..-rli,ulhMi winl. st,-h

Anmerkungen und Zusätze

za den Abbandlungen des zweiten Bandes.

Anmerkungen und Zusätze

zu den Abhandlungen des zweiten Bandes.

Ein neuer Satz über die Primzahlen.

1) S. 12, Z. 7. Hier ist eingeschaltet: ^vom Zeichen abgesehen^.

2) S. 16, Z. 24. Im Original steht

^ (2+^)-(2+y)— 1 '*'*" -^ (2+d?)2+y-Zr'

Einfache Construction der Tangente an die allgemeine Lemniskalc.
Es musste gesetzt werden ^

3) S. 21, Z. 23 ME statt MC,

4) S. 21, leUle Z. rf+c statt d+6,

5) S. 22, Z. 13 Ä* < c' sUU Ä' > c^.

Aufgaben und Lehrsätze. (8. 27.)

6) Die Aufgaben (2, 3) sind in der Abhandlung No. 12, die Aufgaben (4, 5, 6, 7)
in der Abhandlung No. 16 dieses Bandes erledigt.

Aufgaben und Lehrsätze. (S. 35.)

7) Der Beweis der Lehrsätze (6, 7, 8) Gndet sich in den späteren Abhand-
lungen über Maximum und Minimum (No. 16 und 17 dieses Bandes).

Aufgaben und Lehrsätze. (S. 43.)

8) Auch in Betreff dieser Sätze und Aufgaben ist auf die in (7) genannten
Abhandlungen zu verweisen.

Der auf S. 44 gegebenen, auf das Dreieck sich beziehenden Tabelle hat Steiner
eine analoge, handschriftlich erhaltene und von Herrn Geiser mir milgetheiHe Ta-
belle für das ebene Viereck hinzugefügt:

728

AnmerkuDgea und ZvAtK.

„Im ebeacD Viereck ABCD (Taf. XXIII Fig. t) seien i, 2, 3, 4 die Setia-
läDgen, (12), (23). (34). (41) die von ihnen eingeschlossenen Winke); nun frigl
nach den Bedingungen, DUler denen der Flächeninhalt zu einem HaiiniuDi wiri,
wenn gegeben sind :

1) 1. 2, 3, 4.

2) H-24-3-(-4

3) (12), (23), (34); [(41)11

und 1-1-2+3+4 i

4) 1,2+3+4

5) (12), 1+2+3+4

6) 1.(41), 2+3+4

7) 1, 2, (34), 3+4

Lösung: (12)-
(12)=

8) 1, 3, (12), 2+4
») 1, 4, (12), 2+3

10) 1. (12)+(41). 2+3+4

11) (14). 2+3+4

.(34) = (23)+(41)
:(23)=(34)=(41);1 =

= 3=4

(12) = (41), (23) = (34); 2 = 3 = ^
1=2. 3 = 4; (23) = (34) = (41)
2 = 3. (23) = (34)

(12)+i(34)=-"-

(23) = (34)

(12) = (41). 2 = 4
(34) = (23) = 2(12). 2 = 3."
Zu Aufgabe (7) iu vorstehender Tabelle findet sich noch folgendes BeibUU:
„Die Rechnung gehörig angewandt ergiebl folgende Auflösung. Damit ein Tiered
(Taf. XXIII. Fig. 2) mit a, 6, a = iJ!-\-if, a, <p möglich sei, muu ^ zwischen iwd
Grenzen 9, und cp, eingeschlossen sein, d. h. es mus '?i ■<■ f < ft sein. Wh
diese von a, b, s, a abhängigen Grenzen cp, und ^, betrifft, so ei^eben sich die-
selben ebenso leicht durcli Rechnung als durch constructive Relrachtungen, weshalb
ich mich bei der Bestimmung derselben nicht aufhalte.

Dies vorausgeseLzt, kommt bei der Haximumsfragc alles darauf an, ob —

unter f , , zwischen ep, und <f^, oder über cp, liegt.

im ersten Falle findet das Haiimum statt für cp = (p, ,

„ zweiten,, „ „ (p=— _— ,

„ dritten „ „ „ ,, „ „ cp = <pj.

Mmmt man z. B. s = 2a, a = b, a ^ — , so ist ^, ^ -^ , 9^ ^ it , und

Anmerkungen und Zusätze. 729

pelteu Umfaoge des Dreiecks aß^ ^^' ^enu nun abc irgend ein anderes, dem
Dreieck ABC eingeschriebenes Dreieck isl, das bei den auf einander folgenden Uni-
klappungen successive die Lagen oijC,, a^b^c.^, ajb^c^t S^s^a» ^a^s^4» f^fiip^ an-
nimmt , so ist die aus geradlinigen Strecken zusammengesetzte gebrochene Linie
ab^c^a^b^c^a^ dem doppelten Umfange von abc gleich. Da aber ÄCund B^C^ pa-
rallel und die Strecken axL-\-a^a^ einander gleich sind» so ist der doppelte Umfang
von aß7 der Geraden aa^ gleich und demzufolge kleiner als der Zug ah^c^ajb^c^a^,
oder kleiner als der doppelte Umfang von abc.'*

Maximum und Minimum des Bogens einer beliebigen Gurve im Ver-

hältniss zur Abscisse oder Ordinate.

9) Hier musste gesetzt werden:
S. 55, Z. 10 $pitz statt stumpf,
S. 57, Z. 9 V. u. 8j statt Sy
S. 57, Z. 2 V. u. « statt «, ,
S. 57, Z. 1 V. u. 6/6, :8.^ sUtt C6:5j.

Aufgaben und Lehrsätze. (S. 65.)

10) In Betreff dieser Aufgaben und Lehrsätze ist auf die Abhandlung No. 12
d. B. zu verweisen, in der sie grösstentheils erledigt werden.

S. 71. Die unter No. 13 gegebenen Sätze enthalten wesentliche Unrichtig-
keiten. Vgl. die Schlussbemerkung.

S. 73, Z. 18 ist in dem Ausdruck von T

+a?(2a— a?)(7r — 2a) statt — x{2a — a?)(7r — 2a)
gesetzt.

Einfache Beweise der isoperimetrischen Hauptsätze.

S. 80, Z. 2 ist Inhalt sUtt Umfang,

S. 80, Z. 3 ABAD = ABCD statt BA-hAD= BC-hCD
gesetzt worden, welche Veränderungen von Steiner selbst herrühren.

Ueber den Punct der kleinsten Entfernung.

11) Zu dieser Abhandlung findet sich in den hinterlassenen Papieren Steiner*s
die folgende Notiz:

nUm die Eigenschaften des Punctes My dessen Abslände a^ by c von drei ge-
gebenen Puncten Ay By C zusammen ein Minimum sind, zu erforschen^ hat man
das gleichseitige Dreieck zu betrachten.

Es sei (Taf. XXIll Fig. 3) SI93@ ein gleichseitiges Dreieck. Aus einem be-
liebigen innerhalb desselben liegenden Puncte M fälle man Perpendikel MA :=: Uy
MB = by MC=c auf die Seiten, so ist bekanntlich die Summe dieser Perpen-
dikel constant, jener Punct M mag sein, welcher er will, so dass also, wenn
aus irgend einem anderen Puncte N die Perpendikel a, ß, ^ gefällt werden, immer

a-h6+c = a+ß-hY

ist. Zieht man nun aus N nach den Fusspuncten Ay By C der ersten Perpen-
dikel die Strahlen a, , i^ , c, , so sind diese beziehlich grösser als die Perpendikel
a, ß, Y» daher ist auch stets

Daraus wird geschlossen: Sieht man die Puncte Ay By C als gegeben an,

730 Änmerktuigeii und ZuAtta.

30 ist Jlf ihr Puncl kleinster EDtferDung, d. b. so ist die Summe der EDtfcnniBgai
des PuDCles M vod jenen drei festen Puncten kleiner als die Summe der Absliwle
jedes anderen Punctes N von denselben.

Da die Strahlen abc auf den Seiten des gleichseiligeo Dreiecks 3S@ sok-
reclit stehen, so bilden sie ■niteinaiida' gleiche Winkel, so du

Z. (ab) = (6c) = (cd) = JA =}«.
Und da der Punct A/ innerhalb des Dreiecks ABC liegt, so ist also jede- Winkd
des letzteren kleiner als ^R. Aus allem folgt der nadistehoide Satz:

Der Punct kleinster Entfernung M von drei gegebenen Panct»
A, B, C, den Ecken eines Dreiecks, von dessen Winkeln jeder kleiner
als \R ist, hat die Eigenschaft, dass die aus ihm nach den drei
Puncten gezogenen Strahlen a, b, c mit einander gleiche Winkel bildea,
so dass jeder ^R ist. Und umgekehfl:

Laufen aus einem Puncte ^ drei Strahlen a, b, c, die mit einander
gleiche Winkel, jeder ^R, bilden, und nimmt man in diesen Strahlei
drei beliebige Puncte A, B, C an, so ist jener Punct M alleraal Fund
kleinster Entfernung von diesen drei Puncten.

Der Beweis folgt indirect aus der vorangehenden Betrachtung, durch Her^
Stellung des gleichseitigen Dreiecks 9UB@. Auch ist Inr den ersten Theil ds
Salzes der Punct M leicht zu constniiren. Beschreibt man über den Seiten des
gegebenen Dreiecks ABC Kreisbogen, deren Perijdieriewinkel fiber den resp. Seit«
= 4^ sind, so schneiden sich dieselben im Puncte M.

Ist insbesondere ein Winkel des gegebenen Dreiecks ABC, etwa Winkel A,
^^R, so ßllt der Punct M mit dessen Scheitel A zusammoi, waa auch nock
aus der vorstehenden Betrachtung folgt, wenn nimlich der Punct M in der Seile
39@ des gleichseitigen Dreiecks 9[S(S angenommen wird. — Wie aber gesUltit
sich. der Satz, wenn ein Winkel des durch die drei gegd>aicn Puncte A, B, C
bestimmten Dreierks grösser ist als Ji£? Auch in diesem Falle ist Aa Scbdlel
des stumpfen Winkels zugleich der Puncl kleinster Entfernung. Indesea ist der
Charakter des Hinimutns nicht mehr im strengen Sinne vorhanden. Da dieser Fall
meines Wissens sich nirgends gehörig erörtert findet, so mögen hier nodi ein^
Bemerkungen folgen, die zu seiner Erliuterung beilragen werden.

Wird in Rücksicht der obigen Betrachtung der Punct 3f ausserhalb des gleidueitigtn
Dreiecks 3ÜB@, z- D, über der Seile SSB angenommen und wird f3r diesen Fall iet VwA
durch A/,, werden ferner die aus iJmi auf die Seilen des Dreiecks gefllllcn PcfpcndiLri

Anmerkungen und Zusätze. 731

Zur Verallgemeinerung des gefundenen Resultates dient der

Hülfssatz. Fillt man aus irgend einem Puncte P in der Fläche eines be-
liebigen, aber gleichseitigen Vielecks auf dessen Seiten Lothe, so ist die Summe der
letzteren constant, wo man auch jenen Punct annehmen mag; sie ist gleich dem
Inhalte des Vielecks, dividirt durch eine Seite desselben.

Man zieht ans ihm die

Folgerungen: 1) Der Punct P ist in Beziehung auf die Fusspuncte der aus
ihm geflllten Perpendikd der Punct der kleinsten Entfernungen von diesen letzleren.
Denn Hir jeden anderen Punct P, ist die Summe der Lothe gleich gross, mithin die
Summe der Schrägen von P, nach den ersten Fusspuncten grösser, weil jede Schräge
ab Hypotenuse grösser ist als das zugehörige Loth aus P^.

2) Da femer die Winkel, welche die Seilen des Vielecks mit einer beliebigen
Geraden Q- bilden, so beschaffen sind, dass die Summen ihrer Sinus sowohl als der
Cosinus gleich 0 ist, so findet dasselbe für die Winkel statt, welche die Gerade G
mit den Lothen aus P bildet. Es gilt also der Satz:

Sind in einer Ebene nPuncte gegeben, so ist der Punct der klein-
sten Entfernung von ihnen so beschaffen, dass die Strahlen, welche
ihn mit jenen nPuncten verbinden, mit jeder beliebigen Geraden solche
Winkel bilden, von welchen di^ Summen* sowohl der Sinus als der
Cosinus = 0 ist.

Der Satz kann auf den 'Raum ausgedehnt werden (wobei Polyeder mit Seiten-
flächen gleichen Inhalts auftreten), desgleichen auf die Kugelfläche, und ausserdem
ist es möglich, ihn von einer scheinbaren Beschränkung der Gültigkeit zu befreien.^

Vom Krümmungsschwerpunct ebener Gurven.

12) S. 127, Formel (61.) müsste

J.(C7,-HC7,H ^-ün) statt ü,+ ü^^ \-ün

stehen.

S. 137 Z. 2 ist

gesetzt worden.

+«* statt — «*

lieber Maximum und Minimum u. s. w.
Erste Abhandlung.

13) S. 187 Anmerkung.
Diese Anmerkung findet sich ebenfalls in der im LioumUe' scheu Journal ver-
öffentlichten französischen Uebersetzung der S^n^'schen Abhandlung, fehlt aber
in der späteren Reproduction derselben im O^^'schen Journal, die vielmehr an
ihrer Stdle die folgende Notiz enthält, durch welche das Historische über den Hülf-
satz (9.) des §. 8 richtig gestellt wird:

„Voyez le Tome II, p. 45 du Journal de Mr. Grelle*). — L'histoire de ce
th^r^me pr^ente une singularit6 assez remarquable. Du ä LexeUy ce thdor^me
n'a ^t6 gdn^ralement connu que par les Elements de g^om^trie de Legendre
qui, tout en Tattrihuant ä LeaeÜ ne le donne que d*une mani^re incompl^te et
paratt avoir ^t^ suivi par tous les autelirs qui en ont parl6 apr^ lui. Ayant 6t^
conduit dans le mtooire cit6 ä reconnattre, que le petit cercle, lieu des sommets
de tous les triangles Äquivalents construits sur la m^me base, passe
toujours par les deux points diam^tralement oppos^s aux extrömit^s

*) Band I, S. 101 dieser Ausgabe.

7B2 ADaierkiuif(en und Zusktze.

de la liase, je ilevais donc croire que ce compl^ment iodispenuble pour la »p-
pljcations que j'avais en vue, n'älait pas connu, et je fus conflnuä daiw ceLLe ttma
|iar lous ceux qui s'occup^eiit plus lard du meme sujet. Ce n'est que räceuuDuii
qiie Hr. lAouvilU, qui avait rendu compte du pr^ent memoire ä racadämit da
scieuces de Paris, ayanl eu l'id^e de recourir au mänoire original de Lexdl {Koi
l'etropolilaaa , 1781, I, p. 112) a reconuu que la proposition dont il s'agit y ei
i^Doncöe d'uDe mauiire complfele, ei däuonlräe de deui maniferes dilKrentea. Ui
ue saurait deviner ce qui a pu porter Legendre i mutüer le thäor^me Aoimk pir
Lexell el l'on doil £tre d'autant plus surpris que cetle circonslance aoit resUt
si longlemps inapper^iie, que la m^rne proposition a Tail le sujet d'un Diämoi»
A'Euler (Nova acta Tom, X.) oü eile se trouve d^montr^e d'uue maniire \xhs (M-
gante et purement gfomälriquc. J'ajoulerai que la dätnonatration doun^ par cd
illustre g^mitre a beaucoup d'analogie avec celle que j'ai indiqu^e lors de la [ve-
miire publicaiioD du pr^Qt memoire dans le Jouraal de Hr. LiouvUle et qni ed
loud^e sur des consid^atioDS qui appartieoDeut k la gäoiiidtrie ä trois ditaeosioos.'-

14) S. 203, Z. 18 T. u. Wenn der Inhalt kleiner wird als die Kreisflädit,
deren Umfang gleich dem gegebenen Bogen ist, so giebt es nur noch ein spili-
wiukliges Segment, wonadi die Bemerkung (I) etwas lu modificiren ist.

Ueher Haiimum und Hinlmum u. s. w.

Zweite Abhandlung.

15) S. 240, IV, 2. SUti „kleinsleu Inlialt" stdit sowohl in SUiner's Hanu-

script ab in der rranzösischen Ueherselzuug „grössten luhall". Dies beruht aber

auf einem Irrlhum, indem ein Dreieck unter den im Salze augegebaieo Bedingungen

eioen beliebig grossen Inhalt haben kann.

Es seien a, b, c die Seiten des Dreiecks, -[ der gegebene, der Seite c gega-
üherliegende Winkel desselben, und d der gegebene Werth der DiCferenz (fl.-\-b) — c.
Dann ist

c' = a'+b^ — 2aicos-|f = (a+Ä)' — 4oÄcos'-^- = (c+rf)' — Aabcas^-^ ,
(c+rf)'— c' (2<j4-d)rf

Anmerkungen und Zusätze. 733

Inhalt des Dreiecks entspricht, und dass ein Maximum dieses Inhalts gar nicht statt-
findet.

Setzt man in dem Ausdrucke von c^

c = a+6 — dy
so ergiebt sich

oder, wenn

4aÄcos'-^- — 2d(a-hb)+d^ = 0.
, dsiü -J-

cos'^ cos'-[

gesetzt wird,

(a—k)ib—k) = l\

Unter den dieser Relation genügenden Werthsystemen a, b giebt es nun zwei,
in denen a-=b ist, nämlich

und

a = k — /, b = k — /,

wobei zu beachten, dass k>l ist. Hat man nun gefunden , dass unter den in
Rede stehenden Dreiecken das gleichschenklige den kleinsten Werth von c, also
auch den kleinsten Werth von a-^-b giebt, so kann man zu dem Schlüsse verleitet
werden, dass die den Winkel ^ einschliessenden Seiten des genannten Dreiecks
gleich {k — Z) seien. Es ist aber

V a — k ) a — k

die erste Ableitung dieses Ausdruckes von ah verschwindet für a = /; — ly und
die zweite ist für denselben Werth von a negativ^ der Werth von ab also für
a = Z — ky b = l — k ein Maximum. Daraus würde dann folgen, dass für das
Dreieck, in welchem a = /: — /, b-=k — Z, nicht nur die dritte Seite ein Mini-
mum, sondern zugleich der Inhalt ein Maximum sei, wie im iS^Wr*schen Texte
steht. Der Widerspruch zwischen diesem Resultat und dem vorher festgestellten
klärt sich dadurch auf, dass die beiden Gleichungen

a+& — c = dy

c^ = a'+6' — 2aÄcosYt

wenn man a = k — ly b = k — l nimmt, nur dann mit einander zu vereinigen sind,
wenn man der Grösse c einen negativen Werth giebt. Denn es ist

cos'-^

und daher

sm
c = a-\-b — d = — ^ " ^

dl 1 — sin-i-lsii

cos' 1

734 Anmerkiuigeii und Znsitze.

durch welchen Werth von c zugleich die iweitc der vorstehenden Gleichungen be&ieügt
wird. Das Dreieck, in welchem a^k — l, b=^k~l, genflgt abo nicht ia
Bedingung, dass die Differenz zwischen der SiimDie der SeiteD o, b und der driiu
Seile des Dreiecks gleich d sein soll.

Möglicherweise ist Steiner durch den augegebenen oder einoi ihnlichn fefals-
baften Schiusa zu der talschen Aussage seines Salzes Terlntet worden.

Uehrigens findet sich diese Aussage bereits m einer fr&faereo Stelle, S. 44
d. B. in der Tabelle unter Nr. 19, so dass sie in der That auf einem wirklidia
Versehen zu beruhen sdieint.

16) S. 2S3, Z. 20 T. 0. Hier hatte Steiner im Hanuscript eunen SaU (IIL)
stehen, der rolgeodermaasseQ lautet.

„III. Ist femer insbesondere C^2n, so fallea die Seiten CA und CT vi
einander 'und der Satz heisst:

Sind alle Seiten a, b, c ... eines Vielecks gegdai, so ist sdn Inhalt en
Haiimum, wenn alle Ecken von einem Puncto C gleicfaweit abstefacD, d. fa. wen
es einem Kreise eingeschrieben ist."

Steiner hat nachträglich diesen Satz, obwohl er richtig ist, geatricben, Bit
der Bemerkung : „Dies folgt, streng genommea, nicht, denn A und T brauchen nicht
auf einander zu Ibllen." Mir scheint gleichwohl Steiner's Schliusweise wohl be-
gründet zu sein.

17) S. 253, Z. 6 T. u. Hier steht in Steiner's Hannscript nodi der von ihm
aus demselben Grunde, wie der vorsl^ende, geslricbene Sali:

III. Ist der Umfang s eines m-Ecks gegeben, so ist der Inhalt eii
Haiimum, wenn es gleichseitig und einem Kreise eingeschrieben, d.h.
wenn es regelmässig ist." Dagegen ist

18) S. 264, Z. 16 V. 0. der hieraus abgeleitete Sau (8, in.) stehen geblieben,
zu dem sich die folgende Bandbemerkung Steiner's findet:

„Da die vorigen Sätze gestrichen sind, so fehlt diesem der Grund. Man hilft
sich aber durch den Salz (I.), indem gezeigt wird, dasa keine Linie Z> = > die
Schenkel von C verbinden und so grossen Inbalt begrenzen kann wie der Kreisbogen.
Oder, wird in L ein Punct P angenommen, so miiss immer
CP = CA— CT

Anmerkungen und Zusätze.' - 735

Nun ist a der Schwerpunct der Mitten voo a mit Gewichten a. Daher ist die
aus a mit den Geraden p parallel gezogene Gerade a ß, multiplicirt mit der Summe
aller a, d. h. mit P, gleich ^{pa) gleich Sj oder

aß.2(a) = 2(j?a).

Mag sich daher B um den festen Punct ß drehen, wie es will, so hieibt S coo-
stant. Und wird B auf einen Augenblick senkrecht zu der Säule angenommen
und ^ um a gedreht, so bleibt S wieder constant, daher auch wenn A und
B beide schief sind."

21) S. 305. Zu der die No. 72 begleitenden Note Gndet sicli in Steiner's
Nachlass die folgende Ausführung:

nZu diesen Ausnahmen gehören z. B. , wie ich bereits an einem andern Orte
angegeben habe*), folgende zwei : 1) wenn von den drei Winkeln a, ß, ^ zwei rechte

sind , und 2) wenn der dne gleich — und jeder der übrigen gleich — ist. Ausser

diesen zwei Fällen hat nun Herr Stud. Glausius noch zwei andere gefunden und
zugleich gezeigt, dass weiter keine anderen möglich- sind. Seine Fälle sind : 3) wenn

die Winkel -— - , --- , -— , und 4) wenn sie -— , -5- , — betragen.
2 3 4 X u o

In diesen vier Fällen ist die Zahl der Symmetralebenen und ihre Beziehung

zu einander folgende:

1) Es seien von den drei Winkeln a, ß, 7 zwei rechte, etwa a = ß = —

und der dritte f beliebig. Ist dann 1) ^ mit ir commensurabel, f n: = i :my
so finden im Ganzen 9n+i Symmetralebenen statt, nämlich Z und ausserdem m, die
durch die Gerade z gehen. Und ist 2) f mit tz incommensurabel, so ist jede durch
z gehende Ebene eine Symmetralebene, so dass z eine Symmetralaxe ist und ^noch eine
besondere Symmetralebene. Im Falle 1) ist der Körper in seiner einfachsten Gestalt
ein regelmässiges 77»-seitiges Prisma oder eine regelmässige symmetrische 771-seitige
Doppelpyramide, und im Falle 2) ein gerader Cylinder oder ein gerader sym-
metrischer Doppelkegel.

2) Wenn die Winkel a, ß, 7 beziehlich -j-, — , -— sind, so hat der

* 0 0

Körper im Ganzen 6 Symmetralebenen, die sich zusammen in einem Puncle C
und einzeln zu zweien in 3 Geraden G^ unter Winkeln — , und zu dreien in

4 Geraden G^ unter Winkeln — schneiden. Die einfachste Gestalt des Körpers ist

ein regdmässiges Tetraeder. Denkt man sich um den gemeinschaftlichen Punct C
der sechs Symmetralebenen eine Kugelfläche beschrieben, so wird diese von jener

in 24 gleiche Dreiecke zerlegt, deren jedes die gegebenen Winkel -k~> ~^* "^

hat; um 6 Puncte P, liegen um jeden 4, und um 8 Puncte P, liegen um jeden 6 Drei-
ecke; die Puncte rfihren beziehlich von den 3 Geraden G^ und den 4 Geraden G^ her.

IC 7C It

8) Wenn die Winkel -5-. -^t -T **"^» *>2t der Körper im Ganzen 9 Sym-

« o 4

metralebenen, die sich zu 2 in 6 Geraden G^, zu 3 in 4 Geraden G^ und

*) Einfache Beweise der isoperimetrischen Lehrsätze (S. 91 dieses Bandes).

736 Anmerkni^en iind Znsitie.

lu 4 in 3 Geraden G, schneideo. Die eiDbcfastcn Ponnen des Körpas sind der
WQriel und das regelmissige Oktae^ler Die um den DDrchscbnilbpimct C iir
Ebenen beschriebene Kugelfliche wird von denselben in 48 gleiche Dreiecke getfaeilt,
welche die gegebenen Winkel haben. Sie bilden ein Nelz von 26 Puncten; nm 1!
dersdben liegen um jeden 4 Dreiecke, um 8 um jeden 6, und um 6 nm jeda
8 Dreiecke.

4) Wenn die Winkel -^t -^. ^ sind, so hat der Körper im Gmm

15 Symmetralebenen . die acb tu 2 in 15 Geraden A^, in 3 in 10 Geradeo J,
und zu 5 in 6 Geraden A^ schneiden. In seiner einTachslen Form kann der Körp<r
ein regelmässiges Dodekaeder oder ein Ikosaeder sein. Die Kugelfläche C wird tm
den 15 Symmelral ebenen in 120 gleiche Dreiecke mit den gegebenen Winkeln iv
scbnitten, die ein Netz von 62 Punclen bilden, welche von den Geraden G,, G^, ff,
herrühren; nämlich um 30 Puncto P, liegen die Dreiecke ni 4, um 20 Puncte P,
zu 6, und um 12 Puncte P^ zu 10.

Ueber die drei S^eme (2), (3} and (4) sind femer folgaide Eigenschafia
anzugeben ;

System 2. Wird hier irgend ein Punct a angenommen, so entsprechen An
zunächst vcrmüge der 6 Symmelralebenen 6 Puncte; diesen wieder, vermöge dtr-
selben Ebenen, 18 Puncte (mit Einschluss von a), so dass also im Ganzen 24 PuncU
a in Belraclil kommen, welche in Rücksicht der sechs Ebenen einander entspredin.
Die 24 Puncte haben solche l^ge:

a) dass sie in einer KugelOäche C liegen und iwar homologe Puncte in dei
oben genannten 24 Dreiecken sind;

ß) dass 8-mal 6 in einer Ebene liegen; die 8 Ebenen bilden ein r^dmäuiga
Oktaeder und zerfallen in zwei Abiheilungen von 4 und 4. Die 4 Ebenen jeder Ab-
IbeiluDg enthalten zusammen alle 24 Puncte ond bilden ein reguläres Tetraeder. Fokt
liegen die Puncte zu 4 und 4 in 6 Ebenen, ond diese hildm einen Würfel; die
durch je 4 der Puncto bestimmten Vierecke sind Rechtecke; diese 6 und die n>-
rigen 8 Ebenen begrenzen einen Körper, der die 24 Puncte zu Ecken hat, nnd desseo
Flächen 6 Rechtecke und 8 Sechsecke sind. Die 8 Sechseckebenen sind paarweise
zu den 4 Geraden G^ senkrecht und somit unter sich parallel, die 6 Rediled-
ebenen sind paarweise zu den 3 Geraden G, senkrecht und mithin ebenfalls miter
sieb parallel.

Eine Ebene schneidet das ganze Symmetralsystem in einem vollständigen Vieretk.

Anmerkungen und Zusätze. 737

Polarliuien der 6 Symmetralebenen, auf denen sie senkrecht stehen ; . ebenso sind die
6 Piincte ß (oder das vollstindige Vierseit, dessen Ecken sie sind) die Pole der Seiten
des vorgenannten Vierecks. Die 4 Ebenen, in welchen die 6 Strahlen i zu 3 liegen,
stehen auf den obigen 4 Axen oder Geraden G, senkrecht ; letztere sind beim Würfel
die Eckaxen und beim Tetraeder die Flächenaxen; die 3 Geraden G^ sind beziehlich
das Umgekehrte.

System 3. Eine Kugel um C wird hier in 48 gleiche Dreiecke mit den

gegebenen Winkeln ir» "5"» "r C>etheilt; um 6 Puncte P. liegen die Dreiecke zu

2 3 4 '

8, um 8 Puncte P, zu 6 und um 12 Puncte P, zu 4; diese Puncte kommen von
den Geraden G, , 69^,, G^ her. Jeder angenommene Punct a gehört zu einem
System von 48 Puncten, welche einander in Bezug auf die 9 Symmeiralebenen ent-
sprechen, allemal in einer Kugelfläche liegen und homologe Puncte in den 48 Drei-
ecken sind. Gemäss den 26 Puncten P^, P,, P, liegen von den 48 Puncten a:
a) 6-mal 8, ß) 8-mal 6 und 7) 12-mal 4 in einer Ebene. Die 6 Ebenen (a)
bilden einen Würfel, die 8 Ebenen (ß) ein Oktaeder und die 12 Ebenen (y) ein
Rhombendodekaeder. Ferner: die (a) bilden mit den (ß) einen 14-Flächner, be-^
grenzt von 6 Quadraten und 8 regelmässigen Dreiecken, die (a) mit den (y) einen
18-Flächner (6 Quadrate und 12 Sechsecke), die (ß) mit den (7) einen 20-Flachner
(8 Dreiecke und 12 Sechsecke) und endlich die (a), (ß), (7) zusammengenommen
einen 26-Flächner (6 Achtecke, 8 Sechsecke und 12 Vierecke). Damit hat man 7
verschiedene Polyeder erhalten.

Die Ebenen (ß) und (7) können abwechselnd und nur zur Hälfte genommen
werden (Hemiedrie). 4 Ebenen (ßj bilden das Tetraeder, 6 Ebenen (^J das
Hexaeder; die 4 Ebenen (ß,) mit den 6 Ebenen (a) eine vorkommende Krystall-
gestalt, ebenso M mit (a); (7,) mit (ßj; (ß,), (^J und (a); (ßj mit (7);
(ß) «it (T,); (ßJ mit (a) und (y); (^J mit (ß) mid (a).

Die 9 Symmetralebenen zerfallen in 2 AbtheUungen von 3 Ebenen A und
6 Ebenen B. Wird insbesondere der Punct a in einer Ebene A angenommen, so
entstehen nur 24 Puncte a; gemäss den Puncten P^, P, liegen 6-mal 4 und 8-mal
6 in einer Ebene a oder ß; diese Ebenen bilden einen Körper, begrenzt von 6 Qua-
draten a und 8 Sechsecken ß. Wird a in einer Ebene B angenommen, so kann
es auf zwei Arten geschehen: zwischen P, und P, oder zwischen P, und P^;
in beiden Fällen giebt es 24 Puncte a. Im ersten Falle liegen 6-mal 8 in einer
Ebene a und 8-mal 3 in ß, die 12 Ebenen ^ verschwinden wie vorhin. Im
zweiten Falle liegen 6-mal 4 in a, 8-mal 3 in ß und 12-mal 4 in 7. Fällt
endlich a in P,, so giebt es nur 12 Puncte a, und sie liegen 6-mal 4 in a und
S-mal 3 in ß; diese 6-f-8 Ebenen a, ß bilden einen Körper, der ein enteckt er
Würfel oder ein entecktes Oktaeder ist.

Die unter den 48 sphärischen Dreiecken liegenden ebenen Dreiecke bilden den
48-Flächner (Hexakisoktaeder). An jeder Kante P,P4 liegen zwei Dreiecke, die
zwei Puncte P, zu Spitzen haben; lässt man die beiden P, sich gleichmässig
heben, bis die Dreiecke in einer Ebene liegen, so bilden sie ein gleichschenkliges
Viereck P^P^P^P^; die kleineren Schenkel liegen an P, die grösseren an P^.
Dadurch entsteht ein Krystall mit 6, 8 und 12 Ecken P^, P, und P, und mit
24 Flächen g, welche gleichschenklige Vierecke sind ; er ist nicht mehr einer Kugel
eingeschrieben, wohl aber umschrieben. Das System der 24 Grenzflächen g, mit den
früheren combinirt, giebt verschiedene vorkommende Krystallformen.

Lässt man ferner je zwei Dreiecke, die an eine Kante P^P^ stossen, in eine
Ebene fallen (in ein Dreieck übergehen), so kommen die Ecken P, in Kanten zu

8t«ln«r'B Wwkt. U. 47

738 AnmerkuDgeD und ZmMze.

liegen und verschwiadeo , so dass der Krystall 6+8 Ecken und 24 Dreieck« ik
Flächen hal (Tetrakisheiaeder). Fallen je zwei Dreiecke an den Kaulen -PjP, ■ '
eine Ebene (in ein Ureieek), so verschwinden wieder die Ecken P, und es enütkl
dax Triakisoklaeder mil 6 sechskantigen und 8 dreikanligen Ecken und 24 dni-.
eckigen FlacheD. — Fixirt man von den 8 dreikanligen Ecken 4 abwecfaselnde mi
hält ihre 12 Flächen Test, so werden diese gleichschenklige Vierecke, und der Kr}ild
ist das Trapezoiddodekaeder mit 14 Ecken (4 und 4 dreikantige und 6 vierkanligf).

System 4. In diesem System sind von den 15 Axen 6, ä-mal 3 la äi-
ander senkrecht. Nämlich die KaDien des Dodekaeders stehen sidi paarweise gegci-
üher und sind parallel; dabei gieht es &-mal 3 Paare, die za einander rechtwinklig
sind, und ebenso die ihnen zugehörigen 3 Axen 6,. Also lassen sich dem Dod^
kaeder 5 Oktaeder einschreiben, deren Ecken in den Milien der Kanten liegm.

Ad jedo- Kante K des Dodekaeders liegen 4 Flächen; zwei haben sie za Seil«.
Die der Kante zunächst liegenden Ecken oder Diagonalen in den 4 Flächen biUn
ein Quadrat; die 6 Quadrate der 3 Paar zugeordneten Kanten bilden einen Würfd.
Folglich lassen sich dem Dodekaeder 5 Würfel einschreiben, deren Ecken in dn
seinigen liegen; und folglich bilden die 10 Diagonalen des Dodekaeders S-mal dit
4 Diagonalen des WQrfeb.

Jede der 6 Axen G^ stellt auf zwei gegenüberliegendoi panlldea Fläcbci
senkrecht; die Mitteleheoe zwischen den letzteren geht durch die Hitlen von 5 Paar
Gegenkanten, also durch 5 Axen G^, auf denen somit jene Axe G^ senkrecht steht
Also liegen die 15 G^ zu 5 in 6 Ebenen und sind senkrecht zu den 6 Axen €,.
(Da das regelmässige 5-Eck keinen eigentlichen Hittelpunct hat, so sind audi dK
6, keine eigenllichen Axen. — Sollte hierin vielleicht der Grund liegen, wann
das Dodekaeder und Ikosaeder keine Krystallfonnen sindfl). — Wird das gane
System von Ebenen uud Axen als Büschel von einer Ebene geschnitten, so gehi
die genannten 9 Ebenen 9 Gerade, die sich in 15 Pimclen P, schneiden, wehfe
den 15 Geraden G, entsprechen. In Bezug auf ein elliptisches Involutionsieti äi
von diesen 15 Puocteu P, 5-mat 3 einander polar zugeordnet, so wie die 15 SlnUci
6^. Die 6 Axen G^ geben 6 Puncte P,, welche die Pole jener 6 Geraden siaJ.
In jedem elliptischen Involutionsneti muss es demnach unendlich viele solcha ge-
schlossenen S)'sieme von 5-mal 3 zugeordneten Puncten geben, wovon jedes oil
dem Dodekaeder oder Ikosaeder übereinstimmt, reap. seine Nalar andeutet und dit
gegenseitige Lage seiner Axen angiebt. Daher sind auch durch je drei zugeonfaielt
Puncte die 4-mal drei übrigen bestimmt, oder es finden nur zwei venchiedcK

Anmerkuni^en und Zusätze. 739

Sätze über Curven zweiter und dritter Ordnung.

24) S. 377, Z. 12 v. o. Die Gruppirung der 9 Osculationspunctc, 3/2+6«/^
ist keine andere wie der neun Wendepuncte einer Gurve dritter Ordnung; die vier
Systeme K^ entsprechen den syzygetischen Dreiecken, und von diesen hat bekanntlich
eines drei, eines nur eine, und die beiden anderen gar keine reellen Seiten. Hier-
nach würden die Steiner^chesk Behauptungen einer Berichtigung bedürfen. Dasselbe
gilt von den S. 380 unter (111) stehenden Sätzen, sowie von der Behauptung, dass
der Schlusssatz (2) auch umgekehrt gelte.

Elementare Lösung einer geometrischen Aufgabe u. s. w.

25) S. 417, Z. 8 v. u. Die hier angegebene Zahl (7776) von Kegelschnitten,
welche fünf gegebene Kegelschnitte berühren, ist nicht richtig, da uneigentliche Lö-
sungen mitgezählt sind; sie ist vielmehr 3264. (Vgl. Clebsch-Ldndemanny Vor-
lesungen über analyt. Geometrie, Band 1, S. 403.)

Zu dieser Abhandlung findet sich in Steine/s Nachlass der folgende Zusatz:
M§. n, 7, a. Mit diesem Satze stehen die nachfolgenden Aufgaben im Zu-
sammenhange.

1) Der Winkel a an der Spitze eines Dreiecks (Taf. XXIII Fig. 4) ist in fester
l^ge gegeben und ein Punct a in der Grundlinie bc; letztere so zu bestimmen,
dass der Umfang ein Minimum wird.

Lösung: Die Halbirungslinien der Winkel b und c und das Perpen-
dikel in a auf bc müssen sich in einem Puncle A treffen.

2) Um ein gegebenes Dreieck aß^ ein anderes abc vom kleinsten Umfange
zu beschreiben.

3) Ist ein beliebiges Dreieck abc gegeben, so giebt es ein bestimmtes anderes
a ß Y» dem es umschrieben ist, so dass es unter allen demselben umschriebenen den
kleinsten Umfang hat, und dieses Dreieck aß*/ ist leicht zu finden.

4) Wenn die Grundlinie bc eines Dreiecks abc (Taf. XXUl Fig. 5) in einer
festen Geraden G^ die Spitze in einer festen Geraden II liegen und die Schenkel
ab und ac resp. durch zwei feste Puncte ^ und ß gehen sollen, unter welchen
Bedingungen ist dann der Umfang ein Minimum?

Lösung: Die Ualbirungsstrahlen der Aussenwinkel bei a und b müssen sich
mit dem Perpendikel in ^ auf ab in einem und demselben Puncte treffen; ebenso
verhält es sich für die andere Seite o^. Denn dadurch ist auch in der Grundlinie
bc ein Punct a bestimmt, so dass aic als dem aßy umschrieben überhaupt den
kleinsten Umfang hat. — (Die Lösung ist allerdings nicht allgemein, weil durch
Annahme von Gy H und ß der Punct ^ schon bestimmt wird.)^

Aufgaben und Lehrsätze.

26) S. 442, Z. 3. Hier heisst es in Steiner's Manuscript: ^ Fielen nur in
jeden Wendepuncl 8 der gedachten Puncte, so blieben noch 132 eigentliche Lö-
sungen übrig; fallen aber 9 oder 10 in jeden, so finden uu^ 108 oder 84 eigent-
liche Lösungen statt. ^

Neue Bestimmungsarten der Curven zweiter Ordnung.

27) S. 454, Z. 3 v. o. Auch hier wären die beiden Fälle zu unterscheiden
gewesen. Im ersten Falle wird / bestimmt durch die Proportion

liAB = ß:Y.

740
wahrend i

Anmerkungen und Znsätze.
I im anderen Falle

Die Fonneln Für X, X,

l:AB = f.a

X, Bind nicht richüg; sie mfiüseD lautete

X» = -^(2abb— aa'4-bÄ'-

2ab

-(2abb— aa'+bA'

-brf*)-

"' ~ 2bb '

S. 464 (Nr. 3). Diese Proporlion muss heissen
a':ß' = yB:yA,
wonacb auch die übrigen zu bericlitigen sind.

S. 466 Z. 6 V. u. Der Kreis BJl ist gar nidit reell, da er tq
die durch A gehen, in imaginären (Brenn-) Punclen geschnitten f

Allgemeine Betrachtung*

1 über einander doppelt berührende
egelschnitte.

28) S. 473, Z. 5 V. u. Gegen das hier Gesagte ist lu bemerLen , dass dir
ausserhalb X, liegende Punct m nicht Pol von X^ in Bezug aut X sein kuu.
weil Xj Tangente von X^ ist (vgl. S. 472, 11, 2). Aus ähnlichen Gründen kui
auch der Satz auT

S. 475, Z. 19 V. u. nicht richtig sein.

S. 481, Nr. (2). Auch hier giebl es wie in 3) nur vier Lösungen, wou
man in beiden FSIIen die degenerirenden Kegelschnitte nicht mitzählt.

Allgemeine Eigenschaften der' algebraischen Curven.

29) S. 495, Formel (3). Uicr musste

3?G7— 2) sUU Sff(ff—l)
gesetzt werden.

Anmerkungen und Zusätze.* 741

S. 557, Z. 10 V. u. Hier ist gesetzt worden:

welche die Basis in a (statt in P) berührt.

lieber die Doppeltangeatea der Gurve vierten Grades.

31) S. 610, VII. Da durch 20 Puncto stets eine Gurve fünften Grades gelegt
werden kann, so ist der hier aufgestellte Satz nichtssagend. Dasselbe gilt von den
Sätzen (VIII, IX) auf S. 611.

Zwei specielle Flächen vierter Ordnung.

32) Die unter (I.) besprochene Fläche ist diejenige, welche man gegenwärtig
die ^Steiner* sc\i^ Fläche^ zu nennen gewohnt ist. Steiner hatte sich mit
derselben besonders während seines Aufenthalts in Rom (1844) beschäftigt, und
pflegte deshalb von ihr als seiner y,Römerfläche^^ zu reden, hat aber niemals etwas
darüber veröffentlicht. Es waren ihm nämlich Zweifel darüber geblieben, ob die
Fläche, wie er durch Betrachtungen, die ihm selbst nicht genügten, gefunden hatte,
wirklich vom vierten, und nicht etwa vom sechsten Grade sei. Möglicherweise
nämlich, meinte er, könne der Durchschnitt der Fläche mit jeder ihrer Tangential-
ebenen aus zwei ree\len und einem beständig imaginär bleibenden Kegelschnitt be-
stehen, so dass die Fläche, wie er sich ausdrückte, von einem ^Gespenst^ begleitet
wäre. Dass er über diesen Punct mit den ihm gewohnten Betrachtungsweisen nicht
in's Klare zu kommen vermochte, verdross ihn so sehr, dass er lange Zeit sich
nicht entschliesscn konnte, einem Analytiker die Sache zur Prüfung vorzulegen.
Erst etwa ein Jahr vor seinem Tode sprach er mit mir über seine Fläche und er-
suchte mich, was er darüber gefunden, analytisch zu verificiren. Dies war nicht
schwierig. Sind

?i=ö. ?3 = 0, <P3 = 0
die Gleichungen dreier Flächen zweiter Ordnung, die durch sieben gegebene Puncte
gehen, in gewöhnlichen Goordinaten, so hat jede andere, durch dieselben Puncte
gehende Fläche gleicher Ordnung die Gleichung

X(p,4-p.<p,-f-v<p, = 0,

wo X, {Ji, V veränderliche Parameter bedeuten. Nach dem Satze, von welchen Steiner
ausgeht — der übrigens schon früher von 0, Hesse (Crelle's Journal Band 18,
Seite 110) gefunden und analytisch bewiesen worden war — gehört nun zu jeder
solchen Fläche in Beziehung auf eine gegebenen Fläche Fl und einen auf dieser
angenommenen festen Punct A ein Pol; für die Goordinaten (jßy y^ z) desselben
ergeben sich Ausdrücke von der Form

F,(X,tt,v) i^.(X,fx,v) ^^(X^ti^v)

^— F(\,iL,v) ' ^— F(X,fjL,v) ' ^~ F(X,ji,v) •

wo Ff F^f F^, F^ ganze und homogene Functionen zweiten Grades von X, p., v
bedeuten, und es lassen sich dann aus diesen Ausdrücken die im Text angegebenen
Eigenschaften der Stemer'schen Fläche mit Leichtigkeit ableiten.

Steiner hat von dem, was ich damals für ihn aufschrieb, keinen Gebrauch
gemacht. Als aber nicht lange nachher mein Freund Kummer bei einer Unter-
suchung ^über Flächen vierten Grades, auf welchen Schaaren von Kegelschnitten
liegen^ die in Rede stehende merkwürdige Fläche ebenfalls entdeckt hatte, theilte
ich ihm mit, was ich von Steiner darüber erfahren. Hierauf sich beziehend hat
Herr Kummer^ als er (am 16. Juli 1863) die genannte Abhandlung in der .Aka-
demie las, die Fläche als eine von Steiner entdeckte bezeichnet, wodurch ich ver-

742 Anmerkimgen und Ztu&tu.

aolassl wurde, was ich von Steiner'» auf dieselbe sich beziehenden Uaiersucbungn
wuasle, noch in derselben Akademie- Sitzung voUsländig mitzulheilen. Seitdem hibs
sich die Geomeler vielfach mit der Stetner'schai Fläche beschäftigt, ausser Kummer
namentlich Schröter, Cremona, Clebsck. Die kurze Notiz, welche ich über die-
iselbe in diese Ausgabe der iStetn^'schen Werke aufnehmen zu müssen geglaibl
habe, stimmt im Wesentlichen mit der in dem HoDatsberichl der Berliner Akadenie
vom Jahre 1863 (S. 337) von mir gegebenen Qberein; die geringen Abweidumga
haben ihren Grund darin, dass ich damals aus der Grianerung referirte, jetzt Äa
mich genau an die erwähnte, Tür Steiner gemachte Aufzeichnung halten koiWe.

Die unter (\\l) mitgetlieilte Aufgabe wurde mir von StetTier bei Gelegenheit eiur
von ihm un lern ommeueu .Untersuchung &ber confocale Flächen zweiten Grades vor-
gelegt (1860). Indem ich die Gleichung der definirten Fläche herleitete, fand id.
dass sie in dem Falle, wo sie wirklich vom vierten Grade ist, nämlich, wenn dit
gegebene Fläche zweiten Grades einen Hiltelpunct hat, ohne eine Kf^elflidie m
sein, mit Hülfe einer zweiten Fläche desselben Grades, die zu der gegebenen ii
naher Beziehung steht, ebenso geometrisch construirt werden kann wie die FVemd-
sehe Welleadäche durch VermilleluDg eines Ellipsoides. Hat die gegebene Flickt
zweiten Grades keinen Mittelpunct, oder ist sie eine Kegeldäche. so ist die von S^mr
definirte Fläche von niedrigerem als dem vierten Grade-

Um alle Fälle zu umfassen, werde die Gleichung der gegebenen Fläche, be-
zogen auf ein orthogonales Aiensystem, in der Form

angenommen. Setzt man dann

e = CB+C)C^:.'+2^,^)+(6-+^)(Bj'+2ß,y)-)-C^+ß)(6i'+2C,:)
-\-{A+n+OD—A', — B' — C;.

+(,BC+CA+AE)D—{B+C^A',—{C+A)B\—(_A+n)C',.

K = abcd—bca;—cab;—abc;:

so i3t die Gleichung Her gesuchten Pläche:

OU—KF = 0.
In dem angegehenen allgemeinen Falle kann man

^,=B, = C,=0, V = —l
annehmen: sct^l man dann

Anmerkungen und Zusätze. 743

gilt dies in Betreff der auf die allgemeine Tlieorie der algebraischen Gurven und
Flächen sich beziehenden Untersuchungen, von deren Ergebnissen 0, Hesse gesagt
hat, dass sie gleich den /mna^'schen Sätzen für die Mit- und Nachwelt Räthsel
seien. Aber selbst in den am sorgfältigsten ausgearbeiteten Abhandlungen, von denen
ich die auf den Krümmungsschwerpunct ebener Gurven sich beziehende und die
über das Maximum und Minimum handelnden hervorhebe, haben sich an zahlreichen
Stellen gegen einzelne Satze Bedenken geltend gemacht, die in den vorstehenden
Anmerkungen, wenn aus denselben nicht ein ausfuhrlicher Gommentar werden sollte,
nicht alle zur Sprache gebracht werden konnten. Der Leser möge z. B. aus der
Note (15) ersehen, welche Erörterungen ein Irrthum bei einem sehr einfachen Satze,
wenn derselbe vollständig aufgeklärt werden sollte, nöthig machte. Ebenso hatten
mir die auf S. 71 unter Nr. 13 gegebenen Satze, welche die wesentlichsten Irrthüraer
enthalten, zu einer Note Veranlassung gegeben, die ich zurückgelegt habe, weil
daraus ein kleiner Aufsatz über .Fusspunctencurven geworden war. Welche Arbeit
aber die Revision der in diesem Bande enthaltenen Abhandlungen trotz der an-
gegebenen Beschränkung gemacht hat, möge man daraus entnehmen, dass allein die
von Herrn Kiepert mir zugestellten Notizen 34 Folio-Seiten umfassen. Von den
bemerkten Ungenauigkeiten beruhten die meisten allerdings auf blossem Versehen,
oder waren nur stylistische, und sind deshalb die gemachten Aenderungen in den
Anmerkungen nicht angegeben worden, was vielmehr, wie im ersten Bande, nur
da geschehen ist, wo eine Vergleichung des ursprünglichen Textes mit dem Neudruck
den Grund der Aenderung nicht sofort würde erkennen lassen. Konnte ein bemerkter
Irrthum — wie z. B. der in Note 23) bezeichnete — durch Ilinweisung auf eine spätere
Arbeit eines anderen Geometers berichtigt werden, so ist dies gescheheQ.

Nachträgliche Berichtigungen zum ersten Bande.

S. 11, Vni. Hier müsste es heissen:
„besteht aus drei Gurven zweiten Grades** statt „ist eine ebene Ciirve zweiten Grades".
Darauf hat schon Magnus (Sammlung von Aufgaben und Lehrsätzen aus der analytischen
Geometrie des Raumes, S. 332 aufmerksam gemacht.

S. 14, Z. 5. Es ist zu lesen

S. 271 statt 270.

S. 103, Z. 6 ist fölschlich (nach Legendre) Nova acta Petropolitana statt Acta
Petropol. 1781, I, S. 112 citirt worden, wie bereits Baluer (Elemente der Mathematik,
II, fünftes Buch, Sphärik) angemerkt hat.

S. 128, 10. Lehrsatz. Hier hätte auf S. 454 verwiesen werden müssen, wegen der
dort von Steiner unter (78) angegebenen Correctur des Satzes.

S. 527, Anmerkung 25) ist zu lesen

musste statt muss.

SteinEr's¥erke IBand.

Denumstratioii ^omftriqof äfiinfteoRme reMt alallraflioii. ß^.l.

Änfpen und Lehrsätze, flg. 2

rrsrdj

StflM'sl^eib n^ani.

Tafl.

BiifadiB Conslniction der ISm^nte an die all^eineinf Leraniscate M 1

AulfibeiiTmdLelirsitze. ^2Tmd3

r=-fl

Lith Just ylrop Kro^.Bfitn.

'mefs¥erke H.Bani.

Aufgaben und Lehrsätze RU und 1.

Maxramra md Mtninnim von Cnrven-Bo^ "Bg. 3

MM.

Steiiitr-iWerke EBiM

MamiMiindJlimffiMvoiißinHiIioffli Fi* 4-f

StanffsWafe IJand.

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liner's Me II Band

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SteinfiT s¥ffke IBand.

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Stfiiner's Verke IL Band.

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Sleinefs¥eitß UJand.

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Über Maximum und Jfinnmim Zweite Abhandhmg. ng 12-17.

12.

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aners Veite IBand

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Aiil§abc iöier das ekne und das spMrisdie Dreied . FI§.1 - 5.

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Stemers Werte II .Band

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Über das dem Kreise iimacliriebene Ifierecl R^.l.

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SiPinefs Werke 11. Band

iiber das dem Ireise iimsdiiieliejie ^ereck . R^ 3 - 4

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StflRers Werke DBand

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Eloaentare iösun^ einer «pameinscheii Mß^ und über einige tont in Bezielnin^ stEhende Eiftnsdiaften
derlegelsdinitie. Bg.1-4.

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Steiners Werte J.Bani.

Neue Besüinmiiii^s- Arten der CuNen zweiter Ordiiiing. "R^.2imd 3.

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Steiners Werke II. Band.

Zu.sätzc und Anmerkuneeii.

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Lith .Allst .v.Leop. Kraatx. Beriiii .

STANFORD UNIVERSITY LIBRARIES
STANFORD, CAUFORNIA 9430S-6004

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